O pewnych klasach funkcji

Transkrypt

1 ROCZNIKI POLSKIEGO TOW ARZYSTW A MATEMATYCZNEGO Seria I: PRACE MATEMATYCZNE III (1959) E. T a b e r s k i (Poznań) O pewnych klasach funkcji Celem niniejszej pracy jest podanie pewnych uwag dotyczących klas funkcji okresowych i nieokresowych spełniających warunki Lipschitza wyższych rzędów. Badania tego rodzaju rozpoczął 8. Bernstein i A. Zygmund. W ostatnich latach stały się one przedmiotem wielu prac, zwłaszcza matematyków radzieckich (por. np. spis literatury na końcu pracy). Wymienione niżej wyniki przedstawiłem w maju 1966 r. na seminarium prowadzonym pod kierunkiem Profesora W. Orlicza, któremu składam podziękowanie za życzliwe uwagi i pomoc w przygotowaniu pracy do druku. Artykuł ten stanowi wstępną część pracy poświęconej całkom osobliwym, ogłoszonej w Annales Polonici MathematiciIV, 3 (1958), str Definicje i przykłady. Weźmy pod uwagę klasę C2n funkcji ciągłych 27T-okresowych. Modułem ciągłości Tc-tego rzędu funkcji f(oc)ec2rz nazywamy cok{d) = w*(<5; /) = max { max \Alf(%)\}, gdzie к 4 / W = ( - i ) * " * ( ) / ( * + «>. i=0 Moduł drugiego rzędu pisze się zwykle w postaci symetrycznej Łatwo zauważyć, że Ъ2(д) = max { max \f(x h) 2f(x)Jr f(x-\-h)\}. (1) co*+i(<5) < 2coft(<5). Niech Ж i a oznaczają dwie stałe dodatnie, przy czym a < Tc. Klasę funkcji o module spełniającym nierówności: wfc (ó ;/)< M ó a lub ojk(d, /) < Mdk{\ln<5 + 1 ) dla 0 < ó < n Roczniki PTM - Prace Matematyczne III 8

2 114 R. Taberski oznaczamy odpowiednio przez Lip^a i W^Jc. W pracy ograniczamy się przeważnie do przypadków Ti = 1 i Tc 2. Pokażemy dla przykładu, że funkcja okresowa (2 ) f(x) = sina? a (O < a < 2 ) należy do klasy Lip^a. Jak wiadomo, w przypadku 0 < a ^ 1 i sin <5 dla 0 < <5 < ^7c, ^ = 1 1 dla < <3 < 7c. Korzystając z (1 ) i przyjmując x 0 otrzymamy (3) co2(ó) A więc 12 sin ó dla 0 < <5<, l 2 dla - 7c < <5 ^ те. / (x) e Lipf) a oraz / (a?) e Lipjj2) a. Jeżeli l < a < 2, to w2(ó) ma nadal postać (3). Aby to wykazać, wystarczy udowodnić nierówność (4) /(a > -A )-2 /(*)+ /( + A) < 2/(A) dla i (równość zachodzi, gdy 0 = 0). Rozróżnimy dwa przypadki: P rzy p a d ek 1. f{x Ti) 2f(x)-\-f(x-\-h) ^ 0. Mamy f{x h)-2f(x) + f(x+h) = = sina?cos& cosa?sinfr a 2 sinaa?+ sin x cos Ti + cos x sinh\a. Korzystając z nierówności (5) ( a - 6)a + (a + ó )a < 2 (a e+& ), słusznej dla а ^ Ъ^ 0 (przy 1 < a < 2), dostajemy f{x~ Тъ)~2 /(сс) + /(ж+л) ^ 2 [cosa0 sin A sina0 (l cos /i)] < < 2sinaA =,2/(A). P rzy p a d ek 2. /(a? A) 2/(a?)+/( +A) < 0, a więc 0 < 2 /(a?)~ - [ /( - Л ) + /( + А)]. Kależy udowodnić, że 2f{x) [/( *) + /( + A)] < 2/(A ),

