O pewnym zagadnieniu F. Leji dotyczącym sumowania kierunkowego macierzy

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "O pewnym zagadnieniu F. Leji dotyczącym sumowania kierunkowego macierzy"

Bogusław Kozieł
5 lat temu
Przeglądów:

1 ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria I: PRACE MATEMATYCZNE VI (1961) F. Barański (Kraków) O pewnym zagadnieniu F. Leji dotyczącym sumowania kierunkowego macierzy 1. F. Leja w pracy zamieszczonej w Math. Annalen, tom 103, zeszyt 2, pt. Sur la notion de convergence des series doubles wprowadził pojęcie sumowania macierzy ^ <*00? <*01? <*02? <*10? <*11? <*12? <*20? <*21? <*22? w dowolnym kierunku w następujący sposób. Niech X oznacza dowolną liczbę dodatnią, l ustalony kierunek, przy czym a jest kątem między kierunkiem wierszy macierzy (1) i danym kierunkiem l. Niech ctga t, 0 < t < o o, i niech A(X,Xt) oznacza trójkąt (domknięty) utworzony przez pierwszy wiersz, pierwszą kolumnę i prostą łączącą punkt X na pierwszej kolumnie z punktem Xt na pierwszym wierszu. Dalej niech (2) S(A, t)= У aa 2(a, U) oznacza sumę wyrazów macierzy (1) zawartych w trójkącie A(X, Xt). Przy ustalonym t suma (2) jest funkcją schodkową zmiennej X. Jeżeli istnieje lim S(X,t) = 8 {t), A-+00 to S(t) nazywamy sumą w kierunku t macierzy (1). Jeżeli t = oo, mamy tzw. sumowanie wierszami: lim$(a, oo) = lim ^ aik = 8 (oo), Пг-ЮО k=0 n oo

2 86 F. Barański jeżeli t = O sumowanie kolumnami: n 00 lim$(a, 0) = lim 2 * A->oo п-юо fc_q _g aik = ^( ). W cytowanej powyżej pracy F. Leja podał przykład macierzy (1) sumo walnej w każdym kierunku do tej samej liczby, przy czym odnośny szereg podwójny jest rozbieżny (w sensie Pringsheima). 2. W związku z sumowaniem kierunkowym F. Leja postawił zagadnienie zbadania własności funkcji S(t). Między innymi chodziło o zbadanie, czy istnieje macierz (1) sumo walna w każdym kierunku do innej sumy. Podamy przykład takiej właśnie macierzy. Weźmy pod uwagę macierz O, ]0g l + i j,..., l o g l - f,... log (l ~f~ t"), O, O,..., O, dla której ^oo = O dla Tc Ф O, a0/c = log l -J- j, Щ0 lo g l dla i Ф O, aik O dla i ФО,к ^ 0. Wykażemy, że macierz (3) jest sumowalna w kierunku t do funkcji logi dla O < t < oo. Istotnie, jeżeli t < 1, to gdzie czyli fl(a,i) Ы1+^)+- +1 *(1+; )] = - * * + * m = [A i]+ 1, n = [A] (l), S(X,t) = log / [я] ) * \ [ A i ] + l + [A i]+ 1 / m m l1) Symbol [aj oznacza część całkowitą liczby a.

3 Sumowanie kierunkowe macierzy 87 i wobec tego jeżeli t > 1, to gdzie czyli wobec czego Ponadto S(h, t) - log* = $(*); 8(h,t) = l o g ( ~ + ), \m ml m = [Я] + 1, n [ht], / i [Я*] т,* ) - ю е ( ш -1 + т +1 8(ty=]imS(h,t) log*. Л-+00 S( oo) = oo, S (0) = oo. Jest widoczne, że macierz (2) nie jest sumowalna w sensie Pringsheima, tzn. nie istnieje m9n lim aik. m,n-+oo it=o 3. Przypadek trójw ym iarow y. Weźmy pod uwagę macierz trójwymiarową o wyrazach (4) dpqr, V i Q_) V 11, 2,... Niech Я oznacza współrzędną punktu na osi p, a *, u dwie dowolne Mczby dodatnie (ustalone), ht współrzędną punktu na osi q oraz hu współrzędną punktu na osi r. Niech А (Я, ht, hu) oznacza czworościan (domknięty) ograniczony płaszczyznami układu oraz płaszczyzną odcinającą na osiach p,q,r odpowiednio odcinki h, ht, hu i niech (5) S ( A,t,u )= J? apgr będzie sumą wyrazów macierzy (4) należących do czworościanu А (Я, ht, hu). Przy ustalonych t, u suma (6) jest funkcją schodkową zmiennej Я. Granicę lim S(h, t, u) = 8{t, u) A->oo nazywamy sumą macierzy (4) w dwukierunhu (t, u). Ям)

