MECHANIKA PŁYNÓW ZBIÓR ZADAŃ

Transkrypt

1 Anrej Racńki MECHANIKA PŁYNÓW ZBIÓR ZADAŃ PWSZ w Koninie Turek, lut

2 W oracowaniu najują ię aania włane a także aania e biorów oublikowanc re Z. Orecowkieo ora E. Burkę i T. Nałęca Si roiałów. HYDROSTATYKA. KINEMATYKA PŁYNÓW 6. DYNAMIKA PŁYNÓW DOSKONAŁYCH 7. DYNAMIKA PŁYNÓW LEPKICH 6 Główne onacenia A - ole owiercni [ ] - śrenica raulicna [] G - ciężar [N] - rśieenie iekie, 9,8 / - aa [k] - aowe natężenie rełwu [k/] - ciśnienie (oólnie) [Pa] at - ciśnienie atofercne [Pa], [Pa], [bar] n - naciśnienie [Pa], [kpa], [MPa] P - iła arcia [N] T - teeratura bewlęna [K]; ca roceu [] - rękość liniowa [/] V - objętość [ ] V - objętościowe natężenie rełwu [ /] α - wółcnnik rękości [ ] β - wółcnnik kontrakcji [ ] ζ - wółcnnik ooru iejcoweo (trat iejcowej) [ ] λ - wółcnnik ooru linioweo (trat liniowej) [ ] ν - wółcnnik lekości kineatcnej [ /] ρ - ętość łnu [k/ ] ω - rękość kątowa [ra/] Δ - rrot (owolnej wielkości) Δ - trata wokości ciśnienia [] Δ - trata ciśnienia [Pa]

3 Inforacje oocnice Tablica.. Wółcnnik lekości kineatcnej ν owietra i wo w ależności o teeratur (la owietra r ciśnieniu =,5 kpa) t [ºC] owietre ν [ /] woa, -6,79-6,9-6, -6 5, -6, -6 6, -6,8-6 6,9-6, , -6, ,9-6,78-6 8,9-6,66-6, -6, ,6-6 Tablica.. Ciśnienie ar wonej naconej w ależności o teeratur t [ºC] [Pa] t [ºC] [Pa] Re R... Wółcnnik ooru linioweo λ w Nikuraeo

4 . HYDROSTATYKA Za.. Oblicć ciężar becki naełnionej oleje o ętości ρ =,88 k/, wieąc że aa becki wnoi b = k, a jej ojeność V jet równa litrów. Rowiąanie: Na ciężar becki naełnionej oleje kłaa ię ciężar becki i ciężar oleju. Ciężar każeo ciała jet ilocne jeo a i lokalneo natężenia ola rawitacjneo. W warunkac iekic natężenie ola rawitacjneo (rieenie iekie ) jet równe ok. 9,8 /. Ciężar becki wnoi więc: Gb k9,8 96,N Ciężar oleju oblic oobnie na otawie jeo a. Maa oleju jet ilocne jeo objętości i ętości (ętość to aa jenotki objętości). Mui r t aiętać o rerowaaniu obliceń w ójnc jenotkac ukłau SI. ol V V ol ol litrów, Zate ciężar becki naełnionej oleje wnoi:, k,88 88k Gol ol 88k9,8 86,N G G b G ol 96, 86, 59,5N Za.. Becka ełna oleju waż, kn, ojeność becki V wnoi litrów, a aa utej becki b wnoi k. Oblicć ętość i ciężar właściw oleju awarteo w becce. Oowieź: ρ=9 k/, γ=9 N/ Za.. W teroetre rtęciow objętość rtęci wnoi, c, aś śrenica wewnętrna rurki =,5. O ile onieie ię oio rtęci w rurce, jeśli teeratura onieie ię o K? Wółcnnik roeralności objętościowej rtęci wnoi β t = 8, -5 /K. Rowiąanie: Wółcnnik roeralności objętościowej jet określon natęującą ależnością: t T V V Prektałcenie tej ależności uożliwi określenie rrotu objętości: V T V 8, t 5 K K,c 8, Ponieienie oiou rtęci oowiaa rrotowi wokości łuka rtęci. Prrot ten wnac na otawie rrotu objętości ΔV i ola rekroju łuka A. Pre okonanie obliceń ui 5 c

5 5 uonić jenotki. Ponieważ śrenica rurki jet wrażona w ilietrac, relic rrot objętości też na ilietr. Pole rekroju łuka rtęci wnoi: V 8, 5 c 8, A Zate rrot wokości łuka rtęci: (,5),77 V 8, A,77, Za.. Śrenica wewnętrna rurki teroetru wnoi,, a ocątkowa objętość rtęci wnoiła, c. Jak uż natąił wrot teeratur, jeśli oio rtęci w teroetre oniół ię o? Wółcnnik roeralności objętościowej rtęci wnoi β t = 8, -5 /K. Oowieź: ΔT=,5 K Za..5 Siłownik raulicn o śrenic tłoka D = 8 i koku tłoka = 5 jet całkowicie wełnion oleje. Ile wnieie reunięcie tłoka, jeśli na tłocko bęie iałać iła ewnętrna F = kn? Wółcnnik ściśliwości oleju β wnoi 56-5 /N. Rowiąanie: Wółcnnik ściśliwości, onie efinicją, jet określon ależnością: V V Prektałcenie tej ależności uożliwi oblicenie niejenia objętości oleju ΔV, a w natętwie określenie reunięcia tłoka. Najierw jenak wnac więkenie ciśnienia w iłowniku, wwołane iałanie ił F. Objętość wewnętrna iłownika: F A F D N (8) Ziana objętości o włwe ian ciśnienia: V A V V A Preunięcie tłoka oowiaające tej ianie objętości: Po otawieniac oblica reunięcie tłoka: V A 5,97MPa 556 5,97MPa 5 MPa,67

6 6 Za..6 Siłownik raulicn o śrenic tłoka D = 8 i koku tłoka =,5 jet całkowicie wełnion oleje. Oblicć wółcnnik ściśliwości oleju β, wieąc że o obciążeniu tłoka iłą F = 5 kn auważono reunięcie tłoka o. Oowieź: β =5,7 - /N Za..7 Ile wo należ ooować o ełneo, aknięteo i okonale twneo biornika o ojeności,5, ażeb wrot ciśnienia wniół Δ = kpa? Wółcnnik ściśliwości wo β wnoi,7 - /MN. Rowiąanie: Znów korta e woru na wółcnnik ściśliwości: V V któreo o oowieni rektałceniu oblic niejenie objętości wo, wiąane e wrote ciśnienia Δ. V V Po wrażeniu Δ i β w jenotkac otawowc: Oblica niejenie objętości; V kpa Pa,7 6 6,7 MN N,5,7 6 N N,5 N Ponieważ akłaan rrot ciśnienia wnika ooowania wo o twneo biornika, to ilość ooowanej wo ui koenować niejenie objętości wo ierwotnie awartej w biorniku: V o V,5,5 Za..8 Zaknięte nacnie awiera l wo. Jaki wrot ciśnienia wtąi w t nacniu, jeśli oouje ię 5 wo? Wółcnnik ściśliwości wo β wnoi,7 - /N. Oowieź: Δ=,6 MPa Za..9 Do enurki o oanc wiarac nalano wo o / jej ojeności. Oblicć ciśnienie rotatcne na nie enurki.

