Co byste měl/a zvládnout po 1. týdnu
|
|
- Michalina Podgórska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Co byste měl/a zvládnout po 1. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 1. týdnu 1/5
2 Upozornění Řada z následujících pojmů je pouhým opakováním ze střední školy. Nemusí být nutně odcvičeny. Dokonalé porozumění pojmům matematické češtiny 1 Slovní spojení:... právě tehdy, když...,... a současně...,... nebo..., jestliže..., potom Ustálené útvary: definice, hypotéza, věta (lemma, trzení, atd), důkaz. Základní číselné obory a jejich operace 1 Množiny N, Z, Q, R, C. 2 Iracionální reálná čísla. 3 Komplexně sdružené číslo. 4 Sčítání, odčítání, násobení a dělení v N, Z, Q, R, C. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 1. týdnu 2/5
3 Pojmy z teorie polynomů 1 Množiny Z[x], Q[x], R[x], C[x]. 2 Kořen polynomu, násobnost kořene polynomu. 3 Kořenový faktor (také: kořenový činitel). 4 Stupeň polynomu. a 5 Dělení polynomu jiným polynomem se zbytkem. a Polynom 0 má stupeň. Výpočty hodnoty polynomu 1 Přímým dosazením. 2 Hornerovým schematem. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 1. týdnu 3/5
4 Numerické příklady 1 Spočtěte součin (3x 5 7x + 4) (2x 10). 2 Nalezněte všechny kořeny polynomu x x Znáte kořen a = 6 polynomu 2x x x Nalezněte v C všechny zbývající kořeny tohoto polynomu. Polynom 2x x x + 12 napište ve tvaru součinu kořenových faktorů. 4 V C[x] vydělte polynom 3x 4 + 5x polynomem x 2 2 se zbytkem. Vypište kvocient a zbytek. 5 Hornerovým schematem spočtěte hodnotu p(3) pro p(x) = 7x 4 5x x 6. 6 Napište reálný polynom, který má přesně následující kořeny a 0 = 2 (násobnost 2), a 1 = 2 3i (násobnost 1), a 2 = 2 + 3i (násobnost 1). 7 Napište jakýkoli polynom, který má přesně následující kořeny a 0 = 2 + 3i (násobnost 1), a 1 = 2 3i (násobnost 2). Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 1. týdnu 4/5
5 Teoretické otázky 1 Proč polynom p(x) lichého stupně v R[x] musí mít alespoň jeden reálný kořen? 2 Dokažte, že ke každému kořenu polynomu p(x) v R[x] existuje kořen komplexně sdružený. 3 Proč nemůže mít polynom stupně n více než n vzájemně různých kořenů? 4 Proč je polynom stupně n určen jednoznačně svými hodnotami v n + 1 různých bodech? Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 1. týdnu 5/5
6 Co byste měl/a zvládnout po 2. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 2. týdnu 1/9
7 2D geometrie: přímka se směrem d, procházející bodem p p p x 1 p x 2 d d d 1 Jaký je vztah ploch jednotlivých rovnoběžníků? 2 Jaký je vztah vektorů x 1, x 2 a p? Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 2. týdnu 2/9
8 3D geometrie: rovina se směrem d 1, d 2, procházející bodem p p p p x x x d 1 d 1 d 1 d 2 d 2 d 2 1 Jaký je vztah objemů jednotlivých rovnoběžnostěnů? 2 Jaký je vztah vektorů x a p? Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 2. týdnu 3/9
9 Základní pojmy geometrie 2D a 3D prostoru nad R 1 Rovnice obecné přímky v R 2. A její parametrický tvar : ( ) ( ) a1 s1 + a, a R a 2 s 2 Požadavky na vektor směru přímky? 2 Rovnice obecné roviny v R 3. A její parametrický tvar : a 1 s 1 t 1 a 2 a 3 + a s 2 s 3 + b t 2 t 3, a, b R Požadavky na vektory směru roviny? 3 Paralelní posun dané přímky (roviny) tak, aby nová přímka (rovina) procházela počátkem. Jak se to projeví na rovnicích přímky (roviny)? 4 Typy průniků dvou přímek v R 2. 5 Typy průniků dvou (tří) rovin v R 3. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 2. týdnu 4/9
10 Jaký je geometrický význam řešení následujících soustav? 1 a 11 x 1 +a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 = b 2 2 a 11 x 1 +a 12 x 2 +a 13 x 3 = b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 +a 23 x 3 = b 2 3 a 11 x 1 +a 12 x 2 +a 13 x 3 = b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 +a 23 x 3 = b 2 a 31 x 1 +a 32 x 2 +a 33 x 3 = b 3 U každé z výše uvedených soustav diskutujte všechny možnosti tvaru řešení Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 2. týdnu 5/9
11 Početní příklady (soustavy v horním blokovém tvaru) 1 Vyřešte soustavu (v R): 2 Vyřešte soustavu (v R): 3 Vyřešte soustavu (v R): 3x 1 2x 2 +6x 3 = 2 4x 2 +4x 3 = 5 6x 3 = 12 3x 1 2x 2 +6x 3 = 2 4x 2 +4x 3 = 5 3x 1 2x 2 +6x 3 = 2 3x 3 = 15 Pozorování: soustava v horním blokovém tvaru se řeší pohodlně Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 2. týdnu 6/9
12 Převod na horní blokový tvar 2x 1 5x 2 = 16 x 1 +2x 2 = 7 2x 1 5x 2 = 16 0x 1 x 2 = 2 2x 1 5x 2 = 16 R 1 řádek 1 2x 1 +4x 2 = 14 2R 2 dvojnásobek řádku 2 R 1 2x 1 5x 2 = 16 R 1 R 2 + R 1 x 2 = 2 R 2 Takže: x 2 = 2, x 1 dopočítáme z první rovnice dosazením: x 2 = 3. Podstata výpočtu = manipulace s tabulkami ( ) ( ) R R 2 ( ) ( R R 2 + R Důležité: značení úprav budeme vždy vypisovat. ) R1 R 2 Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 2. týdnu 7/9
13 Povolené úpravy tabulek (tzv. elementární úpravy) 1 Prohození dvou řádků. 2 Vynásobení řádku nenulovým reálným číslem. 3 Přičtení jednoho řádku k jinému řádku. Tyto úpravy lze shlukovat (ovšem obezřetně). Například je možné nový třetí řádek nahradit řádkem tvaru R 3 + 6R 1 7R 2. Pozorování 1 Elementární úpravy jsou vratné. 2 Elementární úpravy nemění řešení soustavy. 3 Po konečně mnoha elementárních úpravách dostaneme horní blokový tvar. Důležité Po úpravách může vyjít řádek samých nul (rovnice 0 = 0). Nulový řádek nebudeme ze soustavy vyškrtávat. Soustava na začátku a na konci výpočtu musí mít stejný počet rovnic. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 2. týdnu 8/9
14 Teoretické otázky a teoretické dovednosti 1 Jsou dány dva různé body v R 2. Napište rovnici přímky, která těmito dvěma body prochází. 2 Jsou dány dva různé body v R 3. Napište rovnici přímky, která těmito dvěma body prochází. 3 Napište (jakoukoli) soustavu lineárních rovnic nad R, jejímž řešením je přímka v R 2. 4 Napište (jakoukoli) soustavu lineárních rovnic nad R, jejímž řešením je přímka v R 3. 5 Napište (jakoukoli) soustavu lineárních rovnic nad R, jejímž řešením je rovina v R 3. 6 Napište (jakoukoli) soustavu lineárních rovnic nad R, jejímž řešením je prázdná množina v R 3. 7 Promyslete, zda obecné úvahy tohoto cvičení podstatně souvisí s lineárními prostory R 2 a R 3. Pokud ne, zobecněte je na řešení soustav r rovnic o s neznámých (nad R, C, atd). Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 2. týdnu 9/9
15 Co byste měl/a zvládnout po 3. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 3. týdnu 1/7
16 Základní slovník a základní definice 1 Axiomy obecného tělesa F. 2 Axiomy lineárního prostoru (komutativita operace, asociativita operace) nad obecným tělesem F. Vektor, skalár. Lineární podprostor lineárního prostoru. 3 Seznam vektorů, lineární kombinace seznamu vektorů. 4 Lineární závislost/nezávislost seznamu a množiny vektorů. 5 Lineární obal množiny vektorů. Základní lineární prostory 1 Vektory v rovině. 2 Q n, R n, C n, R[x], C[x],... 3 Proč Z n spolu se zřejmými operacemi netvoří lineární prostor? Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 3. týdnu 2/7
17 Teoretické otázky 1 At L je lineární prostor nad tělesem F. At α, β jsou libovolné skaláry a at u, v jsou libovolné vektory z L; o je nulový vektor v L. Dokažte nebo vyvrat te: 1 u v = o iff u = v. 2 α u = β u iff α = β nebo u = o. 3 α u = α v iff α = 0 nebo u = v. 2 Rozhodněte, zda v libovolném lineárním prostoru L nad F platí rovnosti ( n ) m n m m n α i u j = α i u j = α i u j i=1 j=1 i=1 j=1 j=1 i=1 kde α i jsou libovolné skaláry (i = 1,..., n) a u j jsou libovolné vektory (j = 1,..., m). Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 3. týdnu 3/7
18 Početní příklady (prostory a jejich podprostory) Rozhodněte, zda platí: 1 Množina R N všech posloupností reálných čísel je lineární prostor nad R, když operace definujeme po složkách : (a n ) + n=0 + (b n) + n=0 = (a n + b n ) + n=0, α (a n) + n=0 = (α a n) + 2 Množina W = { r + 2s + t 2r + s t 3r + 3s + t podprostorem prostoru R 3. n=0. r, s, t R} je lineárním 3 Množina C =2 017 [t] všech polynomů s komplexními koeficienty v neurčité t stupně přesně je lineárním podprostorem prostoru C[t]. 4 Množina C [t] všech polynomů s komplexními koeficienty v neurčité t stupně maximálně je lineárním podprostorem prostoru C[t]. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 3. týdnu 4/7
19 Početní příklady (lineární závislost a nezávislost) 1 Rozhodněte o lineární závislosti či nezávislosti seznamů vektorů: 1 ( u 1, u 2, u 3, u 1 + u 2 ) v libovolném lineárním prostoru L nad R. 2 ( 1 2 3, 3 1 2, ) v lineárním prostoru R 3. 2 Je možné nalézt číslo a R tak, aby množina vektorů 1 3 a 2, 1, byla lineárně závislá v R 3? Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 3. týdnu 5/7
20 Početní příklady (lineární obal) 1 Určete span(m) v R[z], kde M = {0, z + 1, z, z 2 z, 3z 2 + z + 1}. Lze nalézt množinu N tak, aby platilo N M a současně N M a současně span(n) = span(m)? 2 At C je chápáno jako lineární prostor nad R. Nalezněte množinu M v C s co nejmenším počtem prvků tak, aby span(m) = C. Je množina M určena jednoznačně? Pokud ano, dokažte to. Pokud ne, nalezněte další takovou množinu. 3 Nalezněte množinu M v C 4 s co nejmenším počtem prvků tak, a aby span(m) = { b c a, b, c C}. 0 Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 3. týdnu 6/7
