ZASTOSOWANIE FUNKCJI RADIALNYCH W ANALIZIE STATYCZNEJ BELKI

Transkrypt

1 MODLOWAI IŻYIRSKI r 7 ISS X ZASTOSOWAI FUKCJI RADIALYCH W AALIZI STATYCZJ BLKI Leszek Majkut a AGH Akaema Górczo Hutcza Katera Mechak Wbroakustyk a majkut@agh.eu.p Streszczee W pracy opsao bezsatkową metoę kookacyją Kasy jej zastosoe w aaze statyczej bek. W aaze zastosoo fukcję weokratową opsao metoę oboru rtośc parametru kształtu oraz poao współczyk korygujące wyk aazy w przypaku wymuszea puktowego. Wszystke wyk porówao z wykam aatyczym z zastosoem semu różych błęów wzgęych pozających oceć jakość aproksymacj. Sło kuczowe: metoy bezsatkowe a ugęca aproksymacja STATIC AALYSIS OF TH BAM LIK STRUCTURS WITH RADIAL BASD FUCTIO Summary The work cocers the statc aayss of the Berou-uer beam wth the Raa Base Fuctos. The Kasa coocato metho s use for etermato efecto sope beg momet a shear force of the beam. A resuts were compare wth aaytca oes. A resuts cate that usg of mutquarc (MQ RBF prove a resuts wth very hgh accuracy comparso to aaytca resuts statc aayss of beam-ke structura compoets. Keywors: meshfree methos beam efecto approxmato. WSTĘP Moeoe matematycze ukłaów mechaczych proz zazwyczaj o ukłau rówań różczkowych zwyczajych ub cząstkowych który łącze z rukam brzegowym staow probem początkowo-brzegowy. Traycyje metoy umerycze rozwązaa takego probemu wymagają pozału a eemety: całego aazoego obszaru w metoach takch jak metoa różc skończoych (MRS metoa eemetów skończoych (MS czy metoa objętośc skończoych (MOS ub jeye brzegu obszaru w metoach takch jak metoa eemetów brzegowych (MB. Obrzym akła pracy włożoy w rozwój MS uczył z ej ajbarzej popuarą a awet postawową metoę przybżoego rozwązaa probemów początkowo-brzegowych. ajwększy probem z zastosoem meto wymagających satk eemetów to efcja właśe satk. Geeracja moeu skłaającego sę z kku czy kkuastu tysęcy eemetów o różych kształtach wekoścach oretacj e jest łat jest czasochłoa. Ze wzgęu a obżające sę koszty obczeń komputerowych geeracja satk staje sę główym skłakem kosztów aazy umeryczej ukłaów mechaczych. Metoy przybżoego rozwązaa probemu początkowo-brzegowego ewymagające satk eemetów to tzw. metoy bezsatkowe. Metoy te pozeć moża a typy: metoy obszarowe m.. bezeemeto metoa Gaerka [] metoa terpoacj puktowej [] metoa fukcj Rvacheva [] metoy brzegowe o których aeżą m.. metoa węzłów brzegowych [8] metoa parametryczych ukłaów rówań całkowych (PURC [6]. W obu typach meto pukty kookacyje umeszczoe są w całym aazoym obszarze ub jeye a jego brzegu. Wększość wymeoych meto jest bezsatko jeye w sese terpoacj rozwązaa ezbęe są atomast komórk wykorzystye