7 7 Rowiąanie: Ciśnienie rotatcne w owoln unkcie o owiercnią ciec ależ tlko o ałębienia teo unktu oniżej lutra ciec. Potrebna jet więc olełość o lutra wo o na. Nieależnie o ojeności enurki, jeśli ole jej oioeo rekroju jet nieienne, to wełnienie jej w ¾ ojeności jet równonacne t, że woa ajuje ¾ wokości enurki. Wnika teo, że wokość łua wo wnoi (¾ ) = 5 =,5. Tak więc ciśnienie rotatcne na nie wnoi: 9,8,5 7Pa Za.. Do nacnia w ktałcie owróconeo tożka o wokości = nalano wo o ołow jeo ojeności. Oblicć ciśnienie rotatcne w najniż unkcie wnętra nacnia. Rowiąanie: Ciśnienie rotatcne w określon iejcu nacnia ależ tlko o ołożenia lutra ciec ona t iejce. Mui wiec oblicć, jakie ołożenie lutra oowiaa ołowie objętości nacnia. Wrowaź onacenia jak na runku oocnic. Pojeność nacnia jet równa objętości tożka o roieniu otaw R i wokości H: V R Objętość wo ięającej o oiou onaconeo : V r Jeśli woa ajuje ołowę ojeności nacnia, to: H H t t

8 8 V V t t H H H [] Znając wokość oblic ciśnienie na nie nacnia. 9,8 7786Pa Za.. Rurka o oiaru rieenia (akceleroetr) otała utawiona na ojeźie. Ile wnoi cwilowe rieenie ojau, jeśli oio eników ciec ą takie, jak na runku? Jakie najwięke rieenie oże bć ierone t rrąe be utrat ciec? Rowiąanie: Na runku jet oana inforacja o ołożeniu eników wo w obwóc ałęiac rurki. Łącąc te eniki wólną ukośną łacną, otra łacnę owiercni wobonej (uwiocnioną na runku oocnic). Jeśli wrai równanie owiercni wobonej w ależności o rśieenia ojau, to bęie oli oblicć to rśieenie. Równanie owiercni wobonej otra rektałcając otawowe równanie tatki ciec w otaci różnickowej: (X Y Z) Prjij ukła wółręnc tak, jak na runku oocnic: Określ tera jenotkowe ił aowe. Powżenie oiou ciec w lewej ałęi rurki wkauje na to, że rśieenie jet kierowane w rawo. Wobec teo jenotkowa iła aowa w kierunku oi jet kierowana w lewo (reciwnie o wrotu rśieenia). Co o wartości bewlęnej jet ona równa rśieeniu. X a

9 9 Oś jet kierowana rotoale o łacn runku. W t kierunku nie a żaneo rśieenia, więc jenotkowa iła aowa Y jet erowa. W kierunku ionow wtęuje jenotkowa iła aowa wnikająca rawitacji. Jet ona wrócona w ół, cli reciwnie o oi. Równanie tatki o otawieniac: Całkując to równanie otra: Z a a C Stałą całkowania C określi na otawie warunku breoweo: w unkcie o wółręnc =, = (cli na owiercni wobonej), ie ciśnienie jet równe ciśnieniu atofercneu. at C, cli C at Tak więc ciśnienie w ciec jet wrażone natęującą ależnością w funkcji wółręnc : at a Powiercnia wobona jet owiercnią łożoną tc unktów (i tlko tc), w którc ciśnienie jet równe atofercneu. Wtarc więc rrównać owże wrażenie o at, żeb otrać równanie owiercni wobonej. at at a a Prśieenie a jet araetre teo równania. Wartość teo araetru ożna wnacć na otawie jakieokolwiek unktu na owiercni wobonej, wjątkie unktu o wółręnej =. Won unkte jet unkt najując ię na owiercni ciec w rawej ałęi rurki, o wółręnc: = l =, = - = a 9,8,85 Prejź tera o robleu najwiękeo rśieenia, które oże bć ierone. Utrata ciec roi wówca, ciec w lewej ałęi rurki oiąnie oio wlotu, cli onieie ię o wiar e. Naturalnie jenoceśnie o tle ao oanie oio ciec w rawej ałęi rurki. W tej tuacji różnica oioów ię lewą a rawą ałęią wnieie: a Zate najwięke ieralne rśieenie wnoi: a a e 6 5 a 5 9,8,7 Za.. Poca rieania ojau woa w biorniku utawion na t ojeźie acowuje ię tak, jak to retawiono na runku. Określić kierunek i wrot rucu ojau ora cwilowe rieenie.

10 Oowieź: a =,96 / ; ruc w lewo. Za.. Tr otwarte nacnia ołącone u ołu otał utawione w łacźnie ołużnej ojau. Wokość łuów wo w berucu jet wiocna na runku. Jakie bęą śrenie wokości łuów wo w nacniac A, B i C, jeśli oja bęie nabierał rękości w rawo rieenie /? Jakie błb te wokości, b woę atąiono rtęcią? Oowieź: A =, B = 6, C = 9. Za.. Clinrcne nacnie awierające olej o ętości 88 k/ obraca ię wokół ionowej oi rękością n = obr/in. Oblicć naciśnienie w śroku na i na obreżu na (w unkcie B), wieąc że r oanej rękości łębokość o śrokow unkte owiercni ciec wnoi. Rowiąanie: Rokła ciśnień wewnątr ciec jet określon re otawowe równanie tatki ciec w otaci różnickowej W onieieniu o ciec awartej w wirując clinre atouje to równanie wrażone we wółręnc clinrcnc. (R r Z)

11 ie r jet kierunkie roieniow, υ - kierunkie obwoow, onaca oś kierowaną o ór, R jet kłaową jenotkowej ił aowej w kierunku roieniow, Θ jet kłaową jenotkowej ił aowej w kierunku obwoow, aś Z jet kłaową jenotkowej ił aowej w kierunku ionow. Prjij ocątek ukłau wółręnc w śroku na biornika (co już onacono na runku). Proieniowa kłaowa jenotkowej ił aowej jet równa rieeniu ośrokoweu, ale jej wrot jet reciwn o wrotu teo rśieenia, cli on kierunkie oi r. R r W kierunku obwoow nie wtęuje żane rśieenie, więc Θ =. W kierunku ionow wtęuje jenotkowa iła aowa wnikająca rawitacji. Jet ona wrócona w ół, cli reciwnie o oi. Równanie tatki o otawieniac: Z Całkując to równanie otra: r r r C Stałą całkowania C określi na otawie warunku breoweo: w unkcie o wółręnc r=, υ= = (cli w śroku na), ie ciśnienie jet równe uie ciśnienia atofercneo i ciśnienia rotatcneo: ( o,o) at at, at, at, C, cli C at, Tak więc ciśnienie w ciec jet wrażone natęującą ależnością w funkcji wółręnc : r at, at r (,), aś oowienio naciśnienie aie wore: n Może tera o kolei oblicć: - naciśnienie w śroku na (r=, =): at r (,), n - naciśnienie na obreżu na (r=,5, =): n r n (,) r (,) 889,8, 59Pa (,) 88,5 889,8 (,) n 7Pa

12 Za..5 Clinrcne nacnie o oanej śrenic, ełne wo, wrawiono w ruc obrotow wokół oi ionowej rękością n = 9 obr/in. Cęść wo wlała ię. Jak łęboki jet lej utworon re owiercnię wo? Wkaówka: Wone bęie uiecenie ocątku ukłau wółręnc w śroku owiercni wobonej. Oowieź: = 5 Za..6 Zaknięte clinrcne nacnie o wokości bło naełnione o ołow woą (jak na runku a ). Pona woą najowało ię owietre o ciśnieniu atofercn at. Po ołonięciu ałeo otworu w nie nacnia cęść wo włnęła (r. b ). O ile oał oio wo w nacniu? Założć, że rorężanie owietra bło iotericne, cli ilocn ciśnienia i objętości bł tał. Ciśnienie atofercne wnoi, kpa. Rowiąanie: Wciekanie wo nacnia utało wte, kie natąiła równowaa ciśnień obu tron otworu (tn. ór i ołu). Stan ten oże aiać równanie: (*) at ie jet nienan ciśnienie na lutre wo, aitniał o utaniu wcieku. Jet to równanie wiea niewiaoi: i. Poana inforacja o tałości ilocnu ciśnienia i objętości owietra owoli naiać ruie równanie: at V V ; V to objętość owietra re wciekie, aś V o utaniu wcieku. Jeśli ole oioeo rekroju nacnia onac re A, to bęie oli aiać: ate A A ; at at (**)

13 Potawiając równanie (**) o (*) otra: a o wnożeniu obwóc tron re (+): at at at ) ( ) Jet to równanie kwaratowe e wlęu na. Rowiąując to równanie otra wa ierwiatki: = -,5 ora =,. Tlko ten rui ierwiatek równania jet enown, a ate już wie, że obniżenie oiou ciec wnoi =. at at Za..7 Keon (otwart biornik owrócon o ór ne) o owiercni rekroju oioeo A = 8 i wokości =,5 rlea o owiercni wo. Manoetr wkauje ciśnienie wewnątr keonu równe ciśnieniu atofercneu. Jakie bęie ciśnienie owietra wewnątr keonu o ouceniu o na no, jeśli łębokość wo H wnoi =? Jaka objętość wo włnie o keonu? Prjąć wartość ciśnienia atofercneo =, MPa. Oowieź: = 8 kpa; V =,9. Za..8 Ile wnoi naciśnienie w retawion biorniku au, jeśli na anoetre rtęciow jet wiocna różnica oioów 67? Gętość rtęci wnoi 55 k/. Uwaa: Poca wlewania rtęci o anoetru biornik bł otwart.

