, a reszta dla pominiętej obserwacji wynosi 0, RSS jest stałe, T SS rośnie, więc zarówno R 2 jak i R2 rosną. R 2 = 1 n 1 n. rosnie. n 2 (1 R2 ) = 1 59

Transkrypt

1 Zadanie 1. Ekonometryk szacując funkcję konsumpcji przeprowadził estymację osobno dla tzw. Polski A oraz Polski B. Dla Polski A posiadał n 1 = 40 obserwacji i uzyskał współczynnik dopasowania RA 2 = 0.4, dla Polski B odpowiednio n 2 = 60 oraz RB 2 = 0.7. Wiadomo również, że wariancja konsumpcji w Polsce A jest 3 razy większa niż w Polsce B Po przeprowadzeniu obliczeń zorientował się że przypadkowo pominął jedną obserwację dla Polski B. Pasuje ona do prostej regresji, po jej dołączeniu całkowita suma kwadratów rośnie o 2%. (a) Jak dodanie obserwacji wpłynie na wielkość R 2 oraz R 2 (b) Oblicz prawidłowe wartości R 2 oraz R 2 dla Polski B. (c) Jaką wartość będzie miał współczynnik R 2 oraz R 2, jeżeli funkcja konsumpcji zostanie oszacowana na podstawie modelu: C = α A + β A Y + α A D + β B Y D + ξ gdzie zmienna indykatorowa D wskazuje na osoby z Polski B. (d) Następnie ekonometryk połączył obie próby i oszacował funkcję konsumpcji dla całej Polski. W jaki sposób można obliczyć R 2 w tym modelu? (e) W jaki sposób dysponując wynikami czterech powyższych modeli można sprawdzić czy krańcowa skłonność do konsumpcji w całej Polsce jest identyczna? Rozwiązanie (a) Ponieważ R 2 = 1 RSS T SS, a reszta dla pominiętej obserwacji wynosi 0, RSS jest stałe, T SS rośnie, więc zarówno R 2 jak i R2 rosną. R 2 = 1 n 1 } n {{ k } RSS } T{{ SS} maleje maleje } {{ } rosnie (b) R 2 = = 0.706, R2 = 1 n 1 n 2 (1 R2 ) = (0.294) = (c) Szacujemy osobne modele za pomocą jednego równania, wobec tego: T SS C = T SS A + T SS B = 4T SS B ; RSS A = 0.6T SS A = 1.8T SS B ; RSS B = 0.3T SS B ; RSS C = RSS A + RSS B = 2.14T SS B ; R 2 C = = (d) Nie da się, ponieważ nie jest znana całkowita suma kwadratów oraz resztowa suma kwadratów tak utworzonego modelu. (e) Mając wyniki regresji z punktu (c) należy zdefiniować macierz ograniczeń R = [0, 1, 0, 1] i obliczyć statystykę Walda, ze wzoru: (Rb q) [σ 2 R(X X) 1 R ] 1 (Rb q) i porównać ją z wartością krytyczną z rozkładu χ 2 (2), lub F (2, 96)

