β ustalona podstawa reprezentacji, baza (radix), β 2,

Transkrypt

1 Koncepcja postulaty F mno nk (sgnfcan,. mantysa (mantssa lczba stałoprzecnkowa ustalona postawa reprezentacj, baza (ra,, wykłank (eponent,. cecha (characterstc lczba całkowta wele ró nych reprezentacj lczby, np. 3459,67 5, postulaty u a okłano rozmar (lczba btów mno nka u y zakres rozp to wykłanka łatwe wykonane postawowych zała arytmetycznych porównane jenoznaczno reprezentacj normalzacja mno nka: p <! normalzacja unemo lwa reprezentacj zera potrzebna reprezentacja ± takch obektów jak np. ln, /, sqrt( p Janusz Bernat, AK-6-9-FP- + NU.oc, 3 wrze na 9 RND

2 Normalzacja mno nka F m m p F ( - p+ (z - q+ F z z q z z Alternatywne reprezentacje lczby zmennoprzecnkowej Warunek normalzacj: p p albo p no ene zelene Je l F F oraz Janusz Bernat, AK-6-9-FP- + NU.oc, 3 wrze na 9 RND p p, to loraz jest zawsze w przezale. Rozs nym wyborem jest w c p lub. Wtey tylko cz lorazów wymaga normalzacj. Poobne jest w mno enu.

3 Zero lczby barzo małe lczby znormalzowane ( F ± + f f < nemo lwa znormalzowana reprezentacja zera lczby zenormalzowane mn mn F F, < < f f F ± + f f < lczby znormalzowane lczby zenormalzowane lczby znormalzowane ma mn+ mn mn mn+ Lczby znormalzowane zenormalzowane (p ma,5,5,5,5 Znormalzowane warto c mno nka przy, p (- - - oraz p ( Janusz Bernat, AK-6-9-FP- + NU.oc, 3 wrze na 9 RND 3

4 Zakres wykłanka skrajne warto c wykłanka s potrzebne o zakoowana: zera ewentualne lczb zenormalzowanych nesko czono c obektów specjalnych, tzw. ne-lczb (NaN rozp to zakresu k-pozycyjnego wykłanka: ma mn ( k owrotno bezwzgl ne najmnejszej lczby znormalzowanej pownna by oblczalna, w c mus by znormalzowana: F p p+ < Janusz Bernat, AK-6-9-FP- + NU.oc, 3 wrze na 9 RND 4 p + Je l postawa jest parzysta, to rozp to zakresu jest neparzysta, w c tak e ma + mn mus by neparzyste. Zakłaaj c najmnejsz asymetr, czyl ma + mn p+3, mamy owrotno bezwzgl ne najw kszej lczby znormalzowanej: F > p p + p p p Dokłano przybl ena ro ne ze zw kszanem p, w c p jest lepszym wyborem n p. p +

5 Realzacja postawowych zała arytmetycznych argumenty znormalzowane F, <, mn ma znormalzowany wynk załana F f ( F, F,..., < namar zmennoprzecnkowy (eponent overflow > ma neomar zmennoprzecnkowy (eponent unerflow < mn no ene (p F F ( ( ( < normalzacja potrzebna, gy wtey: Dzelene (p F F * (, * ( + /( ( / ( + / < normalzacja potrzebna, gy < wtey: * ( /, * ( + Janusz Bernat, AK-6-9-FP- + NU.oc, 3 wrze na 9 RND 5

6 Doawane oejmowane F ± F ( ( ± ( ( ± wyrównane wykłanków je l p enormalzacja operanu o mnejszym wykłanku ( # < utrata okłano c operanu enormalzowanego (F je l > normalzacja wynku ( > (, < ± < W je l ma oraz W < namar W < utrata okłano c wynku, potrzebne oatkowe cyfry W, a je l mn, wyst p neomar F, 6 4, 6 4 F (wyrównane, F F F F F F F C 6 4, F F F F F F F C 6 4 F F, 6 4, (postnormalzacja, 6 3,4 6 4 Janusz Bernat, AK-6-9-FP- + NU.oc, 3 wrze na 9 RND 6

