Testowanie hipotez statystycznych

Transkrypt

1 Część 2

2 Hipoteza złożona Testowanie hipotez łącznych Zapis matematyczny Rozkład statystyki testowej Hipoteza łączna H 0 : Rβ = q

3 Hipoteza złożona Testowanie hipotez łącznych Zapis matematyczny Rozkład statystyki testowej Hipoteza łączna H 0 : Rβ = q W praktyce testuje się hipotezę H 0 : Rβ q = 0 przeciwko alternatywie H 1 : Rβ q 0

4 Przykładowe ograniczenia Zapis matematyczny Rozkład statystyki testowej 1 Jeden ze współczynników wektora β jest równy zero, β j = 0. R = [ ], q = 0

5 Przykładowe ograniczenia Zapis matematyczny Rozkład statystyki testowej 1 Jeden ze współczynników wektora β jest równy zero, β j = 0. R = [ ], q = 0 2 Dwa współczynniki równania regresji są sobie równe, β j = β k : R = [ ], q = 0

6 Przykładowe ograniczenia Zapis matematyczny Rozkład statystyki testowej 1 Jeden ze współczynników wektora β jest równy zero, β j = 0. R = [ ], q = 0 2 Dwa współczynniki równania regresji są sobie równe, β j = β k : R = [ ], q = 0 3 Kilka współczynników równania regresji sumuje się do liczby k, β 2 + β 3 + β 4 = k: R = [ ], q = k

7 Przykładowe ograniczenia Zapis matematyczny Rozkład statystyki testowej 4 Kilka współczynników równania regresji jest równych zero, β 1 = 0, β 2 = 0, β 3 = 0: R = q =

8 Przykładowe ograniczenia Zapis matematyczny Rozkład statystyki testowej 4 Kilka współczynników równania regresji jest równych zero, β 1 = 0, β 2 = 0, β 3 = 0: R = q = Kilka ograniczeń liniowych nałożonych na współczynniki regresji, β 2 + β 3 = 1, β 4 + β 6 = 0, β 5 + β 6 = R = q =

9 Przykładowe ograniczenia Zapis matematyczny Rozkład statystyki testowej 4 Kilka współczynników równania regresji jest równych zero, β 1 = 0, β 2 = 0, β 3 = 0: R = q = Kilka ograniczeń liniowych nałożonych na współczynniki regresji, β 2 + β 3 = 1, β 4 + β 6 = 0, β 5 + β 6 = R = q = Wszystkie współczynniki modelu są równe zero.

10 Ograniczenia parametrów Zapis matematyczny Rozkład statystyki testowej Równanie zarobków ln(zarobki) = β 0 + β 1 plec + β 2 wiek + β 3 wiek2 + ε

11 Ograniczenia parametrów Zapis matematyczny Rozkład statystyki testowej Równanie zarobków ln(zarobki) = β 0 + β 1 plec + β 2 wiek + β 3 wiek2 + ε Testujemy hipotezę o braku wpływu wieku na wysokość zarobków { β2 = 0 H 0 : β 3 = 0

12 Ograniczenia parametrów Zapis matematyczny Rozkład statystyki testowej Równanie zarobków ln(zarobki) = β 0 + β 1 plec + β 2 wiek + β 3 wiek2 + ε Testujemy hipotezę o braku wpływu wieku na wysokość zarobków { β2 = 0 H 0 : β 3 = 0 W tym przypadku macierz ograniczeń ma następującą postać [ ] [ ] R = q =

13 Ograniczenia parametrów Zapis matematyczny Rozkład statystyki testowej Funkcja produkcji Cobb-Douglasa y = β 0 + β 1 l + β 2 k + ε

14 Ograniczenia parametrów Zapis matematyczny Rozkład statystyki testowej Funkcja produkcji Cobb-Douglasa y = β 0 + β 1 l + β 2 k + ε Testujemy hipotezę o stałych przychodach skali H 0 : { β 1 + β 2 = 1

15 Ograniczenia parametrów Zapis matematyczny Rozkład statystyki testowej Funkcja produkcji Cobb-Douglasa y = β 0 + β 1 l + β 2 k + ε Testujemy hipotezę o stałych przychodach skali H 0 : { β 1 + β 2 = 1 W tym przypadku macierz ograniczeń ma następującą postać R = [ 1 1 ] q = 1

16 Zapis matematyczny Rozkład statystyki testowej Ograniczenia na parametry modelu m = Rβ q

17 Zapis matematyczny Rozkład statystyki testowej Ograniczenia na parametry modelu m = Rβ q Rozkład wektora ograniczeń m N (E(Rβ q), RΣ b R )

18 Zapis matematyczny Rozkład statystyki testowej Ograniczenia na parametry modelu m = Rβ q Rozkład wektora ograniczeń m N (E(Rβ q), RΣ b R ) m N (0, RΣ b R )

19 Statystyka testu Walda Zapis matematyczny Rozkład statystyki testowej W = m (RΣ b R )m = (Rb q) [R(X X ) 1 R ] 1 (Rb q) σ 2 χ 2 J

