1 Wzór Taylora dla funkcji wielu zmiennych

Transkrypt

1 1 Wzór Taylora dla funkcji wielu zmiennych 1.1 Wzór Taylora Niech O R N zbiór otwarty. Niech f : O R funkcja klasy C r (tzn. ró»niczkowalna r razy i r te pochodne s ci gªe). Niech x, x 0 O, h = x x 0, przy czym niech x, x 0 b d takie, aby x 0 +θh O dla 0 θ 1. Utwórzmy funkcj pomocnicz ϕ(t) = f(x 0 + th), t [0, 1]. (1) Z wªasno±ci f wynika,»e ϕ jest ci gªa na [0, 1] oraz ró»niczkowalna r razy w sposób ci gªy na ]0, 1[. Policzmy kolejne pochodne tej funkcji. ϕ r 1 (t) = ϕ r (t) = ϕ(t) = f(x th 1, x 0 + th,..., x N 0 + th N ), ϕ (t) = N i 1,i,...,i r 1 i 1,i,...,i r ϕ (t) = N i 1 =1 i =1 f x i(x 0 + th)h i, f x i 1 x i (x 0 + th)h i 1 h i,. r 1 f (x x i 1 x i... x i 0 + th)h i 1 h i... h i r 1, r 1 r f x i 1 x i... x i r (x 0 + th)h i 1 h i... h i r. Napiszmy dla ϕ wzór Taylora dla przyrostu argumentu równego 1 i z reszt w postaci Lagrange'a: ϕ(1) = ϕ(0) + 1 1! ϕ (0) + 1! ϕ (0) (r 1)! ϕr 1 (0) + 1 r! ϕr (θ) (tu θ [0, 1]). Wstawiaj c otrzymane wy»ej wzory na pochodne ϕ, otrzymujemy: f(x) = f(x 0 ) + 1 1! + 1 (r 1)! i 1,i,...,i r 1 f x i(x 0)h i + 1! i 1 =1 i =1 f x i 1 x i (x 0 )h i 1 h i +... r 1 f x i 1 x i... x i r 1 (x 0 )h i 1 h i... h i r 1 + R r, () 1

2 gdzie R r jest reszt r tego rz du: R r = 1 r! i 1,i,...,i r r f x i 1 x i... x i r (x 0 + θh)h i 1 h i... h i r. (3) I to jest ju» kompletny wzór Taylora. Przykª. Rozwini cie w szereg Taylora funkcji f(x, y) = ln(1 + x + y). Dwie postaci zapisu wy»szych pochodnych. Czasem mo»e nam przyj± ochota na oszacowanie reszty. Podamy tu takie proste oszacowanie. 1. Proste oszacowanie reszty Stw. We¹my kul domkni t K = K(x 0, ρ), gdzie ρ jest takie,»e K O. Wtedy istnieje taka staªa M,»e R r M h r (4) dla wszystkich x K. Dow. Wiemy,»e funkcje ci gªe na zbiorze zwartym s ograniczone; tak wi c: r f (x) M x i 1 x i... x i r i 1,i,...,i r dla wszystkich x K i pewnej dodatniej staªej M. Tak wi c reszt R r we wzorze (4) szacujemy przez R r 1 r! M N i 1,i,...,i r h i 1 h i h i r = 1 r! M = 1 r! M h i r i 1 N r h r h i 1 h i i i r h i r Uzasadnienie ostatniej nierówno±ci: Przypomnijmy sobie nierówno± Schwarza: Zapodaje ona,»e wi c mamy: a i b i h i = N h i 1 (a i ) (h i ) (b i ) = a b ; (1) = h N

3 Mamy wi c R r M N r r! h r, i oznaczaj c: M = M N r r!, otrzymujemy wzór (4) czyli tez. CBDO 1.3 Moraª Podsumujmy: Wzór Taylora mo»emy zapisa w postaci: f(x 0 + h) = [wielomian stopnia (r 1) od zmiennych h 1, h,..., h N ] + R r, gdzie R r maªa stopnia wy»szego ni» h r 1, tzn. speªniaj ca R r h r 1 h 0 0. Wzór Taylora pozwala na przybli»enie skomplikowanych funkcji przez wielomiany, z którymi jest mie do czynienia na ogóª o wiele pro±ciej. W zastosowaniach najcz ±ciej spotyka si zast powanie funkcji przez wielomian pierwszego lub drugiego stopnia. Konieczno± analizy wy»szych pot g te» zdarza si, ale rzadko. Przykª. Energia drga«cz steczki o dwu lub wi cej atomach w pobli»u poªo»enia równowagi. Kiedy± pisali±my wyra»enie na energi potencjaln ukªadu N sprz»onych oscylatorów harmonicznych byªa to forma kwadratowa w wychyleniach x i z poªo»enia równowagi: Q(x 1, x,..., x N = j=1 q ij x i x j. Nazywa si to przybli»enie harmoniczne. Czasem istnieje konieczno± wyj±cia poza to przybli»enie. Ekstrema i punkty stacjonarne Niech O R N zb. otwarty, niech x 0 O, niech f : O R RYS. Def. Mówimy,»e f ma w x 0 maksimum, je»eli f(x) f(x 0). (5) x O Def. Mówimy,»e f ma w x 0 ±cisªe maksimum, je»eli f(x) < f(x 0). (6) x O Def. Mówimy,»e f ma w x 0 maksimum lokalne, je»eli ρ>0 f(x) f(x 0 ). (7) x K(x 0,ρ) 3