21 Teoretické příklady (lineární obal) 1 Rozhodněte, zda v obecném lineárním prostoru L nad F platí (kde M 1, M 2 a M jsou libovolné podmnožiny L a v je libovolný vektor v L): 1 span(m 1 M 2 ) = span(m 1 ) span(m 2 ). 2 span(m 1 M 2 ) = span(m 1 ) span(m 2 ). 3 v span(m) iff M { v} je lineárně závislá množina. 2 Navrhněte, jak v libovolném lineárním prostoru L nad F zjistit rovnost span{ u 1,..., u n } = span{ v 1,..., v m } kde u i a v j jsou libovolné vektory z lineárního prostoru L (i = 1,..., n a j = 1,..., m). Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 3. týdnu 7/7
22 Co byste měl/a zvládnout po 4. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 4. týdnu 1/9
23 Slovník základních pojmů Množina generátorů lineárního prostoru, (uspořádaná) báze lineárního prostoru, dimense lineárního prostoru, souřadnice vektoru vzhledem k uspořádané bázi. Spojení dvou lineárních podprostorů lineárního prostoru. Základní fakta o dimensi 1 Pro každé n 0 je dim(f n ) = n. 1 Pro n = 0 je K 0 = (jediná, tudíž i kanonická) uspořádaná báze prostoru F 0 = { o}. 2 Pro n 1 je seznam K n = (e 1,..., e n ) kanonická báze prostoru F n. Zde e i má na i-té posici 1, všude jinde 0. 2 Příklady lineárních prostorů, které nemají konečnou dimensi: 1 Prostor R[x] všech reálných polynomů. 2 Prostor R (s obvyklými operacemi) nad tělesem Q. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 4. týdnu 2/9
24 Důležitá poznámka Dimense lineárního prostoru typicky závisí na volbě skalárů. Například: 1 Prostor R nad tělesem R má dimensi 1. 2 Prostor R nad tělesem Q nemá konečnou dimensi. a Kdykoli není jasné nad jakým tělesem F o daném lineárním prostoru L uvažujeme, budeme poctivě psát lineární prostor L nad F. a Najděte tři lineárně nezávislé vektory lineárního prostoru R nad tělesem Q. Dovedete najít čtyři lineárně nezávislé vektory? Pět? Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 4. týdnu 3/9
25 Báze a dimense: početní příklady 1 Rozhodněte, zda seznamy B 1, B 2, B 3 jsou (uspořádané) báze lineárního prostoru R 3 nad R, kde B 1 = ( 2, 2, 0 ) B 2 = ( B 3 = ( ,, ), ) Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 4. týdnu 4/9
26 Báze a dimense: početní příklady (pokrač.) 2 Chápejte C (spolu s obvyklými operacemi) jako lineární prostor nad tělesem R. Nalezněte dvě různé uspořádané báze B 1, B 2 lineárního prostoru C nad R. Uspořádané báze B 1 a B 2 se nesmí lišit pouze pořadím svých prvků. Porovnejte: 1 dim(c n ), kde C n je lineární prostor nad tělesem C. 2 dim(c n ), kde C n je lineární prostor nad tělesem R. 3 Nalezněte dvě různé uspořádané báze B 1, B 2 lineárního prostoru Q 2 [x] = {p(x) Q[x] deg(p(x)) 2} nad Q. Uspořádané báze B 1 a B 2 se nesmí lišit pouze pořadím svých prvků. 4 Nalezněte bázi lineárního podprostoru span{2 + x, 1 + 2x} v prostoru C[x] nad C. 5 At V a W jsou lineární podprostory prostoru R 5 nad R, at dim(v ) = dim(w ) = 3. Co lze říci o dim(v W )? Co lze říci o dim(v W )? Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 4. týdnu 5/9
27 Báze: teoretické příklady 1 At seznam B = ( b 1,..., b n ) tvoří uspořádanou bázi lineárního prostoru L nad F, n 1. At se seznam C liší od seznamu B pouze pořadím svých prvků. Dokažte, že C je uspořádaná báze prostoru L. Dejte tomuto tvrzení geometrickou interpretaci. 2 Dokažte, že žádný seznam tvaru B = ( b 1,..., b n 1 ) nemůže tvořit bázi prostoru F n nad F, kde n 2. 3 At L je lineární prostor konečné dimense nad F. Navrhněte algoritmy, řešící následující problémy: 1 Pro lineárně nezávislý seznam S hledáme uspořádanou bázi B prostoru L tak, aby seznam S byl prefixem seznamu B. a 2 Pro konečnou množinu G, která generuje L, hledáme uspořádanou bázi B prostoru L tak, aby seznam B obsahoval pouze prvky množiny G. b a Tj. seznam S chceme rozšířit na bázi B. b Tj. z konečné množiny generátorů G chceme vybrat bázi B. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 4. týdnu 6/9
28 Báze: teoretické příklady (pokrač.) 4 Navrhněte algoritmus pro nalezení (nějaké) báze lineárního prostoru konečné dimense. Souřadnice: početní příklady ( 1 2 Najděte souřadnice vektoru 3 vzhledem k uspořádané bázi ( ) ( ) B = (, ) ( 3 ) ( 1 ) C = (, ) ( 1 ) ( 3 ) D = (, ) 1 2 ) v prostoru R 2 nad R Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 4. týdnu 7/9
29 Souřadnice: početní příklady (pokrač.) 2 V prostoru R 3 [x] nad R nalezněte souřadnice polynomu p(x) = 6x 3 7x + 12 vzhledem k bázi 1 B = (1, x, x 2, x 3 ) 2 C = (12, 7x, 15x 2, 6x 3 ) Jak se změní souřadnice v bázi B pro polynom d dx p(x) = 18x 2 7? 3 At B = ( b 1, b 2, b 3 ) je jakákoli uspořádaná báze prostoru R 3 v 1 nad R. Označme coord B ( v) = v 2. v 3 Ukažte, že platí: jestliže v 1 0, potom je seznam ( v, b 2, b 3 ) opět uspořádaná báze prostoru R 3. Dejte tomuto výsledku a geometrickou interpretaci. a V plné obecnosti se tomuto výsledku říká Exchange Lemma (také: Steinitzova věta o výměně), viz další stranu. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 4. týdnu 8/9
30 Exchange Lemma (Steinitzova věta o výměně) Dokažte následující tvrzení: a At B = ( b 1,..., b n ) je jakákoli uspořádaná báze lineárního prostoru L nad F, n 1. At v je libovolný vektor z L a at B[ v b i ] je seznam vektorů, který se od B liší pouze výměnou vektoru b i za vektor v. v 1 v 2 Dále označme coord B ( v) =.. Potom pro libovolné i = 1,..., n platí: jestliže v i 0, potom je seznam B[ v b i ] opět uspořádaná báze prostoru L. a Nevíte-li jak: projděte si podrobně Lemma skript. v n Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 4. týdnu 9/9
31 Co byste měl/a zvládnout po 5. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 5. týdnu 1/7
32 Slovník základních pojmů Lineární zobrazení, matice lineárního zobrazení. Operace s lineárními zobrazeními, operace s maticemi. Velmi důležitý teoretický výsledek Zadat lineární zobrazení f : L 1 L 2 je totéž jako zadat zobrazení h : B 1 L 2, kde B 1 je libovolná báze lineárního prostoru L 1. Důležitá instance výše uvedeného Zadat lineární zobrazení f : F s F r je totéž jako zadat seznam s vektorů (f(e 1 ),..., f(e s )) v F r. Tomuto seznamu říkáme matice zobrazení f (vzhledem ke kanonickým bázím). Taková matice je tabulka skalárů, která má r řádků a s sloupců. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 5. týdnu 2/7
33 Početní příklady Spočtěte A + B, a A, a B, A B, B A (ovšem pouze v případě, kdy jsou dané operace definovány). ( ) ( ) Nad R: A =, B =, a = ( ) ( ) Nad R: A =, B =, a = ( ) i Nad C: A =, B = ( 3 i 4 + i ), a = i. 1 ( ) ( ) x Nad R: A =, B =, a = 10, x, y jsou y parametry z R. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 5. týdnu 3/7
34 Matice základních lineárních transformací v rovině Zadejte maticemi: rotaci o úhel α, projekce na osy, změnu měřítka (a-krát na ose x, b-krát na ose y). Jednotlivé matice označte jako R α, P x, M a,b. 1 Zakreslete akci příslušných lineárních zobrazení na prvcích kanonické báze prostoru R 2. 2 Zakreslete akce následujících lineárních zobrazení R 2 M a,b R 2 M a,b R 2 R 2 R α R 2 R β R 2 R 2 P x R 2 P y R 2 R 2 R α R 2 M a,b R 2 R 2 M a,b+p x R 2 R α R 2 R 2 α R α R 2 R α R 2 R 2 M a,b R 2 M a,b R 2 M 1/a.1/b R 2 Rα Px R 2 Py Rβ R 2 na prvcích kanonické báze R 2. Zapište algebraicky matice jednotlivých zobrazení. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 5. týdnu 4/7
35 Další zajímavé transformace roviny 1 Ukažte, že translace (posunutí) o pevný vektor b v rovině obecně není lineární zobrazení. a 2 Dejte geometrický význam matici ( ) 1 b S a,b = a 1 nad R. Vysvětlete, proč se této transformaci anglicky říká shear (česky: zkosení). Dejte geometrický význam hodnotám a a b. a Tuto potíž elegantně řeší projektivní geometrie. Zájemce odkazujeme na (nepovinný) handout číslo 14. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 5. týdnu 5/7
36 Maticové rovnice jako doplňovačky Maticovou rovnici A X = B lze interpretovat jako hledání zobrazení X : F s F p, které doplňuje diagram F s X F p A F r Jak vypadá speciální případ s = 1? Uvědomte si výhody zápisu rovnic pomocí diagramů (rozměrová zkouška). B Pokuste se uhodnout, jak vypadají některá řešení maticové rovnice R 2 X R 2 R α R 2 X R 2 R α Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 5. týdnu 6/7
37 Mírná ukázka počítačové grafiky Zadejte písmeno A jako seznam následujících pěti bodů v R 2 ( 2 ) ( 10 ) ( ) ( ) ( ) a 1 = 3 a 0 2 = a 0 3 = a 1 4 = a 1 5 = 4 Nakreslete si obrázek. ( 2 ) 10 Označte A = a dejte geometrický význam maticím R α A, M a,b A, S a,b A, atd. Kreslete obrázky. Základní lineární transformace v R 3 Zadejte maticemi základní lineární transformace ve 3D prostoru (rotaci o úhel podle některé souřadnicové osy, změnu měřítka, projekce na jednotlivé osy, zkosení). a a Postupujte systematicky: studujte akci daného lineárního zobrazení na jednotlivých prvcích kanonické báze prostoru R 3. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 5. týdnu 7/7
