PORADNIK odc. 6. Bryły w zadaniach W tym odcinku chcia³abym Wam przedstawiæ zadania. czego nie pisać na egzaminie gimnazjalnym? Zadanie 21.

Transkrypt

1 PORADNIK odc. 6 Małgorzata Kołakowska czego nie pisać na egzaminie gimnazjalnym? Bryły w zadaniach W tym odcinku chcia³abym Wam przedstawiæ zadania zwi¹zane z geometri¹, a dok³adnie z bry³ami obrotowymi, jak i wieloœcianami. W tego typu zadaniach przydaje siê znajomoœæ kszta³tu poszczególnych bry³ oraz ich ró norodnych przekrojów, które prowadz¹ nas do zadañ z figurami p³askimi najczêœciej trójk¹tami. Przypomnê Wam tak e dwa twierdzenia zwi¹zane z figurami p³askimi, choæ nie tylko. S¹ to: twierdzenie Pitagorasa oraz twierdzenie Talesa. Zadania z geometrii wymagaj¹ od Nas wyobraÿni przestrzennej, ale nie martwcie siê, jak jej nie posiadacie. Im wiêcej tego typu zadañ zrobicie to ³atwiej Wam bêdzie wyobraziæ sobie kszta³ty danych figur i ich przekroje. Dziêki temu szybko znajdziecie prawid³owe rozwi¹zanie. Zatem do dzie³a! Pamiêtajcie o uwa nym czytaniu treœci zadañ!!! Zadanie 21. Tomek ogl¹da zdjêcie, które przedstawia piramidê Cheopsa. Piramida Cheopsa ma kszta³t A. prostopad³oœcianu. B. graniastos³upa o podstawie kwadratu. C. ostros³upa o podstawie kwadratu. D. sto ka. To jest prostopad³oœcian graniastos³up prosty, w którym krawêdzie boczne s¹ prostopad³e do podstaw, jego podstaw¹ jest prostok¹t. Na zdjêciu widzimy krawêdzie boczne zbiegaj¹ce siê ku wierzcho³kowi, zatem odpowiedÿ A. nie jest prawid³owa. Graniastos³up prosty o podstawie kwadratu to szczególny przypadek prostopad³oœcianu, który zamiast prostok¹ta w podstawie ma kwadrat, zatem to nie jest odpowiedÿ B. Aby prawid³owo rozpoznaæ kszta³t piramidy Cheopsa trzeba wiedzieæ jak ka da z proponowanych figur wygl¹da. Pokrótce Wam je przedstawiê: To jest ostros³up o podstawie kwadratu, posiada krawêdzie boczne zbiegaj¹ce siê ku wierzcho³kowi, tak samo jak piramida Cheopsa, zatem nasz¹ odpowiedzi¹ jest C. 1

2 P b pole powierzchni bocznej i jest to suma powierzchni ka dej œciany bocznej ostros³upa, œciana boczna ostros³upa zawsze jest trójk¹tem. Pole trójk¹ta to: P = 1/2 a l; l to wysokoœæ trójk¹ta, który tworzy œcianê boczn¹ ostros³upa; a to d³ugoœæ boku, na który pada wysokoœæ. Spójrzcie na rysunek pod spodem. To jest sto ek, którego podstaw¹ jest ko³o, nie posiada on krawêdzi bocznych, za to posiada wierzcho³ek, wiêc to nie jest odpowiedÿ D. Po przeanalizowaniu czterech przypadków ró nych figur nasza odpowiedÿ brzmi: Piramida Cheopsa ma kszta³t ostros³upa o podstawie kwadratu, zatem zaznaczamy odpowiedÿ C. Zadanie 34. (0-4) Piramida ma kszta³t ostros³upa prawid³owego czworok¹tnego. Ile cm 2 papieru potrzeba na wykonanie modelu tej piramidy (wraz z podstaw¹), w którym krawêdzie podstawy maj¹ d³ugoœæ 10 cm a wysokoœæ 12 cm? Ze wzglêdu na zak³adki zu ycie papieru jest wiêksze o 5%. Zapisz obliczenia. W zale noœci od podstawy ostros³upa mamy tyle trójk¹tów ile boków ma podstawa. W naszym przypadku mamy w podstawie czworok¹t