14 Rowiąanie: Z uwai, oanej w treści aania, wnika, że różnica oioów rtęci w anoetre wnoi ero wte, ciśnienie w biorniku jet równe atofercneu. Prełw rtęci o ewnętrnej rurki anoetru świac o itnieniu naciśnienia w biorniku. Nai równanie ciśnień na oioie niżeo eniku rtęci. Ciśnienie abolutne o lewej tronie: at n Ciśnienie abolutne na t a oioie o rawej tronie jet uą ciśnienia atofercneo i ciśnienia rotatcneo łua rtęci o wokości = 67. at Prrównuje ciśnienia na jenakowc oioac: ceo otruje: at n at k 55 9,8,67 896Pa 8,9 kpa n Za..9 Ile wnoi ciśnienie abolutne i ociśnienie w aie wełniając retawioną w rekroju rurę, jeśli anoetr won wkauje różnicę oioów 9? Ciśnienie atofercne =, kpa. Uwaa: Poca alewania anoetru ciśnienie w rure bło równe ciśnieniu atofercneu. Oowieź: = 99, kpa; =,9 kpa. Za.. Jeno trec nacń ołąconc jet aknięte o ór, r c jet o nieo rłącon rewó owietrn. Jakie różnice oioów wo owtaną w nacniac, jeśli rewó bęie ailan rężon owietre o naciśnieniu kpa? Wiar nacń ą oane w ilietrac. Oowieź: B - A = ; C - A =.

15 5 Za.. Do trec ołąconc otwartc nacń o śrenicac =, = 5 i = 6, awierającc ciec o ętości 9 k/, wunięto celne tłoki o różnc aac. Tłoki utawił ię na różnc oioac. Ciężar tłoka wnoi N, a różnice oioów wnoą: = 7, = 7. Oblicć a wtkic tłoków. Poinąć tarcie tłoków o ścianki nacń. Rowiąanie: Ciężar tłoka najie równania ciśnień naianeo la nacń i na oioie w, aiętając, że tłok nacika na ciec iłą równą jeo ciężarowi. A G A G Po otawieniu: A i A otra: G G Maa tłoka wnoi: G G,7k (,5 ),7 k 9,6,5 9,8 N Analoicnie określi ciężar tłoka równania ciśnień naianeo la nacń i na oioie. A G A G Po otawieniu: A i A otra: G G Maa tłoka wnoi:

16 6 G G,,7k,5 k (,) 9,7,k Treba jece określić aę tłoka : Za.. G N 9,8, k Do jeneo wóc otwartc nacń ołąconc awierającc woę nalano ciec X o nienanej ętości. Poceólne owiercnie ranicne utuował ię tak, jak to wiać na runku. Wnacć ętość ciec X. Oowieź: ρ = 75 k/ Za.. Do jeneo wóc otwartc nacń ołąconc awierającc woę nalano ciec X o nienanej ętości. Ciec ta warła woę o ruieo nacnia. Oblicć ętość ciec X, wieąc że oceólne owiercnie ranicne utuował ię tak, jak to wiać na runku. Oowieź: ρ = k/ Za.. Do tub o śrenic 6 rklejono enko r ciśnieniu atofercn wnoąc 5 bar. Oblicć iłę, jaka uiłuje wcnąć to enko, tubę uieści ię w różni acowanie tej aej teeratur.

17 7 Rowiąanie: W warunkac ocątkowc na enko iałają ił arcia wóc tron (o wewnątr i ewnątr tub) i naturalnie ię równoważą. Po renieieniu tub o różni nika iła arcia o ewnątr, ootaje aś nieieniona (r acowaniu tałej teeratur) iła arcia o wewnątr. Ta ootająca iła uiłuje wcnąć enko. Oblic ją jako ilocn owiercni enka i ciśnienia anująceo w tubie, acowaneo warunków ocątkowc: D 6,6 at 5bar 5Pa P A P (,6) at D at 5Pa 6N Za..5 Do tub o śrenic rklejono obwa enka r ciśnieniu atofercn wnoąc Pa. Jaka iła iała na enka, jeśli ciśnienie na ewnątr tub anie o, MPa be ian teeratur? Oowieź: P=78 N Za..6 Jak uża i jak wrócona iła jet otrebna, żeb utrać retawioną clinrcną beckę o ciężare N w ięciu kolejnc ołożeniac wkaanc na runku? Rowiąać kortając ależności ciśnienia o łębokości anurenia. Rowiąanie: Wełu ierwej aa tatki, la aewnienia ocnku ciała, ił iałające na to ciało uą ię równoważć. W każ retawionc raków oatkowa iła ui równoważć wakową ił iałającc e tron naturalneo otocenia becki. Te naturalne ił, to ił aowe ora ił owiercniowe. W każ ołożeniu na beckę iała iła aowa (ciężar) ora ił owiercniowe. Sił owiercniowe równoważą ię w kierunku oio, ale nie uą ię równoważć w kierunku ionow. To właśnie aanienie treba oać analiie. W ierw ołożeniu na órnej i olnej owiercni becki ciśnienia ą jenakowe (równe ciśnieniu atofercneu), więc i ił owiercniowe ą jenakowe. Wobec teo oatkowa iła F ui równoważć tlko ciężar becki G, ate owinna iałać w órę i ieć wartość: F G N

18 8 W rui ołożeniu olna owiercnia becki jet anurona na łębokość =,5. W taki raku iała na nią iła arcia rotatcneo: P A Pole olnej (albo też órnej) owiercni becki wnoi: Zate wartość ił arcia: Doatkowa iła F owinna wnoić: A,7,85 k P 9,8,5,85 888N F G P N 888N N Ponieważ ciężar becki reważa na iłą arcia iałającą w órę, to iła F ui też iałać w órę. W treci ołożeniu olna owiercnia becki jet anurona na łębokość =, natoiat órna owiercnia becki nie jet anurona. W taki raku na beckę iała iła arcia rotatcneo o wartości: k P A 9,8,85 777N Siła ta iała w órę, natoiat w ół iała ciężar becki G równ N. Wobec teo la acowania równowai otrebna jet iałająca w ół iła o wartości: F P G 777N N 777N ( ) W cwart ołożeniu órna owiercnia becki jet anurona na łębokość =,5, aś olna owiercnia jet anurona na łębokość =,5. W taki raku na órną owiercnię becki iała kierowana w ół iła arcia rotatcneo o wartości: k P A 9,8,5,85 888N ( ) Natoiat na olną owiercnię becki iała kierowana w órę iła arcia o wartości: k P A 9,8,5, N ( ) Wobec teo la acowania równowai otrebna jet iałająca w ół iła o wartości: F P P G 5665N 888N N 777N ( ) W iąt ołożeniu órna owiercnia becki jet anurona na łębokość =, aś olna owiercnia jet anurona na łębokość =. W taki raku na órną owiercnię becki iała kierowana w ół iła arcia rotatcneo o wartości: k P A 9,8,85 777N ( ) Natoiat na olną owiercnię becki iała kierowana w órę iła arcia o wartości:

19 9 k P A 9,8,85 755N ( ) Wobec teo la acowania równowai otrebna jet iałająca w ół iła o wartości: F P P G 755N 777N N 777N ( ) Łatwo w t iejcu auważć, że wakowa iła arcia iałająceo na anuroną beckę nie ależ o łębokości anurenia i wnoi: P w P P ( k ) A 9,8,85 777N ( ) co jet one rawe Arcieea (na anurone ciało iała kierowana ku óre iła woru równa ciężarowi ciec wartej re to ciało). Za..7 Sklankę ełną wo rkrto celnie kartką i otrożnie owrócono o ór ne. Dlaceo woa nie wlewa ię e klanki? Wnacć iłę, jaka ocika kartkę o klanki. Poinąć aę kartki. Prjąć wartość ciśnienia atofercneo =, MPa. Oowieź: F = 85 N N = 8 N. Za..8 Na runku jet retawion biornik włae rkrt okrwą. Jaka owinna bć aa okrw, żeb woa nie wcnęła jej, b aoniano rocować ją śrubai? Wiar oane w ilietrac. Oowieź: = 8 k. Za..9 Clinrcn biornik jet celnie ołącon ionową rurą. Ciężar olnej okrw biornika (ennic D) wnoi N. Oblicć iłę obciążającą śrub ennic w wóc wakac: ) o biornika nalano 8 litrów wo; ) o biornika nalano 9 litrów wo.