38 Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 6. týdnu 1/8
39 Slovník základních pojmů Monomorfismus, epimorfismus, isomorfismus. Jádro, obraz, defekt a hodnost lineárního zobrazení. Uspořádaná báze, souřadnice vzhledem k uspořádané bázi. Matice lineárního zobrazení vzhledem k daným bázím, diagram a e j j-tý sloupec A f = coord C (f( b j )) bj F s coord B L 1 x A f x f F r L 2 coord C f( b j ) kde B = ( b 1,..., b s ) je uspořádaná báze lineárního prostoru L 1 a C = ( c 1,..., c r ) je uspořádaná báze lineárního prostoru L 2. a Důležité: připomeňte si rozdíl mezi (šipkou) a (šipkou s patkou). Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 6. týdnu 2/8
40 Příklad (jádro, obraz, defekt a hodnost) Spočtěte jádro, obraz, defekt a hodnost lineárního zobrazení 1 der : R 4 [x] R 4 [x] (ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e) (4ax 3 + 3bx 2 + 2cx + d) ( ) 2 cos α sin α R α : R 2 R 2, kde R α = sin α cos α ( ) P x : R 2 R 2, kde P x = 0 0 Příklad (věta o dimensi jádra a obrazu) Pro matici M : R 6 R 7 jsme zjistili, že def(m) = 4 a rank(m) = 3. Je to možné? a a Pokud si nejste jisti odpovědí, podívejte se na Větu ve skriptech. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 6. týdnu 3/8
41 Příklad (defekt a hodnost po aplikaci isomorfismu) Ukažte, že pro libovolnou regulární matici M : F r F r a libovolnou matici A : F s F r platí rovnosti: def(m A) = def(a) a rank(m A) = rank(a). Návod: nejprve dokažte, že ker(m A) = ker(a). Pak použijte definici defektu a větu o dimensi jádra a obrazu. Inverse čtvercové matice At A : F n F n je pevná matice. Ukažte, že následující podmínky jsou ekvivalentní: 1 Pro libovolnou matici B : F n F n má rovnice A X = B právě jedno řešení. 2 Rovnice A X = E n má právě jedno řešení. 3 Matice A je regulární. Návod: má-li rovnice A X = E n právě jedno řešení, dokažte, že lineární zobrazení A : F n F n je epimorfismus. Pak použijte větu o dimensi jádra a obrazu a ukažte, že A musí být regulární matice. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 6. týdnu 4/8
42 Matice transformací roviny vzhledem k bázi B = (e 2, e 1 ) 1 Bázi B = (e 2, e 1 ) prostoru R 2 dejte geometrický význam. 2 Spočtete matice rotace, změny měřítka, projekce na osy, zkosení (shear) v bázi B. Ke všem úlohám kreslete obrázky. Matice lineárního zobrazení Najděte matici lineárního zobrazení der : R 4 [x] R 4 [x] (ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e) (4ax 3 + 3bx 2 + 2cx + d) vzhledem 1 k bázi B = (x 4, x 3, x 2, x, 1), 2 k bázi C = (1, x, x 2, x 3, x 4 ), 3 k bázím D = ((x 2) 4, (x 2) 3, (x 2) 2, (x 2), 1) a B = (x 4, x 3, x 2, x, 1). Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 6. týdnu 5/8
43 Další matice lineárního zobrazení Ukažte, že zobrazení a p(x) p(2x + 1) je lineární zobrazení z prostoru R 2 [x] do prostoru R 2 [x]. Najděte matici tohoto lineárního zobrazení vzhledem k bázi (x 2, x, 1). a Pokud si nejste jisti, jak toto zobrazení pracuje, spočtěte si nejdříve třeba (x 2 2) ((2x + 1) 2 2) a (3x 2 + 2x) (3(2x + 1) 2 + 2(2x + 1)). Matice součtu lineárních zobrazení a skalárního násobku lineárního zobrazení At lineární zobrazení f : L 1 L 2 a g : L 1 L 2 mají matice A f a A g vzhledem k bázím B a C. Ukažte: 1 Lineární zobrazení f + g : L 1 L 2 má matici A f + A g vzhledem k bázím B a C. 2 Pro libovolný skalár a z F má lineární zobrazení a f : L 1 L 2 matici a A f vzhledem k bázím B a C. Návod: využijte diagramy pro hledání matic lineárních zobrazení. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 6. týdnu 6/8
44 Příklad (Lagrangeova interpolace) At a 1,..., a n jsou navzájem různá reálná čísla. 1 Ukažte, že zobrazení je lineární. ev (a1,...,a n) : R n 1 [x] R n, 2 Ukažte, že ev (a1,...,a n) je monomorfismus. 3 Proč je ev (a1,...,a n) isomorfismus? p(a 1 ) p(a 2 ) p(x). p(a n ) 4 Odvod te z výše dokázaného: pro navzájem různá reálná čísla a 1,..., a n a jakákoli reálná čísla b 1,..., b n existuje v R n 1 právě jeden polynom a p(x) takový, že platí p(a 1 ) = b 1,..., p(a n ) = b n. a Říkáme mu Langrangeův interpolační polynom. Vysvětlete, proč se mu říká interpolační. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 6. týdnu 7/8
45 Příklad (Lagrangeova interpolace, pokrač.) 5 Zvolte n = 3 a zvolte a 1 = 2, a 2 = 0 a a 3 = 2. Najděte matici A lineárního zobrazení ev (a1,a 2,a 3 ) : R 2 [x] R 3 vzhledem k bázím (x 2, x, 1) a K 3. Využijte diagramy R 3 A R 3 R 3 A 1 R 3 coord (x 2,x,1) coord K3 coord K3 coord (x 2,x,1) R 2 [x] ev (a1,a 2,a 3 ) R 3 R 3 R 2 [x] (ev (a1,a 2,a 3 )) 1 k návrhu postupu, jak najít polynom p(x) v R 2 [x], pro který platí p( 2) = 6, p(0) = 2, p(2) = 2. 6 Předcházející myšlenky zobecněte na původní situaci navzájem různých reálných čísel a 1,..., a n. 7 Hraje v předcházejících úvahách nějakou roli těleso R? Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 6. týdnu 8/8
46 Co byste měl/a zvládnout po 7. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 7. týdnu 1/5
47 Slovník základních pojmů a přehled základních výsledků 1 Matice lineárního zobrazení f : L 1 L 2 vzhledem k uspořádaným bázím B = ( b 1,..., b s ) prostoru L 1 a C = ( c 1,..., c r ) prostoru L 2. 2 Základní vlastnosti výpočtu matic komplikovanějších zobrazení (matice složeného zobrazení g f, matice součtu zobrazení f 1 + f 2, matice skalárního násobku a f). 3 Matice T B C transformace souřadnic z báze B do báze C. a 4 Základní vlastnosti matic transformace souřadnic: T B B = E n, T B D = T C D T B C, T C B = (T B C ) 1. 5 Změna matice zobrazení f : L 1 L 2 při změně bází v prostorech L 1 a L 2. a Upozornění: v některých knihách je definován pojem matice přechodu od jedné báze ke druhé bázi. To je jiný pojem než matice transformace souřadnic! Pojem matice přechodu (od báze k bázi) nebudeme v této přednášce používat. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 7. týdnu 2/5
48 Výpočet souřadnic v netradiční bázi prostoru R 2 nad R Kromě ( kanonické ) báze ( K ) 2 uvažujte v R 2 i o bázi B = (b 1, b 2 ), kde 1 1 b 1 =, b 3 2 =. 2 1 Spočítejte ( (bez ) využití matic ( ) transformace souřadnic) 5 5 coord K2, coord 5 B. Nakreslete příslušné obrázky 5 v jednotlivých souřadnicových systémech K 2 a B. 2 Nalezněte matici T B K2 z definice (tj. pomocí komutativního diagramu). ( ) 3 Zakreslete v R 2 v1 vektor v =, pro který platí rovnost v ( ) 2 2 coord B (v) =. Spočítejte součin T 1 B K2 coord B (v). Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 7. týdnu 3/5
49 Výpočet souřadnic v netradiční bázi prostoru R 2 nad R (pokrač.) 4 Jakou rovnost ( musí splňovat ) matice T K2 B? Ukažte, že platí 2 1 T K2 B = ( ) Matici M 2,3 = interpretujte jako matici změny 0 3 měřítka vzhledem k bázím K 2 a K 2. Spočítejte součin T K2 B M 2,3 T B K2. Jaký je význam součinu ( ) T K2 B M 2,3 T B K2 coord B (v), 2 kde coord B (v) =? 1 Nakreslete obrázek v R 2. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 7. týdnu 4/5
50 Transformace souřadnic v R 2 [x] nad R 1 Ukažte, že B = (x 2, x, 1) a C = ((x 3) 2, (x 3), 1) jsou uspořádané báze prostoru R 2 [x]. 2 Pro polynom p(x) = 2x 2 7x + 10 nalezněte vektory coord B (p(x)) a coord C (p(x)) bez použití matic transformace souřadnic. 3 Nalezněte (z definice) matici T C B Ověřte, a že musí platit rovnost T B C = Spočtěte součin T B C coord B (q(x)) pro obecný polynom q(x) = ax 2 + bx + c z R 2 [x]. Co tento výpočet říká o rozvoji polynomu maximálně druhého stupně se středem v bodě 3? a Využijte k tomu obecných vlastností matic transformace souřadnic. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 7. týdnu 5/5
51 Co byste měl/a zvládnout po 8. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 8. týdnu 1/9
52 Slovník základních pojmů Maticový zápis soustavy lineárních rovnic. Matice soustavy, rozšířená matice soustavy. Gaussova eliminační metoda, elementární řádkové úpravy, horní blokový tvar matice. Frobeniova věta. Maticové rovnice. Inversní matice ke čtvercové matici. Probírané dovednosti Kromě obvyklého zopakování teoretických pojmů jde především o početní dovednosti: využití GEM pro řešení lineárních soustav, hledání inverse čtvercové matice a řešení maticových rovnic. Zápis řešení soustavy A x = b nad F Řešení zapisujeme zásadně v jednom z následujících tvarů d p + span(x 1,..., x d ), p + α i x i, α i F, kde x 1,..., x d je fundamentální systém homogenní rovnice A x = o a p je partikulární řešení rovnice A x = b. i=1 Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 8. týdnu 2/9
53 Řešení soustav Vyřešte nad R soustavy zadané rozšířenými maticemi: ( ) ( ) ( 2a a 4 a ), kde a R je parametr Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 8. týdnu 3/9
54 Nalezení soustavy, známe-li její řešení Nalezněte (jakoukoli) soustavu nad R, která má následující řešení: 1 ( span( ) ( 3 + span( , ) ), ) Postup zobecněte pro obecné těleso F: dejte návrh procedury, která nalezne (nějakou) soustavu lineárních rovnic nad F, která má zadané řešení. a a Nejste-li si jisti, podívejte se na Tvrzení skript. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 8. týdnu 4/9