7 Dokłano reprezentacj (przybl ena lczby rzeczywstej * Fl( reprezentacja zmennoprzecnkowa lczby rzeczywstej ulp ( + Fl( oległo wóch kolejnych lczb zale y o wykłanka ulp [ [ [ p 3 p p p wzgl ny bł reprezentacj, lokalny ε( maksymalny Fl( ε ( ulp ulp ma ( m+ p + ε ( RR ren bł wzgl ny ARR (average relatve representaton error (rozkła bł u jest logarytmczny ARR p p ε( ln ulp 4ln p 4ln ( p+ m Janusz Bernat, AK-6-9-FP- + NU.oc, 3 wrze na 9 RND 7

8 Dokłano wynków zała schematy zaokr glana normalzacja wynku wymaga skalowana (przesun ca arytmetycznego wynkowy mno nk lorazu lub sumy mo e by zbyt mały ( < mo lwa utrata okłano c ochrona: u yce oatkowych cyfr wynkowy mno nk loczynu mo e by zbyt u y ( koneczne zaokr glene skalowanego wynku Fl ( reprezentacja zmennoprzecnkowa lczby Y Fl( Fl( Y ulp Fl < ( + ( < ulp zaokr glane przybl ane z zało on okłano c obc ce (truncaton, choppng gnorowane cyfr (btów namarowych zaokr glane (o najbl szej (roun-off mnmalzacja bł u lokalnego zaokr glane symetryczne (o parzystej (roun to even mnmalzacja bł u renego Realzacja zaokr glana wymaga oatkowych cyfr wynku. Janusz Bernat, AK-6-9-FP- + NU.oc, 3 wrze na 9 RND 8

9 Stanaryzacja wójkowej reprezentacj zmennoprzecnkowej Wybór sposobu koowana postulaty łatwe szybke porównywane lczb znakowanych uporz kowane lczb zgone z naturaln nterpretacj koów wykłank na wy szych, znacznk na n szych pozycjach łatwe wykrywane enormalzacj potrzeba zapsu ko wykłanka la zera lczb zenormalzowanych Obekty specjalne ko wykłanka (f nesko czono c ±, (f ne-lczby, NaN wynk, które ne s lczbam Wybór kou wykłanka warto c oatne ujemne uzupełnenowy problem uporz kowana, asymetra ujemna sprzeczna z wymaganem wykonalno c oblczena owrotno c. spolaryzowany uporz kowane naturalne, mo lwa asymetra oatna przesun ce k Janusz Bernat, AK-6-9-FP- + NU.oc, 3 wrze na 9 RND 9

10 Koowane mno nka w koze U: warunek p < rozzela s na rozł czne warunk: p p warunek normalzacj truny o sprawzena trune porównane lczb porz ek koów lczb ne mo e by zgony z porz kem lczb > < w koze znak-mouł: warunek normalzacj p < upraszcza s o postac p Janusz Bernat, AK-6-9-FP- + NU.oc, 3 wrze na 9 RND p łatwe porównane lczb porz ek koów lczb mo e by zgony z porz kem lczb ne trzeba zapsywa wo cej ( bt ukryty gy p, zapsany jest ko ułamka + f b b b b m

11 Lczby znormalzowane zenormalzowane lczba znormalzowana (ukryty bt,, s F ( ( + f, f < < 3 / ½ ½ 3 / lczba zenormalzowana (ukryty bt ko wykłanka: F s mn ( ( + f, f < lczby znormalzowane lczby zenormalzowane lczby znormalzowane mn+ mn mn mn (+f mn (+f mn (+f mn (+f Lczby znormalzowane zenormalzowane (p mn+ Janusz Bernat, AK-6-9-FP- + NU.oc, 3 wrze na 9 RND

12 Reprezentacja wójkowa Koowane mno nka ko znak-mouł mouł mno nka znormalzowanego ma posta,b - b - b -3 b -m 3,...,..., b b b... b ne trzeba zapsywa wo cej ( bt ukryty mouł mno nka zenormalzowanego ma posta,b - b - b -3 b -m ne trzeba zapsywa wo cego ( bt ukryty Koowane wykłanka (k lczba btów, e ko, warto wykłanka ko spolaryzowany + k (e mn, e ma lczba zenormalzowana e, mn nesko czono c ne-lczby (NaN e k zakres (, k (asymetra oatna mn stanary I 754 (985 arytmetyka wójkowa I 854 (987 arytmetyka w owolnej postawe ma Janusz Bernat, AK-6-9-FP- + NU.oc, 3 wrze na 9 RND m