4 Uwaga. Analogicznie mówimy o minimum, minimum ±cisªym, minimum lokalnym, je±li zmienimy znaki nierówno±ci w denicjach powy»ej. Stw. Niech O R N zb. otwarty, niech f C 1 (O), niech x 0 O. Niech f ma w punkcie x 0 minimum lokalne. Wtedy f x i(x 0) = 0, i = 1,..., N (8) (tzn. wszystkie pochodne cz stkowe s równe zeru w x 0 ). Dow. Dla wi kszej jasno±ci zapiszmy tu jawnie wspóªrz dne punktu x 0 : x 0 = (x 1 0, x 0,..., x N 0 ). Warunek (7) na minimum lokalne mo»na przeformuªowa mówi c,»e f(x 0 + h) f(x 0 ) 0 dla dowolnego wektora przyrostu h. Skoro tak, to we¹my wektor przyrostu posiadaj cy tylko pierwsz skªadow ró»n od zera, a wszystkie pozostaªe równe zeru. W ten sposób, f(x 0 +h) f(x 0 ) jest funkcj tylko jednej zmiennej x 1. Przypomnijmy sobie teraz tw. dla funkcji jednej zmiennej F (x) mówi ce,»e je»eli F (x) posiada w x maksimum lokalne, to F (x ) = 0. W naszej wersji oznacza to,»e f x (x 1 0 ) = 0. We¹my teraz wektor przyrostu h o niezerowej drugiej skªadowej, a wszystkich pozostaªych równych zeru. Analogiczne rozumowanie prowadzi do wniosku,»e f x (x 0 ) = 0. Itd. W ten sposób otrzymujemy (8). CBDO Z teorii funkcji jednej zmiennej przypominamy sobie,»e warunek F (x ) byª warunkiem koniecznym, ale nie dostatecznym na to, aby F posiadaªa w punkcie x maksimum. Analogicznie jest w przypadku funkcji wielu zmiennych: Warunek (8) jest warunkiem koniecznym, aby w x 0 istniaªo maksimum (mówi o tym powy»sze Stwierdzenie), ale implikacja: (8) = (f posiada maksimum w x 0 ) na ogóª nie jest prawdziwa. Def. Niech f C 1 (O), O zbiór otwarty w R N. Mówimy,»e f ma w x 0 O punkt krytyczny (zwany te» stacjonarnym), je±li f x i(x 0) = 0, i = 1,..., N (9) W przypadku funkcji jednej zmiennej mo»na byªo poda kryterium na to, aby punkt krytyczny byª maksimum (minimum); byª to warunek, aby druga pochodna funkcji w punkcie krytycznym byªa mniejsza (wi ksza) od zera 1. 1 Nie byª to warunek najogólniejszy, ale tego ogólniejszego warunku nie b dziemy tu przypomina, gdy» rozszerzenie go na przypadek funkcji wielu zmiennych wymaga znacznie bardziej zaawansowanej teorii 4

5 W przypadku funkcji wielu zmiennych równie» mo»na poda warunek dostateczny na to, aby punkt krytyczny byª maksimum (minimum). Jest to jednak bardziej skomplikowane ni» w przypadku funkcji jednej zmiennej, i aby ten warunek poda, przypomnimy sobie najsampierw kilka faktów z zakresu teorii form kwadratowych. Bo wiemy, co to jest forma kwadratowa wi c jedynie gwoli przypomnienia: Def. Niech k R N. Form kwadratow na R N nazywamy funkcj ω(k) = N i,j=1 ω ij k i k j (10) Wspóªczynniki wyst puj ce w powy»szym wyra»eniu tworz macierz formy kwadratowej: ω 11 ω 1... ω 1N ω 1 ω... ω N ω N1 ω N... ω NN macierz symetryczna: ω ij = ω ji (11) Dla macierzy formy kwadratowej (11) zdeniujmy nast puj ce liczbyd 1, D,..., D N. itd., D = det D 3 = det D N = det D 1 = ω 11 (1) ω 11 ω 1 ω 1 ω ω 11 ω 1 ω 13 ω 1 ω ω 3 ω 31 ω 3 ω 33 (13) ω 11 ω 1... ω 1N ω 1 ω... ω N ω N1 ω N... ω NN Tw. (Kryterium dodatniej/ujemnej okre±lono±ci form kwadratowych). (14) (15) 1. Je±li wszystkie D i s wi ksze od zera: D i > 0 dla i = 1,,..., N, to dla dowolnego niezerowego wektora k R N zachodzi: ω(k) > 0 (tak form nazywamy ±ci±le dodatni ). 5

