2 Wielomiany ortogonalne

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "2 Wielomiany ortogonalne"

Transkrypt

1 Wielomiany ortogonalne Wielomiany ortogonalne Niech będzie przedziałem otwartym a, b) niewykluczone, że nieograniczonym). Rozważmy równanie różniczkowe zwyczajne liniowe drugiego rzędu 2.1) px)u x) + qx)u x) + rx)ux) = fx), gdzie p, q, r, f : R są co najmniej ciągłe. Ponadto zakładamy, że px) > 0 dla wszystkich x. Równanie 2.1) można przekształcić na wiele sposobów. Jednym z nich jest cechowanie: zapisujemy ux) = ϕx)vx), gdzie ϕ: R jest funkcją klasy C 2 taką, że ϕx) 0 dla wszystkich x. Zachodzi u x) = ϕ x)vx)+ϕx)v x), u x) = ϕ x)vx)+2ϕ x)v x)+ϕx)v x), co po podstawieniu do równania 2.1) daje ) px)v x)+ 2px) ϕ x) ϕx) +qx) v x)+ px) ϕ x) x) ϕx) +qx)ϕ ϕx) +rx) ) vx) = fx) qx). Przy pomocy odpowiedniego cechowania możemy, na przykład, usunąć wyrazy rzędu pierwszego w równaniu. stotnie, zauważmy, że biorąc ϕ takie, że ϕ ϕ = q 2p na przykład, ϕx) = exp x x 0 ) qξ) 2pξ) dξ, gdzie x 0 jest ustalone), w równaniu na vx) współczynnik przy wyrazach rzędu pierwszego jest stale równy zeru. 2.1 Twierdzenie Sturma 1) Rozważmy równanie różniczkowe zwyczajne liniowe jednorodne drugiego rzędu 2.2) px)u x) + qx)u x) + rx)ux) = 0. 1) Jacques-)Charles-François Sturm ), matematyk francuski.

2 2 2 Skompilował Janusz Mierczyński Twierdzenie 2.1 Twierdzenie Sturma). Niech u 1, u 2 będą nietrywialnymi rozwiązaniami równań px)u j x) + qx)u jx) + r j x)u j x) = 0, j = 1, 2, gdzie r 1 x) < r 2 x) dla wszystkich x. Wówczas, jeśli dla pewnych c, d, c < d, zachodzi u 1 c) = u 1 d) = 0, to istnieje x c, d) takie, że u 2 x) = 0. Dowód. Poprzez cechowanie i podzielenie przez px) można założyć, że równania mają postać u j x) + r j x)u j x) = 0, j = 1, 2. Załóżmy, że u 1 nie ma miejsc zerowych na c, d) w przeciwnym razie, za d bierzemy pierwsze miejsce zerowe na prawo od c). Załóżmy nie wprost, że u 2 nie ma miejsc zerowych na c, d). Dla ustalenia uwagi można założyć, że u 1 i u 2 są dodatnie na c, d). Oznaczmy przez W wrońskian układu funkcji u 1, u 2 ), Zachodzi u W := 1 u 2 u 1 u = u 1u 2 u 1u 2. 2 W = u 1u 2+u 1 u 2 u 1u 2 u 1u 2 = u 1 r 2 u 2 +r 1 u 1 u 2 = r 1 r 2 )u 1 u 2 < 0 na c, d). Ponieważ miejsca zerowe nietrywialnego rozwiązania równania różniczkowego liniowego jednorodnego drugiego rzędu są proste 2), musi zachodzić u 1c) > 0 i u 1d) < 0, zatem W c) = u 1c)u 2 c) 0 i W d) = u 1d)u 2 d) 0. Doszliśmy zatem do sprzeczności. 2.2 Operatory różniczkowe z równaniem różniczkowym li- Operatorem różniczkowym stowarzyszonym niowym jednorodnym drugiego rzędu 2.3) px)u x) + qx)u x) + rx)ux) = 0 nazywamy odwzorowanie liniowe zdefiniowane jako L := px) d2 dx 2 + qx) d dx + rx), 2) Miejsce zerowe funkcji jednej zmiennej, klasy C 1, nazywamy prostym, gdy pochodna jest tam niezerowa.

3 Wielomiany ortogonalne 2 3 którego dziedziną jest pewna podprzestrzeń liniowa przestrzeni liniowej funkcji rzeczywistych określonych na. Niech w : R będzie funkcją ciągłą w praktyce, znacznie bardziej regularną) taką, że wx) > 0 dla wszystkich x. Taką funkcje w nazywamy wagą. Dla wagi w na przedziale oznaczmy L 2 w := { f : R, mierzalne, fx)) 2 wx) dx < }. Dla f, g L 2 w definiujemy f, g) w := fx)gx)wx) dx. L 2 w jest rzeczywistą) przestrzenią Hilberta, z iloczynem skalarnym, ) w. Definicja 2.2. Operator różniczkowy L stowarzyszony z równaniem 2.2) jest symetryczny względem wagi w, gdy Lu, v) w = Lv, u) w dla dowolnych u, v klasy C 2, o nośnikach zawartych w zwartym podprzedziale przedziału. 3) Od tej pory zakładamy, że wszystkie współczynniki równań, wagi, itp., są tak regularne, by występujące w dowodach operacje różniczkowania i całkowania miały sens. Lemat 2.3. Operator różniczkowy L stowarzyszony z równaniem 2.2) jest symetryczny względem wagi w wtedy i tylko wtedy, gdy L = p d2 dx + pw) 2 w d dx + r = 1 w d pw d ) + r. dx dx Dowód. Załóżmy dodatkowo, że waga w jest klasy C 1. Niech L będzie operatorem symetrycznym. Dla dowolnych u i v jak w definicji operatora symetrycznego zachodzi pu + qu + ru)vw dx = pv + qv + rv)uw dx, 3) Zauważmy, że takie funkcje u, v należą do przestrzeni Hilberta L 2 w.

4 2 4 Skompilował Janusz Mierczyński czyli pwu v v u) + qwu v v u) ) dx = 0, i dalej pu v uv ) + qu v uv ) ) w dx = 0. Ale więc 2.4) pw)u v uv ) dx = pw) u v uv ) dx, u v uv ) qw pw) ) dx = 0. Dla dowolnej, lecz ustalonej, funkcji v klasy C 2 o zwartym nośniku zawartym w weźmy za u funkcję klasy C 2, o zwartym nośniku zawartym w, przyjmującą wartość 1 na pewnym przedziale zwartym zawierającym nośnik funkcji v w swym wnętrzu. ux) vx) ) Dla każdej funkcji vx) można znaleźć funkcję ux) taką, że u x)vx) ux)v x) = v x) na Z 2.4) wynika, po scałkowaniu przez części, 0 = v qw pw) ) dx = v qw pw) ) dx. Skoro powyższa równość zachodzi dla dowolnej funkcji v klasy C 2 o zwartym nośniku zawartym w, zachodzi qw pw) = c, gdzie c jest stałą. Znów niech v będzie funkcją klasy C 2, o zwartym nośniku zawartym w. Weźmy za u funkcję klasy C 2, o zwartym nośniku zawartym w, i taką że ux) = x na pewnym przedziale zwartym zawierającym nośnik funkcji v w swym wnętrzu.