13 Format zmennoprzecnkowy I 754/854 bt ukryty z e e e... e e e e b b b b... b b b b b b b b b b b b b znak wykłank (+N f cz ułamkowa moułu znacznka k btów m btów SINGL (3b [s 3 3:3 f : ] k 8 (N7, 6 7 DOUBL (64b [s 63 6:5 f 5: ] k (N3, 3 T. DOUBL ( 8b [s :m f m-: ] k 5, m 64 Wzorce koów obektów stanaru I 754 Wykłank Ułamek Ko bnarny Welko s s... b...bb F bb b s mn ma s e...ee b...bb F bb b f s ± f s... b..bb NaN ma f... s F s + m Janusz Bernat, AK-6-9-FP- + NU.oc, 3 wrze na 9 RND 3

14 Cyfry chron ce Ile oatkowych cyfr wynku potrzeba o poprawnej postnormalzacj? normalzacja w zelenu (bez przybl ana jena oatkowa cyfra wynku cyfra chron ca (guar gt, G normalzacja w oawanu lub oejmowanu (bez przybl ana je l -, to jena oatkowa cyfra wynku ne wystarczy: G R S F, 4 F, 4 F F, 4 (postnormalzacja,???????????????! tylko powojene rozmaru ułamka jest gwarancj utrzymana okłano c normalzacja z zaokr glanem zwykłym potrzebna oatkowa cyfra zaokr glana (roun gt, R normalzacja z zaokr glanem symetrycznym problem gy R½ potrzebny wska nk zer na pozostałych pozycjach, tzw. lepk bt S (stcky bt: gy S, zaokr glene w gór Janusz Bernat, AK-6-9-FP- + NU.oc, 3 wrze na 9 RND 4

15 Obc ce * lczba btów obcnanych Fl ( Y T ( Y Y < + ulp, stanaryzowany bł obcnana ( Y + ulp, T ( Y ulp Y,, ren stanaryzowany bł obcnana (rozkła Y równomerny δ T ( ( ( + bł wzgl ny ren jest zawsze ujemny, bowem skutkem obcnana jest zawsze neoszacowane estymator T(Y jest ujemne obc ony (negatve base. Janusz Bernat, AK-6-9-FP- + NU.oc, 3 wrze na 9 RND 5

16 Zaokr glane zwykłe przyc gane o najbl szej *, Fl ( Y R( Y + ulp, gy gy Y < + Y + (mo lwe przecwne przypsane R(Y przy ulp, ulp. Y + ulp stanaryzowany bł zaokr glana ( Y + ulp, R( Y Y ulp -, -, gy gy < < ( Y ( ulp Y < ulp, < ulp. ren stanaryzowany bł zaokr glana (rozkła Y równomerny δ R ( + ( ren bł zaokr glana jest barzo blsk estymator R(Y obc ony oatno (lub ujemne (zale ne o efncj przypsane R(Y przy + ulp zale ne o znaku (R lub R Y Janusz Bernat, AK-6-9-FP- + NU.oc, 3 wrze na 9 RND 6

17 Janusz Bernat, AK-6-9-FP- + NU.oc, 3 wrze na 9 RND 7 Zaokr glane symetryczne (o parzystej *,,, gy gy gy,,, ( ( ulp Y ulp ulp Y ulp ulp Y ulp ulp ulp Y S Y Fl < + < + + < + stanaryzowany bł przybl ena (, + ulp Y,,, gy gy gy,,, ( ulp Y Y S < < < + ren stanaryzowany bł zaokr glana symetrycznego ( ( S δ estymator S(Y neobc ony ( ren bł zaokr glana równy zaokr glane o parzystej (nearest-even lub neparzystej (nearest-o

18 Neokłano przybl ena * S ( Y Y ulp 4 Y ulp ulp (, ulp ulp 4 propagacja przenesena poczas zaokr glana T( R( S( Janusz Bernat, AK-6-9-FP- + NU.oc, 3 wrze na 9 RND 8

19 aszynowe tryby zaokr glana stanar I Stanary zaokr glana I o zera obcnane o nesko czono c arytmetyka przezałowa (nterval arthmetc oatne zawsze w gór, ujemne zawsze w ół (lub owrotne o najbl szej (parzystej symetryczne ( roek Propagacja poprawk mo e by barzo czasochłonna:,, l+ pam RO l (l+ wej oraz l btów wyj cowych, l<m o... obcnane ostatnch btów bł zaokr glana ( zamast ( +l ren stanaryzowany bł zaokr glana rena warto bł u stanaryzowanego l ( l ( l +. Janusz Bernat, AK-6-9-FP- + NU.oc, 3 wrze na 9 RND 9