4 88 F. Barański Podamy teraz przykład macierzy (4), dla której 8(ł, u) jest postaci Alogt+Blogu (А, В stałe różne od zera), oraz przykład macierzy (4), dla której S(t,u) jest funkcją różnowartościową. P rz y k ła d 1. Mech сг, c2, e3 oznaczają trzy liczby różne od zera, dla których сх + с2+с 3 = 0. Weźmy pod uwagę macierz <*ooo = O j *poo c i l g / 1 P= 1,2,..., <*o«o = G2 log l i, 2 = 1, 2,..., <*00r = C3! o g l+ ^ j, * = 1, 2,..., *pqr 0 dla pozostałych wskaźników. Jeżeli 0 < i < o o, 0 < u < o o, to na podstawie poprzedniego przykładu S(t, u) = c2logtf+c3logw. P rz y k ła d 2. Mech cx, c21 c2 oznaczają trzecie pierwiastki z jedynki, tzn i Уз 1, g Wówczas funkcja S(t, u) z poprzedniego przykładu jest różnowartościowa. Istotnie, ponieważ 1, /3 tx S(h, Ux) log^% + tlog 2 2 % oraz więc z równości иг) = ^ logt2u2 + ilog, л л 2 ux) = $(tf2, w2) wynika, że log <1% = log t2u2, h i ^2 oraz log = log,

5 skąd Sumowanie kierunkowe macierzy 89 txux t2u2 oraz t2ux = łxuz i, z uwagi na to, że wszystkie te liczby są dodatnie, Ux = ^ 2, tx== t2. Nasuwa się zagadnienie skonstruowania takiej macierzy (1), dla której suma w kierunku ł jest równa f(t), gdzie f(t) jest z góry daną funkcją ciągłą i ograniczoną dla 0 < t < o o. Ф. Б араньски (Краков) О НЕКОТОРОЙ ПРОБЛЕМЕ Ф. ЛЕЙА КАСАЮЩЕЙСЯ СУММИРОВАНИЯ БЕСКОНЕЧНЫХ МАТРИЦ ПО ДАННОМ НАПРАВЛЕНИИ РЕЗЮМЕ Даются примеры матриц, для которых сумма в данном направлении является однозначной функцией направления. Даны примеры матриц 2- и 3-мерных. F. B a r a ń s k i (Kraków) ON A PROBLEM OF F. LEJA CONCERNING THE SUMMABILITY OF MATRICES IN GIVEN DIRECTION SUMMARY Examples of matrices, the sum of which is a univalent function of the direction of summation are given. Two and three dimensional cases are considered.

Podobne dokumenty

ECHANIKA METODA ELEMENTÓW DRZEGOWYCH W WTBRANTCH ZAGADNIENIACH ANALIZT I OPTYMALIZACJI OKŁADOW ODKSZTAŁCALNYCH NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ

ECHANIKA METODA ELEMENTÓW DRZEGOWYCH W WTBRANTCH ZAGADNIENIACH ANALIZT I OPTYMALIZACJI OKŁADOW ODKSZTAŁCALNYCH NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Z E S Z Y T Y NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ TADEUSZ BURCZYŃSKI METODA ELEMENTÓW DRZEGOWYCH W WTBRANTCH ZAGADNIENIACH ANALIZT I OPTYMALIZACJI OKŁADOW ODKSZTAŁCALNYCH ECHANIKA Z. 97 GLIWICE 1989 POLITECHNIKA