GAL z Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe [Kos roz 3, 1]

Transkrypt

1 GAL z 017 Notatki zawieraja odsy lacze do podre czników [Kos]=Kostrikin, [Tor]=Toruńczyk 1 Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe [Kos roz 3, 1] 11 Ortogonalizacja Grama-Schmidta w cze ści o formach dwuliniowych 1 Iloczyn skalarny (, ) : V V R 1) (α, β) = (β, α) ) (a 1 α 1 + a α, β) = (a 1 α 1, β) + (a α, β) 3) (α, α) 0 oraz (α, α) = 0 α = 0 13 Norma, formalne w lasności normy: A) α 0 oraz α = 0 α = 0 B) aα = a α C) α + β α + β (nierówność trójka ta) 14 Jeśli dany jest iloczyn skalarny, to definiujemy α = (α, α) 15 W lasność C) jest równoważna nierówności Schwartza: (α, β) α β Dow: Rozważyć funkcje kwadratowa t α + tβ 0, dla której wyróżnik jest 0 16 Ćwiczenie: Norma w przestrzeni l p, p nie pochodzi od iloczynu skalarnego 17 Definicja cos( (α, β)) i sin( (α, β)) 18 Twierdzenie kosinusów α + β = α + cos (α, β)) α β + β 19 Jeśli baza A = {α 1, α,, α n } jest ortonormalna to dla dowolnego β V a gdy jest bazaa ortogonalna to β = β = n (β, α i )α i i=1 n i=1 (β, α i ) (α i, α i ) α i 110 Każdy uk lad niezerowych wektorów parami ortogonalnych można uzupe lnić do bazy ortogonalnej w przestrzeni skończenie wymiarowej (Powyższe twierdzenie nie jest prawdziwe w przestrzen nieskończenie wymiarowej, patrz uk lady zupe lne) 111 Ważny przyk lad: V = C(S 1 ) z iloczynem skalarnym (f, g) = π 0 f(t)g(t)dt, podprzestrzeń W = Wielomiany trygonometryczne Baza ortogonalna W sa funkcje 1, sin(nt), cos(nt) dla n N + Ponadto W = {0} (patrz tw Stone a-weierstrassa) Otrzymujemy przyk lad zupe lnego uk ladu wektorów, który nie jest baza w sensie algebry liniowej 1

2 11 Z każda funkcja ca lkowalna (w sensie Lebesgue a) stowarztszamy szereg a + b n cos(nt) + c n sin(nt), n=1 gdzie a = 1 π π π f(t)sdt, b n = 1 π π π f(t) cos(t)dt, c n = 1 π π π f(t) sin(t)dt Badaniem takich szeregów zajmuje sie analiza fourierowska Co prawda nie musi być zbieżny punktowo, ale jest zbierzny wed lug mairy Ponadto gdy funkcja jest klasy C 1, to mamy zbieżność jednostajna 113 Ćwiczenie: dany cia g wektorów {α i} i I w przestrzeni V z iloczynem skalarnym (skończony lub nie), β V Za lóżmy, że (α i, α j ) = δ ij Naste puja ce waranki sa równoważne: Jeśli dla każdego i I mamy (α i, β) = 0 to β = lin{α i : ii} inf{ β, γ : γ lin{α i : ii} = 0 ( β leży w domknie ciu lin{α i i I}) 114 W szczególności: W przestrzeniach nieskończonego wymiaru rozważamy uk lady zupe lne {α 1, α,, }, tzn takie, że (Np wektory ε i l ) i N (β, α i ) = 0 β = 0 Z (113) wynika, że uk lad liniowo zupe lny rozpina podprzestrzeń, która jest ge sta w V (w sensie topologicznym) 115 Jeśli mamy zupe lny uk lad wektorów ortogonalnych A = {α 1, α,, } V to z dowolnym β V stowarzyszamy szereg 116 β i=1 (β, α i ) (α i, α i ) α i Ćwiczenie: Inne przyk lady ortonormalnych uk ladów zupe lnych a) wielomiany Legendra P n = 1 ( d n n n! dt (t 1) n) ze wzgle n du na iloczyn skalarny (f, d) = 1 1 f(t)g(t)dt b) wielomian Czebyszewa T n (Czebyszewa spe lnia cos(nx) = T n (cos(x))) ze wzgle du na iloczyn skalarny (f, d) = 1 f(t)g(t) 1 dt 1 t c), d) wielomiany Hermite a, wielomiany Laguerre a (to sa zadania z analizy i nie be dziemy ich robić) Przestrzenie z iloczynem skalarnym cd, przestrzenie euklidesowe 1 Każdy uk lad niezerowych wektorów parami ortogonalnych, jest liniowo niezależny Wzór na rzut ortogonalny na lin{α 1, α,, α k }, dla uk ladu wektorów ortogonalnych/ortonormalnych Obje tość [Kos roz4 3,] 3 Obje tość równoleg lościanu V ol(α 1, α,, α k ) = det G(α 1, α,, α k ) gdzie G i,j = (α i, α j ) (Jeśli α 1, α,, α k sa liniowozależne, to det G = 0, w przeciwnym przypadku det G > 0 bo to macierz iloczynu skalarnego w bazie α i ) 4 Dla k = wzór na pole trójka ta α 1 α 1 sin( (α 1, α ))

