. α p S n 1u p (x) = up F (u(x), λ), gdzie (1) F C 2 (R p R, R), (2) u F (u, λ) = λu + u g(u, λ), gdzie g C 2 (R p R, R) i dla każdego λ R zachodzi

Transkrypt

1 PIOTR STEFANIAK 1. Preliminaria Oznaczmy przez S n 1 operator Laplace a-beltrami ego na sferze S n 1 R[1, 1] R[n 2, 0] oraz rozważmy następujący układ równań: α 1 S n 1u 1 x) = u1 F ux), λ) α 2 S n 1u 2 x) = u2 F ux), λ) 1).. α p S n 1u p x) = up F ux), λ), gdzie 1) F C 2 R p R, R), 2) u F u, λ) = λu + u gu, λ), gdzie g C 2 R p R, R) i dla każdego λ R zachodzi u g0, λ) = 0 oraz 2 ug0, λ) = 0, 3) α i { 1, 1}. Przez n oznaczać będziemy liczbę tych elementów α i, i = 1,..., p, dla których α i = 1, a przez n + - dla których α i = 1. Rozważmy przestrzeń Hilberta H = p H 1 S n 1 ), gdzie H 1 S n 1 ) jest pierwszą przestrzenią Soboleva z iloczynem skalarnym danym wzorem u, v = u v + u v)dσ. S n 1 Co więcej, przestrzeń H 1 S n 1 ) jest ortogonalną S 1 -reprezentacją. Zdefiniujmy funkcjonał Φ: H R R wzorem Φu, λ) = 1 p 2 S α n 1 i u i x) 2 )dσ Sn 1 F ux), λ)dσ = p 1 2 S n 1 α i u i x) 2 )dσ λ 2 S u ix) 2 dσ ) n 1 Sn 1 gux), λ)dσ = p 1 2 S n 1 α i u i x) 2 + u i x) 2 ))dσ λ α i 2 S u ix) 2 dσ ) n 1 Sn 1 gux), λ)dσ = m α i u 2 i 2 H 1 S n 1 ) λ α i 2 S u ix) 2 dσ ) n 1 Sn 1 gux), λ)dσ Zdefiniujmy T : H 1 S n 1 ) H 1 S n 1 ) oraz η 0 : H 1 S n 1 ) R H 1 S n 1 ) wzorem v H 1 S n 1 ) T u), v H 1 S n 1 ) = ux)vx)dσ, v H S n 1 η 0 u, λ), v H = gux), λ)vx)dσ. S n 1 Date: 1 czerwca

2 2 PIOTR STEFANIAK Fakt 1. Przy powyższych założeniach i oznaczeniach: u Φu, λ) = Lu λ Id +L)Ku) u η 0 u, λ) = α 1 u 1 λ α 1 )T u 1 ),..., α p u p λ α p )T u p )) u η 0 u, λ), gdzie 1) L = diagα 1,..., α p ) Id: H H jest samosprzężonym, ograniczonym S 1 -współzmienniczym operatorem Fredholma, 2) K = T,..., T ): H H jest samosprzężonym, pełnociągłym, S 1 -współzmienniczym operatorem ograniczonym, 3) u η 0 u, λ): H R H jest pełnociągłym, S 1 -współzmienniczym operatorem takim, że u η 0 0, λ) = 0, 2 uη 0 0, λ) = 0 dla każdego λ R. 4) u = u 1,..., u p ) H jest słabym rozwiązaniem zagadnienia 1) wtedy i tylko wtedy, gdy u Φu, λ) = 0, to znaczy u jest punktem krytycznym funkcjonału Φ. Oznaczmy przez σ S n 1) = {0 = λ 0 < λ 1 < λ 2 <...} zbiór wszystkich wartości własnych operatora S n 1 oraz połóżmy σ S n 1) = { λ m : λ m σ S n 1)}. Połóżmy PΦ) = {λ m0 R : 2 uφ0, λ m0 ) nie jest izomorfizmem}. Fakt 2. Zbiór PΦ) nie ma punktów skupienia. Ponadto punkt 0, λ m0 ) jest punktem bifurkacji rozwiązań równania Φu, λ) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy λ m0 PΦ). Lemat 3. Przy powyższych założeniach i oznaczeniach σ S n 1), gdy n > 0, n + = 0 1) PΦ) = σ S n 1), gdy n + > 0, n = 0 σ S n 1) σ S n 1), gdy n n + > 0, 2) λ m σ S n 1) 1 λ m+1 σt ), 3) σk) = { 1 : λ λ m+1 m σ S n 1)}, 1 4) V S n 1 λ m ) = V T 5) V K 1 λ m +1 ) = p λ m +1 ), V T 1 λ m +1 ), Ponadto, dla λ m0 PΦ) 6) jeżeli λ m0 > 0, to n > 0, λ m0 σ S n 1) oraz ker 2 Φ0, λ m0 ) = n V S n 1 λ m0 ), 7) jeżeli λ m0 < 0, to n + > 0, λ m0 σ S n 1) oraz ker 2 Φ0, λ m0 ) = n + V S n 1 λ m0 ). Oznaczmy przez H n m przestrzeń liniową jednorodnych wielomianów harmonicznych stopnia m z n niewiadomymi. Wiadomo, że dim H n m = n + m 3)! n + 2m 2). n 2)! m! Liniową przestrzeń obcięć elementów H n m do S n 1 będziemy oznaczać H n m. Łatwo zauważyć, że dim H n m = dim H n m. Można pokazać, że przestrzeń H n m jest reprezentacją grupy S 1, vide [5]. Dowód poniższego lematu można znaleźć w [3], [6]. Lemat 4. Przy powyższych założeniach i oznaczeniach

