Algebra II Wykład 1. Definicja. Element a pierścienia R nazywamy odwracalnym, jeśli istnieje element b R taki, że ab = 1.
|
|
- Sabina Malinowska
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Algebra II Wykład 1 0. Przypomnienie Zbiór R z działaniami +, : R R R, wyróżnionymi elementami 0, 1 R i operacją : R R nazywamy pierścieniem, jeśli spełnione są następujące warunki: (1) a, b, c R : a + (b + c) = (a + b) + c, (2) a R : a + 0 = a = 0 + a, (3) a R : a + ( a) = 0 = ( a) + a, (4) a, b R : a + b = b + a, (5) a, b, c R : a(bc) = (ab)c, (6) a R : a 1 = a = 1 a, (7) a, b R : ab = ba, (8) a, b, c R : a(b + c) = ab + ac (a + b)c = ac + bc. Element a pierścienia R nazywamy dzielnikiem zera, jeśli a 0 oraz istnieje element b R, b 0, taki, że ab = 0. Pierścień R nazywamy dziedziną (całkowitości), jeśli 0 1 oraz w pierścieniu R nie ma dzielników zera. Stwierdzenie. Jeśli a, b i c są elementami dziedziny R takimi, że ac = bc oraz c 0, to a = b. Element a pierścienia R nazywamy odwracalnym, jeśli istnieje element b R taki, że ab = 1. Element a pierścienia R nazywamy nieodwracalnym, jeśli a 0 oraz element a nie jest odwracalny. Pierścień R nazywamy ciałem, jeśli 0 1 oraz w pierścieniu R każdy niezerowy element jest odwracalny.
2 Algebra II Wykład 2 Podzbiór I pierścienia R nazywamy ideałem (piszemy I R), jeśli spełnione są następujące warunki: (1) 0 I, (2) a, b I = a + b I, (3) a R b I = ab I. Ideał I pierścienia R nazywamy właściwym, jeśli I R. Najmniejszy ideał pierścienia R zawierający podzbiór X R nazywamy ideałem generowanym przez zbiór X i oznaczamy (X). Ideał I pierścienia R nazywamy głównym, jeśli istnieje element a R taki, że I = (a). Dziedzinę R nazywamy dziedziną ideałów głównych, jeśli wszystkie ideały w pierścieniu R są główne. Oznaczenie. Niech X i Y będą podzbiorami pierścienia R, a R. Definiujemy X + Y := {x + y x X, y Y }, a + X := {a + x x X}, Xa := {xa x X}. Stwierdzenie. Jeśli a 1,..., a n są elementami pierścienia R, to (a 1,..., a n ) = Ra Ra n. Podzbiór S pierścienia R nazywamy podpierścieniem, jeśli spełnione są następujące warunki: (1) 0, 1 S, (2) a, b S = a + b, ab S, (3) a S = a S.
3 Algebra II Wykład 3 Niech R i S będą pierścieniami. Funkcję ϕ : R S nazywamy homomorfizmem pierścieni jeśli ϕ(0) = 0, ϕ(1) = 1, ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b), ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b), dla dowolnych elementów a, b R. Jeśli ϕ : R S jest homomorfizmem pierścieni, to jądrem homomorfizmu ϕ nazywamy zbiór Ker ϕ := {a R ϕ(a) = 0}. Jeśli ϕ : R S jest homomorfizmem pierścieni, to zbiór Ker ϕ jest ideałem pierścienia R. Jeśli ϕ : R S jest homomorfizmem pierścieni, to obrazem homomorfizmu ϕ nazywamy zbiór Im ϕ := {ϕ(a) a R}. Jeśli ϕ : R S jest homomorfizmem pierścieni, to zbiór Im ϕ jest podpierścieniem pierścienia S. Homomorfizm pierścieni ϕ : R S nazywamy monomorfizmem, jeśli funkcja ϕ jest injekcją. Homomorfizm pierścieni ϕ : R S jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy Ker ϕ = 0 := {0}. Homomorfizm pierścieni ϕ : R S nazywamy epimorfizmem, jeśli funkcja ϕ jest surjekcją. Homomorfizm pierścieni ϕ : R S jest epimorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy Im ϕ = S.
4 Algebra II Wykład 4 Homomorfizm pierścieni ϕ : R S nazywamy izomorfizmem, jeśli istnieje homomorfizm ψ : S R taki, że ψϕ = Id R i ϕψ = Id S. Homomorfizm pierścieni ϕ : R S jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy jest monomorfizmem i epimorfizmem. Jeśli I jest ideałem pierścienia R, to w zbiorze R/I := {a + I a R} definiujemy działania (a + I) + (b + I) := (a + b) + I, (a + I)(b + I) := ab + I. Definicje te są poprawne oraz definiują w zbiorze R/I strukturę pierścienia, z elementami wyróżnionymi 0 + I i 1 + I, oraz operacją (a + I) := a + I, nazywanego pierścieniem ilorazowym. Odwzorowanie R R/I, a a + I, jest epimorfizmem pierścieni, który nazywany naturalnym rzutowaniem. Ideał I pierścienia R nazywamy pierwszym, jeśli I R oraz spełniony jest warunek ab I = a I b I. Ideał I pierścienia R jest pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień R/I jest dziedziną. Ideał I pierścienia R nazywamy maksymalnym, jeśli I R oraz spełniony jest warunek J R I J = J = I J = R. Ideał I pierścienia R jest maksymalny wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień R/I jest ciałem. Każdy ideał maksymalny jest pierwszy.
5 Algebra II Wykład 5 Jeśli I jest ideałem właściwym pierścienia R, to istnieje ideał maksymalny J pierścienia R taki, że I J.
6 Algebra II Wykład 6 Motywacja teoria podzielności Twierdzenie. Jeśli n N, n 2, to istnieją jednoznacznie wyznaczone liczby pierwsze p 1 < < p k, k 1, oraz wykładniki α 1,..., α k > 0 takie, że n = p α 1 1 p α k k. Twierdzenie. Jeśli f C[X] jest wielomianem unormowanym stopnia dodatniego, to istnieją jednoznacznie wyznaczone (z dokładnością do porządku) unormowane wielomiany f 1,..., f k, k 1, stopnia 1 takie, że f = f 1 f k. Motywacja teoria modułów Twierdzenie. Jeśli G jest skończenie generowaną grupą abelową, to istnieją jednoznacznie wyznaczone liczby pierwsze p 1 < < p k, k 0, oraz wykładniki α 0, α i,1 α i,li > 0, l i > 0, i = 1,..., k, takie, że G Z α k i=1 l i j=1 Z α p i,j. i Literatura (1) Thomas Hungerford, Algebra. (2) Karlheinz Spindler, Abstract Algebra with Applications, vol. II, Rings and Fields. (3) Jerzy Browkin, Teoria ciał.
7 Algebra II Wykład 7 1. Teoria podzielności w dziedzinach Założenie. Przez cały paragraf R oznaczać będzie dziedzinę. Mówimy, że element a R dzieli element b R (piszemy a b), jeśli istnieje element c R taki, że b = ca. Oznaczenie. Jeśli a, b, c R, a 0, to b := c (przypomnijmy, że element c jest jednoznacznie a wyznaczony). Jeśli a R, to a a ( a a = 1), 1 a ( a 1 = a) oraz a 0 ( 0 a = 0). Jeśli a, b, c R, a b oraz b c, to a c. Mówimy, że elementy a, b R są stowarzyszone (piszemy a b), jeśli a b i b a. Niech a, b Z. Wtedy a b wtedy i tylko wtedy, gdy a = ±b. Jeśli a R, to a 1 wtedy i tylko wtedy, gdy element a jest odwracalny. Zatem a 1 wtedy i tylko wtedy, gdy element a jest odwracalny. Jeśli a R, to 0 a wtedy i tylko wtedy, gdy a = 0. Zatem a 0 wtedy i tylko wtedy, gdy a = 0.
8 Algebra II Wykład 8 Stwierdzenie 1.1. Jeśli a, b R, to: (1) a b wtedy i tylko wtedy, gdy (b) (a), (2) a b wtedy i tylko wtedy, gdy (a) = (b), (3) jest relacją równoważności, (4) a b wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje element odwracalny c R taki, że a = cb, (5) element a jest odwracalny wtedy i tylko wtedy, gdy a c dla wszystkich elementów c R, (6) element a jest odwracalny wtedy i tylko wtedy, gdy (a) = R. (1) a b c R : b = ca b Ra = (a) (b) (a). (2) Wynika natychmiast z punktu (1). (3) Wynika natychmiast z punktu (2). (4) Gdy a = 0, to teza jest oczywista, więc załóżmy, że a 0. Jeśli a b, to istnieją elementy c, d R takie, że a = cb oraz b = da. Wtedy a = (cd)a, więc cd = 1, zatem element c jest odwracalny. Jeśli a = cb dla elementu odwracalnego c R, to oczywiście b a. Ponadto istnieje element d R taki, że dc = 1. Wtedy b = dcb = da, więc a b, zatem a b. (5) Teza wynika z faktu, że a c dla dowolnego elementu c R wtedy i tylko wtedy, gdy a 1 (6) Element a jest odwracalny wtedy i tylko wtedy, gdy a 1, a więc wtedy i tylko wtedy, gdy (a) = (1) = R. Element p R nazywamy nierozkładalnym, jeśli element p jest nieodwracalny oraz, jeśli a p, to a p lub element a jest odwracalny. Ostatni warunek powyższej definicji jest równoważny każdemu z dwóch poniższych warunków: (1) jeśli p = ab, to jeden z elementów a i b jest odwracalny, (2) jeśli p = ab, to a p lub b p. Element p R nazywamy pierwszym, jeśli element p jest nieodwracalny oraz, jeśli p ab, to p a lub p b.
9 Algebra II Wykład 9 p Z jest elementem nierozkładalnym wtedy i tylko wtedy, gdy jest elementem pierwszym, oraz wtedy i tylko wtedy, gdy jedna z liczb p i p jest pierwsza. Niech Z[ 5] := {a + b 5 a, b Z}. Wtedy 2 jest elementem nierozkładalnym w dziedzinie Z[ 5], ale nie jest elementem pierwszym.