3 5 Odleg lość α V od podprzestrzeni liniowej W V definiujemy jako min{ α β β W } Minimum jest osia gnie te jeśli α = γ + β 0, γ W bo α β = γ + β 0 β = γ + β 0 β 6 Obje tość spe lnia (i) V ol(α 1 ) = α 1 () V ol(α 1, α,, α k ) = V ol(α 1, α,, α k 1 ) h gdzie h jest odleg lościa α k od lin{α 1, α,, α k 1 } 7 Dla k = n dostajemy V ol(α 1, α,, α n ) = det [α 1, α,, α n ] Sta d interpretacja geometryczna wyznacznika Iloczyn wektorowy 8 Iloczyn wektorowy: Dane α 1, α,, α n 1 V, dim(v ) = n Definiujemy funkcjona l β det [α 1, α,, α n 1, β] Ponieważ V V za pomoca iloczynu skalarnego, wie c istnieje γ V taki, że dla każdego β det [α 1, α,, α n 1, β] = (γ, β) Definiujemy α 1 α α n 1 := γ 9 W lasności (i) γ lin{α 1, α,, α n 1 } (ii) γ = V ol(α 1, α,, α n 1 ) (iii) jeśli wektory α 1, α,, α n 1 sa liniowo niezależne, to baza α 1, α,, α n 1, γ jest dodatniozorientowana Te w lasności definiuja γ 10 Dla n = 3 mamy dobrze znany iloczyn zadany wzorem ze szko ly: a 1 a a 3 (a 1, a, a 3 ) (b 1, b, b 3 ) = det b 1 b b 3 ε 1 ε ε 3 11 Z definicji w R 3 mamy (α β, γ) = (γ α, β) = (β γ, α) = det[α, β, γ] 1 a b + (a, b) = a b Afiniczne rzestrzenie euklidesowe 13 Metryka w zbiorze X, czyli odleg lość pomie dzy punktami: d : X X R 0 : d(x, y) = 0 x = y d(x, y) = d(y, x) d(x, y) + d(y, z) d(x, z) 14 Odleg lość od zbioru d(x, A) = inf{d(x, a) a A} 3

4 15 Przestrzenia euklidesowa nazywamy przestrzeń afiniczna E nad R z iloczynem skalarnym w T E W przestrzeniach euklidesowych mamy odleg lość d(p, q) = ω(p, q) 16 Hiperpa szczyzny w R n : H = {(x 1, x,, x n ) R n n a i x i = b} = {x R n i=1 n (a, x) = b} i=1 Wektor a = (a 1, a,, a n ) rozpina T H, wektor normalny 17 Wzór na odleg lość od p laszczyzny a a d(p, H) = n i=1 a ip i b a 18 Ćwiczenie: Niech p 0, p 1,, p n E be dzie baza punktowa Wtedy odleg lości d(q, p i ) dla i = 0, 1, n wyznaczaja q jednoznacznie Przekszta lcenia 19 Poje cie izometrii i izometrycznego w lożenia 0 Rzutowania i symetrie Niech F E be dzie skończenie wymiarowa podprzestrzenia przestrzeni euklidesowej Wtedy T E = T F (T F ) Niech p F oraz niech γ i be dzie baza ortonormalna T F Rzut na F wzd luż (T F ) jest zadany wzorem π(q) = p + k (γ i, ω(p, q))γ i, Symetria wzgle dem F wzd luż (T F ) jest zadana wzorem i=1 π(q) = p ω(p, q) + k (γ i, ω(p, q))γ i 1 Izometie Niech dim E < Poniższe warunki sa równoważne: 1) f : E E jest przekszta lceniem afinicznym, takim że Df : T E T E zachowuje iloczyn skalarny ) f : E E jest przekszta lceniem afinicznym zachowuja cym odleg lość, 3) f zachowuje odleg lość tzn d(p, q) = d(f(p), f(q)) (nie zak ladamy afiniczności), Dow 3)= 1): z lematu: d(p, r) + d(r, q) = d(p, q) wtedy i tylko wtedy gdy r = d(p,r) d(p,q) p + d(r,q) d(p,q) q Ogólniej rozważa sie izometryczne w lożenia f : F E i=1 3 Przyk lady: przesunie cia, obroty, symetrie 4 Produkt przestrzeni afinicznych i euklidesowych 5 Niech dim E < Dla każdej izometrii f : E E istnieje rozk lad E na produkt przestrzeni E = E 1 E E k, 4