5 Wielomiany ortogonalne 2 5 vx) ux) ) 0 Dla każdej funkcji vx) można znaleźć funkcję ux) taką, że u x)vx) ux)v x) = vx) xv x) na Na podstawie wzoru 2.4) zachodzi, po scałkowaniu przez części, 0 = c vx) xv x)) dx = 2c vx) dx. Ponieważ zachodzi to dla dowolnej funkcji nieujemnej i nierównej stale zero, wynika stąd, że c = 0. Wniosek. Dla operatora różniczkowego L stowarzyszonego z równaniem 2.2) istnieje waga w, określona jednoznacznie z dokładnością do mnożenia przez stałą dodatnią, taka, że L jest symetryczny względem w. Dowód. pw) /w = q, czyli pw) /pw) = q/p, a zatem wx) = C px) exp gdzie x 0 jest ustalonym punktem z. x x 0 qy) py) dy, x, Dla danego operatora różniczkowego L stowarzyszonego z równaniem 2.2) można postarać się rozszerzyć jego dziedzinę w taki sposób, by był on wciąż symetryczny względem wagi w. Przykład. Niech = a, b), gdzie < a < b <. Załóżmy ponadto, że p, p, q, q, w, w rozszerzają się w sposób ciągły na [a, b]. Możemy powiedzieć, że operator L jest symetryczny względem wagi w, gdy dla dowolnych u, v L 2 w takich, że u, u, v, v są ciągłe na [a, b] zachodzi Lu, v) w = Lv, u) w. Zauważmy jednak, że przy takich u i v zachodzi Lu, v) w Lv, u) w = pwu v pwuv ) b a.

6 2 6 Skompilował Janusz Mierczyński Zatem przy powyższej definicji operatora symetrycznego, oprócz warunku qw = pw) trzeba jeszcze założyć coś więcej. Na przykład, warunkiem dostatecznym jest, by pa)wa) = pb)wb) = 0. Dla danego operatora L przez klasę funkcji dopuszczalnych rozumiemy odpowiednio dużą klasę funkcji, zawartą w L 2 w i zawierającą funkcje klasy C 2 o zwartych nośnikach zawartych w, dla których spełniony jest warunek Lu, v) w = Lv, u) w. W powyższym przykładzie gdy jest przedziałem ograniczonym, qw = pw) oraz pa)wa) = pb)wb) = 0), funkcje dopuszczalne to funkcje dające sie przedłużyć do funkcji klasy C 1 na [a, b]. Dopuszczalna funkcja u 0 jest funkcją własną dla operatora L, odpowiadającą wartości własnej λ, gdy Lu + λu = 0. Załóżmy, że u 1, u 2 są funkcjami własnymi symetrycznego operatora L odpowiadającymi wartościom własnym λ 1 λ 2. Zachodzi zatem Lu 1, u 2 ) w = λ 1 u 1, u 2 ) w i u 1, Lu 2 ) w = λ 2 u 1, u 2 ) w. Ale Lu 1, u 2 ) w = Lu 2, u 1 ) w, zatem u 1, u 2 ) w = Wielomiany Hermite a, Laguerre a i Jacobiego Zastanówmy się, kiedy w skład rodziny funkcji własnych symetrycznego operatora L = p d2 dx + pw) d 2 w dx + r na = a, b) wchodzą pewne) wielomiany dowolnego stopnia. Dla każdego n = 0, 1, 2, 3,... istnieje wielomian stopnia n będący funkcją własną operatora L. Wynika stąd, że dla każdego takiego n operator L przeprowadza przestrzeń liniową wielomianów stopnia co najwyżej n w siebie. Dalej, skoro funkcje własne należą do L 2 w, musi zachodzić 2.5) x n wx) dx < dla wszystkich n = 0, 1, 2,.... W szczególności, 2.6) wx) dx <. Dalej, L1 = λ oraz L1 = r, zatem współczynnik rzędu zerowego r musi być stały. Przesuwając wartości własne można założyć, że r 0.

7 Wielomiany ortogonalne 2 7 L przeprowadza przestrzeń liniową wielomianów stopnia co najwyżej jeden w siebie. Dla ux) = x zachodzi zatem Lu = pw) w = p + p w w, 2.7) p + p w w jest wielomianem stopnia 1. L przeprowadza przestrzeń liniową wielomianów stopnia co najwyżej dwa w siebie. Dla ux) = 1 2 x2 zachodzi zatem Lu = p + x p + p w w 2.8) p jest wielomianem stopnia 2. Skoro L jest operatorem symetrycznym w rozszerzonym znaczeniu), musi zachodzić 2.9) b a ) pwu v uv ) ) dx = 0 dla dowolnych dopuszczalnych u, v, w szczególności dla u i v będących wielomianami. A) p jest funkcją stałą. Weźmy p 1. Zatem w /w jest wielomianem stopnia co najwyżej jeden. Wynika stąd, że w jest eksponentą pewnego wielomianu stopnia co najwyżej dwa. Dokonując afinicznej zmiany zmiennej niezależnej i dzieląc przez stałą dodatnią, można założyć, że albo wx) 1, albo wx) = e x, albo wx) = e ±x2. Jeśli wx) 1, z warunku 2.6) wynika, że musi być przedziałem ograniczonym. Lecz warunek 2.9) nie może być spełniony. Załóżmy, że wx) = e x. Warunek 2.6) wymusza, że nie może być równy, ). Lecz wtedy warunek 2.9) nie może być spełniony w skończonych krańcach przedziału. W przypadku wx) = e ±x2 warunek 2.9) wymusza, że =, ), zaś z warunku 2.6) wynika, że wx) = e x2. Operator L ma zatem postać L = d2 dx 2 2x d dx