3 O pewnych klasach funkcji 115 czyli lub 2 sin a? [ sin(<r A) + sin(a? + A) ] < 2 sina^, 2 (sinaa? sina7&) ^ sina?cos/i cos<rsma + sinajcos/i + cosa?sin& a. Jeżeli x < h, to ostatnia nierówność jest oczywista. Przypuśćmy, że x > h. Ponieważ (6) 2{aa- b a) < (a-b)a+(a + b)a dla a > b > 0 (1 < a < 2 ), wystarczy udowodnić nierówność (7) 2(sinaa? sina/&) < 2 [sinaa?cosa/i cosa«sina/i], czyli sinaa? sinah (8) < cos a? 1 cosa7& (gdy h = 0, w (7) występuje znak równości). Łatwo sprawdzić, że у sina# /(l cos"#) jest funkcją, malejącą w przedziale (0, 7т), a więc zachodzi (8). Uwaga. Moduł oo2(ó) przy a = 2 można obliczyć bezpośrednio. Rachunki wówczas znacznie się upraszczają. Z przedstawienia f(x-h) 2f(x)-\-f(x-{-h) = h2f"(^), gdzie х widać od razu, że f(x)elip 2)2. W podobny sposób oblicza się moduł ciągłości funkcji Dostajemy A więc f{x)e Lipj^oc. f(x) = 2 sin- c a (0 < a < 2 ). co2(ó) = 2(2sin <5)a dla 0 < <5 ^ тг. Ostatni przykład wykorzystuję w pracy, o której wspomniałem we wstępie. Analogiczne definicje modułów i klas wprowadza się w przypadku funkcji ciągłych nieokresowych, określonych w przedziale właściwym lub niewłaściwym (ograniczamy stosownie zakres zmienności x i h). Można udowodnić, że w dowolnym przedziale < c, c} (właściwym lub nie) funkcja f{x) = \x\a (0 < a < 2 ) ma moduł co2(ó) = 2óa (0 < < ó < c). Rachunki przeprowadza się jak wyżej (2), z tym że nie trzeba odróżniać przypadku 2, ponieważ f(x) jest funkcją wypukłą. Mamy zatem przykład funkcji klasy Lipj^a (0 < a < 2 ) w przedziale ( e,c).

4 116 R. Taberski 2. Relacje między klasami. Zajmiemy się naprzód przypadkiem funkcji okresowych f(x)ec2v:. Z nierówności (1) wynika bezpośrednio, że Lip$a C Lipiec, gdy 0 < a < 1. Znane jest również twierdzenie w pewnym sensie odwrotne: Istnieją stale P P(M, a) i Q = Q(M), przy których oraz Lipg a C Lip^ a, gdy 0 < a < 1, L ip g l C F >1 (patrz [7], str , 63; [3], str ). Klasa L ip ^ l nie zawiera się w żadnej z klas Lip$ 1 (patrz [1], str , funkcja Weierstrassa). Uwaga. W konstruktywnej teorii ([3], str ) wyznacza się P i Q w przypadku 0 < ó < Łatwo jednak dowieść, że można dobrać P i Q dla wszystkich <5 z rozważanego tu przedziału 0 < <5 ^ n. Zachodzi również następujące Twierdzenie 1. Jeżeli 1 < a < 2, to istnieje taka stała В R(M, a), że Lip^a C L ip $l. D ow ód. Mech f(x)elip a ( 1 < a < 2). Oznaczmy przez najlepsze przybliżenie funkcji f{x) wielomianami trygonometrycznymi stopnia co najwyżej n. Mt mocy twierdzenia Stieczkina ([4], str ) (9) ElU) < CM In", gdzie C jest pewną stałą uniwersalną. Zastosujemy teraz metodę Bernsteina ([3], str ). Mech Tn{x) będzie wielomianem (trygonometrycznym) najlepszego przybliżenia; określamy ciąg Oczywiście U0{x) = Тг(х), Un{x) = T2n(x) T2n-i(x)j n = 1,2,.... OO f(x) = ^ Un(x). n= 0 Korzystając z (9) dostajemy!7 И < Ts.( )-/( ) + /( )-2>-i( ) < C M (l + 2 )/2. Na mocy nierówności Bernsteina ([3], str ) ли'пш ^C M (i+2a)i&a- 1)n.

5 O pewnych Masach funkcji 117 A więc OO oo \f(x) f{x+h)\ < ^ \TJn{x) Un(x + h) = h \и'п(х+щ\ < stąd Można otrzymać ogólniejsze wyniki. Twierdzenie 2. 1 Lip^a C L ip^^a, gdy 0 < a < istnieją stale P = P{k, M, a), Q Q(k, M) i В = jr(a;, Ж, a), przy których, 2 Lip^+1) a C Lipj^ a, 0 < a < &, 3 Lip +1)&C W^k, OO ОЖ(1 + 2 ) ^ ( l / 2(a" 1)n)U ; /) < CM г - д = Р д, czyli /(a?)elipgl, c. n. o. A Lip^+1)a C Lipj^fe, gdy к < a < fc-fl. Szkic dow odu. Relacja 1 wynika z nierówności (1). Następnych relacji dowodzimy poprzez E'n{f): jeżeli /(a?) elip^+1)a (0 < a < &+ 1 ), to K lf) < C(k)Mjna ([4], str ); modyfikując metodę Bernsteina i Zygmunda ([3], str i ) wykazujemy 2, 3 i 4. Przejdźmy teraz do funkcji ciągłych nieokresowych, określonych w przedziale właściwym: /(ж)e(7<a, &>. Jak wyżej, z nierówności (1 ) wynika zawieranie Lip* a C ŁipiuH1*") gdy 0 < a <; k. Timan ([5], str. 244 i dalsze) pokazał, że jeżeli /(a?)elip 2fl oraz f(a) = f(b) = 0, to Istnieje funkcja, dla której znak < przechodzi w =. Widać stąd, iż klasa L ipj^l jest szersza od L ip ^ l i nie zawiera się w żadnej z klas L ip$l.