5 dim(e i ) = 1 lub taki, że rozk lad przestrzeni stycznych jest ortogonalny T E = T E 1 T E T E k oraz f jest produktem przekszta lceń f i : E i E i, tzn gdzie f i jest przesunie ciem, symetria lub obrotem Dowód w dalszej cze ści wyk ladu f(x 1, x,, x k ) = (f 1 (x 1 ), f (x ),, f k (x k )), 6 Klasyfikacja izometrii R i R 3 3 Przestrzenie unitarne [Kos roz 3, ] 31 Formy póltoraliniowe 3 Jeśli M = M(ϕ) = (ϕ(ε i, ε j )) macierz formy ϕ w bazie standardowej, to ϕ(x, Y ) = X T MY 33 Formy symetryczne ϕ(v, w) = ϕ(w, v) Wtedy M(ϕ) = M(ϕ) T 34 Dla przestrzeni wektorowej nad C rozważamy iloczyn hermitowski, to forma póltoraliniowa, symetryczna, niezdegenerowana, dodatnio określona, oznaczana przez H(v, w) lub v, w ( ) i 35 Ćwiczenie: czy ϕ zadane przez macierz jest iloczynem hermitowskim? i kryterium Sylvestera dla form pó ltoraliniowych 36 Standardowy iloczyn hermitowski (a 1, a,, a n ), (b 1, b,, b n ) = n i=1 a ib j Udowodnić 37 Jeśli V jest przestrzenia liniowa nad C, to przez V R oznaczamy ten sam zbiór z dziaa niem dodawania i mnożenia przez skalary rzeczywiste 38 Jeśli v, w jest iloczynem hermitowskim na V, to na V R forma (v, w) = re v, w jest iloczynem skalarnym, a ω(v, w) = im v, w jest forma symplektyczna Obie te formy sa J niezmiennicze, oraz ω(v, w) = (Jv, w) 39 Ortogonalizacja G-S w przestrzeni unitarnej: (uwaga na kolejność α i, β j ) i 1 α i, β j β i = α i β j, β j β j, j=1 γ i = 1 β i β i 310 Grupa unitarna U(n) = {A GL(C n ) A A T = I} Piszemy też A = A T, wtedy dla A U(n) mamy A 1 = A 5

6 311 W grupie GL(C n ) mamy GL(R n ) U(n) = O(n) 31 Z ortogonalizacji G-S mamy rozk lad Iwasawy KAN dla macierzy zespolonych Rozk lad ten jest jednoznaczny GL(C n ) = U(n) (R +) n {górnotrójka tne z jedynkami na przeka tnej} Operatory w przestrzeniach z iloczynem hermitowskim, [Kos, roz3 3] 313 Zak ladamy, że V = C n, rozważamy standardowy iloczyn hermitowski, M(ϕ) = I 314 A : V V jest operatorem unitarnym, jeśli zachowuje iloczyn hermitowski, tzn A(α), A(β) = α, β dla dowolnych wektorów α, β V Wtedy (gdy dim(v ) < ) mamy A = A 1 We wspó lrze dnych ortonormalnych: macierz operatora należy do O(n) ( U(n) ) 315 Ćwiczenie: A jest unitarny wtedy i tylko wtedy, gdy jest izometria, tzn zachowuje α = α, α Operatory unitarne i ortogonalne 316 Definicja operatora unitarnego/twierdzenie: V = C n - przestrzeń ze standardowym iloczynem skalarnym/hermitowskim, A End(V ) Naste puja ce warunki sa równowaźne 1) α, β V (A(α), A(β)) = (α, β) tzn A zachowuje iloczyn skalarny ) α V A(α) = α tzn A zachowuje norme 3) Macierz operatora jest unitarna A U(n), tzn A A = I 317 Wartości w lasne operatora unitarnego maja modu l Przestrzenie w lasne sa ortogonalne 319 Jeśli W V niezmiennicza, to W też niezmiennicza 30 Dla operatora unitarnego A istnieje baza unitarna, w której jego macierz jest diagonalna W zapisie macierzowym: istnieje C U(n) tż A = CDC 1, D = diag(e it 1, e it,, e itn ) 31 Dla operatora ortogonalnego f : R n R n, istnieje ( baza ortonormalna ) taka, że A = M(f) ma cos(t) sin(t) macierz blokowo-diagonalna z blokami postaci lub z blokami 1 1: (1) i (-1) sin(t) cos(t) Dowód Rozważamy przekszta lcenie unitarne f C : C n C n zadane przez ta sama macierz A Istnieje baza unitarna z lożona z wektorów w lasnych Dla wartości w lasnej µ R zak ladamy, że jeśli α jest wektorem bazowym, to α też należy do bazy (ma on wartość w lasna µ) Bierzemy baze rzeczywistej podprzestrzeni R n lin{α, α} z lóżona z wektorów β 1 = 1 (α + α), β = ortogonalna i (α α) Otrzymujemy baze 3 Ćwiczenie: Grupe izometrii zachowuja cych orientacje w Rn oznaczamy przez SO(n) Znaleźć cia g la bijekcje SO(3) RP 3 6