2 Leszek Majkut o całkoa słabego sformułoa racyjego probemu. Iym poejścem poszuka przybżoego rozwązaa probemu początkowo-brzegowego jest metoa Kasy [6] bazująca a sformułou sym raaych fukcjach bazowych (RFB. Metoa ta e wymaga zastosoa jakchkowek eemetów czy komórek atego też za jest metoą prawzwe bezsatkową. W cągu ostatch at kookacyja metoa Kasy zaazła zastosoe o rozwązaa weu różych probemów mechak m.. aazy wu- trójfazowych moe tkak [] symuacj prąów pływów wó płytkch [5] probemów wymay cepła [5] aazy rówań avera-stokesa [] aazy poa eektromagetyczego [] probemów zwązaych z optymazacją [9] weu ych. Sukces meto zwązaych z zastosoem RFB wąże sę z ch postawową własoścą poegającą a trasformacj probemów weowymarowych o probemów jeowymarowych. W ejszej pracy zastosoo kookacyją metoę Kasy wraz z weokratową (ag. mutquarc raaą fukcją bazową o aazy statyczej bek. W ceu wykazaa poprawośc okłaośc propooej metoy obczeń wszystke wyk aazy przybżoej porówao z wykam uzyskaym metoą aatyczą. Przy stosou fukcj weokratowej barzo stote jest wyzaczee tzw. parametru kształtu o którego zaeży kształt fukcj bazowej. W pracy zapropooo metoę wyboru optymaego parametru kształtu która zwązaa jest z aazą aproksymacyją fukcj wymuszea. Probem ugęca bek był już przemotem aazy p. [] atomast weług wezy autora ejsza praca jest jeyą w której aazoe jest wymuszee słą skupoą.. RADIAL FUKCJ BAZOW Fukcja raaa to każa fukcja jeej zmeej postac: ( r φ( x φ ( j x j o promeu r (ajczęścej r ub fukcje o ośku eograczoym (r. ajczęścej stosoym fukcjam z perwszej kategor są zameszczoe w tabe fukcje Weaa []. Tab.. Bazowe fukcje raae o zrtym ośku wymar przestrze efcja fukcj φ(r r gze: φ(r r + ( + r ( r + φ(r + 5 r ( 8r + 5r+ φ(r + ( r φ(r + r ( r+ φ(r + 6 r ( 5r + 8r + φ(r + r a a r r > Tab.. Bazowe fukcje raae o ośku eograczoym efcja fukcj az fukcj φ ( r r o φ ( r r sześcea φ (r r +c weokrato φ (r r r cekej płyty φ (r φ (r e r cr +c o- weokrato wrota Gaussa W tabe zarto przykłay fukcj o ośku eograczoym. Ze wzgęu a użą popuarość w zastosoach oraz obre własośc aproksymujące w pracy zastosoo fukcję weokratową która w przypaku D ma postać: ( r ( x x +c φ j j ( gze: x x j jest ukesową oegłoścą pomęzy puktam x (współrzęa ezaeża fukcj raaej ( xj. Pukt xj jest azyy jest cetrum fukcj raaej (. Zmeając położea cetrów otrzymuje sę rozę fukcj która tworzy bazę stosoą o terpoacj ub aproksymacj owoej fukcj. Każą z fukcj bazowych postac ( zaczyć moża o jeej z wóch kategor: fukcje o zrtym ośku tj. fukcje które są róże o zera jeye w sferze Jak wspomao wcześej kształt fukcj ( zaeży o parametru kształtu c. Wraz ze wzrostem jego rtośc fukcja ( staje sę coraz barzej płaska przez to mało wraż a zmay oegłośc pomęzy puktem x cetrum fukcj raaej xj. Probem oboru rtośc parametru c jest jak otą erozwązay. 5