8 2 8 Skompilował Janusz Mierczyński na, ), z wagą wx) = e x2. Zauważmy, że operator L przeprowadza, dla każdego n = 0, 1, 2,..., przestrzeń wielomianów stopnia co najwyżej n w siebie. Wynika stąd, że dla każdego n istnieje wielomian stopnia n będący funkcją własną operatora L. Taki, odpowiednio znormalizowany 4), wielomian nazywamy n-tym wielomianem Hermite a 5), i oznaczamy przez H n. Łatwo wykazać, że n-ty wielomian Hermite a H n odpowiada wartości własnej 2n: LH n + 2nH n = 0. Wielomiany Hermite a są ortogonalne w przestrzeni Hilberta L 2 R, e x2 dx). Funkcje H n x)e 1 2 x2 są ortogonalne w przestrzeni L 2 R). Są one funkcjami własnymi operatora d 2 dx x2 ). B) p jest funkcją liniową. Dokonując afinicznej zmiany zmiennej niezależnej i dzielenia przez stałą dodatnią można założyć, że px) = x. Z 2.7) wynika, że w /w = β + α/x. Zatem wx) = x α e βx. Z 2.9) wynika, że =, 0) lub = 0, ). Wybierzmy to drugie. Warunek 2.6) implikuje, że β < 0 i α > 1. Po przeskalowaniu i podzieleniu przez stałą dodatnią możemy założyć, że β = 1. Operator L ma zatem postać L = x d2 dx 2 + α + 1) x ) d dx na 0, ), z wagą wx) = x α e x, gdzie α > 1 Zauważmy, że operator L przeprowadza, dla każdego n = 0, 1, 2,..., przestrzeń wielomianów stopnia co najwyżej n w siebie. Wynika stąd, że dla każdego n istnieje wielomian stopnia n będący funkcją własną operatora L. Taki, odpowiednio znormalizowany 6), wielomian nazywamy n-tym wielomianem Laguerre a 7), i oznaczamy przez L α) n. 4) W tym przypadku oznacza to, że współczynnik przy najwyższej potędze jest równy 2 n. 5) Charles Hermite ), matematyk francuski. 6) W tym przypadku oznacza to, że współczynnik przy najwyższej potędze jest równy 1) n /n!. 7) Edmond Laguerre ), matematyk francuski.

9 Wielomiany ortogonalne 2 9 Łatwo wykazać, że n-ty wielomian Laguerre a L α) n własnej n: LL α) n + nl α) n = 0. odpowiada wartości Wielomiany Laguerre a są ortogonalne w przestrzeni Hilberta L 2 0, ), x α e x dx). Funkcje L α) n x)x 1 2 α e 1 2 x są ortogonalne w przestrzeni L 2 0, )). Są one funkcjami własnymi operatora x d2 dx + d 2 dx x 4 α2 4x + α C) p jest funkcją kwadratową, z wyróżnikiem dodatnim. Dokonując afinicznej zmiany zmiennej niezależnej i dzielenia przez stałą dodatnią można założyć, że px) = 1 x 2. Z 2.7) wynika, że w /w = β/1+x) α/1 x). Zatem wx) = 1 x) α 1+ x) β. Z 2.9) wynika, że = 1, 1), lub =, 1), lub = 1, ). Dwa ostatnie przypadki są wykluczone, gdyż wtedy x n dla dostatecznie dużych n nie należałyby do L 2 w, co przeczy 2.5). Zatem = 1, 1). Warunek 2.6) implikuje, że α > 1 i β > 1. Operator L ma zatem postać L = 1 x 2 ) d2 dx 2 + β α α + β + 2)x ) d dx na 1, 1), z wagą wx) = 1 x) α 1 + x) β, gdzie α, β > 1. Zauważmy, że operator L przeprowadza, dla każdego n = 0, 1, 2,..., przestrzeń wielomianów stopnia co najwyżej n w siebie. Wynika stąd, że dla każdego n istnieje wielomian stopnia n będący funkcją własną operatora L. Taki, odpowiednio znormalizowany 8), wielomian nazywamy n-tym wielomianem Jacobiego 9), i oznaczamy przez P n α,β). Łatwo wykazać, że n-ty wielomian Jacobiego P n α,β) odpowiada wartości własnej nn + α + β + 1): LP α,β) n + nn + α + β + 1)P α,β) n = 0. Wielomiany Jacobiego są ortogonalne w przestrzeni Hilberta L 2 1, 1), 1 x) α 1 + x) β dx). D) p jest funkcją kwadratową, z wyróżnikiem ujemnym. 8) Tutaj normalizacja jest bardziej skomplikowana. 9) Carl Gustav Jacob Jacobi ), matematyk niemiecki.

10 2 10 Skompilował Janusz Mierczyński Dokonując afinicznej zmiany zmiennej niezależnej i dzielenia przez stałą dodatnią można założyć, że px) = 1 + x 2. Z 2.7) wynika, że wx) = 1+x 2 ) a. Z 2.9) wynika, że =, ). Lecz wtedy, jakiekolwiek a weźmiemy, x n dla dostatecznie dużych n nie należą do L 2 w, co przeczy 2.5). E) p jest funkcją kwadratową, z wyróżnikiem równym zeru. Dokonując afinicznej zmiany zmiennej niezależnej i dzielenia przez stałą dodatnią można założyć, że px) = x 2. Z 2.7) wynika, że wx) = x a e b/x. Z 2.9) wynika, że = 0, ) dla ustalenia uwagi). Lecz wtedy, jakiekolwiek a weźmiemy, x n dla dostatecznie dużych n nie należą do L 2 w, co przeczy 2.5). Wykazaliśmy, że z dokładnością do dodania wyrazu rzędu zerowego o stałym współczynniku), afinicznej zamiany zmiennej niezależnej i pomnożenia przez stałą dodatnią, równania różniczkowe zwyczajne liniowe jednorodne rzędu drugiego, mające wielomiany dowolnego stopnia jako funkcje własne, to równania odpowiadające wielomianom Hermite a, Laguerre a i Jacobiego czyli tzw. klasycznym wielomianom ortogonalnym). 2.3 Ogólna teoria wielomianów ortogonalnych Niech = a, b). Niech w : 0, ) będzie funkcją ciągłą taką, że A n := x n wx) dx < dla wszystkich n = 0, 1, 2,.... Oznaczmy 1 := 1, A 0 A 1... A n A 1 A 2... A n+1 n :=....., n = 0, 1, 2,..... A n A n+1... A 2n Lemat 2.4. n > 0 dla każdego n = 0, 1, 2,.... Dowód. Forma kwadratowa n n A j+k a j a k = x j+k n ) 2wx) a j a k )wx) dx = a j x j dx j,k=0 j,k=0 jest dodatnio określona, zatem n > 0. j=0