foremny, zatem mamy cztery takie same trójk¹ty w powierzchni bocznej. Dlatego Pb w naszym zadaniu wynosi: P b = 4 1/2 a l; A pole powierzchni podstawy w naszym zadaniu kwadratu wynosi: P p = a 2 ; Czyli Pc wynosi: P c = P b + P p = 4 1/2 a l + a 2 = 2 a l + a 2 Nasze dane: a = 10 cm; h = 12 cm; Tylko nie mamy podanej l, dlatego musimy j¹ obliczyæ. W naszym ostros³upie l jest wysokoœci¹ œciany bocznej (œciana boczna jest trójk¹tem równoramiennym) i dzieli ona bok a na po³owê. Teraz spróbujmy przekroiæ nasz ostros³up po l z jednej i przeciwnej strony i taki otrzymamy przekrój: 2 Ostros³upem prawid³owym nazywamy ostros³up, którego podstaw¹ jest wielok¹t foremny (wielok¹t foremny to wielok¹t wypuk³y, który ma równej d³ugoœci boki i k¹ty), a jego œciany boczne s¹ przystaj¹cymi trójk¹tami równoramiennymi. W tym zadaniu mamy do czynienia z ostros³upem prawid³owym czworok¹tnym, a przyk³adem czworok¹ta foremnego jest np. kwadrat. Przeczytajcie uwa nie treœæ zadania: Ile cm 2 papieru potrzeba na wykonanie modelu tej piramidy (wraz z podstaw¹), w którym krawêdzie podstawy maj¹ d³ugoœæ 10 cm a wysokoœæ 12 cm?. Pytanie dotyczy cm 2, mo emy wyznaczyæ pole powierzchni tego ostros³upa lub jego objêtoœæ. Przypomnê Wam wzory: Pole powierzchni ca³kowitej ostros³upa: P c = P b + P p

3 Otrzymaliœmy trójk¹t prostok¹tny, zatem mo emy wyznaczyæ l korzystaj¹c z twierdzenia Pitagorasa, które brzmi: W trójk¹cie prostok¹tnym kwadrat d³ugoœci przeciwprostok¹tnej jest równy sumie kwadratów obu przyprostok¹tnych. W naszym zadaniu: h i (1/2 a) to przyprostok¹tne; l przeciwprostok¹tna; l 2 = h 2 + (1/2 a) 2 l 2 = (1/2 10) 2 = = = 169 l = 169 = 13 cm l wstawiamy do wzoru na Pb: P b = 4 1/2 a l = 2 10 cm 13 cm = 260 cm 2 A teraz obliczmy Pc: P c = P b + P p = 260 cm 2 + a 2 = 260 cm 2 + (10 cm) 2 = 260 cm cm 2 = 360 cm 2 ; Pole powierzchni otrzymaliœmy w cm 2, czyli to jest w³aœnie to o co pytaj¹ Nas w tym zadaniu. Ale przeanalizujmy jeszcze objêtoœæ. Wzór na objêtoœæ ostros³upa wygl¹da tak: V = 1/3 P p h = 1/3 a 2 h = 1/3 (10 cm) 2 12 cm = 1/3 100 cm 2 12 cm = 400 cm 3 ; Tutaj otrzymaliœmy wynik w cm 3, dlatego nie szukamy objêtoœci. Zatem nasz¹ odpowiedzi¹ jest obliczenie P c. Tylko w treœci zadania jest: Ze wzglêdu na zak³adki zu ycie papieru jest wiêksze o 5%., zatem do P c dodamy 5% i otrzymamy: 360 cm 2 + 5% 360 cm 2 = 360 cm 2 + 1/ cm 2 = 360 cm cm 2 = 378 cm 2 ; Nasza odpowiedÿ brzmi: Na wykonanie modelu piramidy wraz z podstaw¹ potrzeba 378 cm 2 papieru. Zadanie 26. (0-4) Na dziedziñcu przed Luwrem zbudowano szklan¹ piramidê. Piramida ta ma kszta³t ostros³upa prawid³owego czworok¹tnego o wysokoœci oko³o 20 metrów i krawêdzi podstawy 30 metrów. Wykonaj rysunek pomocniczy wraz z oznaczeniami i oblicz powierzchniê œcian bocznych szklanej piramidy. Zapisz obliczenia. Tak wygl¹da piramida: kszta³t ma piramida, omówi³am w zadaniu poprzednim. Dlatego korzystaj¹c z tego wzór na powierzchniê boczn¹ piramidy wygl¹da tak: P b = 4 1/2 a l; l to wysokoœæ trójk¹ta, który tworzy œcianê boczn¹ ostros³upa; a to d³ugoœæ krawêdzi podstawy (w podstawie mamy kwadrat) W naszym zadaniu nie mamy podane l, dlatego musimy je wyznaczyæ. W naszym ostros³upie l jest wysokoœci¹ œciany bocznej (œciana boczna jest trójk¹tem równoramiennym) i dzieli ona bok a na po³owê. Teraz spróbujmy przekroiæ nasz ostros³up po l z jednej i przeciwnej strony i taki otrzymamy przekrój: Otrzymaliœmy trójk¹t prostok¹tny, zatem mo emy wyznaczyæ l korzystaj¹c z twierdzenia Pitagorasa: h i (1/2 a) to przyprostok¹tne; l przeciwprostok¹tna; l 2 = h 2 + (1/2 a) 2 l 2 = (20 m) 2 + (1/2 30 m) 2 = 400 m 2 + (15 m) 2 = 400 m m 2 = 625 m 2 l = 625 = 25 m Podstawiamy do wzoru na powierzchniê boczn¹: P b = 4 1/2 a l = 2 30 m 25 m = 1500 m 2 To jest nasza odpowiedÿ: Powierzchnia boczna piramidy szklanej wynosi 1500 m 2. h = 20 m; a = 30 m; Mamy obliczyæ powierzchniê œcian bocznych szklanej piramidy. Ostros³up prawid³owy czworok¹tny, bo taki Zadanie 34. (0-2) W czasie prac wykopaliskowych wydobyto 45 m 3 ziemi, z której usypano kopiec w kszta³cie sto ka. Jego pole podstawy jest równe 54 m 2. Oblicz wysokoœæ kopca, pamiêtaj¹c, e objêtoœæ sto ka jest równa jednej trzeciej iloczynu pola podstawy i wysokoœci. Zapisz obliczenia. Przeczytajcie uwa nie treœæ zadania: W czasie prac wykopaliskowych wydobyto 45 m 3 ziemi, z której usypano kopiec w kszta³cie sto ka. Jego pole podstawy jest równe 54 m 2. Mamy podane, e wykopano 45 m 3 ziemi, czyli mamy ju podan¹ objêtoœæ naszego sto ka, gdy z tej iloœci ziemi usypano ten sto ek. Pole podstawy naszego sto ka te ju mamy podane i wynosi ono 54 m 2. Dalej nasze zadanie brzmi: Oblicz wysokoœæ kopca, pamiêtaj¹c, e objêtoœæ sto ka jest równa jednej trzeciej iloczynu pola podstawy i wysokoœci. Tutaj mamy ju podany wzór na objêtoœæ sto - ka, który wygl¹da tak: 3

4 V = 1/3 P p h P p to pole podstawy (w podstawie mamy ko³o, gdy to jest sto ek) h to wysokoœæ sto ka; P p = 54 m 2 V = 45 m 3 h =? mo emy h wyznaczyæ przekszta³caj¹c wzór na objêtoœæ V: h = V/(1/3 Pp) = 3V/ Pp = 3 45 m 3 / 54 m 2 = 2,5 m OdpowiedŸ brzmi: Wysokoœæ kopca wynosi 2,5 m. Zadanie 34. (0-5) Dziecko nasypuje piasek do foremek w kszta³cie sto ka o promieniu podstawy 5 cm i tworz¹cej 13 cm. Nastêpnie przesypuje go do wiaderka w kszta³cie walca o wysokoœci 36 cm i promieniu dwa razy wiêkszym ni promieñ foremki. Jak¹ czêœæ wiaderka wype³ni³o dziecko, wsypuj¹c 6 foremek piasku? Zapisz obliczenia. Tak wygl¹da sto ek: R= 2r; poniewa : Nastêpnie przesypuje go do wiaderka w kszta³cie walca o wysokoœci 36 cm i promieniu dwa razy wiêkszym ni promieñ foremki. W zadaniu mamy obliczyæ: Jak¹ czêœæ wiaderka wype³ni³o dziecko, wsypuj¹c 6 foremek piasku?. W tym celu musimy obliczyæ objêtoœæ sto ka i walca, poniewa wype³niamy te foremki piaskiem, a nie np. obklejamy papierem. Na pocz¹tku wyznaczmy objêtoœæ sto ka. Wzór wygl¹da tak; V sto ka = 1/3 π r 2 h W naszym zadaniu nie ma podanej wysokoœci h, za to jest podana tworz¹ca sto ka l. By wyznaczyæ h