20 Rowiąanie: Najierw baaj, jaką ojeność a clinrcn biornik. Dięki teu bęie oli ocenić, jakie nacenie a to, c nalano 8, c 9 litrów wo. Objętość biornika: D V,6,7,866 8,66 [litrów] Wiać, że jeśli nalano 8 litrów wo, to biornik nie jet całkowicie wełnion, aś jeśli nalano 9 litrów, to biornik jet reełnion i cęść wo ieści ię w rure wlewowej. Siła F obciążająca śrub ennic jet uą ciężaru ennic G i arcia rotatcneo ( A) na ennicę: F G A Ciśnienie na oioie ennic jet równe ρ, ie jet wokością łua wo. Jeśli nalano 8 litrów wo, to oże otawić: F G A G A G V (Jak wiać, w t raku nie jet koniecne oblicenie wokości łua wo) k F N 9,8,866 87N W raku, kie woa cęściowo najuje ię w rure wlewowej, itotna jet wokość łua wo w tej rure. Oblic: Objętość wo w rure: r V,9,866 9, Wokość łua wo w rure ależ o ola rekroju orecneo rur A r : Vr A V r 9, (,5) r r 5,85 Stwiera, że wiar r jet niej niż wokość rur, więc ożna o alc obliceń rjąć wokość łua wo w rure równą r. Zate łącna wokość łua wo na ennicą: Ciśnienie rotatcne na oioie ennic: r,75,85 5,55 k 9,8 5,55 55Pa Siła F obciążająca śrub ennic jet uą ciężaru ennic G i arcia rotatcneo ( A) na ennicę:

21 (,6) F G A N 55Pa 55N Łatwo auważć, jak użą ianę obciążenia ennic wwołała różnica litra wo. Za.. Oblicć, jaką iłę R ożna wwołać w retawionej raie ecanicno-raulicnej a oocą ił F = 5 N, wiar wnoą: a = 6, b = 5, =, D = 8. Poinąć ciężar eleentów. Oowieź: R = kn Za.. Pionowa ściana tanowi reroę ię woa biornikai wo. Wnacć arcie wakowe iałające na jeen etr łuości ścian ora oent rewracając ścianę. Rowiąanie: Siłę arcia rotatcneo, iałającą na owolną anuroną owiercnię łaką (ionową, oioą lub też nacloną), ożna oblicć re onożenie wartości ciśnienia rotatcneo wtęująceo w śroku ciężkości tej owiercni re ole tej owiercni. Treba r t aiętać, że w owż forułowaniu coi o owiercnię recwiteo kontaktu ciecą. Kie oblica iłę arcia na ścianę cęściowo wtającą ona owiercnię ciec, to o obliceń wkortuje tlko tę cęść ścian, która najuje ię oniżej oiou lutra ciec, cli cęść anuroną. Ściana wiocna na runku jet oblana woą tlko w cęści wokości, i to cęści różnej lewej i rawej tron. Oblic najierw wartość i ołożenie wektora arcia iałająceo lewej tron. Ciśnienie na oioie śroka ciężkości oblanej cęści ścian o lewej tronie: Siła arcia na ścianie o łuości L (rotoałej o łacn runku):

22 P A ( L) Siła arcia iałająca na jeen etr łuości ścian (arcie jenotkowe): P 9,8 L N 5 Wektor arcia najuje ię na oioie śroka ciężkości rokłau ciśnienia rotatcneo, cli na / wokości anuronej cęści ścian. Dla lewej tron jet to oio określon wółręną Oblic tera analoicne araetr la rawej tron ścian. Ciśnienie na oioie śroka ciężkości oblanej cęści ścian o rawej tronie: Siła arcia iałająca na jeen etr łuości ścian (arcie jenotkowe): P, 9,8 L Wektor arcia najuje ię na oioie określon wółręną, N 76 Na oocnic runku ą retawione rokła ciśnienia rotatcneo i wektor arcia iałająceo obu tron ścian. Wakowe arcie jenotkowe jet różnicą arć iałającc obu tron. P P P N N 5 76 L L L N 78 Moent rewracając ścianę (też onieion o jenotki łuości ścian) określi jako różnicę oentów wwołanc re wektor arć iałającc obu tron ścian, wlęe jej otaw. M L P P N N 5 76, L L (N) Za.. Jak uża iła arcia rotatcneo iała na wiocną ścianę biornika woą? Narować rokła jenotkowc ił arcia włuż wokości ścian. Dłuość ścian wnoi 6.

23 Oowieź: P = 77 N Za.. Na runku jet retawion w wóc rutac otwart biornik woą. Wiar liniowe ą oane w ilietrac. Oblicć arcie rotatcne na ocloną ścianę biornika. Oowieź: P =,69 kn Za.. Na runku jet retawion w wóc rutac otwart biornik woą. Wiar liniowe ą oane w ilietrac. Oblicć arcie rotatcne na okrwę włau najująceo ię u ołu biornika. Oowieź: P =,99 kn Za..5 Na runku jet retawion w wóc rutac otwart biornik woą. Wiar liniowe ą oane w ilietrac. Oblicć arcie rotatcne na okrwę włau najująceo ię u ołu biornika. Oowieź: P = 9,75 kn

24 Za..6 Jena e ścian otwarteo biornika wo jet aokrąlona clinrcnie, a jej roień r =. Oblicć arcie na tę ścianę i kąt naclenia wektora arcia o oiou, wieąc że łębokość wo jet równa r. Oowieź: P = 6 N; α = 57,5 Za..7 Do wiocneo otwarteo clinrcneo nacnia (wiar oane w ilietrac) wlano wo. Srawić, c woa wełniła nacnie. Oblicć iłę arcia rotatcneo iałająceo na okrwkę P rklejoną w śroku na. Oowieź: P = 5 N Za..8 Cliner o śrenic D =,6 ` jet naełnion woą. Jak uża iła F owinna iałać na tłok, żeb woa w otwart rewoie P najowała ię na ranic relewania? Oowieź: F in = 8 N Za..9 Otwarte nacnie w ktałcie owróconeo otrołua rawiłoweo o oanc wiarac otało naełnione woą. Oblicć arcie rotatcne iałające na jeną ścianę nacnia.

