Zenon Kulpa NieprecyzyjnoϾ i niemo liwe przypadki we wnioskowaniu diagramowym

Transkrypt

1 Zenon Kulpa NieprecyzyjnoϾ i niemo liwe przypadki we wnioskowaniu diagramowym D D opyright 200

2 Samoniesprzecznoœæ diagramów: nie jest trudno sk³amaæ w jêzyku Sprzecznoœæ cech i relacji: Sprzecznoœæ w rozumowaniu: Ten czarny kot jest bia³y. Nie jest trudno sk³amaæ w jêzyku. 2 2 = 2 LU czarny bia³y kot kot Nie da siê narysowaæ czarnego kota, który jest bia³y. { Jak by ich nie ustawiaæ, wychodz¹ zawsze cztery kr¹ ki. bakin jest wy szy od abinicza, a abinicz jest wy szy od bakina. LU, nie I b > a a > b 2 { Za³. 1: Za³. 2: zyli: Wszystkie s¹ : ( x ) x adne nie s¹ : ( x ) x Unifikacja: ( x ) x & ( x ) x ( x ) x adne nie s¹. Nic nam tutaj jednak nie przeszkadza, by napisaæ: ( x ) x zyli: Niektóre s¹, a wiêc wniosek fa³szywy. 1. Jeœli coœ da siê narysowaæ, to znaczy, e jest prawdziwe. 2. Jeœli coœ nie da siê narysowaæ, to znaczy, e jest fa³szywe. zy to jest naprawdê zawsze s³uszne? Nie da siê narysowaæ tego w taki sposób, by by³o na zewn¹trz, ale mia³o czêœæ wspóln¹ z. Z diagramu mo na odczytaæ tylko prawdziwy wniosek: adne nie s¹, ze sprzecznymi wnioskami automatycznie odrzuconymi przez logikê diagramu. opyright 200

3 Fizyczny diagram jest zawsze nieprecyzyjny: Nieprecyzyjnoœæ diagramów: regu³a idealizacji Postrzeganie,, jest niepewne i mo e siê odnosiæ tylko do rzeczywistych, danych fizycznie obiektów, które s¹ zawsze niedoskona³e. *) zy to kwadrat czy nie kwadrat? Jednak postrzegamy go zwykle jako idealny: gdy stosujemy regu³ê idealizacji: Jednak e fizyczne obiekty nie powinny byæ mylone z tym jak je postrzegamy Gdy ktoœ oznajmia, e widzi kwadrat, to ma na myœli nie fizycznie niedoskona³y egzemplarz, lecz czysty kszta³t idealnego kwadratu, jakim zajmuje siê geometria. Widzi figurê z dok³adnie prostymi k¹tami i dok³adnie równymi bokami. *) Je eli w procesie postrzegania wydaje siê, e cechy elementów diagramu lub relacje miêdzy nimi s¹ dostatecznie zbli one do pewnych idealnych cech (np. figura wydaje siê ko³em, linia wydaje siê lini¹ prost¹, ) lub idealnych relacji (np. linie wydaj¹ siê równoleg³e, prosta wydaje siê przechodziæ przez zadane trzy punkty, ), to przyjmujemy, e diagram przedstawia idealne obiekty o tych cechach i z tymi idealnymi relacjami miêdzy nimi. Tak uzyskany idealny diagram jest dopiero w³aœciwym obiektem rozumowania diagramowego. opyright 200 [ *) ytaty: Rudolf rnheim: Visual Thinking, 1969.]

4 Wnioskowanie diagramowe: poziomy diagramowej reprezentacji wiedzy opisowej Przek¹tne kwadratu s¹ równe i przecinaj¹ siê w œrodku swojej d³ugoœci pod k¹tem prostym. a, b, c, d, ab, bc, cd, da, ac, bd, ab = bc = cd = da, bc = bcd = cda = dab = π/2, ac = bd, ac bd, e = ac bd, ae = be = ce = de. b a e c d niejednoznaczna percepcja WIEDZ OPISOW Symboliczny opis wiedzy ( informacji): zdania lub formu³y w pewnym jêzyku (naturalnym lub sztucznym). interpretacja diagramu DIGRM STRKYJNY Symboliczny opis struktury diagramu: zdania lub formu³y w pewnym jêzyku (naturalnym lub sztucznym). opis diagramu DIGRM IDELNY Idealne obiekty geometryczne na nieskoñczonej, abstrakcyjnej 2 p³aszczyÿnie euklidesowej. idealizacja diagramu reprezentacja diagramowa idealna wizualizacja niedok³adne rysowanie DIGRM RZEZYWISTY Figury, kreski, itp.., o ograniczonej dok³adnoœci na ograniczonej, fizycznej powierzchni papieru lub ekranu. rozumowanie symboliczne rozumowanie hybrydowe rozumowanie diagramowe opyright 200

