Dzielenie. Dzielenie pozycyjne

Transkrypt

1 zelene ozycyjne zelene dzelene całkowte: dzelna (dvdend), dzelnk 0 (dvor) Iloraz (uotent) rezta R (remander) z dzelena to lczby take, e R, R rozw zana (,R ) oraz (,R ) take, e R, rzy tym R R, R, R oraz R>0 dzelene znakowane (gned dvon) znak rezty znak dzelnej R>0 dzelene modularne (modulu dvon) znak rezty dodatn W yteme tałobazowym (ozycyjnym) o odtawe ze zborem cyfr, loraz / mo na oblczy z dokładno c ne gorz n r jako: r r r Januz Bernat, AK-4-09-zelene.doc, 3 wrze na 009 IV

2 zelene Januz Bernat, AK-4-09-zelene.doc, 3 wrze na 009 IV Przybl ena lorazu w yteme naturalnym () Perwze rzybl ene lorazu, take, e ) (, okre la ozycj warto erwzej cyfry lorazu {0,,,, } rezt R 0 okładnejze rzybl ene to,, },...,0, { take, e R, ) (, R R 0 Kolejnym rzybl enam lorazu,, take, e R ) (,, R R 0 co o kalowanu rezty ( R r ) rowadz do nerówno c arametrycznej r r 0

3 , Zbe no rocedury dzelena zelene W yteme tałobazowym kolejne rzybl ene lorazu, jet dokładnejze od orzednego, je l ełnony jet warunek, St d wynka, e to kolejna rezta (znormalzowana) mu ełna nerówno r r Je l warunek ten ne jet ełnony, czyl r, to kolejna nerówno r( ) r( ) ( ), ne ma rozw zana w zborze dozwolonych warto c cyfr ( ). Na rzykład rzy dodatnch r # oraz, je l r Januz Bernat, AK-4-09-zelene.doc, 3 wrze na 009 IV 3 r δ, to ( ) ( δ ) ( ) ( ( ) ) δ δ > r( ) a w c kolejne rezt ne tylko w kze od dzelnka ale te coraz w kze.

4 zelene Procedura dzelena ekwencyjnego w yteme naturalnym Warunek zbe no c rocedury wybór takej cyfry #, aby rezta była r ( 0 ) : 0 r, w rzecwnym raze wzytke kolejne rezty b d coraz w kze r ( 0 ) : r Grafczny chemat dzelena 4 r 0 3 4r 4r 4 (0,0) (0,0) 4 3 r 0 r > r r 0 (zbe ne) r? rozbe ne Januz Bernat, AK-4-09-zelene.doc, 3 wrze na 009 IV 4

5 Schemat dzelena w yteme dwójkowym a) r b) 0 () ()...() () ()...() r 0 zelene r (0,0) (0,0) (3) (3) r a) wyznaczane cyfry lorazu () rezty cz cowej (), b) kalowane rezty (3) r r 0 r r (0,0) (0,0) 0 r > r r 0 (zbe ne) r! rozbe ne Januz Bernat, AK-4-09-zelene.doc, 3 wrze na 009 IV 5

6 zelene w ytemach uzuełnenowych zelene dzelna, dzelnk loraz mog by lczbam ujemnym lczba w yteme uzuełnenowym lczba w yteme tałobazowym z netandardowym zborem cyfr na wod cej ozycj k k k k U [ xk ϕ( xk )] ] x dk m m ϕ( ) k ( gn(xk d ( ) { k xk ϕ xk k,...,,0,,..., x, gdze x )) funkcja znaku lczby, } WNIOSKI: je l 0, to warto erwzej cyfry lorazu jet ujemna wzytke ozotałe cyfry lorazu maj warto c dodatne aby ełnony był warunek zbe no c dzelena R, znak ka dej rezty mu by zgodny ze znakem dzelnka (R>0) erwza welokrotno dzelnka mu by taka aby R oraz R>0 (je l byłoby R 0, odj ce ka dej dodatnej welokrotno c rowadzłoby, wkutek kalowana, do naruzena warunku R ) Januz Bernat, AK-4-09-zelene.doc, 3 wrze na 009 IV 6

7 Standaryzacja lorazu w ytemach uzuełnenowych () zelene Iloraz mo na łatwo kalowa do warto c ułamkowej F m Ułamek w yteme uzuełnenowym ma zawze ota (()): {0,,, 3,...} gdy F > 0 F {,,, 3,...} gdy F 0 o tandaryzacj lorazu: je l >0, to 0 0 oraz r m 0 m je l 0, to 0 oraz r m () m warunkem orawno c jet r 0 wzytke kolejne cyfry lorazu rerezentuj warto c dodatne, a nat n rezt jet r r, r 0 F m Januz Bernat, AK-4-09-zelene.doc, 3 wrze na 009 IV 7