25 5 Oowieź: P = N Za.. Do otwarteo nacnia w ktałcie owróconeo klina o wóc ścianac ionowc, o otawie kwaratowej i wokości równej, nalano wo o ołow ojeności. Oblicć arcie rotatcne na każej ścianie nacnia. Oowieź: P =: 7 N, 578 N, 7 N, 578 N Za.. Do otwarteo tożkoweo biornika o oanc wiarac nalano wo o oiou. Oblicć iłę F, jaka obciąża śrub kołniera K. Ciężar okrw wnoi N. Oowieź: F = 6 N Za.. Zaknięt biornik walcowo-tożkow jet wełnion woą. Jak uże ił iałają na śrub kołnier K i K, anoetr M nie wkauje naciśnienia, a jak uże wówca, anoetr wkauje, MPa naciśnienia? Ciężar tożkowej cęści biornika wnoi N, aś ciężar olnej okrw = N. Oowieź: Jeśli n = : F K =, kn; F K = 8,6 kn Jeśli n =, MPa: F K = 59,7 kn; F K = 6 kn

26 6. KINEMATYKA PŁYNÓW Za.. Eleent łnu reiecają ię o okręu, któreo roień jet aceion w ocątku ukłau wółręnc - i a wiar. Ruc obwa ię w kierunku oatni (reciwn o rucu wkaówek eara), a rękość obwoowa eleentu jet równa. Naiać wrażenia określające kłaowe rękości w funkcji wółręnc i. Rowiąanie: Na otawie inforacji oanc w treści aania oże narować okrą i na ni wektor rękości eleentów łnu (wektor uieca w owoln unkcie). Rutując wektor na kierunki ukłau wółręnc otruje kłaowe rękości : in co Jak łatwo auważć, ożna wraić funkcje kąta α w ależności o wółręnc unktu rłożenia wektora : r r Jeśli o wrażeń tc otawi wiaoe wartości i r, to otra: Ruc obwa ię o okręu, cli jet ruce łaki. Prękość w kierunku jet wiec równa eru. Zate otatecnie oże naiać: Za.. Prełw jet określon re natęujące utalone kłaowe rękości: =, =, = -,5. Określić równanie linii rąu la eleentu łnu, któr w ewnej cwili recoi re unkt (, 9, ). Wnacć też ołożenie teo eleentu o caie Δt =. Rowiąanie: Donując kłaowi rękości, oże określić równanie linii rąu roocnając o różnickoweo równania linii rąu: Wiaoo, że rękość w kierunku jet równa ero (ruc jet łaki), toteż ui oranicć równanie różnickowe o wóc kłaowc: i :

27 7 Potawi tera wartości kłaowc rękości: albo inacej: Po całkowaniu otruje:,5 5 5 Stałą całkowania wnac na otawie inforacji o wółręnc unktu, re któr reeł eleent łnu (,,). 5 C C 5 C, tą C= Otatecnie równanie linii rąu w łacźnie - a otać: W kierunku nie wtęuje ruc ( = ), więc wółręna linii rąu jet nieienna: 5 6 9

28 8 Drui aanienie jet naleienie ołożenia (,, ) określoneo eleentu łnu o określon caie. Poocne bęie w t celu wrażenie efiniujące eleentarne reunięcie, n. w kierunku : t t Całkując to równanie otra wartość reunięcia : t Stała całkowania oże bć określona warunku, że w cwili t= wółręna ołożenia bła równa ero. C C, tą C t Po caie t = [ekun] wółręna wnoi: 8 Wółręną o t a caie wnac równania linii rąu: Wółręna jet nieienna i wnoi Poukiwane wółręne wnoą (8, 9, -) Za.. Określić roinę linii rąu, wieąc że rełw jet oian natęując utalon ole rękości: = -, =, = Rowiąanie: Roocna o różnickoweo równania linii rąu: Wobec faktu, że =, ootawia tlko wa eleent równania i otawia ane wrażenia. ; ; Całkując otatnie równanie otra: C ; cont. Roonaje w t równaniu równanie okręu. Linie rąu tanowią więc roinę okręów o śroku ołożon w ocątku ukłau wółręnc -. Zwrot obieu o tc okręac oże bć naleion na otawie n. aneo wrażenia = -. Wnika nieo, że la oatnic wartości kłaowa jet wrócona w lewo, cli ruc jet reciwn o rucu wkaówek eara. Za.. Wnacć linię rąu la eleentu łnu, któr orua ię ruce oian w aaniu, a w cwili t = najował ię w unkcie (,, ). Zaiać wółręne teo unktu w owolnej cwili t. Rowiąanie: W aaniu. określiliś roinę linii rąu w otaci roin okręów o równaniu:

29 9 Wieąc, że ewien eleent łnu recoił w cwili t = re unkt (,, ), oże recować okrą, o jaki węruje ten eleent. Znajź tałą C: C C ; tą C Równanie okręu: Zaianie ołożenia unktu w owolnej cwili jet ożliwe o całkowaniu wrażenia oiująceo eleentarne reunięcie. t t Połuując ię naleion równanie okręu aie, że: Roielając ienne otra: W wniku całkowania bęie: Wie, że w cwili t= bło =, więc: t t arcin t C arcin C, tą arc in t in t co (t) Zależność wółręnej o cau: co(t) C arcin Zależność wółręnej o cau określi na otawie równania okręu. co (t) co (t) in(t) Wie, że =, więc wółręna nie ależ o cau: Po całkowaniu t t C'

30 Wiaoo, że w cwili t= (jak też w każej innej cwili) bło =, więc C = Poukiwane wrażenia ają otacie: co(t), in(t), Za..5 Określić roinę linii rąu, wieąc że rełw jet oian natęując utalon ole rękości: = 6, = -6, =. Oowieź: roina okręów o równaniu + = cont., ruc w kierunku ujen. Za..6 Wnacć linię rąu la eleentu łnu, któr orua ię ruce oian w aaniu 5, a w ewnej cwili najował ię w unkcie (,, ). Oblicć rękość liniową i kątową eleentów na tej linii. Oowieź: okrą + = 5, = ; = ; ω = 6 ra/ Za..7 Prełw jet określon natęując ole rękości: = π, = -π, =. Określić linie rąu. Rowiąanie: Skłaowe rękości i ą wajenie rężone e wółręni i, natoiat rękość w kierunku jet tała. Roważ wiec najierw ruc w łacźnie -, iąc oowienią cęść różnickoweo równania linii rąu. ; ; Po całkowaniu otruje: Dieląc obie tron równania re π/ otra: C' Łatwo teo równania wwniokować, że w łacźnie - ruc obwa ię o okręac, którc śroek leż w ocątku ukłau wółręnc. Ponieważ rękość jet tała, to ruc w kierunku jet ruce jenotajn. Położenie w kierunku wrai ołuując ię równanie: a o całkowaniu: C t t t cont Łącąc otrane wrażenia twiera, że oian ruc jet kobinacją rucu o okręu w łacźnie - i rucu rotolinioweo w kierunku, cli jet ruce o liniac śrubowc. Za..8

31 Ile wnoi rękość kątowa rełwu oianeo w aaniu 7 w rucie na łacnę -? Jakie bęą w cwili t = ½ wółręne eleentu łnu, któr w cwili t = najował ię w unkcie (,, )? Rowiąanie: Prękość kątowa oże bć oblicona na otawie rękości liniowej w rucu o okręu. Prękość liniową oblic u jej kłaowc: r Prękość kątowa: r Wółręne unktu, w któr najie ię eleent łnu o określon caie, oblica ołuując ię całkowanie eleentarnc reunięć w caie t. Weź o uwaę kierunek. t t Ze wlęu na óźnieje całkowanie, obre błob obć ię iennej. Połuując ię naleion równanie okręu aie, że: r Roielając ienne otra: Całkuje tera to równanie. Wie, że w cwili t= bło =, =, więc: r r arc in r t t t C - roień okręu, o któr reieca ię eleent w łacźnie -: r - tała całkowania wnika warunku arcin C, tą C arc in r in( t) r r in( t) Tera już oże wnacć wółręną ołożenia eleentu łnu o caie t=/ Wółręną najie równania okręu r in( t) in r Wółręną określi na roe całkowania eleentarnc reunięć w kierunku. t

32 t t t C' Ponieważ w cwili t= bło =, więc C =, a w konekwencji: Dla cwili t=/ otruje: Poukiwane wółręne wnoą (,, ). t Za..9 Prełw jet określon natęując ole rękości: =, = -, =. Określić linię rąu la eleentu łnu, któr w ewnej cwili najował ię w unkcie (,, ) Oowieź: elia o ółoiac: a =, b =, ołożona w ocątku ukłau wółręnc -. Za.. Prełw jet określon natęując ole rękości: =, =, = -. Określić linię rąu la eleentu łnu, któr w ewnej cwili najował ię w unkcie (,, ). Oowieź: ierbola o równaniu = ; eleent bliża ię atotcnie o oi. Za.. Poa naełnia wiocn biornik woą. Pojeność biornika wnoi 5. Prękość rełwu w rewoie tłocn PT wnoi /. Wewnętrna śrenica teo rewou jet równa 8. Jak łuo trwa naełnianie biornika o tanu uteo? Rowiąanie: Zonie efinicją, objętościowe natężenie rełwu jet tounkie rrotu objętości ciec (w nacniu) o cau, w jaki ten rrot natąił. W waku naełniania o tanu uteo ożna wraić objętościowe natężenie rełwu jako ilora ojeności nacnia i cau jeo naełniania t: V V t Tak więc ca naełniania biornika wnika ilorau ojeności biornika V i objętościoweo natężenia ołwu V. Wiaoa jet ojeność biornika, ale natężenia rełwu nie na. Treba je oblicć na otawie rękości rełwu w rewoie tłocn i ola rekroju teo rewou, r c ui aiętać o aiie w jenotkac ukłau SI (wiar liniowe w etrac). V A Ca naełniania biornika wnieie: V,5 t V 5,89,8 5, in.