7 33 Ćwiczenie: Izometria R4 dana jest przez macierz Znaleźć blokowa diagonalizacje Przypomnienie: Każde izomorfizm afiniczny f : K n K n można przedstawić jako z lożenie f = tr α Df = Df tr β, gdzie tr α oznacza przesunie cie Ponadto f(γ) = α + Df(γ) = Df(β + γ), wie c α = Df(β) 35 Dowód tw (5), tzn dla każdej izometrii f Aff(R n ) znajdujemy rozk lad na produkt R n = Vi (i odpowiadaja cy mu rozk lad na ortogonalna sume prosta przestrzeni stycznych), gdzie dim V i, oraz f zachowuje ten rozk lad W każdej V i izometria f jest albo obrotem, albo symetria, albo przesunie ciem 36 Ćwiczenie: Każda izometria przestrzeni euklidesowej jest postaci tr αg = gtr α, gdzie α jest wektorem sta lym dla Df, oraz przekszta lcenie g ma punkt sta ly Powyższy rozk lad jest jednoznaczny 37 Ćwiczenie: Wiemy, że Co to za przekszta lcenie? Df = , f([0, 0, 0]) = [ 1, 7, ] Izometrie afiniczne w R 3, operatory samasprze żone, klasyfikacja kwadryk [Kos roz4 3] 41 Klasyfikacja izometrii afinicznych R 3 (symetrie, obroty, obroty z odbiciem, przesunie cia, ruch śrubowy, obrót z odbiciem, symetrie z poślizgiem) Operatory sprze żone 4 Dane jest przekszta lcenie linowe ϕ : V V przestrzeni z iloczynem hermitowskim/skalarnym Mówimy, że ψ : V V jest sprz eżone do ϕ gdy dla każdej pary wektorów α, β V mamy jeśli ψ 1 i ψ sa sprze żone do ϕ, to ψ 1 = ψ ϕ(α), β = α, ψ(β) jeśli dim V <, to operator sprze żony ψ istnieje oraz gdy M(ϕ) jest macierza ϕ w bazie unitarnej, to M(ψ) = M(ϕ) T =: M(ϕ) 7

8 Oznaczenie: ψ = ϕ Ćwiczenie: niech V = C(S 1 ), (f, g) = S 1 f(t)g(t)dt, ϕ(f) = f(a) 1, gdzie 1 jest funkcja stale równa 1 oraz a S 1 Wykazać, że ϕ nie dopuszcza żadnego operatora sprze żonego do niego Operatory samosprze żone 43 Operator ϕ jest samosprze żony (hermitowski), jeśli ϕ = ϕ We wspó lrze dnych ortonormalnych: macierz operatora jest symetryczna (ze sprze żeniem) 44 Wartości w lasne sa rzeczywiste 45 Przestrzenie w lasne sa ortogonalne 46 Jeśli W jest podprzestrzenia ϕ-niezmennicza, to W też 47 Twierdzenie spektralne Jeśli ϕ jest operatorem samosprze żonym w przestrzeni skończonego wymiaru, to istnieje baza unitarna, w której operator ma macierz diagonalna, o wyrazach rzeczywistych Rozk lad V = V λ, λ Spec(ϕ) jest ortogonalny 48 Gdy przestrzeń jest rzeczywista, to istnieje baza ortonormalna, w której operator jest diagonalny 49 Ćwiczenie: z lożenie operatorów samospre żonych jest smosprze żone wtedy i tylko wtedy gdy sa one przemienne 410 Każda rzeczywista macierz symetryczna ϕ da sie zapisać jako CDC 1, gdzie C O(n), tzn C 1 = C T, a D jest diagonalna (Zatem zarówno Aϕ jest podobne jak i kongruentne do diagonalnej) 411 To samo dla zespolonych: Jeśli ϕ = ϕ, to CDC 1, gdzie C U(n) 41 W przestrzeni nieskończenie wymiarowiej wiemy jedynie, że przestrzenie w lasne operatora samosprze żonego sa ortogonalne 413 Ćwiczenie: Niech V = C (S 1 ) Sprawdzić, że operator ϕ(f) = f jest samosprze żony Jakie jest spektrum? Udowodnić λ Spec(ϕ) V λ = {0} 414 Ćwiczenie: Podać przyk lad operatora ϕ, który jest samosprze żony oraz λ Spec(ϕ) V λ {0} 8