11 Wielomiany ortogonalne 2 11 Zdefiniujmy wielomiany A 0 A 1... A n 1 1 A 1 A 2... A n x Q n x) := A n A n+1... A 2n 1 x n Wykorzystując rozwinięcie Laplace a względem n + 1)-szej kolumny otrzymujemy, że co daje A 0 A 1... A n 1 A m Q n x), x m A 1 A 2... A n A m+1 ) w =.....,.. A n A n+1... A 2n 1 A m+n Q n x), x m ) w = 0 dla m = 0, 1,..., n 1, Q n x), x n ) w = n. W szczególności, wielomiany Q n są ortogonalne. Dalej, Q n x), Q n x)) w = Q n x), n 1 x n ) w = n 1 Q n x), x n ) w = n 1 n, zatem wielomiany P n x) := 1 n 1 n Q n x) są ortonormalne. Oznaczmy przez h n współczynnik przy x n w wielomianie P n x). Zachodzi h n = n 1 n 1 n = n 1 n. Wielomian xp n x) ma stopień n + 1, i jest ortogonalny do x m dla m = 0, 1,..., n 2, zatem dla takich m zachodzi Mnożąc skalarnie równość xp n x) = xp n x), P m x)) w = 0. = α n+1 P n+1 x)+α n P n x)+α n 1 P n 1 x)+α n 2 P n 2 x)+...+α 1 P 1 x)+α 0 P 0 x)

12 2 12 Skompilował Janusz Mierczyński przez P m x) otrzymujemy, że α n 2 =... = α 0 = 0. Zatem istnieją a n, b n, c n takie, że 2.10) xp n x) = a n P n+1 x) + b n P n x) + c n P n 1 x). Powyższy wzór nazywamy formułą trójczłonową. Wyliczmy a n = h n h n+1, c n = xp n x), P n 1 x)) w = P n x), xp n 1 x)) w = h n 1 h n = a n 1. Po prostych manipulacjach otrzymujemy, dla x, y, x y, x y)p n x)p n y) = = a n Pn+1 x)p n y) P n x)p n+1 y) ) a n 1 Pn x)p n 1 y) P n 1 x)p n y) ), i ostatecznie otrzymujemy wzór Christoffela 10) Darboux 11) : 2.11) a n P n+1 x)p n y) P n x)p n+1 y) x y n = P j x)p j y). j=0 Lewą stronę wzoru Christoffela Darboux nazywamy jądrem Dirichleta 12), i oznaczamy przez K n x, y). Twierdzenie 2.5. Dla wielomianu q stopnia n zachodzi qx) = K n x, y)qy)wy) dy, x. Dowód. q jest kombinacją liniową wielomianów P k, k = 0, 1,..., n. Z ortonormalności wynika, że n q = q, P j ) w P j. j=0 Stosujemy teraz wzór Christoffela Darboux. Gdy y x, otrzymujemy ze wzoru Christoffela Darboux 2.11), że 2.12) a n P n+1 x)p n x) P n+1 x)p nx) ) n = P j x)) 2. j=0 Wynika stąd następujący 10) Elwin Bruno Christoffel ), matematyk niemiecki. 11) Jean) Gaston Darboux ), matematyk francuski. 12) Johann Peter Gustav Lejeune) Dirichlet ), matematyk niemiecki.

13 Wielomiany ortogonalne 2 13 Wniosek. Pierwiastki wielomianów P n należące do są pojedyncze. Dowód. P 0 jest różną od zera funkcją stałą, zatem nie ma pierwiastków. Załóżmy nie wprost, że x 0 jest pierwiastkiem pewnego P n, n 1, krotności większej niż 1. Lecz wtedy lewa strona wzoru 2.12) jest równa zeru, podczas gdy prawa strona jest co najmniej równa P 0 ) 2 > 0. Lemat 2.6. P n ma n pierwiastków rzeczywistych, wszystkie w przedziale. Dowód. Niech x 1 <... < x m będą wszystkimi pierwiastkami wielomianu P n w przedziale. Oznaczmy m qx) := x x j ) gdy m > 0, qx) : 1 gdy m = 0. j=1 x 1,..., x m są pierwiastkami krotności jeden zarówno wielomianu P n jak i q, więc P n i q zmieniają znak w tych samych punktach przedziału. Zatem qp n ma stały znak poza pierwiastkami. Wynika stąd, że q, P n ) w 0. Lecz P n jest ortogonalny do wszystkich x k, k = 0, 1,..., n 1, więc q musi być wielomianem stopnia co najmniej n. Zatem m = n. Lemat 2.7. Pomiędzy kolejnymi pierwiastkami wielomianu P n znajduje się pierwiastek wielomianu P n 1 Dowód. Niech n 2. Zachodzi P nx)p n 1 x) P n x)p n 1x) > 0. Dla x 1 < x 2, kolejnych pierwiastków wielomianu P n, powyższa nierówność implikuje, że P nx 1 )P n 1 x 1 ) > 0, P nx 2 )P n 1 x 2 ) > 0. P nx 1 ) i P nx 2 ) muszą mieć różne znaki, zatem P n 1 x 1 ) i P n 1 x 2 ) mają różne znaki Zupełność wielomianów ortogonalnych Twierdzenie 2.8. Załóżmy, że dla pewnego c > 0 zachodzi e 2c x wx) dx <. Wówczas P 0, P 1, P 2,... ) jest bazą ortonormalną w L 2 w.

14 2 14 Skompilował Janusz Mierczyński Dowód. Niech f L 2 w. Ciąg f n ) n=0, gdzie n f n = f, P j ) w P j, j=0 jest ciągiem Cauchy ego w L 2 w. Oznaczmy jego granicę przez g. Dla każdego n N {0} zachodzi f, P n ) w = g, P n ) w. zatem h := f g jest ortogonalna do każdego P m. Rozszerzamy h i w na całe R kładąc zero poza. Z nierówności Schwarza hx)wx) dx R R hx) wx) ) ) 2 1/2 dx Transformata Fouriera, Hξ), funkcji hw, Hξ) = ĥwξ) = 1 2π jest holomorficzna w pasie { m ξ < c }. Zachodzi H n) 0) = i)n 2π R R R e ixξ hx)wx) dx, x n hx)wx) dx. wx) ) 2 dx ) 1/2 <. Lecz z h, P n ) w = 0 wynika, że h jest ortogonalne do x n, czyli H n) 0) = 0, dla każdego n. Zatem H Wzór Rodriguesa Powracamy teraz do klasycznych wielomianów ortogonalnych. Rozważmy równanie na wartości własne: 2.13) px)ψ nx) + px)wx)) ψ wx) nx) + λ n ψ n x) = 0. Różniczkując je po x otrzymujemy 2.14) pψ n) + q + p )ψ n) + q + λ n )ψ n = 0. Ale q + p = pw) w zatem pw jest wagą dla 2.14). + p = p2 w + 2pp w pw = ppw) ) pw,