narysujmy sto ek. M ODY TECHNIK 4 A tak wygl¹da walec: Przeczytajcie dok³adnie treœæ zadania i wypiszcie dane: r promieñ sto ka l tworz¹ca sto ka h wysokoœæ sto ka r = 5 cm l = 13 cm R promieñ walca H wysokoœæ walca H = 36 cm Tak wygl¹da nasz sto ek. Zauwa cie, e w przekroju otrzymujemy trójk¹t równoramienny i jak poprowadzimy wysokoœæ sto ka, to otrzymamy trójk¹t prostok¹tny, gdzie h i r to przyprostok¹tne, a l to przeciwprostok¹tna. Nie mamy h, dlatego mo emy wyznaczyæ h korzystaj¹c z twierdzenia Pitagorasa: r 2 + h 2 = l 2 h 2 = l 2 r 2 = = = 144 h = 144 = 12 cm Wstawiamy h do wzoru i otrzymujemy: V sto ka = 1/3 π r 2 h = 1/3 π (5 cm) 2 12 cm = 1/3 π 25 cm 2 12 cm = 100π cm 3 Teraz obliczmy objêtoœæ walca: V walca = π R 2 H Mamy wszystkie dane, by wyznaczyæ objêtoœæ, zatem: R = 2r = 2 5 cm = 10 cm V walca = π R 2 H = π (10 cm) 2 36 cm = 3600π cm 3 Teraz obliczmy jak¹ objêtoœæ piasku wsypa³o dziecko do wiaderka, je eli wsypa³o 6 foremek. 6 V sto ka = 6 100π cm 3 = 600π cm 3 tyle piasku wsypa³o dziecko Ca³e wiaderko wype³nia 3600π cm 3 piasku, a 600π cm 3 piasku wsypa³o dziecko. By odpowiedzieæ na pytanie zawarte w zadaniu: Jak¹ czêœæ wiaderka wype³ni³o dziecko, wsypuj¹c 6 foremek piasku?. Wystarczy 600π cm 3 podzieliæ przez 3600π cm 3 : 600π cm 3 / 3600π cm 3 = 1/6 OdpowiedŸ: 1/6 wiaderka wype³ni³o dziecko wsypuj¹c do niego 6 foremek piasku. Zadanie 1. Tomek stan¹³ przed lustrem w nowej bluzie. Wska figurê, która znajduje siê na przodzie bluzy Tomka.

5 Wypiszmy dane: Od = 80 cm = 0,8 m obwód du ego ko³a; Om = 40 cm = 0,4 m obwód ma³ego ko³a; 0,5 km = 500 m d³ugoœæ odcinka drogi; Musimy wyznaczyæ ile obrotów wykona du e i ma³e ko- ³o na pó³kilometrowym odcinku drogi, nale y w tym celu d³ugoœæ odcinka drogi podzieliæ przez obwód ko³a. 500 m / 0,8 m = 625 tyle obrotów wykona du e ko- ³o rowerka; 500 m / 0,4 m = 1250 tyle obrotów wykona ma³e ko³o rowerka. eby odpowiedzieæ na pytanie: O ile obrotów wiêcej wykona ma³e ko³o rowerka ni du e na pó³kilometrowym odcinku drogi?, wystarczy od iloœci obrotów wykonanych przez ma³e ko³o odj¹æ iloœæ obrotów wykonanych przez du e ko³o = 625 o tyle obrotów wiêcej wykona ma- ³e ko³o rowerka w porównaniu z du ym ko³em. Ito jest nasza odpowiedÿ. Figurê znajduj¹c¹ siê na przodzie bluzy Tomka widzimy w odbiciu w lustrze, wiêc na pewno nie jest ona identyczna jak widzimy w lustrze, dlatego odrzucamy odpowiedÿ A. Odbicie lustrzane powoduje, e to co by³o po prawej stronie, w lustrze widzimy po lewej stronie i odwrotnie, ale to co by³o na górze nadal jest na górze, a to co na dole jest na dole. Zatem odrzucamy C. i D. Poprawn¹ odpowiedzi¹ jest B. Zadanie 5. (0-1) Po opuszczeniu schroniska turysta przeszed³ 9 km w kierunku wschodnim. Nastêpne 12 km szed³ w kierunku pó³nocnym. W jakiej odleg³oœci od schroniska znalaz³ siê turysta po przejœciu tej trasy? A. 3 km B. 10,5 km C. 15 km D. 21 km Spróbujmy narysowaæ trasê naszego turysty: Zadanie 23. (0-1) Na lekcji jazdy konnej dzieci dosiada³y konia