STATECZNOŚĆ I DRGANIA SWOBODNE NIEPRYZMATYCZNEGO UKŁADU SMUKŁEGO PODDANEGO OBCIĄŻENIU EULEROWSKIEMU

Transkrypt

1 MODELOANIE INŻYNIERSKIE ISSN X 4 s Gwce STATECZNOŚĆ I DRGANIA SOBODNE NIEPRYZMATYCZNEGO UKŁADU SMUKŁEGO PODDANEGO OBCIĄŻENIU EULEROSKIEMU JANUSZ SZMIDLA MICHAŁ KLUBA Isyu Mechak Podsaw Kosrukcj Maszy Poechka Częsochowska e-ma: szmda@mpkm.pcz.p Sreszczee. pracy prezeuje sę badaa eoreycze umerycze doyczące saeczośc drgań swobodych koum epryzmayczych reazujących wybrae przypadk obcążea euerowskego. rozważaach uwzgęda sę zmeą szywość a zgae wzdłuż długośc układu. Zmaę przekroju poprzeczego wzdłuż długośc koumy opsuje sę fukcją ową ub kwadraową przy przyjęym dodakowym kryerum sałej objęośc układu. Przeprowadza sę aazę eoreyczą doyczącą geomer układów oraz sformułowaa waruków brzegowych.. STĘP Saeczość drgaa swobode układów smukłych e zaeżą wyłącze od charakeru obcążea (obcążee ypu koserwaywego ub ekoserwaywego) oraz rodzaju srukur podporowych ae róweż od przekroju poprzeczego zmay ego przekroju wzdłuż ch długośc. eraurze aukowej seje wee kryerów uray saeczośc układów smukłych. ejszej pracy uwzgęda sę dwe meody okreśea esaeczośc rozważaego układu (por. [ 3]): - meodę eergeyczą ( kryerum saycze) poegającą a poszukwau obcążea przy kórym całkowa eerga poecjaa przesaje być dodao okreśoa) - meodę drgań (kryerum keycze) poegającą a zaezeu akego obcążea przy kórym swobody ruch przesaje być ograczoy. yzaczae obcążea kryyczego koum epryzmayczych przy obcążeu Euera jes mędzy ym emaem pubkacj [4-6] w kórych opsao mode koumy obcążoej osowo przy jej podzae a - segmeów. Posługując sę meodą eemeów skończoych [5] uzyskao wzros obcążea o 3.5 % (kouma wsporkowa) przy paramerze. pracy [6] do opymazacj kszału koum wykorzysao aomas agorym symuowaego wyżarzaa. Uwzgędając dwa rozwązaa głowc reazujących obcążee euerowske oraz podzał koum a 8 segmeów orzymao wzros obcążea o %. pubkacj [7] a podsawe rozwązaa zagadea sayk wyzaczoo kryyczy paramer obcążea koumy zamocowaej z dwóch sro w sposób szywy obcążoej osowo. Uwzgędając róży kszał przekroju poprzeczego (przekrój prosokąa epsy ch odpowedk jako przekrojów cekośceych) oraz podzał a dwa ub rzy eemey wykazao wzros obcążea o 36.5%. pracy [8] w modeu układu