10 Algebra II Wykład 10 Stwierdzenie 1.2. Jeśli p R, p 0, to: (1) element p jest pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy ideał (p) jest pierwszy, (2) element p jest nierozkładalny wtedy i tylko wtedy, gdy (p) R oraz spełniony jest warunek (p) (a) = (a) = (p) (a) = R, (3) jeśli element p jest pierwszy, to element p jest nierozkładalny, (4) jeśli R jest dziedziną ideałów głównych oraz element p jest nierozkładalny, to element p jest pierwszy, (5) jeśli element p jest pierwszy oraz q p, to element q jest pierwszy, (6) jeśli element p jest nierozkładalny oraz q p, to element q jest nierozkładalny. (1) Zauważmy, iż warunek, że element p nieodwracalny, jest równoważny warunkowi (p) R na mocy Stwierdzenia 1.1 (6). Podobnie, warunek p ab = p a p b jest równoważny warunkowi ab (p) = a (p) b (p) na mocy Stwierdzenia 1.1 (1). (2) Musimy sprawdzić, że warunek a p = a p element a jest odwracalny, jest równoważny warunkowi (p) (a) = (a) = (p) (a) = R, co wynika ze Stwierdzenia 1.1 (1), (2) oraz (6). (3) Przypuśćmy, że element p jest pierwszy. Musimy pokazać, że jeśli p = ab, to a p lub b p. Ponieważ element p jest pierwszy, więc w powyższej sytuacji p a lub p b. W pierwszym przypadku p a, w drugim zaś p b.
11 Algebra II Wykład 11 (4) Jeśli R jest dziedziną ideałów głównych oraz element p jest nierozkładalny, to ideał (p) jest maksymalny na mocy punktu (2), więc jest także pierwszy, zatem element p jest pierwszy na mocy punktu (1). (5) Wynika ze Stwierdzenia 1.1 (2) oraz punktu (1) (zauważmy, że q 0, gdyż p 0). (6) Wynika ze Stwierdzenia 1.1 (2) oraz punktu (2) (zauważmy, że q 0, gdyż p 0).
12 Algebra II Wykład 12 Dziedzinę R nazywamy dziedziną z rozkładem, jeśli dla każdego nieodwracalnego elementu a R, istnieją elementy nierozkładalne p 1,..., p k R, takie, że a = p 1 p k. Dziedzinę z rozkładem R nazywamy dziedziną z jednoznacznością rozkładu, jeśli dla dowolnych elementów nierozkładalnych p 1,..., p k, q 1,..., q l R takich, że p 1 p k = q 1 q l, mamy k = l oraz istnieje permutacja σ zbioru {1,..., k} taka, że p i q σ(i), i = 1,..., k. Pierścień Z[ 5] jest dziedziną z rozkładem, która nie dziedziną z jednoznacznością rozkładu. Lemat 1.3. Jeśli p, q 1,..., q k są elementami nierozkładalnymi dziedziny z jednoznacznością rozkładu R takimi, że p q 1 q k, to istnieje i {1,..., k} takie, że p q i. Istnieje element a R taki, że pa = q 1 q k. Oczywiście a 0. Jeśli element a jest odwracalny, to element pa jest nierozkładalny na mocy Stwierdzeń 1.1 (4) oraz 1.2 (6), więc z jednoznaczności rozkładu wynika, że k = 1 i p pa = q 1. W szczególności p q 1. Jeśli element a jest nieodwracalny, to istnieją elementy nierozkładalne p 1,..., p l R takie, że a = p 1 p l. Wtedy pp 1 p l = q 1 q k, więc z jednoznaczności rozkładu wynika, że p q i dla pewnego i {1,..., k}. W szczególności p q i, co kończy dowód. Lemat 1.4. W dziedzinie z jednoznacznością rozkładu element jest pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy jest nierozkładalny. Wiemy już, że elementy pierwsze są nierozkładalne (Stwierdzenie 1.2 (3)). Przypuśćmy, że element p dziedziny R z jednoznacznością rozkładu jest nierozkładalny. Musimy pokazać, że jeśli p ab, to p a lub a b. Jeśli a = 0 lub b = 0, to teza jest oczywista. Podobnie jest, gdy jeden z elementów a i b jest odwracalny. Zatem możemy założyć, że elementy a i b są nieodwracalne. Wtedy istnieją elementy nierozkładalne q 1,..., q k, q k+1,..., q k+l R, k, l > 0, takie, że a = q 1 q k oraz b = q k+1 q k+l. Wtedy p q 1 q k+l, więc na mocy poprzedniego lematu istnieje i {1,..., k + l} takie, że p q i. Jeśli i k, to p a, w przeciwnym wypadku p b.
13 Algebra II Wykład 13 Lemat 1.5. Jeśli elementy p 1,..., p k, q 1,..., q l R są pierwsze oraz p 1 p k = q 1 q l, to k = l oraz istnieje permutacja σ zbioru {1,..., k} zbioru taka, że p i q σ(i) dla i = 1,..., k. Indukcja ze względu na k. Ponieważ p k q 1 q l, więc p k q i dla pewnego i {1,..., l}. Bez straty ogólności możemy założyć, że i = l. Ponieważ, element q l jest nierozkładalny na mocy Stwierdzenia 1.2 (3), więc p k q l, zatem na mocy Stwierdzenia 1.1 (4) istnieje element odwracalny a R taki, że q l = ap k. Wtedy p 1 p k 1 p k = q 1 q l 1 ap k. Załóżmy najpierw, że k = 1. Gdyby l > 1, to otrzymalibyśmy, że 1 = q 1 q l 1 a, co jest niemożliwe, gdyż element q 1 jest nieodwracalny. Zatem l = 1, co kończy dowód w tym przypadku. Załóżmy teraz, że k > 1. Gdyby l = 1, to podobnie jak wcześniej wykorzystując równość p 1 p k 1 = a otrzymalibyśmy sprzeczność. Zatem l > 1. Definiujemy q 1 := q 1,..., q l 2 := q l 2, q l 1 := q l 1a. Wtedy elementy q 1,..., q l 1 są pierwsze (Stwierdzenie 1.2 (6)) oraz p 1 p k 1 = q 1 q l 1. Z założenia indukcyjnego k 1 = l 1 oraz istnieje permutacja σ zbioru {1,..., k 1} taka, że p i q σ(i) q σ(i) dla i = 1,..., k 1, co kończy dowód. Wniosek 1.6. Dziedzina z rozkładem R jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element nierozkładalny w dziedzinie R jest pierwszy. Istnieją przykłady dziedzin, w których każdy element nierozkładalny jest pierwszy, ale które nie są dziedzinami z rozkładem. Lemat 1.7. Jeśli I 1, I 2,... są ideałami dziedziny ideałów głównych R takimi, że I i I i+1 dla i = 1, 2,..., to istnieje k > 0 takie, że I i = I k dla i = k, k + 1,.... Niech I := i 1 I i. Wtedy I R (!). Pierścień R jest dziedziną ideałów głównych, więc istnieje element a R taki, że I = (a). Istnieje k > 0 takie, że a I k. Wtedy I i I = (a) I k I i dla i = k, k + 1,..., co kończy dowód. Oznaczenie. Niech S będzie zbiorem takich elementów nieodwracalnych a R, dla których nie istnieją elementy nierozkładalne p 1,..., p k R takie, że a = p 1 p k.
14 Algebra II Wykład 14 Lemat 1.8. Istnieje funkcja f : S S taka, że (a) (f(a)) dla każdego a S. Ustalmy element a S. Element a nie jest nierozkładalny, więc istnieją elementy b, c R takie, że a = bc oraz b, c a. W szczególności (a) (b) oraz (a) (c). Ponadto b S lub c S. Lemat 1.9. Jeśli pierścień R jest dziedziną ideałów głównych, to pierścień R jest dziedziną z rozkładem. Musimy pokazać, że S =. Przypuśćmy, że S oraz ustalmy element a S. Niech I i := (f i 1 (a)) dla i = 1, 2,.... Wtedy I i I i+1 dla i = 1, 2,..., co jest sprzeczne z Lematem 1.7. Twierdzenie Jeśli pierścień R jest dziedziną ideałów głównych, to pierścień R jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu. Ponieważ każdy element nierozkładalny dziedziny R jest pierwszy na mocy Stwierdzenia 1.2 (4), więc teza wynika z poprzedniego lematu oraz Wniosku 1.6. Dziedzinę R nazywamy dziedziną Euklidesa, jeśli istnieje funkcja ϕ : R N taka, że (1) ϕ(a) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy a = 0, (2) jeśli a, b R i b 0, to istnieją elementy c, d R takie, że a = cb + d oraz ϕ(d) < ϕ(b). Dowolne ciało K wraz z funkcją K N, a 1, gdy a 0, oraz a 0, gdy a = 0, jest dziedziną Euklidesa. Z wraz z funkcją Z N, n n, jest dziedziną Euklidesa. Z[ı] wraz z funkcją Z[ı] N, a + bı a 2 + b 2, jest dziedziną Euklidesa.
15 Algebra II Wykład 15 Twierdzenie Każda dziedzina Euklidesa jest dziedziną ideałów głównych. W szczególności, każda dziedzina Euklidesa jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu. Niech I R. Możemy założyć, że I 0. Wybierzmy element a I taki, że ϕ(a) = min{ϕ(b) b I, b 0}. Wtedy I = (a). Istotnie, oczywiście (a) I. Z drugiej strony, gdy b I, to istnieją elementy c, d R takie, że b = ca + d i ϕ(d) < ϕ(a). Wtedy d = b ca I, więc z wyboru elementu a wynika, że d = 0. Zatem b = ca Ra = (a), co kończy dowód. Z[ 1+ 19i 2 ] jest dziedziną ideałów głównych, która nie jest dziedziną Euklidesa. Lemat Niech a będzie niezerowym elementem dziedziny z rozkładem R. Załóżmy, że elementy p 1,..., p k R są nierozkładalne oraz takie, że jeśli element q R jest nierozkładalny oraz q a, to istnieje j takie, że q p j. W powyższej sytuacji istnieją wykładniki α 1,..., α k 0 oraz element odwracalny b R takie, że a = bp α 1 1 p α k k. Jeśli element a jest odwracalny, to b := a oraz α i := 0, i = 1,..., k. Jeśli element a jest nieodwracalny, to istnieją elementy nierozkładalne q 1,..., q l R takie, że a = q 1 q l. Z własności elementów p 1,..., p k wynika, że dla każdego i = 1,..., l istnieją element nierozkładalny b i R oraz j i {1,..., k} takie, że q i = b i p ji. Wtedy b := b 1 b k oraz α j := {i {1,..., l} j i = j}.
