Algebra Boole a i jej zastosowania

Transkrypt

1 lgebra oole a i jej zastosowania Wprowadzenie Niech dany będzie zbiór dwuelementowy, którego elementy oznaczymy symbolami 0 oraz 1, tj. {0, 1}. W zbiorze tym określamy działania sumy :, iloczynu : _ oraz dopełnienia :. mianowicie, przyjmujemy: Zbiór wraz z powyższymi działaniami nazywa się algebrą oole a. Jedną z możliwych jej realizacji są układy elektroniczne zwane bramkami. nalogicznie do w/w działań wprowadzamy bramki (Or Gate), (nd Gate), I (Inverter) oznaczane na schematach następującymi symbolami: i zdefiniowane takimi samymi tabelami, jak powyżej. Twierdzenie. Dla dowolnych elementów X, Y, Z algebry zachodzą następujące równości: (1) 0 X X ; (2) 1 X 1; (3) X X X ; (4) X X 1; (5) 0 X 0; (6) 1 X X ; (7) X X X ; (8) X X 0; (9) ( X ) X ; (10) X Y Y X ; (11) X Y Z Y Z ; (12) X Y Y X ; Z (13) X Y Z Y Z ; Z I Z 1

2 (14) X Y Z Y Z ; (15) X Y Z Y Z ; (16) Y X Y ; (prawo de Morgana) (17) Y X Y ; (prawo de Morgana). Powyższe własności można udowodnić m.in. metodą zero-jedynkową polegającą na sprawdzeniu wszystkich możliwych przypadków, których jest skończona ilość. Oto przykładowy dowód własności (11): X Y Z Y+Z X+(Y+Z) X+Y (X+Y)+Z Dzięki równościom (11) i (13) uogólniamy indukcyjnie dodawanie i mnożenie na dowolną skończoną liczbę argumentów. mianowicie, jeżeli n 2, to przyjmujemy: ; 1 1 n n... 1 n W analogiczny sposób uogólniamy bramki i ND. Ponadto przyjmujemy taką samą umowę dotyczącą kolejności działań i opuszczania znaku mnożenia, jak w tradycyjnej algebrze, co pozwala na zredukowanie zbędnych nawiasów i uproszczenie zapisów. Twierdzenie. Dla dowolnych elementów X, Y, Z algebry zachodzą następujące równości: (18) X X Z X ; (19) X Z X ; (20) X X Y X Y ; (21) X Y Y Z Y Z X Y Z. Dowody. Zastosujemy bardziej efektywną metodę polegającą na wykorzystaniu własności już udowodnionych, do których zaliczymy własności (1) - (17). d (18) X X Z X 1 X Z X 1 Z X 1 X. d (19) X d (20) X Y 1 d (21) (18) Z X Z X X Z X. n 1 Y X Y X X X Y X X X Y (18) X Y 0 X Y X X Y. X Y Y Z Y Z X Y Y Z Y Z X Y Z Y Y X Y Z 1 X Y Z. W zagadnieniach dotyczących zastosowań algebry oole a kluczowe znaczenie ma przekształcanie wyrażeń do najprostszej postaci i to odpowiedniego kształtu. Okazuje się, że każde takie wyrażenie zawsze daje się sprowadzić do jednej z dwóch tzw. postaci kanonocznych: sumy iloczynów bądź iloczynu sum pojedynczych argumentów bądź ich dopełnień. n n 2

3 Przykłady. Uprościmy dwa wyrażenia algebry oole a. a) W ( X Y )( X Y )( X Z) ( X X X Y Y X Y Y )( X Z) ( X X Y X Y )( X Z) X X X Z X Y X X Y Z X Y X X Y Z X Z ( X Y Z X Y Z) X Z X Z ( Y Y ) X Z X Z X Z. Inne, prostsze rozwiązanie: W ( X Y )( X Y ) ( X Z) ( X Y Y )( X Z) X ( X Z) X X X Z X Z. b) V X ( Y Z Y Z Y Z ) X ( Y Z Y Z) ( Y Z Y Z ) X Z ( Y Y ) Y ( Z Z ) X ( Z 1 Y 1) X ( Y Z) lub V X Y X Z. Pierwszy z wyników przedstawia wyrażenie V w postaci kanonicznej iloczynu sum (trzeba założyć, że X jest sumą jednoskładnikową), a drugi z tych wyników w postaci kanonicznej sumy iloczynów. Przy okazji warto postawić pytanie, która wersja rozwiązania jest prostsza? by na nie odpowiedzieć, przedstawmy ich realizację przy pomocy bramek: X Y Z Teraz jest jasne, że pierwsze z rozwiązań jest prostsze, gdyż jego realizacja wymaga jednej bramki mniej. Następnym ważnym problem z uwagi na zastosowania w informatyce jest projektowanie wyrażeń algebry oole a, które spełniają wymagane warunki wejścia/wyjścia. Wyjaśnimy to przy pomocy serii przykładów. Przykład. Znajdziemy wyrażenie zależne na wejściu od zmiennych X, Y oraz wyprowadzające na wyjściu wyrażenie Z tak, aby zachodziły zależności: Input X Y Z by otrzymać rozwiązanie w postaci sumy iloczynów dodajemy dodatkową kolumnę zawierającą utworzone w odpowiedni sposób iloczyny: Input X Y Z Iloczyny X Y X Y X Y X Y Szukanym rozwiązaniem jest suma wyrażeń z ostatniej kolumny wybranych z tych wierszy, dla których Z 1: X Z Y 3

