Geometrická nelinearita: úvod

Transkrypt

1 Geometrická nelinearita: úvod Opakování: stabilita prutů (Eulerovo řešení s využitím teorie 2. řádu) Stabilita prutů Ritzovou metodou Stabilita tenkých desek 1

2 Geometrická nelinearita Velké deformace (průhyby, pootočení,... ) Při popisu úlohy záleží na volbě referenčního systému souřadnic: v dalším textu se bude předpokládat pevná soustava souřadnic (během řešení se neměnící) Lagrangeovská Často se zavádí jen některé nelineární aspekty: např. teorie 2. řádu vyžaduje rovnováhu na zdeformované konstrukci, ale předpokládá malé deformace (jako v lineární teorii pružnosti) 2

3 Opakování: Eulerovo řešení (1) F vyšetřujeme ztrátu stability prutu zatíženého osovou silou postupy lineární teorie pružnosti a statiky nestačí je třeba uvažovat splnění podmínek rovnováhy na deformované konstrukci teorie 2. řádu w(x) 3

4 Opakování: Eulerovo řešení (2) Moment v bodě x: F M = F w Vyjádření pomocí rovnice průhybové čáry: w = M EI = F w EI w Po úpravě a označení α 2 = F EI : w + α 2 w = 0 x w(x) L x 4

5 Opakování: Eulerovo řešení (3) F Rovnice: Obecné řešení: w + α 2 w = 0 w(x) L w = C 1 sin αx + C 2 cos αx x x 5

6 Opakování: Eulerovo řešení (4) F Obecné řešení: Okrajové podmínky (1): Pro x = 0 je w(x = 0) = 0: w = C 1 sin αx + C 2 cos αx w(x) L 0 = C 1 sin α 0 + C 2 cos α 0 C 2 = 0 x x 6

7 Opakování: Eulerovo řešení (5) Obecné řešení: F Okrajové podmínky (2): Pro x = L je w(x = L) = 0: w = C 1 sin αx + C 2 cos αx 0 = C 1 sin α L = C 1 sin α L w(x) L Pro C 1 0 musí být sin αl = 0: αl = k π... k = 1, 2, 3,... x x 7

8 Opakování: Eulerovo řešení (6) Obecné řešení: F w = C 1 sin αx + C 2 cos αx Po dosazení okrajových podmínek: w(x) L w = C 1 sin kπ x L x x 8

9 Opakování: Eulerovo řešení (7) F Dosadíme za α 2 : α 2 = F E I F = α2 EI... α L = 1 π Po úpravě a označení F cr = F w(x) L F cr = π 2EI L 2 x x Což je známá Eulerova kritická síla. 9

10 Ritzova metoda (1) F Aproximace průhybu: w = a 1 sin πx L Potenciální energie: 1. Π N = F u a = F EA F L, u a... zkrácení prutu dle linenární teorie (nezávisí na w) 2. Π M = F u b, u b... zkrácení v důsledku pootočení prutu x w(x) L x 10

11 Ritzova metoda (2) Zkrácení v důsledku pootočení prutu: du = dx dx cos ϕ Taylorův rozvoj : du Stručně: du dx dx(1 1 2 ϕ2 ) = 1 2 ϕ2 dx 1 2 (w ) 2 dx du 1 2 (w ) 2 dx dx ϕ Pro celý prut: u b = 1 2 L 0 (w ) 2 dx 11

12 Ritzova metoda (3) Zvolení aproximace: Derivace: w = a 1 sin πx L dx ϕ du w = a 1 π L πx cos L, π 2 w = a1 sin πxl L2 Dosazení za u b = 1 2 L0 (w ) 2 dx: u b = π2 L 2L 2 a2 1 0 πx π2 cos2 dx = l 4L a2 1 12

13 Ritzova metoda (4) Potenciální energie: Π e = F u b = π2 4L F a2 1 Π i = 1 2 L 0 EI(w ) 2 1 dx = 2 EIA2 π 4 1 L 4 L 0 πx π4 EI sin2 dx = L 4 L 3 a2 1 Celková potenciální energie systému: Π = Π e + Π i = ( π2 4L F + π4 4 ) EI L 3 a 2 1 (+Π N ) 13