2 Zadanie 1. Ekonometryk szacując funkcję konsumpcji przeprowadził estymację osobno dla tzw. Polski A oraz Polski B. Dla Polski A posiadał n 1 = 40 obserwacji i uzyskał współczynnik dopasowania RA 2 = 0.5, dla Polski B odpowiednio n 2 = 60 oraz RB 2 = 0.8. Wiadomo również, że wariancja konsumpcji w Polsce A jest 3 razy większa niż w Polsce B Po przeprowadzeniu obliczeń zorientował się że przypadkowo pominął jedną obserwację dla Polski B. Pasuje ona do prostej regresji, po jej dołączeniu całkowita suma kwadratów rośnie o 2%. (a) Jak dodanie obserwacji wpłynie na wielkość R 2 oraz R 2 (b) Oblicz prawidłowe wartości R 2 oraz R 2 dla Polski B. (c) Jaką wartość będzie miał współczynnik R 2 oraz R 2, jeżeli funkcja konsumpcji zostanie oszacowana na podstawie modelu: C = α A + β A Y + α A D + β B Y D + ξ gdzie zmienna indykatorowa D wskazuje na osoby z Polski B. (d) Następnie ekonometryk połączył obie próby i oszacował funkcję konsumpcji dla całej Polski. W jaki sposób można obliczyć R 2 w tym modelu? (e) W jaki sposób dysponując wynikami czterech powyższych modeli można sprawdzić czy krańcowa skłonność do konsumpcji w całej Polsce jest identyczna? Rozwiązanie (a) Ponieważ R 2 = RSS T SS, a reszta dla pominiętej obserwacji wynosi 0, RSS jest stałe, T SS rośnie, więc zarówno R 2 jak i R2 rosną. R 2 = 1 n 1 } n {{ k } RSS } T{{ SS} maleje maleje } {{ } rosnie (b) R 2 = = 0.804, R2 = 1 n 1 n 2 (1 R2 ) = (0.196) = (c) Szacujemy osobne modele za pomocą jednego równania, wobec tego: T SS C = T SS A + T SS B = 4T SS B ; RSS A = 0.5T SS A = 1.5T SS B ; RSS B = 0.2T SS B ; RSS C = RSS A + RSS B = 1.74T SS B ; R 2 C = = (d) Nie da się, ponieważ nie jest znana całkowita suma kwadratów oraz resztowa suma kwadratów tak utworzonego modelu. (e) Mając wyniki regresji z punktu (c) należy zdefiniować macierz ograniczeń R = [0, 1, 0, 1] i obliczyć statystykę Walda, ze wzoru: (Rb q) [σ 2 R(X X) 1 R ] 1 (Rb q) i porównać ją z wartością krytyczną z rozkładu χ 2 (2), lub F (2, 96)

3 Zadanie 2. Na podstawie danych pochodzących z badania Diagnoza Społeczne 2005 zbudowano Klasyczny Model Regresji Liniowej wyjaśniający poziom dochodów za pomocą płci (1-mężczyzna), wykształcenia, wieku i zmiennej indykatorowej oznaczającej mieszkanie w dużym mieście. Oszacowano następujący model: dochody n = stala + β 1 plec + β 2 wyzsze + β 3 srednie + β 4 wiek + β 5 dmiasto + ε n Otrzymano następujące oszacowania parametrów wektora β: stala β1 β2 β3 β4 β oraz ich macierz wariancji-kowariancji: Covariance matrix of coefficients of regress model e(v) wiek plec srednie wyzsze dmiasto _cons wiek plec srednie wyzsze dmiasto _cons Uzupełnij brakujące wielkości w poniższej tabeli, a następnie oceń poprawność modelu analizując wyniki testów istotności i łącznej istotności wyestymowanych parametrów. Dokonaj interpretacji wyników poszczególnych testów, oraz oszacowań współczynników wektora β, oraz przeprowadź testy na wpółliniowość. Obliczenia należy przeprowadzić z dokładnością do 4 miejsca po przecinku. Source SS df MS Number of obs = F( 5, 3059) = Model Prob > F = Residual e R-squared = Adj R-squared = Total e Root MSE = dochody Coef. Std. Err. t Partial R^2 VIF wiek plec srednie wyzsze dmiasto _cons

4 Zadanie 2. Na podstawie danych pochodzących z badania Diagnoza Społeczne 2005 zbudowano Klasyczny Model Regresji Liniowej wyjaśniający poziom dochodów za pomocą płci (1-mężczyzna), wykształcenia, wieku i zmiennej indykatorowej oznaczającej mieszkanie w dużym mieście. Oszacowano następujący model: dochody n = stala + β 1 plec + β 2 wyzsze + β 3 srednie + β 4 wiek + β 5 dmiasto + ε n Otrzymano następujące oszacowania parametrów wektora β: stala β1 β2 β3 β4 β oraz ich macierz wariancji-kowariancji: Covariance matrix of coefficients of regress model e(v) wiek plec srednie wyzsze dmiasto _cons wiek plec srednie wyzsze dmiasto _cons Uzupełnij brakujące wielkości w poniższej tabeli, a następnie oceń poprawność modelu analizując wyniki testów istotności i łącznej istotności oszacowanych wielkości parametrów. Dokonaj interpretacji wyników poszczególnych testów, oraz oszacowań współczynników wektora β, oraz przeprowadź testy na współliniowość. Obliczenia należy przeprowadzić z dokładnością do 4 miejsca po przecinku. Source SS df MS Number of obs = F( 5, 3111) = Model Prob > F = Residual e R-squared = Adj R-squared = Total e Root MSE = dochody Coef. Std. Err. t Partial R^2 VIF wiek plec srednie wyzsze dmiasto _cons