55 Hledání inversní matice pomocí GEM 1 Vysvětlete, proč metoda (A E n )... (E n A 1 ) hledání inverse matice A typu n n opravdu funguje. a 2 Pro matice ( ) nad R nalezněte inverse (pokud existují). 3 Nalezněte inversi matice ( i i 2 nad C (pokud existuje). ( ) a Návod: uvažujte o paralelním řešení maticové rovnice A X = E n. Ukažte, že výpočet lze zobecnit na (A B)... (E n A 1 B). ) Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 8. týdnu 5/9
56 Maticové rovnice Nad R vyřešte následující maticové rovnice: a ( ) A X = B, kde A = a B = 2 2 ( ) A X = X A, kde A =. 3 2 ( ) A X = X, kde A = (A + B) 3 X = (A + B) 2, kde A = ( ) 3 4 B =. 2 6 ( ( ) a a Návod: zjistěte vždy nejprve rozměry hledané matice X a jednotlivé položky nalezněte řešením příslušných soustav lineárních rovnic. ). Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 8. týdnu 6/9
57 Ne zcela geometrické aplikace soustav lineárních rovnic 1 Pro chemickou reakci a xc 4 H 10 + yo 2 uco 2 + vh 2 O sestavte příslušnou soustavu lineárních rovnic a vyřešte ji. Proč tato soustava nemá pouze jedno řešení? 2 Virus existuje ve třech mutacích M 1, M 2 a M 3. Počáteční populaci viru označte jako vektor x 0 v R 3. At se vývoj populace viru v diskrétním čase řídí maticovou rovnicí x n+1 = A x n, n 0. Definujte ekvilibrium (také: rovnovážný stav) populace viru jako řešení jisté maticové rovnice. Navrhněte nutnou a postačující podmínku pro existenci alespoň jednoho nenulového ekvilibria populace viru. b a Jde o rovnici hoření butanu. b Kĺıčová slova k problémům tohoto typu: discrete dynamical systems. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 8. týdnu 7/9
58 Aplikace soustav lineárních rovnic (pokrač.) 3 Leontiefův a input-output model ekonomiky je dán dvěma následujícími požadavky: 1 i-tý sektor z n různých sektorů ekonomiky spotřebuje na jednotku své produkce c ij jednotek produkce j-tého sektoru. 2 Navíc: poptávka po produkci i-tého sektoru je d i jednotek. Matici C = (c ij ) typu n n se říká consumption matrix, vektoru d = (d i ) se říká demand vector. Co říká zápis x n+1 = C x n + d, kde n je přirozené číslo? Sestavte maticovou rovnici pro ekvilibrium dané ekonomiky. Jaké podmínky zaručí existenci právě jednoho ekvilibria? a W. W. Leontief ( ) byl americký ekonom ruského původu. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 8. týdnu 8/9
59 Aplikace soustav lineárních rovnic (pokrač.) 4 Matici A typu n n nad R říkáme řádkově stochastická, pokud je součet položek na každém řádku matice A roven číslu 1. Ukažte, že pro řádkově stochastickou matici A = (a 1,..., a n ) platí rovnost 1 n n 1 a j = e j = j=1 j=1. 1 Z výše uvedené rovnosti odvod te, že rovnice A x = x má vždy nenulové řešení, jestliže A je řádkově stochastická matice. a a Tohoto faktu vtipně využívá například algoritmus PageRank, viz K. Bryan a A. Leise, The $ 25,000,000,000 eigenvector: The linear algebra behind Google, SIAM Rev (2006), , nebo Dodatek F skript. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 8. týdnu 9/9
60 Co byste měl/a zvládnout po 9. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 9. týdnu 1/6
61 Zamyšlení po napsání 1. testu: Matematika je součástí kultury lidstva. 1 Matematika je jazyk; je nutné znát (a správně používat) některá označení:, =,,, {a, b, c}, atd. 2 Definice, věty, a další matematické útvary píšeme v přirozeném jazyce: česky, slovensky, atd. Gramatiku přirozeného jazyka je třeba ovládat. 3 Důkaz je forma korektní argumentace, která přesvědčuje oponenta o pravdivosti tvrzení. Podívejte se na krátký text o matematických důkazech od Eugenie Cheng. Podívejte se i na texty o typech nematematických důkazů: a 1 Proof by authority. 2 Proof by inductive reasoning. (Neplést s důkazem indukcí!) 3 Proof by ad hominem argumentation. 4 Non sequitur proof. 5 A řadu dalších... a Kĺıčová slova píši anglicky pro usnadnění vyhledávání. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 9. týdnu 2/6
62 Základní slovíčka pro cvičení Permutace, různé zápisy permutace (výčtem hodnot, tabulkou, strunovým diagramem), znaménko permutace, skládání permutací. Determinant čtvercové matice. Základní výpočetní dovednosti pro cvičení Výpočet znaménka permutace ze strunového diagramu. Geometrický význam determinantu matice A : R 2 R 2. Dva základní způsoby výpočtu determinantu: 1 Výpočet determinantu z definice. a 2 Výpočet determinantu pomocí GEM. b a Je třeba bezpečně ovládat výpočty determinantu z definice pro matice typu 2 2 a 3 3. b Při výpočtu determinantu pomocí GEM je třeba postupovat opatrně: projděte si Příklad skript. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 9. týdnu 3/6
63 Permutace: početní příklady Každou z níže uvedených permutací zapište ve všech dalších druzích zápisu. U každé z permutací určete její znaménko. 1 π: 1 3, 2 1, 3 2, 4 5, 5 4, 6 6. [ ] ρ = σ = Spočtěte složení ρ π a σ ρ π 1 využitím všech tří způsobů zápisu permutací. U permutací ρ π a σ ρ π 1 určete znaménko. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 9. týdnu 4/6
64 Determinanty: početní příklady Spočtěte následující determinanty (bud z definice, nebo použitím GEM, nebo kombinací jednotlivých metod) nad R: , , det(a xe 3 ), kde A = a x je neurčitá Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 9. týdnu 5/6
65 Determinanty a rovnice přímek a rovin Ukažte, a že rovnici přímky v R 2, která prochází body ( ) b1, lze napsat jako b 2 x a 1 b 1 y a 2 b = 0. ( a1 a 2 ) a Úvahu o rovnici přímky zobecněte: napište rovnici roviny v R 3, a 1 b 1 c 1 která prochází body a 2 a 3, b 2 b 3 a c 2 c 3. a Návod: využijte geometrickou interpretaci determinantu. Nevíte-li jak, podívejte se na Příklad skript. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 9. týdnu 6/6
66 Co byste měl/a zvládnout po 10. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 10. týdnu 1/8
67 Zopakování všech pojmů a tvrzení týkajících se soustav lineárních rovnic 1 Elementární řádková úprava, horní blokový tvar matice, GEM. 2 Hodnost matice, jádro matice, defekt matice. 3 Maticový zápis soustavy, matice soustavy, rozšířená matice soustavy. 4 Frobeniova věta. 5 Regularita čtvercové matice. Různé metody výpočtu inversní matice. 6 Adjungovaná matice ke čtvercové matici, Cramerova věta. 7 Geometrický význam Cramerovy věty pro regulární soustavy s maticí typu 2 2 nad R. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 10. týdnu 2/8
68 Výpočet determinantu rozvojem podle sloupce nebo řádku Nad R spočtěte determinanty , , rozvojem podle vhodně zvoleného řádku nebo sloupce. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 10. týdnu 3/8
69 Příklady (invertování pomocí adjungované matice) 1 Zjistěte pomocí determinantu, zda je matice invertibilní. Pokud ano, najděte inversi pomocí adjungované matice (tj. výpočtem algebraických doplňků). 2 Nalezněte inverse následujících komplexních matic a σ x = ( ) σ y = ( 0 i i 0 ) σ z = ( pomocí adjungované matice (tj. výpočtem algebraických doplňků). a Jde o matice velmi důležité v kvantovém počítání: podívejte se na heslo Pauli gates. ) Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 10. týdnu 4/8
70 Příklady (invertování pomocí algebraických doplňků) 3 Pomocí adjungované matice invertujte matici a cos α sin α 0 0 R α = sin α cos α Pomocí adjungované matice invertujte matici b cosh α sinh α 0 0 L α = sinh α cosh α a Dejte matici R α : R 4 R 4 geometrický význam. Návod: přemýšlejte o rotaci v rovině. b Dejte matici L α : R 4 R 4 geometrický význam. Návod: přemýšlejte o rotaci v hyperbolické rovině a podívejte se na heslo Lorentz transformation. Připomenutí: sinh α = eα e α, cosh α = eα +e α, takže cosh 2 α sinh 2 α = Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 10. týdnu 5/8
71 Příklady (Cramerova věta) 1 Ukažte pomocí determinantu, že matice soustavy je regulární. Nalezněte druhou položku řešení této soustavy. 2 Napište všechna řešení soustavy a a v závislosti na parametru a R. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 10. týdnu 6/8
72 Příklady (Cramerova věta, pokrač.) 3 Najděte všechna řešení soustavy a a v závislosti na parametru a R. 4 Najděte všechny hodnoty parametrů a, b, c R, pro které má soustava b + c a + c a + b 2 a b c jediné řešení. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 10. týdnu 7/8
73 Závěrečné shrnutí 1 GEM je universální metoda řešení soustav lineárních rovnic. Lze ji tedy použít i pro: 1 Řešení maticových rovnic. 2 Invertování matic. 2 V některých speciálních situacích je rozumné GEM kombinovat s jinými metodami (např. Cramerovou větou). Například: 1 Výpočet inverse matice pomocí algebraických doplňků. Tento postup je zvlášt vhodný pro čtvercové matice obsahující parametry. 2 Hledání řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí. Tento postup je zvlášt vhodný pro čtvercové matice soustav, které obsahují parametry. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 10. týdnu 8/8
74 Co byste měl/a zvládnout po 11. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 11. týdnu 1/8