20 Statystyka testu Walda Zapis matematyczny Rozkład statystyki testowej W = m (RΣ b R )m = (Rb q) [R(X X ) 1 R ] 1 (Rb q) σ 2 χ 2 J ((Rb q) [R(X X ) 1 R ] 1 (Rb q))/j e e N k F J,N k

21 Wyprowadzenie Testowanie hipotez łącznych Estymator Regresja podzielona Maksymalizujemy warunek min b R (y X b) (y X b) pw. Rb R = q

22 Wyprowadzenie Testowanie hipotez łącznych Estymator Regresja podzielona Maksymalizujemy warunek min b R Funkcja Lagrange a (y X b) (y X b) pw. Rb R = q L(b R ) = (y X b R ) (y X b R ) λ (Rb R q)

23 Estymator Regresja podzielona Własności estymatora z ograniczeniami Estymator z ograniczeniami b R = b (X X ) 1 R [R(X X ) 1 R ] 1 (Rb q)

24 Estymator Regresja podzielona Własności estymatora z ograniczeniami Estymator z ograniczeniami b R = b (X X ) 1 R [R(X X ) 1 R ] 1 (Rb q) Wariancja estymatora z ograniczeniami var(b R ) = var(b) (X X ) 1 R [R(X X ) 1 R ] 1 (X X ) 1 σ 2

25 Estymator Regresja podzielona Reszty przy ograniczeniach e R = e + (X X ) 1 R [R(X X ) 1 R ] 1 (Rb q)

26 Estymator Regresja podzielona Reszty przy ograniczeniach e R = e + (X X ) 1 R [R(X X ) 1 R ] 1 (Rb q) Oszacowanie wariancji e R e R = e e + (Rb q) [R(X X ) 1 R ] 1 (Rb q)

27 Estymator Regresja podzielona Reszty przy ograniczeniach e R = e + (X X ) 1 R [R(X X ) 1 R ] 1 (Rb q) Oszacowanie wariancji e R e R = e e + (Rb q) [R(X X ) 1 R ] 1 (Rb q) Po wstawieniu warunku do wzoru na statystykę F F = (e R e R e e)/j e e/(n k)

28 Regresja podzielona Testowanie hipotez łącznych Estymator Regresja podzielona Zapiszmy podzieloną regresję y = X β + ε = X 1β 1 + X 2β 2 + ε

29 Regresja podzielona Testowanie hipotez łącznych Estymator Regresja podzielona Zapiszmy podzieloną regresję y = X β + ε = X 1β 1 + X 2β 2 + ε Estymator dla β 1 wynosi b 1 = (X 1M X2 X 1 ) 1 X 1M X2 y

30 Estymator Regresja podzielona y = X 1 β 1 + ε 1 (1) y = X 1 β 1 + X 2 β 2 + ε 2 (2)

31 Estymator Regresja podzielona y = X 1 β 1 + ε 1 (1) y = X 1 β 1 + X 2 β 2 + ε 2 (2) Wnioski

32 Estymator Regresja podzielona Source SS df MS Number of obs = F( 16, 16145) = Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = lzarobki Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] _Iplec_ wiek wiek _Iwyksztal~ _Iwyksztal~ _Iwyksztal~ _Iwyksztal~ _Iwyksztal~ _Iwyksztal~ _Iklm_12_ _Iklm_12_ _Iklm_12_ _Iklm_12_ _Iklm_12_ _Iklm_12_ _Iklm_12_ _cons

33 Estymator Regresja podzielona Weryfikujemy hipotezę o braku wpływu wieku na zarobki. test wiek + wiek2=0 ( 1) wiek + wiek2 = 0 F( 1, 16145) = Prob > F =

34 Estymator Regresja podzielona Weryfikujemy hipotezę o braku wpływu wieku na zarobki. test wiek + wiek2=0 ( 1) wiek + wiek2 = 0 F( 1, 16145) = Prob > F = Weryfikujemy hipotezę o braku wpływu miejsca zamieszkania na zarobki. test _Iklm_12_1 _Iklm_12_2 _Iklm_12_3 _Iklm_12_4 _Iklm_12_5 _Iklm_12_6 _Iklm_12_9 ( 1) _Iklm_12_1 = 0 ( 2) _Iklm_12_2 = 0 ( 3) _Iklm_12_3 = 0 ( 4) _Iklm_12_4 = 0 ( 5) _Iklm_12_5 = 0 ( 6) _Iklm_12_6 = 0 ( 7) _Iklm_12_9 = 0 F( 7, 16145) = Prob > F =

35 Estymator Regresja podzielona Constrained linear regression Number of obs = F( 15, 16146) = Prob > F = ( 1) wiek + wiek2 = 0 Root MSE = lzarobki Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] _Iplec_ wiek e wiek e _Iwyksztal~ _Iwyksztal~ _Iwyksztal~ _Iwyksztal~ _Iwyksztal~ _Iwyksztal~ _Iklm_12_ _Iklm_12_ _Iklm_12_ _Iklm_12_ _Iklm_12_ _Iklm_12_ _Iklm_12_ _cons

36 Estymator Regresja podzielona RSS U =

37 Estymator Regresja podzielona RSS U = RSS R =

38 Estymator Regresja podzielona RSS U = RSS R = więc wartość statystyki F wynosi F = (e R e R e e)/j e e/(n k) = ( )/ /