16 Algebra II Wykład 16 Lemat Jeśli R jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu, element a R jest odwracalny, elementy p 1,..., p k R są nierozkładalne i parami niestowarzyszone, α 1,..., α k 0, i b ap α 1 1 p α k k, to istnieją wykładniki β i {0,..., α i }, i = 1,..., k, oraz element nierozkładalny c R takie, że b = cp β 1 1 p β k k. Niech q R będzie elementem nierozkładalnym takim, że q b. Wtedy q ap α 1 1 p α k k. Ponieważ q jest elementem pierwszym, więc istnieje i {1,..., k} takie, że q p i (q a, gdyż element q nie jest odwracalny). Ponieważ element p i jest nierozkładalny, więc q p i. Z poprzedniego lematu wynika zatem, że istnieją element odwracalny c R oraz wykładniki β 1,..., β k 0 takie, ze b = cp β 1 1 p β k k. Gdyby β i > α i dla pewnego i, to p i ap α 1 1 p α i 1 i 1 pα i+1 i+1 pα k k, co prowadziłoby do wniosku, że p i p j dla j i, a więc do sprzeczności. Wniosek Jeśli R jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu, elementy a, b R są nieodwracalne, elementy p 1,..., p k R są nierozkładalne i parami niestowarzyszone, α 1,..., α k, β 1,..., β k 0, oraz ap α 1 1 p α k k = bp β 1 1 p β k k to a = b oraz α i = β i, i = 1,..., k. Niech X będzie podzbiorem dziedziny R. Element a R nazywamy największym wspólnym dzielnikiem elementów zbioru X wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są następujące warunki: (1) a b dla wszystkich b X, (2) jeśli c b dla wszystkich b X, to c a. Jeśli element a dziedziny R jest największym wspólnym dzielnikiem elementów zbioru X R, to element b R jest największym wspólnym dzielnikiem elementów zbioru X wtedy i tylko wtedy, gdy b a. Jeśli 1 jest największym wspólnym dzielnikiem elementów zbioru X R, to mówimy, że elementy zbioru X są względnie pierwsze.
17 Algebra II Wykład 17 Stwierdzenie Niech a 1,..., a k będą elementami dziedziny z jednoznacznością rozkładu R. (1) Istnieje największy wspólny dzielnik elementów a 1,..., a k. Dokładniej, jeśli a i = b i p α i,1 1 p α i,l l, i = 1,..., k, dla elementów nieodwracalnych b 1,..., b k, parami niestowarzyszonych elementów nierozkładalnych p 1,..., p l oraz wykładników α i,j 0, i = 1,..., k, j = 1,..., l, to p min(α 1,1,...,α k,1 ) 1 p min(α 1,l,...,α k,l ) l jest największym wspólnym dzielnikiem elementów a 1,..., a k. (2) Jeśli R jest dziedzina ideałów głównych, to element b R jest największym wspólnym dzielnikiem elementów a 1,..., a k wtedy i tylko wtedy, gdy (b) = (a 1 ) + + (a k ). (1) Wynika bezpośrednio z Lematu (2) Teza wynika z obserwacji, że c a i, i = 1,..., k, wtedy i tylko wtedy, gdy (c) (a 1 ) + + (a k ). Jeśli elementy a i b dziedziny z jednoznacznością rozkładu są względnie pierwsze i a bc, to a c. Niech b R będzie największym wspólnym dzielnikiem elementów a 1,..., a k R. Jeśli element c R, c 0, jest wspólnym dzielnikiem elementów a 1,..., a k, to element b jest największym wspólnym dzielnikiem elementów a 1 c c,..., a k c. Ponieważ b a i dla i = 1,..., k, więc b jest wspólnym dzielnikiem elementów c a 1 c,..., a k c. Ponadto, jeśli d jest wspólnym dzielnikiem elementów a 1 c,..., a k d, to dc jest wspólnym dzielnikiem elementów a 1,..., a k, więc dc b, skąd d b, c co kończy dowód.
18 Algebra II Wykład 18 Niech a 1,..., a k będą elementami dziedziny z jednoznacznością rozkładu R. Jeśli element b R jest największym wspólnym dzielnikiem elementów a 1,..., a k, to dla dowolnego elementu a R element ab jest największym wspólnym dzielnikiem elementów aa 1,..., aa k. Jeśli a = 0, to teza jest oczywista. Załóżmy zatem, że a 0. Niech c będzie największym wspólnym dzielnikiem elementów aa 1,..., aa k. Wtedy z poprzedniej uwagi wynika, że element c jest największym wspólnym dzielnikiem elementów a 1,..., a k, zatem c b, co kończy dowód. a a
19 Algebra II Wykład Teoria podzielności w pierścieniach wielomianów Założenie. Przez cały paragraf R oznaczać będzie dziedzinę. Twierdzenie 2.1 (Algorytm dzielenia). Jeśli F, G R[X], G 0, oraz współczynnik wiodący wielomianu G jest odwracalny, to istnieją jednoznacznie wyznaczone wielomiany Q, H R[X] takie, że F = QG + H i deg P < deg H. Istnienie wielomianów Q i H udowodnimy poprzez indukcję ze względu na deg F. Jeśli deg F < deg G, to kładziemy Q := 0 i P := F. Przypuśćmy teraz, że k := deg F deg G =: l. Niech a będzie współczynnikiem wiodącym wielomianu F oraz niech b będzie współczynnikiem wiodącym wielomianu G. Dla c := b 1 a mamy deg(f cx k l G) < deg F, więc na mocy założenia indukcyjnego istnieją wielomiany Q, H R[X] takie, że F cx k l G = QG + H i deg H < deg G. Wtedy F = (cx n m + Q)G + H. Dla dowodu jednoznaczności załóżmy, że Q 1 G + H 1 = Q 2 G + H 2 dla Q 1, Q 2, H 1, H 2 R[X], przy czym deg H 1, deg H 2 < deg G. Wtedy (Q 1 Q 2 )G = H 2 H 1, więc deg(q 1 Q 2 ) + deg G = deg((q 1 Q 2 )G) = deg(h 2 H 1 ) < deg G, co jest możliwe tylko, gdy deg(q 1 Q 2 ) =, więc Q 1 = Q 2, skąd też H 1 = H 2. Wniosek 2.2. Jeśli K jest ciałem, to pierścień K[X] jest dziedziną Euklidesa. W szczególności, pierścień K[X] jest dziedziną ideałów głównych oraz dziedziną z jednoznacznością rozkładu. Wystarczy rozważyć funkcję K[X] N, F 2 deg F. Wniosek 2.3 (Twierdzenie o reszcie). Jeśli F R[X] oraz a R, to istnieje wielomian Q R[X] taki, że F = (X a)q + F (a).
20 Algebra II Wykład 20 Mówimy, że element a R jest pierwiastkiem wielomianu F R[X], jeśli F (a) = 0. Twierdzenie 2.4. Jeśli F R[X], to element a R jest pierwiastkiem wielomianu F wtedy i tylko wtedy, gdy X a F. Jeśli element a R jest pierwiastkiem wielomianu F, to X a F na mocy powyższego wniosku. Z drugiej strony, gdy X a F, to istnieje wielomian Q 1 R[X] taki, że F = Q 1 (X a). Z poprzedniego wniosku wiemy też, że istnieje wielomian Q 2 R[X] taki, że F = Q 2 (X a) + F (a). Ponieważ deg 0, deg F (a) < deg(x a), więc z Twierdzenia 2.1 wynika, że F (a) = 0. Konstrukcja. Definiujemy gdzie K := (R R \ {0})/ (a, b) (c, d) : ad = bc. Oznaczamy a := [(a, b)] b. W zbiorze K definiujemy działania + i wzorami a + c ad+bc :=, b d bd a c ac :=. b d bd Zbiór K wraz z powyższymi działaniami, elementami wyróżnionymi 0 i 1, 1 1 oraz operacją a a, jest ciałem, który nazywamy ciałem ułamków b b dziedziny R. Funkcja R a a 1 K jest monomorfizmem pierścieni. Odtąd będziemy utożsamiać obraz tego przekształcenia z dziedziną R i traktować dziedzinę R jako podpierścień ciała K. Zauważmy, że jeśli a = bc, to a b = c 1 = c.
21 Algebra II Wykład 21 Stwierdzenie 2.5. Niech R będzie dziedziną z jednoznacznością rozkładu, F R[X] i k := deg F > 0. Niech a k będzie współczynnikiem wiodącym wielomianu F i niech a 0 będzie wyrazem wolnym wielomianu F. Jeśli elementy b, c R, c 0, są względnie pierwsze oraz b c jest pierwiastkiem wielomianu F, to b a 0 i c a k. Niech F = a k X k + a k 1 X k a 1 X + a 0. Równość F ( b ) = 0 implikuje równości c a 0 c k = b(a k b k 1 + a k 1 b k 2 c + + a 1 c k 1 ), a k b k = c(a k 1 b k a 1 bc k 2 + a 0 c k 1 ), co kończy dowód. (1) Wielomian F R[X] jest elementem odwracalnym w dziedzinie R[X] wtedy i tylko wtedy, gdy deg F = 0 oraz element F jest odwracalny w dziedzinie R. (2) Jeśli element a jest nierozkładalny w dziedzinie R, to wielomian a jest nierozkładalny w dziedzinie R[X]. (3) Jeśli element a R jest odwracalny oraz b R, to wielomian ax + b jest nierozkładalny w dziedzinie R[X]. (1) Wielomian 2X + 2 jest rozkładalny w dziedzinie Z[X], ale jest nierozkładalny w dziedzinie Q[X]. (2) Wielomian X jest nierozkładalny w dziedzinie R[X], ale jest rozkładalny w dziedzinie C[X]. Niech R będzie dziedziną z jednoznacznością rozkładu oraz F = a k X k + a k 1 X k a 0 R[X]. Wielomian F nazywamy prymitywnym, jeśli elementy a k,..., a 0 są względnie pierwsze.
22 Algebra II Wykład 22 Jeśli R jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu oraz F R[X], to istnieje wielomian prymitywny F 1 R[X] oraz element a R taki, F = af 1. Oczywiście a 0, gdy F 0. Jeśli R jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu oraz wielomian F R[X] jest nierozkładalny stopnia dodatniego, to wielomian F jest prymitywny. Niech R będzie dziedziną z jednoznacznością rozkładu z ciałem ułamków K. Dla wielomianu F K[X] istnieją elementy a, b R[X], a 0, oraz wielomian prymitywny F 1 R[X] takie, że af = bf 1. Oczywiście, gdy F 0, to b 0. Lemat 2.6 (Gauss). Jeśli R jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu oraz wielomiany F, G R[X] są prymitywne, to wielomian F G jest prymitywny. Niech Wtedy gdzie F = a k X k + a k 1 X k a 0, G = b l X l + b l 1 X l b 0. F G = c k+l X k+l + c k+l 1 X k+l c 0, c k = a 0 b k + a 1 b k a k b 0. Ustalmy element nierozkładalny p R[X]. Istnieją i 0, j 0 0 takie, że p a 0,..., a i0 1, p a i0, p b 0,..., b j0 1, p b j0. Wtedy p c i0 +j 0, gdyż p jest elementem pierwszym. Istotnie p a i b j dla (i, j) (i 0, j 0 ), i + j = i 0 + j 0, oraz p a i0 b i0. Z dowolności elementu p wynika, że wielomian F G jest prymitywny.