2 386 J. SZMIDLA M. KLUBA zbudowaego z dwóch segmeów o przekroju kołowym przyjmując sałą objęość długość układu uzyskao poprawę warośc obcążea kryyczego o %. pubkacj [9] wyzaczoo warość obcążea kryyczego koum przy zbeżym parabocze ub susodae wzdłuż długośc układu przekroju poprzeczym. Zagadee drgań poprzeczych dwusegmeowych beek przedsawoo mędzy ym w pracy []. Rozważae układy podzeoo a rzy zasadcze grupy w zaeżośc od kszału poa przekroju poprzeczego. yzaczoo warość rzech perwszych częsośc drgań własych przy różych warukach zamocowaa. Ideyczą aazę zma częsośc drgań własych przeprowadzoo w pubkacj [] w kórej wzęo pod uwagę układy złożoe z rzech węcej segmeów. przypadku układu zbudowaego z dowoej skończoej czby segmeów z dołączoym eemeem dyskreym w posac masy skupoej ub sprężyy rasacyjej do wyzaczea zma warośc własych wykorzysao własośc fukcj Greea []. pubkacjach [3 4] rozparywao układy beek o owo zmeym przekroju poprzeczym przy czym zmae podegał yko jede z główych wymarów przekroju. ejszej pracy prezeuje sę badaa eoreycze umerycze doyczące saeczośc drgań swobodych koum epryzmayczych przy obcążeu euerowskm. Zmaę szerokośc przekroju poprzeczego wzdłuż długośc koumy opsuje sę fukcją ową ub kwadraową przy przyjęym dodakowym kryerum sałej objęośc układu. Na podsawe całkowej eerg mechaczej formułuje sę rówaa ruchu oraz waruk brzegowe rozparywaych układów. Borąc pod uwagę saycze kryerum saeczośc wyzacza sę zakres zma szerokośc przekroju poprzeczego układów przy kórych uzyskuje sę maksymaą warość obcążea kryyczego. Przedsawa sę róweż wyk badań symuacyjych doyczących przebegów zma warośc własych a płaszczyźe: bezwymarowy paramer obcążea bezwymarowy paramer częsośc drgań własych.. MODELE FIZYCZNE KOLUMN Na rys. a-c przedsawoo modee fzycze rozważaych koum reazujące wybrae przypadk obcążea euerowskego. Kouma jes szywo zamocowaa z jedej sroy ( ) oraz obcążoa a drugm końcu układu ( L) słą skupoą P. Kouma podzeoa jes a segmey (rys. c) (deksy ) o przekroju prosokąym mase przypadającej a jedoskę długośc (ρa) szywośc a zgae () gdze: ρ gęsość maerału A poe przekroju poprzeczego E moduł Youga J mome bezwładośc przekroju poprzeczego wzgędem os obojęej zgaa. Poszczegóe segmey opsao poprzez szerokość b grubość h długość oraz przemeszczee poprzecze (). pracy przyjęo asępujące założea: sałą grubość h oraz długość segmeów koumy sałą całkową długość koumy L (L ) sałą warość gęsośc maerału ρ oraz modułu sprężysośc podłużej E wszyskch segmeów koumy sałą sumaryczą objęość v wszyskch segmeów opsujących kszał koumy warość szerokośc b segmeu koumy mus być wększa ub rówa warośc grubośc h ego segmeu (b h) kszał układów opsao za pomocą fukcj owej (b() a(z) d ) oraz za pomocą fukcj kwadraowej (b() [a(p q) [-p] q] ). Bezwymarowe współczyk wykorzysae w opse wyoszą odpowedo:

3 STATECZNOŚĆ I DRGANIA SOBODNE NIEPRYZMTYCZNEGO UKŁADU SMUKŁEGO 387 b b b κ Z % h L pr * p p L * q q b pr ( 4) przy czym deksem pr we wzorach ( 4) opsao paramery geomerycze koumy pryzmayczej (porówawczej). Rys.. Modee fzycze rozparywaych koum (a b); podzał koumy a segmey (c) prowadza sę przykładowe ozaczea rozważaych w ejszej pracy koum: AL(κ Z) kouma obcążoa jak a rys. a kórej kszał opsao fukcją ową o współczyku kszału przekroju poprzeczego κ zbeżośc Z BP(κ p * q * ) kouma obcążoa jak a rys. b kórej kszał opsao fukcją kwadraową o współrzędych werzchołka parabo p * q * oraz współczyku kszału przekroju poprzeczego κ. 3. SFORMUŁOANIE I ROZIĄZANIE ZAGADNIENIA BRZEGOEGO Zagadee brzegowe sformułowao a podsawe zasady Hamoa: ( T V ) d δ (5) Eerga keycza T sformułowaa zgode z eorą Berouego-Euera rozparywaych koum wyos: ( ρa) ) T d (6) Całkowa eerga poecjaa V rozważaych w pracy koum jes sumą eerg sprężysej zgaa oraz eerg poecjaej obcążea zewęrzego:

4 388 J. SZMIDLA M. KLUBA d P d V (7) Po wykoau dzałaa waracj eerg keyczej (6) oraz waracj eerg poecjaej (7) orzymuje sę: - rówaa ruchu: 4 4 A P ρ (8) - waruk brzegowe zamocowaa układu ( ): (9ab) - waruk cągłośc: (a d) - waruk brzegowe a swobodym końcu koumy ( ); układ AL(κ Z) AP(κ p * q * ) wzory (a b) ub układ BL(κ Z) BP(κ p * q * ) wzory (c d): (ab) P (cd) 4. ROZIĄZANIE ZAGADNIENIA BRZEGOEGO Do wyzaczea obcążea kryyczego wysarcza zasosowae sayczego kryerum saeczośc (meoda eergeycza). aruek koeczy sea mmum całkowej eerg poecjaej zapsao w posac: V δ () Eerga poecjaa rozważaych układów (por. wzór (7)) po uprzedm rozdzeeu zmeych fukcj ( ) wzgędem współrzędych przesrzeych oraz czasu : y ω cos (3) przyjmuje posać: [ ] [ ] I II d y P d y V (4)

5 STATECZNOŚĆ I DRGANIA SOBODNE NIEPRYZMTYCZNEGO UKŁADU SMUKŁEGO 389 Uwzgędając reację (4) w waruku () orzymao rówaa przemeszczeń: IV II y ) k y )... (5) oraz odpowede waruk brzegowe (por. wzory (9ab) (a d) (a d)) przy czym: k P /( ). Rozwązaa ogóe rówań (5) opsao fukcjam y ) D s( k ) D cos( k ) D3 D4 (6) gdze: D γ są sałym całkowaa (γ 4). Na podsawe rozwązań (6) rówań przemeszczeń (5) oraz odpowedch waruków brzegowych uzyskao układ rówań kóry w forme macerzowej zapsao w posac: G Λ S (7) gdze: Λ [ D D D D D D D D ] T a G S ozacza macerz kwadraową sopa zaeżego od czby segmeów rozparywaego układu. Rówae przesępe a warość obcążea kryyczego jes asępujące: de (8) G S Na podsawe rozwązaa zagadea brzegowego przy keyczym kryerum saeczośc wyzaczoo zakres zma częsośc drgań własych ω w fukcj obcążea zewęrzego P rozparywaych koum. ym ceu berze sę pod uwagę rówaa ruchu (8) kóre po rozdzeeu zmeych wzgędem współrzędych przesrzeych oraz czasu (por. wzór (3)) są posac: IV II y ) k y ) Ω y )... (9) Rozwązaa rówań (9) wyoszą: y ) C cosh( α ) C cos( β ) C3 sh ( α ) C4 s( β ) () gdze Χ γι są sałym całkowaa (γ 4) oraz: α.5k (.5k Ω ) β.5k (.5k Ω ) Ω ( ρa ) ω P k ( ) ( ).5 (a d) Po podsaweu () do odpowedch waruków brzegowych po rozdzeeu zmeych (por. wzory (9ab) (a d) (a d)) orzymao układ rówań: G D co{ C C C3 C4... C C C3 C4} () yzaczk macerzy współczyków G D przyróway do zera jes rówaem przesępym a częsość drgań własych ω rozparywaych układów czy: de. (3) 5. YNIKI OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH G D ejszym pukce zaprezeowao wyk symuacj umeryczych a podsawe sayczych oraz keyczych kryerów saeczośc. Przeprowadzoo szereg obczeń