6 118 E. Taberski Podamy teraz odpowiednik twierdzenia 1. Weźmy pod uwagę podklasę L ip ;jba funkcji f(x)elip^a (w <a,b» spełniających warunek (1 0 ) \f{o>) f{b)\ < L, gdzie L jest pewną stałą. Twierdzenie 3. Dla dowolnych M, L i a (1 < a < 2) można znaleźć stałą R = B (M, L, a), przy której Lip$; i a C L ip g l w przedziale <a, 6). D ow ód. Niech /(a^elip^.^a (1 < а < 2). Przypuśćmy, że a = 0 i /(u) = 0, przez co nie zmniejszymy ogólności. Utwórzmy funkcję pomocniczą <p{x) = f(x) xf{b)jb. Mamy <p(a) <p{b) = 0 i oczywiście <p(x)e elip^a. Przedłużmy cp(x) w sposób podany w lemacie 2, 3. Na podstawie zacytowanego lematu dostaniemy funkcję okresową Ф(я?)е1 л р ^ а (na całej prostej). Na mocy twierdzenia 1, przy pewnej stałej 8, Ф{х)е elip^l; a więc tym bardziej 9?(a?)eLip^l w przedziale (a, 6). Innymi słowy, \(p{x) cp{x-\- h) < Sh, czyli /(a?) /(гс+й.) < (8-ł-\f{b)jb\)h. Wobec (10), \f(b)lb\ < L/b-, zatem \f(x) f(x-{-h)\^.rh, gdzie < (8-\-Llb), c. n. o. Uwaga. Twierdzenie 3 przestaje być prawdziwe, jeżeli w jego sformułowaniu zastąpimy Lip(^; i «przez Lip ) a. Oto przykład. Zbiór funkcji liniowych fm(x) = mx (m = 1, 2,...) zawarty jest w dowolnej klasie L ip «(0 < a < 2) w przedziale < 0,1>. Zbiór ten nie zawiera się jednak w żadnej z klas L ip ^ l (w <0, 1 )). 3. Najlepsze przybliżenie. W tym paragrafie przedstawione zostaną wyniki uzyskane dla funkcji nieokresowych. Analogiczne twierdzenia w przypadku okresowym są znane. Montel ([2 ], str. 182) udowodnił, że jeżeli f(x) jest funkcją ciągłą i /(aoelipga (1 ^ a ^ 2 ) w przedziale by, to w dowolnym podprzedziale (a-\-e,b e) En(f) ^K(e)lna, przy czym K{e)->oo, gdy e -> 0 + {En(f) oznacza najlepsze przybliżenie funkcji f{x) wielomianami algebraicznymi stopnia co najwyżej n). Pokażemy obecnie, że zachodzi mocniejsze Twierdzenie 4. Jeżeli f(x) jest funkcją ciągłą i /(ж )ек р а ( 1 < а < 2 ) w (a, by, to w całym przedziale <a, 6) gdzie К jest pewną stałą. En{f)^ K \ n a,