15 Wielomiany ortogonalne 2 15 Otrzymaliśmy, że ψ n są wielomianami ortogonalnymi stopnia n 1 dla wagi pw, z wartościami własnymi λ n q. Dalej, ψ n są wielomianami ortogonalnymi stopnia n 2 dla wagi p 2 w, z wartościami własnymi λ n q p + q) = λ n 2q p. Ogólnie, ψ n m) są wielomianami ortogonalnymi stopnia n m dla wagi p m w, z wartościami własnymi λ n mq 1 2 mm 1)p. ψ n) n to stała odpowiadająca wartości własnej zero. Otrzymujemy stąd λ n = nq 1 2 nn 1)p. Równanie 2.13) daje 2.15) wψ n = 1 λ n pwψ n), ale, z 2.14), λ n + q )pwψ n = p 2 wψ n + p 2 w ψ n + 2pp wψ n) = = p 2 wψ n) + p 2 ) wψ n)) = p 2 wψ n), stąd 2.16) pwψ n) = 1 λ n + q p2 wψ n). Z 2.15) i 2.16) wynika, że wψ n = 1 λ n λ n + q ) p2 wψ n). Powtarzając powyższe rozumowanie otrzymujemy, że n 1 wψ n = 1) n Zauważmy, że ψ n) n m=0 to stała. λn + mq mm 1)p ) 1 p n wψ n) n ) n)

16 2 16 Skompilował Janusz Mierczyński W szczególności, otrzymujemy ogólny) wzór Rodriguesa 13) 2.17) ψ n x) = c n px) n wx) ), wx) dx n d n gdzie c n 0. Przy tradycyjnej normalizacji klasycznych wielomianów ortogonalnych mamy wzór Rodriguesa dla wielomianów Hermite a 2.18) H n x) = 1) n dn x2 e dx n e x2 ), wzór Rodriguesa dla wielomianów Laguerre a 2.19) L α) n x) = 1 n! x α e x dn dx n e x x n+α ), wzór Rodriguesa dla wielomianów Jacobiego 2.20) P n α,β) x) = 1)n n!2 n 1 x) α β dn 1+x) 1 x) n+α 1+x) n+β). dx n Funkcje tworzące Funkcją tworzącą dla klasycznych) wielomianów ortogonalnych ψ n nazwijmy funkcję ψ n x) Gx, s) := s n. n! Rozważmy wzór Rodriguesa n=0 ψ n x) = 1 d n px) n wx) ). wx) dx n Ustalmy x, i niech Γ C będzie zorientowanym dodatnio okręgiem o środku w x i promieniu tak małym, by był zawarty wraz ze swym wnętrzem w dziedzinie funkcji p i w. Zachodzi ψ n x) = n! 2πi Γ wz) wx) pz) n dz z x) n z x. 13) Benjamin-)Olinde Rodrigues-Henriques) ), matematyk, filozof i bankier francuski.

17 Wielomiany ortogonalne 2 17 Podstawiając powyższe do wzoru na funkcję tworzącą otrzymujemy Gx, s) = 1 2πi Γ n=0 s n pz) n wz) z x) n wx) dz z x = 1 2πi Γ wz) wx) dz z x spz). Oznaczmy przez ζx, s) rozwiązanie względem z) równania z x = spz), zbieżne do x przy s 0. Z postaci p mianowicie, pz) 1, lub pz) = z lub pz) = 1 z 2 ) wynika, że rozwiązanie to jest jednoznacznie określone. Jako że pochodna po z funkcji z x spz), czyli 1 sp z) jest różna od zera dla s dostatecznie małych, więc ζ = ζx, s) jest biegunem rzędu jeden funkcji podcałkowej, i residuum w tym punkcie jest równe wz) lim z ζ wx) z ζ z x spz) = wζ) wx) 1 1 sp ζ). ζ Γ ) x Przy dostatecznie małym s i dostatecznie małym promieniu okręgu Γ, wewnątrz Γ znajduje się tylko jeden biegun ζ funkcji podcałkowej Zatem Gx, s) = wζ) wx) 1, ζ spζ) = x, s małe. 1 sp ζ) Więcej o wielomianach Hermite a Przypomnijmy, że wielomiany Hermite a spełniają równanie 2.21) H nx) 2xH nx) + 2nH n x) = 0, są ortogonalne na, ) względem wagi e x2, i spełniają wzór Rodriguesa H n x) = 1) n e x2 dn dx n e x2 ).

18 2 18 Skompilował Janusz Mierczyński Powyższy wzór można zapisać jako H n x) = 2x d ) n 1). dx Wynika zeń, w szczególności, że współczynnik przy najwyższej potędze w H n x) jest równy 2 n, H nx) = 2nH n 1 x), H nx) 2xH n x) = H n+1 x). Formuła trójczłonowa 2.10) przybiera teraz postać H n+1 x) = 2xH n x) 2nH n 1 x). Wielomian Hermite a stopnia n jest funkcją parzystą dla n parzystych, i nieparzystą dla n nieparzystych. Zapisując wielomiany Hermite a jako n H n x) = c k x k, k=0 z równania na wartości własne 2.21) otrzymujemy, że z czego wynika, że k + 2)k + 1)c k+2 = 2k n)c k, H n x) = 1) j n! j!n 2j)! 2x)n 2j. 2j n Funkcję tworzącą dla wielomianów Hermite a definiujemy jako Gx, s) = n=0 H n x) s n. n! Zastosujmy wyliczenia z poprzedniego podrozdziału, pamiętając o tym, że w przypadku wielomianów Hermite a występuje współczynnik 1) n. Odpowiada to zastąpieniu s przez s. Wówczas ζx, s) = x s, i otrzymujemy Gx, s) = e x s)2 e x2 = e 2xs s2.