20 Kumulacja bł ów poczas zała arytmetycznych * wynk załana przybl ony ( Fl( ( + ε ryzyko kumulacj bł ów bł wzgl ny mno ena lub zelena newelka kumulacja Fl( Fl( Y Y Y Fl( / Fl( Y / Y ( ± ε ( ± ε ε ± ε ± ε ε ε ± ε / Y Janusz Bernat, AK-6-9-FP- + NU.oc, 3 wrze na 9 RND Y ( ± ε ( ± ε bł wzgl ny oawana lub oejmowana Fl( ± Fl( Y ( ± Y ± Y Y ε ± Yε Y ± Y Y ( ε ± εy ( ± ε Y ε ± Y Y ε bł wynku jest ren wa on bł ów argumentów krytyczna sytuacja w oejmowanu, gy Y oraz ε ε ± ε Y Y ± ε Y ± Y utrata okłano c (cancellaton łagona (bengn argumenty okłane (zapobegane cyfry chron ce katastrofczna (catastrophc argumenty obarczone bł em zaokr glana Y

21 Zapobegane katastrofcznej utrace okłano c kumulacj bł ów * Zmana algorytmu przykłay. Oblczane perwastków równana a +b+c weług znanej formuły, ( b ± b 4ac a mo e spowoowa barzo u neokłano jenego z nch, gy b >> 4ac. Alternatywa algorytm wykorzystuj cy wzory Vety ( c/a w a, c c, w sgn( b( b + b 4ac. a w. Oblczane pola trójk ta weług wzoru Herona S q( q a( q b( q c, gze ( q ( a + b + c powouje barzo u y bł przybl ena, gy trójk t jest barzo płask, tzn. gy a b + c, bo wtey q a. Kahan zaproponował moyfkacj tego wzoru o postac (a b c S [ a + ( b + c][ c ( a b][ c + ( a b][( a + ( b c ], 4 Ne wyst p katastrofczna kumulacja bł u, bo gy a b, to ab jest rz u c. Janusz Bernat, AK-6-9-FP- + NU.oc, 3 wrze na 9 RND

22 Wyj tk, obsługa namaru neomaru wyj tk zmennoprzecnkowe sytuacje zagro ena poprawno c wynku namar przej cowy skalowane k zapam tane skalowana permanentny (namar po skalowanu sygnalzacja neomar przej cowy skalowane (k zapam tane permanentny (neomar po skalowanu sygnalzacja utrata okłano c zmana algorytmu neozwolona operacja sygnalzacja, zmana algorytmu argument lub wynk ne jest lczb ccha NaN (quet NaN kontynuacja sygnalzowana NaN (sgnallng NaN sygnalzacja bł u bł zaokr glena Janusz Bernat, AK-6-9-FP- + NU.oc, 3 wrze na 9 RND

23 Schematy oblcze Doawane oejmowane ( warto wykłanka, e ko wykłanka: e(+( k Nech oraz F F. Wtey sum /ró nc jest: F ± F ( ( z z ( + f {( + ± ( z f ± ( ( + z z f ( + f ( } k k Oległo wykłanków [ + ( ] [ + ( ] e e mo na oblczy u ywaj c ch koów e e, zb ne jest oblczane warto c. Wynk w nawasach {.} mo e by neznormalzowany: je l jest, to nale y zw kszy wykłank wynku o je l jest < oraz ½ (,, to bty GRS wystarcz o normalzacj, a wykłank wynku nale y zmnejszy o je l jest < ½ oraz ¼ (,, to zaokr glene jest nepewne, a wykłank wynku nale y zmnejszy o je l jest < ¼ (,, to wyst p katastrofczna utrata okłano c zw kszane zmnejszane wykłanka mo na wykona w koze, bo k ( + q + ( e + q; mo e wyst p namar lub neomar Janusz Bernat, AK-6-9-FP- + NU.oc, 3 wrze na 9 FPC