23 Algebra II Wykład 23 Lemat 2.7. Niech R będzie dziedziną z jednoznacznością rozkładu z ciałem ułamków K. Jeśli wielomiany F, G R[X] są prymitywne w pierścieniu R[X], to wielomiany F i G są stowarzyszone w pierścieniu R[X] wtedy i tylko wtedy, gdy wielomiany F i G są stowarzyszone w pierścieniu K[X]. Oczywiście jeśli wielomiany F i G są stowarzyszone w pierścieniu R[X], to są stowarzyszone w pierścieniu K[X]. Przypuśćmy, że wielomiany F i G są stowarzyszone w pierścieniu K[X]. Wtedy istnieją elementy niezerowe a, b R takie, że af = bg. Elementy a i b są stowarzyszone w dziedzinie R, gdyż a jest największym wspólnym dzielnikiem współczynników wielomianu af, zaś b jest największym wspólnym dzielnikiem współczynników wielomianu bg. Zatem istnieje element odwracalny u R taki, że a = bc. Wtedy bg = af = bcf, skąd G = cf, co kończy dowód. Lemat 2.8. Niech R będzie dziedziną z jednoznacznością rozkładu z ciałem ułamków K. Jeśli wielomian F R[X] jest prymitywny, to wielomian F jest nierozkładalny w dziedzinie R[X] wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian F jest nierozkładalny w dziedzinie K[X]. Załóżmy, że wielomian F jest nierozkładalny w dziedzinie R[X]. Ponieważ wielomian F jest prymitywny i nieodwracalny w dziedzinie R[X], więc jest nieodwracalny w dziedzinie K[X]. Załóżmy, że F = GH dla pewnych wielomianów G, H K[X]. Oczywiście G, H 0. Ustalmy niezerowe elementy a, b, c i d dziedziny R oraz wielomiany prymitywne G 1, H 1 R[X] takie, że ag = cg 1 oraz bh = dh 1. Wtedy abf = cdg 1 H 1, więc wielomiany F i G 1 H 1 są stowarzyszone w dziedzinie K[X]. Ponieważ wielomiany F i G 1 H 1 są prymitywne, więc na mocy poprzedniego lematu są one stowarzyszone w dziedzinie R[X]. Nierozkładalność wielomianu F w dziedzinie R[X] oznacza, że deg G = deg G 1 = 0 lub deg H = deg H 1 = 0, co kończy dowód tej implikacji. Załóżmy, że wielomian F jest nierozkładalny w dziedzinie K[X]. Oczywiście wtedy wielomian F jest nieodwracalny w dziedzinie R[X]. Załóżmy zatem, że F = GH dla pewnych wielomianów G, H R[X]. Wtedy, bez straty ogólności można założyć, że deg G = 0, tzn. G R. Wtedy G 1, więc element G jest odwracalny w pierścieniu R, a więc także w pierścieniu R[X].
24 Algebra II Wykład 24 Lemat 2.9. Niech R będzie dziedziną z jednoznacznością rozkładu. Jeśli wielomian F R[X] jest prymitywny i deg F > 0, to istnieją wielomiany nierozkładalne G 1,..., G k R[X] takie, że F = G 1 G k. Niech K będzie ciałem ułamków dziedziny R. Z Wniosku 2.2 wynika, że istnieją wielomiany nierozkładalne G 1,..., G k K[X] takie, że F = G 1 G k. Ustalmy niezerowe elementy a 1, b 1,..., a k, b k R oraz wielomiany prymitywne G 1,..., G k R[X] takie, że a i G i = b i G i dla i = 1,..., k. Wtedy a 1 a k F = b 1 b k G 1 G k, zatem wielomiany F oraz G 1 G k są stowarzyszone w dziedzinie K[X], a więc także w dziedzinie R[X] na mocy Lematu 2.7. Ponieważ wielomiany G 1,..., G k są nierozkładalne na mocy poprzedniego lematu, to kończy dowód. Wniosek Jeśli R jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu, to R[X] jest dziedziną z rozkładem. Ustalmy wielomian nieodwracalny F R[X]. Istnieją element a R oraz wielomian prymitywny F 1 R[X] takie, że F = af 1. Jeśli deg F = 0, to możemy założyć, że F 1 = 1, i element a jest nieodwracalny. Ponieważ R jest dziedziną z rozkładem, więc istnieją elementy a 1,..., a l R nierozkładalne w dziedzinie R (a więc także w dziedzinie R[X]) takie, że F = a = a 1 a l. Gdy deg F > 0, to z poprzedniego lematu wiemy, że istnieją wielomiany nierozkładalne G 1,..., G k R[X] takie, że F = G 1 G k. Jeśli element a jest odwracalny, to możemy założyć, że a = 1, a więc F = G 1 G k. W przeciwnym wypadku istnieją elementy nierozkładalne a 1,..., a l R takie, że a = a 1 a l, co kończy dowód.
25 Algebra II Wykład 25 Lemat Niech R będzie dziedziną z jednoznacznością rozkładu z ciałem ułamków K. Jeśli wielomian F R[X] jest prymitywny, G R[X] i F G w dziedzinie K[X], to F G w dziedzinie R[X]. Oczywiście, gdy G = 0, to teza jest oczywista. Załóżmy zatem, że G 0. Istnieje wielomian H K[X], H 0 taki, że F H = G. Wiemy, że istnieją niezerowe elementy a, b, c R oraz wielomiany prymitywne G 1, H 1 R[X] takie, że ah = bh 1 oraz G = cg 1. Wtedy bf H 1 = acg 1, więc wielomiany F H 1 i G 1 są stowarzyszone w dziedzinie K[X], zatem także w dziedzinie R[X] (Lemat 2.7). W szczególności F G 1, a więc także F G w dziedzinie R[X]. Lemat Jeśli R jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu oraz wielomian F R[X] jest nierozkładalny, to wielomian F jest pierwszy. Przypuśćmy, że F GH. Ustalmy elementy a, b R oraz wielomiany prymitywne G 1, H 1 R[X] takie, że G = ag 1 i H = bh 1. Wtedy ab jest największym wspólnym dzielnikiem współczynników wielomianu GH = abg 1 H 1, więc jeśli deg F = 0, to F ab. Ponieważ w tym przypadku element F jest nierozkładalny, zatem pierwszy, w dziedzinie R, więc F a lub F b, co implikuje, że F G lub F H. Gdy deg F > 0, to wielomian F jest prymitywny, a więc nierozkładalny w dziedzinie K[X] na mocy Lematu 2.8, gdzie K jest ciałem ułamków dziedziny R. Ponieważ pierścień K[X] jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu (Wniosek 2.2), więc wielomian F jest pierwszy w dziedzinie K[X], skąd F G lub F H w dziedzinie K[X]. Zatem teza wynika z Lematu Wniosek Jeśli R jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu, to pierścień R[X] jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu. Przypomnijmy, że na mocy Wniosku 1.6 dziedziny z jednoznacznością rozkładu to dziedziny z rozkładem, w których elementy nierozkładalne są pierwsze. Wniosek Niech R będzie dziedziną z jednoznacznością rozkładu oraz k 1, to pierścień R[X 1,..., X k ] jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu.
26 Algebra II Wykład 26 Wniosek Jeśli K jest ciałem oraz k 1, to pierścień K[X 1,..., X k ] jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu. Pierścień Z[X] jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu, która nie jest dziedziną ideałów głównych. Twierdzenie 2.16 (Kryterium Eisensteina I). Niech R będzie dziedziną z jednoznacznością rozkładu. Jeśli F = a k X k + a k 1 X k a 0 R[X], k 1, jest wielomianem prymitywnym oraz istnieje element nierozkładalny p R taki, że p a k, p a k 1,..., p a 0, p 2 a 0, to wielomian F jest nierozkładalny w pierścieniu R[X]. Przypuśćmy, że F = GH dla G R[X]. Zauważmy, że wielomiany G i H są prymitywne. Zapiszmy G = b i X i + + b 0, H = c j X j + + c 0. Wtedy p b 0 c 0 oraz p 2 b 0 c 0, więc bez straty ogólności możemy założyć, że p b 0 oraz p c 0. Ponieważ wielomian H jest prymitywny, więc l 0 := min{l p b l } jest dobrze zdefiniowane. Wtedy p b l0 c 0 + b l0 1c b 0 c l0 = a l0, więc l 0 = k, skąd deg G = k, deg H = 0. Ponadto prymitywność wielomianu F implikuje, że element H jest odwracalny w pierścieniu R, a więc także w pierścieniu R[X].
27 Algebra II Wykład 27 Wniosek 2.17 (Kryterium Eisensteina II). Niech R będzie dziedziną z jednoznacznością rozkładu i ciałem ułamków K. Jeśli F = a k X k + a k 1 X k a 0 R[X], k 1, oraz istnieje element nierozkładalny p R taki, że p a k, p a k 1,..., p a 0, p 2 a 0, to wielomian F jest nierozkładalny w pierścieniu K[X]. Ustalmy element a R oraz wielomian prymitywny F 1 F = af 1. Jeśli R[X] takie, że F 1 = b k X k + b k 1 X k b 0, to p b k, p b k 1,..., p b 0, p 2 b 0, gdyż p a (zauważmy, że a i = ab i, i = 0,..., k). Z poprzedniego twierdzenia wielomian F 1 jest nierozkładalny w dziedzinie R[X], a więc także w dziedzinie K[X] na mocy Lematu 2.8. Ponieważ element a jest odwracalny w ciele K, więc oznacza to, że wielomian F jest nierozkładalny w dziedzinie K[X].
28 Algebra II Wykład Moduły i ich homomorfizmy Założenie. Przez cały paragraf R oznaczać będzie pierścień. R-modułem nazywamy grupę abelową M wraz z funkcją R M M, (r, m) rm, taką że spełnione są następujące warunki: (1) r R, m, n M : r(m + n) = rm + rn, (2) r, s R, m M : (r + s)m = rm + sm, (3) r, s R, m M : r(sm) = (rs)m, (4) m M : 1m = m. Jeśli M jest R-modułem, to dla dowolnych elementów r R, m M oraz k Z zachodzą równości: r0 = 0, 0m = 0, k(rm) = r(km), ( r)m = (rm) = r( m). Jeśli R jest ciałem, to R-moduły to przestrzenie liniowe nad ciałem R. Z-moduły to grupy abelowe. Jeśli I jest ideałem pierścienia R, to I jest R-modułem. Jeśli ϕ : R S jest homomorfizmem pierścieni, to pierścień S jest R- modułem wraz z działaniem (r, s) ϕ(r)s. Zbiór 0 := {0} wraz z działaniem (r, 0) 0 R-modułem, który nazywamy trywialnym. Jeśli ϕ : R S jest homomorfizmem pierścieni, to każdy S-moduł M jest R-modułem z działaniem (r, m) ϕ(r)m.