14 Ritzova metoda (5) Hledání exterému (minima) potenciální energie pomocí Π a 1 = 0: Π a 1 = ( π2 4L F + π4 EI 4L 3 ) 2a 1 = 0 Za předpokladu, že a 1 0: π2 4L F + π4 EI 4L 3 = 0 A tedy (výsledek je shodný s Eulerovým řešením): F = π2 EI L 2 14

15 Stabilita (stěno)desek (1) x stabilitní problémy v důsledku zatížení v rovině konstrukce stěna vybočení deska z b a y Rovnice úlohy (zatížení jen ve směru x): 4 w x w x 2 y w y 4 = N x 2 w D x 2 15

16 Stabilita (stěno)desek (2) y Deska na všech okrajích prostě uložená: P 4 w x w x 2 y w y 4 = N x 2 w D x 2 Hledané řešení: w(x, y) = δ sin mπx nπy sin, m, n = 1, 2, 3,... a b Po dosazení: ( m 2 a 2 + n2 ) 2 b 2 = p n 2 D π 2 b 2 b a x P 16

17 Stabilita (stěno)desek (3) y Tedy: p = Dπ2 b 2 n 2 ( m 2 a 2 + n2 ) 2 b 2 Zbývá určit vhodná m, n. Doporučeno m = 1 (viz Šejnoha). Protože P má být minimální P N = 0: Dπ 2 b 2 ( 1 na 2 + n ) ( b 2 1 n 2 a ) b 2 = 0 b a P Vyjde: n = b a x P 17

18 Stabilita (stěno)desek (4) y P Protože n = b a : P = 4Dπ2 a 2 = Eh3 π 2 3(1 ν 2 )a 2 Což je hodnota hledaného kritického zatížení (pozor na to, že dle výchozích předpokladů musí být n celé číslo!). b a x P 18

19 Stabilita (stěno)desek (5) Další možná předpokládaná průhybová plocha: Dosazením za w: 4 f y 4 2m2 π 2 2 f a 2 y 2 + Za předpokladu N x D > m2 π 2 a 2 kde α = m 2 π 2 a 2 + w = f(y) sin mπx a ( m 4 π 4 a 4 N x D bude obecné řešení: m 2 π 2 a 2 ) f = 0 f(y) = C 1 e ay + C 2 e ay + C 3 cos βy + C 4 sin βy N x D m2 π 2 a 2, β = m2 π 2 a 2 + N x m 2 π 2 Da 2 19

20 Stabilita (stěno)desek (6) Řešení pro desku na třech okrajích prostě podepřenou: x Okraj y = 0: Nx w = 0, Okraj y = b: m x = 0 : D ( 2 w Y 2 + ν 2 ) w x 2 = 0 b m x = 0 : D ( 2 w Y 2 + ν 2 ) w x 2 = 0 a R y = 0 : D ( 3 w y 3 + (2 ν) 3 ) w x 2 y = 0 kde R y je svislá reakce na volném okraji. y Nx 20

21 Stabilita (stěno)desek (7) Z okrajových podmínek pro y = 0: C 1 = C 2, 3 = 0 A dále: w = f(y) = A sinh αy + B sin βy Z okrajových podmínek pro y = b: Aα ( A ( α 2 ν m2 π 2 a 2 α 2 (2 ν) m2 π 2 a 2 ) ) ( sinh αb B β 2 + ν m2 π 2 a 2 sin βb = 0 ( cosh αb Bβ β 2 + (2 ν) m2 π 2 ) cos βb = 0 ) a 2 21

22 Stabilita (stěno)desek (8) Aα ( A ( α 2 ν m2 π 2 a 2 α 2 (2 ν) m2 π 2 a 2 ) ) ( sinh αb B β 2 + ν m2 π 2 a 2 sin βb = 0 ( cosh αb Bβ β 2 + (2 ν) m2 π 2 ) cos βb = 0 ) a 2 Protože je třeba, aby A 0 a B 0: β ( α 2 ν m2 π 2 a 2 ) tanh αb = α ( β 2 + ν m2 π 2 a 2 ) tanh βb Výrazy α a β obsahují N x, řešení lze najít numerickými metodami. 22

23 Stabilita (stěno)desek: literatura Další doporučená literatura: Harvančík J., Drahoňovský, Z.: Výpočty prútových a plošných konstrukcií, Alfa, Bratislava, 1970 Ravinger, J., Psotný, M.: Analýza konštrukcií, Nelineárne úlohy, STU, Bratislava, 2006 Šejnoha, J., Bittnarová, J.: Stabilita skořepin. Doplňkové striptum. ČVUT, Praha,