3 1) L 2 S n 1 ) = m=0 H n m, 2) dla dowolnych n, m) N \ {1}) N {0}), H n m jest przestrzenią własną operatora Laplace a-bertrami ego, 3) dla dowolnego u H n m zachodzi równość S n 1u = m m + n 2) u. 1 Z powyższego twierdzenia wynika w szczególności, że σt ) = { : m N {0}} m m+n 2)+1 1 oraz V S n 1 λ m ) = V T ) = λ Hn m+1 m. Zdefiniujmy ciąg S 1 -współzmienniczych rzutów ortogonalnych Γ = {π k : H H : k N {0}} następująco: 1) H 0 = {0}, 2) H k = k p Hj n, j=1 3) π k : H H jest rzutem takim, że im π k = H k, dla k N. Wówczas Γ jest S 1 -współzmienniczym schematem aproksymacyjnym na H, czyli 1) dla każdego k N 0, H k jest skończenie wymiarową podrezprezentajcą reprezentacji H, 2) H k+1 = H k H k+1, gdzie H k+1 = p Hk+1, n 3) dla każdego u H lim τ k u) = u. k Ponadto spełnione są warunki: 4) ker L = H 0, 5) dla każdego k N 0 zachodzi τ k L = L τ k. Dla m N przez R[1, m] będziemy oznaczać dwuwymiarową reprezentację grupy S 1 taką, że grupa izotropii dowolnego elementu x R[1, m] \ {0} jest równa Z m. Przez R[1, 0] oznaczamy jednowymiarową, trywialną reprezentację S 1. Dla k, m N {0} zdefiniujmy R[k, m] = R[1, m]... R[1, m] - m razy. Przypomnijmy, że jeżeli V jest skończenie wymiarową S 1 -reprezentacją, to jest ona izomorficzna z reprezentacją postaci R[k 0, 0] R[k 1, m 1 ]... R[k r, m r ]. Ponadto 1) k 0 dla H = S 1 S 1- deg H Id, BV )) = 1) k0+1 k i dla H = Z i, gdzie 1 i r 2) 0 dla H = Z i, gdzie i > r, przy czym S 1- deg H Id, BV )) jest współrzędną stopnia S 1- deg Id, BV )) odpowiadającą grupie izotropii H. Dowód poniższego faktu można znaleźć w [5]. Lemat 5. Dla dowolnych n, m) N \ {1}) N {0}) istnieją 1) p n m 1, 2) k n,m) 0,..., k n,m) rn,m) N, 3) 0 m n,m) 0 < m n,m) 1 <... < m n,m) rn,m) < m takie, że H n m R[p n m, m] rn,m) i=0 R[k n,m) i, m n,m) i ]. 3