9 Wsk: Niech V przestrzeń funkcji na Z o skończonym nośniku V = {f : Z C M R takie, że n > M f(n) = 0 } z iloczynem hermitowskim (f, g) = n= f(n)g(n) oraz ϕ(f)(n) = 1 (f(n 1) + f(n + 1)) Kwadryki w przestrzeni euklidesowej 415 Wniosek z diagonalizacji: dla każdej macierzy symetrycznej Q istnieje macierz ortogonalna C, taka, że C T QC jest diagonalna Zatem dla danej formy kwadratowej q(x) w przestrzeni z iloczynem skalarnym Istnieje ortonormalny uk lad wspólrze dnych {y i (x)} taki, że q(x) = a i y i 416 Kierunki osi g lównych kwadryk, to kierunki w lasne stowarzyszonego operatora samosprze żonego 417 Kanoniczne formy kwadryk Każda kwadryke w przestrzeni euklidesowej można sprowadzić do postaci kanonicznej za pomoca izometrii: (1) () (3) k x i a i=1 i k x i a i=1 i k x i a i=1 i k+l x i a i=k+1 i k+l x i a i=k+1 i k+l x i a i=k+1 i = 1 (k + l n) = 0 (k + l n), = x n (k + l < n) Liczby a i w (1) to d lugości osi g lównych 418 Przyk lad: znaleźć osie g lówne kwadryki 6x + 4xy + 9y = Ćwiczenie: Sprowadzić do postaci kanonicznej za pomoca izometrii x + 4xy + 4y x + 4y = 5 40 Analiza Fouriera: V = C (S 1 ), operator ϕ(f) = f jest samospre żony Wartości w lasne to Spec(ϕ) = { k : k N {0}} V 0 = lin{ 1} V k = lin{sin(kx), cos(kx)} k=0 V k jest geste w C (S 1 ) W je zyku algebry liniowej ( k=0 V k ) = {0} 5 Operatory samosprze żone dodatniookreślone [Kos roz3, 36] 51 Przyk lad do przeliczenia Laplasjan dyskretny: V = R n = F unkcje(z n R), φ(f)(k) = 1 (f(k + 1) + f(k 1)) f(k) Udowodnić, że φ jest operatorem samosprze żonym, wartości w lasne sa ujemne, oprócz jednej, która jest równa 0 5 Nieujemnie określone operatory samosprze żone: (Bx, x) = (x, Bx) 0 Dla każdego operatora samosprze żonego nieujemnie określonego istnieje,,pierwaistek, tzn operator samosprze żony, nieujemnie określony P, taki, że P = B Na podprzestrzeni wlasnej V λ operator P jest równy λ 9

10 53 Przyk lad: B = A A dla pewnego operatora A 54 Ćwiczenie: Niech V = C (S 1 ) Sprawdzić, że operator A(f) = f jest nieujemnie określony samosprze żony Jakie jest spektrum? (Jest on postaci B B) 55 [Kos roz3, 39] Rozk lad polarny (biegunowy): każdy operator A da sie zapisać jako z lożenie Q P, gdzie Q należy do O(n) (lub U(n)), P jest nieujemnie określony Dow: Jeśli A odwracalny P = (A A) 1, Q = AP 1 QQ = (AP 1 )(P 1 A ) = A(A A) 1 A = I Dla nieodwracalniego A rozważamy A ɛ = A + ɛi Dostajemy A ɛ = Q ɛ P ɛ Można wybrać ca g ɛ n 0, taki, że Q ɛn jest zbieżny 56 Uwaga: nazwa od rozkladu polarnego liczby zespolonej (tzn dim V = 1) 57 Operator P jest jednoznacznie wyznaczony (równy (A A) 1 ), a jeśli A jest odwracalny, to Q też jest jednoznacznie wyznaczony 58,,Singular value decomposirion : Każda macierz kwadratowa można przedstawić jako B 1 DB, gdzie B 1 i B sa unitarne/ortogonalne, a D jest macierza diagonalna o rzeczywistych nieujemnych wyrazach (dodatkowo można za lóryć, że cia g wyrazów na przeka tnej jest nierosna cy) 6 Uzupe lnienia Urzeczywistnienie i kompleksyfikacja, pewne podgrupy GL n (R) [Kos roz3 4] 61 Podsumowanie twierdzeń o macierzach kwadratowych M M n n (K), dla K = C (oraaz wersje rzeczywiste) - tw Jordana - rozklad KAN dla odwracalnych M: M = KB, K U(n), B górnotrójka tna - rozk lad polarny M = KP, K U(n), P = P - diagonalizacja w bazie ortonormalnej operatorów unitarnych (blokowa nad R), - diagonalizacja w bazie ortonormalnej operatorów samosprze żonych - wartości w lasne rzeczywiste - i antysamosprze żonych (tzn gdy M = M, Ćwiczenie) - wartości w lasne urojone - rozk lad Choleskiego macierzy symetrycznych dodatnio określonych 6 Ćwiczenie: Dane 0 < k < n Niech A End(Rn ) zachowuje obje tość równoleg lościanów k- wymiarowych Pokazać, że A jest izometria 63 Ćwiczenie: Środek symetrii a kwadryki opisanej równaniem xt Qx Lx = C spe lnia równanie Qa = L T Które z kwadryk w postaci kanonicznej nie mieja lub mmaja wiele środków symetrii? 64 Operator jest rzutowaniem ortogonalnym jeśli A = A i A = A Przestrzeń V rozpada sie na sume prosta ortogonalnych przestrzeni ker(a) i im(a) 65 Twierdzenie spektralne można sformu lować tak: Każdy operator samosprze żony jest kombinacja liniowa przemiennych rzutowań ortogonalnych 10