19 Wielomiany ortogonalne 2 19 Zauważmy, że m,n=0 co daje i dalej, Zatem s m t n m! n! H m x)h n x)e x2 dx = Gx, s)gx, t)e x2 dx = = e 2st e x s t)2 dx = e 2st π = 2st) n π, n=0 n! t n H m, H n ) w s m ) = t n π n=0 n! m=0 m! n=0 n! 2n s n, m=0 H m, H n ) w s m m! = π2 n s n. H m, H n ) w = 0 dla m n, H n, H n ) w = n! 2 n π. Znormalizowane wielomiany Hermite a definiujemy jako H n x) = 1 4 π n! 2 n H nx). Przypomnijmy, że dla f L 2 w współczynniki rozwinięcia w bazie ortonormalnej H n ) n=0 są równe f n = f, H n ) w. Załóżmy teraz, że funkcja f ma wszystkie pochodne wykładniczego wzrostu. Wtedy dla n = 0, 1, 2,... zachodzi fx)h n x)e x2 dx = = 1) n fx)e x2 d n dx n e x2 ) ) 1) n fx) dn dx n e x2 ) dx = e x2 dx = f n) x)e x2 dx. Wynika stąd w szczególności, że x m, H n ) w = 0 gdy m < n co już wiemy), a także, że x m, H n ) w 0 co najwyżej, gdy m i n mają tę samą parzystość. Gdy m = n + 2k, otrzymujemy x m, H n ) w = m! m n)! e x2 x m n m! dx = 2 m n)! 0 e x2 x m n dx,

20 2 20 Skompilował Janusz Mierczyński co po zamianie zmiennych t = x 2 dx = 1 2 t 1/2 dt, x m n = t m n)/2 ) daje m! e t t m n)/2 t 1/2 m! dt = m n)! m n)! Γ 1 m n + 1)). 2 0 Analogicznie można wyliczyć, dla a C, e ax, H n ) w = a n e ax x2 dx = a n e x a/2)2 e a2 /4 dx = = a n e a2 /4 e x2 dx = a n e a2 /4 π. Oznaczając zmienną x przez t i podstawiając następnie a = 2ix, otrzymujemy e x2 = 1 π e 2ixt t2 dt. Z powyższego wzoru można otrzymać, wykorzystując wzór Rodriguesa, że H n x) = 1) n ex2 π 2it) n e 2ixt t2 dt. Pierwiastki wielomianów Hermite a mają następujące własności: Twierdzenie 2.9. Wielomian Hermite a H n x) ma n pierwiastków pojedynczych, leżących w przedziale Można nawet powiedzieć więcej: 2n + 1 < x < 2n + 1. Twierdzenie Dodatnie pierwiatki x 1,n < x 2,n <... wielomianu Hermite a H n x) spełniają następujące oszacowania: dla n = 2m, 2k 1)π 2 2n + 1 < x k,n < 4k + 1, k = 1, 2,..., m; 2n + 1 dla n = 2m + 1, kπ 2 2n + 1 < x k,n < 4k + 3 2n + 1, k = 1, 2,..., m. Zachodzi następujący wzór asymptotyczny 2.22) H n x) = 2 n/2 21/4 n!) 1/2 ) ) e x2 /2 1 cos 2n + 1 x nπ) 1/2 2 nπ + On 1/2 ) przy n, jednostajnie na przedziałach ograniczonych.

21 Wielomiany ortogonalne Rozwinięcia w szeregi względem wielomianów Hermite a Oznaczmy, dla funkcji rzeczywistej f określonej na, ) gdzie c n = fx) c n H n x), n=0 1 2 n n! π fx)h n x)e x2 dx. Wiemy już Twierdzenie 2.8), że dla f L 2 w zbieżne do f w normie L 2 w. sumy częściowe szeregu są Twierdzenie Załóżmy, że f L 2 w. Niech x będzie takie, że dla pewnych δ > 0 i C > 0 zachodzi fξ) fx) C gdy 0 < ξ x < δ. ξ x Wówczas szereg n=0 c n H n x) jest zbieżny do fx) Wielomiany Legendre a i Czebyszewa Wielomiany Legendre a 14) to wielomiany Jacobiego dla α = β = 0: P n x) = P n 0,0) x). Waga to wx) 1, równanie na wartości własne to i funkcja tworząca to 1 x 2 )P n x) 2xP nx) + nn + 1)P n x) = 0, P n x)s n = 1 2xs + s 2 ) 1/2. n=0 Wielomiany Czebyszewa 15) można zdefiniować jako T n x) = n) n 1) P n 1/2, 1/2) x), n + 2) U n x) = n + 1) P n 1/2,1/2) x). 14) Adrien-Marie Legendre ), matematyk francuski. 15) Pafnutij Lwowicz Czebyszew powinno być: Czebyszow) ), matematyk rosyjski.

22 2 22 Skompilował Janusz Mierczyński ch funkcje tworzące to T n x)s n = n=0 U n x)s n = n=0 1 xs 1 2xs + s 2, 1 1 2xs + s 2. Wielomiany Gegenbauera 16), zwane też wielomianami ultrasferycznymi, definiowane są jako C λ nx) = 2λ) 2λ + 1)... 2λ + n 1) λ ) λ )... λ + n 1 2 λ 1/2,λ 1/2) n )P x) nformacja o dyskretnych wielomianach ortogonalnych W poprzednich podrozdziałach rozważaliśmy wielomiany, które są ortogonalne względem iloczynu skalarnego wyznaczonego przez ciągłą wagę: całkowanie odbywało się po mierze absolutnie ciągłej względem miary Lebesgue a, z gęstością wx). Zamiast takiej miary możemy wziąć miarę dyskretną na przykład, sumę przeliczalnie wielu delt Diraca w punktach całkowitych). Dokładniej, niech w = w n ) n= będzie ciągiem liczb nieujemnych. loczyn skalarny definiujemy wzorem a normę wzorem f, g) w := f 2 w := k= k= fm)gm)w m, fm)) 2 w m. Wielomiany mają skończoną normę wtedy i tylko wtedy, gdy momenty rzędu parzystego sa skończone: k= m 2n w m <. W takim przypadku można skonstruować wielomiany ortogonalne analogicznie jak w przypadku ciągłej wagi. Zachodzą wtedy odpowiedniki formuły trójczłonowej 2.10) i wzoru Christoffela Darboux 2.11). Ponadto, jeśli istnieje c > 0 takie, że e 2c m w m <, k= 16) Leopold Bernhard Gegenbauer ), matematyk austriacki.