29 Algebra II Wykład 29 Niech M i N będą R-modułami. Funkcję f : M N nazywamy homomorfizmem R-modułów jeśli f(m + n) = f(m) + f(n) i f(rm) = rf(m) dla dowolnych elementów m, n M oraz r R. Jeśli ϕ : M N jest homomorfizmem R-modułów, to ϕ jest homomorfizmem grup abelowych. Homomorfizm nazywamy monomorfizmem, jeśli jest injekcją. Homomorfizm nazywamy epimorfizmem, jeśli jest surjekcją. Homomorfizm f : M N nazywamy izomorfizmem, jeśli istnieje homomorfizm g : N M taki, że gf = Id M oraz fg = Id N. Mówimy, że moduły M i N są izomorficzne i piszemy M N, jeśli istnieje izomorfizm M N. Jądrem homomorfizmu f : M N nazywamy zbiór Ker f := {m M f(m) = 0}. Obrazem homomorfizmu f : M N nazywamy zbiór Im f := {f(m) m M}. (1) Homomorfizm f jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy Ker f = 0 := {0}. (2) Homomorfizm f : M N jest epimorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy Im f = N. (3) Homomorfizm f jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy jest monomorfizmem i epimorfizmem.
30 Algebra II Wykład 30 Dla dowolnych R-modułów M i N funkcja 0 : M N, m 0, jest homomorfizmem, Ker 0 = M, Im 0 = 0. W szczególności, dla dowolnego R-modułu M mamy jedyne homomorfizmy postaci 0 M oraz M 0. Niech M będzie R-modułem. Podzbiór N M nazywamy podmodułem modułu M, jeśli N jest podgrupą grupy M oraz r R, m N = rm N. (1) Jeśli N jest podmodułem R-modułu M, to N jest R-modułem. (2) Jeśli N jest podmodułem R-modułu M oraz U jest podmodułem modułu N, to U jest podmodułem modułu M. (3) Jeśli U i V są podmodułami modułu M takimi, że U V, to U jest podmodułem modułu V. Jeśli N jest podmodułem R-modułu M, to funkcja N M, m m, jest monomorfizmem modułów, który nazywamy naturalnym włożeniem. Jeśli M jest R-modułem, to zbiory 0 i M są podmodułami modułu M. Podzbiór pierścienia R jest podmodułem modułu R wtedy i tylko wtedy, gdy jest ideałem pierścienia R. Jeśli f : M N jest homomorfizmem R-modułów, to zbiór Ker f jest podmodułem modułu M, zaś zbiór Im f jest podmodułem modułu N. Ogólniej, jeśli U jest podmodułem modułu M, to zbiór f(u) jest podmodułem modułu N, oraz gdy V jest podmodułem modułu N, to zbiór f 1 (V ) jest podmodułem modułu N. Jeśli m jest elementem R-modułu M oraz I jest ideałem pierścienia R, to zbiór Im := {rm r I} jest podmodułem modułu M.
31 Algebra II Wykład 31 Jeśli r R oraz N jest podmodułem R-modułu M, to zbiór rn := {rn n N} jest podmodułem modułu M. Jeśli U i V są podmodułami R-modułu M, to zbiór U + V := {u + v u U, v V } jest podmodułem modułu M. Jeśli r R oraz M jest R-modułem, to zbiór M[r] := {m M rm = 0} jest podmodułem modułu M. Jeśli r R oraz M jest R-modułem, to zbiór M(r) := α>0 M[r α ] jest podmodułem modułu M. Jeśli M i, i I, I, są podmodułami modułu M, to i I M i jest podmodułem modułu M. Obserwacja 3.1. Jeśli X jest podzbiorem R-modułu M, oraz M i, i I, są wszystkimi podmodułami modułu M zawierającymi podzbiór X, to podmoduł i I M i jest najmniejszym podmodułem modułu M zawierającym podzbiór X. Jeśli X jest podzbiorem R-modułu M, to najmniejszy podmoduł modułu M zawierający zbiór X nazywamy podmodułem modułu M generowanym przez zbiór X i oznaczamy RX. R-moduł M nazywamy skończenie generowanym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje skończony podzbiór X M taki, że M = RX.
32 Algebra II Wykład 32 R-moduł M nazywamy cyklicznym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje element m M taki, że M = R{m}. Twierdzenie 3.2. Jeśli m 1,..., m k są elementami R-modułu M, to Ćwiczenie. R{m 1,..., m k } = Rm Rm k. Obserwacja 3.3. Jeśli R-moduł M jest generowany przez elementy m 1,..., m k oraz f : M N jest homomorfizmem R-modułów, to moduł Im f jest generowany przez elementy f(m 1 ),..., f(m k ). Jeśli N jest podmodułem R-modułu M, to modułem ilorazowym nazywamy zbiór gdzie M/N := {m + N m N}, m + N := {m + n n N}, m M, wraz z działaniami (m + N) + (n + N) := (m + n) + N, r(m + N) := rm + N. Funkcję M M/N, m m+n, nazywamy naturalnym rzutowaniem. Twierdzenie 3.4. Jeśli N jest podmodułem R-modułu M, to powyższe definicje są poprawne i określają w zbiorze M/N strukturę R-modułu. Naturalne rzutowanie M M/N jest epimorfizmem R-modułów z jądrem N. Ćwiczenie. W powyższym dowodzie można wykorzystać fakt, że m + N = n + N wtedy i tylko wtedy, gdy m n N.
33 Algebra II Wykład 33 Twierdzenie 3.5. Jeśli f : M N jest homomorfizmem R-modułów, to dla każdego podmodułu U modułu M takiego, że U Ker f, definicja M/U N, m + U f(m), jest poprawna i definiuje homomorfizm o jądrze Ker f/u oraz obrazie Im f. Ćwiczenie. Wniosek 3.6 (Twierdzenia o izomorfizmie). (1) Jeśli f : M N jest homomorfizmem R-modułów, to funkcja M/ Ker f Im f, m + Ker f f(m), jest izomorfizmem R-modułów. (2) Jeśli U i V są podmodułami R-modułu M, to funkcja U/U V (U + V )/V, u + U V u + V, jest izomorfizmem R-modułów. (3) Jeśli U i V są podmodułami R-modułu M takimi, że V U, to U/V jest podmodułem modułu M/V oraz funkcja (M/V )/(U/V ) M/U, (m + V ) + (U/V ) m + U, jest izomorfizmem R-modułów. Sumą prostą R-modułów M 1,..., M k, oznaczaną k i=1 M i lub M 1 M k (lub M k, gdy M i = M dla i = 1,..., k), nazywamy zbiór M 1 M k, z działaniami (m 1,..., m k ) + (n 1,..., n k ) := (m 1 + n 1,..., m k + n k ), r(m 1,..., m k ) := (rm 1,..., rm k ). Dla każdego j = 1,..., k definiujemy funkcje k ι j : M j M i, m (0,..., 0, }{{} m, 0,..., 0), i=1 j-te miejsce i π j : n M i M j, (m 1,..., m n ) m j, i=1 nazywane naturalnym włożeniem i rzutowaniem, odpowiednio.
34 Algebra II Wykład 34 Twierdzenie 3.7. Niech M 1,..., M k będą R-modułami. (1) Suma prosta k i=1 M i jest R-modułem. (2) Dla każdej liczby j = 1,..., k naturalne włożenie ι j : M j k i=1 M i jest monomorfizmem R-modułów. (3) Dla każdej liczby j = 1,..., k naturalne rzutowanie π j : k i=1 M i M j jest epimorfizmem R-modułów. Ćwiczenie. Twierdzenie 3.8. (1) Jeśli f j : M j N, j = 1,..., k, są homomorfizmami R-modułów, to istnieje dokładnie jeden homomorfizm f : k i=1 M i N taki, że fι j = f j dla j = 1,..., k, gdzie ι j : M j n i=1 M i, j = 1,..., n, są naturalnymi włożeniami. Homomorfizm f dany jest wzorem f(m 1,..., m k ) = f 1 (m 1 ) + + f k (m k ). (2) Jeśli f j : N M j, j = 1,..., k, są homomorfizmami modułów, to istnieje dokładnie jeden homomorfizm f : N k i=1 M i taki, że π j f = f j dla j = 1,..., k, gdzie π j : k i=1 M i M j, j = 1,..., j, są naturalnymi rzutowaniami. Homomorfizm f dany jest wzorem Ćwiczenie. f(n) = (f 1 (n),..., f k (n)). Oznaczenie. Jeśli f, g : M N są homomorfizmami R-modułów, to definiujemy funkcję f + g : M N wzorem (f + g)(m) := f(m) + g(m), m M.
35 Algebra II Wykład 35 Obserwacja 3.9. Niech f, g : M N będą homomorfizmami R-modułów. (1) Funkcja f + g jest homomorfizmem R-modułów. (2) Dla dowolnego homomorfizmu h : N U h(f + g) = hf + hg. (3) Dla dowolnego homomorfizmu h : V M (f + g)h = fh + gh. Obserwacja Jeśli M 1,..., M k są R-modułami, to (1) π j ι j = Id Mj, j = 1,..., k, (2) π i ι j = 0, i j, (3) ι 1 π ι k π k = IdL k i=1 M i, gdzie dla każdego j = 1,..., k, π j : k i=1 M i M j jest naturalnym rzutowaniem, zaś ι j : M j k i=1 M i jest naturalnym włożeniem. Twierdzenie Jeśli M, M 1,..., M k są R-modułami, to M k i=1 M i wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją homomorfizmy f j : M M j i g j : M j M, j = 1,..., k, takie, że (1) f j g j = Id Mj, j = 1,..., k, (2) f j g l = 0, j l, (3) g 1 f g k f k = Id M. Jeśli homomorfizmy f 1,..., f k, g 1,..., g k są takie jak wyżej, to homomorfizm f : M k i=1 M i, f(m) := (f 1 (m),..., f k (m)), jest izomorfizmem (izomorfizm odwrotny dany jest wzorem g(m 1,..., m k ) := g 1 (m 1 ) + + g k (m k )). Jeśli f : M k i=1 M i i g : k i=1 M i M są wzajemnie odwrotnymi izomorfizmami, to poszukiwane funkcje są postaci f j := π j f oraz g j := gι j, j = 1,..., k, gdzie dla każdego j = 1,..., k, π j : k i=1 M i M j jest naturalnym rzutowaniem, zaś ι j : M j k i=1 M i jest naturalnym włożeniem. R-moduł N nazywamy składnikiem prostym R-modułu M, jeśli istnieje R- moduł U taki, że M N U.