24 Geometrická nelinearita a MKP (1) Velké deformace (průhyby, pootočení,... ) Při popisu úlohy záleží na volbě referenčního systému souřadnic: v dalším textu se bude předpokládat pevná soustava souřadnic (během řešení se neměnící) Lagrangeovská Často se (v literatuře) používá tenzorový zápis: tenzor matice 24

25 Geometrická nelinearita (2) Poměrné deformace (vč. obvykle zanedbávaných členů) ε x = u x + 1 [ ( v )2 ( w )2 ] + 2 x x ε y = v y + 1 ( ) 2 ( ) 2 u w + 2 y y ε z = w z + 1 [ ( u )2 ( v )2 ] + 2 z z γ xy = u y + v x + u v y x + v v x y + w w x y γ yz = v z + w y + v w z y + v v y z + w w y z γ zx = u z + w x + u w z x + u u z x + w w z x 25

26 Geometrická nelinearita (3) Délka úsečky: Po deformaci: ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2. (1) ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2. (2) Složky posunu bodu a do a: du = u x dx, dv = v dy, (3) y dw = w z dz. z x y ds a y b z x dx a ds y z b x 26

27 Geometrická nelinearita (4) Složky posunu bodu b do b určíme pomocí délky ds: dx 2 = (du + dx) 2, dy 2 = (dv + dy) 2, (4) dz 2 = (dw + dz) 2. z x y ds a y b z x dx a ds y z b x Po dosazení rovnic (5) do vztahu (2): ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz (du dx + dv dy + dw dz) + du 2 + dv 2 + dw 2. (5) 27

28 Geometrická nelinearita (5) Pomocí vztahů (2) a (5) zapíšeme změnu dílky z ds na ds: ds ds = du du dx + dv dv dy + dw dw dz. (6) Dosazením z (4) pro výraz du du dx získáme: du 2 ( u + 2 du dx = x dx ( u u + 2 y z + 2 )2 + ( ) 2 u y dy + dy dz + u z ( u x dx2 + u y dy2 + u z dz2 ( u )2 w dw + u u u dz dx + dx dy x x y Analogické vztahy lze získat pro ostatní členy výrazu (6). Je možné přepsat: ). ) + (7) ds ds = 2 ( ε x dx 2 + ε y dy 2 + ε z dz 2 + γ yz dy dz + γ zx dz dx + γ xy dx dy ). (8) 28

29 Geometrická nelinearita (6) Na základě (8) lze výraz (8) přepsat: ε x = u x + 1 [ ( v 2 x ε y = v y + 1 ( u 2 y ε z = w z + 1 [ ( u 2 z γ xy = u y + v x + u y γ yz = v z + w y + v z γ zx = u z + w x + u z )2 Viz snímek Geometrická nelinearita (1). + ) 2 + )2 ( w x ( w )2 ], ) 2, y ( v )2 ] +, (9) z v x + v v x y + w w x y, w y + v v y z + w w y z, w x + u u z x + w w z x. 29

30 Geometrická nelinearita (7) Typické případy geometrických nelinearit: Velká u i ε: u stavebních konstrukcí obvykle ne (letectví, hornictví) Velká u, ale ε << 1: v ε se uvažují jen lineární členy: ploché oblouky, lana, rotace ω < 1, ale ω >> ε (pozn.: γ ω), u ε jen lineární členy, u γ i další: úlohy lineární stability 30

31 Geometrická nelinearita (8) Geometrická nelinearita a MKP (K + K G + K H + K R ) r = F K G... obsahuje členy vzniklé z nelineárních prvků v ε: matice počátečních napětí, geometrická matice, stabilitní matice, obvykle závisí na aktuální napjatosti K H... matice počátečních deformací (vliv změny výchozího tvaru konstrukce z počátku přírůstku zatížení) K R... matice počátečních zatížení (vliz změny zatížení vlivem změny tvaru konstrukce např. povrchu na které zatížení působí) 31