11 66 Przestrzeń rzutowa RP n 1 można utożsamić z podzbiorem O(n) macierzy spe lniaja cych A = Id i rk(a + Id) = 1 (Prostej przypisujemy odpowiednia symetrie ) RP n 1 {A M n n (R) A = A T, A = A, tr(a) = 1 } 67 Podobnie można zanurzyć w M n n (R) zbiór wszystkich podprzestreni liniowych ustalonego wymiaru tj grassmannian Otrzymujemy zbiór dmoknie ty i ograniczony w przestrzeni afinicznej Czyli jest to zbiór zwarty Zmiana cia la bazowego 68 Urzeczywistnienie przestrzeni zespolonej V V R (zapominamy o mnożeniu przez i) 69 Struktura zespolona J : V V, J = Id 610 Jeśli w V dana baza α 1, α,, α n, to α 1, α,, α n, iα 1, iα,, iα n jest baza V R, a J ma ( ) 0 I macierz blokowa I Grupe GL n (C) utożsamiamy z podgrupa macierzy rzeczywistych n n przemiennych z J = ( ) ( ) 0 I re A im A Macierzy A GL I 0 n (C) odpowiad macierz blokowa J = GL im A re A n (R) 61 Dany automorfizm przestrzeni rzeczywistej J : W W, taki że J = Id Wtedy W jest parzystego wymiaru i w W można wrpowadzić strukture przestrzeni wektorowej nad C definiuja c (a + bi)α = aα + bj(α) Automorfizm J spe lniaja cy J = Id nazywamy struktura zespolona 613 Kompleksyfikacja przestrzeni rzeczywistej W to przestrzeń W C := W W wraz ze struktura zespolona J(α, β) = ( β, α) Zatem mnożenie przez z = a + bi zadane jest wzorem (a + bi)(α, β) = (aα bβ, aβ + bα) 614 Ćwiczenie: Dla przestrzeni zespolonej V można wskazać izomorfizm nie zależny od wyboru bazy (V R ) C V V, (gdzie V jest równe V jako zbiór, ale mnożenie przez skalar jest zadane wzorem (a + bi) v := (a bi)v 615 Przyporza dkowania V V R dla przestrzeni zespolonej (i V V C dla przestrzeni rzeczywistej) sa funktorialne, to znaczy, że dla A : V W można zdefiniować A R : V R W R, tak że (AB) R = A R B R (podobnie dla kompleksyfikacji) Ponadto mamy dla V przestrzeni liniowej nad R i W, przestrzeni liniowej nad C: L C (V C, W ) = L R (V, W R ), gdzie L K (A, B) oznacza zbiór funkcji K-liniowych A B Mówimy, że funktory V V C i W W R sa do la czone Patrz: kategorie i funktory np 11

12 616 Niech Sp n (R) oznacza podgrupe GL(R n ) automorfizmów zachowuja cych forme symplektyczna zadana przez J, ω(v, w) = v, Jw, tzn takich A, że dla każdej pary v, w R n mamy ω(ϕ(v), ϕ(w)) = ω(v, w) 617 W grupie GL n (R) mamy podgrupy O(n) = {A GL n (R) A T A = I}, Sp n (R) = {A GL n (R) A T JA = J}, GL n (C) = {A GL n (R) AJ = JA}, Przecie cie dwu z powyższych grup jest zawarte w trzeciej 618 Ćwiczenie: dla operatora zespolonego det(a R ) = det(a) 619 Jeśli v, w jest iloczynem hermitowskim na V, to na V R forma (v, w) = re v, w jest iloczynem skalarnym, a ω(v, w) = im v, w jest forma symplektyczna Obie te formy sa J niezmiennicze, oraz ω(v, w) = (Jv, w) 60 U(n) = O(n) Sp(n) = O(n) GL(C n ) = Sp(n) GL(C n ) 7 Kwaterniony [Tor V, 54-6] 71 SU() S 3 (pierwsza kolumna jest dowolnym wektorem jednostkowym w (a, b) C, a druga postaci ( b, a) 7 Niech 1 = ( ) ( ) 1 0 i 0, i =, j = i ( ) 0 1, k = 1 0 ( ) 0 i i 0 Zbiór {±1, ±i, ±j, ±k} jest grupa ze wzgle du na mnożenie macierzy: i = j = k = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j 73 Przestrzeń kwaternionów (H od Hamiltona) H = lin R {1, i, j, k} oraz kwaterniony czysto urojone imh = lin R {i, j, k} Tak jak poprzednio x oznacza x T Dla kwaternionów czysto urojonych x = x,,* nazywamy sprze żeniem kwaternionowym 74 Mamy (xy) = x y, bo to zachodzi dla bazy pochodza cej z M (C) 75 Dla x H mamy x x R + Definiujemy x = x x Dla x = a1+b i+c j+d k, a, b, c, d R mamy x = a + b + c + d 1

