Czy masz wyobra¹ni matematyczn?
|
|
|
- Kornelia Kowalewska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Czy masz wyobra¹ni matematyczn? Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki i Kognitywistyki UAM pogon@amu.edu.pl PFK 2016 Jerzy Pogonowski (MEG) Czy masz wyobra¹ni matematyczn? PFK / 18
2 Cel Wiewiórki i humanizacja matematyki Ka»dy z nas ma wyobra¹ni matematyczn. Wa»ne: w jakim zakresie i w jaki sposób z niej korzystamy. Nagroda: satysfakcja poznawcza, ozdrowienie ze zªudze«. Wykªad Zagadki ( ): Wykªad Poznanie matematyczne (2016/2017): Projekt badawczy Aksjomaty ekstremalne: aspekty logiczne, matematyczne i kognitywne ( ): Wykªad Matematyczne podstawy kognitywistyki (2016/2017). Jerzy Pogonowski (MEG) Czy masz wyobra¹ni matematyczn? PFK / 18
3 Natura matematyki Nauka o wzorcach Pocz tki matematyki bior si z reprezentacji (wybranych aspektów) ±wiata. Konstruowanie takich reprezentacji pozwala ujawni wyst puj ce w nich wzorce swoiste regularno±ci. Wzorce mog by numeryczno-arytmetyczne (zwi zane z ustalaniem staªo±ci liczebno±ci kolekcji), algebraiczne (zwi zane z wªasno±ciami dziaªa«na obiektach, symetrie), porz dkowe (zwi zane z rozmieszczeniem obiektów wzgl dem danych relacji), mog dotyczy ksztaªtu, przestrzeni, pozycji, odlegªo±ci (konstrukcje geometryczne, topologiczne), mog dotyczy ruchu i zmiany (poj cia analizy matematycznej, geometrii i topologii ró»niczkowej), mog wreszcie dotyczy samych rozumowa«matematycznych (poj cia logiki matematycznej), obliczalno±ci (poj cia teorii rekursji oraz ró»nych dziaªów informatyki), cz sto±ci (rachunek prawdopodobie«stwa i statystyka matematyczna), itd. Jerzy Pogonowski (MEG) Czy masz wyobra¹ni matematyczn? PFK / 18
4 Natura matematyki Nauka o rozwi zywaniu problemów Praktyka badawcza matematyki to, przede wszystkim, dowodzenie twierdze«, a ponadto, m.in.: uogólnianie, abstrahowanie, tworzenie poj, stawianie hipotez, przedstawianie nowych (lepszych, prostszych, bardziej eleganckich) dowodów ju» znanych twierdze«, wyobra»anie sobie, szukanie kontrprzykªadów, prowadzenie rozumowa«przez analogi (prowadz cych np. do rozwa»ania nowych dziedzin matematycznych), rozpatrywanie szczególnych przypadków, klasykowanie, szukanie nowych aksjomatów, si ganie po motywacje pªyn ce z nauk empirycznych, poszukiwanie nowych punktów widzenia, przeprowadzanie (niekiedy»mudnych) rachunków, my±lenie przekorne, itd. Na pocz tku ka»dego z takich dziaªa«mamy do czynienia z problemem poznawczym. W jego rozwi zaniu korzystamy z dost pnych, sprawdzonych ju» w dziaªaniu metod, ale tak»e z tworzonych na nowo heurystyk. Jerzy Pogonowski (MEG) Czy masz wyobra¹ni matematyczn? PFK / 18
5 Intuicja matematyczna Kontekst odkrycia Dowodzenie (kontekst uzasadnienia) jest potwierdzaniem intuicji (kontekst odkrycia). Publikowany wynik matematyczny nie ukazuje kontekstu odkrycia (styl Gaussa). S dzimy,»e sensowna jest stratykacja intuicji matematycznych: Proto-intuicje, zwi zane z naszym uposa»eniem poznawczym. Intuicje wyksztaªcone przez przemoc symboliczn szkoªy. Zaawansowane intuicje profesjonalnych matematyków. My±lenie szybkie i wolne: Butelka z korkiem. Sznurek dookoªa Ziemi. W drówki nied¹wiedzia. Wy±cig profesorów. Jerzy Pogonowski (MEG) Czy masz wyobra¹ni matematyczn? PFK / 18
6 Przykªady Na pocz tku byªa mrówka Mrówka na linie Mamy doskonale (niesko«czenie) elastyczn lin o dªugo±ci, powiedzmy, 1km. Lina rozci ga si z jednostajn pr dko±ci 1km/sec. Lewy koniec liny jest nieruchomy. Po jednej sekundzie caªa lina ma zatem 2km dªugo±ci, po dwóch sekundach 3km dªugo±ci, itd. Z lewego ko«ca liny startuje maªa mrówka, poruszaj c si wzdªu» liny ze staª pr dko±ci (wzgl dem samej liny), powiedzmy, 1cm/sec. Czy mrówka dotrze do prawego ko«ca liny w sko«czonym czasie, czy te» b dzie dreptaªa w niesko«czono±, nigdy nie docieraj c do prawego ko«ca liny? Metaforycznie: czy mrówka skazana jest na koszmar nie±miertelno±ci czy te»»yje (=drepcze) od naturalnego pocz cia do naturalnego ko«ca? Uwaga: rozwa»amy problem matematyczny (pomijamy liczne realia). Jerzy Pogonowski (MEG) Czy masz wyobra¹ni matematyczn? PFK / 18