8 Standaryzacja lorazu w ytemach uzuełnenowych () zelene m Je l 0 oraz F, to tak e m m w c o dodanu dzelnka do rzekalowanej dzelnej znak erwzej rezty jet tak am jak znak dzelnka. Zatem wzytke kolejne cyfry lorazu dodatne ełnaj nerówno c Algorytm r r, r 0. Przekaluj dzeln, tak aby r 0 m /.. Je l >0, to 0 0 oraz r r 0 0 r 0 3. Je l 0, to 0 oraz r r 0 r 0 4. Oblczaj kolejno r r, r 0 Januz Bernat, AK-4-09-zelene.doc, 3 wrze na 009 IV 8

9 Standaryzacja lorazu w dwójkowych ytemach uzuełnenowych zelene m Je l 0 oraz F m, to tak e m w c o dodanu dzelnka do rzekalowanej dzelnej znak erwzej rezty jet tak am jak znak dzelnka. Wzytke kolejne cyfry lorazu dodatne, znak ka dej kolejnej rezty mu by tak jak znak dzelnka (r 0), rzy tym je l r r, to je l r r >, to 0 oraz r r Januz Bernat, AK-4-09-zelene.doc, 3 wrze na 009 IV 9

10 zelene w yteme uzuełnenowym (rzykład U0)!! tandaryzacja lorazu kalowane dzelnej tak, aby m zelene 7, : 3, 7 6 5, 4 : 6, 8 8, : 3, 3 4, 6 : 3,,,, , 7 5 > : 3, : 6, , * * , , * ) zamat mo na wykona ( ) Januz Bernat, AK-4-09-zelene.doc, 3 wrze na 009 IV 0

11 zelene odtwarzaj ce (retytucyjne) tandaryzacja lorazu kalowane dzelnej, tak aby m m gdy > r0 m gdy 0 0 zelene r r, r, r > 0,,,... 0,, gdy gdy r r,. metody dzelena retytucyjnego lub odtwarzaj cego (retorng dvon) odj ce dzelnka od tymczaowej rezty cz cowej r je l ( r ) 0 korekcja rezty rzez dodane dzelnka orównane tymczaowej rezty cz cowej r dzelnka je l ( r ) 0 odj ce dzelnka Januz Bernat, AK-4-09-zelene.doc, 3 wrze na 009 IV

12 zelene neodtwarzaj ce (neretytucyjne) W wynku odj ca dzelnka od rezty r r mo e owta : rezta r orawna, je el r >0 odowada jej cyfra lorazu o warto c rezta r neorawna, je el r 0 odowada jej cyfra lorazu o warto c 0 zelene je l rezta r jet neorawna, to wła cw kolejn rezt jet r r odtaw wyznaczena warto c kolejnej cyfry lorazu jet r (r ) t am warto otrzymamy w wynku oó nonej korekcj, dodaj c r (r ) Je l 0 to m jet neorawn rezt, w c m gdy 0 0 r0, m 0 gdy 0 gdy gdy r r > 0 Januz Bernat, AK-4-09-zelene.doc, 3 wrze na 009 IV

13 zelene zelene neodtwarzaj ce (neretytucyjne) Zale no kolejnej rezty od orzednej wyznaczonej z nej r r 0 0 oraz r (r ) r r r 0 oraz r (r ) r ALGORYTM ZIELENIA NIEOTWARZAJ CEGO W KOZIE U ( m ) m gdy 0 Krok 0. r0 m gdy 0 Krok. Je el: a) r 0 odtaw oblcz r r b) r 0 odtaw 0 oblcz r r 0 gdy r 0 r r ( ) gdy r > 0 Krok. Zw kz. Je l, wró do kroku. Krok 3. r 0 r r,., 0,,,..., ul Januz Bernat, AK-4-09-zelene.doc, 3 wrze na 009 IV 3

14 Schemat dzelena neodtwarzaj cego zelene r () () 0 (0,0) (3) r 0 Wykre dzelena neodtwarzaj cego w kodze U (>0) chemat wyznaczana cyfry lorazu (), rezty cz cowej () rzekalowanej rezty cz cowej (3) Januz Bernat, AK-4-09-zelene.doc, 3 wrze na 009 IV 4