5 Rysowanie i idealizacja: niedok³adnoœc i niejednoznacznoœæ Struktura odwzorowañ rysowania i idealizacji: D D 1 2 obecna pewna cecha idealna zakres dostatecznego zbli enia D 2 brak pewnej cechy idealnej D 1 DIGRMY IDELNE Przyk³ad - ko³a Eulera: niedok³adne rysowanie (odwzorowanie ze strat¹ informacji) DIGRMY RZEZYWISTE idealizacja diagramu (niejednoznaczna) = DIGRMY IDELNE,,, =. WIEDZ OPISOW DIGRM IDELNY niedok³adne rysowanie [fragment] DIGRM RZEZYWISTY (nieprecyzyjny) ró ne mo liwe idealizacje inne opyright 200

6 Nieprecyzyjnoœæ diagramów: zagadka 64 = 6 (Lewis arroll) Niemo liwa konfiguracja?: = 64 1 = 6 64 = 6? 1 d. 1: Da³o siê narysowaæ mimo, e nie jest prawdziwe. opyright 200

7 Nieprecyzyjnoœæ diagramów: zagadka 64 = 6 (Lewis arroll) Wielkie Twierdzenie Kreœlarskie: 1 = 64 1 = 6 64 = 6? d. 1: Da³o siê narysowaæ mimo, e nie jest prawdziwe. Wielkie Twierdzenie Kreœlarskie: Przez dowolne trzy lub wiêcej punktów mo na poprowadziæ prost¹, byle by³a dostatecznie gruba. opyright 200

8 Niemo liwa konfiguracja?: Nieprecyzyjnoœæ diagramów: zagadka 64 = 6 (Lewis arroll) = 64 1 = 6 64 = 6? Wielkie Twierdzenie Kreœlarskie: Przez dowolne trzy lub wiêcej punktów mo na poprowadziæ prost¹, byle by³a dostatecznie gruba. Sposób 1: zwiêkszyæ precyzjê 1 d. 1: Da³o siê narysowaæ mimo, e nie jest prawdziwe. Teraz linie nie s¹ dostatecznie grube, by zamaskowaæ lukê na przek¹tnej. PROLEM: nie da siê okreœliæ, ile razy trzeba zwiêkszyæ precyzjê, by uwidoczniæ prawdziw¹ strukturê diagramu. Mo na skonstruowaæ zagadkê tego typu o dowolnie du ej liczbie kratek, w której luka na przek¹tnej bêdzie dowolnie w¹ska w stosunku do rozmiarów opyright 200 prostok¹ta.

9 Niemo liwa konfiguracja?: Nieprecyzyjnoœæ diagramów: zagadka 64 = 6 (Lewis arroll) Sposób 2: rozumowanie hybrydowe 1 = 64 1 = 6 64 = 6? d. 1: Da³o siê narysowaæ mimo, e nie jest prawdziwe. 2 Y Y Y = 2/ / = X X Odcinki i maj¹ ró ne nachylenia, nie le ¹ zatem na jednej prostej. X PROLEM: powoduje utratê (choæ zwykle tylko czêœciow¹) zalet reprezentacji diagramowej (g³ównie utratê naœladowczoœci). opyright 200

10 Nieprecyzyjnoœæ diagramów: wszystkie trójk¹ty s¹ równoramienne Niemo liwa konfiguracja: O X b³êdna idealizacja opis: rozumowanie: O = O (bok, dwa k¹ty), O = O, O = O, =, X = X, OX = OX (dwa boki, k¹t), OX, O = O, O = O (dwa boki, k¹t), O = O XO, =, O, + = +, d. 1: Da³o siê narysowaæ mimo, = trójk¹t jest równoramienny e nie jest prawdziwe. opyright 200

11 Nieprecyzyjnoœæ diagramów: wszystkie trójk¹ty s¹ równoramienne Niemo liwa konfiguracja: O X X O b³êdna idealizacja opis: rozumowanie: O = O (bok, dwa k¹ty), O = O, O = O, =, X = X, OX = OX (dwa boki, k¹t), OX, O = O, O = O (dwa boki, k¹t), O = O XO, =, O, + = +, d. 1: Da³o siê narysowaæ mimo, = trójk¹t jest równoramienny e nie jest prawdziwe. Sposób : pozycja ogólna O = O, X = X, OX. O = O XO, O, Nale y narysowaæ diagram, w którym istotne cechy elementów lub relacje nie s¹ dostatecznie zbli one do niepo ¹danych idealnych cech lub relacji. Np. taki jak obok, gdzie odstêpstwa od równoœci k¹tów w wierzcho³ku i równoœci odcinków X i X potrzebne do tego, aby punkt O znalaz³ siê w œrodku trójk¹ta s¹ na tyle du e, e nie s¹ dostatecznie zbli one do idea³u, co uniemo liwia b³êdn¹ idealizacjê. PROLEM: nie dla wszystkich diagramów istnieje taka pozycja. (Zob. 64 = 6 ) opyright 200