7 Przykªady Na pocz tku byªa mrówka Mrówka, musisz! Jak cz ± dªugo±ci caªej liny przebywa mrówka w ka»dej kolejnej sekundzie? W ci gu sekundy mrówka pokonuje cz ± caªej dªugo±ci 1 pierwszej 1cm z 1km drugiej 1cm z 2km trzeciej 1cm z 3km n-tej 1cm z nkm 1 n Czy istnieje liczba n taka,»e suma tych cz ±ci: osi gnie lub przewy»szy 1, n czyli caª dªugo± liny? Szukamy n takiej, dla której: n Jerzy Pogonowski (MEG) Czy masz wyobra¹ni matematyczn? PFK / 18
8 Przykªady Na pocz tku byªa mrówka Brawo, mrówka! Szereg n=1 1 n jest rozbie»ny (cho bardzo leniwie). Mamy bowiem: > ( ) + ( ) + ( ) +... = = Istnieje zatem n taka,»e n Mrówka dojdzie do prawego ko«ca liny w sko«czonym czasie! Liczby harmoniczne: H n = n k=1 1. Staªa Eulera-Mascheroniego: k γ = lim ( n 1 ln n) = 0, n k k=1 Czy istnieje szereg najwolniej rozbie»ny? Jerzy Pogonowski (MEG) Czy masz wyobra¹ni matematyczn? PFK / 18
9 Przykªady Na pocz tku byªa mrówka Nadci ga Ciemno± Ogólne rozwi zanie problemu otrzymujemy caªkuj c stosowne równanie ró»niczkowe. Warto jednak zauwa»y,»e konkluzj uzyskali±my wykonuj c jedynie dziaªania na uªamkach. Dla przyj tych danych, mrówka osi gnie prawy koniec liny w czasie ok sekund. Wiek Wszech±wiata szacuje si na sekund. Przestrze«Wszech±wiata rozszerza si. Pr dko± ±wiatªa pozostaje staªa. Jednak owo rozszerzanie pono przyspiesza. Ciemno b dzie? Róg Gabriela, jeep problem, maksymalny nawis, optymalny wybór przykªady wykorzystuj ce rozbie»no± szeregu harmonicznego. Spirale, supertasks, gra Smullyana inne igraszki z niesko«czono±ci. Jerzy Pogonowski (MEG) Czy masz wyobra¹ni matematyczn? PFK / 18
10 Przykªady Wiedza wªasna i cudza Czekaj c na Le±niczego Czarownica zªapaªa Jasioªa i Mgªosi. Ka»de z nich ma w odosobnieniu rzuci monet i poda wynik rzutu drugiego. Je±li oboje pomyl si, zostan po»arci. Je±li co najmniej jedno odgadnie wynik drugiego, prze»yj dany dzie«. Jasioªowi udaªo si szepn Mgªosi, co powinni mówi, aby odwleka po»arcie. Jak strategi zaproponowaª? Konkurs pi kno±ci. Ka»da z grupy osób ma wybra w sekrecie liczb od 0 do 20. Wygraj te osoby, których liczba jest najbli»sza dwóch trzecich ±redniej arytmetycznej wszystkich podanych liczb. Kto wygra? Dzielenie ªupów. Piraci A, B, C dziel ªup 100 sztuk zªota. Proponuj podziaª w porz dku swojej rangi (A > B > C ). Je±li propozycja nie zostaje przyj ta wi kszo±ci gªosów, jej autor l duje za burt (i proponuje nast pny rang, gªos wa»niejszego decyduje). Jak podziel si ªupem (ceni c wªasne»ycie bardziej od zªota)? Jerzy Pogonowski (MEG) Czy masz wyobra¹ni matematyczn? PFK / 18
11 Przykªady Wiedza wªasna i cudza Gªodna czarownica, przekora, przekupstwo Mgªosia ma poda swój wynik (jako wynik Jasioªa), a Jasioª wynik odwrotny do swojego (jako wynik Mgªosi): Wynik M: Wynik J: M mówi: J mówi: Traa: O O O R M R R R O M R O R R J O R O O J Konkurs pi kno±ci. Je±li wszyscy wybior t sam liczb, to wszyscy wygrywaj. A co pokazaªy eksperymenty? Dzielenie ªupów. A powinien pozyska gªos C (powstrzymajmy si od komentarza politycznego). Jerzy Pogonowski (MEG) Czy masz wyobra¹ni matematyczn? PFK / 18
12 Przykªady Wyobra¹nia przestrzenna Šy»wiarki i parasole Mucha i kropla miodu. Mucha na zewn trz powierzchni bocznej szklanki, kropla miodu wewn trz. Podaj najkrótsz drog dreptania muchy do kropli. System dróg. Czy cztery miasta le» ce w wierzchoªkach kwadratu mo»na poª czy sieci dróg o sumie dªugo±ci mniejszej od podwojonej dªugo±ci przek tnej kwadratu? Obªe otoczaki. Nazwijmy ±redniczk gury maj cej ±rodek symetrii dowolny odcinek ª cz cy jej brzegi, przechodz cy przez ów ±rodek symetrii. Czy gura o wszystkich ±redniczkach równych jest koªem? Ósemki na pªaszczy¹nie. Ile rozª cznych ósemek narysowa mo»na na pªaszczy¹nie? Paradoks Bertranda. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e losowo wybrana ci ciwa okr gu jest dªu»sza od boku trójk ta równobocznego wpisanego w ten okr g? Jerzy Pogonowski (MEG) Czy masz wyobra¹ni matematyczn? PFK / 18