6 39 J. SZMIDLA M. KLUBA umeryczych w ceu wyzaczea wpływu zmay przekroju poprzeczego koumy wzdłuż jej długośc a warość obcążea kryyczego oraz a warość częsośc drgań własych. ramach obczeń umeryczych założoo zmeą szerokość przekroju opsując zmaę parameru b fukcją ową ub kwadraową. Przyjmując kszał badaego układu uwzgędoo jedocześe sałą jego grubość (paramer h). Aazę przeprowadzoo przy wybraych waroścach współczyka kszału przekroju poprzeczego κ zbeżośc Z układów AL(κ Z) BL(κ Z) oraz współczyków werzchołka parabo p * q * koum AP(κ p * q * ) BP(κ p * q * ). obczeach przyjęo podzał srukur a segmeów. zakrese sayczego kryerum saeczośc wyk badań zaprezeowao a rys. 3. arość obcążea kryyczego P kr odesoo do całkowej długośc koumy L szywośc a zgae koumy pryzmayczej () pr. Pkr L λ kr (4) pr przypadku koum AL(κ Z) BL(κ Z) warość bezwymarowego kryyczego parameru obcążea λ kr koumy pryzmayczej (porówawczej) odpowada λ kr przy zbeżośc Z %. przypadku koum AP(3.5 p * q * ) BP(3.5 p * q * ) warość obcążea kryyczego układu porówawczego zazaczoo ą przerywaą. Na wykresach opsao róweż maksymae warośc bezwymarowego parameru obcążea λ kr koum epryzmayczych. Rys.. Zmaa parameru obcążea kryyczego λ kr w fukcj zbeżośc Z koum: a) AL(κ Z) b) BL(κ Z) zakrese keyczego kryerum saeczośc wyk symuacj umeryczych przedsawoo a rys Przebeg krzywych zaprezeowao a płaszczyźe bezwymarowy paramer obcążea λ bezwymarowy paramer częsośc drgań własych Ω. PL ω ρa pr L λ Ω (5ab) ( ) pr pr 4

7 STATECZNOŚĆ I DRGANIA SOBODNE NIEPRYZMTYCZNEGO UKŁADU SMUKŁEGO 39 Rys. 3. Zmaa parameru obcążea kryyczego λ kr w fukcj zbeżośc Z koum: a) AP(3.5 p * q * ) b) BP(3.5 p * q * ) Ograczoo sę jedye do okreśea charakeru zma dwóch perwszych częsośc drgań własych (Ω Ω ). Rys. 4. Krzywe a płaszczyźe bezwymarowy paramer obcążea λ bezwymarowy paramer częsośc drgań własych Ω koum: a) AL(3.5 Z) b) BL(3.5 Z) arość obcążea kryyczego da przedsawoych krzywych zma częsośc drgań własych okreśoa jes da Ω. Orzymae wyk warośc kryyczego parameru obcążea uzyskae a podsawe keyczego kryerum saeczośc są deycze jak przy zasosowau saeczego kryerum saeczośc (por. wzór (5) (9)). Przedsawoe przebeg zma warośc własych (por. rys. 4-5) mają zawsze achyee ujeme. Rozparywae układy moża zaczyć węc do układów ypu dywergecyjego. Borąc pod uwagę przyjęy do obczeń umeryczych zakres zma przekroju poprzeczego a rys. 6 zaprezeowao kszał koum epryzmayczych da kórych warość parameru obcążea kryyczego λ kr osąga warość maksymaą przy rozważaych waroścach współczyka kszału przekroju poprzeczego κ zbeżośc Z układów AL(κ Z) BL(κ Z) oraz współczyków werzchołka parabo p * q * koum AP(κ p * q * )

8 39 J. SZMIDLA M. KLUBA BP(κ p * q * ). Lam przerywaym ozaczoo kszał koum pryzmayczych. Dodakowo podao warość proceowego wzrosu sły kryyczej δ λkr ( λkr ) pr δ % (6) λ kr przy czym: (λ kr ) pr kryyczy paramer obcążea koumy pryzmayczej (porówawczej). pr Rys. 5. Krzywe a płaszczyźe bezwymarowy paramer obcążea λ bezwymarowy paramer częsośc drgań własych Ω koum: a) AP( q * ) b) BP( q * ) Na rys. 7 zaprezeowao zakres zma wzrosu obcążea kryyczego δ w fukcj zbeżośc Z koumy BL(κ Z) - rys.7a ub w fukcj współczyka werzchołka parabo p * koumy BP(3.5 p * q * ) rys.7b. Rys. 6. Kszały koum epryzmayczych a) AL( ) b) BL(8 ) c) AP( ) d) BP( ) Najwększe warośc proceowego wzrosu sły kryyczej orzymao w przypadku koum ypu BL(κ Z) (δ 9.44 %) oraz BP(κ p * q * ) (δ 4.9 %) (por. rys. 7). Rozważając układ AL(κ Z) e uzyskao wzrosu warośc sły kryyczej (δ ). Naomas