6 . Je±li zachodzi: ( 1) i D i > 0 dla i = 1,,..., N, to dla dowolnego niezerowego wektora k R N zachodzi: ω(k) < 0 (tak form nazywamy ±ci±le ujemn ). Dow. byª on ju» niedawno w cz ±ci 'algebraicznej' wykªadu. Przykª. Niech N =. Forma ω + (k) = k 1 + k jest ±ci±le dodatnia, forma ω (k) = k 1 k jest ±ci±le ujemna, za± forma ω + = k 1 k nie jest ani dodatnia, ani ujemna. Def. (Przypomnienie osta kanoniczna formy kwadratowej): Jest to taka forma,»e macierz formy jest macierz diagonaln z liczbami: 1, 0, 1 na przek tnej. Innymi sªowy, ω(k) = n (k i ) m i=n+1 (k i ) (m N). Tw. Ka»d form kwadratow mo»na przez liniow zamian zmiennych doprowadzi do postaci kanonicznej, która jest jedyna z dokªadno±ci do przenumerowania zmiennych (tzn. ilo± plusów i minusów w postaci kanonicznej formy jest jednoznaczna). Tw. (warunek dostateczny istnienia ekstremum). Niech f C (O), O f x (x i 0 ) = otwarty w R N. Niech x 0 O punkt krytyczny funkcji f, tzn. 0, i = 1,..., N. Niech D s (x 0 ) = det f x i x j (x 0) > 0 (1 i, j s) dla s = 1,,..., N. Wtedy f ma w x 0 ±cisªe minimum lokalne. Dow. Wypiszmy wzór Taylora dla f do. rz du, uwzgl dniaj c,»e x 0 jest punktem krytycznym: f(x) = f(x 0 ) + 1 i,j=1 f x i x j (x 0 + θh)h i h j Drugie pochodne f z zaªo»enia s ci gªe, a co za tym idzie funkcje D s te» s ci gªe, wi c istnieje ρ > 0 takie,»e D s (x) > 0 dla x = K(x 0, ρ). Dla wszystkich x a wi c w szczególno±ci dla x = x 0 + θh. CBDO 6

7 3 Funkcje uwikªane Aby wyrobi intuicj, rozpatrzmy najsampierw ukªady równa«liniowych. Taki ukªad to m równa«na N zmiennych, gdzie zaªo»ymy,»e N > m. W takiej sytuacji, je±li jest speªniony okre±lony warunek, który zaraz wypiszemy, mo»emy wyrazi m zmiennych jako funkcj pozostaªych N m. Przykªady. 1. N = 3, m = 1. We¹my równanie: 3x + y + z = 1 (Geometrycznie, powy»sze równanie opisuje pªaszczyzn w R 3 wi c obiekt dwuwymiarowy.) Jedn ze zmiennych (np. z) mo»na wyrazi jako funkcj od pozostaªych dwóch x, y: z = 1 3x y. N = 3, m =. We¹my ukªad równa«na 3 niewiadome: { x + y + z = 1 x + y z = 1 (Geometrycznie, powy»szy ukªad dwóch równa«opisuje przeci cie dwóch pªaszczyzn, a wi c prost ). Wybierzmy dwie zmienne, np. x, y i wyra¹my je jako funkcje pozostaªej zmiennej z. Mamy: W = = 1, W x = 1 z z = 1 3z, W y = 1 1 z z = z czyli rozwi zaniem jest: { x = 1 3z y = z 3. W ogólnym przypadku m równa«na N zmiennych, wybieramy m zmiennych które chcemy wyrazi jako funkcje N m pozostaªych. Zmienne zalezne przenosimy na lew stron ukªadu, a zmienne niezale»ne na praw, traktuj c je jako parametry. Ukªad da si rozwi za, je±li gªówny wyznacznik jest ró»ny od zera. Wró my teraz do sytuacji, któr b dziemy chcieli analizowa : B dzie to ukªad m równa«na N zmiennych, ale równa«na ogóª nieliniowych. W ogólnym przypadku rozwi zywanie takich ukªadów jest bardzo trudne (podobnie jak przy konstrukcji odwzorowania odwrotnego). Je»eli jednak ograniczymy si do sytuacji lokalnych, tzn. maªego otoczenia jakiego± punktu z R N, to sytuacja pod wieloma wzgl dami przypomina to, z czym mamy do czynienia w przypadku ukªadów równa«liniowych. Zanim sformuªujemy odpowiednie twierdzenie, podeprzemy si znów dwoma przykªadami. 1. N =, m = 1. x + y = Dlaczego zakªadamy,»e ilo± równa«jest mniejsza od ilo±ci niewiadomych? Bo gdy jest wi ksza, tzn. N < m, to je±li równania s liniowo niezale»ne to ukªad nie ma rozwi za«, a gdy N = m, to mamy sytuacj z tw. o lokalnej odwracalno±ci. 7