13 Przykªady Wyobra¹nia przestrzenna Niekonwencjonalni cykli±ci Mucha i kropla miodu. Rozwijamy powierzchni boczn walca i korzystamy z twierdzenia Herona. System dróg. Zob. drzewo Steinera. Obªe otoczaki. Niekoniecznie: zob. wielok ty Reuleaux. Konstrukcja trójk ta Reuleaux: z wierzchoªków trójk ta równobocznego zakre±l ªuki o promieniu równym dªugo±ci boku trójk ta. Ósemki na pªaszczy¹nie. Ka»dej ósemce przyporz dkujmy par punktów o obu wspóªrz dnych wymiernych, po jednym takim punkcie wewn trz ka»dej z p tli tej ósemki. Wtedy»adne dwie ósemki nie mog mie wspólnej takiej pary punktów. Par liczb wymiernych jest przeliczalnie wiele. Paradoks Bertranda. 1 2, 1 3 lub 1, w zale»no±ci od wybranej miary (czyli 4 ustalenia przestrzeni probabilistycznej). Jerzy Pogonowski (MEG) Czy masz wyobra¹ni matematyczn? PFK / 18
14 O bª dzeniu w matematyce Erro ergo disco Wi kszo± bª dów pozostaje ukryta. Nie jest mo»liwe podanie kompletnego katalogu mo»liwych bª dów. Sªawne bª dy matematyczne przyczyniaj si do rozwoju matematyki. Bª dy uczniów. Bª dy nauczycieli. Fermatowcy, Goldbachi±ci, Trysekciarze,... Czy okre±lenie crank jest zniesªawieniem? Jerzy Pogonowski (MEG) Czy masz wyobra¹ni matematyczn? PFK / 18
15 Patologie matematyczne Patologie oznak zdrowia i krzepy Patologie znienacka atakuj ce. Patologie konstruowane specjalnie. Oswajanie patologii. Balansowanie mi dzy naturalno±ci a ogólno±ci. Dziwne funkcje: np. ci gªe, lecz nieró»niczkowalne w»adnym punkcie; funkcje, których wykres wypeªnia kwadrat, itd. Zbiór Cantora: jest nieprzeliczalny, zwarty, doskonaªy, nigdzieg sty, ma zerow miar Lebesgue'a. Zbiory Vitalego: selektory relacji R [0, 1] 2, xry x y Q. Zbiory Bernsteina: podzbiory przestrzeni polskiej, które maj niepuste przeci cie z ka»dym nieprzeliczalnym zbiorem borelowskim oraz z dopeªnieniem takiego zbioru. Jerzy Pogonowski (MEG) Czy masz wyobra¹ni matematyczn? PFK / 18
16 Metafory poj ciowe w matematyce Koncepcja matematyki uciele±nionej Metafory bazuj ce. Podstawowa metafora niesko«czono±ci. miaªe stwierdzenie Lakoa i Núñeza: wszystkie poj cia matematyczne tworzone s poprzez konstrukcj metafor poj ciowych. Uwa»amy,»e propozycje Lakoa i Núñeza w ograniczonym zakresie tªumacz genez oraz funkcjonowanie matematyki: odnosz si do matematyki prezentowanej w podr cznikach, upraszczaj c rekonstrukcj kontekstu odkrycia w matematyce. Wskazujemy na nie±cisªo±ci w ich uj ciu, bª dy matematyczne i historyczne, niekompletno± opisu, brak uzasadnienia niektórych stwierdze«. Jerzy Pogonowski (MEG) Czy masz wyobra¹ni matematyczn? PFK / 18
17 Dydaktyka matematyki Kreatywno± a podstawa programowa Czy szkoªa niszczy naturaln kreatywno± dziecka? Trudna historia reform w dydaktyce matematyki. Brak rudymentarnych kompetencji matematycznych jako choroba spoªeczna. Czy mo»liwa jest terapia matematyczna dorosªych? Jerzy Pogonowski (MEG) Czy masz wyobra¹ni matematyczn? PFK / 18
18 Koniec Kilka odno±ników Davis, J.P., Hersh, R wiat matematyki. Pa«stwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa. Kahneman, D Puªapki my±lenia. O my±leniu szybkim i wolnym. Media Rodzina, Pozna«. Lakatos, I Proofs and Refutations. The Logic of Mathematical Discovery. Cambridge. Lako, G., Núñez, R.E Where Mathematics Comes From. How the Embodied Mind Brings Mathematics into Being. Basic Books, New York. Polya, G Mathematics and Plausible Reasoning. Vol.I: Induction and Analogy in Mathematics, Vol. II: Patterns of Plausible Inference. Martino Publishing, Manseld Centre, CT. Jerzy Pogonowski (MEG) Czy masz wyobra¹ni matematyczn? PFK / 18
Wyobra¹nia matematyczna
