Przybli anie ilorazu wymiernego jego sko czonym rozwini ciem X D. dokładno ilorazu okre lona precyzj wyznaczenia liczby m

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Przybli anie ilorazu wymiernego jego sko czonym rozwini ciem X D. dokładno ilorazu okre lona precyzj wyznaczenia liczby m"

Roman Król
5 lat temu
Przeglądów:

1 Algort oblczenowe Janusz Bernat, 7-6-Oblczena nuer.oc, 7 gruna 4 NUM Przbl ane lorazu wernego ego sko czon rozwn ce R X R D X D X Q R D D R D }: { okłano lorazu okre lona precz wznaczena lczb R R R... stanarzaca: uen zelnk zen znak D oraz X D X X D D D sgn :, sgn : noralzaca: X D D < < β β β β β &... 4 < < n n q q q q q q q proceura: z z z zbe no proceur kwaratowa s s z z < < β β

2 Algort oblczenowe Przbl ane lorazu sko czon rozwn ce w sstee wókow {,,,,,...} U {,,,,, 3,...} U {,,,,, 3,...} U D> {,,, 3,...} U {,,, 3,...} NB Proceura o R s : D R D <, Q R X np. R : s D o n oblcza R D oraz Q Q R a < D D R lczba wo cch enek lczb D zostae powoona w ka e terac p p D < D < s D < wzgl n okłano n lorazu Q X R R... zapewna log n / s terac perwsz no nk R wznaczon z okłano c slog s btów R f z atrc ROM o rozarze s slog s btów D prz peszene no ena u ce krótszch no nków R Janusz Bernat, 7-6-Oblczena nuer.oc, 7 gruna 4 NUM

3 Algort oblczenowe Oblczane owrotno c zelnka etoa teracna Newtona-Raphsona f f f f f kolene przbl ena esca zerowego f okre la równane rekurencne f, f w onesenu o funkc f D przbera posta D Janusz Bernat, 7-6-Oblczena nuer.oc, 7 gruna 4 NUM 3

4 Zbe no eto no ena przez owrotno zelnka Nech a oraz Daq a q a q q a q... q a q Algort oblczenowe q a q q { Da[ q... q ]} a q q q q l l < a q q a q D zelnk znoralzowan D < zbe no, e el a < ad>. zbe no kwaratowa e l δ D, to δ δ δ δ < δ D D D [ D D ] D szbko zbe no c zale o okłano c perwszego przbl ena k D < k optalne k [ k ] waa nesza okłano n uzskwana w zelenu sekwencn nezb na korekca wnku oatkowe załana artetczne Janusz Bernat, 7-6-Oblczena nuer.oc, 7 gruna 4 NUM 4

5 Algort oblczenowe Janusz Bernat, 7-6-Oblczena nuer.oc, 7 gruna 4 NUM 5 Oblczane perwastka owrotno c perwastka kwaratowego Lczba perwastkowana est znoralzowana 4 < A. etoa teracna Newtona równane rekurencne: f f Oblczane perwastka kwaratowego: Je l f A, to sqrta A wte f, w c A A waa: koneczno zelena Oblczane owrotno perwastka kwaratowego: A f wte 3 f oraz 3 A A

6 Oblczane owrotno c perwastków w szch stopn Algort oblczenowe Je el f k A, to k A Ponewa wte f k k, w c otrzue k A k A k k k k Oblczena waga welokrotnego no ena / pot gowana e l k>. Janusz Bernat, 7-6-Oblczena nuer.oc, 7 gruna 4 NUM 6

7 Algort oblczenowe CORDIC algort Volera Obrót wektora zaczeponego w punkce, przestrzen karteza ske b a b Rcosαδ, b Rsn αδ a Rcosα, a Rsn α δ α Z to sao c trgonoetrcznch cosαβcosαcosβ snαsnβ b snαβsnαcosβcosαsnβ wnka, e: b RcosαδRcosα cosδ Rsnα snδ a cosδ a snδ a b RsnαδRsnα cosδ R cosα snδ a cosδ a snδ Janusz Bernat, 7-6-Oblczena nuer.oc, 7 gruna 4 NUM 7

8 Algort oblczenowe CORDIC algort Volera J.Voler 956, sterowane saolotu B-58 Postawa c ttgδ cos δ t, otrza la k tów w I wartce: t Rcos α arctgt Rcosα trsnα t Rsn α arctgt Rsnα trcosα W krokach terac, to wnke obrotu wektora, o k t arctgt est: t,,, t t t,,, Obe współrz ne s enakowo skalowane, w c w poencz kroku o na zgnorowa włu ene wektora, okonu c korekt w ostatn kroku oblcze * * gze, oraz t oraz * * * n Janusz Bernat, 7-6-Oblczena nuer.oc, 7 gruna 4 NUM 8 t * * * n * * t, t. n n n n