8 co mo»emy zapisa jako: H(x, y) = 0, gdzie H(x, y) = x + y. We»my punkt p = (1, 1) na pªaszczy¹nie; wida,»e w otoczeniu tego punktu mo»na wyrazi jedn ze zmiennych, np. y jako funkcj pozostaªej (tu x). RYS. (Rozwi zanie mo»na tu napisa jawnie, tzn. y = + x ). Inna jest sytuacja w otoczeniu punktu p = (, 0). W»adnym otoczeniu tego punktu nie mo»na jednoznacznie wyrazi y jako funkcji x. Zwró my jeszcze uwag na nast puj c rzecz: Gdy z równania H(x, y) = 0 wyznaczymy y jako funkcj x: y(x) i wstawimy do równania H(x, y) = 0, to otrzymamy to»samo± : H(x, y(x)) 0. Tutaj np. mamy: y(x) = x, H(x, y(x)) = x + ( x ) = 0 dla dowolnego x.. N = 3, m =. W = { x + y + z 1 = 0 x + y + 3z = 0 Co opisuje ten ukªad równa«? Pierwsze równanie to równanie sfery, a drugie pªaszczyzny, zatem powy»szy ukªad to przeci cie sfery z pªaszczyzn, czyli okr g (ªatwo si przekona,»e nie jest to zbiór pusty ani punkt). Rozwi zaniem { powy»szego ukªadu byªaby para zmiennych, np. x i y jako x = x(z), funkcja pozostaªej trzeciej:, czyli opis parametryczny okr gu. Jest to mo»liwe dla y = y(z) prawie wszystkich punktów okr gu, z wyj tkiem jednak niektórych z nich. Poni»ej zobaczymy, jak rozpozna, kiedy w otoczeniu danego punktu jest mo»liwy taki jednoznaczny opis parametryczny, a kiedy nie jest mo»liwy. 3. Przykªad z innej beczki termodynamika. Równanie stanu, np. F (p, V, T ) = 0 i konieczno± policzenia st d np. p(v, T ). W prostych przypadkach jest to oczywiste, jak to zrobi. Np. dla równania stanu gazu doskonaªego mamy (dla 1 mola substancji): pv = RT, sk d p(v, T ) = R T V (R staªa gazowa). Rzeczywiste substancje maj jednak zazwyczaj daleko bardziej skomplikowane równanie stanu, i przed prób wyªuskania ze«(najcz ±ciej numerycznego) zale»no±ci p(v, T ) warto upewni si,»e jest to mo»liwe. 4. Przykªad z jeszcze innej beczki mechanika. Ukªady z wi zami (np. punkt uwi ziony na powierzchni i ±lizgaj cy si tylko po niej). Nie b dziemy teraz rozpatrywa przypadku ogólnego, ale zajmiemy si konkretnym przypadkiem prostszym, tzn. funkcj od dwóch zmiennych z naªo-»onym warunkiem dodatkowym, tzn. N =, m = Stosowne twierdzenie Nie b dziemy tu rozpatrywa przypadku ogólnego, który daje si zgrabnie uj, ale potrzeba do tego troch denicji i innej techniki dowodu (dla ciekawych, np. w skrypcie `Analiza II' P. Urba«skiego, lub `Analiza' K. Maurina) ale zajmiemy si konkretnym przypadkiem prostszym, tzn. funkcj od dwóch zmiennych z naªo»onym warunkiem dodatkowym, tzn. N =, m = 1. Dowód jest zapo»yczony z ksi»ki FLei. Tw. Niech F : R O R, O otwarty. Niech F C 1 (O). Niech p = (x 0, y 0 ) O, oraz niech: F (x 0, y 0 ) = 0, F y (x 0, y 0 ) 0. Wtedy: 8

9 1.! rozwi zanie y(x) równania F (x, y) = 0. ɛ>0 δ>0 x: x x 0 <δ. Funkcja y = y(x) jest ci gªa dla x ]x 0 δ, x 0 + δ[, 3. oraz ró»niczkowalna w sposób ci gªy, a pochodna dana jest wzorem dy dx (x) = F x(x, y(x)) F y (x, y(x)). (16) Uwaga.! oznacza: `istnieje dokªadnie jedno'. Dow. Istnienie y(x). Mo»emy zaªo»y,»e F y (x 0, y 0 ) > 0. Gdy jest przeciwnie, to zamiast F rozpatrujemy F i mamy warunek dodatnio±ci pochodnej speªniony. Z ci gªo±ci pochodnej F y (x, y) istnieje otoczenie punktu p, na którym pochodna jest dodatnia. Za to otoczenie we¹my kwadrat K =]x 0 η, x 0 + η[ ]x 0 η, x 0 + η[; tak wie wsz dzie na K mamy F y (x, y) > 0. Zdeniujmy funkcj f(y) jednej zmiennej y: f(y) = F (x 0, y). Poniewa» dla ka»dego y ]y 0 η, y 0 + η[ zachodzi: f (y) = F y (x 0, y) > 0, to znaczy,»e f(y) jest ±ci±le rosn ca na caªym przedziale ]y 0 η, y 0 + η[. We¹my dowolne ɛ takie,»e 0 < ɛ < η. Poniewa» mamy: f(y 0 ) = F (x 0, y 0 ) = 0, to z monotoniczno±ci funkcji f mamy: f(y 0 + ɛ) > 0, f(y 0 ɛ) < 0, czyli: F (x 0, y 0 + ɛ) > 0, F (x 0, y 0 ɛ) < 0. F jest ci gªa. Istnieje wi c δ > 0 takie,»e: : F (x, y 0 + ɛ) > 0, F (x, y 0 ɛ) < 0. x ]x 0 δ,x 0 +δ[ Niech teraz x 1 ]x 0 δ, x 0 +δ[. Poniewa»: F (x 1, y 0 +ɛ) > 0, F (x 1, y 0 ɛ) < 0, wi c! y 1 ]y 0 ɛ,y 0 +ɛ[ : F (x 1, y 1 ) = 0. Mamy w ten sposób udowodniony p. 1, bo nieco przeformuªowuj c, pokazali±my,»e w przedziale ]x 0 δ, x 0 + δ[ istnieje jednoznacznie okre±lona funkcja y(x) taka,»e F (x, y(x)) = 0. Zachodzi te»: y(x) y 0 < ɛ. Zauwa»my,»e znaczy to te»,»e y(x) jest ci gªa w punkcie x 0. Ad ) Ci gªo± y(x): Oznaczmy K =]x 0 δ, x 0 + δ[ ]y 0 ɛ, y 0 + ɛ[; oczywi±cie K K. We¹my jaki± punkt p = (x, y ) K otrzymay w kroku 1 taki,»e F (x, y ) = 0. W punkcie p mamy F y (x, y ) > 0 (bo tak jest na caªym K, wi te» na K ). We¹my jakie± dowolne ɛ > 0. Powtarzaj c 9