12 ³êdna idealizacja w zagadce 64 = 6 : doprowadza do sprzecznoœci Standardowe rozumowanie: b³êdna idealizacja = 64 [trójk¹ty] [trapezy] 2 ( /2) + 2 ((+) /2) = = = 64 OK [linie diagonalne wydaj¹ siê proste] prostok¹tne trójk¹ty prostok¹t 1 1 = 6 b³êdna idealizacja 64 = 6? opyright 200

13 ³êdna idealizacja w zagadce 64 = 6 : mo na zrobiæ rozga³êzienie rozumowania Standardowe rozumowanie: b³êdna idealizacja = 64 Sposób 4: rozga³êzienie rozumowania (dywergencja) w¹tpliwa idealizacja trójk¹ty?? prostok¹tne [mo e wyst¹piæ efekt nieprecyzyjnoœci]? [trójk¹ty] [trapezy] 2 ( /2) + 2 ((+) /2) = = = 64 OK czy aby na pewno i s¹ wspó³liniowe? &? [rozga³êzienie] TK LU NIE 1 1 [linie diagonalne wydaj¹ siê proste] 1 = 6 prostok¹tne trójk¹ty prostok¹t 1 = 6 ga³¹ÿ jest obcinana 1 = 6 6 > 64 jest luka 6 64 = 1 S l = 1 b³êdna idealizacja 1 64 = 6? 64 = 6 SPRZEZNOŒÆ PROLEM: brak ogólnej metody wykrywania takich sytuacji. opyright 200

14 Niedopasowanie struktury diagramów: ograniczenie ekspresyjnoœci diagramu Twierdzenie Helly ego (wersja 2-wymiarowa): Je eli cztery figury wypuk³e,, i D na p³aszczyÿnie s¹ ustawione w taki sposób, e jednoczeœnie spe³nione s¹ zale noœci:, D, D, D, to zawsze bêdzie spe³nione D (t.j. nie da siê przedstawiæ sytuacji, w której D = ). Sposób: rozszerzyæ jêzyk (dopuœciæ figury niewypuk³e): przeciêcia pojedyncze, obszary jednoimienne niespójne (,, D): D przeciêcia wielokrotne, obszary jednoimienne spójne: D D Sytuacja D = : d. 2. Nie da siê narysowaæ mimo, e nie jest fa³szywa., D, D, D, ale D =. PROLEM: dalsze próby rozszerzeñ mog¹ napotkaæ w koñcu barierê ograniczeñ 2 mo liwoœci struktury p³aszczyzny. opyright 200

15 Niedopasowanie struktury diagramów: utrata informacji przy wizualizacji Rzutowanie bry³ -wymiarowych na p³aszczyznê wi¹ e siê z utrat¹ informacji: Wszystkie linie le ¹ w p³aszczyÿnie O: WNIOSEK: interpretacja przestrzenna p³askich rzutów bry³ -wymiarowych musi byæ niejednoznaczna, co mo e prowadziæ do powstania konfiguracji niemo liwych. linie pod ró nymi k¹tami w przestrzeni przerwana linia w przestrzeni O pojedyncza, nieprzerwana lini lini a prosta prosta na na obrazie obrazie linia krzywa w przestrzeni UWG: w tym kontekœcie regu³a idealizacji okreœlana jest jako zasady interpretacji przestrzennej obrazów p³askich, a diagram idealny to pewna idealna struktura -wymiarowa. opyright 200

16 Niedopasowanie struktury diagramów: figury niemo liwe Globalnie niemo liwa figura - lokalnie poprawne idealizacje: [ ] Ukryta figura niemo liwa: Œciêta piramida z trójk¹tn¹ podstaw¹, p³askimi œcianami i prostymi krawêdziami? wiêcej o figurach niemo liwych Kilka innych przyk³adów: Niemo liwy pierœcieñ Niemo liwy prostok¹t Nie! y tak by³o, krawêdzie œcian musia³yby siê przecinaæ w jednym punkcie! Figura Thiéry'ego Diabelskie wid³y opyright 200

17 Niedopasowanie struktury diagramów: mo liwe interpretacje figur niemo liwych Mo liwe interpretacje figury niemo liwej: Wymagaj¹ naruszenia standardowych regu³ idealizacji ( interpretacji przestrzennej). Regu³a idealizacji: lokalna interpretacja prostych fragmentów figura niemo liwa: Interpretacje niezgodne ze standardowymi regu³ami lokalnej interpretacji interpretacje przestrzenne: niemo liwa przerwana krzywoliniowa skrêcona mo liwe opyright 200