13 76 Mamy xy = x y 77 Algebra z dzieleniem nad K, to taka algebra nad K z jedynka, że każdy element różny od 0 jest odwracalny 78 Każdy kwaternion niezerowy jest odwracalny x 1 = x / x, czyli kwaterniony sa algebra z dzieleniem nad R 79 Twierdzenie Freudenthala (bez dowodu): Jedyne skończenie wymiarowe algebry z dzieleniem nad R to R, C i H 710 Kwaterniony o normie jeden to macierze spe lniaja ce xx = 1 Zatem to sa macierze z SU() Sta d H = R + SU() {0} 711 Iloczyn skalarny w przestrzeni kwaternionów czysto urojonych (x, y) := re(xy) 71 Przyjmujemy orientacje w imh, tak aby {i, j, k} by la baza dodatnio zorientowana Dla kwaternionów czysto urojonych mamy x y = (x, y) + x y 713 Dla dowolnego jednostkowego kwaternionu x SU() przekszta lcenie imh y xyx imh jest izometria Sta d otrzymujemy przekszta lcenie SU() SO(3) GL(imH) 714 Obrót wokó l ustalonej osi o t π podniesiony do SU() nie jest identycznościa Ale obrót o 4π podniesiony do SU() jest identycznościa (Parz w YouTubie,, pi rotation is not an identity,,,your palm is a spinor itp) 715 Geometrycznie przekszta lcenie zadane przez x = cos(t) + sin(t)l dla czysto urojonego kwaternionu jednostkowego l jest obrotem wokó l l o ka t t Dow: rachunek osobno dla y lin l i y lin l 716 Powyższe przekszta lcenie SU() SO(3) jest,,na, do 1, ja drem jest {I, I} 717 W R, C, H (i oktonionach O) sa spe lnione: 1 a a = a a = a 1 (a b) = b a 3 a + a R 1 4 re(a b) = re(b a), gdzie re zdefiniowane jako rzut na lin( 1) 5 re(a (b c)) = re((a b) c) (to jest spe lnione w H, bo kwaterniony sa la czne) Powyższe w lasności sa spe lnione w tzw algebrach Hurwitza,,composition algebra, patrz s theorem (composition algebras) Sa to skończeniewymiarowe algebry z jedynka, niekoniecznie la czne wyposażone w dodatnio określaona forme kwadratowa forme q, q(a) = a spe lniaja ca q(a b) = q(a)q(b) Forma kwadratowa zadaje iloczyn skalarny, sprze żenie jest zdefiniowane jako symetria wzgle dem lin( 1), cze ść rzeczywista re(a) 13

14 to rzutowanie na lin( 1) Czyli wszystko jest zdefiniowane za pomoca formy kwadratowej Ponadto (ab, ab) = (a, a)(b, b) (a, b)(c, d) = (ac, bd) + (ad, bc) Tw Hurwitza mówi, że jedyne algebry Hurwitza z dzieleniem nad R (z dok ladnościa do izomorfizmu) to R, C, H i O 718 Dodatek: Zwia zki z polami wektorowymi na sferze: jeśli w R n+1 jest struktura algebry z dzieleniem, to na S n jest n liniowo niezależnych pól: Dow Wybieramy iloczyn skalarny w R n+1 Niech 1 R n+1 be dzie jedynka algebry Dobieramy elementy v 1, v,, v n stanowia ce baze lin{ 1} Wtedy dla każdego g S n elementy g, gv 1, gv,, gv n stanowia baze R n+1 Niech π g be dzie rzutowaniem na lin{g} Wektory v i (g) = π g (gv i ) dla i = 1,, n stanowia baze lin{g} To sa pola wektorowe na S n, cia g le w zależności od g S n i liniowo niezależne Z tw o zaczesywaniu sfery S (nie ma ani jednego nigdzie nie znikaja cego pola) widzimy, że w R 3 nie ma struktury algebry z dzieleniem 8 Nieokreślone formy kwadratowe i ich grupy automorfizmów [Kos roz4 4] 81 Jeśli forma kwadrarowa określona przez symetryczna macierz B, to automorfizmami tej formy sa przekszta lcenia liniowe o mocierzy A spe lniaja cej A T BA = B 8 Przestrzenie z forma kwadratowa typu (m, n), grupy O(m, n), SO(m, n), SO(m, n) + 83 Ćwiczenie istnieje cia g la bijekcja O(m, n) O(m) O(n) Rmn (Jeśli m 0 i n 0, to grupa O(m, n) ma 4 sk ladowe spójne) 84 Jeśli za lożyć, że nie możemy poruszać sie pre dzej niż świat lo, to nie możemy przekroczyć horyzontu zdarzeń be da cego brzegiem obszaru x < c t Horyzont zdarzeń jest opisany równaniem kwadratowym q(t, x) = c t x 1 x x 3 = 0 Zmiany uk ladu wspó lrze dnych typu x = f(x)+a t (uk lad poruszaja cy sie ) musza zachowywać horyzont zdarzeń Jeśli a = 0, to f ma być izometria Sugeruje to, że powinniśmy rozważać przekszta lcenia liniowe czasoprzestrzeni zachouja ce forme kwadratowa q Dla uproszczenia przyjmujemy c = 1 Grupa O(1, 1) 85 Najpierw rozważmy przestrzeń jednowymiarowa, czyli czasoprzestreń ze wspó lrze dnymi (t, x) z ( ) t y forma kwadratowa t x Grupa O(1, 1) sk lada sie z macierzy postaci, takich, że t x z x = 1 oraz (t, x) = ±(z, y) Można przyja c u = ± cosh(λ), v = ± sinh(λ) 86 SO(1, 1) = { A = ( a 1 +a a 1 a a 1 a a 1 +a ) : a R }, SO(1, 1) + = { A = ( a 1 +a a 1 a a 1 a a 1 +a ) : a > 0 } 87 Wniosek SO(1, 1) + R z dzia laniem dodawania 14