75 Základní pojmy 1 Vlastní hodnota (vlastní číslo) lineárního zobrazení/matice, vlastní vektor lineárního zobrazení/matice. 2 Vlastní podprostor (také: invariantní podprostor). 3 Charakteristický polynom matice. 4 Algebraická násobnost a geometrická násobnost vlastní hodnoty (vlastního čísla). 5 Diagonalisace matice. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 11. týdnu 2/8
76 Početní příklady Nalezněte vlastní hodnoty a vlastní podprostory následujících zobrazení z R 2 do R 2 : 1 Rotace kolem počátku o úhel α proti směru hodinových ručiček. 2 Projekce na osu x. 3 Změna měřítka (a-krát na ose x, b-krát na ose y, kde a 0, b 0). 4 Zkosení (shear), tj zobrazení, které je dáno maticí S a,b = vzhledem ke kanonické bázi R 2. ( 1 b a 1 Pokud to jde, diagonalisujte matice jednotlivých zobrazení vzhledem ke kanonické bázi R 2. ) Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 11. týdnu 3/8
77 Početní příklady Diagonalisujte (pokud to jde) následující matice: ( ) nad R nad R ( ) nad C. 5 2 Diagonalisace a umocňování Spočtěte N a M pro matice a N = ( ) 3 2 M =. 0 2 ( ) 2 0 a 0 3 a Návod: matici M nejprve diagonalisujte a pro umocňování využijte tvaru rovnice pro diagonalisaci. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 11. týdnu 4/8
78 Početní příklad Pro lineární zobrazení der : R 3 [x] R 3 [x] ax 3 + bx 2 + cx + d 3ax 2 + 2bx + c nalezněte (reálné) vlastní hodnoty a vlastní vektory. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 11. týdnu 5/8
79 Teoretické příklady 1 At x je nenulový vektor v lineárním prostoru L nad obecným tělesem F. Může být x vlastním vektorem nějakého lineárního zobrazení f : L L? 2 At a je skalár z tělesa F. At x je nenulový vektor v lineárním prostoru L nad tělesem F. Může být x vlastním vektorem příslušným skaláru a pro nějaké lineární zobrazení f : L L? 3 At f : L L je lineární zobrazení, kde L je lineární prostor nad obecným tělesem F. Předpokládejte, že skalár a z F je vlastní hodnotou zobrazení f a at v je příslušný vlastní vektor. Ukažte, že pro libovolné skaláry b, c z tělesa F je vektor v vlastním vektorem lineárního zobrazení b f + c id : L L. Jaká je vlastní hodnota příslušná tomuto vlastnímu vektoru v? Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 11. týdnu 6/8
80 Příklad pro zamyšlení ( ) a b Uvažujte o regulární matici A tvaru nad R. b a 1 Ukažte, že A (chápaná jako matice nad C) má vlastní hodnoty λ 1 = a + bi, λ 2 = a bi. 2 Označte r = λ 1 = λ 2 = a 2 + b 2. Dále označte jako α ( ) ( ) 1 a úhel a mezi vektory a. 0 b Ukažte, že platí rovnost ( r 0 A = 0 r ) ( cos α sin α sin α cos α Dejte této rovnosti geometrickou interpretaci. b a Úhlu α se říká argument komplexního čísla a + bi. Platí tedy rovnost a + bi = r (cos α + i sin α) = r e iα. b Návod: každá z obou matic má jasnou geometrickou interpretaci. ) Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 11. týdnu 7/8
81 Nepovinný příklad (zobecnění předchozího příkladu) At matice M : R 2 R 2 (chápaná jako matice nad C) má vlastní hodnotu λ = a + bi, kde b 0. Označte jako x příslušný komplexní vlastní vektor. Dále označte jako T matici se sloupci Re(x) (vektor reálných částí položek vektoru x) a Im(x) (vektor imaginárních částí položek vektoru x). 1 Ukažte, ( že platí) rovnost M = T A T 1, kde a b A =. b a 2 Matici T interpretujte jako matici transformace souřadnic. Rovnost M = T A T 1 geometricky interpretujte. Využijte přitom geometrickou interpretaci matice A z předchozího příkladu. Shrnující slogan: zadat matici M : R 2 R 2 s nereálnými vlastními hodnotami znamená: změnu souřadnic, rotaci, změnu měřítka a zpětnou změnu souřadnic. Pokuste se slogan zobecnit pro matice M : R n R n, kde n > 2. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 11. týdnu 8/8
82 Co byste měl/a zvládnout po 12. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 12. týdnu 1/9
83 Základní pojmy Jordanova tvaru matice 1 Nilpotentní matice a index nilpotence. 2 Jordanův tvar nilpotentní matice. 3 Jordanův segment příslušný vlastní hodnotě. 4 Jordanův tvar obecné matice, věta o existenci Jordanova tvaru. U zkoušky nebude vyžadována teorie hledání Jordanova tvaru a Jordanovy báze. Bude vyžadována pouze početní technika nalezení Jordanova tvaru. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 12. týdnu 2/9
84 Příklady (nalezení Jordanova tvaru) Najděte Jordanův tvar následujících matic nad C: ( ) ( ) Odpověd (až na pořadí buněk): ( ) Odpověd (až na pořadí buněk): ( ) i i Odpověd (až na pořadí buněk): Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 12. týdnu 3/9
85 Základní pojmy skalárního součinu 1 Skalární součin v lineárním prostoru nad R. 2 Nerovnost Cauchy-Schwarz-Bunyakovski. 3 Norma vektoru vytvořená skalárním součinem, úhel mezi dvěma vektory. 4 Metrika vytvořená normou. 5 Positivně definitní matice. Metrický tensor (Gramova matice) skalárního součinu v R n. Důležité Skalární součin vektorů x a y značíme x y. To jest: nepoužíváme zápis x y! Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 12. týdnu 4/9
86 Početní příklady (standardní skalární součin) Pro vektory x a y spočtěte x y, x, y, cos ϕ, d(x, y), kde ϕ je úhel, který vektory x a y svírají a d(x, y) je vzdálenost x a y. Předpokládejte, že skalární součin je standardní. ( ) ( ) V R 2 : x =, y = V R 3 : x = 1, y = V R 4 : x = 1 1, y = Ověřte platnost nerovnosti Cauchy-Schwarz-Bunyakovski u každé dvojice x, y. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 12. týdnu 5/9
87 Početní příklady (positivně definitní matice) Pomocí kritéria z přednášky rozhodněte o positivní definitnosti matic: ( ) U každé positivně definitní matice napište skalární součin, který tato matice vytváří. Teoretický příklad (rozklady positivně definitních matic) At G = R T R je positivně definitní matice, kde R je regulární. Najděte regulární matici R 1 R, pro kterou platí G = R T 1 R 1. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 12. týdnu 6/9
88 Početní příklady (skalární součin a ortonormální báze) Nalezněte skalární součiny, pro něž jsou následující báze ortonormální: ( ) ( ) Báze R 2 : (, ) Báze R 3 : ( 3, 2, 0 ) Báze R 3 : ( 1, 1, 0 ) Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 12. týdnu 7/9
89 Teoretický příklad (zobrazení zachovávající skalární součin) At je skalární součin na R n s metrickým tensorem G. Ukažte, že pro A : R n R n jsou následující tři podmínky ekvivalentní: a 1 Rovnost x x = A x A x platí pro všechny vektory x, x z R n. 2 Matice A je regulární a platí A T G A = G. 3 Platí A T G A = G. Znění výše uvedeného tvrzení zjednodušte pro případ G = E n (tj pro případ standardního skalárního součinu v R n ). a Návod: abyste ukázali druhou podmínku z podmínky první, ukažte nejprve že platí A T G A = G. K tomu využijte, že podle první podmínky musí pro matici A = (a 1,..., a n) platit rovnosti e i e j = A e i A e j = a i a j pro všechna i, j. Dále využijte toho, že G má v j-tém sloupci na i-tém řádku hodnotu e i e j a A T G A má v j-tém sloupci na i-tém řádku hodnotu a i a j. Z rovnice A T G A = G a z toho, že G je regulární, odvod te, že A je monomorfismus. Dále použijte větu o dimensi jádra a obrazu, abyste se dozvěděli, že A je isomorfismus. Zbývající dvě implikace jsou triviální (přesto důkazy napište). Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 12. týdnu 8/9
90 Teoretický příklad (charakterisace rotací v R 2 ) At A : R 2 R 2 je jakékoli lineární zobrazení. Dokažte, že následující podmínky jsou ekvivalentní: 1 Platí A T = A 1 a det(a) = 1. 2 Existuje α tak, že A = R α (tj A je matice rotace o úhel α). Odvod te z toho, že rotace v rovině jsou jediná lineární zobrazení A : R 2 R 2, která zachovávají standardní skalární součin a a která nemění velikost orientovaných ploch. b a K tomu využijte tvrzení z předchozí strany, modifikované pro standardní skalární součin. b K tomu využijte interpretaci součinu matic A (x 1, x 2) = (A x 1, A x 2), rovnost det(a (x 1, x 2)) = det(a) det(x 1, x 2) a geometrickou interpretaci determinantu matice 2 2. Samozřejmě: (x 1, x 2) je sloupcový zápis matice se sloupci x 1 a x 2. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 12. týdnu 9/9
GEM a soustavy lineárních rovnic, část 2
GEM a soustavy lineárních rovnic, část Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 6 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: B6B0LAG 8.3.09: GEM a soustavy, část / Minulá přednáška Gaussova
Bardziej szczegółowo1 Soustava lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Soustava lineárních rovnic 2 Řešitelnost soustavy lineárních rovnic 3 Gaussova eliminační metoda 4 Jordanova eliminační
Bardziej szczegółowoKatedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava
Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Text
Bardziej szczegółowoLinea rnı (ne)za vislost
[1] Lineární (ne)závislost Skupiny, resp. množiny, vektorů mohou být lineárně závislé nebo lineárně nezávislé... a) zavislost, 3, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010,
Bardziej szczegółowoOdpřednesenou látku naleznete v kapitolách skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra.