24 Schematy oblcze no ene zelene F F F / F ( z ( z ( z ( + f {( + {( + ( z ( + f ( f z z f ( + ( + ( f f z + z ( + f ( + Oblczene sumy/ró ncy wykłanków najłatwej po przekoowanu na U: { k, k,...,, } k { ( k, k,...,, } + U łatwe wykryce namaru, neomaru f + no ene: je l (+f (+f, zmnejsz e przekouj e e na U, wykonaj oawane, przekouj na +( k Dzelene: je l (+f /(+f <, zw ksz e przekouj e e na U, wykonaj oejmowane, przekouj na +( k Janusz Bernat, AK-6-9-FP- + NU.oc, 3 wrze na 9 FPC

25 Schematy oblcze Oblczane perwastka kwaratowego / ( + f ( / + f ( + f gy gy Je l wykłank jest parzysty (ko to { jest parzyste jest neparzyste k, k,...,,} k { ( k, k,...,,} + U Ponewa { },,...,,} U {,,,...,, U w c ko / jest: k k k { k, k,...,,} k { (,,,..., } k + k k k + ( k k Proceura: je l wykłank jest neparzysty (ko zmnejsz ko o. utwórz ko połowy wykłanka je l wykłank jest parzysty oblcz + je l wykłank jest neparzysty oblcz ( + f f Janusz Bernat, AK-6-9-FP- + NU.oc, 3 wrze na 9 FPC 3

26 Szybke oblczene warto c wykłanka W ka ym koze bnarnym +( k mamy opoweno: koem zera jest Schematy oblcze St wynka, e warto c lczby ujemnej o koze k k 3... jest { k k 3... } k { kk3... }, na przykła warto c c gu jest (mnus zes koem warto c jeen jest St wynka, e warto c lczby oatnej o koze k k3... jest { k k3... } k + { kk3... }, na przykła warto c c gu jest +4 (plus czterna ce Janusz Bernat, AK-6-9-FP- + NU.oc, 3 wrze na 9 FPC 4

27 Sumator zmennoprzecnkowy enormalzacja Ukłay zmennoprzecnkowe S S Y Y Y S S Y SUB enormalzacja ma y ShR n GRS ma(e,e y a/sub ADD/SUB v LZ ADD/SUB c n ShR/ShL INC/DC c r ROUND ov/uv S R R R ouł wykłanka: SIGN generator znaku wynku, SUB ukła oejmuj cy wykłank, ouł mno nka: ShR ukła enormalzacj (przesun ca w prawo, ADD/SUB sumator mno nków, LZ koer wo cych zer, ShR/ShL ukła postnormalzacj, INC/DC ukła korekcj wykłanka, ROUND ukła zaokr glana (GRS bty oatkowe. Janusz Bernat, AK-6-9-FP- + NU.oc, 3 wrze na 9 FPU

28 Ukłay zmennoprzecnkowe Zmennoprzecnkowy ukła mno co-zel cy no ene zelene (# mno ene lub zelene F # F # ( # ± s s y e e y /#D f fy c n m m s e m f no ene zmennoprzecnkowe ( oblczane owrotno c zelnka (- - - ( D uzupełnane przybl ena, ULT matryca mno ca, NOR przesuwnk, ADD sumator, ROUND ukła zaokr gle, m, m bty cz c całkowtej loczynu problem obsługa lczb enormalzowanych Janusz Bernat, AK-6-9-FP- + NU.oc, 3 wrze na 9 FPU

29 Ukłay zmennoprzecnkowe Sumator zmennoprzecnkowy normalzacja zaokr glane * przynajmnej jeen argument znormalzowany je l suma - <A<4, mo lwe jest zaokr glene normalzacja bez utraty okłano c przesun ce w prawo (A> lub w lewo o lub pozycje co jest równowa ne przesuwanu zawsze w lewo o,, lub 3 pozycje przekerowanu wyj o pozycj w prawo! (prostszy przesuwnk je l suma < mus nast p utrata okłano c (lepk bt S sumy jest btem znacz cym ułamka! wykłank jenakowe (lub enormalzowane sterowane komutatora: mo e wystarczy porównane pary najwy szych btów ułamka: je l s entyczne ((f f Y +(f f Y nast p katastrofczna utrata precyzj problem normalzacj gy suma zawera ług c g jeynek na n szych btach czas normalzacj s wyłu a (propagacja załana mog by wykonane w rozszerzonej precyzj Janusz Bernat, AK-6-9-FP- + NU.oc, 3 wrze na 9 FPU 3