9 Algort oblczenowe CORDIC algort Volera 3 Poobne to sao c otcz funkc hperbolcznch snh cosh wzór Eulera coshαδcoshα coshδsnhα snhδ snhαδsnhα coshδcoshα snhδ gze wzór Eulera: epcossn snh sn ep ep cosh cos ep ep ep cosh snh Warto c ttgδ± n, o na łatwo tablcowa wte wszstke oblczena o na wkona za pooc oawana, oeowana przesun ca. Zale ne o znaku k ta wró na s oblczena w trbe obrotu rotaton oe, g k t est oatn, w trbe norowana vectorng oe, g k t est uen ego wnke est oblczene ługo c wektora Janusz Bernat, 7-6-Oblczena nuer.oc, 7 gruna 4 NUM 9

10 Algort oblczenowe CORDIC algort Volera 4 Uogólnene la funkc trgonoetrcznch hperbolcznch. trzeca zenna z oległo k towa wektora o os [,: σ t z z σ / σ t arctg t gze t S, prz ta sekwenca terac przrostów trgonoetr. hperbolczn trb obrotu z trb norowana σ sgn z σ sgn n K cosz snz n K arctg k n K cosz snz n z n z n z arctg / tanh k n K coshz snhz n K n K coshz snhz n z n z n z tanh / Janusz Bernat, 7-6-Oblczena nuer.oc, 7 gruna 4 NUM

11 Algort oblczenowe CORDIC realzaca ukłaowa z LUT Zalet algortu CORDIC oblczane funkc eleentarnch za pooc prostch zała artetcznch prosta pleentaca ukłaowa algortu Cr, procesor DSP Waa wolna zbe no, koneczno wkonana u e lczb oblcze, wersa ulepszona CORDIC. Janusz Bernat, 7-6-Oblczena nuer.oc, 7 gruna 4 NUM

12 Inne eto oblczana warto c funkc przest pnch Algort oblczenowe tablca onese look-up table zapa tane warto c funkc ene zenne z okłano c o n btów n atrca ROM o rozarze n btów la n > 3 rozar > 8 Mb rozwn ce w szereg Talora ró ne algort la poszczególnch funkc wolna zbe no szeregu Talora zale slne o warto c arguentu rozwn ca funkc przest pnch w postac ułaków wernch powszechne stosowane w pleentacach prograowch og b barzo skuteczne w realzacach sprz towch, e l w spozc s szbke zennoprzecnkowe suator ukła no ce algort oparte na przbl enach weloanowch z u ce tablc onese oena arguentu funkc f pozelona na przezał równe ługo c warto c granczne f w punktach pozału s w tablc onese warto c wewn trz przezałów oblczane na postawe aproksac weloanowe p funkc f Janusz Bernat, 7-6-Oblczena nuer.oc, 7 gruna 4 NUM

13 Algort oblczenowe* Janusz Bernat, 7-6-Oblczena nuer.oc, 7 gruna 4 NUM 3 Proceura noralzac atwne oblczana funkca, b } { } { b b, lub } { } { b b g b g, rozwn ce w szereg Talora funkc g wokół punktu ε ε ε ε o ε b bł przbl ena przez b ε ε δ ε δ δ zale o pochone funkc w punkce {b } tak obra ab w krokach uzska δ< n

14 Algort oblczenowe* Janusz Bernat, 7-6-Oblczena nuer.oc, 7 gruna 4 NUM 4 Proceura noralzac ultplkatwne oblczana funkca, b } { } { b b b ε ε b ε ε ε bł przbl ena rozwn ce w szereg Talora la ε ε ε ε ε δ o ε δ δ zale o pochone funkc w punkce {b } tak obra ab w krokach uzska δ< n

15 unkca wkłancza b s, s {,,} prostsze no ene Algort oblczenowe* { lnb } {ep ep lnb b ep ln ln stnee c g { s } tak, e, g ln < < < s { }, g ln ln ln,,,,,,,,,, 3,,,, 4,,,, 5,,,, 6,,,, 7,,,, Janusz Bernat, 7-6-Oblczena nuer.oc, 7 gruna 4 NUM 5 },

16 unkca wkłancza Algort oblczenowe* zapa tane ln ± z okłano c n atrca ROM n n n n ln n n < ep ep n < e la arguentu spoza przezału, log eln loge loge ln oraz loge ln loge loge e e e e wstarcza c zakrese wkłanka est < ln reguła wboru, ne waga ca cz stego oeowana rozwn ce lnz w szereg Talora wokół warto c ln s s z s s 3 s 4 w -t kroku proceur prz oeowanu ln est zerowan bt o waze zbe no est lnowa oeowane ln potrzebne g -t bt przbl ena est s s... Janusz Bernat, 7-6-Oblczena nuer.oc, 7 gruna 4 NUM 6