15 zelene zelene odtwarzaj ce neodtwarzaj ce (U) mazynowe (rzykład ) ( 0 ) 0, 0 ( / 6 ) > 0, zb dne kalowane, / ( 0 ) 0, 0 ( 3 / 6 ) (neodtwarzaj ce) ( 0 ) 0, 0 (odtwarzaj ce) ( ), 0 0 r 0 ( 0 ) 0, r 0 ( ), 0 r r 0 ( 0 ), 0 0 r 0 ( ), 0 0 ( ), 0 0 ( 0 ) 0, 0 r r 0 ( 0 ) 0, 0 0 r 0 r r 0 ( 0 ) 0, 0 0 r 0 r ( 0 ), r ( 0 ), ( ), 0 0 ( ), 0 0 r r ( 0 ) 0, 0 0 r 0 r r ( 0 ) 0, 0 0 r 0 r ( 0 ) 0, 0 0 r ( 0 ) 0, 0 0 ( ), 0 0 ( ), 0 0 r 3 r ( ), r r 3 r ( ), r r 3 r ( 0 ) 0, 0 0 r 3 ( ), ( ), 0 0 ( 0 ) 0, 0 r 4 r 3 ( ), 0 r r 4 r 3 ( ), 0 r ,00 U Januz Bernat, AK-4-09-zelene.doc, 3 wrze na 009 IV 5

16 zelene zelene odtwarzaj ce neodtwarzaj ce (U) mazynowe (rzykład ) 0 0, 0 0 ( 4 / 6 ) 0, kalowane, / >, 0 0 ( / 6 ) ( 0 ) 0, 0 ( / 6 ) ( 0 ) 0, ( 0 ) 0, ( ), 0 0 ( ), 0 0 r 0 ( ), 0 r 0 ( ), r 0 0 r 0 ( ), 0 r 0 ( ), 0 ( 0 ) 0, 0 ( 0 ) 0, 0 r r 0 ( 0 ) 0, 0 0 r 0 0 r r 0 ( 0 ) 0, 0 0 r 0 0 r r 0 ( ), 0 r ( 0 ), 0 0 ( 0 ) 0, 0 ( ), 0 0 r r ( 0 ) 0, r 0 0 r r ( 0 ) 0, r 0 0 r r ( ), 0 0 r ( 0 ), ( 0 ) 0, 0 ( ), 0 0 r 3 r ( 0 ) 0, 0 0 r r 3 r ( 0 ) 0, 0 0 r r 3 r ( ), r 3 ( 0 ) 0, 0 0 ( 0 ) 0, 0 ( ), 0 0 r 4 r 3 ( ), r 0 4 r 4 r 3 ( ), r 0 4,000 U 00,0 U Januz Bernat, AK-4-09-zelene.doc, 3 wrze na 009 IV 6

17 zelene odtwarzaj ce neodtwarzaj ce (U) emne () 0, 0 0, 0 :, 0 0 k, Iloraz jet równy., ,0... zelene , : 0 0, k 3 0 0, Iloraz jet równy., ,00... Januz Bernat, AK-4-09-zelene.doc, 3 wrze na 009 IV 7

18 zelene zelene odtwarzaj ce neodtwarzaj ce (U) emne () 0 0, (0) 0, : 0, k 0, 0 r (0), ( ) 0 3 Iloraz jet równy,0 U,0 U lub,00(),0 U 0, 0, 0 () (), :, 0 k 0 0, (0) r () (0) 3 (0) Iloraz jet równy., ,00... Januz Bernat, AK-4-09-zelene.doc, 3 wrze na 009 IV 8

19 Ozacowane erwatka kwadratowego algorytm ntucyjny A z dokładno c ε je l A A ε zelene jedyny unweralny algorytm zgadywane lub rzegl d zuełny uma kolejnych naturalnych lczb nearzytych jet kwadratem ch lczby ( ; 3 ; 353 ; 3574 ; ; ) n je l n n n n n n algorytm 0., d, S., dd. SSd 3. je l S0 to, w rzecwnym raze d do n Januz Bernat, AK-4-09-zelene.doc, 3 wrze na 009 SRT

20 zelene Januz Bernat, AK-4-09-zelene.doc, 3 wrze na 009 SRT Porawa dokładno c ozacowana w yteme ozycyjnym Przybl enem erwatka kwadratowego z lczby z dokładno c do cyfry znacz cej jet take, e {0,,,, } oraz ) ) (( ) ( najwy za arzyta ot ga odtawy ne w kza od dokładno bezwzgl dna wyno ( ). okładnejze rzybl ene to take, e Podobne mo na oblczy dokładnejze rzybl ene erwatka (r) r r na odtawe orzednego rzybl ena (r) z dokładno c r.