30 Ukłay zmennoprzecnkowe no ene akumulacyjne a 4 b 4 a 3 b 3 a b a b a b FA FA FA FA HA s FA FA FA FA HA s arytmometr zmennoprzecnkowy tylko matryca mno ena akumulacyjnego *A + B Janusz Bernat, AK-6-9-FP- + NU.oc, 3 wrze na 9 FPU 4

31 Oblczena numeryczne Janusz Bernat, AK-6-9-FP- + NU.oc, 3 wrze na 9 NU Przybl ane lorazu wymernego jego sko czonym rozwn cem m m m m m R R D D Q R D D R D }: { okłano lorazu okre lona precyzj wyznaczena lczby m R R R... stanaryzacja: (ujemny zelnk zmen znak D oraz D D D D sgn :, sgn : normalzacja: m m m m D D < < & (...( ( ( ( ( < < n+ n q q q q q q q proceura: ( ( ( z z z + + zbe no proceury kwaratowa s s z z + < <

32 Oblczena numeryczne Przybl ane lorazu sko czonym rozwn cem w systeme wójkowym {,,,,,...} U + {,,,,, 3,...} U {,,,,, 3,...} U D> + {,,, 3,...} U {,,, 3,...} NB Proceura o R s : D R D <, Q R (np. R m : s m D o n oblczaj R D oraz Q + Q R a < D D R + lczba wo cych jeynek lczb D zostaje powojona w ka ej teracj p p D < D + s D < wzgl n okłano n lorazu Q R R... zapewna m log n / s + teracj perwszy mno nk R wyznaczony z okłano c s+log s btów R f ( z matrycy RO o rozmarze s ( s+log s btów D < przy peszene mno ena u yce krótszych mno nków R Janusz Bernat, AK-6-9-FP- + NU.oc, 3 wrze na 9 NU

33 Oblczena numeryczne Oblczane owrotno c zelnka metoa teracyjna Newtona-Raphsona y yf( + + yf ( + ( + +f( + yf ( ( +f( kolejne przybl ena mejsca zerowego f( okre la równane rekurencyjne f ( f ( +, w onesenu o funkcj f ( D przybera posta ( D + Janusz Bernat, AK-6-9-FP- + NU.oc, 3 wrze na 9 NU 3

34 Zbe no metoy mno ena przez owrotno zelnka Oblczena numeryczne Nech a oraz Daq a( + q a( q ( q a( + q...( + q a( q ( q a( q ( q { Da[( + q...( + q ]} a( q ( q ( + q + q lm lm ( < a q q a q D zelnk znormalzowany D < zbe no, je el a < ad>. zbe no kwaratowa je l δ D, to δ δ δ δ < δ + D + D ( D [ D( D ] D szybko zbe no c zale y o okłano c perwszego przybl ena j j j+ j ( k D < k optymalne ( k [ + k Janusz Bernat, AK-6-9-FP- + NU.oc, 3 wrze na 9 NU 4 ( ( ] waa mnejsza okłano n uzyskwana w zelenu sekwencyjnym nezb na korekcja wynku oatkowe załana arytmetyczne

35 Oblczena numeryczne Janusz Bernat, AK-6-9-FP- + NU.oc, 3 wrze na 9 NU 5 Oblczane perwastka owrotno c perwastka kwaratowego Lczba perwastkowana jest znormalzowana 4 < A. metoa teracyjna Newtona równane rekurencyjne: ( ( f f + Oblczane perwastka kwaratowego: Je l f( A, to sqrt(a ( A wtey f (, w c A A + + waa: koneczno zelena Oblczane owrotno perwastka kwaratowego: A f ( wtey 3 ( f oraz (3 ( 3 A A +

36 Oblczane owrotno c perwastków wy szych stopn Oblczena numeryczne Je el f ( k A, to k A Ponewa wtey f k ( k, w c otrzymujemy k ( A k k k ( k + k + A Oblczena wymagaj welokrotnego mno ena / pot gowana je l k>. Janusz Bernat, AK-6-9-FP- + NU.oc, 3 wrze na 9 NU 6

37 Oblczena numeryczne CORDIC algorytm Volera ( Obrót wektora zaczeponego w punkce (, przestrzen kartezja skej y R y b ( b Rcos(α+δ, y b Rsn (α+δ y a ( a Rcosα, y a Rsn α δ α b a R Z to samo c trygonometrycznych cos(α+δcosα cosδ snα snδ sn(α+δsnα cosδ +cosα snδ wynka, e: b Rcos(α+δRcosα cosδ Rsnα snδ a cosδ y a snδ y b Rsn(α+δRsnα cosδ +R cosα snδ y a cosδ + a snδ Janusz Bernat, AK-6-9-FP- + NU.oc, 3 wrze na 9 NU 7