32 Geometrická nelinearita (9) Lineární stabilita Podobné předpoklady jako u Eulerovy teorie Vychází se z (K + K G )r = F Hledá se kritické zatížení pro ztrátu stability: (K + λk G )r = 0 (analogie M = F u z Eulerova řešení) Problém (K + λk G )r = 0 je úloha o vlastních číslech matice, λ... násobiltel kritického zatížení (K G je funkcí vnitřních sil a tedy i zatížení) 32

33 Geometrická nelinearita (10) Odvození matice tuhosti příhradového prutu y, v u 2 2 u 1 1 v 2 v 1 1 L 2 x, u 33

34 Geometrická nelinearita (11) Odvození matice tuhosti příhradového prutu [ u v ] = u = Nr [ 1 x L 0 x L x L 0 x L ε x = u x ( v x )2 ] u 1 v 1 u 2 v 2 1 y, v u 1 L 1 v 1 2 u 2 2 v 2 34

35 Geometrická nelinearita (12) Odvození matice tuhosti příhradového prutu ε x = u x + 1 ( v 2 x )2 Π i = E A L 2 Π i = 1 2 L ( u x + 1 ( v 2 x 0 ε xσ x dx = E A L 2 )2 ) 2 E A L 2 ε 2 x [ ( u x )2 + u x ( v x )2 ] Π i = E A L 2 ( u 2 1 2u 1 u 2 + u 2 A E 2) + 2 L (u 1 u 2 ) ( v1 2 2v 1v 2 + v2 2 ) 35

36 Geometrická nelinearita (13) Odvození matice tuhosti příhradového prutu Aplikací Π r = 0 a přepisem do maticové formy: (K + K G ) r = F K = A E L K G = A E L 2 (u 2 u 1 )

37 Geometrická nelinearita (14) Odvození matice tuhosti příhradového prutu Zřejmě platí: Tedy: L u 2 u 1, K G = N L N = AE L L N = A E L (u 2 u 1 )

38 Metody pro řešení nelineárních úloh Iterační řešení Přírůstkové řešení (Eulerova metoda) Přírůstkově iterační metody (Newton-Raphson,...) 38

39 Iterační řešení (1) 1 2 3? Vhodné pro úlohy konstrukční nelinearity (příp. další - některé úlohy geom. nelinearity): Ztužidla nebo lana působící jen v tahu Jednostranné vazby modely podloží Postup: 1. Linární výpočet 2. Provedení změn v závislost na napětích a deformacích 3. Lineární výpočet změněné konstrukce 4. Pokud jsou změny (napětí, deformace) větší než stanovená mez, proces se opakuje Při větším počtu jednostranně působících prvků může být iterační proces pomalý. 39

40 Iterační řešení (2) 1 Jak zjišt ovat, zda se stav nezměnil (vyloučený prut by měl působit opět v tahu apod): Sledování deformací (komplikované,? nepraktické) 2 Vyloučený prut ponechat v konstrukci s velmi malou tuhostí Velmi malá tuhost: cca původní V případě změny stavu vrátit původní Emin hodnotu tuhosti 3 40

41 Iterační metoda ukázka (1) Deformovaný tvar (klasické vazby): ufem Result: s_1 Set: 1: e e e e e e e e e e e e e e e e e+02 y z x podlozka

42 Iterační metoda ukázka (2) Deformovaný tvar (jednostranné vazby): ufem CS: CART Set: 1: e e e e e e e e e e e e e e e e e+02 y z x podlozka

43 Přírůstkové řešení (1) F3 F2 F1 F Euler. Real. u Eulerova metoda Zatížení F se přikládá po částech F Neprovádí se iterace Postup: 1. Zatížení konstrukce zatížením F 1 2. Vyhodnocení změn v konstrukci (vyloučení prutů,...) 3. Zatížení konstrukce zatížením F 2 4. Přičtení výsledků od F 2 k předchozím 5. Vyhodnocení změn v konstrukci (vyloučení prutů,...) 6. Zatížení konstrukce zatížením F Po dosažení F = n i=1 F i se výpočet ukončí 43

44 Přírůstkové řešení (2) F F3 F2 F1 Euler. Real. u Eulerova metoda Problémy: 1. V jednotlivých krocích se už neprovádí iterace 2. Přesnost řešení závisí na velikosti zatěžovacího kroku ( F i ) Metoda se v uvedené podobě prakticky nepoužívá 44