4 4 PIOTR STEFANIAK Ustalmy λ m0 PΦ) oraz zdefiniujmy indeks bifurkacji poprzez równość BIF S 1λ m0 ) = S 1- deg 2 Φ0, λ m0 + ϵ), BH)) S 1- deg 2 Φ0, λ m0 ϵ), BH)) US 1 ), 3) gdzie liczba ϵ > 0 jest odpowiednio mała. Z faktu 2 wynika, że powyższa definicja jest poprawna. Oznaczmy przez Cλ m0 ) H R składową spójności zbioru zawierającą punkt 0, λ m0 ). cl{u, λ) H R: 0 Φu, λ) = 0, u 0} Twierdzenie 6. Ustalmy λ m0 PΦ) oraz przypuśćmy, że BIF S 1λ m0 ) Θ US 1 ). Wówczas z punktu 0, λ m0 ) bifurkuje składowa spójności Cλ m0 ) H R, która jest nieograniczona albo 1) Cλ m0 ) H R jest ograniczona, 2) Cλ m0 ) {0} R) = {0} {λ i1,... λ is }, 3) BIF S 1λ i1 ) BIF S 1λ is ) = Θ. Szkic dowodu powyższego twierdzenia można znaleźć w pracy [2]. Przypomnijmy, że pierścień US 1 ), +, ) jest izomorficzny z pierścieniem Z którym działania określamy następująco: dla dowolnych α = α 0, α 1, α 2,...), β = β 0, β 1, β 2,...) Z Z, mamy α + β = α 0 + β 0, α 1 + β 1, α 2 + β 2,...) oraz α β = α 0 β 0, α 1 β 0 + α 0 β 1, α 2 β 0 + α 0 β 2,...). Lemat 7. Dla dowolnych α = α 0, α 1, α 2,...), β = β 0, β 1, β 2...) Z Z Z, +, ), w a) Element α jest odwracalny wtedy i tylko wtedy, gdy α 0 = ±1. Ponadto, jeżeli α 0 = ±1, to α 1 = α0 1, α0 2 α 1, α0 2 α 2,...) = α 0, α 1, α 2,...). b) α 0, α 1, α 2,...) N = α0 N, Nα0 N 1 α 1, Nα0 N 1 α 2,...). c) Dla dowolnego N N α 0, α 1, α 2,...) N β 0, β 1, β 2,...) N 1, 0, 0,...)) = α0 N, Nα0 N 1 α 1, Nα0 N 1 α 2,...) β0 N 1, Nβ0 N 1 β 1, Nβ0 N 1 β 2,...) = α0 N β0 N 1), Nα0 N 1 α 1 β0 N 1) + α0nβ n 0 N 1 β 1, Nα0 N 1 α 2 β0 N 1) + α0nβ n 0 N 1 β 2,...). Połóżmy U S 1 ) = {α 0, α 1, α 2,...) US 1 ): i N {0} α i 0}, U + S 1 ) = {α US 1 ): α U S 1 )} oraz Vm 0 ) = m 0 i=0 H n i. Lemat 8. Załóżmy, że n > 0 i ustalmy λ m0 σ S n 1) \ {0}. Wówczas BIF S 1λ m0 ) = S 1- deg Id, BVm 0 1))) n S 1- deg Id, BH n m 0 ))) n I ). 4) Ponadto

5 a) jeżeli n jest liczbą parzystą, to BIF S 1λ m0 ) = S 1- deg Id, BH n m 0 ))) n I U S 1 ), b) jeżeli dim Hm n 0 oraz n dim Vm 0 1) są liczbami parzystymi, to BIF S 1λ m0 ) = S 1- deg Id, BHm n 0 ))) n I U S 1 ), c) jeżeli dim Hm n 0 jest liczbą parzystą oraz n dim Vm 0 1) jest liczbą nieparzystą, to BIF S 1λ m0 ) = I S 1- deg Id, BHm n 0 ))) n U + S 1 ). Dowód. Zauważmy, że z faktu 2 wynika, że 2 Φ0, λ m0 ± ϵ): H H jest izomorfizmem dla dostatecznie małego ϵ > 0. Ustalmy K > m takie, że zachodzi równość S 1- deg 2 Φ0, λ m0 ± ϵ), BH)) = S 1- degl, BH K )) ) 1 S 1- degl λ m0 Id +L ± ϵ)k, BH K )). Korzystając z powyższej równości, z definicji operatorów K i L oraz z własności stopnia S 1 - współzmienniczych odwzorowań gradientowych, a także z faktu, że σ S n 1), 0) =, otrzymujemy S 1- deg 2 Φ0, λ m0 ± ϵ), BH)) S 1- degl λ m0 Id +L ± ϵ)k, BH K )) p S 1- deg α i Id λ m0 α i ± ϵ)t, BVK)) α i =1 S 1- deg Id λ m0 1 ± ϵ)t, BVK)) α i = 1 S 1- degid λ m0 + 1 ± ϵ)t, BVK)) S 1- deg Id, BVK)))) n + S 1- degid λ m0 + 1 ± ϵ)t, BVK))) n = S 1- degid λ m0 + 1 ± ϵ)t, BVK))) n. Niech λ i σ S n 1). Zauważmy, że jeżeli α > λ i, to homotopia hu, t) = tu α+1)t u)+ 1 t) u) jest BH n i )-dopuszczalna, zatem S 1- degid αt, BH n i )) = S 1- deg Id, BH n i )), natomiast jeżeli α < λ i, to homotopia hu, t) = tu α + 1)T u) + 1 t)u jest BH n i )- dopuszczalna, zatem S 1- degid αt, BH n i )) = S 1- degid, BH n i )). Korzystając z formuły produktowej otrzymujemy S 1- degid λ m ϵ)t, BVK)) = S 1- deg Id, BVm 0 ))) oraz S 1- degid λ m0 + 1 ϵ)t, BVK)) = S 1- deg Id, BVm 0 1))). Biorąc pod uwagę powyższe równości otrzymujemy BIF S 1λ m0 ) = S 1- deg Id, BVm 0 )))) n S 1- deg Id, BVm 0 1)))) n = S 1- deg Id, BVm 0 1))) n S 1- deg Id, BH n m 0 ))) n I ). Zauważmy, że ze wzoru 2) oraz z lematu 7 wynika, że jeżeli dim Hm n 0 jest liczbą parzystą, to S 1- deg S 1 Id, BHm n 0 )) = 1, 5