36 Algebra II Wykład 36 Wniosek R-moduł N jest składnikiem prostym R-modułu M wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją homomorfizmy f : N M oraz g : M N takie, że gf = Id N. Jeśli N jest składnikiem prostym R-modułu M, to istnienie stosownych homomorfizmów jest konsekwencją poprzedniego twierdzenia. Załóżmy zatem, że istnieją homomorfizmy f : N M i g : M N takie, że gf = Id N. Pokażemy, że M N Ker g. Istotnie, niech ι : Ker g M będzie naturalnym włożeniem oraz h : M Ker g dane będzie wzorem h(m) := m fg(m). Wtedy gf = Id N, hι = Id Ker g, gι = 0, hf = 0 oraz fg + ιh = Id M, co kończy dowód wobec poprzedniego twierdzenia. Twierdzenie Jeśli M 1,..., M k są podmodułami R-modułu M takimi, że (1) M = M M k, (2) M i (M M i 1 + M i M k ) = 0, i = 1,..., k, to M k i=1 M i. Z założeń twierdzenia wynika, że dla każdego elementu m istnieją jednoznacznie wyznaczone elementy m i M i, i = 1,..., k, takie, że m = m m k. Zatem funkcje f j : M M j, j = 1,..., k, dane wzorami f j (m m k ) := m j, m i M i, i = 1,..., k, j = 1,..., k, są poprawnie określone. Ponadto są one homomorfizmami R- modułów oraz f j ι j = Id Mj, j = 1,..., k, f j ι l = 0, j l, i ι 1 f ι k f k = Id M, gdzie dla każdego j = 1,..., k, ι j : M i M jest naturalnym włożeniem. Zatem teza wynika z Twierdzenia W sytuacji opisanej powyższym twierdzeniem mówimy czasami, że moduł M jest wewnętrzną sumą prostą podmodułów M 1,..., M k. Mówimy, że ciąg homomorfizmów R-modułów f 1 f 2 M 0 M1 M2 M k 1 f k Mk jest dokładny wtedy i tylko wtedy, gdy Im f i = Ker f i+1, i = 1,..., n 1. Ciąg 0 M f N jest dokładny wtedy i tylko wtedy, gdy f jest monomorfizmem.
37 Algebra II Wykład 37 Ciąg M f N 0 jest dokładny wtedy i tylko wtedy, gdy f jest epimorfizmem. Dla dowolnych R-modułów M i N ciągi i 0 M ι 1 M N π 2 N 0 0 N ι 2 M N π 1 M 0 są dokładne, gdzie ι 1 : M M N i ι 2 : N M N są naturalnymi włożeniami, zaś π 1 : M N M i π 2 : M N N są naturalnymi rzutowaniami. Jeśli N jest podmodułem R-modułu M, to ciąg 0 N ι M π M/N 0 jest dokładny, gdzie ι : N M jest naturalnym włożeniem, zaś π : M M/N jest naturalnym rzutowaniem. Dla dowolnego homomorfizmu f : M N ciąg 0 Ker f M f N Coker f 0 jest dokładny, gdzie Coker f := N/ Im f nazywamy kojądrem homomorfizmu f. Ciąg dokładny 0 U f V g W 0 nazywamy rozszczepialnym, jeśli istnieje izomorfizm h : V U W taki, że hf = ι oraz πh = g, gdzie ι : U U W i π : U W V są naturalnym włożeniem i rzutowaniem, odpowiednio.
38 Algebra II Wykład 38 Lemat Jeśli 0 U f V g W 0 jest ciągiem dokładnym oraz h : U W V jest homomorfizmem takim, że hι = f i gh = π, gdzie ι : U U W oraz π : U W W są naturalnymi włożeniem i rzutowaniem, to homomorfizm h jest izomorfizmem. Przypuśćmy, że (u, w) Ker h. Wtedy mamy oraz w = π(u, w) = (gh)(u, w) = 0 f(u) = hι(u) = h(u, 0) = h(u, w) = 0 więc u = 0, gdyż f jest monomorfizmem. Aby pokazać, że h jest epimorfizmem, ustalmy v V. Niech w := g(v). Wtedy v h(0, w) Ker g = Im f, więc istnieje element u U taki, że v h(0, w) = f(u), skąd h(u, w) = h(u, 0) + h(0, w) = f(u) + h(0, w) = v.
39 Algebra II Wykład 39 Twierdzenie Ciąg dokładny 0 U f V g W 0 jest rozszczepialny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje homomorfizm h : W V taki, że gh = Id W. Niech ι 1 : U U W, ι 2 : W U W i π : U W V będą naturalnymi włożeniami i rzutowaniem, odpowiednio. Jeśli ciąg 0 U f V g W 0 jest dokładny oraz κ : V U W jest izomorfizmem takim, że κf = ι 1 oraz πκ = g, to dla h = κ 1 ι 2 mamy gh = Id W. Niech h : W V będzie homomorfizmem takim, że gh = Id W, i niech κ : U W V będzie homomorfizmem danym wzorem κ(u, w) := f(u) + h(w). Wtedy κι 1 = f i gκ = π, więc homomorfizm κ jest izomorfizmem na mocy poprzedniego lematu. Ponadto κ 1 f = ι 1 oraz πκ 1 = g, co kończy dowód.
40 Algebra II Wykład Moduły wolne i projektywne Założenie. Przez cały paragraf R oznaczać będzie pierścień, R 0. Oznaczenie. Dla ustalonego k 1 piszemy e i := (0,..., 0, }{{} 1, 0,..., 0) R k, i-te miejsce i = 1,..., k. Lemat 4.1. Jeśli m 1,..., m k są elementami R-modułu M, to istnieje dokładnie jeden homomorfizm f : R k M taki, że f(e i ) = m i, dla i = 1,..., n. Homomorfizm f dany jest wzorem f(r 1,..., r k ) = r 1 m r k m k, r 1,..., r k R, oraz Im f = Rm Rm k, Ćwiczenie. Elementy m 1,..., m k R-modułu M nazywamy liniowo niezależnymi, jeśli spełniony jest następujący warunek: r 1,..., r k R : r 1 m r k m k = 0 = r 1 = = r k = 0. Elementy e 1,..., e k R k są liniowo niezależne. Jeśli elementy m 1,..., m k R-modułu M są liniowo niezależne, to elementy m i1,..., m ik są liniowo niezależne dla dowolnego ciągu 1 i 1 < < i k n. Elementy m 1,..., m k R-modułu M są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy homomorfizm przedstawiony w Lemacie 4.1 jest monomorfizmem. Mówimy, że elementy m 1,..., m k R-modułu M tworzą bazę modułu M, jeśli są liniowo niezależne oraz M = Rm Rm k.
41 Algebra II Wykład 41 Lemat 4.2. Jeśli elementy m 1,..., m k tworzą bazą R-modułu M, to moduł M jest (wewnętrzną) sumą prostą podmodułów Rm 1,..., Rm k. Ćwiczenie. R-moduł M nazywamy (skończenie generowanym) wolnym, jeśli posiada bazę. Obserwacja 4.3. Jeśli M jest R-modułem wolnym z bazą m 1,..., m k oraz f : M N jest izomorfizmem R-modułów, to moduł N jest wolny z bazą f(m 1 ),..., f(m k ). Jeśli K jest ciałem, to wszystkie (skończenie generowane, tj. skończenie wymiarowe) K-moduły są wolne. R-moduł R jest wolny z bazą 1. Obserwacja 4.4. Jeśli R-moduły M i N są wolne z bazami m 1,..., m k oraz n 1,..., n l, odpowiednio, to moduł M N jest wolny z bazą (m 1, 0),..., (m k, 0), (0, n 1 ),..., (0, n l ). Wniosek 4.5. R-moduł R k jest wolny z bazą e 1,..., e k. Wniosek 4.6. Dla dowolnego skończenie generowanego R-modułu M istnieje wolny R- moduł N oraz epimorfizm N M. Wynika z poprzedniego wniosku oraz Lematu 4.1. Twierdzenie 4.7. R-moduł M jest wolny z bazą m 1,..., m k wtedy i tylko wtedy, gdy homomorfizm R k M, (r 1,..., r k ) r 1 m r k m k, jest izomorfizmem. Ćwiczenie.
42 Algebra II Wykład 42 Twierdzenie 4.8. R-moduł M jest wolny z bazą m 1,..., m k wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego R-modułu N oraz elementów n 1,..., n k istnieje dokładnie jeden homomorfizm f : M N taki, że f(m i ) = n i, i = 1,..., k. Z Lematu 4.1 wiemy, że mamy homomorfizm g : R k M dany wzorem g(r 1,..., r k ) := r 1 m r k m k. Jeśli moduł M jest wolny z bazą m 1,..., m k, to homomorfizm g jest izomorfizmem na mocy Twierdzenia 4.7. Ustalmy R-moduł N oraz elementy n 1,..., n k. Mamy homomorfizm h : R k N dany wzorem h(r 1,..., r k ) := r 1 n r k n k. Wtedy f := hg 1 : M N jest homomorfizmem takim, że f(m i ) = n i, i = 1,..., k. Ponadto, jeśli f : M N jest homomorfizmem takim, że f(m i ) = n i, i = 1,..., k, to fg : R k N jest homomorfizmem takim, że fg(e i ) = n i, i = 1,..., k. Z Lematu 4.1 wynika, że fg = h, więc f = hg 1. Przypuśćmy teraz dla dowolnego R-modułu N oraz elementów n 1,..., n k istnieje dokładnie jeden homomorfizm f : M N taki, że f(m i ) = n i, i = 1,..., k. W szczególności istnieje homomorfizm f : M R k taki, że f(m i ) = e i, i = 1,..., k. Wtedy gf(m i ) = m i = Id M (m i ), fg(e i ) = e i = Id R k(e i ), i = 1,..., k, zatem z powyższego warunku oraz Lematu 4.1 wynika, że gf = Id M i fg = Id R k. Zatem homomorfizm g jest izomorfizmem, co kończy dowód wobec Twierdzenia 4.7.
43 Algebra II Wykład 43 Oznaczenie. Jeśli I ideałem pierścienia R oraz M jest R-modułem, to przez IM oznaczamy podmoduł modułu M generowany przez wszystkie elementy postaci rm, r I, m M. Lemat 4.9. Niech I będzie ideałem pierścienia R oraz M R-modułem. Jeśli M = Rm Rm k, to IM = Im Im k. Wiemy, że Im 1 + +Im k jest podmodułem R-modułu M. Łatwo też zauważyć, że Im Im k IM. Dla zakończenia dowodu wystarczy pokazać, że rm Im Im k dla dowolnych r R i m M, co jest łatwym ćwiczeniem. Lemat Jeśli I jest ideałem pierścienia R oraz M jest R-modułem, to definicja (r + I)(m + IM) := rm + IM jest poprawna i określa w zbiorze M/IM strukturę R/I-modułu. Ćwiczenie.