10 rozumowanie z p. 1 mamy,»e istnieje takie δ > 0,»e dla ka»dego x ]x δ, x +δ [ istnieje dokªadnie jedno ỹ(x) takie,»e F (x, ỹ(x ) = 0. Znaczy to te»,»e ỹ(x) jest ci gªa w x. Zauwa»my na koniec,»e tak otrzymana funkcja ỹ(x) musi si pokrywa z otrzyman w p. 1) funkcj y(x). Podsumowuj c, ustanowili±my ci gªo± y(x) dla dowolnego x ]x 0 δ, x 0 + δ[. Ad 3). Niech punkty (x, y) oraz (x 1, y 1 ) le» ce w prostok cie K speªniaj : F (x 1, y 1 ) = F (x, y) = 0 tzn. le» na krzywej y = y(x), powstaªej z rozwikªania równania F (x, y) = 0 wzgl dem y. Zdeniujmy h, k przez: x 1 = x + h, y 1 = y + k. Z wzoru Taylora 1. rz du: F (x 1, y 1 ) F (x, y) = 0 = F x (x + θh, y + θk) h + F y (x + θh, y + θk) k. Pami tajmy,»e mamy: F y 0 w K. Przeksztaªcaj c powy»szy wzór dostaniemy: k h = y 1 y x 1 x = F x(x + θh, y + θk) F y (x + θh, y + θk) Pami taj c o ci gªo±ci F x, F y i bior c granic h 0, dostaniemy dy dx (x) = F x(x, y). (17) F y (x, y) y=y(x) CBDO Uwaga. Wzór (18) mo»emy dosta te» ze zró»niczkowania równo±ci: F (x, y(x)) 0. (pami taj c jednak,»e musimy uprzednio mie zagwarantowan ró»niczkowalno± F (x, y) oraz y(x)). Bo: Oznaczmy: φ(x) = F (x, y(x)); Funkcja φ(x) jest funkcj to»samo±ciowo równ zeru przypomnijmy sobie bowiem, i» funkcja y(x) powstaªa z rozwikªania równo±ci F (x, y) = 0. Skoro φ(x) jest to»samo±ciowo równa zeru, to jej pochodna te», (i wszystkie wy»sze pochodne tako»). Przypominaj c sobie, jak si ró»niczkuje funkcj zªo»on, mamy: dφ dx (x) 0 = F x(x, y(x)) + F y (x, y(x))y (x); przeksztaªcaj c równanie i pami taj c,»e F y jest wsz dzie ró»ne od zera, dostaniemy (18). Uwaga. Id¹my `za ciosem' i policzmy drug pochodn funkcji uwikªanej. Mamy: (dla oszcz dno±ci miejsca i aby nie pogubi si we wzorach, nie piszmy 10

11 poni»ej argumentów pochodnych funkcji F, bo wszystkie s takie same: F... F... (x, y(x))): d φ dx (x) 0 = F xx + F xy y (x) + F yx y (x) + F yy (y (x)) + F y y (x); after rearrangement, dostaniemy: y (x) = F xx + F xy y + F yy (y (x)) F y (18) 3. Wersja dla funkcji od 3 zmiennych Teraz zajmiemy si przypadkiem troch bardziej zªo»onym, tzn. funkcj od trzech zmiennych z naªo»onym warunkiem dodatkowym, tzn. N = 3, m = 1. Nad dowodem nie b dziemy si zatrzymywali; przebiega on analogicznie jak powy»ej. Tw. Niech F : R 3 O R, O otwarty. Niech F C 1 (O). Niech p = (x 0, y 0, z 0 ) O, oraz niech: F (x 0, y 0, z 0 ) = 0, F z (x 0, y 0, z 0 ) 0. Wtedy: 1.! rozwi zanie z(x, y) równania F (x, y, z) = 0. ɛ>0 δ>0 (x,y): x x 0 <δ, y y 0 <δ. Funkcja z = z(x, y) jest ci gªa dla x ]x 0 δ, x 0 + δ[, y ]y 0 δ, y 0 + δ[ 3. oraz ró»niczkowalna tam w sposób ci gªy, a pochodne dane s wzorami z x (x, y) = F x(x, y, z(x, y)) F z (x, y, z(x, y)), z y (x, y) = F y(x, y, z(x, y)) F z (x, y, z(x, y)). (19) 4 Ekstrema zwi zane (warunkowe) 4.1 Rozwi zanie przez funkcje uwikªane Cz sto w matematyce/zyce mamy do czynienia z sytuacj, gdy musimy znale¹ ekstrema jakiej± funkcji przy naªo»onym okre±lonym warunku. Na przykªad, chcemy znale¹ prostopadªo±cian o mo»liwie najwi kszej obj to±ci przy warunku,»e pole powierzchni tego prostopadªo±cianu jest ustalone. Niech f : O R N R, O otwarty. Niech P O. (dalej zazwyczaj b dziemy rozwa»a przypadki, gdzie P jest zadany jako poziomica pewnej ró»niczkowalnej funkcji g). RYS. 11