7 O pewnych klasach funkcji 119 Uwaga 1. Dla a = 1 sformułowane twierdzenie udowodnili Timan i Dziadyk [6]. Uwaga 2. Można przyjąć f(a) = f(b) 0. W przeciwnym razie tak dobralibyśmy A i B, by funkcja cp(x) f(x)-\-ax-\-b miała tę własność. Oczywiście, <p(x)elipjjja oraz Fn(f) = Fn(<p). Lemat 1. Jeżeli f(x) jest funkcją ciągłą w przedziale <a, b>, f(a) = = f(b) = 0 oraz f(x)elip^a (1 < a < 2 ) w (a, b}, to тах /(ж) ^ \M{b a)a. Lemat 2. O funkcji f(x) zakładamy to samo co w lemacie 1. Niech F(x) - - f(2a x) dla 2a b ^.x < a, f(x) dla a ^ x ^ b, przedłużenie okresowe dla pozostałych x. Wówczas F(x) jest funkcją ciągłą o okresie 2 (b a) oraz _F( )«LipSU (1 ^ a ^ 2 ) na całej prostej. Dowód lematu 1 przeprowadza się w zasadzie tak jak w pracy [5] (str , 2). Metodą podaną w [6] (lemat na str. 500) udowodnimy teraz drugą część lematu 2. Me ograniczając ogólności można przyjąć a = 0. Wtedy /(0) = f(b) = 0 oraz F{x) = f( x) dla b ^.x < 0, f(x) dla 0 < x ^ b, przedłużenie okresowe dla pozostałych x. Wystarczy rozważyć dwa przypadki: P rzypadek 1. x h < 0 < x < x+ h < b. Wynika stąd 0 < ж < < h < b. Obierzmy liczbę naturalną p i 0 < < 2 tak, by (1 1 ) li = (2p 1 + #). Przypuśćmy naprzód, że p = 1. Korzystając z tożsamości F (x-h )-2F (x) + F(x+h) = {f(0)-2f(x)+f{2x)} + + {/( 0) - 2 /[ ( l + ł#) ] + /[ ( 2 + # )a? ]}-{/(ftp )-2 /[ ( l + i# ) ]+ /( 2 )) dostajemy (12) \F{x h) 2F{x) + F{x+h)\ < < Щ1 + (1 + #) + (! - W ] < 6Mha.

8 120 R. Taberski Jeżeli p > 2, to Stąd F(x h) 2 F (x) Ą-F (x + h) = p 2 = {/[2(p г)ж] 2/[2(р-г 1)я] + /([2(р-г-2)ж]} + г= 0 + {/(0)-2/( ) + /(2 )) + {/[(2p-2)*]-2/[(2p-l+i#)a>] + + /[(2p + #) ]} (/[(2p 2 + #) ] 2 /[ ( 2p l + ł#) ] + /( 2p»)}. ^(ж А ) - 2 ^(я?) + ^(ж+л.) < Ж [ 2а( р - 1 ) ( 1 + ^)а+ ( 1 - ^ ) а]^ < < i f [2ap + 2 ] a? < 2М{2р-\-±)ха. N a mocy (11) jest x Д/(2р 1-f-#), czyli x ^hj(2p 1). A więc (13) \F(x-h)-2F(x) + F{x+h)\ < 2M ^ + ^ - ha < Mha. P r z y p a d e k 2. ж /г,< 0 < ж < b < я+й. T y m s a m y m b < 2Ть N a podstawie lematu 1, max.f(a?) ^ \ Mba. Zatem czyli X \F(x-h)-2F(x) + F(x + h)\ < у Mba < }Ж (2й)а = } 2 а+2т а, (14) ^(ж-л)-2^(ж)+^( +Л) < -^-ЖГ. Z (12), (13) i (14) wynika, że coz(d)f) < 6Mda dla 0 < ó < b a, c. n. o. A b y otrzymać twierdzenie 4, wystarczy skorzystać z lematu 2 i twierdzenia Montela. Opierając się na lemacie ([3], str ) i twierdzeniu 4 łatwo można udowodnić T w i e r d z e n i e 5. Jeżeli f(x) ma ciągłą p-tą pochodną i f v\x) elip^a ( 1 ^ a < 2 ) w (a, b}, to w tym przedziale zachodzi nierówność gdzie L jest pewną stalą. E M ) «Prace cytowane [1] N. J. A c hi ez er, Teoria aproksymacji, Warszawa [2] P. M o n te l, Sur les polynomes d approximation, Bull. Soc. Math. France 46 (1918), str

9 O pewnych iklasach funkcji 121 [3] И. П. Натансон, Конструктивная теория функций, Москва-Ленинград [4] С. Б. Стечкин, О порядке наилучших приближений непрерывных функций, Известия Ак. Наук СССР, серия мат., 15 (1951), str [5] А. Ф. Тиман, О квази-гладких функциях, Известия Ак. Наук СССР, серия мат., 15 (1951), str [6] А. Ф. Тиман и В. К. Дзя дык, О наилучшем приближении квази- -гладких функций обыкновенными полиномами, Доклады Ак. Наук СССР 75 (1950), str [7] A. Z y g m u n d, Smooth functions, Duke Math. Journ. 12 (1945), str P. Т аберский (Познань) О Н ЕК О ТО РЫ Х КЛАССАХ Ф УН КЦ И Й РЕЗЮМЕ В работе установлены соотношения между классами непрерывных функций, удовлетворяющих условиям Липшица высших порядков; доказана теорема о наилучшем приближении непериодических функций алгебраическими полиномами. R. T a b e r s k i (Poznań) ON SOME CLASSES OF FUNCTIONS SUMMARY In this paper we state the relations between classes of continuous functions, satisfying Lipschitz conditions of higher orders; moreover, we prove a theorem concerning the best approximation of non-periodic functions by algebraic polynomials.