44 Algebra II Wykład 44 Lemat Jeśli I jest ideałem właściwym pierścienia R, M wolnym R-modułem z bazą m 1,..., m k, to R/I-moduł M/IM jest wolny z bazą m 1 +IM,..., m k +IM. Pokażemy najpierw, że elementy m 1 +IM,..., m k +IM generują R/I-moduł M/IM. Jeśli m + IM M/IM, to istnieją elementy r 1,..., r k R takie, że m = r 1 m r k m k, więc m + IM = (r 1 + I)(m 1 + IM) + + (r k + I)(m k + IM). Aby sprawdzić, że elementy m 1 + IM,..., m k + IM są liniowo niezależne, załóżmy, że (r 1 + I)(m 1 + IM) + + (r k + I)(m k + IM) = 0 dla pewnych r 1,..., r k R. Wtedy istnieją elementy s 1,..., s k I takie, że r 1 m r k m k = s 1 m s k m k. Z liniowej niezależności elementów m 1,..., m k wynika, że r 1 = s 1,..., r k = s k, co kończy dowód. Wniosek Jeśli M jest wolnym R-modułem, to dowolne dwie bazy modułu M są równoliczne. Niech m 1,..., m k oraz n 1,..., n l będą dwoma bazami modułu M. Ustalmy ideał maksymalny I pierścienia R. Wtedy moduł M/IM jest wolnym R/Imodułem z bazami m 1 + IM,..., m k + IM oraz n 1 + IM,..., n l + IM. Ponieważ R/I jest ciałem, więc k = l, co kończy dowód. Jeśli M jest wolnym R-modułem, to liczbę elementów dowolnej bazy modułu M nazywamy rangą modułu M oraz oznaczamy rk R M. Obserwacja Jeśli M i N są wolnymi R-modułami, to M N jest wolnym R-modułem oraz rk R (M N) = rk R M + rk R N (patrz Obserwacja 4.4).
i=0 a ib k i, k {0,..., n+m}. Przypuśćmy, że wielomian
9. Wykład 9: Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach wielomianów. Kryteria rozkładalności wielomianów. 9.1. Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach wielomianów. Uwaga 9.1. Niech (R, +, ) będzie pierścieniem
Algebra I. Grzegorz Bobiński. wykład z ćwiczeniami dla studentów II roku matematyki. Wydział Matematyki i Informatyki UMK w Toruniu
Algebra I wykład z ćwiczeniami dla studentów II roku matematyki Grzegorz Bobiński Wydział Matematyki i Informatyki UMK w Toruniu Toruń 2005 Spis treści Rozdział I. Pierścienie 3 1.1. Działania w zbiorach
Matematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod
Matematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),
1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)
Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla
Ciała skończone. 1. Ciała: podstawy
Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem
14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe
14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe. 14.1. Grupa Galois wielomianu. Definicja 14.1. Niech F będzie ciałem, niech
1 Określenie pierścienia
1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
12. Wykład 12: Algebraiczne domkniecie ciała. Wielokrotne pierwiastki wielomianów. Rózniczkowanie wielomianów. Elementy rozdzielcze.
12. Wykład 12: Algebraiczne domkniecie ciała. Wielokrotne pierwiastki wielomianów. Rózniczkowanie wielomianów. Elementy rozdzielcze. Rozszerzenia rozdzielcze i pojedyncze. Rozszerzenia normalne. 12.1.
Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ CIAŁO FUNKCJI WYMIERNYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 CIAŁO FUNKCJI WYMIERNYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 7, 13.11.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Ułamki pierścienia całkowitego Cel: Wprowadzenie pojęcia funkcji
Uwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne:
1. Wykład 1: Produkty grup. Produkty i koprodukty grup abelowych. Przypomnijmy konstrukcje słabych iloczynów (sum) prostych i iloczynów (sum) prostych grup znane z kursowego wykładu algebry. Ze względu
1. Określenie pierścienia
1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu
Algebra 1 Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu Definicje i podstawowe własności Definicja 1. Niech X będzie niepustym zbiorem. Działaniem w zbiorze X nazywamy dowolne odwzorowanie (funkcję) działające
Pierścień wielomianów jednej zmiennej
Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów
= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i
15. Wykład 15: Rozszerzenia pierwiastnikowe. Elementy wyrażające się przez pierwiastniki. Rozwiązalność równań przez pierwiastniki. Równania o dowolnych współczynnikach. 15.1. Rozszerzenia pierwiastnikowe.
Skończone rozszerzenia ciał
Skończone rozszerzenia ciał Notkę tę rozpoczniemy od definicji i prostych własności wielomianu minimalnego, następnie wprowadzimy pojecie rozszerzenia pojedynczego o element algebraiczny, udowodnimy twierdzenie
Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej algorytmy
Rozdział 15 Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej algorytmy 15.1 Algorytm dzielenia Definicja 15.1 Niech dany będzie niezerowy wielomian f K[x] (K jest ciałem) f = a 0 x m + a 1 x m 1 +... + a m, gdzie
1 Grupy. 1.1 Grupy. 1.2 Podgrupy. 1.3 Dzielniki normalne. 1.4 Homomorfizmy
1 Grupy 1.1 Grupy 1.1.1. Niech G będzie taką grupa, że (ab) 2 = a 2 b 2 dla dowolnych a, b G. Udowodnić, że grupa G jest abelowa. 1.1.2. Niech G będzie taką grupa, że (ab) 1 = a 1 b 1 dla dowolnych a,
Algorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90),
Algorytm Euklidesa ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), (d) NWD(120, 168, 280), (e) NWD(30, 42, 70, 105), (f) NWW[120, 195], (g)
1 Pierścienie i ich homomorfizmy. Ideał, pierścień ilorazowy. Ideały pierwsze i maksymalne, dziedziny i ciała - definicje i przykłady
Tekst ten jest dostępny na stronie http://www-usersmatumkpl/ cstefan/ W razie potrzeby tam będą znajdowały się ewentualne poprawki i uzupełnienia 1 Pierścienie i ich homomorfizmy Ideał, pierścień ilorazowy
9 Przekształcenia liniowe
9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2
2 Kongruencje 5. 4 Grupy 9. 5 Grupy permutacji Homomorfizmy grup Pierścienie 16
DB Algebra dla informatyków 1 semestr letni 2018 1 Spis treści 1 Podzielność w Z, algorytm Euklidesa 2 2 Kongruencje 5 3 Twierdzenia: Fermata, Eulera i Wilsona 7 4 Grupy 9 5 Grupy permutacji 12 6 Homomorfizmy
Działania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G.
Działania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G. Przykłady działań wewnętrznych 1. Dodawanie i mnożenie są działaniami wewnętrznymi
O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji
O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej
Treść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów
Treść wykładu Pierścienie wielomianów. Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań
Zadania z Algebry Studia Doktoranckie Instytutu Matematyki Uniwersytetu Śląskiego 1
Zadania z Algebry Studia Doktoranckie Instytutu Matematyki Uniwersytetu Śląskiego 1 1. (a) Udowodnić, że jeśli grupa ilorazowa G/Z(G) jest cykliczna, to grupa G jest abelowa (Z(G) oznacza centrum grupy
Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie
1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z
Baza i stopień rozszerzenia.
Baza i stopień rozszerzenia. Uwaga Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F. Wówczas L jest przestrzenią liniową nad ciałem F. Definicja Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F. 1. Wymiar
Podstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
0.1 Pierścienie wielomianów
0.1 Pierścienie wielomianów Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z 5 [X] drugi wielomian określający tę samą funkcję, co wielomian X 2 X + 1. (Odp. np. X 5 + X 2 2X + 1). Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn
1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór.
20. Definicje i przykłady podstawowych struktur algebraicznych (grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe). Pojęcia dotyczące przestrzeni liniowych (liniowa zależność i niezależność układu wektorów,
Algebry skończonego typu i formy kwadratowe
Algebry skończonego typu i formy kwadratowe na podstawie referatu Justyny Kosakowskiej 26 kwietnia oraz 10 i 17 maja 2001 Referat został opracowany w oparciu o prace Klausa Bongartza Criterion for finite
Rozszerzenie ciała o pierwiastek wielomianu. Ciało rozkładu wielomianu.
Rozszerzenie ciała o pierwiastek wielomianu. Ciało rozkładu wielomianu. Twierdzenie (Kroneckera) Niech F będzie ciałem, niech f P F rxs. Wówczas istnieje rozszerzenie L ciała F takie, w którym f ma pierwiastek.
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 10, 11.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Geometryczne intuicje Dla pierścienia R = R mamy
13. Cia la. Rozszerzenia cia l.
59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja
Podstawowe pojęcia teorii podzielności.
Podstawowe pojęcia teorii podzielności. Definicja Niech pr, `, q będzie pierścieniem 1 całkowitym. Mówimy, że element a dzieli b, a, b P R, (lub że a jest dzielnikiem b, lub że b jest wielokrotnością a)
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe
Grzegorz Bobiński Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2012 Spis treści Notacja 1 1 Podstawowe pojęcia
Wielomiany i rozszerzenia ciał
Wielomiany i rozszerzenia ciał Maciej Grzesiak 1 Pierścień wielomianów 1.1 Pojęcia podstawowe Z wielomianami spotykamy się już w pierwszych latach nauki w szkole średniej. Jest to bowiem najprostsza pojęciowo
Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych
Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ PIERŚCIENIE, CIAŁA I HOMOMORFIZMY
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 PIERŚCIENIE, CIAŁA I HOMOMORFIZMY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 3, 16.10.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Definicja pierścienia 2/10 Zbiór R wyposażony w dwa działania
Definicje- Algebra III
Definicje- Algebra III Opracowane na podstawie notatek z wykładu w semetrze zimowym roku 2007r. (mocno niekompletne- umieszczono kilka pierwszych wykładów) 21.11.2007r. Algebry Definicja1(K-algebra)- Przestrzeń
Wniosek Niech R będzie pierścieniem, niech I R. WówczasI R wtedy i tylko wtedy, gdy I jest jądrem pewnego homomorfizmu.