12 Def. Niech p 0 P. Mówimy,»e funkcja f(x) ma w punkcie p 0 minimum lokalne przy warunku,»e x P, je±li istnieje otoczenie V punktu p 0 w O takie,»e p V P f(p) f(p 0). Rozpatrzmy konkretniej przypadek N =. Niech g : O R, g jest klasy C 1. Niech P = {(x, y) R : g(x, y) = 0} (tzn. P jest zadany jako zerowa poziomica g). Niech b dzie dana funkcja f C 1 (O). Szukamy ekstremów funkcji f(x, y) przy warunku,»e g(x, y) = 0. Sytuacja, gdy szukamy ekstremum funkcji bez»adnych warunków, na ogóª ró»ni si zasadniczo od tej, gdy szukamy ekstremów przy naªo»eniu jakiego± warunku. Przykª. f(x, y) = xy, g(x, y) = x + y 1. Gdy szukamy ekstremów f bez»adnego warunku, to ekstremów nie ma: jest jeden punkt krytyczny (0, 0), który jest siodªem. Rozwa»my teraz sytuacj, gdy szukamy ekstremów f przy warunku g(x, y) = 0. Sparametryzujmy okr g przez k t φ we wsp. biegunowych: x = cos φ, y = sin φ; wtedy f obci ta do okr gu jest dana równaniem: F (φ) = f(cos φ, sin φ) = sin φ cos φ = sin φ, i funkcja F ma cztery ekstrema: dwa maksima w φ { π 4, 5π 4 }, co odpowiada punktom na pªaszczy¹nie: (± 1, ± 1 ); w tych punktach warto± f jest równa 1; i dwa minima w φ { 3π 4, 7π 4 } tzn. (± 1, 1 ) w tych punktach warto± f jest 1. RYS. Wró my do ogólnego przypadku funkcji zale»nej od dwóch zmiennych f(x, y) przy warunku g(x, y) = 0. Rozwi zanie problemu znajdowania ekstremum warunkowego mo»emy znale¹, posªuguj c si niedawno udowodnionym twierdzeniem o funkcjach uwikªanych. B dziemy zakªada,»e równanie: g(x, y) = 0 da si (przynajmniej lokalnie) rozwikªa do postaci y = y(x); da si tak zrobi, gdy g y 0. Wstawmy uzyskan funkcj y(x) do funkcji f. Zdeniujmy: F (x) = f(x, y(x)). W ten sposób, badanie ekstremów funkcji f(x, y) przy warunku g(x, y) = 0 sprowadza si do badania ekstremów funkcji F (x). Funkcja F (x) posiada punkt x 0 podejrzany o ekstremum, gdy Policzmy pochodn funkcji F. Mamy oraz df dx (x 0) = 0, df dx = f f dy (x, y(x)) + (x, y(x)) x y dx g dy dx = x (x, y(x)) (x, y(x)) g y 1

13 Punkt (x 0, y 0 ) (gdzie y 0 = y(x 0 )) b dzie podejrzany o ekstremum, gdy speªniona b dzie równo± f x (x 0, y 0 ) f y (x 0, y 0 ) g x (x 0, y 0 ) g y (x 0, y 0 ) = 0. (0) Jest to jedno równanie na dwie liczby x 0 oraz y 0. Pami tajmy jednak,»e mamy te» drugie równanie g(x 0, y 0 ) = 0. (1) 4. Przeformuªowanie metoda mno»ników Lagrange'a Wzór (0) nie wygl da miªo. Lagrange podaª schemat, który w znacznie bardziej przejrzysty sposób pokazuje sposób liczenia ekstremów warunkowych. Uzyskuje si to wprowadzaj c dodatkow zmienn λ (λ jest nazywane mno»nikiem Lagrange'a), okre±lon jako: λ = f y (x 0, y 0 ) g y (x 0, y 0 ) () Równanie (0) mo»na wtedy zapisa jako: za± denicj mno»nika Lagrange'a λ jako f x λg x = 0, (3) f y λg y = 0. (4) (pami taj c,»e caªy czas mamy te» trzeci warunek (1)). Wprowad¹my teraz funkcj : Φ(x, y; λ) = f(x, y) λg(x, y). (5) Warunek konieczny istnienia ekstremum zwi zanego mo»emy teraz zapisa jako Φ x (x 0, y 0 ) = f x (x 0, y 0 ) λg x (x 0, y 0 ) = 0 (6) Φ y (x 0, y 0 ) = f y (x 0, y 0 ) λg y (x 0, y 0 ) = 0 (7) Φ λ = g(x 0, y 0 ) = 0. (8) Jest to ukªad 3 równa«na 3 niewiadome; z tego rzadko potrzebujemy zna λ, rozwi zujemy wi c go tak aby wyznaczy tylko (x 0, y 0 ). 13