45 Přírůstkové řešení (3) F Formální zápis: K(u) u = F F3 F2 F1 Euler. Real. kde K je funkcí posunutí u, případně zatížení F. Jednotlivý krok výpočtu: K i (u) u i = F i u Celková deformace: u = n i=1 u i 45

46 Přírůstkově-iterační řešení (1) Fi Fir F Ki ui Real. g u Newtonova Raphsonova metoda Zatížení F se přikládá po částech F (krocích) Po každém přírůstku zatížení se iteruje Iterace: minimalizace vektoru nevyvážených sil g g: rozdíl mezi zatížením vypočítaným pro aktuální tuhost E i a skutečně přeseseným zatížením F i,r Stanovení g: např. určením rovnováhy ve styčnících 46

47 Přírůstkově-iterační řešení (2) F Newtonova Raphsonova metoda Postup: 1. Zatížení konstrukce zatížením F 1 K i (u) u i = F i Fi gj gj+1 2. Vyhodnocení změn v konstrukci (vyloučení prutů,...) 3. Výpočet vektoru nevyvážených sil g j 4. Výpočet změn deformace od g j Fir Ki,j K i,j (u) u i,j = g j Real. Ki ui u ui,j 5. Vyhodnocení změn v konstrukci (vyloučení prutů,...) 6. Výpočet vektoru nevyvážených sil g j+1 7. Výpočet změn deformace od g j+1 8. Opakování dokud g j+x není dostatečně malé... 47

48 Přírůstkově-iterační řešení (3) Fi Fir F gj Real. Ki Newtonova Raphsonova metoda Konstrukci zatěžujeme silami F nebo předepsanými deformacemi u Velikost kroků F i libovolná Změna matice tuhosti (uplatnění jendostr. vazeb. apod.): gj+1 Ki,j V každé iteraci V každém kroku (přírůstku zatížení) Konstantní během výpočtu Zjednodušená Newtonova Raphsonova u metoda ui ui,j 48

49 Přírůstkově-iterační řešení (4) Newtonova Raphsonova metoda a zjednodušená Newtonova Raphsonova metoda R R g R R F R r 0 r 1 r 2 r r 0 r 1 r2 r3 r 49

50 Ukázka výpočtu NRM (1) Fyzikálně nelineární výpočet zděného nosníku a oblouku 50

51 Ukázka výpočtu NRM (2) Fyzikálně nelineární výpočet zděného nosníku Relative force Relative displacement Smeared, micromodel Chen, homogenized 51

52 Ukázka výpočtu NRM (3) Fyzikálně nelineární výpočet zděného nosníku 140 "arc18chen.rtrack" using 3:5 "arc18smc.rtrack" using 3: Relative load Relative displacement 52

53 Posuzování konvergence Potřebné pro ukončení iterace (např. velikost g) Nestačí sledovat jen v jednom bodě použití norem vektorů Kritérium velikosti vektoru nevyvážených sil: g F i < ε Kritérium přírůstku deformací v iteraci: u i,j u i < ε Kde ε je číslo vyjadřující požadovanou přesnost (např. ε = 0, 00001). Norma vektoru (opakování z matematiky): funkce přiřazující nenulovému vektoru kladné reálné číslo. Například Euklidovská norma vektoru u: u = n u 2 i i=1 53

54 Metoda délky oblouku (1) Přírůstkově iterační metoda Umožňuje vyšetřovat konstrukce po dosažení maximální únosnosti: Geometricky nelineární úlohy Porušování betonu... Výpočet je řízen na základě vztahu norem vektorů zatížení F a deformace u Varianta (vylepšení) Newtonovy Raphsonovy metody 54

55 Metoda délky oblouku (2) R go ( ro, or ) R Používá se silové zatížení F automatické určování velikosti násobitele zatížení v závislosti na aktuální deformaci: K r F i = λ F R ro ro r r l r F r Pokud se λ automaticky zvyšuje, je výpočet řízen přírůstky zatížení, jde tedy o Newtonovu Raphsonovu metodu. Pak ovšem může dojít k tomu, že při určité úrovni zatížení se hladina λr neprotne se zatěžovací dráhou. V další textu bude u značeno jako r a F bude R 55

56 Metoda délky oblouku (3) 56

57 R go ( ro, or ) R Wempner a Riks navrhli řízení výpočtu pomocí přírůstků délky oblouku zatěžovací dráhy s = ds. Diferenciál délky oblouku lze zapsat ve tvaru: ds = dr T dr + dλ 2 ψ 2 R T R, (10) R l K r F kde ψ je parametr určující poměr vlivu vektoru deformací r a vektoru zatížení R na řízení výpočtu. Rovnici (10) je možno přepsat do přírůstkového tvaru: ro ro r r r r a = r T r + λ 2 ψ 2 R T R l 2 = 0. (11) Oproti Newtonově Raphsonově metodě je třeba určovat navíc ještě neznámou λ. Je tedy třeba použít jak soustavy n rovnic (K r = λ R), tak rovnice (11).