prowadzonego po okrêgu na napiêtej uwiêzi o d³ugoœci 5 metrów. Jak¹ drogê pokona³ koñ, je eli ³¹cznie przeby³ 40 okr¹ eñ? Wynik zaokr¹glij do 0,1 km. A. Oko³o 1,3 km B. Oko³o 1 km C. Oko³o 0,2 km D. Oko³o 12,6 km. Przeczytajcie uwa nie treœæ zadania i wypiszcie dane: 40 tyle okr¹ eñ pokona³ koñ; r = 5 m tak¹ d³ugoœæ ma uwiêÿ konia, która jest jednoczeœnie promieniem okrêgu; π = 22/7 tak¹ wartoœæ pi przyjmujê w przybli eniu; Obwód okrêgu (okr¹ enie) wynosi: O= 2π r = 2π 5 m = 10 22/7 = 220/7 m 40 O = /7 = 1257 m 1 km = 1000 m 40 O = 1,257 km ~ 1,3 km Mamy tak¹ odpowiedÿ, jest to A. i j¹ zaznaczamy. Zadanie 20. (0-1) Podczas spaceru brat Zosi jedzie czteroko³owym rowerkiem. Obwód du ego ko³a wynosi 80 cm, a ma³ego 40 cm. O ile obrotów wiêcej wykona ma³e ko³o rowerka ni du e na pó³kilometrowym odcinku drogi? A B C. 625 D. 400 x w takiej odleg³oœci od schroniska znajduje siê turysta; Jak narysowaliœmy trasê turysty to otrzymaliœmy trójk¹t prostok¹tny, zatem x mo emy obliczyæ z twierdzenia Pitagorasa, gdzie 9 km i 12 km to przyprostok¹tne, a x to przeciwprostok¹tna = x2 x2 = = 225 x= 225 = 15 km Mamy tak¹ odpowiedÿ jest to C. i j¹ zaznaczamy. Zadanie 33. (0-2) Stalowe liny AC i BD przymocowano do ustawionych równolegle betonowych s³upów AB i CD, AB = CD. Jak¹ miarê ma k¹t x? Zapisz obliczenia. M ODY TECHNIK 5

6 Uzyskane przez gimnazjalistów pomiary to: d³ugoœæ cienia drzewa 5,6 m, d³ugoœæ cienia Basi 1,4 m, wzrost Basi 1,7 m. Oznaczenia: x wysokoœæ drzewa w wzrost cz³owieka c d³ugoœæ cienia cz³owieka d d³ugoœæ cienia drzewa. Punkt przeciêcia siê stalowych lin nazwijmy O. Mo emy stwierdziæ, e skoro k¹t BOC wynosi 110 to tyle samo wynosi k¹t AOD, poniewa AB = CD. eby wyznaczyæ k¹t AOB nale y: = = 140 tyle wynosi suma k¹tów AOB i DOC, te k¹ty s¹ takie same, dlatego 140 / 2 = 70. K¹t AOB wynosi 70. Trójk¹t AOB jest trójk¹tem równoramiennym, dlatego k¹t BAO i k¹t ABO jest taki sam. Suma k¹tów w trójk¹cie wynosi 180, zatem od (k¹t AOB) = /2 = 55 tyle wynosi k¹t x, czyli k¹t BAO. Zadanie 35. (0-3) Przy drodze, któr¹ wêdrowali, ros³o samotne drzewo. Aby poznaæ jego wysokoœæ, uczniowie dokonali odpowiednich pomiarów. Nastêpnie, korzystaj¹c ze schematu, obliczyli jego wysokoœæ. Przedstaw ich obliczenia. k i l to proste równoleg³e c = 1,4 m w = 1,7 m d = 5,6 m x =? Skoro k i l s¹ prostymi równoleg³ymi, x mo emy wyznaczyæ z twierdzenia Talesa, które brzmi: Je eli ramiona k¹ta przetniemy dwoma prostymi równoleg- ³ymi, to d³ugoœci odcinków wyznaczonych przez te proste na jednym ramieniu k¹ta s¹ proporcjonalne do d³ugoœci odcinków wyznaczonych przez te proste na drugim ramieniu. Mo emy wypisaæ takie proporcje: w/c = (x w)/(d c) w/(x w) = c/(d c) w/x =c/d w/x = c/d = k/l To s¹ wszystkie mo liwe proporcje jakie mo emy wyznaczyæ korzystaj¹c z twierdzenia Talesa. Amy wybierzmy najprostsz¹, która pozwoli nam wyznaczyæ x. w/x = c/d w = c x/d c x = w d x = w d/c = 1,7 5,6 / 1,4 = 6,8 m To jest nasza odpowiedÿ. Wysokoœæ drzewa wynosi 6,8 m. M ODY TECHNIK 6