33 Za.. Nacnie o ojeności 6 naełnia ię woą w ciąu inut. Wnacć objętościowe i aowe natężenie włwu wo rewou ailająceo. Wnacć też śrenią rękość rełwu wo re ten rewó, wieąc że jeo śrenica wewnętrna wnoi. Oowieź: V = 5 - /, =,5 k/, =,59 /. Za.. Maowe natężenie włw wo wlewki W wnoi, k/. Śrenica relotu w wlewce =. Śrenica otworu w nacniu D = 6. W caie oberwacji nie auważono ian oiou wo w nacniu. Oblicć objętościowe natężenie włwu wo nacnia, rękość włwu nacnia i rękość wo w wlewce. Rowiąanie: To, że oio wo w nacniu nie ienia ię, jet owoe na to, że aowe natężenie rełwu w wlewce jet takie ao, jak w otwore w nacniu. Ponieważ roatrwan łne jet woa, cli ciec raktcnie nieściśliwa, ożna unać, że również objętościowe natężenia rełwu w wlewce i w otwore ą takie ae. Oblic to objętościowe natężenie rełwu, rjując ętość wo równą k/ : V, Prękość włwu wo nacnia ożna oblicć na otawie objętościoweo natężenia rełwu i ola rekroju otworu. Mui aiętać r t o wrażeniu śrenic D w etrac. D V A D V D,6,97 Prękość włwu wo wlewki oblic oobnie, tą tlko różnicą, że ore ię na śrenic relotu wlewki. V A V,,88 Za.. Oblicć rękość au rełwająceo re rurocią, wieąc że rękość jeo rełwu re turbinę rełwoiera t wnoi /. Założć nieienną ętość au.

34 Rowiąanie: Diałanie rełwoiera olea na wkortaniu enerii łnąceo au o naęania ałej turbin, oaonej w oowieni koruie. Koru turbin ajuje ewną cęść rekroju kanału, więc a jet uon o reciśnięcia ię ię korue turbin a korue ewnętrn. To owouje cwilowe więkenie rękości au. W analiie ian rękości rełwu obowiąuje rawo acowania a. Onaca to, że taka aa jet aa au rełwająceo w caie Δt re rekrój kołow o śrenic D = 98, jak i re rekrój ierścieniow wokół koruu turbin o wiarac D/ = 98/6 (oija r t obecność cienkic łoatek turbin w t olu). ; At A t t Pr ałożeniu nieiennej ętości au urości równanie o otaci: A A t t (Ten ai wraża nieienność objętościoweo natężenia rełwu) Z teo równania oblic rękość. D D t t t t D 98 6 t D 98 Za..5 Kolektor o śrenic D = rjuje woę wóc rewoów o śrenic =. Prękość rełwu w rewoie a wnoi /, aś w rewoie b, /. Prewoe c o śrenic c = 5 jet obierana woa w ilości,5 /. Oblicć natężenie i rękość rełwu w kolektore w rekrojac i. Założć, że rewo ą wełnione woą w cał rekroju. Rowiąanie: Na runku wii roałęion ukła rewoów. Zaanice równanie la takieo ukłau tanowi, że ua aowc natężeń ołwu jet równa uie aowc natężeń ołwu.

35 5 W waku wo (ciec raktcnie nieściśliwa) oże aiat natężeń aowc użć natężeń objętościowc. Jeśli intereuje na natężenie rełwu w rekroju kolektora, to oowienie równanie a otać: V Va Vb albo inacej, użcie ilocnów rekrojów i rękości: V Aa a Ab b a b a b, V Śrenia rękość rełwu w rekroju : V A V D,,85,5,,85 Prekrój najuje ię a roałęienie rewoów, więc rełw w ni bęie niejon o tę ilość wo, która ołnie rewoe c. Może naiać równanie wiążące rełw w rekrojac, i w rewoie c, ale oże również naiać równanie la całeo ukłau. Poniżej jet wkortane równanie naiane la całeo ukłau: V Śrenia rękość w rekroju wnoi: V V Vc Va Vb Va Vb Vc a b V c V, V,,5 V A V,5 D, a b c,5,76 Za..6 Kolektor o śrenic D = obiera owietre ięciu kanałów o śrenic = 5. Prękości rełwu w kanałac wnoą: a = /, b = 6 /. Oblicć natężenie i śrenią rękość rełwu w kolektore w rekrojac 5, akłaając nieienną ętość owietra. Oowieź: V =, V = 95, V = 778, V = 99, V 5 = /; =, = 7, =, =, 5 = 7 /.

36 6 Za..7 Struień ciec o natężeniu rełwu 8 /in łnąc w kanale o śrenic 8 łąc ię e truienie 7 /in łnąc w kanale o śrenic 6. Ile owinna wnoić śrenica kanału wólneo, jeśli jet waane utranie w ni rękości nie więkej, niż w którkolwiek tc wóc kanałów? Założć, że rewo ą wełnione woą w cał rekroju. Oowieź: D =. Za..8 Pojeniki P o ktałcie aknięteo clinra ą rełane neuatcnie w rurociąu o śrenic wewnętrnej. Prękość rełwu owietra w rurociąu jet równa 5 /, aś ierona rękość onoenia ojenika u wnoi /. Ile wnoi rękość owietra w celinie ię ojenikie a ścianką rurociąu, licona wlęe ścianki ( ) ora wlęe ojenika ( )? Poinąć ian ętości owietra. Rowiąanie: W uż oaleniu o ojenika rękość rełwu jenoliteo truienia owietra w rurociąu wnoi, ale w otoceniu ojenika twiera jenocene wtęowanie wóc truieni owietra: jeen truień oca ojenik, cli reieca ię jeo rękością (onac ją u ), aś rui truień recika ię wokół ojenika rękością bewlęną i wrea o (atr - runek oocnic). Zai równanie ciąłości rełwu ałożenie nieiennej ętości owietra. D D u Z teo równania oże wnacć rękość bewlęną owietra w celinie. D D u, 5,8,8,,8 Prękość owietra w celinie wlęe ojenika wnac jako różnicę rękości. u,8,8

37 7. DYNAMIKA PŁYNÓW DOSKONAŁYCH Za.. Jak uże naciśnienie owinno anować wewnątr retawioneo biornika, ażeb włwało nieo,5 au na ekunę? Prjąć, że ętość au wnoi,8 k/. Rowiąanie: Eneria otencjalna ciśnienia au awarteo w biorniku oże reienić ię w enerię kinetcną włwu teo au. Bilan enerii wraża równanie Bernoullieo. Ponieważ aanienie otc ciśnienia, woniej bęie atoować tę otać równania, która wraża enerię jenotki objętości łnu. Prekrój () obiera w łębi biornika na oioie oi, natoiat rekrój () w iejcu wlotu au o otocenia. Potawienia o równania Bernoullieo: śrenia rękość au w rekroju (): ; ciśnienie abolutne w rekroju (): = at + n ( n jet oukiwan naciśnienie); wokość utuowania rekroju () i rekroju () jet taka aa, onato należ auważć, że w waku au nacenie wokości jet nikoe; ciśnienie abolutne a wlote (w rekroju ) = at ; rękość au w iejcu włwu ( ) ui bć naleiona inneo warunku. Po wrowaeniu aktualnc uroceń równanie Bernoullieo rjie natęującą otać: at n n Prękość wlotowa au ui bć taka, żeb aewnić włw,5 na ekunę. Jet to objętościowe natężenie rełwu. Pr nanej śrenic otworu wlotoweo oblica rękość: V A V Zate waane naciśnienie w biorniku wnoi: at,5 / (,), n,8 k/ (,/) N 8 8Pa