6 6 PIOTR STEFANIAK S 1- deg Zi Id, BHm n 0 )) < 0 dla każdego i N oraz BIF S 1λ m0 ) = 1) n Vm 1) S 1- deg Id, BHm n 0 ))) n I ) U S 1 ) Z powyższej równości wynikają podpunkty b) i c), podpunkt a) dowodzi się analogicznie. Lemat 9. Załóżmy, że n + > 0 i ustalmy λ m0 σ S n 1) \ {0}. Wówczas BIF S 1 λ m0 ) = S 1- deg Id, BVm 0 ))) n + S 1- deg Id, BH n m 0 ))) n + I ). 5) Ponadto a) jeżeli n + jest liczbą parzystą, to b) jeżeli dim H n m 0 c) jeżeli dim H n m 0 BIF S 1λ m0 ) = S 1- deg Id, BH n m 0 ))) n + I U S 1 ), oraz n + dim Vm 0 ) są liczbami parzystymi, to BIF S 1λ m0 ) = S 1- deg Id, BH n m 0 ))) n + I U S 1 ), jest liczbą parzystą oraz n + dim Vm 0 ) jest liczbą nieparzystą, to BIF S 1λ m0 ) = I S 1- deg Id, BH n m 0 ))) n + U + S 1 ). Dowód. Argumentując podobnie jak w lemacie 8 otrzymujemy, ze dla odpowiednio dużych K N S 1- deg 2 Φ0, λ m0 ± ϵ), BH)) S 1- degl λ m0 Id +L ± ϵ)k, BH K )) p S 1- deg α i Id λ m0 α i ± ϵ)t, BVK)) α i =1 S 1- deg Id λ m0 1 ± ϵ)t, BVK)) α i = 1 S 1- degid λ m0 + 1 ± ϵ)t, BVK)) S 1- deg Id λ m0 1 ± ϵ)t, BVK)))) n + S 1- degid, BVK))) n S 1- deg Id λ m0 1 ± ϵ)t, BVK))) n +. Niech λ i σ S n 1). Zauważmy, że jeżeli α > λ i, to S 1- deg Id +αt, BH n i )) = S 1- degid, BH n i )), natomiast jeżeli α < λ i, to homotopia hu, t) = tu α + 1)T u) + 1 t)u jest BH n i )- dopuszczalna, zatem Stąd oraz S 1- deg Id +αt, BH n i )) = S 1- deg Id, BH n i )). K S 1- deg Id λ m0 1 + ϵ)t, BVK)) = S 1- deg Id, B Hi n )) i=m 0 S 1- deg Id λ m0 1 ϵ)t, BVK)) = S 1- deg Id, B K i=m 0 +1 H n i )).

7 7 Biorąc pod uwagę powyższe równości otrzymujemy BIF S 1 λ m0 ) S 1- deg Id, B K Hi n ))) i=m S 1- deg Id, BVK)))) n + K S 1- deg Id, B Hi n ))) i=m+1 K S 1- deg Id, B Hi n ))) i=m+1 S 1- deg Id, BHm n 0 ))) n + I ) ) n+ ) n+ ) n+ = S 1- deg Id, BVm 0 ))))) n + S 1- deg Id, BH n m 0 ))) n + I ). Argumentując podobnie jak w lemacie 8 otrzymujemy zależności a)-c). Lemat 10. BIF S 10) = S 1- deg Id, BH n 0 ))) n S 1- deg Id, BH n 0 ))) n +. 6) Ponadto, BIF S 10) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy liczby n, n + są tej samej parzystości. Dowód. Argumentując tak jak w dowodzie lematu 8 otrzymujemy S 1- deg 2 Φ0, ϵ), BH)) Argumentując tak jak w dowodzie lematu 9 otrzymujemy = S 1- degid 1 + ϵ)t, BVK))) n = S 1- deg Id, BH n 0 ))) n. S 1- deg 2 Φ0, ϵ), BH)) S 1- deg Id 1 ϵ)t, BVK))) n + ) S 1- deg Id, B K n+ Hi n )) = S 1- deg Id, BH n 0 ))) n Nieograniczone zbiory rozwiązań Twierdzenie 11. Załóżmy, że n, n + są liczbami parzystymi, ustalmy λ m0 PΦ) \ {0} oraz przypuśćmy, że BIF S 1λ m0 ) Θ US 1 ). Wówczas z punktu 0, λ m0 ) bifurkuje składowa spójności Cλ m0 ) H R, która jest nieograniczona. Dowód. Z twierdzenia 6 wiemy, że istnieje nietrywialna spójna składowa Cλ m0 ) H R przechodząca przez punkt 0, λ m0 ). Przypuśćmy, że jest ona ograniczona, wówczas 1) Cλ m0 ) {0} R = {0} {λ i1,..., λ is }, 2) BIF S 1λ i1 ) BIF S 1λ is ) = Θ. Zauważmy, że z lematów 8 oraz 9 mamy, że dla każdego j = 1... s BIF S 1λ ij ) U S 1 ),