3 ZASTOSOWAI FUKCJI RADIALYCH W AALIZI STATYCZJ BLKI. MTODA KOLOKACYJA KASY Aazoy probem początkowo brzegowy opsay jest rówaem postac: Lu f x x ( ( Ω wraz z rukam brzegowym postac: Bu g x x ( ( Γ gze: L jest owym operatorem różczkowym B jest operatorem opsującym ruk brzegowe Ω to aazoy obszar Γ to brzeg tego obszaru. Iea metoy Kasy poega a aproksymacj rozwązaa probemu początkowo-brzegowego ( ( za pomocą sumy szeregu rozy fukcj raaych tj.: ( r uˆ α (5 j j φ j Współczyk αj wyzacza sę w proceurze kookacj. W tym ceu aeży wybrać zbór o puktów {x x xo} aeżących o obszaru Ω w których żąa sę by przybżoe rozwązae (5 spełało rówae (: ( r f ( x Lu ˆ f ( x α Lφ (6 j j Poobe aeży wybrać zbór b puktów {xo+ xo+ xo+b} a brzegu Γ aazoego obszaru. W tych puktach muszą zostać spełoe rówaa ruków brzegowych (: j α j Bφ j ( r g( x (7 j Rówaa (6 (7 staową owy ukła rówań który zapsać moża w postac macerzowej: A α f (8 Z ukłau (8 wyzaczyć moża poszuke współczyk αj. W przypaku gy suma czb wybraych puktów obszaru Ω tj. o czby puktów brzegowych b jest rówa czbe puktów cetraych (o+ b ukła (8 rozwązać moża stosując emację Gaussa w przypaku gy o+ b > ukła (8 jest ukłaem aokreśoym aeży poszukć rozwązaa metoą ajmejszych kratów p. stosując rozkła SVD.. AALIZA STATYCZA BLKI W pracy przez aazę statyczą rozumae jest wyzaczee ugęca kątów obrotu przekrojów (styczej o ugęca przebegu mometu gącego sły tącej bek opsaej moeem Berouego-uera. Ze wzgęu a to że ceem pracy jest wykazae poprawośc okłaośc metoy bezsatkowej wszystke opsae powyżej wekośc zostały wyzaczoe w puktach bek metoą przybżoą metoą aatyczą. La ugęca w(x bek opsaa jest rówaem: w( x I f ( x (9 gze: I to sztywość a zgae f(x to obcążee zewętrze a jeostkę ługośc bek Fukcja w(x z rówaa (9 mus oatkowo spełać ruk brzegowe. W pracy aazoo typowe ruk brzegowe bek tj. utwerzee (w w' swoboe poparce (w w'' woy koec (w'' w'''.. ROZWIĄZAI AALITYCZ Fukcje ugęca styczej mometu gącego sły poprzeczej są opsae przez: w ( x / I ( f ( x + Cx / 6 + Cx / + Cx + C - a ugęca w '( x / I ( f( x + Cx / + Cx + C - stycza I w' '( x f ( x + Cx + C - momet gący I w' ''( x f ( x + C - sła tąca w rówaach f zaeżą o ruków brzegowych. ( x f ( x. Stałe C-C. ROZWIĄZAI PRZYBLIŻO Zgoe z metoą Kasy rówae ugęca bek (9 może być zapsae w postac: I α j ( x x ( j + c f x ( j x x gze: x to współrzęe puktów kookacyjych... o xj to współrzęe cetrów wekokratowych fukcj raaych xj... We wszystkch aazoych w pracy przypakach przyjęto jeą rtość parametru kształtu a wszystkch fukcj bazowych tj. cj c. Pukty kookacyje {x} w każym z aazoych przypaków były rówomere rozłożoe wzłuż ługośc bek. Da każego rówae ( opsuje -ty wersz macerzy A z rówaa (8 ostate wersze tej macerzy zaeżą o rówań opsujących ruk brzegowe. Po wyzaczeu współczyków αj możwe jest wyzaczee ugęca styczej mometu gącego sły poprzeczej które opsae są opoweo fukcjam: 6