11. Wykład 11: Pierścień ilorazowy, twierdzenie o homomorfizmie. Ideały pierwsze i maksymalne. 11.1. Pierścień ilorazowy, twierdzenie o homomorfizmie. Definicja i Uwaga 11.1. Niech R będzie pierścieniem,
Maciej Grzesiak. Wielomiany
Maciej Grzesiak Wielomiany 1 Pojęcia podstawowe Wielomian definiuje się w szkole średniej jako funkcję postaci f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x + + a n x n Dogodniejsza z punktu widzenia algebry jest następująca
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ OD RÓWNAŃ DO ODWZOROWAŃ LINIOWYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 OD RÓWNAŃ DO ODWZOROWAŃ LINIOWYCH Piotr M Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 8, 27112013 Typeset by Jakub Szczepanik Motywacja 2/10 Przechodzimy od rozwiązywania jednego równania
(6) Homomorfizm φ : P R nazywamy epimorfizmem kategoryjnym, jeśli dla każdego pierścienia. jeśli φ ψ 1 = φ ψ 2, to ψ 1 = ψ 2 ;
10. Wykład 10: Homomorfizmy pierścieni, ideały pierścieni. Ideały generowane przez zbiory. 10.1. Homomorfizmy pierścieni, ideały pierścieni. Definicja 10.1. Niech P, R będą pierścieniami. (1) Odwzorowanie
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 11, 18.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Istnienie bazy Tak jak wśród wszystkich pierścieni wyróżniamy
B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.
8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą
13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu
Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Agata Pilitowska MiNI - rok akademicki 2018/2019 Spis treści 1 Pierścienie i ciała 1 11 Definicja i przykłady 1 12 Pierścienie całkowite 3 13 Pierścienie Euklidesa
1 Pierścienie, algebry
Podstawowe Własności Pierścieni Literatura Pomocnicza: 1. S.Balcerzyk,T.Józefiak, Pierścienie przemienne, PWN 2. A.Białynicki-Birula, Algebra, PWN 3. J.Browkin, Teoria ciał, PWN 4. D.Cox, J.Little, D.O
. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ PIERŚCIEŃ WIELOMIANÓW
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 PIERŚCIEŃ WIELOMIANÓW Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 6, 6.11.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Plan 2/10 1 Co to są wielomiany i jak się je mnoży? 2 Co to jest stopień
im = (P )={b 2 R : 9a 2 P [b = (a)]} nazywamy obrazem homomorfizmu.
61 7. Wyk ad 7: Homomorfizmy pierúcieni, idea y pierúcieni. Idea y generowane przez zbiory. PierúcieÒ ilorazowy, twierdzenie o homomorfizmie. Idea y pierwsze i maksymalne. 7.1. Homomorfizmy pierúcieni,
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Algebra konspekt wykladu 2009/10 1. du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle
Algebra konspekt wykladu 2009/10 1 3 Podgrupy Niech S g mówimy, że podzbiór S jest zamknie ty ze wzgle du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle
O ROZMAITOŚCIACH TORYCZNYCH
O ROZMAITOŚCIACH TORYCZNYCH NA PODSTAWIE REFERATU NGUYEN QUANG LOCA Przez cały referat K oznaczać będzie ustalone ciało algebraicznie domknięte. 1. Przez cały referat N oznaczać będzie ustaloną kratę izomorficzną
ciałem F i oznaczamy [L : F ].
11. Wykład 11: Baza i stopień rozszerzenia. Elementy algebraiczne i przestępne. Rozszerzenia algebraiczne i skończone. 11.1. Baza i stopień rozszerzenia. Uwaga 11.1. Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem
Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności
Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,
Algebra liniowa nad pierścieniami
Algebra liniowa nad pierścieniami Wykład monograficzny Kazimierz Szymiczek Przedmowa Linear algebra, like motherhood, has become a sacred cow. Irving Kaplansky Niniejszy skrypt jest zapisem wykładu monograficznego
1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.
1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne,
CO TO SĄ BAZY GRÖBNERA?
CO TO SĄ BAZY GRÖBNERA? Wykład habilitacyjny, Toruń UMK, 5 czerwca 1995 roku Andrzej Nowicki W. Gröbner, 1899-1980, Austria. B. Buchberger, Austria. H. Hironaka, Japonia (medal Fieldsa). Bazy, o których
Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}
Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro
Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.
Rozdział 3 Logarytm i potęga 3.1 Potęga o wykładniku naturalnym Definicja potęgi o wykładniku naturalnym. Niech x R oraz n N. Potęgą o podstawie x i wykładniku n nazywamy liczbę x n określoną następująco:
Podprzestrzenie niezmiennicze nilpotentnych operatorów liniowych
Podprzestrzenie niezmiennicze nilpotentnych operatorów liniowych, Markus Schmidmeier, FAU Maj, 2015 Oznaczenia K ciało algebraicznie domknięte α, β, γ partycje, tzn. nierosnące ciągi liczb naturalnych
2 Rachunek macierzowy, metoda eliminacji Gaussa-Jordana Wprowadzenie teoretyczne Zadania... 9
Spis treści 1 Podstawowe struktury algebraiczne 2 11 Grupa, pierścień, ciało 2 12 Grupy permutacji 4 13 Pierścień wielomianów, algorytm Euklidesa, największy wspólny dzielnik 6 14 Zadania 7 2 Rachunek
Podstawowe struktury algebraiczne
Rozdział 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1.1. Działania wewnętrzne Niech X będzie zbiorem niepustym. Dowolną funkcję h : X X X nazywamy działaniem wewnętrznym w zbiorze X. Działanie wewnętrzne, jak
a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =
11 Algebra macierzy Definicja 11.1 Dla danego ciała F i dla danych m, n N funkcję A : {1,..., m} {1,..., n} F nazywamy macierzą m n (macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Grzegorz Bobiński. Matematyka Dyskretna
Grzegorz Bobiński Matematyka Dyskretna Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2013 Spis treści 1 Elementy teorii liczb 1 1.1 Twierdzenie o dzieleniu z resztą.................
Twierdzenie spektralne
Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi
1 Grupy. 1.1 Grupy. (2) dla działania istnieje element neutralny, tzn. istnieje e G taki, że ae = a = ea dla dowolnego a G;
1 Grupy 1.1 Grupy Definicja. Grupą nazywamy niepusty zbiór G z działaniem : G G G, (a, b) ab, spełniającym warunki: (1) działanie jest łączne, tzn. a(bc) = (ab)c dla dowolnych a, b, c G; (2) dla działania
a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu
Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Agata Pilitowska MiNI - rok akademicki 2016/2017 Spis treści 1 Pierścienie i ciała 1 11 Definicja i przykłady 1 12 Pierścienie całkowite 2 13 Ciało ułamków
Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu
Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Agata Pilitowska MiNI - rok akademicki 2012/2013 Spis treści 1 Pierścienie i ciała 1 11 Definicja i przykłady 1 12 Pierścienie całkowite 3 13 Ciało ułamków
Grzegorz Bobiński. Matematyka Dyskretna
Grzegorz Bobiński Matematyka Dyskretna Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2016 Spis treści 1 Elementy teorii liczb 1 1.1 Twierdzenie o dzieleniu z resztą.................
Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
Algebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie
3. Wykłady 5 i 6: Semantyka klasycznego rachunku zdań. Dotychczas rozwinęliśmy klasyczny rachunek na gruncie czysto syntaktycznym, a więc badaliśmy metodę sprawdzania, czy dana formuła B jest dowodliwa
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także
1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz
Rzędy Elementów Grupy Abelowej Andrzej Nowicki 16 września 2015, wersja rz-15
Materiały Dydaktyczne 2015 Rzędy Elementów Grupy Abelowej Andrzej Nowicki 16 września 2015, wersja rz-15 Niech G będzie grupą z elementem neutralnym e i niech a G. Załóżmy, że istnieje co najmniej jedna
Analiza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Uniwersytet w Białymstoku. Wykład monograficzny
Uniwersytet w Białymstoku Wydział Matematyczno-Fizyczny Instytut Matematyki dr hab. Ryszard Andruszkiewicz Wykład monograficzny Wykład monograficzny prowadzony dla studentów V roku matematyki przez dr
A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Algebra liniowa z geometrią. wykład I
Algebra liniowa z geometrią wykład I 1 Oznaczenia N zbiór liczb naturalnych, tutaj zaczynających się od 1 Z zbiór liczb całkowitych Q zbiór liczb wymiernych R zbiór liczb rzeczywistych C zbiór liczb zespolonych
Zadania do wykładu Algebra DALG 201 Lato prof. Wojciech Gajda
Zadania do wykładu Algebra DALG 201 Lato 2015 prof. Wojciech Gajda Zadanie 1. Znaleźć rzędy wszystkich elementów w grupie G jeżeli: (a) G=Z/16 (b) G=(Z/36) (c) G=Q 8 (d) G=D 5 (e) G=Z/2 Z/8 (f) G=S 4.
Podciała, podciała generowane przez zbiór, rozszerzenia ciał.
Podciała, podciała generowane przez zbiór, rozszerzenia ciał. Definicja Niech F będzie ciałem. Podzbiór L H zbioru F nazywamy podciałem ciała F (piszemy L ă F ), gdy pl, `æ LˆL, æ LˆL q jest ciałem. Jeżeli
KARTA KURSU. Kod Punktacja ECTS* 6. Znajomość podstaw logiki, teorii mnogości i algebry liniowej.
KARTA KURSU Nazwa Nazwa w j. ang. Algebra abstrakcyjna Abstract algebra Kod Punktacja ECTS* 6 Koordynator Prof. dr hab. Kamil Rusek Zespół dydaktyczny: Dr Antoni Chronowski Opis kursu (cele kształcenia)
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i
Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach
... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1
4. Wykład 4: Grupy rozwiązalne i nilpotentne. Definicja 4.1. Niech (G, ) będzie grupą. Wówczas (1) ciąg podgrup grupy G zdefiniowany indukcyjnie wzorami G (0) = G, G (i) =[G (i 1),G (i 1) ], dla i N nazywamy
Matematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 4: Podzielność liczb całkowitych Gniewomir Sarbicki Dzielenie całkowitoliczbowe Twierdzenie: Dla każdej pary liczb całkowitych (a, b) istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji
Paweł Gładki. Algebra. pgladki/
Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,
Układy równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Twierdzenie Eulera. Kongruencje wykład 6. Twierdzenie Eulera
Kongruencje wykład 6 ... Euler, 1760, Sankt Petersburg Dla każdego a m zachodzi kongruencja a φ(m) 1 (mod m). Przypomnijmy: φ(m) to liczba reszt modulo m względnie pierwszych z m; φ(m) = m(1 1/p 1 )...
Algebraiczna Teoria Liczb
Algebraiczna Teoria Liczb Opracowane na podstawie notatek z wykładu w semetrze letnim roku 2008r. (niekompletne- pominięto ostatnie wykłady o szeregach Diricheta) 08.05.2008r. W tej części rozważań wszystkie