Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 12

Transkrypt

1 Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 1 1

2 1. Testy diagnostyczne Testowanie stabilności parametrów modelu: test Chowa. Heteroskedastyczność Konsekwencje Testowanie heteroskedastyczności

3 1. Testy diagnostyczne Testowanie stabilności parametrów modelu: test Chowa. Heteroskedastyczność Konsekwencje Testowanie heteroskedastyczności

4 - Test Chowa: Służy do weryfikacji czy parametry modelu będą takie same dla kilku różnych podpróbek H : m - parametry są takie same w podpróbkach H 1 : r s - parametry różnią się w podpróbkach

5

6

7 Związek pomiędzy zmienną zależną a zmiennymi niezależnymi opisany jest równaniem: y i 1 xi 3x3 i K xki i i 1,, 3 n

8 podważa interpretacje ekonomiczną modelu (interpretacja oszacowanych parametrów) Odrzucenie hipotezy zerowej o tym, że parametry są stabilne niemożliwe udowodnienie własności estymatora MNK (nieobciążoność czy efektywność estymatora MNK )

9 W jaki sposób można rozwiązać problemy zasygnalizowane przez wynik testu? Problem niestabilności parametrów można rozwiązać poprzez: wprowadzenie do modelu interakcji pomiędzy zmiennymi 0-1 związanymi z podziałem na grupy a odpowiednimi zmiennymi objaśniającymi (w przypadku gdy jedynie część parametrów jest różna dla analizowanych podprób) estymacje osobnych regresji na wyodrębnionych podpróbach 9

10 1. Testy diagnostyczne Testowanie stabilności parametrów modelu: test Chowa. Heteroskedastyczność Konsekwencje Testowanie heteroskedastyczności

11 Przypomnienie: Co to znaczy, że w modelu występuje homoskedastyczność/heteroskedastyczność? - heteroskedastyczność ) ( ), ( ), ( ), ( ) ( ), ( ), ( ), ( ) ( ) ( n n n n n n Var Cov Cov Cov Var Cov Cov Cov Var Var

12 Stałość wariancji zaburzeń nazywamy homoskedastycznością zaburzeń. Oznacza to, że zaburzenia losowe są jednakowo rozproszone wokół zerowej wartości oczekiwanej. Jeśli wariancje nie byłyby jednakowe, to sytuację taką nazywamy heteroskedastycznością. y Rys.1. Heteroskedastyczność x

13 Reszty Oznacza to, że zaburzenia losowe są jednakowo rozproszone wokół zerowej wartości oczekiwanej. Reszty 0 0 x x Homoskedastyczność: reszty zachowują się losowo. Heteroskedastyczność: Wariancja reszt zmienia się wraz ze zmianą zmiennej niezależnej X.

14 Regresja wydatków na dochodzie

15 Jeżeli założenie o homoskedastyczności i autokorelacji jest spełnione to błędy losowe są sferyczne Jeżeli, któreś z tych założeń nie jest spełnione to błędy losowe są niesferyczne a macierz wariancji i kowariancji ma postać dowolnej macierzy symetrycznej i dodatnio półokreślonej: Var( ) V

16 - Estymator b jest nadal nieobciążony: 1 E( b) E ( X ' X ) X ' y E X X X X X X X 1 1 ( ' ) ' ( ' ) ' 1 ( X ' X ) X ' E( ) - Nie będzie on jednak efektywny można znaleźć estymator o mniejszej wariancji

17 - Macierz wariancji i kowariancji b: Var( b) E ( X ' X ) X ' ' X ( X ' X ) 1 1 ( X ' X ) X ' X ( X ' X ) 1 1 ( X ' X ) X ' VX ( X ' X ) Wzór ten różni się znacznie od prawidłowego wzoru na wariancję MNK: Var( b) ( X ' X ) 1

18 - W rezultacie estymator macierzy wariancji i kowariancji b, którym posługiwaliśmy się do tej pory, nie będzie dobrym oszacowaniem macierzy wariancji i kowariancji b

19 - Test Goldfelda-Quandta (Test GQ): H 0 : Var( ) i dla i 1,..., N H : Var( ) Var( ) 1 i j zi zj dla gdzie jest pewną zmienną, od której zależy wariancja błędu losowego z - Hipoteza zerowa: homoskedastyczność - Hipoteza alternatywna: heteroskedastyczność

20 Test Goldfelda-Quandta (Test GQ): z jego konstrukcji wynika, iż można go stosować do wykrywania zależności między wariancją błędu losowego a wielkością jednej zmiennej jako jedyny z testów na heteroskedastyczność ma rozkład wyprowadzony dla małych prób

21 - Test Breuscha-Pagana (Test BP): H 0 : Var( ) i dla i 1,..., N H : Var( ) f ( z ) 1 i i 0 i gdzie f () z i - funkcja różniczkowalna - wektor zmiennych, może zawierać zmienne występujące w wektorze zmiennych objaśniających

22 Test Breuscha-Pagana (Test BP): - Hipoteza zerowa: homoskedastyczność - Hipoteza alternatywna: heteroskedastyczność Szczególnie przydatny, jeżeli wariancja błędu losowego zależy od kilku zmiennych

23 Test Breuscha-Pagana (Test BP) sposób przeprowadzenia testu: 1. przeprowadzamy regresję na i uzyskujemy y i x i ei. przeprowadzamy regresję pomocniczą: e i 0 zi ui i testujemy H0: 0

24 Statystyka testowa: 1 D LM ESS p gdzie: ESS wyjaśniona suma kwadratów w regresji pomocniczej p- ilość zmiennych zawartych w z

25 Inna statystyka testowa: D LM NR p gdzie: R - współczynnik determinacji z regresji pomocniczej

26 Szczególną postacią testu BP jest test White a zawiera wszystkie kwadraty i iloczyny krzyżowe zmiennych objaśniających z i Stosujemy gdy interesuje nas samo wykrycie heteroskedastyczności a mniej wykrycie zmiennych, od których zależy wariancja błędu losowego

27 Test BP i White a są bardziej uniwersalne niż test GQ jednak rozkłady statystyk testowych dla tych testów są znane tylko dla dużych prób

28 Homoskedastyczność składnika losowego wariancja błędu losowego jest stała dla wszystkich obserwacji: var( ) dla i 1,,..., N i

29 Przykład xi: reg wydg dochg i.klm Source SS df MS Number of obs = F( 6, 31698) = Model.3693e e+09 Prob > F = Residual 3.478e R-squared = Adj R-squared = Total e Root MSE = wydg Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] dochg _Iklm_ _Iklm_ _Iklm_ _Iklm_ _Iklm_ _cons

30 Przykład Breusch-Pagan / Cook-Weisberg test for heteroskedasticity Ho: Constant variance Variables: fitted values of wydg chi(1) = Prob > chi = White's test for Ho: homoskedasticity against Ha: unrestricted heteroskedasticity chi(1) = Prob > chi =

31 1. Za pomocą jakiego testu testowana jest stabilność parametrów? Jakiemu założeniu KMRL odpowiada H0 w tym teście? Jaka jest hipoteza alternatywna w tym teście?. (*) W jaki sposób przeprowadzamy test Chowa? 3. Jak niesferyczność błędów losowych wpływa na własności MNK? 4. Za pomocą jakich testów można testować heteroskedastyczność? Jakiemu założeniu KMRL odpowiada H0 w tych testach? Jakie są hipotezy alternatywne w tych testach? 5. (*) Jak przeprowadza się test Goldfelda-Quandta?

32 6. (*) Podać postać regresji pomocnicznej w przypadku testu Breuscha-Pagana.

33 Dziękuję za uwagę 33