4 Leszek Majkut j ( x x w( x α j j + c - a ugęca j ( x x c w' ( x α j j + - stycza I w' '( x I w' ''( x α j ( x x c j + - momet gący j α j ( x x c j + - sła tąca j W przypaku wymuszea puktowego każa z powyższych fukcj mus zostać pomożoa przez współczyk korekcyjy rówy / gze jest śreą oegłoścą pomęzy puktam kookacyjym. Dobór optymaej rtośc parametru kształtu jest jak otą erozwązaym probemem. Szczegółowy przegą różych strateg pozających a wyzaczee tego parametru zaeźć moża w pracy []. W ejszej pracy autor propouje ą metoę opartą a wyzaczeu aproksymacj fukcj wymuszea f(x z rówaa ( wraz z uwzgęeem ruków brzegowych a różych c. Za rtość optymaą w propooej metoze przyjmuje sę tę rtość parametru c a której błą zefoy rówaem ( osąga mmum. RMS urukoa macerzy aproksymacyjej w fukcj parametru kształtu pokazao a rys. Rys.. Zmaa rtośc wskaźka urukoa w fukcj parametru kształtu c wyzaczoe a bek swoboe popartej z obcążeem opsaym fukcją ową. PORÓWAI WYIKÓW AALIZY W ceu ocey jakośc wyków aproksymacj autor zefoł astępujące błęy wzgęe (subskrypt a ozacza wyk aazy aatyczej subskrypt p aazy przybżoej każą z fukcj wyzaczoo ( α j x x j + c f ( x / I ( w puktów: ( x j max max w p % max a rys. pokazao przykła zma błęu ( w fukcj parametru kształtu max max w p wskaźk urukoa x parametr kształtu % max w Błęy zwązae są z maksymaym rtoścam opoweo strzałk ugęca maksymaego mometu gącego. a RMS parametr kształtu Rys.. Zmaa rtośc błęu aproksymacj ( w fukcj parametru kształtu c wyzaczoe a bek swoboe popartej z obcążeem opsaym fukcją ową Górym ograczeem rtośc c jest rtość wskaźka urukoa macerzy aproksymacj. Staarowe bbotek agebry owej prozą o estabośc rozwązaa gy wskaźk urukoa osąga rtość rzęu 7 []. Zmay rtośc wskaźka ( ( x w p ( x ( w p ( ( ( w p + w p ( + % 5 % 7

5 ZASTOSOWAI FUKCJI RADIALYCH W AALIZI STATYCZJ BLKI 6 ( + + L % ( w w + ( w w + ( w w L a p a p a p ugęce momet gący stycza sła poprzecza gze: 7 ( L % ( w w + ( w w + ( w w + ( w w L a p a p a p a p Rys.. Przykłaowe wyk aazy statyczej bek wsporkowej ą cągłą ozaczoo wyk aazy przybżoej x aaza aatycza Błęy -7 pozają a okreśee jakośc aproksymacj w porówau o wyków aazy aatyczej. Aazy błęów przeprozoo a bek o czterech różych rukach brzegowych: swoboe poparta - swoboe poparta (s-s utwerzoa - swoboe poparta (u-s utwerzoa woy koec (u-w utwerzoa utwerzoa (u-u a sześcu różych wymuszeń: stałe f q owe f ( q q / x + q susoae f e s( πx / parabocze f a( x / + bx + q perwastkowe f 5 x + q skupoe f6 Pδ ( x /. Doatkowo w ceu ocey jakośc aproksymacj wyzaczoo współczyk koreacj Pearsoa ozee a fukcj ugęca (K styczej (K mometu gącego (K sły poprzeczej (K. We wszystkch przypakach ruków brzegowych obcążeń cągłych wszystke (każy z 8 współczyk koreacj są rówe.. W przypakach obcążea puktowego współczyk K K K są rówe.. Współczyk K (pomęzy fukcjam opsującym fukcje sły poprzeczej mają rtośc Przyczyą tego e jest błą w aproksymacj a efekt Gbbsa sła tąca opsaa jest fukcją ecągłą. W obczeach przyjęto ae: I /m. m q q - /m e - /m a -5 /m b 5 /m -75 /m / P -. a rys. pokazao przykłaowe wyk aazy statyczej bek u-w obcążoej fukcją f. Lą cągłą ozaczoo wyk aazy przybżoej zakam x wyk aazy aatyczej. Wyk aazy rtośc błęów - 7 wyzaczoe a wszystkch przypaków ruków brzegowych fukcj opsujących obcążee zameszczoo w tab.. 8