15 ( ) ( ) t Niech = A Pre x 0 0 dkość definiujemy jako v := x 0 t 0 = a 1 a a 1 +a = a 1 Mamy v < 1 =: c a +1 1 v Sta d a = 1+v, a+a 1 = 1, a a 1 1 v = v 1 v ( ) cosh(λ) sinh(λ) (Inny punkt widzenia: Jeśli A =, to v = tanh(λ); oraz tanh(α) wyznacza macierz sinh(λ) cosh(λ) A) x ( t x ( 1 1 v v v 1 v 1 1 v ) ( t0 ) ( ) 1 = A 0 89 Zatem A =, gdzie v = x 0 /t 0, 1 v x 0 ( ) ) t Jeśli = A to wspó lrze dne (t, x ) możemy wyrazić za pomoca (x, t) oraz v: t = t + vx, 1 v x = x + vt, 1 v lub odwrotnie t = t vx 1 v, x = x vt 1 v 810 Ćwiczenie: Jeśliby c 1, forma kwadratowa c t x, to t = t + vx/c 1 v /c, x = x + vt 1 v /c 811 Odleg lość zmienia sie zgodnie ze wzorem x 1 x = x 1 x 1 v gdy t 1 = t 81 Podobnie czas t 1 t = t 1 t 1 v gdy x 1 = x 813 Jeśliby c 1, to x 1 x = x 1 x, 1 v /c t 1 t = t 1 t 1 v /c 814 Ćwiczenie: wyprowadzić wzór na sk ladanie pre dkości v = v 1+v 1+v 1 v /c 9 Grupa Lorentza 91 Czasoprzestrzeń R 4 z forma typu (1, 3) Badamy grupe SO(1, 3) + to sk ladowa identyczności SO(3, 1) (te przekszta lcenia, które dadza sie w sposób cia g ly zdeformować do Id (Inna nazwa: w laściwa grupa Lorenza) 9 Niech V M( ; C) zbiór macierzy hermitowsko symetrycznych tzn X = X, ( ) t + x1 x X = ix 3 x + ix 3 t x 1 Forma kwadratowa: q(a) = det(a) = t x 1 x x 3 Utożysamiamy czasoprzestrzeń ze zbiorem operatorów samospre żonych w C 93 Przestrzeń V rozpada sie na podzbiory zachowywane przez SO(1, 3) + zera formy q( ) = det( ), czyli macierze zdegenerowane Fizycy mówia na to,,stożek świat la q(a) < 0 tzn tam wartości w lasne X maja różne znaki dwie sk ladowe q(a) > 0 tzn tam wartości w lasne X maja takie same znaki (stożek dodatni i ujemny) 15

16 {( )} Oś czasowa V to V t = lin, a cze 0 1 ść przestrzenna to {( ) 1 0 V x = lin, 0 1 ( ) 0 i, i 0 ( )} (to sa macierze Pauliego, mnoża c przez i dostajemy bazowe kwaterniony) 95 Cze ść przestrzenna jest opisana równaniem t = 1 tr(x) = 0 96 Grupa SL (C) dzia la na V przez: A X := AXA Podgrupa SU() zachowuje wspó lrze dna czasowa Odpowiada to zamianom uk ladu wspó lrzednych z pre dkościa 0 Dow: tr(axa ) = tr(xa A) = tr(x) dla każdego X 97 Jeśli A zachowuje wspó lrze dna czasowa t, to A SU() (Z równości A IA RI wynika, że A A = I, wie c A SU()) 98 To dzia lanie zgadza sie z dzia laniem na imh = i V x SU() SL (C) 99 Twierdzenie: Mamy izomorfizm L + := SO(1, 3) + SL (C)/{±I} imh i 1 V oraz SL (C)/{±I} GL (C)/C =: P GL (C) przekszta lcenia rzutowe 910 Pierwsza cze ść twierdzenia jest równoważna z: Otrzymane odwzorowanie SL (C) SO(1, 3) + jest,,na, do 1, ker = {±I} 1) Sprawdzamy, że ja dro tego odwzorowania, to ±I: ker = {A SL (C) : X V AXA = X}, biora c X = I widzimy, że A SU(), i dalej korzystamy z tego jak wygl:ada odwzorowanie SU() SO(3) ) Liczymy wymiar grupy: tzn liczymy stopnie swobody W obu grupach wychodzi 6 i korzystamy z ogólnej w lasności grup (grup Liego): jeśli grupy maja równy wymiar, a ja dro odwzorownia jest skończone, to obraz zawiera ca la sk ladowa identyczności (Nie dowodzimy tego twierdzenia, elementarny dowód epimorficzności może być traktowane jako Ćwiczenie) 16