8 8 PIOTR STEFANIAK natomiast z założenia wnioskujemy, że przynajmniej jedna współrzędna indeksu BIF S 1λ m0 ) jest różna od zera, oznaczmy ją przez BIF S 1λ m0 ) H. Wówczas Otrzymana sprzeczność kończy dowód. BIF S 1λ i1 ) H BIF S 1λ is ) H < 0 Załóżmy teraz, że m > 0, n, n + są liczbami nieparzystymi, ustalmy λ m PΦ) oraz przypuśćmy, że dim H n m jest liczbą nieparzystą. Przypomnijmy, że z lematu 5 mamy gdzie k n,m) 0,..., k n,m) rn,m) wzoru 2) wynika, że oraz H n m R[p n m, m] rn,m) i=0 R[k n,m) i, m n,m) i ]. N, 0 mn,m) 0 < m n,m) 1 <... < m n,m) rn,m) < m oraz pn m 1. Zatem ze S 1- deg H Id, BHm)) n = = 1 dla H = S 1 p n m dla H = Z i, gdzie 1 i m 0 dla H = Z i, gdzie i > m, 1) kn,m) 0 dla H = S 1 1) kn,m) 0 +1 p n m dla H = Z m 0 dla H = Z i, gdzie i > m, Oznaczmy k 0 m) = k n,0) k n,m) 0 dla n N {0}. Ze wzoru 2) otrzymujemy S 1- deg H Id, Bdim Vm 1)) = { 1) k 0 m 1) dla H = S 1 0 dla H = Z i, gdzie i m 1) k 0m) dla H = S 1 S 1- deg H Id, Bdim Vm)) 1 = 1) k0m) p n m dla H = Z m 0 dla H = Z i, gdzie i > m 1) k 0m 1)+1 dla H = S 1 = 1) k0m 1)+1 p n m dla H = Z m 0 dla H = Z i, gdzie i > m Kładąc w lemacie 7c otrzymujemy α 0 = 1) k 0m 1), α m = 0, β 0 = 1, β m = p n m, N = n BIF S 1λ m ) Zm = n 1) k 0 m 1) ) n 1) n 1 p n m = n 1) k 0m 1) p n m 7) oraz BIF S 1λ m ) Zi = 0 dla i > m. Ponadto, kładąc w lemacie 7c otrzymujemy α 0 = 1) k 0m 1)+1, α m = 1) k 0m 1)+1 p n m, β 0 = 1, β m = p n m, N = n +

9 9 BIF S 1 λ m ) Zm = n + 1) k 0 m 1)+1 ) n + 1 1) k 0 m 1)+1 p n m 1) n + 1) oraz BIF S 1 λ m ) Zi = 0 dla i > m. +n + 1) k 0 m 1)+1 ) n + 1) n + 1 p n m = 2n + 1) k 0m 1)+1 p n m + n + 1) k 0m 1)+1 p n m = n + 1) k 0m 1) p n m, 8) Twierdzenie 12. Załóżmy, że n, n + są liczbami nieparzystymi, ustalmy λ m0 PΦ) \ {0} oraz przypuśćmy, że BIF S 1λ m0 ) Θ US 1 ). Wówczas z punktu 0, λ m0 ) bifurkuje składowa spójności Cλ m0 ) H R, która jest nieograniczona. Dowód. Z twierdzenia 6 wiemy, że istnieje spójna składowa Cλ m0 ) H R przechodząca przez punkt 0, λ m0 ). Przypuśćmy, że jest ona ograniczona, wówczas 1) Cλ m0 ) {0} R = {0} {λ i1,..., λ is }, 2) BIF S 1λ i1 ) BIF S 1λ is ) = Θ. Bez zmniejszenia ogólności rozważań możemy założyć, że λ i1... λ is oraz λ is > 0. Załóżmy najpierw, że dim Hi n s jest liczbą parzystą i zauważmy, że z nieparzystości liczb n i n + oraz z założenia wynika, że n dim Vi s 1), n + dim Vi s ) = n + dim Vi s 1)+n + dim Hi n s są tej samej parzystości. Jeżeli n dim Vi s 1) jest liczbą parzystą, to dla każdego j = 1,... s zachodzi BIF S 1λ ij ) = S 1- deg Id, BH n i j ))) n I U S 1 ), natomiast z założenia wnioskujemy, że przynajmniej jedna współrzędna indeksu BIF S 1λ m0 ) jest różna od zera, oznaczmy ją przez BIF S 1λ m0 ) H. Wówczas BIF S 1λ i1 ) H BIF S 1λ is ) H < 0, co jest niemożliwe. Analogicznie postępujemy w przypadku, gdy n dim Vi s 1) jest liczbą nieparzystą. Sprzeczność. Przypuśćmy teraz, że dim Hi n s jest liczbą nieparzystą oraz rozważmy 3 przypadki: 1. Cλ m0 ) przecina {0} R w punkcie 0, λ is ) oraz nie przecina w punkcie 0, λ is ). Wówczas, ze wzoru 7) mamy: BIF S 1λ is ) Zi s = n 1) k 0m 1) p n i s 0 Co więcej, dla każdego 1 j < s, BIF S 1λ ij ) Zi s = 0. Stąd BIF S 1λ i1 ) Zi s BIF S 1λ i s ) Zi s = BIF S 1λ i s ) Zi s 0. Sprzeczność. 2. Cλ m0 ) przecina {0} R w punkcie 0, λ is ) oraz nie przecina w punkcie 0, λ is ). Argumentując tak jak w poprzednim podpunkcie można pokazać, że Sprzeczność. BIF S 1λ i1 ) Zi s BIF S 1 λ i s ) Zi s = BIF S 1 λ i s ) Zi s. 0.