23 Wielomiany ortogonalne 2 23 to wielomiany ortogonalne tworzą bazę odpowiedniej przestrzeni Hilberta. Zamiast liniowego operatora różniczkowego drugiego rzędu rozpatrujemy teraz tzw. liniowy operator różnicowy drugiego rzędu. Rozpocznijmy od zdefiniowania operatorów przesunięcia wzorem Operator różnicowy drugiego rzędu to S ± f)m) := fm ± 1). L := p + S + + p S + r, gdzie p +, p i r to funkcje. Operator L jest symetryczny względem w wtedy i tylko wtedy, gdy S p + w) = p w, co jest równoważne S + p w) = p + w. Z symetrii wynika, że funkcje własne odpowiadające różnym wartościom własnym sa ortogonalne. Można spytać, kiedy operator L ma jako funkcje własne pewne wielomiany stopni zero, jeden i dwa. Okazuje się, że odpowiada to tzw. klasycznym dyskretnym wielomianom ortogonalnym: wielomiany Charliera 17) zwane też wielomianami Poissona Charliera), wielomiany Krawczuka 18), wielomiany Meixnera 19), wielomiany Hahna 20). 17) Carl Vilhelm Ludwig Charlier ), astronom szwedzki. 18) Mychajło Pyłypowicz Krawczuk ), matematyk ukraiński używana jest też forma rosyjska: Michaił Filippowicz Krawczuk). 19) Josef Meixner ), niemiecki fizyk teoretyk. 20) Wolfgang Hahn ), matematyk niemiecki nie mylić z matematykiem austriackim Hansem Hahnem ), znanym np. z twierdzenia Hahna Banacha).

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 6 Własności wielomianów ortogonalnych Wszystkie znane rodziny wielomianów ortogonalnych dzielą pewne wspólne cechy: 1) definicja za pomocą wzoru różniczkowego, jawnej sumy lub funkcji tworzącej;

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5 Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................

Bardziej szczegółowo

Informacja o przestrzeniach Sobolewa

Informacja o przestrzeniach Sobolewa Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą

Bardziej szczegółowo

VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów

VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych

Bardziej szczegółowo

Informacja o przestrzeniach Hilberta

Informacja o przestrzeniach Hilberta Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =

Bardziej szczegółowo

2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych 2. Równania o rozdzielonych zmiennych 2 1 2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie różniczkowe

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

Wykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie

Wykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie Wykład 14 i 15 Równania różniczkowe Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (1) gdzie: y = y(x) niewiadoma funkcja zmiennej rzeczywistej

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH

Przestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające

Bardziej szczegółowo

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0 Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto

Bardziej szczegółowo

15 Potencjały sferycznie symetryczne

15 Potencjały sferycznie symetryczne z ϕ θ r y x Rysunek : Definicje zmiennych we współrzędnych sferycznych r, θ, ϕ) 5 Potencjały sferycznie symetryczne 5. Separacja zmiennych Do tej pory omawialiśmy problemy jednowymiarowe, które służyły

Bardziej szczegółowo

O geometrii semialgebraicznej

O geometrii semialgebraicznej Inauguracja roku akademickiego 2018/2019 na Wydziale Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego O geometrii semialgebraicznej Stanisław Spodzieja Łódź, 28 września 2018 Wstęp Rozwiązywanie równań

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Metody Fizyki II

Matematyczne Metody Fizyki II Matematyczne Metody Fizyki II Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład / 6 Ortonormalne

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19

Zestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19 Zestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19 Zad 1. Znaleźć rozwiązania ogólne u = u(x, y) następujących równań u x = 1, u y = 2xy, u yy = 6y, u xy = 1, u x + y = 0, u xxyy = 0. Zad 2. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w

Bardziej szczegółowo

Elementy metod numerycznych

Elementy metod numerycznych Wykład nr 5 i jej modyfikacje. i zera wielomianów Założenia metody Newtona Niech będzie dane równanie f (x) = 0 oraz przedział a, b taki, że w jego wnętrzu znajduje się dokładnie jeden pierwiastek α badanego

Bardziej szczegółowo

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.

Bardziej szczegółowo

4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne

4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne Równania w postaci Leibniza 4 1 4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne 4.1 Równania różniczkowe w postaci Leibniza Załóżmy, że P : D R i Q: D R są funkcjami ciągłymi określonymi

Bardziej szczegółowo

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy

Bardziej szczegółowo

Pierścień wielomianów jednej zmiennej

Pierścień wielomianów jednej zmiennej Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów

Bardziej szczegółowo

n=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa

n=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa Równanie Bessela Będziemy rozważać następujące równanie Bessela x y xy x ν )y 0 ) gdzie ν 0 jest pewnym parametrem Rozwiązania równania ) nazywamy funkcjami Bessela rzędu ν Sprawdzamy, że x 0 jest regularnym

Bardziej szczegółowo

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu.

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu. Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument

Bardziej szczegółowo

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę

Bardziej szczegółowo

Całka podwójna po prostokącie

Całka podwójna po prostokącie Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i

Bardziej szczegółowo

III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 1. Pojęcia wstępne Przykład 1.1. (Rozpad substancji promieniotwórczej ) Z doświadczeń wiadomo, że prędkość rozpa pierwiastka promieniotwórczego jest ujemna i proporcjonalna

Bardziej szczegółowo

Matematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

Matematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Matematyka 2 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Równania różniczkowe liniowe rzędu II Równanie różniczkowe w postaci y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = f(x) gdzie a 0 (x), a 1 (x) i f(x) są funkcjami

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd 7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy

Bardziej szczegółowo

2. Kombinacja liniowa rozwiązań zeruje się w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się w każdym punkcie.

2. Kombinacja liniowa rozwiązań zeruje się w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się w każdym punkcie. Wniosek 1 Rozpatrzmy układ równań postaci: y 1 = a 11 (x)y 1 + + a 1n (x)y n y 2 = a 21 (x)y 1 + + a 2n (x)y n y n = a n1 (x)y 1 + + a nn (x)y n (1) o współczynnikach ciągłych w przedziale J 1 Rozwiązanie

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

W przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [a, b] można określić iloczyn skalarny jako następującą całkę:

W przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [a, b] można określić iloczyn skalarny jako następującą całkę: Układy funkcji ortogonanych Ioczyn skaarny w przestrzeniach funkcji ciągłych W przestrzeni iniowej funkcji ciągłych na przedziae [a, b] można okreśić ioczyn skaarny jako następującą całkę: f, g = b a f(x)g(x)w(x)

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? a) X = R, d(x, y) = arctg x y ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i

Bardziej szczegółowo

Funkcje analityczne. Wykład 12

Funkcje analityczne. Wykład 12 Funkcje analityczne. Wykład 2 Szeregi Laurenta. Osobliwości funkcji zespolonych. Twierdzenie o residuach Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 206/207) Plan wykładu W czasie wykładu omawiać

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na

Bardziej szczegółowo

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania. 10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Operatory samosprzężone

Operatory samosprzężone Operatory samosprzężone grudzień 2013 Operatory samosprzężone Operatory hermitowskie (3.29) (g, Lf) = (Lg, f) albo (3.30) g (x){l(x)f(x)}w(x)dx = {L(x)g(x)} f(x)w(x)dx. (Użyliśmy nawiasu klamrowego jako

Bardziej szczegółowo

1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2

1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2 Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,

Bardziej szczegółowo

CAŁKI NIEOZNACZONE C R}.