4 Z X Y X Y X Y. Uprośćmy je: Z ( X Y X Y ) ( X Y X Y ) Y ( X X ) X ( Y Y ) Y X X Y. by otrzymać rozwiązanie w postaci iloczynu sum dodajemy dodatkową kolumnę zawierającą utworzone w odpowiedni sposób sumy: Input X Y Z Sumy X Y X Y X Y X Y Szukanym rozwiązaniem jest iloczyn wyrażeń z ostatniej kolumny wybranych z tych wierszy, dla których Z 0: Z X Y. Widać, że otrzymaliśmy dokładnie takie samo rozwiązanie. Jego realizacja przy pomocy bramek wygląda następująco: X Y Przykład. Znajdziemy wyrażenie zależne na wejściu od zmiennych X, Y, Z oraz wyprowadzające na wyjściu wyrażenie tak, aby zachodziły zależności: Input X Y Z Znajdziemy oba rozwiązania w postaciach kanonicznych: I lub X Y 4

5 Input X Y Z Iloczyny Sumy X Y Z * X Y Z X Y Z X Y Z * X Y Z * X Y Z X Y Z X Y Z * X Y Z * X Y Z X Y Z X Y Z * X Y Z * X Y Z X Y Z X Y Z * Rozwiązanie w postaci sumy iloczynów: ( X Y Z X Y Z ) ( X Y Z X Y Z ) X Z ( Y Y ) X Z ( Y Y ) X Z X Z Z ( X X ) Z. Rozwiązanie w postaci iloczynu sum: ( X Y Z )( X Y Z ) ( X Y Z )( X Y Z ) ( X Z ) ( Y Y ) ( X Z ) ( Y Y ) ( X Z )( X Z ) Z ( X X ) Z. Również teraz otrzymaliśmy dokładnie takie samo rozwiązanie. Jego realizacja wymaga tylko jednego inwertera: Z I Z Przykład. Znajdziemy wyrażenie zależne na wejściu od zmiennych X, Y, Z oraz wyprowadzające na wyjściu wyrażenie tak, aby zachodziły zależności: Input X Y Z Znajdziemy oba rozwiązania w postaciach kanonicznych: 5

6 Input X Y Z Iloczyny Sumy X Y Z X Y Z * X Y Z X Y Z * X Y Z * X Y Z X Y Z * X Y Z X Y Z X Y Z * X Y Z X Y Z * X Y Z * X Y Z X Y Z X Y Z * Rozwiązanie w postaci sumy iloczynów: ( X Y Z X Y Z) ( X Y Z X Y Z ) X Y ( Z Z) Y Z ( X X ) X Y Y Z. Rozwiązanie w postaci iloczynu sum: ( X Y Z)( X Y Z ) ( X Y Z)( X Y Z ) ( X Y Z )( X Y Z ) ( X Y ) ( Z Z ) ( X Y ) Z Z ( X Z ) Y Y ( X Y )( X Y ) ( X Z ) Y X X ( X Z ) Y ( X Z ). Otrzymaliśmy dwa różne rozwiązania, z których drugie jest prostsze. Widać to z ich realizacji przy pomocy bramek: Y X Z Y X Z Oprócz wcześniej zdefiniowanych bramek duże znaczenie praktyczne mają dwie dodatkowe: bramka N (Not Or Gate) i bramka Nand (Not nd Gate). Oto ich oznaczenia i definicje w wersji dla dwóch zmiennych wejściowych (może być ich więcej): N Z Z Z ( ) Z ( )

7 Istotna zaleta powyższych dwóch bramek polega na tym, że każde wyrażenie algebry oole a daje się zrealizować tylko przy pomocy bramek N albo tylko przy pomocy bramek. Uzasadniają to poniższe schematy: Tylko bramki N N N N N N N Tylko bramki W praktyce nie ma potrzeby stosowania powyższych schematów. Jak już wcześniej zauważyliśmy, wszystkie wyrażenia algebry oole a dają się sprowadzić do jednej z dwóch postaci kanonicznych: sumy iloczynów bądź iloczynu sum. W pierwszym z tych przypadków zamiast stosować układ bramek typu nd-to-or można użyć układu Nand-to-Nand zastępując w pierwszym układzie wszystkie bramki bramkami Nand. W przypadku układu typu -to-nd ten sam efekt uzyskuje się poprzez zastąpienie wszystkich bramek bramkami typu Nor. Daje to układ typu Nor-to- Nor. W obu przypadkach otrzymuje się układy logicznie równoważne, ale fizycznie różne. Zagadnienie ilustrują poniższe przykłady. 7

8 Przykłady a) D C C D C D E F G F E G D C C D C D E F G C D E F G b) F E G E F G C D E D E C C D E C D E C D E D C E C D E C D E 8

9 c) D C C D ( ) ( C D) ( E F G ) F E G E F G N D C N C D N C D E F G C D E F G d) F E G N E F G C D E D C E C D E N N C D E C D E D C E N C D E C D E 9

10 Układy zintegrowane 10

11 11

12 12