Lineární prostor Lineární kombinace Lineární prostory nad R Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách 1.1 1.4 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: Lineární algebra 01A-2018: Lineární
Bardziej szczegółowoKapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu
Sbírka příkladů Matematika II pro strukturované studium Kapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1 řádu Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter
Bardziej szczegółowo(A B) ij = k. (A) ik (B) jk.
Příklady z lineární algebry Michael Krbek 1 Opakování 1.1 Matice, determinanty 1. Je dána matice 1 2 0 M = 3 0 1. 1 0 1 Určete M 2, MM T, M T M a vyjádřete M jako součet symetrické a antisymetrické matice!
Bardziej szczegółowoEdita Pelantová, katedra matematiky / 16
Edita Pelantová, katedra matematiky seminář současné matematiky, září 2010 Axiomy reálných čísel Axiomy tělesa Axiom 1. x + y = y + x a xy = yx (komutativní zákon). Axiom 2. x + (y + z) = (x + y) + z a
Bardziej szczegółowoKomplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18
Komplexní analýza Mocninné řady Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18 Posloupnosti komplexních čísel opakování
Bardziej szczegółowoKristýna Kuncová. Matematika B2 18/19
(6) Určitý integrál Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 1 / 28 Newtonův integrál Zdroj: https://kwcalculus.wikispaces.com/integral+applications Kristýna Kuncová (6)
Bardziej szczegółowoFunkce zadané implicitně. 4. března 2019
Funkce zadané implicitně 4. března 2019 Parciální derivace druhého řádu Parciální derivace druhého řádu funkce z = f (x, y) jsou definovány: Parciální derivace 2 f 2 = ( ) f 2 f 2 = ( ) f 2 f a 2 f 2 f
Bardziej szczegółowoAproximace funkcí 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885. Body proložíme lomenou čarou.
Příklad Známe následující hodnoty funkce Φ: u Φ(u) 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885 Odhadněte přibližně hodnoty Φ(1,02) a Φ(1,16). Možnosti: Vezmeme hodnotu v nejbližším bodě. Body proložíme lomenou čarou.
Bardziej szczegółowo(1) Derivace. Kristýna Kuncová. Matematika B2 17/18. Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35
(1) Derivace Kristýna Kuncová Matematika B2 17/18 Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35 Růst populací Zdroj : https://www.tes.com/lessons/ yjzt-cmnwtvsq/noah-s-ark Kristýna Kuncová (1) Derivace 2 / 35 Růst
Bardziej szczegółowoMatematika 2, vzorová písemka 1
Matematika 2, vzorová písemka Pavel Kreml 9.5.20 Přesun mezi obrazovkami Další snímek: nebo Enter. Zpět: nebo Shift + Enter 2 3 4 Doporučení Pokuste se vyřešit zadané úlohy samostatně. Pokud nebudete vědět
Bardziej szczegółowoNecht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f(b) f(a) b a. Geometricky
Monotónie a extrémy funkce Diferenciální počet - průběh funkce Věta o střední hodnotě (Lagrange) Necht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f (ξ)
Bardziej szczegółowoalgebrou úzce souvisí V druhém tematickém celku se předpokládá základní znalosti z matematické analýzy
1 Úvodem Prezentace předmětu VMP je vytvořena pro nový předmět, který si klade za cíl seznámit studenty se základy lineární algebry a se základy numerické matematiky. Zejména v prvním tématu budeme pracovat
Bardziej szczegółowoMATEMATIKA 3. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
MATEMATIKA 3 Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Osnova: Komplexní funkce - definice, posloupnosti, řady Vybrané komplexní funkce
Bardziej szczegółowoKatedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava
Lineární algebra 8. přednáška: Kvadratické formy Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la Text byl vytvořen
Bardziej szczegółowoKomplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32
Komplexní analýza Úvod Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32 Základní informace Stránky předmětu: http://math.feld.cvut.cz/bohata/kan.html
Bardziej szczegółowopodle přednášky doc. Eduarda Fuchse 16. prosince 2010
Jak souvisí plochá dráha a konečná geometrie? L ubomíra Balková podle přednášky doc. Eduarda Fuchse Trendy současné matematiky 16. prosince 2010 (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince 2010
Bardziej szczegółowoÚvodní informace. 18. února 2019
Úvodní informace Funkce více proměnných Cvičení první 18. února 2019 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Úvodní informace. Komunikace: e-mail: olga@majling.eu nebo olga.majlingova@fs.cvut.cz
Bardziej szczegółowoMatematika (KMI/PMATE)
Matematika (KMI/PMATE) Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam (smysl) koeficientů lineární
Bardziej szczegółowoKristýna Kuncová. Matematika B2
(3) Průběh funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (3) Průběh funkce 1 / 26 Monotonie (x 2 ) = 2x (sin x) = cos x Jak souvisí derivace funkce a fakt, zda je funkce rostoucí nebo klesající?
Bardziej szczegółowoNumerické metody 8. května FJFI ČVUT v Praze
Obyčejné diferenciální rovnice Numerické metody 8. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod Základní metody Pokročilejší metody Soustava Vyšší řád Program 1 Úvod Úvod - Úloha Základní úloha, kterou řešíme
Bardziej szczegółowo5. a 12. prosince 2018
Integrální počet Neurčitý integrál Seminář 9, 0 5. a. prosince 08 Neurčitý integrál Definice. Necht funkce f (x) je definovaná na intervalu I. Funkce F (x) se nazývá primitivní k funkci f (x) na I, jestliže
Bardziej szczegółowox2 + 2x 15 x 2 + 4x ) f(x) = x 2 + 2x 15 x2 + x 12 3) f(x) = x 3 + 3x 2 10x. x 3 + 3x 2 10x x 2 + x 12 10) f(x) = log 2.
Příklady k 1 zápočtové písemce Definiční obor funkce Určete definiční obor funkce: x + x 15 1 f(x x + x 1 ( x + x 1 f(x log x + x 15 x + x 1 3 f(x x 3 + 3x 10x ( x 3 + 3x 10x f(x log x + x 1 x3 + 5x 5
Bardziej szczegółowoMatematika prˇedna sˇka Lenka Prˇibylova 7. u nora 2007 c Lenka Prˇibylova, 200 7
Matematika přednáška Lenka Přibylová 7. února 2007 Obsah Základy matematické logiky 9 Základní množinové pojmy 13 Množina reálných čísel a její podmnožiny 16 Funkce 18 Složená funkce 20 Vlastnosti funkcí
Bardziej szczegółowoNumerické metody minimalizace
Numerické metody minimalizace Než vám klesnou víčka - Stříbrnice 2011 12.2. 16.2.2011 Emu (Brkos 2011) Numerické metody minimalizace 12.2. 16.2.2011 1 / 19 Obsah 1 Úvod 2 Základní pojmy 3 Princip minimalizace
Bardziej szczegółowoElementární funkce. Edita Pelantová. únor FJFI, ČVUT v Praze. katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze
Elementární funkce Edita Pelantová FJFI, ČVUT v Praze Seminář současné matematiky katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze únor 2013 c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor 2013 1 / 19 Polynomiální
Bardziej szczegółowoStochastické modelování v ekonomii a financích Konzistence odhadu LWS. konzistence OLS odhadu. Předpoklady pro konzistenci LWS
Whitův pro heteroskedasticitě pro heteroskedasticitě Stochastické modelování v ekonomii a financích 7. 12. 2009 Obsah Whitův pro heteroskedasticitě pro heteroskedasticitě 1 Whitův 2 pro 3 heteroskedasticitě
Bardziej szczegółowoOdpřednesenou látku naleznete v kapitolách 2.1, 2.3 a 3.3 skript Diskrétní matematika. Jiří Velebil: A7B01LAG : Lineární kódy, část 1 1/20
Lineární kódy, část 1 Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách 2.1, 2.3 a 3.3 skript Diskrétní matematika. Jiří Velebil: A7B01LAG 7.1.2016: Lineární kódy, část 1 1/20 Dnešní přednáška 1 Základní myšlenky
Bardziej szczegółowoVybrané kapitoly z matematiky
Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2018-2019 Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 1 / 11 Křivkový integrál Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 2 / 11 Parametricky zadaná křivka v R 3 :
Bardziej szczegółowoMatematika III Stechiometrie stručný
Matematika III Stechiometrie stručný matematický úvod Miroslava Dubcová, Drahoslava Janovská, Daniel Turzík Ústav matematiky Přednášky LS 2015-2016 Obsah 1 Zápis chemické reakce 2 umožňuje jednotný přístup
Bardziej szczegółowoMatematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 24. z aˇr ı 2013 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 24. z aˇr ı / 52
í150doc-start í251doc-start Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 24. září 2013 1 / 52 Matematika 1 Jiří Fišer 24. září 2013 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 24. září 2013 1 / 52 Zimní semestr
Bardziej szczegółowoInverzní Z-transformace
Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 9. přednáška 11MSP úterý 16. dubna 2019 verze: 2019-04-15 12:25
Bardziej szczegółowoSb ırka pˇr ıklad u z matematick e anal yzy II Petr Tomiczek
Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah 0 Diferenciální rovnice. řádu 0. Separace proměnných Příklad : Najděte obecné řešení (obecný integrál) diferenciální rovnice y = tg x tg y.