Wyobra¹nia matematyczna Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki i Kognitywistyki UAM pogon@amu.edu.pl 2017 Jerzy Pogonowski (MEG) Wyobra¹nia matematyczna 2017 1 / 16 Wst p Proste przykªady Czy masz wyobra¹ni matematyczn?
Matematyczne fantazje kognitywistów
Matematyczne fantazje kognitywistów Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Wrocªaw 2013 Jerzy Pogonowski (MEG) Matematyczne fantazje kognitywistów Wrocªaw 2013
Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne
1 XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne Kategoria: klasa VIII szkoªy podstawowej i III gimnazjum Olsztyn, 16 maja 2019r. Zad. 1. Udowodnij,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z speªniaj cych
Wojewódzki Konkurs Matematyczny
sumaryczna liczba punktów (wypeªnia sprawdzaj cy) Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów 13 luty 2014 Czas 90 minut 1. Otrzymujesz do rozwi zania 10 zada«zamkni tych oraz 5 zada«otwartych.
Ekstremalnie maªe zbiory
Maªe jest pi kne Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Nadarzyn, 27.08.2011 Zbiory silnie miary zero Przypomnienie Zbiór X [0, 1] jest miary Lebesgue'a zero, gdy dla ka»dego ε > 0 istnieje ci
Arkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne
Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 1. 9 8 2. 0, (1) 3. 8 9 4. 0, (8) 3 4 4 4 1 jest liczba Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 3 4 4 4
Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.
Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór
Matematyka i Humanistki
Matematyka i Humanistki Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 6 grudnia 2014 Jerzy Pogonowski (MEG) Matematyka i Humanistki 6 grudnia 2014 1 / 7 Wst p Cel
Stereometria (geometria przestrzenna)
Stereometria (geometria przestrzenna) Wzajemne poªo»enie prostych w przestrzeni Stereometria jest dziaªem geometrii, którego przedmiotem bada«s bryªy przestrzenne oraz ich wªa±ciwo±ci. Na pocz tek omówimy
Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Geometria. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne
Geometria Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Dane s równania postych, w których zawarte s boki trójk ta ABC : 3x 4y + 36 = 0 x y = 0 4x + 3y + 23 = 0 1. Obliczy wspóªrz dne wierzchoªków
Co i czym mo»na skonstruowa
Co i czym mo»na skonstruowa Jarosªaw Kosiorek 5 maja 016 Co mo»na skonstruowa? Maj c dany odcinek dªugo±ci 1 mo»na skonstruowa : 1. odcinek dªugo±ci równej dowolnej liczbie wymiernej dodatniej;. odcinek
Funkcje. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne
Funkcje Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Uzasadnij,»e równanie x 3 + 2x 2 3x = 6 ma dwa niewymierne pierwiastki. Funkcja f dana jest wzorem f (x) = 2x + 1. Rozwi» równanie f (x +
A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
r = x x2 2 + x2 3.
Przestrze«aniczna Def. 1. Przestrzeni aniczn zwi zan z przestrzeni liniow V nazywamy dowolny niepusty zbiór P z dziaªaniem ω : P P V (które dowolnej parze elementów zbioru P przyporz dkowuje wektor z przestrzeni
Metody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów
Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Wprowadzenie PWSZ Gªogów, 2009 Plan wykªadów Wprowadzenie, podanie zagadnie«, poj cie metody numerycznej i algorytmu numerycznego, obszar zainteresowa«i stosowalno±ci
Arkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne
Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. W pewnym sonda»u partia A uzyskaªa o 8 punktów procentowych wi ksze poparcie ni» partia B. Wiadomo,»e liczba gªosów oddanych w sonda»u
Wojewódzki Konkurs Matematyczny
Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów ETAP SZKOLNY 16 listopada 2012 Czas 90 minut Instrukcja dla Ucznia 1. Otrzymujesz do rozwi zania 10 zada«zamkni tych oraz 5 zada«otwartych. 2. Obok
Maªgorzata Murat. Modele matematyczne.