10 10 PIOTR STEFANIAK 3. Cλ m0 ) przecina {0} R w punkcie 0, λ is ) oraz w 0, λ is ). Wówczas, korzystając ze wzorów 7) i 8), otrzymujemy BIF S 1λ i1 ) Zis BIF S 1 λ is ) Zis + BIF S 1λ is ) Zis = BIF S 1 λ is ) Zis + BIF S 1λ is ) Zis = n 1) k 0i s 1) p n i s + n + 1) k 0i s 1) p n i s = 1) k 0i s 1) p n i s n + n + ) 0, Otrzymana sprzeczność kończy dowód. Twierdzenie 13. Załóżmy, że n, n + są różnej parzystości, ustalmy λ m0 PΦ) \ {0} oraz przypuśćmy, że BIF S 1λ m0 ) Θ US 1 ). Wówczas z punktu 0, λ m0 ) bifurkuje składowa spójności Cλ m0 ) H R, która jest nieograniczona. Dowód. Załóżmy, że teza nie jest prawdziwa. Argumentując podobnie jak dowodzie twierdzenia 12 pokazujemy, że Cλ m0 ) przecina {0} R w punkcie 0, λ is ) i w 0, λ is ). Zauważmy, że oraz 1) kn,m) 0 dla H = S 1 S 1- deg H Id, BHm)) n = 1) kn,m) 0 +1 p n m dla H = Z m 0 { dla H = Z i, gdzie i > m, 1) k 0 m 1) dla H = S S 1- deg H Id, Bdim Vm 1)) = 0 dla H = Z i, gdzie i m 1) k 0m) dla H = S 1 S 1- deg H Id, Bdim Vm)) 1 = 1) p n m dla H = Z m 0 dla H = Z i, gdzie i > m Załóżmy, że n jest liczbą nieparzystą oraz n + jest liczbą parzystą. Kładąc w lemacie 7c otrzymujemy α 0 = 1) k 0m 1), α m = 0, β 0 = 1) kn,m) 0, β m = 1) kn,m) 0 +1 p n m, N = n BIF S 1λ m ) Zm = n 1) k 0 m 1) ) n 1) kn,m) 0 ) n 1 1) kn,m) 0 +1 p n m = n 1) k0m 1) 1) kn,m) 0 +1 p n m oraz BIF S 1λ m ) Zi = 0 dla i > m. Korzystając z twierdzenia 9a oraz kładąc w lemacie 7b α 0 = 1) kn,m) 0, α m = 1) kn,m) 0 +1 p n m, N = n + otrzymujemy BIF S 1 λ m ) Zm = n + oraz BIF S 1 λ m ) Zi = 0 dla i > m. Zatem 1) kn,m) 0 9) ) n+ 1 1) k n,m) 0 +1 p n m = n + p n m 10) BIF S 1λ i1 ) BIF Zi s S 1 λ i s ) + BIF Zi s S 1λ i s ) Zi s = n 1) k0m 1) 1) kn,m) 0 +1 p n m n + p n m. = BIF S 1 λ i s ) Zi s + BIF S 1λ i s ) Zi s Stąd n 1) k 0m 1) 1) kn,m) 0 +1 p n m n + p n m = 0, czyli n = n + albo n = n +. Sprzeczność.