17 unkca logartczna proceura noralzac ultplkatwne Algort oblczenowe* { b } { ln ln b ln } b s, gze s {,,} uo lwa uproszczene no ena,9 Janusz Bernat, 7-6-Oblczena nuer.oc, 7 gruna 4 NUM 7 s 4,77, znoralzowane ułak oatne nale o zezn E ne spełna ogranczena przeskalowane ln ln E ln s {,} 4, 77 prosta reguła wboru s s l e l a wo cch enek : s l, to s ln bł przbl ena ln est równ bł ow ε, w c

18 Algort oblczenowe* Meto prz peszana oblcze rozwn ce funkc ln w szereg Talora la ae la > n/ ln s s o ln s s z okłano c ne gorsz n n prz oblczanu warto c funkc wkłancze,...z z..., z okłano c n la >>n/ oraz s z a z [ z o ]. n/ ostatnch kroków o na zast p no ene. s prz oblczanu funkc logartczne,...z z... z okłano c n la >>n/ oraz s z a szereg Talora ln z z Janusz Bernat, 7-6-Oblczena nuer.oc, 7 gruna 4 NUM 8

19 Algort oblczenowe* unkce hperbolczne snh e e, cosh e e proceura noralzac atwne g b b, na postawe to sao c eptgh la a e l b s s s ep tgh s. oraz g tgh b s, to s tgh s s K ep s {,} K oraz K > K, 536 ± 4 K s K ep. Janusz Bernat, 7-6-Oblczena nuer.oc, 7 gruna 4 NUM 9

20 unkce hperbolczne Nech t t s t s zbe ne prz, zbe ne s w c z t w t granca zbe no c s z w K K z z s w, w w s z e e Algort oblczenowe* t e t cosh t snh t e t snh t cosh t K z cosh oraz w snh,. zbe no bezwzgl na c gu } o zera ne est enostana { tgh < tgh nektóre krok usz b powtórzone Janusz Bernat, 7-6-Oblczena nuer.oc, 7 gruna 4 NUM

21 unkce trgonoetrczne algort oparte na wzorze Eulera e cos sn, proceura noralzac atwne g b Algort oblczenowe* Janusz Bernat, 7-6-Oblczena nuer.oc, 7 gruna 4 NUM, e przbera warto c zespolone b zespolone: g b b s, wte s s ep arctg s b s arctg arctg s arctg w atrc ROM arctg s arctg est funkc onotonczne rosn c s ep arctg s K ep obszar zbe no c eto u teczna oena arctg π ω,, 743 > π ω > est zawarta w przezale zbe no c

22 Algort oblczenowe* unkce trgonoetrczne w z reguł terac la cz c rzeczwste w uroone z w z w z s w s z z s w szbka zbe no eto, ale zenne K, g > arctg, s, g arctg, K K s, s,..., s, g < arctg. zbe no wolnesza, ale stałe K K > 6, 6468 > π, g, s K, g <. / K w cos oraz z sn lnowa zbe no eto wraz rozwn ca arctg w szereg Talora la >n/3 s rz u < o n Janusz Bernat, 7-6-Oblczena nuer.oc, 7 gruna 4 NUM

23 Owrotne funkce trgonoetrczne proceura noralzac ultplkatwne b, g b b s g arctg rzeczwste, u. Algort oblczenowe* b s ak w oblczanu funkc sn cos u v warto c zespolone, prz t u s v, v v s u po krokach algortu a s K s, arctg s. ep θ, K s s s {,} K s K wte w krokach terac θ u v K [cosθ sn ] K ep θ arctg s θ θ. Janusz Bernat, 7-6-Oblczena nuer.oc, 7 gruna 4 NUM 3

24 Algort oblczenowe* Owrotne funkce trgonoetrczne Wnka st, e u K u cosθ v snθ, v K v cos u sn θ θ. Ab wznacz arcus tangens nale zapewn zbe no u o zera. Zbe no proceur est zapewnona prz v. Wówczas prz u c tgθ oraz warto o θ arctg c. Zapewnene obrch warunków zbe no c la pozostałch owrotnch funkc trgonoetrcznch est znaczne trunesze. I tak, la oblczena warto c funkc arcsn c nale tak obra wektor s, ab u ło o sn θ, poobne la funkc arccos c nale znale wektor s zapewna c zbe no v o cos θ. Janusz Bernat, 7-6-Oblczena nuer.oc, 7 gruna 4 NUM 4

Podobne dokumenty

β ustalona podstawa reprezentacji, baza (radix), β 2,

β ustalona podstawa reprezentacji, baza (radix), β 2, Koncepcja postulaty F mno nk (sgnfcan,. mantysa (mantssa lczba stałoprzecnkowa ustalona postawa reprezentacj, baza (ra,, wykłank (eponent,. cecha (characterstc lczba całkowta wele ró nych reprezentacj