5 Zadanie 3. Badasz wpływ różnych czynników na wynagrodzenia tłumaczy, absolwentów lingwistyki UW. Każdy z mich ukończył również jedną z trzech prywatnych szkół podyplomowych kształcących tłumaczy. Dysponujemy danymi o wynagrodzeniu tłumacza wyn, jego płci, język w jakim się dany tłumacz specjalizuje (angielski, hiszpański) jezyk, szkole, w której odbywał naukę podyplomową szkola [=1 - szkoła pod wezwaniem, w szkole nauka trwa 2 semestry (10 miesięcy); 2 - szkoła bez wezwania, w tej szkole nauka trwa 3 semestry(15 miesięcy); 3 - szkoła niezależna nauka trwa 4 semestry (20 miesięcy)], oraz przeciętnej ilości godzin jaką tłumacz poświęcał w szkole podyplomowej na naukę języka czas. Do konstrukcji modelu należy wykorzystać za każdym razem wszystkie zmienne. Najwyżej cenione będą odpowiedzi używające jak najmniejszej ilości zmiennych dodatkowych. (a) Zapisz model umożliwiający sprawdzenie, czy dodatkowa godzina przeciętnego miesięcznego czasu poświęconego na naukę, przynosi taką samą procentową zmianę wynagrodzenia absolwentom każdej z trzech szkół. Zaproponuj sposób testowania tej hipotezy. (b) Można wskazać, że szkoły nie różnią się jakością lektorów i tego jak uczą swoich studentów. Zaproponuj model, w którym wynagrodzenie zależy od całkowitego czasu poświęconego na naukę w szkole podyplomowej, a nie od tego, która to szkoła, ani ile semestrów trwa w niej nauka. (c) Dodatkowo, dysponujesz informacją, że prawdopodobnie kobiety, a w szczególności te, które uczą się hiszpańskiego, mniej efektywnie przyswajają wiedzę ponieważ, bardzo przystojni latynoamerykańscy lektorzy dekoncentrują je. Zapisz taki model, w ramach, którego można będzie przetestować taką hipotezę. (d) Iloma obserwacjami musisz dysponować, aby najbardziej rozbudowany model miał co najmniej 50 stopni swobody. Podaj minimalną możliwą liczbę wraz z uzasadnieniem. (e) Załóżmy, że zmienna czas nie jest dostępna. Różnice w wynagrodzeniu pomiędzy absolwentami różnych szkół mogą wynikać, nie z jakości nauczania, w tych szkołach, a z różnic w długości kształcenia absolwentów (w semestrach). Przedstaw sposób testowania takiej hipotezy.

6 Zadanie 3. Badasz wpływ różnych czynników na wynagrodzenia tłumaczy, absolwentów lingwistyki UW. Każdy z mich ukończył również jedną z trzech prywatnych szkół podyplomowych kształcących tłumaczy. Dysponujemy danymi o wynagrodzeniu tłumacza wyn, jego płci, język w jakim się dany tłumacz specjalizuje (angielski, hiszpański) jezyk, szkole, w której odbywał naukę podyplomową szkola [=1 - szkoła pod wezwaniem, w szkole nauka trwa 2 semestry (10 miesięcy); 2 - szkoła bez wezwania, w tej szkole nauka trwa 3 semestry(15 miesięcy); 3 - szkoła niezależna nauka trwa 4 semestry (20 miesięcy)], oraz przeciętnej ilości godzin jaką tłumacz poświęcał w szkole podyplomowej na naukę języka czas. Do konstrukcji modelu należy wykorzystać za każdym razem wszystkie zmienne. Najwyżej cenione będą odpowiedzi używające jak najmniejszej ilości zmiennych dodatkowych. (a) Zapisz model umożliwiający sprawdzenie, czy dodatkowa godzina przeciętnego semestralnego czasu poświęconego na naukę, przynosi taką samą procentową zmianę wynagrodzenia absolwentom każdej z trzech szkół. Zaproponuj sposób testowania tej hipotezy. (b) Można wskazać, że szkoły nie różnią się jakością lektorów i tego jak uczą swoich studentów. Zaproponuj model, w którym wynagrodzenie zależy od całkowitego czasu poświęconego na naukę w szkole podyplomowej, a nie od tego, która to szkoła, ani ile semestrów trwa w niej nauka. (c) Dodatkowo, dysponujesz informacją, że prawdopodobnie mężczyźni, a w szczególności ci, którzy uczą się angielskiego, mniej efektywnie przyswajają wiedzę ponieważ, bardzo lektorzy dyskutują z nimi o futbolu. Zapisz taki model, w ramach, którego można będzie przetestować taką hipotezę. (d) Iloma obserwacjami musisz dysponować, aby najbardziej rozbudowany model miał co najmniej 50 stopni swobody. Podaj minimalną możliwą liczbę wraz z uzasadnieniem. (e) Załóżmy, że zmienna czas nie jest dostępna. Różnice w wynagrodzeniu pomiędzy absolwentami różnych szkół mogą wynikać, nie z jakości nauczania, w tych szkołach, a z różnic w długości kształcenia absolwentów (w semestrach). Przedstaw sposób testowania takiej hipotezy.