Bardziej szczegółowoDiferenciální rovnice základní pojmy. Rovnice se
Diferenciální rovnice základní pojmy. Rovnice se separovanými proměnnými. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské
Bardziej szczegółowoLineární algebra II, přednáška Mgr. Milana Hladíka, Ph.D.
Lineární algebra II, přednáška Mgr. Milana Hladíka, Ph.D. Poznámky sepsal Robert Husák Letní semestr 29/21 Obsah 1 Permutace 1 2 Determinant 3 3 Polynomy 7 4 Vlastní čísla 9 5 Positivně definitní matice
Bardziej szczegółowokontaktní modely (Winklerův, Pasternakův)
TÉMA 7: Pružný poloprostor, modely podloží pružný poloprostor základní předpoklady pružný poloprostor Boussinesqueovo řešení kontaktní modely (Winklerův, Pasternakův) 1 Pružný poloprostor (1) vychází z
Bardziej szczegółowoAlgebra I Cvičení. Podstatná část příkladů je převzata od kolegů, jmenovitě Prof. Kučery, Doc. Poláka a Doc. Kunce, se
Algebra I Cvičení Podstatná část příkladů je převzata od kolegů, jmenovitě Prof. Kučery, Doc. Poláka a Doc. Kunce, se kterými jsem při přípravě cvičení spolupracoval. Sbírka vznikla modifikací některých
Bardziej szczegółowoGeometrická nelinearita: úvod
Geometrická nelinearita: úvod Opakování: stabilita prutů Eulerovo řešení s využitím teorie 2. řádu) Stabilita prutů Ritzovou metodou Stabilita tenkých desek 1 Geometrická nelinearita Velké deformace průhyby,
Bardziej szczegółowo(a). Pak f. (a) pro i j a 2 f
Připomeň: 1. Necht K R n. Pak 1. Funkce více proměnných II 1.1. Parciální derivace vyšších řádů K je kompaktní K je omezená a uzavřená. 2. Necht K R n je kompaktní a f : K R je spojitá. Pak f nabývá na
Bardziej szczegółowoCauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici
Řešení ODR v MATLABu Přednáška 3 15. října 2018 Cauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici y = f (x, y), y(x 0 ) = y 0 Víme, že v intervalu a, b existuje jediné řešení. (f (x, y) a f y jsou spojité
Bardziej szczegółowoCo nám prozradí derivace? 21. listopadu 2018
Co nám prozradí derivace? Seminář sedmý 21. listopadu 2018 Derivace základních funkcí Tečna a normála Tečna ke grafu funkce f v bodě dotyku T = [x 0, f (x 0 )]: y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) Normála: y
Bardziej szczegółowoObsah. Petr Hasil. (konjunkce) (disjunkce) A B (implikace) A je dostačující podmínka pro B; B je nutná podmínka pro A A B: (A B) (B A) A (negace)
Množiny, číselné obory, funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza / 5 Obsah Množinové operace Operace s funkcemi Definice
Bardziej szczegółowoEuklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU
Bardziej szczegółowoDFT. verze:
Výpočet spektra signálu pomocí DFT kacmarp@fel.cvut.cz verze: 009093 Úvod Signály můžeme rozdělit na signály spojité v čase nebo diskrétní v čase. Další možné dělení je na signály periodické nebo signály
Bardziej szczegółowox y (A)dy. a) Určete a načrtněte oblasti, ve kterých je funkce diferencovatelná. b) Napište diferenciál funkce v bodě A = [x 0, y 0 ].
II.4. Totální diferenciál a tečná rovina Značení pro funkci z = f,: totální diferenciál funkce f v bodě A = 0, 0 ]: dfa = A 0+ A 0 Označme d = 0, d = 0. Pak dfa = A d+ A d Příklad91.Je dána funkce f, =.
Bardziej szczegółowoPrůvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více
5 Diferenciální počet funkcí více proměnných Průvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více proměnných, především budeme pracovat s funkcemi dvou proměnných Ukážeme
Bardziej szczegółowoObsah. Zobrazení na osmistěn. 1 Zobrazení sféry po částech - obecné vlastnosti 2 Zobrazení na pravidelný konvexní mnohostěn
Obsah 1 2 3 Použití Zobrazení rozsáhlého území, ale hodnoty zkreslení nesmí přesáhnout určitou hodnotu Rozdělením území na menší části a ty pak zobrazíme zvlášť Nevýhodou jsou však samostatné souřadnicové
Bardziej szczegółowo(2) Funkce. Kristýna Kuncová. Matematika B2. Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25
(2) Funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25 Sudá a lichá funkce Určete, které funkce jsou sudé a které liché: liché: A, D, E sudé: B Kristýna Kuncová (2) Funkce 2 / 25
Bardziej szczegółowoStavový popis Stabilita spojitých systémů (K611MSAP) Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT. čtvrtek 20. dubna 2006
Modelování systémů a procesů (K611MSAP) Přednáška 4 Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT Pravidelná přednáška K611MSAP čtvrtek 20. dubna 2006 Obsah 1 Laplaceova transformace Přenosová funkce
Bardziej szczegółowoKapitola 2. Nelineární rovnice
Kapitola. Nelineární rovnice Formulace: Je dána funkce f : R! R definovaná na intervalu ha; bi. Hledáme x ha; bi tak, aby f(x) = 0. (x... kořen rovnice) Poznámka: Najít přesné řešení analyticky je možné
Bardziej szczegółowoZápadočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky bakalářská práce vícebodové okrajové úlohy Plzeň, 18 Hana Levá Prohlášení Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracovala
Bardziej szczegółowoFunkce více proměnných: limita, spojitost, parciální a směrové derivace, diferenciál
Matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: limita, spojitost, parciální a směrové derivace, diferenciál Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 29. 9. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura
Bardziej szczegółowoLaplaceova transformace
Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 5. přednáška 11MSP 219 verze: 219-3-17
Bardziej szczegółowoKombinatorika a komplexní aritmetika
a komplexní aritmetika katedra matematiky, FEL ČVUT v Praze, http://math.feld.cvut.cz/ Jan Hamhalter Datum Komplexní čísla, kombinatorika 1/56 Historie: Zavedení komplexních čísel bylo motivováno snahou
Bardziej szczegółowoOperace s funkcemi [MA1-18:P2.1] funkční hodnota... y = f(x) (x argument)
KAPITOLA : Funkce - úvod [MA-8:P.] reálná funkce (jedné) reálné proměnné... f : A R...... zobrazení množin A R do množin reálných čísel R funkční hodnota... = f() ( argument) ( tj. reálná funkce f : A
Bardziej szczegółowoUrčitý (Riemannův) integrál a aplikace. Nevlastní integrál. 19. prosince 2018
Určitý (Riemnnův) integrál plikce. Nevlstní integrál Seminář 9. prosince 28 Určitý integrál Existence: Necht funkce f (x) je definovná n uzvřeném intervlu, b. Necht je splněn n tomto intervlu kterákoliv
Bardziej szczegółowoNumerické metody KI/NME. Doc. RNDr. Jiří Felcman, CSc. RNDr. Petr Kubera, Ph.D.
Numerické metody KI/NME Doc. RNDr. Jiří Felcman, CSc. RNDr. Petr Kubera, Ph.D. RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. Ústí nad Labem 2016 Kurz: Obor: Klíčová slova: Anotace: Numerické metody Informační systémy, Informatika
Bardziej szczegółowoZobecněné metriky Různé poznámky 12. METRIZACE. Miroslav Hušek, Pavel Pyrih KMA MFF UK. 12. Poznámky
12. METRIZACE Poznámky Miroslav Hušek, Pavel Pyrih KMA MFF UK 2009 Jak bylo zmíněno v úvodních kapitolách tohoto textu, axiómy metrik (nebo pseudometrik) se často oslabují, aby bylo možné popsat další
Bardziej szczegółowoLineární algebra - iterační metody
Lineární algebra - iterační metody Numerické metody 7. dubna 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod Rozdělení Metody Zastavení SOR Programy 1 Úvod Úvod - LAR Mějme základní úlohu A x = b, (1) kde A R n,n je
Bardziej szczegółowoObsah. 1.2 Integrály typu ( ) R x, s αx+β
Sbírka úloh z matematické analýzy. Čížek Jiří Kubr Milan. prosince 006 Obsah Neurčitý integrál.. Základní integrály...................................... Integrály typu ) R, s α+β γ+δ d...........................
Bardziej szczegółowoKombinatorika a grafy I
Kombinatorika a grafy I Martin Balko 1. přednáška 19. února 2019 Základní informace Základní informace úvodní kurs, kde jsou probrány základy kombinatoriky a teorie grafů ( pokračování diskrétní matematiky
Bardziej szczegółowoInternet a zdroje. (Zdroje na Internetu) Mgr. Petr Jakubec. Katedra fyzikální chemie Univerzita Palackého v Olomouci Tř. 17.
Internet a zdroje (Zdroje na Internetu) Mgr. Petr Jakubec Katedra fyzikální chemie Univerzita Palackého v Olomouci Tř. 17. listopadu 12 26. listopadu 2010 (KFC-INTZ) Databáze, citování 26. listopadu 2010
Bardziej szczegółowoObsah. 1 Konstrukce (definice) Riemannova integrálu Výpočet Newtonova Leibnizova věta Aplikace výpočet objemů a obsahů 30
Určitý integrál Robert Mřík 6. září 8 Obsh 1 Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. Výpočet Newtonov Leibnizov vět. 18 3 Numerický odhd Lichoběžníkové prvidlo 19 4 Aplikce výpočet objemů obshů 3 c Robert
Bardziej szczegółowoLogika V. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12
Logika V. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální
Bardziej szczegółowoMATEMATIKA 1 ALEŠ NEKVINDA. + + pokud x < 0; x. Supremum a infimum množiny.