WYKŠAD I Modele matematyczne Maªgorzata Murat Wiadomo±ci organizacyjne LITERATURA Lars Gårding "Spotkanie z matematyk " PWN 1993 http://moodle.cs.pollub.pl/ m.murat@pollub.pl Model matematyczny poj cia
c Marcin Sydow Spójno± Grafy i Zastosowania Grafy Eulerowskie 2: Drogi i Cykle Grafy Hamiltonowskie Podsumowanie
2: Drogi i Cykle Spis Zagadnie«drogi i cykle spójno± w tym sªaba i silna k-spójno± (wierzchoªkowa i kraw dziowa) dekompozycja grafu na bloki odlegªo±ci w grae i poj cia pochodne grafy Eulera i Hamiltona
Statystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Aleksandra Ki±lak-Malinowska akis@uwm.edu.pl http://wmii.uwm.edu.pl/ akis/ Czym zajmuje si statystyka? Statystyka zajmuje si opisywaniem i analiz zjawisk masowych otaczaj cej czªowieka
'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+
'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+ Ucze interpretuje i tworzy teksty o charakterze matematycznym, u ywa j zyka matematycznego do opisu
ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM ROZSZERZONY. S x 3x y. 1.5 Podanie odpowiedzi: Poszukiwane liczby to : 2, 6, 5.
Nr zadania Nr czynno ci... ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Etapy rozwi zania zadania Wprowadzenie oznacze : x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania: x y lub: zapisanie
Strategia czy intuicja?
Strategia czy intuicja czyli o grach niesko«czonych Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 29 sierpnia 2009 Denicja gry Najprostszy przypadek: A - zbiór (na ogóª co najwy»ej przeliczalny),
Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego. Test matematyczno-przyrodniczy matematyka. Test GM-M1-122,
Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego Test matematyczno-przyrodniczy Test GM-M1-122, Zestaw zadań z zakresu matematyki posłużył w dniu 25 kwietnia 2012 r. do sprawdzenia, u uczniów kończących trzecią
SPRAWDZIANY Z MATEMATYKI
SPRAWDZIANY Z MATEMATYKI dla klasy III gimnazjum dostosowane do programu Matematyka z Plusem opracowała mgr Marzena Mazur LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Grupa I Zad.1. Zapisz w jak najprostszej postaci
Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 25. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied.
Egzamin maturalny z matematyki ZADANIA ZAMKNI TE W zadaniach od 1. do 5. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied. Zadanie 1. (1 pkt) Cen nart obni ono o 0%, a po miesi cu now cen obni ono
Zadanie 1. (0-1 pkt) Liczba 30 to p% liczby 80, zatem A) p = 44,(4)% B) p > 44,(4)% C) p = 43,(4)% D) p < 43,(4)% C) 5 3 A) B) C) D)
W ka dym z zada.-24. wybierz i zaznacz jedn poprawn odpowied. Zadanie. (0- pkt) Liczba 30 to p% liczby 80, zatem A) p = 44,(4)% B) p > 44,(4)% C) p = 43,(4)% D) p < 43,(4)% Zadanie 2. (0- pkt) Wyra enie
Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera
V 0 V 0 Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera oka»emy,»e orbit planety poruszaj cej si pod dziaªaniem siªy ci»ko±ci ze strony Sªo«ca jest krzywa sto»kowa, w szczególno±ci elipsa. Wektor pr dko±ci planety
Metodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
Metafory poznawcze w matematyce
Metafory poznawcze w matematyce Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 24.X.2013, Kraków Jerzy Pogonowski (MEG) Metafory poznawcze w matematyce 24.X.2013, Kraków
PRACOWNIA ZARZĄDZANIA, DIAGNOZY EDUKACYJNEJ I SZKOLNICTWA ZAWODOWEGO ODN W ZIELONEJ GÓRZE
PRACOWNIA ZARZĄDZANIA, DIAGNOZY EDUKACYJNEJ I SZKOLNICTWA ZAWODOWEGO ODN W ZIELONEJ GÓRZE RAPORTY przygotowanie do edukacji wczesnoszkolnej WEWNĄTRZSZKOLNE DIAGNOZOWANIE OSIĄGNIĘĆ Maj 22 Przedszkole i
MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI
MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI LUTY 01 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera strony (zadania 1 ).. Arkusz zawiera 4 zadania zamknięte i 9
KLASA 3 GIMNAZJUM. 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) 1. Lekcja organizacyjna 1. 2. System dziesiątkowy 2-4. 3. System rzymski 5-6
KLASA 3 GIMNAZJUM TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) 1. Lekcja organizacyjna 1 2. System dziesiątkowy 2-4 WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ Z XII 2008 R.