7 Zadanie 4. Dysponując danymi dotyczącymi liczby zatrudnionych L i wartości kapitału K w gospodarce należy oszacować parametry modelu analizującego zmiany produkcji przemysłowej. Teoria podpowiada, że przydatna może być funkcja Cobb-Douglasa (a) Zaproponuj model wykorzystujący powyższą formę funkcyjną, tak, aby można było go estymować w ramach KMRL. (b) Posługując się poniższym wydrukiem zdecyduj o istotności parametrów w modelu na poziomie istotności 5% i 10%, oraz dokonaj ich interpretacji ekonomicznej. Zastanów się, czy i w jaki sposób zmieni się wynik testowania istotności statystycznej zmiennych, jeśli do konstrukcji hipotez testowych wykorzystasz wiedze ekonomiczną. Uzasadnij Swoją odpowiedź. Source SS df MS Number of obs = F( 2, 197) =. Model Prob > F =. Residual R-squared = Adj R-squared =. Total Root MSE = produkcja Coef. p-value _ kapitał* zatrudnienie* cons* gdzie: * - zmienne, lub pewne ich przekształcenia (c) Przetestuj hipotezę o stałych korzyściach skali. Zapisz hipotezę zerowa i alternatywną oraz statystykę testową i jej rozkład. Opisz jak przeprowadzisz ten test. (d) Zaproponuj sposób reparametryzacji modelu w oparciu o podaną w treści specyfikację w przypadku, kiedy nie dysponujemy danymi dotyczącymi wielkości kapitału. W zamian możemy wykorzystać informacje dotyczące wysokości stopy procentowej, którą uważa się za krańcową produkcyjność kapitału (dy/dk).

8 Zadanie 4. Dysponując danymi dotyczącymi liczby zatrudnionych L i wartości kapitału K w gospodarce należy oszacować parametry modelu analizującego zmiany produkcji przemysłowej. Teoria podpowiada, że przydatna może być funkcja Cobb-Douglasa (a) Zaproponuj model wykorzystujący powyższą formę funkcyjną, tak, aby można było go estymować w ramach KMRL. (b) Posługując się poniższym wydrukiem zdecyduj o istotności parametrów w modelu na poziomie istotności 5% i 10%, oraz dokonaj ich interpretacji ekonomicznej. Zastanów się, czy i w jaki sposób zmieni się wynik testowania istotności statystycznej zmiennych, jeśli do konstrukcji hipotez testowych wykorzystasz wiedze ekonomiczną. Uzasadnij Swoją odpowiedź. Source SS df MS Number of obs = F( 2, 197) =. Model Prob > F =. Residual R-squared = Adj R-squared =. Total Root MSE = produkcja Coef. p-value _ kapitał* zatrudnienie* cons* gdzie: * - zmienne, lub pewne ich przekształcenia (c) Przetestuj hipotezę o stałych korzyściach skali. Zapisz hipotezę zerowa i alternatywną oraz statystykę testową i jej rozkład. Opisz jak przeprowadzisz ten test. (d) Zaproponuj sposób reparametryzacji modelu w oparciu o podaną w treści specyfikację w przypadku, kiedy nie dysponujemy danymi dotyczącymi wielkości kapitału. W zamian możemy wykorzystać informacje dotyczące wysokości stopy procentowej, którą uważa się za krańcową produkcyjność kapitału (dy/dk).