14 Przykª. f(x, y) = xy, g(x, y) = x + y 1 raz jeszcze. Mamy: Φ(x, y) = xy λ(x + y 1). Warunek konieczny istnienia ekstremum jest: Mno» c pierwsze z powy»szych równa«przez y 0, drugie przez x 0 Φ x (x 0, y 0 ) = 0 = y 0 λx 0 = 0, (9) Φ y (x 0, y 0 ) = 0 = x 0 λy 0 = 0, (30) g(x 0, y 0 ) = 0. (31) i odejmuj c stronami, otrzymamy: x 0 y 0 = 0, co daje x 0 = ±y 0. Uwzgl dniaj c teraz trzecie równanie dostajemy: (x 0, y 0 ) = (± 1, ± 1 ) oraz (x 0, y 0 ) = (± 1, 1 ) zgodnie z tym co dostali±my uprzednio. 4.3 Badanie warunku dostatecznego W przypadku znajdowania ekstremów funkcji bez naªo»onych»adnych warunków, po znalezieniu punktów krytycznych, jako podejrzanych o ekstrema, trzeba byªo je dodatkowo zbada, aby zobaczy, czy s ekstremami, czy nie. Gdy mamy kandydatów na ekstrema warunkowe, równie» powinno si przeprowadzi analogiczne badanie. Jest to zazwyczaj bardziej skomplikowane ni» w przypadku kandydatów na ekstrema 'bezwarunkowe'. S tu trzy zasadnicze sposoby post powania. 1. Gdy zbiór, na którym szukamy ekstremów warunkowych, jest zwarty (tzn. domkni ty i ograniczony), to mo»emy skorzysta z tw. Weierstrassa mówi cego, i» funkcja na zbiorze zwartym osi ga swoje kresy. W ten sposób, gdy z metody mno»ników Lagrange'a znajdziemy punkty podejrzane o ekstrema warunkowe, to liczymy warto± funkcji w tych punktach; w ten sposób znajdujemy warto± najwi ksza i najmniejsz. Przykª. f(x, y) = xy, g(x, y) = x +y raz jeszcze: Poziomic zerow funkcji g jest okr g, wi c zbiór zwarty. W znalezionych ju» punktach (1, 1) i ( 1, 1) warto± f wy nosi +1, a w punktach ( 1, 1) i (1, 1) wynosi 1. Dwa pierwsze s wi c maksimami, a dwa pozostaªe minimami.. Sposób zalecany. Rozpatrzymy go w przypadku, gdy mamy funkcj zmiennych f(x, y) i jeden wi z g(x, y) = 0. Tworzymy wi c funkcj (5) i liczymy macierz drugiej pochodnej oraz jej wyznacznik w punkcie krytycznym (x 0, y 0, λ 0 ): 3 = I teraz!! Φ xx Φ xy Φ xλ Φ yx Φ yy Φ yλ Φ λx Φ λy Φ λλ (x0,y 0,λ 0 ) = f xx λg xx f xy λg xy g x f yx λg yy f xy λg xy g y g x g y 0 (x0,y 0,λ 0 ) (3) 14

15 (a) Je±li 3 > 0 to mamy minimum; (b) Je±li 3 < 0 to mamy maksimum. 3. Wyznaczamy mno»niki Lagrange'a i liczymy drug pochodn funkcji Φ z uzyskanymi mno»nikami w znalezionych punktach krytycznych, a nast pnie badamy okre±lono± tej formy kwadratowej ograniczonej do pªaszczyzny stycznej do poziomicy g(x) = 0. p. cd. Bo: Przypomnijmy sobie wyprowadzenie warunku koniecznego na ekstremum warunkowe funkcji f(x, y) przy warunku g(x, y) = 0. Utworzyli±my funkcj F (x) = f(x, y(x)), gdzie y(x) powstaªo przez rozwikªanie warunku g(x, y)=0. Pochodna F (x) jest: F (x) = f x + f y y (33) gdzie dla czytelno±ci oznaczamy: f x f x (x, y(x)) i to samo dla f y. Byªo te»: y = g x g y, (34) Policzmy teraz drug pochodn : F (x) = f xx + f yx y + f xy y + f yy (y ) + f y y = f xx + f yx y + f yy (y ) + f y y ; = 1 g y (f xx g y f yx g x g y + f yy g y) + f y y ; (35) i dalej: y = 1 g y (g xx + g xy y ) + 1 g y (g xy + g yy y ) ª cznie, wstawiaj c (36) do (35): = 1 g 3 y (g xx g y g xy g x g y + g yy g y); (36) F (x) = 1 g y (f xx g y f yx g x g y + f yy g y) f y 1 (g g y gy xx gy g xy g x g y + g yy gy) = 1 g y [ (fxx λg xx )g y (f xy λg xy )g x g y + (f yy λg yy )g x] (37) 15