38 8 Za.. Oblicć rękość włwu i watek owietra włwająceo rur re wiocn otwór. W rure anuje naciśnienie równe,75 kpa. Prjąć, że ętość owietra wnoi, k/. Oowieź: = 5 /, V = 9 / Za.. W wniku aania owietra atofer o rur o śrenic =, woa w rurce klanej R ołąconej o otworu w ściance rur onioła ię o wokości = 8. Oblicć objętościowe natężenie rełwu owietra. Prjąć ętość owietra równą, k/. Poinąć ciężar łuka owietra w rurce. Rowiąanie: Zacowanie ię łuka ciec w rurce klanej wkauje na to, że ciśnienie w rełwając owietru jet nieje, niż ciśnienie atofercne. To niejenie ciśnienia wnika reian ewnej cęści enerii ciśnienia w enerię kinetcną. Nieienność u enerii jet oiana równanie Bernoullieo. Prjij rekrój () aleko re wlote o rur awnej, aś rekrój () w t iejcu, ie najuje ię rurka oiarowa. Potawienia o równania Bernoullieo: śrenia rękość owietra w rekroju (): ; ciśnienie abolutne w rekroju (): = at wokość utuowania rekroju () i rekroju () jet taka aa, onato należ aiętać, że w waku au nacenie wokości jet nikoe; ciśnienie abolutne w rekroju () ui bć określone na otawie oberwacji ciec w rurce klanej. Po wrowaeniu aktualnc uroceń równanie Bernoullieo rjie natęującą otać: której oże wnacć rękość at, (*) at

39 9 Zajij ię tera t, co ało w rurce klanej. Dla oiou lutra ciec w nacniu oże naiać równanie równowai tatcnej, biorąc o uwaę jenej tron ciśnienie na owiercni wobonej ciec, a ruiej tron ciśnienie wewnątr rurki klanej. Gętość wo onaca bole ρ w. at at w To wrażenie oże otawić o wceśniej ukanej ależności (*) i oblicć rękość. w 9,8,8 6,7, Donując inforacją o śrenic kanału i akłaając, że oblicona rękość jet jenakowa w cał rekroju, oże oblicć objętościowe natężenie rełwu. w V V A, 6,7, Za.. Oblicć rękość rełwu owietra w oi kanału, wieąc że różnica oioów wo w rurce Pitota wnoi = 5. Prjąć ętość owietra równą, k/. Porównać wnik ukan r uwlęnieniu ciśnienia tatcneo łuków owietra awarteo w rurce ora be uwlęnienia teo ciśnienia. Oowieź: =,9 / Za..5 Jakiej różnic oioów wo należ ię oiewać w rurce anoetru, jeśli natężenie rełwu owietra retawioną re wężkę wnoi,5 /? Prjąć ętość owietra, k/. Poinąć ciężar łuków owietra w anoetre. Oowieź: H =

40 Za..6 Oblicć objętościowe natężenie rełwu owietra w retawion kanale, wieąc że różnica oioów na anoetre won wnoi H = 9. Prjąć ętość owietra równą, k/. Poinąć ciężar łuków owietra awarteo w rurce anoetru. Rowiąanie: W wężeniu kanału natęuje więkenie rękości rełwu, cli wrot enerii kinetcnej. Mui to ię obć kote enerii inneo roaju enerii (ua enerii a ootać nieienna). Korta równania Bernoullieo. Prjij rekrój () w rekroju oowiaając lewej ałęi anoetru, aś rekrój () w rekroju oowiaając jeo rawej ałęi. Jene urocenie w owż aiie wnika e otreżenia, że śroki rekrojów () i () najują ię na t a oioie. Z równania Bernoullieo otruje: Różnicę ciśnień ( - ) łatwo określi na otawie wkaania woneo anoetru. Wtarc w t celu aiać równanie równowai wo na oioie niżeo eniku. cli Potawiając to o równania (*) otra: w H w H H w Nie jeteś jece w tanie wnacć rękości ani, ż obwie ą niewiaoi. Potrebne jet jece jeno równanie. Bęie ni równanie ciąłości rełwu. Pr nieiennej ętości owietra, równanie to określa równość objętościoweo natężenia rełwu w rekrojac () i (). (*) (**) równania teo otra:

41 co oże otawić o (**) H w Z teo wrażenia oblica rękość. 9,6,5,,9 9,8 H w Zate oże już oblicć objętościowe natężenie rełwu. Mnoż w t celu obliconą rękość w rekroju () re ole owiercni teo aeo rekroju.,778,5 6,9 A V Uwaa: Równie obre olibś oblicć rękość w rekroju () i onożć re ole owiercni rekroju (). Za..7 Oblicć śrenią rękość owietra na wlocie retawioneo kanału o atofer, wieąc że wkaanie anoetru woneo wnoi =. Prjąć ętość owietra równą, k/. Poinąć ciężar łuków owietra awarteo w rurce anoetrcnej. Oowieź: = 58 / Za..8 Otwór, re któr woa włwa e biornika, a śrenicę wewnętrną równą 5. Jaka różnicę oioów należ utrwać, żeb w ciąu inut włwało wo? Rowiąanie: Prcną rucu wo (włwu e biornika) jet eneria otencjalna wo, ukana ięki określonej wokości lutra ciec ona otwore włwow. Preiana enerii otencjalnej

42 w enerię kinetcną obwa ię be ian całkowitej ilości enerii, co wraża równanie Bernoullieo. Skorta teo równania w celu oblicenia właściwej wokości. Ponieważ aanienie otc wokości, woniej bęie atoować tę otać równania, która wraża enerię jenotki a łnu. Prekrój () rjie na oioie lutra ciec, aś rekrój () tuż a otwore włwow. Poio onieienia rjie na oioie otworu włwoweo. Potawienia o równania Bernoullieo: rękość wo w rekroju (): ; ciśnienie abolutne w rekroju (): = at ; wokość (na oioe onieienia) jet równa ; wokość ołożenia otworu włwoweo (na oioe onieienia) jet równa ero; ciśnienie abolutne w rekroju () = at = ; rękość wo w iejcu włwu ( ) ui bć naleiona oanej wartości watku. Po wrowaeniu aktualnc uroceń równanie Bernoullieo rjie natęującą otać: Prękość włwu ui bć taka, żeb aewnić włw V = na inutę. Prelicając na jenotkę ukłau SI otra V = - /. Pr nanej śrenic otworu włwoweo oblica rękość: V V A Zate właściwa różnica oioów wnoi: / (,5),6,88 9,8,6 Za..9 Otwór, re któr włwa woa retawionej kolun, a śrenicę wewnętrną równą. Jaka jet rękość włwu i jak uże objętościowe natężenie włwu w cwili, oio wo jet w onacon iejcu? Wiar ą oane w ilietrac.