CAŁKI NIEOZNACZONE C R}. CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos

Bardziej szczegółowo

Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata

Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata Michał Krzemiński 29 listopad 2006 Naukowe Koło Matematyki Politechnika Gdańska 1 1 Krzywe algebraiczne Definicja 1.1 Krzywą algebraiczną C nad ciałem K nazywamy

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/15 Rachunek różnicowy Dobrym narzędziem do obliczania skończonych sum jest rachunek różnicowy. W rachunku tym odpowiednikiem operatora

Bardziej szczegółowo

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to

Bardziej szczegółowo

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia 1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)

1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5) . Liczby zespolone Zadanie.. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone () i +i, () 3i, (3) ( + i 3) 6, (4) (5) ( +i ( i) 5, +i 3 i ) 4. Zadanie.. Znaleźć moduł i argument główny

Bardziej szczegółowo

Wielomiany podstawowe wiadomości

Wielomiany podstawowe wiadomości Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i

Bardziej szczegółowo

Interpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna

Interpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna Interpolacja Marcin Orchel 1 Wstęp Mamy daną funkcję φ (x; a 0,..., a n ) zależną od n + 1 parametrów a 0,..., a n. Zadanie interpolacji funkcji φ polega na określeniu parametrów a i tak aby dla n + 1

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.

Bardziej szczegółowo

Równanie przewodnictwa cieplnego (II)

Równanie przewodnictwa cieplnego (II) Wykład 5 Równanie przewodnictwa cieplnego (II) 5.1 Metoda Fouriera dla pręta ograniczonego 5.1.1 Pierwsze zagadnienie brzegowe dla pręta ograniczonego Poszukujemy rozwiązania równania przewodnictwa spełniającego

Bardziej szczegółowo

8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów

8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta

Bardziej szczegółowo

Równania wielomianowe

Równania wielomianowe Instytut Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego 20 marca 2009 Kraków Równanie z jedną niewiadomą Wielomian jednej zmiennej to wyrażenie postaci P(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe drugiego rzędu

1 Równania różniczkowe drugiego rzędu Równania różniczkowe drugiego rzędu Najpierw zajmiemy się równaniami różniczkowymi rzędu drugiego, w których y nie występuje w sposób jawny, tzn. F (x, y, y ) = 0 (.) Równanie takie rozwiązujemy poprzez

Bardziej szczegółowo

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C, Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe wyższych rzędów

Równania różniczkowe wyższych rzędów Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1. Rozwiązanie ogólne............................... 1.3 Obniżanie rzędu

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale

Bardziej szczegółowo

Wielomiany Legendre a

Wielomiany Legendre a grudzień 2013 grudzień 2013 Funkcja tworząca 1 (4.1) g(x, t) = = P n (x)t n, 1 2xt + t 2 albo pamiętając, że x = cos θ 1 (4.2) g(cos θ, t) = = P n (cos θ)t n. 1 2 cos θ t + t 2 jeżeli rozpatrzyć pole wytwarzane

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo

Analiza I.2*, lato 2018

Analiza I.2*, lato 2018 Analiza I.2*, lato 218 Marcin Kotowski 14 czerwca 218 Zadanie 1. Niech x (, 1) ma rozwinięcie binarne.x 1 x 2.... Niech dla x, 1: oraz f() = f(1) =. Pokaż, że f: f(x) = lim sup n (a) przyjmuje wszystkie

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ). Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

11 Równania różniczkowe cząstkowe. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu.

11 Równania różniczkowe cząstkowe. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu 11 1 11 Równania różniczkowe cząstkowe. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu. 11.1 Równania różniczkowe cząstkowe. Definicje i oznaczenia. Równaniem

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur

Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur Plan wykładu: 1. Kwadratury Newtona-Cotesa a) wzory: trapezów, parabol etc. b) kwadratury złożone 2. Ekstrapolacja a) ekstrapolacja Richardsona b) metoda Romberga

Bardziej szczegółowo

Aproksymacja. j<k. L 2 p[a, b] l 2 p,n X = Lemat 1. Wielomiany ortogonalne P 0,P 1,...,P n tworza przestrzeni liniowej Π n. Dowód.

Aproksymacja. j<k. L 2 p[a, b] l 2 p,n X = Lemat 1. Wielomiany ortogonalne P 0,P 1,...,P n tworza przestrzeni liniowej Π n. Dowód. Metody numeryczne Paweł Zieliński p. 1/19 Lemat 1. Wielomiany ortogonalne P 0,P 1,...,P n tworza bazę przestrzeni liniowej Π n. Dowód. Lemat 2. Dowolny wielomian Q j stopnia j niższego od k jest prostopadły

Bardziej szczegółowo

Równanie przewodnictwa cieplnego (I)

Równanie przewodnictwa cieplnego (I) Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1. Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Analiza funkcjonalna 1.

Analiza funkcjonalna 1. Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1

Algebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1 Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 Funkcją tworzącą momenty (transformatą Laplace a) zmiennej losowej X nazywamy funkcję M X (t) := Ee tx, t R. 1. Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennych o

Bardziej szczegółowo

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

Twierdzenia Rolle'a i Lagrange'a

Twierdzenia Rolle'a i Lagrange'a Twierdzenia Rolle'a i Lagrange'a Zadanie 1 Wykazać, że dla dowolnych zachodzi. W przypadku nierówność (a właściwie równość) w treści zadania spełniona jest w sposób oczywisty, więc tego przypadku nie musimy

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9. Funkcja pierwotna Definicja funkcji pierwotnej. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P. Mówimy, że funkcja F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale

Bardziej szczegółowo

x = cos θ. (13.13) P (x) = 0. (13.14) dx 1 x 2 Warto zauważyć, że miara całkowania w zmiennych sferycznych przyjmuje postać

x = cos θ. (13.13) P (x) = 0. (13.14) dx 1 x 2 Warto zauważyć, że miara całkowania w zmiennych sferycznych przyjmuje postać 3.. Zaeżność od kąta θ Aby rozwiązać równanie 3.9) da dowonego ν m, rozważymy przypadek z m 0, a potem pokażemy jak z tego rozwiązania przez wieokrotne różniczkowanie wygenerować rozwiązanie da dowonego

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne I Równania nieliniowe

Metody numeryczne I Równania nieliniowe Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Równania nieliniowe. Janusz Szwabiński.

Metody numeryczne. Równania nieliniowe. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl nm_slides-9.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 7/1/2003 20:18 p.1/64 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym

Bardziej szczegółowo