38 CORDIC algorytm Volera ( Oblczena numeryczne J.Voler (956, sterowane samolotu B-58 Postawaj c ttgδ (cos δ +t, otrzymamy la k tów w I wartce: ( + t Rcos( α + arctgt Rcosα trsnα ( + t Rsn( α + arctgt Rsnα + trcosα W krokach teracj, to wynkem obrotu wektora (,y o k t arctgt jest: ( t y,,, + t + + y+ Janusz Bernat, AK-6-9-FP- + NU.oc, 3 wrze na 9 NU 8 ( t y + t,,, Obe współrz ne s jenakowo skalowane, w c w pojeynczym kroku mo na zgnorowa wyłu ene wektora, okonuj c korekty w ostatnm kroku oblcze * * gze, y y oraz + t y oraz * * * n y y + t * * * + n * * + t, y y + t. n n n n

39 Oblczena numeryczne CORDIC algorytm Volera (3 Poobne to samo c otycz funkcj hperbolcznych snh cosh (wzór ulera cosh(α+δcoshα coshδsnhα snhδ snh(α+δsnhα coshδ+coshα snhδ gze (wzór ulera: epcos+sn snh sn ep ep( cosh cos ep + ep( ep cosh + snh Warto c ttgδ± n, mo na łatwo tablcowa wtey wszystke oblczena mo na wykona za pomoc oawana, oejmowana przesun ca. Zale ne o znaku k ta wyró na s oblczena w trybe obrotu (rotaton moe, gy k t jest oatn, w trybe normowana (vectorng moe, gy k t jest ujemny jego wynkem jest oblczene ługo c wektora Janusz Bernat, AK-6-9-FP- + NU.oc, 3 wrze na 9 NU 9

40 CORDIC algorytm Volera (4 Uogólnene la funkcj trygonometrycznych hperbolcznych. trzeca zmenna z oległo k towa wektora o os [,: + y + + z + σ y + mσ t σ t z (/ m arctg m t gze t S(m, przyj ta sekwencja teracj przyrostów y Oblczena numeryczne trygonometr. hperbolczny tryb obrotu (z tryb normowana (y σ sgn z σ sgn ( y n K( cosz y snz n K + y m arctg k y n K(y cosz snz y n z n z n z arctg(y / m tanh k n K( coshz y snhz n K y y n K(y coshz snhz y n z n z n z tanh (y / Janusz Bernat, AK-6-9-FP- + NU.oc, 3 wrze na 9 NU

41 Oblczena numeryczne CORDIC realzacja ukłaowa y z LUT Zalety algorytmu CORDIC oblczane funkcj elementarnych za pomoc prostych zała arytmetycznych prosta mplementacja ukłaowa algorytmu (Cyr, procesory DSP Waa wolna zbe no, koneczno wykonana u ej lczby oblcze, wersja ulepszona CORDIC. Janusz Bernat, AK-6-9-FP- + NU.oc, 3 wrze na 9 NU

42 Inne metoy oblczana warto c funkcj przest pnych Oblczena numeryczne tablca onese (look-up table zapam tane warto c funkcj jenej zmennej z okłano c o n btów n matryca RO o rozmarze n btów (la n > 3 rozmar > 8 b rozwn ce w szereg Taylora ró ne algorytmy la poszczególnych funkcj wolna zbe no szeregu Taylora (zale y slne o warto c argumentu rozwn ca funkcj przest pnych w postac ułamków wymernych powszechne stosowane w mplementacjach programowych mog by barzo skuteczne w realzacjach sprz towych, je l w yspozycj s szybke zmennoprzecnkowe sumatory ukłay mno ce algorytmy oparte na przybl enach welomanowych z u ycem tablc onese omena argumentu funkcj f( pozelona na przezały równej ługo c warto c granczne f ( w punktach pozału s w tablcy onese warto c wewn trz przezałów oblczane na postawe aproksymacj welomanowej p funkcj f ( ( Janusz Bernat, AK-6-9-FP- + NU.oc, 3 wrze na 9 NU