58 Metoda délky oblouku (4) R ( ro, or ) Vektor deformací r lze rozvinout do Taylorovy řady: go R K r g g 0 + g ( ) T λ δλ + r gt δr = g 0 + R δλ K (r 0 ) δr = O.(12) R Stejně lze rozvinout do Taylorovy řady a: ro ro r r l r F a a r T 0 δr + 2 λ 0 δλψ 2 R T R = 0, (13) přičemž hodnotu a 0 lze stanovit z (11) dosazením r = r 0 a δλ = δλ 0 : r a 0 = r T 0 r 0 + λ 2 0 ψ2 R T R l 2. (14) 57

59 Metoda délky oblouku (5) R go R ro ro r r ( ro, or ) l r R K r F r Rovnice (12) a (13) je možno přepsat do tvaru [ K R ] { δr δλ } { g0 = a 0 2 r T 0 2 λ 0 ψ 2 R T R (15) Z rovnice (15) lze v každé iteraci vypočítat změnu jak r, tak λ. Matice soustavy však v uvedené podobě zjevně není pásová a je i nesymetrická. Proto se obvykle uvedený vztah pro řešení nelineárních úloh metodou délky oblouku nepoužívá a raději se přistupuje k různým dalším úpravám, které řešení soustav rovnic (15) převede na řešení soustav rovnic se symetrickou maticí levých stran, i když to obvykle znamená složitější vícekrokový postup. výpočtu 58 }.

60 Metoda délky oblouku (6) R go R ro ro r r ( ro, or ) l r R K r F r Obvyklým obratem je rozdělení vektoru deformace δr na část reprezenzující deformace vyvolané nevyváženými silami, a na deformace vyvolané vnitřními silami v konstrukci: δr = K 1 g o + δλk 1 R = δr + δλ δr t. (16) Násobitel zatížení může být získán z rovnice (17): λ = λ o + δλ. (17) Velikost změny deformace během kroku výpočtu je možné obdržet z rovnice (18): r = r o + δr + δλδr t. (18) 59

61 Metoda délky oblouku (7) Neznámá δλ může být na základě předchozích vztahů stanovena z rovnice: R go R ( ro, or ) l R K r kde: a 1 δλ 2 + a 2 δλ + a 3 = 0, (19) a 1 = δr T δr t + ψ 2 R T R, a 2 = 2δr t ( r o + δr) + 2ψ 2 R T R, (20) a 3 = ( r o + δr) T ( r o + δr) l 2 + λ 2 oψ 2 R T R. ro ro r r r F r Tzv. sférická metoda délky oblouku K získání dvou kořenů rovnice (19) je třeba provádět ještě další zde neuvedené operace pro stanovení správného kořenu. Metoda není v některých úlohách stabilní. 60

62 Metoda délky oblouku (8) R ( ro, or ) Tzv. linearizovaná metoda délky oblouku : go R R K r a o δλ = 2 + r T o δr r o δr t + λ o ψ 2 R T R. (21) ro ro r r l r F Běžně využívaná v komerčních SW (ANSYS, Atena,...) Parametr ψ... vliv zatěžovacího vektoru na řízení přírůstkového výpočtu (u geometricky nelineárních úloh může být výhodné ψ = 0). r 61

63 Ukázka výpočtu (1) Fyzikálně nelineární výpočet stěny CS: CART Time: 1 ufem x z y 62

64 Ukázka výpočtu (2) Fyzikálně nelineární výpočet stěny (pokles tuhosti) ufem Result: 28 Time: e e e e e e e e e e e e e e e e e+00 y z x

65 Ukázka výpočtu (3) Fyzikálně nelineární výpočet stěny (metoda délky oblouku) relative load F [-] x4 16x8 18x e vertical displacement w [m] 64