11 Załóżmy, że n jest liczbą parzystą oraz n + jest liczbą nieparzystą. Korzystając z twierdzenia 8a oraz kładąc w lemacie 7b α 0 = 1) kn,m) 0, α m = 1) kn,m) 0 +1 p n m, N = n otrzymujemy BIF S 1λ m ) Zm = n 1) kn,m) 0 oraz BIF S 1 λ m ) Zi = 0 dla i > m. Kładąc w lemacie 7c 11 ) n 1 1) k n,m) 0 +1 p n m = n p n m 11) α 0 = 1) k 0m), α m = 1) k 0m) p n m, β 0 = 1) kn,m) 0, β m = 1) kn,m) 0 +1 p n m, N = n + otrzymujemy BIF S 1λ m ) Zm = n + 1) k 0 m) ) n + 1 1) k 0 m) p n m 1) kn,m) 0 ) n+ 1 ) +n + 1) k 0 m) ) n + 1) kn,m) 0 ) n + 1 1) kn,m) 0 +1 p n m = 2n + 1) k0m) p n m 1) k0m) 1) ) kn,m) = 1) k0m) n + p n m 2 + 1) kn,m) 0 0 p n m 12) oraz BIF S 1λ m ) Zi = 0 dla i > m. Zatem BIF S 1λ i1 ) Zis BIF S 1λ is ) Zis + BIF) S 1 λ is ) Zis = BIF S 1λ is ) Zis + BIF S 1 λ is ) Zis = n p n m 1) k0m) n + p n m 2 + 1) kn,m) 0 ) Stąd n p n m 1) k0m) n + p n m 2 + 1) kn,m) 0 = 0, czyli n = n + albo n = 3n +. Otrzymana sprzeczność kończy dowód. Uwaga 14. 1) Przypadek n = 1, n + = 0 został opisany w pracy [5], natomiast n = 0, n + = 1 dowodzi się analogicznie. Powyższy rezultat uogólnia te 2 przypadki. 2) Zauważmy, że dla każdego λ m0 PΦ) \ {0} spełnione jest założenie BIF S 1λ m0 ) Θ US 1 ). Co więcej, jeśli n, n + są różnej parzystości, to również BIF S 10) Θ, w przeciwnym wypadku BIF S 10) = Θ. Jeżeli Cλ m0 ) H R jest nietrywialna, to jest nieograniczona. 3) Rozważmy sferę S n 1 jako SOn)-rozmaitość, wówczas przestrzeń H jest ortogonalną SOn)-reprezentacją. Homomorfizm grup S 1 SOn) indukuje homomorfizm pierścieni USOn)) US 1 ). Wówczas, równość implikuje BIF SOn) λ i1 ) BIF SOn) λ is ) = Θ USOn)) BIF S 1λ i1 ) BIF S 1λ is ) = Θ US 1 ), a to jest niemożliwe. Zatem, również w tym przypadku nie może istnieć ograniczony zbiór rozwiązań.

12 12 PIOTR STEFANIAK 3. Appendix To make this article self-contained we recall the definitions and properties of the Euler ring for a compact Lie group and the degree for G-invariant strongly indefinite functionals. Denote by F G) the class of pointed G-CW-complexes, see [?] for the definition, and by [X] the G-homotopy class of a pointed G-CW-complex X. Let F be the free abelian group generated by the pointed G-homotopy types of finite G-CW-complexes and N the subgroup of F generated by all elements [A] [X] + [X/A] for pointed G-CW-subcomplexes A of a pointed G-CW-complex X. Definicja 3.1. Put UG) = F/N and let χ G X) be the class of [X] in UG). The element χ G X) is said to be the G-equivariant Euler characteristic of a pointed G-CW-complex X. For X, Y F G) let [X Y ] denote a G-homotopy type of the wedge X Y F G). Since [X] [X Y ] + [X Y )/X] = [X] [X Y ] + [Y ] N χ G X) + χ G Y ) = χ G X Y ). 13) For X, Y F G) let X Y = X /X Y, The assignment X, Y ) X Y induces a product UG) UG) UG) given by χ G X) χ G Y ) = χ G X Y ). 14) If X is a G-CW-complex without a base point, then by X + we denote a pointed G-CWcomplex X { } and consequently we put χ G X) = χ G X + ). Lemat 15. UG), +, ) with an additive and multiplicative structures given by 13), 14), respectively, is a commutative ring with unit I = χ G G/G + ). We call UG), +, ) the Euler ring of G. Denote by sub[g] the set of conjugacy classes of subgroups of a group G. Lemat 16. UG), +) is a free abelian group with basis χ G G/K + ), K) sub[g]. See [?,?] for the complete definition and more properties of the Euler ring. An element of the Euler ring is the degree for G-invariant strongly indefinite functionals, we recall the definition and properties. Let H,, ) be an infinite-dimensional, separable Hilbert space which is an orthogonal G-representation. Denote by Γ = {τ n : H H : n N {0}} a sequence of G-equivariant orthogonal projections. Definicja 3.2. A set Γ is said to be a G-equivariant approximation scheme on H if 1) for every n N {0}, H n is a finite subrepresentation of the representation H, 2) H n+1 = H n H n+1 and H n H n+1, 3) for every u H lim n τ n u) = u. Assume that a1): Ω H is an open, bounded and G-invariant subset, a2): L: H H is a linear, bounded, self-adjoint, G-equivariant Fredholm operator satisfying the following assumptions: a) ker L = H 0,