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0
1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
Statystyka. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski
Statystyka Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Statystyka Statystyka: nauka zajmuj ca si liczbowym opisem zjawisk masowych oraz ich analizowaniem, zbiory informacji liczbowych. (Sªownik
Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki
Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki 1 Zadania na wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki Zad. 1. Ile istnieje ró»nych liczb czterocyfrowych zakªadaj c,»e cyfry nie powtarzaj si a
Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego
Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Festiwal Nauki, 20.09.2011 Nasze do±wiadczenia hotelowe Fakt oczywisty Hotel nie przyjmie nowych go±ci, je»eli wszystkie
1 Trochoidalny selektor elektronów
1 Trochoidalny selektor elektronów W trochoidalnym selektorze elektronów TEM (Trochoidal Electron Monochromator) stosuje si skrzy»owane i jednorodne pola: elektryczne i magnetyczne. Jako pierwsi taki ukªad
Zadania z PM II A. Strojnowski str. 1. Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria 2
Zadania z PM II 010-011 A. Strojnowski str. 1 Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria Zadanie 1 Niech A = {1,, 3, 4} za± T A A b dzie relacj okre±lon wzorem: (a, b) T, gdy n N a n = b. a) Ile
ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn poprawn odpowied.
2 Przyk adowy arkusz egzaminacyjny z matematyki ZADANIA ZAMKNI TE W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn poprawn odpowied. Zadanie 1. (1 pkt) Pole powierzchni ca kowitej sze
Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej
Matematyka wykªad 1 Macierze (1) Andrzej Torój Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej 17 wrze±nia 2011 Plan wykªadu 1 2 3 4 5 Plan prezentacji 1 2 3 4 5 Kontakt moja strona internetowa:
Ekstremalnie fajne równania
Ekstremalnie fajne równania ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO Zaczniemy od ogólnych uwag nt. rachunku wariacyjnego, który jest bardzo przydatnym narz dziem mog cym posªu»y do rozwi zywania wielu problemów
2 Liczby rzeczywiste - cz. 2
2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 W tej lekcji omówimy pozostaªe tematy zwi zane z liczbami rzeczywistymi. 2. Przedziaªy liczbowe Wyró»niamy nast puj ce rodzaje przedziaªów liczbowych: (a) przedziaªy ograniczone:
Zbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
c Marcin Sydow Planarno± Grafy i Zastosowania Tw. Eulera 7: Planarno± Inne powierzchnie Dualno± Podsumowanie
7: Spis zagadnie«twierdzenie Kuratowskiego Wªasno±ci planarno±ci Twierdzenie Eulera Grafy na innych powierzchniach Poj cie dualno±ci geometrycznej i abstrakcyjnej Graf Planarny Graf planarny to taki graf,
Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ. Marek Majewski Aktualizacja: 31 pa¹dziernika 2006
Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ Marek Majewski Aktualizacja: 1 pa¹dziernika 006 Spis tre±ci 1 Macierze dziaªania na macierzach. Wyznaczniki 1 Macierz odwrotna. Rz d macierzy
EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY
Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN
PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI
PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Zestaw P POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla pisz cego 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 17 stron.. W zadaniach od 1. do 0. s podane 4 odpowiedzi:
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych I. Malinowska, Z. Šagodowski Politechnika Lubelska 8 czerwca 2015 Caªka iterowana podwójna Denicja Je»eli funkcja f jest ci gªa na prostok cie P = {(x, y) : a x
Algorytmiczna teoria grafów
18 maja 2013 Twierdzenie Halla o maª»e«stwach Problem Wyobra¹my sobie,»e mamy m dziewczyn i pewn liczb chªopców. Ka»da dziewczyna chce wyj± za m», przy czym ka»da z nich godzi si po±lubi tylko pewnych
PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI
PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Zestaw P POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla pisz cego 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 17 stron.. W zadaniach od 1. do 0. s podane 4 odpowiedzi:
K P K P R K P R D K P R D W
KLASA III TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i
ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI
Zadanie 51. ( pkt) Rozwi równanie 3 x 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x 3y 5 Rozwi uk ad równa. x y 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwi nierówno x 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 54. ( pkt) 3 Rozwi
JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1
J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)
Temat: Co to jest optymalizacja? Maksymalizacja objętości naczynia prostopadłościennego za pomocą arkusza kalkulacyjngo.