6 Leszek Majkut ruk brzegowe wymuszee Tab.. Błęy aazy przybżoej bek [%] [%] [%] 5 [%] 6 [%] 7 [ %] f f p-p f f f f f f u-p f f f f f f u-w f f f f f f u-u f f f f PODSUMOWAI I WIOSKI W pracy opsao metoę kookacyją Kasy oraz jej zastosoe o aazy statyczej bek. W ceu ocey poprawośc okłaośc tej metoy aazy porówao przebeg ugęca pochoej mometu gącego sły tącej z przebegam wyzaczoym metoą aatyczą. Aazę taką przeprozoo a bek o czterech różych rukach brzegowych przy sześcu różych wymuszeach. Wyk aazy (rtośc semu różych błęów wzgęych zameszoe w tab. wskazują jeozacze a barzo użą okłaość aazy z zastosoem tej metoy bezsatkowej. Wyk aazy wskazują róweż a poprawość zapropooej metoy oboru parametru kształtu oraz współczyka korygującego w przypaku wymuszea puktowego. Lteratura. Beystcho T. Lu Y. Gu L.: emet free Gaerk methos. Iteratoa Joura for umerca Methos geerg 99 7 p Chchapatam P.P. Djje K. ar P.B.: Raa bass fucto meshess metho for the steay compressbe aver Stokes equatos. Iteratoa Joura for umerca Methos geerg 7 8 p

7 ZASTOSOWAI FUKCJI RADIALYCH W AALIZI STATYCZJ BLKI. Fasshauer G.. Zhag J.G.: O choosg optma'' shape parameter for RBF approxmato. umerca Agorthms 7 5 p Ho Y.C. Lu M.W. Xue W.M. Zhou X.:A ew formuato a computato of the trphasc moe for mechao-eectrochemca mxtures. Computatoa Mechacs 999 p Ho Y.C. Cheug K.F. Mao X.Z. Kasa.J.: Mutquarc souto for shaow ter equatos. ASC Joura of Hyrauc geerg p Kasa.J.: Mutquarc-a scattere ata approxmato scheme wth appcatos to computatoa fu yamcs. Computers & Mathematcs wth Appcatos 99 9 p Mu-Duy. Taer R.I.: Computg o-ewtoa fu fow wth raa bass fucto etworks. Iteratoa Joura for umerca Methos Fus 5 8 p Mukherjee Y.X. Mukherjee S.: The bouary oe metho for poteta probems. Iteratoa Joura for umerca Methos geerg 997 p Pearso J.W..: A raa bass fucto metho for sovg PD-costrae optmzato probems. umerca Agorthms December DOI.7/s (Artce ot assge to a ssue - Oe Frst.. Tago C.M. Letao V.M.A.: Appcato of raa bass fuctos to ear a oear structura aayss probems. Computers a Mathematcs wth Appcatos 6 5 p.-.. Vu P. Fasshauer G..: Appcato of two raa bass fucto-pseuospectra meshfree methos to threemesoa eectromagetc probems. IT Scece Measuremet & Techoogy 5 p Wag J.G. Lu G.R.: A pot terpoato meshess metho base o raa bass fuctos. It. Joura for umerca Methos geerg 5 pp Wawrzyek A. Detka M. Cchoń Cz.: Zastosoe metoy R-fukcj o wyzaczaa współczyka przejmoa cepła. Moeoe Iżyerske r s Wea H.: Pecewse poyoma postve efte a compacty supporte raa fuctos of mma egree. Avaces Computatoa Mathematcs 995 p Zerroukat M. Power H. Che C.S.: A umerca metho for heat trasfer probem usg coocato a raa bass fuctos. Iteratoa Joura for umerca Methos geerg 998 p Zeuk. Sawck D.: Metoa PURC w aaze eustaoego poa temperatury w obszarach płaskch. Moeoe Iżyerske r s. 85-9