MATEMATIKA ALEŠ NEKVINDA DIFERENCIÁLNÍ POČET Přednáška Označíme jako na střední škole N, Z, Q, R a C postupně množinu přirozených, celých, racionálních, reálných a komplexních čísel R = R { } { } Platí:
Bardziej szczegółowoMATEMATIKA 3 NUMERICKÉ METODY. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
MATEMATIKA 3 NUMERICKÉ METODY Dana Černá http://kmd.fp.tul.cz Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci INFORMACE O PŘEDMĚTU Konzultační hodiny: ÚT 11:00-12:00, budova G,
Bardziej szczegółowoRobotika. Kinematika 13. dubna 2017 Ing. František Burian Ph.D.
Robotika Kinematika 13. dubna 2017 Ing. František Burian Ph.D., Řízení stacionárních robotů P P z q = f 1 (P) q z Pøímá úloha q U ROBOT q P R q = h(u) P = f (q) DH: Denavit-Hartenberg (4DOF/kloub) A i
Bardziej szczegółowoNekomutativní Gröbnerovy báze
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc. Zuzana Požárková Nekomutativní Gröbnerovy báze Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: RNDr. Jan Št ovíček, Ph.D. Studijní
Bardziej szczegółowoVýzvy, které před matematiku staví
1 / 21 Výzvy, které před matematiku staví výpočetní technika Edita Pelantová Katedra matematiky, FJFI, České vysoké učení technické v Praze 25. pledna 2018 Praha Zápisy čísel v minulosti 2 / 21 Římský
Bardziej szczegółowoPetr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187
Nekonečné řady Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy III c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187 Obsah 1 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Řady s nezápornými členy Řady s libovolnými
Bardziej szczegółowoPojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je. Nejprve shrneme pojmy a fakta, které znáte ze střední školy.
1 Kapitola 1 Množiny 1.1 Základní množinové pojmy Pojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je souhrn, nebo soubor navzájem rozlišitelných objektů, kterým říkáme prvky. Pro známé množiny
Bardziej szczegółowoFunkce více proměnných: limita, spojitost, derivace
Matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: limita, spojitost, derivace Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 22. 9. 2014 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Zobrazení a funkce více
Bardziej szczegółowofakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Extrémy Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného
Bardziej szczegółowoFAKULTA STAVEBNÍ. Stavební statika. Telefon: WWW:
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ Stavební statika Úvod, opakování, soustavy sil Jiří Brožovský Kancelář: LP H 406/3 Telefon: 597 321 321 E-mail: jiri.broovsky@vsb.c WWW:
Bardziej szczegółowoUniverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Lukáš Perůtka Hledání optimálních strategií číselného síta Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: Prof. RNDr. Aleš Drápal, CSc.,
Bardziej szczegółowoParadoxy geometrické pravděpodobnosti
Katedra aplikované matematiky 1. června 2009 Úvod Cíle práce : Analýza Bertrandova paradoxu. Tvorba simulačního softwaru. Osnova 1 2 3 4 Osnova 1 2 3 4 Osnova 1 2 3 4 Osnova 1 2 3 4 V rovině je zadán kruh
Bardziej szczegółowoZadání: Vypočítejte hlavní momenty setrvačnosti a vykreslete elipsu setrvačnosti na zadaných
Příklad k procvičení : Průřeové charakteristik Zadání: Vpočítejte hlavní moment setrvačnosti a vkreslete elipsu setrvačnosti na adaných obracích. Příklad. Zadání: Rokreslení na jednoduché obrace: 500 T
Bardziej szczegółowo1 Definice. A B A B vlastní podmnožina. 4. Relace R mezi množinami A a B libovolná R A B. Je-li A = B relace na A
1 Definice 1. Množiny: podmnožina: A B x(x A x B) průnik: A B = {x A x B} sjednocení: A B = {x x A x B} rozdíl: A B = {x A x B} A B A B vlastní podmnožina 2. uspořádaná dvojice: (x, y) = {{x}, {x, y}}
Bardziej szczegółowoUniverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta
Univerzita arlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAALÁŘSÁ PRÁCE Matěj Novotný Operátory skládání na prostorech funkcí atedra matematické analýzy Vedoucí bakalářské práce: doc. RNDr. Jiří Spurný
Bardziej szczegółowo6 Dedekindovy řezy (30 bodů)
Pokročilá lineární algebra 3. série 6 Dedekindovy řezy (3 bodů) V této úloze se pokusíme seznámit s Dedekindovými řezy, pomocí nichž zavedeme reálná čísla. Tuto konstrukci vymyslel a publikoval Dedekind
Bardziej szczegółowoMatematická analýza 2. Kubr Milan
Matematická analýza. Kubr Milan. února 008 Obsah Vektorové funkce jedné reálné proměnné. 3. Základní pojmy...................................... 3. Křivky v R n........................................
Bardziej szczegółowoPeriodický pohyb obecného oscilátoru ve dvou dimenzích
Periodický pohyb obecného ve dvou dimenzích Autor: Šárka Petříčková (A05221, sarpet@students.zcu.cz) Vedoucí: Ing. Petr Nečesal, Ph.D. Matematické metody v aplikovaných vědách a ve vzdělávání, Fakulta
Bardziej szczegółowo1 Dedekindovy řezy (30 bodů)
Pokročilá matematická analýza úlohy pro zimní semestr Dedekindovy řezy ( bodů) V této úloze se pokusíme seznámit s Dedekindovými řezy, pomocí nichž zavedeme reálná čísla. Tuto konstrukci vymyslel a publikoval
Bardziej szczegółowoCo to znamená pro vztah mezi simultánní a marginální hustotou pravděpodobnosti f (x) (pravděpodobnostní funkci p(x))?
Ondřej Pokora M5120 Lineární statistické modely I poznámky do cvičení podzim 2011 1 / 36 12.12.2011 Maximálně věrohodné odhady Náhodný výběr X 1,..., X n rosahu n z rozdělení pravděpodobnosti P: X i P
Bardziej szczegółowoÚstav teorie informace a automatizace RESEARCH REPORT. Pavel Boček, Karel Vrbenský: Implementace algoritmu MIDIA v prostředí Google Spreadsheets
Akademie věd České republiky Ústav teorie informace a automatizace Academy of Sciences of the Czech Republic Institute of Information Theory and Automation RESEARCH REPORT Pavel Boček, Karel Vrbenský:
Bardziej szczegółowoJednoduchá zobrazení. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011.
Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011. Obsah 1 2 Obsah 1 2 Společné vlastnosti jednoduchých zobrazení: Zobrazovací ref. plocha je rovina - souřadnice X, Y, případně ρ, ɛ Zobrazovaná ref. plocha je eliposid
Bardziej szczegółowoAutomatové modely. Stefan Ratschan. Fakulta informačních technologíı. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
Automatové modely Stefan Ratschan Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Stefan
Bardziej szczegółowoPetr Beremlijski, Marie Sadowská
Počítačová cvičení Petr Beremlijski, Marie Sadowská Katedra aplikované matematiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB - Technická univerzita Ostrava Cvičení : Matlab nástroj pro matematické modelování
Bardziej szczegółowoJednoduchá zobrazení. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011.
Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011. Obsah 1 2 Obsah 1 2 Společné vlastnosti jednoduchých zobrazení: Zobrazovací ref. plocha je rovina - souřadnice X, Y, případně ρ, ɛ Zobrazovaná ref. plocha je eliposid
Bardziej szczegółowoInternetová matematická olympiáda 8. ročník, Baví se student Fakulty strojního inženýrství VUT v Brně (FSI) s kamarádem:
Internetová matematická olympiáda 8. ročník, 24. 11. 2015 1. Baví se student Fakulty strojního inženýrství VUT v Brně (FSI) s kamarádem: Kamarád: Co jsi tak veselý? Něco slavíš? Student FSI: Já přímo ne,
Bardziej szczegółowoPowyższe reguły to tylko jedna z wersji gry. Istnieje wiele innych wariantów, można też ustalać własne zasady. Miłej zabawy!
Krykiet W krykieta może grać od 2 do 4 osób, którzy albo grają każdy przeciw każdemu, albo dzielą się na dwie drużyny. Bramki oraz palik startowy i powrotne umieszcza się tak, jak pokazano na rysunku.
Bardziej szczegółowoObsah. Limita posloupnosti a funkce. Petr Hasil. Limita posloupnosti. Pro a R definujeme: Je-li a < 0, pak a =, a ( ) =. vlastní body.
Obsah a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I Úvod 2 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 2 / 90 Úvod Úvod Pro a R definujeme:
Bardziej szczegółowo1 Předmluva Značení... 3
Sbírka příkladů k předmětu Lineární systémy Jan Krejčí, korektura Martin Goubej 07 Obsah Předmluva. Značení..................................... 3 Lineární obyčejné diferenciální rovnice s konstantními
Bardziej szczegółowoÚVOD DO ARITMETIKY Michal Botur
ÚVOD DO ARITMETIKY Michal Botur 2011 2 Obsah 1 Algebraické základy 3 1.1 Binární relace.................................. 3 1.2 Zobrazení a operace............................... 7 1.3 Algebry s jednou
Bardziej szczegółowoZáklady obecné algebry
. Základy obecné algebry Ústav matematiky, Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně, 2013 Obsah 1 Algebraické struktury 3 1.1 Operace a zákony................................. 3 1.2 Některé důležité typy
Bardziej szczegółowoDefinice Řekneme, že PDA M = (Q,Σ,Γ,δ,q 0,Z 0,F) je. 1. pro všechna q Q a Z Γ platí: kdykoliv δ(q,ε,z), pak δ(q,a,z) = pro všechna a Σ;
Deterministické zásobníkové automaty Definice 3.72. Řekneme, že PDA M = (Q,Σ,Γ,δ,q 0,Z 0,F) je deterministický (DPDA), jestliže jsou splněny tyto podmínky: 1. pro všechna q Q a Z Γ platí: kdykoliv δ(q,ε,z),
Bardziej szczegółowoMatematická analýza II pro kombinované studium. Konzultace první a druhá. RNDr. Libuše Samková, Ph.D. pf.jcu.cz
Učební texty ke konzultacím předmětu Matematická analýza II pro kombinované studium Konzultace první a druhá RNDr. Libuše Samková, Ph.D. e-mail: lsamkova@ pf.jcu.cz webová stránka: home.pf.jcu.cz/ lsamkova/
Bardziej szczegółowo