Konspekt lekcji Przedmiot: Informatyka Typ szkoły: Gimnazjum Klasa: II Nr programu nauczania: DKW-4014-87/99 Czas trwania zajęć: 90min Temat: Co to jest optymalizacja? Maksymalizacja objętości naczynia
X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne)
X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne) Zadanie 1 Obecnie u»ywane tablice rejestracyjne wydawane s od 1 maja 2000r. Numery rejestracyjne aut s tworzone ze zbioru
Listy Inne przykªady Rozwi zywanie problemów. Listy w Mathematice. Marcin Karcz. Wydziaª Matematyki, Fizyki i Informatyki.
Wydziaª Matematyki, Fizyki i Informatyki 10 marca 2008 Spis tre±ci Listy 1 Listy 2 3 Co to jest lista? Listy List w Mathematice jest wyra»enie oddzielone przecinkami i zamkni te w { klamrach }. Elementy
Wektory w przestrzeni
Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Arkusz 4. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Arkusz 4. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Zadanie 4.1. Obliczy dªugo±ci podanych wektorów a) a = [, 4, 12] b) b = [, 5, 2 2 ] c) c = [ρ cos φ, ρ sin φ, h], ρ 0, φ, h R c) d = [ρ cos φ cos
Elementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
NUMER IDENTYFIKATORA:
Społeczne Liceum Ogólnokształcące z Maturą Międzynarodową im. Ingmara Bergmana IB WORLD SCHOOL 53 ul. Raszyńska, 0-06 Warszawa, tel./fax 668 54 5 www.ib.bednarska.edu.pl / e-mail: liceum.ib@rasz.edu.pl
AM II /2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium
AM II.1 2018/2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium Normy w R n, iloczyn skalarny sprawd¹ czy dana funkcja jest norm sprawd¹, czy dany zbiór jest kul w jakiej± normie i oblicz norm wybranego
Krzywe i powierzchnie stopnia drugiego
Krzywe i powierzchnie stopnia drugiego Iwona Malinowska, Zbigniew Šagodowski 25 maja 2015 I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja 2015 1 / 30 Rozwa»my dwie proste przecinaj ce si pod k tem α, 0
Zadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II.
Zadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II. Poni»sze zadania s wyborem zada«z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki jakie przeprowadziªem w ci gu ostatnich lat. Marek Zawadowski Zadanie 1 Napisz
1. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: 2. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie: +j +j 3 Re z = Im z = 5 z ( j) = z j z +
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 203/4 Spis tre±ci Kodowanie i dekodowanie 4. Kodowanie a szyfrowanie..................... 4.2 Podstawowe poj cia........................
Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).
Rozwi zania zada«z egzaminu podstawowego z Analizy matematycznej 2.3A (24/5). Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Zadanie P/4. Metod operatorow rozwi
Arkusz maturalny treningowy nr 7. W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź.
Czas pracy: 170 minut Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz maturalny treningowy nr 7 W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0-1) Wyrażenie (-8x 3
Stereometria. Zimowe Powtórki Maturalne. 22 lutego 2016 r.
Stereometria Zimowe Powtórki Maturalne 22 lutego 2016 r. 1. Przek tna sze±cianu o boku 1 ma dªugo± : 1. Przek tna sze±cianu o boku 1 ma dªugo± : 1 1. Przek tna sze±cianu o boku 1 ma dªugo± : 1 2 1. Przek
Podstawy matematyki dla informatyków
Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 6 10 listopada 2011 W poprzednim odcinku... Zbiory A i B s równoliczne (tej samej mocy ), gdy istnieje bijekcja f : A 1 1 B. Piszemy A B lub A = B. na Moc zbioru
EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MMA-R1A1P-061 POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 150 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 12
Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP
Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno
pobrano z (A1) Czas GRUDZIE
EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 014/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYK ADOWY ZESTAW ZADA (A1) W czasie trwania egzaminu zdaj cy mo e korzysta z zestawu wzorów matematycznych, linijki i cyrkla
Materiaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
ARKUSZ WICZENIOWY Z MATEMATYKI MARZEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50
pobrano z www.sqlmedia.pl Centralna Komisja Egzaminacyjna ARKUSZ WICZENIOWY Z MATEMATYKI MARZEC 01 POZIOM PODSTAWOWY 1. Sprawd, czy arkusz wiczeniowy zawiera strony (zadania 1 ).. Rozwi zania zada i odpowiedzi
WBiA Architektura i Urbanistyka. 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: Które z iloczynów: A 2 B, AB 2, BA 2, B 2 3, B = 1 2 0
WBiA Architektura i Urbanistyka Matematyka wiczenia 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: 1) 2A + C 2) A C T ) B A 4) B C T 5) A 2 B T 1 0 2 dla A = 1 2 1 1 0 B = ( 1 2 1 0 1 ) C = 1 2 1 0 2 1 0 1 2. Które
Wst p do sieci neuronowych, wykªad 14 Zespolone sieci neuronowe
Wst p do sieci neuronowych, wykªad 14 Zespolone sieci neuronowe M. Czoków, J. Piersa Faculty of Mathematics and Computer Science, Nicolaus Copernicus University, Toru«, Poland 2011-18-02 Motywacja Liczby
Podstawy logiki i teorii zbiorów wiczenia
Spis tre±ci 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Ró»nica symetryczna 4 5 Kwantykatory 5 6 Relacje 7 7 Relacje porz dku i równowa»no±ci 8 8 Funkcje
OFERTA WYKŁADÓW, WARSZTATÓW I LABORATORIÓW DLA UCZNIÓW KLAS IV- VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH, GIMNAZJALNYCH I ŚREDNICH
OFERTA WYKŁADÓW, WARSZTATÓW I LABORATORIÓW DLA UCZNIÓW KLAS IV- VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH, GIMNAZJALNYCH I ŚREDNICH Strona 1 z 9 SPIS ZAJĘĆ WRAZ Z NAZWISKAMI WYKŁADOWCÓW dr hab. Mieczysław Kula Poznaj swój
Prawdopodobie«stwo warunkowe, twierdzenie Bayesa, niezale»no± zdarze«.