9 STATECZNOŚĆ I DRGANIA SOBODNE NIEPRYZMTYCZNEGO UKŁADU SMUKŁEGO 393 w przypadku koumy AP(κ p * q * ) orzymao jedye wzros warośc proceowego wzrosu sły kryyczej około δ.5 %. Rys. 7. Zmaa warośc wzrosu obcążea kryyczego δ w fukcj: a) zbeżośc Z - kouma BL(κ Z) b) współczyka werzchołka parabo p - kouma BP(3.5 p * q * ) Praca wykoaa w ramach sypedum grau badawczego fasowaego ze środków Europejskego Fuduszu Społeczego oraz grau r N N5 736 fasowaego przez Mserswo Nauk Szkocwa yższego. LITERATURA. esołowsk Z.: Zagadea dyamcze eowej eor sprężysej. arszawa: PN Zeger H.: Prcpes of srucura saby. Basde Pub.Comp Tomsk L.: Obcążea układów oraz układy swose. Rozdz. : drgaa swobode saeczość obeków smukłych jako układów owych ub eowych. : Praca zborowa pod ker. Nauk. red. L. Tomskego. arszawa: NT 7 s Bocheek B. Tajs-Zeńska K.: Opmzao of beams ad coums usg ceuar auomaa. Czasopsmo Techcze z. 5 - Mechaka Z. 4-M. yd. Po. Krak. 8 s Smses G.J. Kama M.P. Smh C.V.: Sroges coum by he fe eeme mehod. Amerca Isue of Aeroaucs ad Asroaucs Joura p Szmda J. awszczak A.: Opymazacja kszału koum reazujących wybrae przypadk obcążea Euera za pomocą zmodyfkowaego agorymu symuowaego wyżarzaa. Zesz. Nauk. Po. Rzesz. s. Mechaka s Maaaw K. Y.: Buckg opmzao of febe coums. Ieraoa Joura of Sods ad Srucures 39 p Bogacz R. Imełowsk SZ. Tomsk L.: Opmazao ad saby of coums o eampe of coservave ad ocoservave sysems. Mache Dyamcs Probems 998 p

10 394 J. SZMIDLA M. KLUBA 9. Lee B. K. Carr A. J. Lee T. E. Km I. J.: Buckg oads of coums wh cosa voume. Joura of Soud ad Vbrao 6 94 p Nagueswara S.: Naura frequeces sesvy ad mode shape deas of a Euer- Berou beam wh oe-sep chage cross-seco ad wh eds o cassca suppors. Joura of Soud ad Vbrao 5 p Nagueswara S.: Vbrao of a Euer-Berou beam o easc ed suppors ad wh up o hree sep chages cross-seco. Ieraoa Joura of Mechaca Sceces 44 p Kuka S. Zamojska I.: Frequecy aayss of aay oaded sepped beams by Gree s fuco mehod. Joura of Soud ad Vbrao 7 3 p Nagueswara S.: Commes o "Vbrao of o-uform rods ad beams". Joura of Soud ad Vbrao p Abrae S.: Vbrao of o-uform rods ad beams. Joura of Soud ad Vbrao p STABILITY AND FREE VIBRATIONS OF A NON-PRISMATIC SLENDER SYSTEM SUBJECTED TO EULER S LOAD Summary. Ths paper preses heoreca ad umerca research cocerg saby ad free vbraos of o-prsmac coums subjeced seeced cases of Euer s oad. The e descrbes he varabe feura rgdy hroughou he eemes of he sysem. The chage of a cross-seco aog coum s egh s descrbed by a ear or quadrac fuco usg he acceped addoa crero of a cosa voume wh he sysem. A heoreca aayss cocerg he geomery of sysems ad he formuao of boudary codos s beg carred ou.