21 zelene Januz Bernat, AK-4-09-zelene.doc, 3 wrze na 009 SRT 3 Przybl ena Nech z dokładno c je l Jak znale kolejn cyfr rozwn ca leze rzybl ene erwatka na odtawe wyznaczonego wcze nej rzybl ena? Mamy czyl R Wynka t d rekurencyjna zale no kolejnych rezt R R

22 Algorytm odr czny Kolejn -t cyfr rzybl ena erwatka jet najw kza taka, e R n n gdze R R ] Po kalowanu gdze algorytm. r ( ) r R ( ) n [ ( ), kład c r r n, otrzymamy: jet oblczonym orzednm rzybl enem erwatka kalowanym do warto c całkowtej zelene. rzekaluj orzedn rezt cz cow r rzez 3. odwój rzekaluj rzez oblczone rzybl ene erwatka 4. znajd najw kz, dla której kolejna rezta jet najmnejza dodatna 5. owtarzaj od. a do uzykana wymaganej dokładno c Januz Bernat, AK-4-09-zelene.doc, 3 wrze na 009 SRT 4

23 Algorytm odr czny rzykład zelene 8 4 3, (40 0 ) (580 ) (5800 ) (00 3 ) (00 ) (00 ) (000 0 ) r 5 0 Januz Bernat, AK-4-09-zelene.doc, 3 wrze na 009 SRT 5

24 Algorytm odr czny ekwencyjne generowane odwojena zelene 8 4 3, (4) (58) (580) (0) (0) (0) (00) r Januz Bernat, AK-4-09-zelene.doc, 3 wrze na 009 SRT 6

25 Oblczane erwatka kwadratowego w yteme NB zelene R ( ) R n n [ ( ) ] [ ( ) ] n [( ) n ], ( ) Po kalowanu ( n ) ( ) R( ), otrzymamy wzór odobny jak w dzelenu: r r ( ) n r( ) n [ ( ) n ] analoga do dzelena oblczane erwatka kwadratowego w układze dzel cym W yteme dwójkowym reguła urazcza bo {0, }. Po normalzacj urozczenu ndeków ( n ) otrzymamy 0 n ( r r ),,,...,, r 0,, gdy r gdy r ( ( ), ). 0, Januz Bernat, AK-4-09-zelene.doc, 3 wrze na 009 SRT 7

26 Oblczane erwatka kwadratowego w yteme NB rzykład r 0 0 0, , r 0 0, , 0, d ( 0 ), r r 0 d 0 0, 0 0 r 0, ,0 0, d ( ) 0, r r d 0 0, r 0 0, , ,0 zelene r 3 r 0, ,00 4 0,0 d 4 ( 4 3 ) 0, r 4 r 3 d 4 0 0, r 4 0 0, , ,00 r 5 r 4 0, , ,000 r 6 r 5 0, , ,000 d 7 ( 7 6 ) 0, r 7 r 6 d 7 0 0, r 7 0 0, , ,000 Januz Bernat, AK-4-09-zelene.doc, 3 wrze na 009 SRT 8

27 Oblczane erwatka kwadratowego metoda neretytucyjna* algorytm oarty na regule ( r r ),,,...,, r 0 zelene mo na zrealzowa w werj neodtwarzaj cej rezty cz cowe. Bezo redne zatoowane nemo lwe kolejna cyfra jet wyznaczana o okre lenu znaku nat nej rezty. W erwatkowana warto tej rezty zale ałaby od warto c cyfry wyznaczanej na jej odtawe! Problem znka, je l wynk wytwarzamy w kodze S, ( r r d d ), r 0,,,...,,,, gdy r gdy r 0, 0,! koneczna jet be ca korekcja o wyt enu cyfry ujemnej Januz Bernat, AK-4-09-zelene.doc, 3 wrze na 009 SRT 9

28 Oblczane erwatka kwadratowego metoda neretytucyjna* zelene 49 / 56 (S) r 0 00, , r 0 00, , d ( 0 ), , r r 0 d,0000 r, ,0 0, d ( ) 00, , 0,0 r r d 00, r 0, ,0 d 3 ( 3 ), ,0 r 3 r d 3 00,00000 r 3 00, ,0 d 4 ( 4 3 ), ,0 Rr 4 r 3 d 4 0, Perwatek ma ko czone rozwn ce 0,0 ( 67 ). W drugm kroku dokonano zamany rzybl ena erwatka z kodu S na U Januz Bernat, AK-4-09-zelene.doc, 3 wrze na 009 SRT 0