Prawdopodobie«stwo warunkowe, twierdzenie Bayesa, niezale»no± zdarze«. Alicja Czy» WFTiMS April 14, 2010 Spis tre±ci 1 Wprowadzenie Denicja prawdopodobie«stwa warunkowego Twierdzenie Bayesa Niezale»no±
EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZ CIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-P1_1P-082 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 2008 Czas pracy 120 minut Instrukcja
EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZ CIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-P1_1P-082 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 2008 Czas pracy 120 minut Instrukcja
Matematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Cz ± I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szyma«ski Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Pozna«2007 2 Podstawowe zasady i prawa przeliczania
TEMAT : Sprawdź sam siebie powtórzenie materiału (ewaluacja całoroczna)
SCENARIUSZ ZAJĘĆ Z MATEMATYKI DLA KLASY III GIMNAZJUM AUTOR : HANNA MARCINKOWSKA TEMAT : Sprawdź sam siebie powtórzenie materiału (ewaluacja całoroczna) Szkoła z klasą 2.0 Zastosowanie technologii informacyjnej
Od redakcji. Symbolem oznaczono zadania wykraczające poza zakres materiału omówionego w podręczniku Fizyka z plusem cz. 2.
Od redakcji Niniejszy zbiór zadań powstał z myślą o tych wszystkich, dla których rozwiązanie zadania z fizyki nie polega wyłącznie na mechanicznym przekształceniu wzorów i podstawieniu do nich danych.
2. L(a u) = al( u) dla dowolnych u U i a R. Uwaga 1. Warunki 1., 2. mo»na zast pi jednym warunkiem: L(a u + b v) = al( u) + bl( v)
Przeksztaªcenia liniowe Def 1 Przeksztaªceniem liniowym (homomorzmem liniowym) rzeczywistych przestrzeni liniowych U i V nazywamy dowoln funkcj L : U V speªniaj c warunki: 1 L( u + v) = L( u) + L( v) dla
i danej prędkości; stosuje jednostki prędkości: km/h, m/s; umiejętności rachunkowe, a także własne poprawne metody.
Propozycja rozkładu materiału nauczania Matematyka wokół nas Rozkład materiału nauczania z odniesieniami do wymagań z podstawy programowej. Matematyka wokół nas KLASA 5 Nr lekcji Temat lekcji Zagadnienie
det A := a 11, ( 1) 1+j a 1j det A 1j, a 11 a 12 a 21 a 22 Wn. 1 (Wyznacznik macierzy stopnia 2:). = a 11a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32
Wyznacznik Def Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcj, która ka»dej macierzy A = (a ij ) przyporz dkowuje liczb det A zgodnie z nast puj cym schematem indukcyjnym: Dla macierzy A = (a ) stopnia
EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 9
ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku
Argumenty z intuicji matematycznej
Argumenty z intuicji matematycznej Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl ArgDiaP 2011 Jerzy Pogonowski (MEG) Argumenty z intuicji matematycznej ArgDiaP 2011
W zadaniach na procenty wyró»niamy trzy typy czynno±ci: obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba,
2 Procenty W tej lekcji przypomnimy sobie poj cie procentu i zwi zane z nim podstawowe typy zada«. Prosimy o zapoznanie si z regulaminem na ostatniej stronie. 2.1 Poj cie procentu Procent jest to jedna
ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA
Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 014 Czas pracy: 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1
Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne
Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne Šukasz Dawidowski Nocne powtórki maturalne 28 kwietnia 2014 r. Troch teorii Funkcj f : R R dan wzorem: f (x) = ax 2 + bx + c gdzie a 0 nazywamy funkcj