16 Wygl da zapewne niezbyt miªo; ale TERAZ!! Porównajmy to z wyznacznikiem (3)!! i widzimy,»e F (x) = 1 g y 3 ; (38) tak wi c w punkcie krytycznym x 0 mamy minimum, gdy F (x 0 ) > 0, co znaczy,»e 3 > 0 czyli dostali±my powy»sze kryterium na ekstremum warunkowe zwi zane. Uwaga. Nie jest kwesti przypadku,»e F (x) ma posta wyznacznika. Nie wida tego z powy»szych rachunków; ale mo»na to chytrze uzasadni geometrycznie, i uogólni na wy»sze wymiary i wi ksz liczb parametrów, co wszelako w tym momencie sobie podarujemy (like Al in Toy Story itd.). 4.4 Przypadek gdy mamy M warunków Mo»e si wreszcie zdarzy,»e musimy znale¹ ekstremum funkcji f przy na- ªo»onym nie jednym, a M warunkach. Sprecyzujmy to tak: Niech O R N+M, niech f C 1 (O). Niech g 1, g,..., g M C 1 (O) i niech P = {x R N+M : g 1 (x) = 0 g (x) = 0 g M (x) = 0}. RYS. Podamy teraz (ale uzasadnienie sobie darujemy 3 ) sposób, w jaki znajdujemy kandydatów na ekstrema w tym przypadku. (Tu równie» uzasadnienie jako materiaª nadobowi zkowy planuj w wolnej chwili napisa.) Utwórzmy mianowicie funkcj Φ(x, λ) = f(x) + λ 1 g 1 (x) + λ g (x) + + λ M g M (x); (39) wyst puj ce tu liczby λ 1,..., λ M s parametrami, zwanymi mno»nikami Lagrange'a. Przyrównajmy nast pnie do zera pochodne:... Tokio Φ x N+M = Φ x = f 1 x + λ g x + + λ 1 M Φ x = f x + λ g 1 1 x + + λ M f x + λ g 1 N+M 1 x + + λ N+M M g M x 1 = 0, g M x = 0, g M x N+M = 0 3 Podobnie jak w lmie 'Toy Story ' bohater negatywny Al darowaª sobie prysznic przed wylotem do 16

17 (razem N + M równa«) oraz g 1 = 0, g = 0,..., g M = 0. Razem mamy N +M +M równa«na N +M +M niewiadomych. Rozwi zuj c te równania dostaniemy zestaw x 1,..., x N+M oraz λ 1,..., λ M (tych ostatnich zazwyczaj nie potrzebujemy). W ten sposób mamy kandydatów na ekstrema. Przykª. Na elipsie x 4 + y 9 = 1 znale¹ punkty najmniej odlegªy od prostej 3x y + 9 = 0. Rozw. Niech p 1 = (x 1, y 1 ) nale»y do elipsy, za± p = (x, y ) do prostej. Musimy znale¹ najmniejsz warto± odlegªo±ci pomi dzy punktami p 1 i p : d(p 1, p ) = (x 1 x ) + (y 1 y ) przy warunkach,»e p 1 nale»y do elipsy, za± p do prostej. Šatwiej b dzie rozwi zyw c równowa»ny problem badania kwadratu odlegªo±ci d pomi dzy punktami p 1 oraz p :. Musimy zatem znale¹ ekstrema funkcji przy dwóch warunkach: oraz f(x 1, x, y 1, y ) = d (p 1, p ) = (x 1 x ) + (y 1 y ) x y 1 1 = 0 przynale»no± do elipsy (40) 9 3x y + 9 = 0 przynale»no± do prostej (41) Post puj c we wskazany wy»ej sposób, tworzymy funkcj : ( ) x Φ = (x 1 x ) + (y 1 y ) + λ y µ(3x y + 9), (λ, µ mno»niki Lagrange'a), liczymy jej pochodne, przyrównujemy do zera i rozwi zujemy powstaªy ukªad równa«. No wi c do dzieªa. Liczymy pochodne Φ po kolejnych zmiennych i przyrównujemy do zera: Φ x 1 = x 1 x + 1 λx 1 = 0 Φ x = x 1 + x + 3µ = 0 Φ y 1 = y 1 y + 9 λy 1 = 0 Φ y = y 1 + y µ = 0 (4) Licz c 'na sztuki' niewiadome, mamy 4 powy»sze równania plus jeszcze równania (40) i (41): razem 6 równa«, na 6 zmiennych: x 1, y 1, x, y, λ, µ. Wygl da to, delikatnie mówi c, niemiªo. Wa»ne jest, aby przy analizie takich ukªadów nie przestraszy si, oraz zachowa ±wie»o± spojrzenia. Na ogóª wtedy okazuje si,»e 'nie taki diabeª straszny'... Dodajmy bowiem do siebie dwa pierwsze z równa«(4), oraz równanie trzecie i czwarte. Otrzymamy wówczas: 1 λx 1 + 3µ = 0, 9 λy 1 µ = 0. Teraz, mno» c drugie z powy»szych równa«przez 3 i dodaj c stronami, wyeliminujemy µ i dostaniemy: sk d wynika,»e 1 λx λy 1 = 0, λ = 0 lub x y 1 = 0. Okazuje si,»e pierwsza mo»liwo± (tzn. λ = 0) prowadzi do sprzeczno±ci (niech Czytelnik spróbuje to wykaza ). Druga za± daje: x 1 = 4 3 y 1, 17

18 sk d po wstawieniu do pierwszego równania wi zów mamy 4 9 y y 1 = 1 = y 1 = ± 3, 5 sk d dla x 1 dostajemy x 1 = 4 5. Mamy zatem dwa punkty na elipsie, podejrzane o minimalizowanie odlegªo±ci: ( p = 4 ) ( 3 4,, p = 5, 3 ) Który z nich jest prawdziwym minimum? Najpro±ciej uzyskamy odpowied¹, korzystaj c z argumentu 'zwarto±ciowego' (nr 1 z listy powy»ej). Do tego musimy policzy odlegªo±ci od prostej do punktów p oraz p. Podsumujmy: Odp.: Punktem na elipsie najmniej odlegªym od prostej jest p min = (x 1, y 1 ) = ( 4 5, 3 5 ). 5 Twierdzenie o funkcji odwrotnej 18