13 b) π n L = L π n, for all n N {0}, a3): η : Ω H is a continuous, G-equivariant, compact operator, a4): Φ C 1 GΩ, R) satisfies the following assumptions: a) Φu) = Lu ηu), b) cl Φ) 1 0)) Ω =. Under the above assumptions define the degree for G-invariant strongly indefinite functionals by G - degl η, Ω) = G - degl, BH n H 0 ))) 1 G - degl π n η, Ω ϵ H n ), 15) where ϵ > 0 is sufficiently small and n N is sufficiently large, see [2] for details. Twierdzenie 17. The degree has the following properties: 1) a) if G - deg Φ, Ω) Θ UG), then Φ) 1 0) Ω, b) if Ω = Ω 1 Ω 2 and Ω 1, Ω 2 are open, disjoint and G-invariant sets, then G - deg Φ, Ω) = G - deg Φ, Ω 1 ) + G - deg Φ, Ω 2 ), c) if Ω 1 Ω is an open and G-invariant set and Φ) 1 0) Ω Ω 1, then G - deg Φ, Ω) = G - deg Φ, Ω 1 ), d) if 0 Ω and Φ C 2 GΩ, R) is such that Φ0) = 0 and 2 Φ0): H H is a G- equivariant self-adjoint isomorphism then there is γ 0 > 0 such that for every γ < γ 0 we have G - deg Φ, B γ H)) = G - deg Φ 2 0), BH)). 2) Fix Φ C 1 GH [0, 1], R) such that u Φ) 1 0) Ω [0, 1]) = and u Φu, t) = Lu u ηu, t), where u η : Ω [0, 1] H is G-equivariant and compact. Then G - deg u Φ, 0), Ω) = G - deg u Φ, 1), Ω). 3) Let Ω 1 H 1, Ω 2 H 2 be open, bounded and G-invariant subsets of G-representations H 1, H 2. Assume that the functionals Φ i C 1 GH i, R), i = 1, 2 are of the form Φ i u) = 1 2 L iu, u +η i u) and satisfy the assumptions a1)-a4). Define a functional Φ C 1 GH 1 H 2, R) by Φu 1, u 2 ) = Φu 1 ) + Φu 2 ) and set Ω = Ω 1 Ω 2. Then G - deg Φ, Ω) = G - deg Φ 1, Ω 1 ) G - deg Φ 2, Ω 2 ). Twierdzenie 18. Fix Φ C 2 GH Λ, R) such that u Φu, λ) = Lu u ηu, λ), where the mapping u η : Ω Λ H is G-equivariant and compact. Suppose that u Φ0, λ) = 0 for every λ Λ. If there exist γ 1, γ 2 > 0 such that G - deg u Φ, λ 1 ), B γ1 H)) G - deg u Φ, λ 2 ), B γ H)), then at every path joining 0, λ 1 ) and 0, λ 2 ) exists a global bifurcation point of solutions of the equation u Φu, λ) = 0. See [2] for properties of the degree and [1,?] for the definition of the degree for gradient G-equivariant maps. For the general theory of the equivariant degree we refer the reader to [?], [?]. 13

14 14 PIOTR STEFANIAK Literatura [1] K. Gȩba, Degree for gradient equivariant maps and equivariant Conley index, Birkhäuser, TNA, Degree, Singularity and Variations, Eds. M. Matzeu and A. Vignoli, Progr. in Nonl. Diff. Equat. and Their Appl. 27, Birkhäuser, 1997), [2] A. Gołębiewska, S. Rybicki, Global bifurcations of critical orbits of G-invariant strongly indefinite functionals, Nonl. Anal ), [3] D. Gurarie, Symmetries and Laplacians, Introduction to Harmonic Analysis, Group Representations and Applications, North-Holland Mathematics Studies 174, North-Holland, Amsterdam 1992). [4] S. Rybicki, A degree for S 1 -equivariant orthogonal maps and its applications to bifurcation theory, Nonl. Anal. TMA, ), [5] S. Rybicki, On Rabinowitz alternative for the Laplace-Beltrami operator on S n 1 : continua that meet infinity. Differential Integral Equations 96) 1996), [6] N. Shimakura, Partial differential operators of elliptic type, Translations of Mathematical Monographs, Vol. 99, Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island 1992). Faculty of Mathematics and Computer Science, Nicolaus Copernicus University, PL Toruń, ul. Chopina 12/18, Poland address: cstefan@mat.umk.pl