43 Oowieź: =,96 /, V = 5 /. Za.. Woa rełwa ię otwarti biornikai kanałe wiocn na runku. Oblicć śrenią rękość wo w t kanale r oanc ołożeniac luter wo, oijając oor rełwu. Oowieź: = 9,9 /. Za.. Woa rełwa jeneo otwarteo biornika o ruieo re lewar. Śrenica relotu =. Wnacć objętościowe natężenie rełwu r oanej różnic oioów luter wo. Oblicć też ciśnienie abolutne w najwż unkcie lewara, rjując że ciśnienie atofercne wnoi bar. Oor rełwu oinąć. Oowieź: V = 5, /, = 6,76 kpa. Za.. Woa włwa otwarteo biornika re kanał kłaając ię wóc ocinków o śrenicac D = i =. Oblicć rękość wo w obu ocinkac ora ciśnienie w kanale o śrenic D, wieąc że H =. Prjąć wartość ciśnienia atofercneo 98 Pa. Poinąć oor rełwu. Rowiąanie: Włw wo re otwór wlotow (o śrenic ) jet owoowan iętrenie jej o oiou H, a rękość teo włwu oże bć wnacona a oocą równania Bernoullieo, naianeo la rekrojów () i (). Wnika teo, że obecność kanału o ośreniej śrenic D nie a nacenia.

44 Za oio onieienia rjie oio otworu wlotoweo. Potawienia o równania Bernoullieo: rękość wo w rekroju (): ; ciśnienie abolutne w rekroju (): = at ; wokość (na oioe onieienia) jet równa H; wokość ołożenia otworu włwoweo (na oioe onieienia) jet równa ero; ciśnienie abolutne w rekroju () = at ; Po wrowaeniu aktualnc uroceń równanie Bernoullieo rjie natęującą otać: H H 9,8 8,85 Prękość wo w ocinku kanału o śrenic D oblic na otawie równania ciąłości rełwu. Zakłaając nieienną ętość wo naie: D D, 8,85,,97 Oblicenie ciśnienia w kanale o śrenic D waa orównania całkowitej enerii wo w rekroju () i w którś ootałc wóc rekrojów. Wbier o orównania rekrój (). Potawienia o równania Bernoullieo: rękość wo w rekroju (), ciśnienie abolutne w rekroju () i wokość - jak aiane wżej; wokość ołożenia rekroju () (na oioe onieienia) jet równa ero; Po otawieniac otruje: at H at H Biorąc o uwaę wceśniej obliconą rękość otra:, ,8 959Pa

45 5 Za.. Wnacć cwilową rękość i cwilowe natężenie włwu wo otwarteo biornika re ał otrokrawęiow otwór. Dane: śrenica otworu =, wokość H =, wółcnnik rękości α =,96, wółcnnik kontrakcji β =,75. Rowiąanie: Słowo cwilowe użte w treści aania a wrócić uwaę na fakt, że rękość włwu wo oraniconeo biornika nie jet tała, onieważ oio lutra bęie cora niż. Może tlko oblicć cwilowe araetr włwu r określon oioie lutra. Poane w treści aania inforacje o wółcnnikac rękości i kontrakcji wkaują na to, że oblicenia owinn uwlęniać jawika acoące w otwore, a w t ewną tratę enerii. Zacnij jenak o obliceń nie uwlęniającc trat, a oane wółcnniki ołużą óźniej jako orawki o wników obliceń. Włw e biornika natęuje wkutek naciku łua wo najującej ię ona oioe otworu. W ależnościac ficnc ten nacik jet obraowan re enerię otencjalną. Równanie enerii (równanie Bernoullieo) aie la rekroju wnaconeo re lutro ciec (ie jet akalna eneria otencjalna), ora la rekroju w iejcu włwu o otocenia (ie wtęuje włw oukiwaną rękością). Za oio onieienia wonie jet rjąć oio otworu włwoweo. Potawienia o równania Bernoullieo: rękość jet oijalnie ała; ciśnienie abolutne w rekroju (): = at ; wokość wlęe oiou onieienia jet równa H; rękość to oukiwana rękość włwu; ciśnienie abolutne w rekroju () = at ; wokość wlęe oiou onieienia jet równa ero. Po wrowaeniu tc otawień równanie Bernoullieo rjie natęującą otać: H Z tej ależności ożna określić rękość oowiaającą iealneu retworeniu enerii: H W t iejcu należ wrowaić orawkę uwlęniającą tratę enerii w otwore, ięki ceu oblic rękość recwitą r anej wokości H: r H,96 9,8 6,

46 6 Cwilowe objętościowe natężenie włwu oblic kortając jece jenej orawki, a ianowicie wółcnnika kontrakcji (oorneo niejenia otworu włwoweo). V r r A r,,756,,5 Za.. Woa włwa wiocneo otwarteo biornika woa otrokrawęiowi otworai o śrenic. Onacone wiar wnoą: H =, =,, k =. Oblicć cwilowe objętościowe natężenie włwu re órn i re oln otwór. Prjąć w każ otwore wółcnnik rękości równ,97 a wółcnnik kontrakcji równ,85. Oowieź: V V =,57 /; =,8 /. Za..5 W retawion biorniku na owiercnią wo anuje naciśnienie = bar utrwane a oocą rężoneo owietra. Z jaką rękością włwa woa re wiocn o rawej tronie ał otwór otrokrawęiow, jeśli wółcnnik rękości =,95? Prjąć wiar K =,. Oowieź: r =, / Za..6 W wiocn biorniku wtęują wie niecelności (B i C), ale ięki ukłaowi ailająceu utrwane jet naciśnienie równe w iejcu oiaru, 5 Pa. Oblicć, jaką rękością włwa woa re niecelności, wieąc że wółcnnik rękości w nic wnoi =,96? Ile wo ui otarcać ukła ailając w ciąu inut la aewnienia tałeo ciśnienia, jeśli ole reświtu każej niecelności A =? Prjąć wartość wółcnnika kontrakcji β =,75.

47 7 Rowiąanie: Oblic najierw rękość włwu re otwór órn. Jak awe w teo tu aanieniac, unkte wjścia jet równanie Bernoullieo, wrażające równość u enerii w wbranc rekrojac w warunkac iealnc. Obier rekrój na oioie anoetru (ż w t iejcu otrafi określić enerię otencjalną ciec), aś rekrój w iejcu włwu wo o atofer (ta wtęuje oukiwana rękość). Za oio onieienia wonie jet rjąć oio anoetru. Potawienia o równania Bernoullieo: rękość jet oijalnie ała; ciśnienie abolutne w rekroju (): = at + wokość wlęe oiou onieienia jet równa ero; rękość to oukiwana rękość włwu re órn otwór B ; ciśnienie abolutne w rekroju () = at ; wokość wlęe oiou onieienia jet równa,5 D. Po wrowaeniu tc otawień równanie Bernoullieo rjie natęującą otać: B Z tej ależności ożna określić rękość oowiaającą iealneu retworeniu enerii: D B D Recwita rękość bęie wnacona o uwlęnieniu wółcnnika rękości: B D,96 9,8,6 6, Tera ajij ię włwe re otwór oln (C). Znowu użje równania Bernoullieo, r c obiere rekrój na oioie anoetru (jak orenio), aś rekrój w iejcu włwu wo re otwór C. Za oio onieienia rjij owtórnie oio anoetru. Potawienia o równania Bernoullieo: rękość jet oijalnie ała;

48 8 ciśnienie abolutne w rekroju (): = at + wokość wlęe oiou onieienia jet równa ero; rękość to oukiwana rękość włwu re oln otwór C ; ciśnienie abolutne w rekroju () = at ; wokość wlęe oiou onieienia jet równa -,5 D (ujena). Po wrowaeniu tc otawień równanie Bernoullieo rjie natęującą otać: C Z tej ależności ożna określić rękość oowiaającą iealneu retworeniu enerii: D C D Recwita rękość bęie wnacona o uwlęnieniu wółcnnika rękości: C D,96 9,8,6 8,5 Skoro żąane jet acowanie w biorniku tałeo ciśnienia, to ukła ailając ui otarcać woę taki natężenie ołwu, jakie jet natężenie włwu re niecelności. Oblic je uwlęniając wółcnnik kontrakcji. V r B A B A A,756, 8,5 A B 6, Ptanie otcło ilości wo otarcanej w ciąu inut, więc ui okonać oowienieo oblicenia. V V t, 5 6,655,655 Inacej ówiąc, objętościowe natężenie ołwu wo ui wnoić,655 /in. 5 Za..7 Z jaką rękością włwa woa retawioneo clinra re otwor B i C, jeśli iła F iałająca na tłok wnoi 5 N, a wółcnnik rękości =,96? O jaki ocinek reuwa ię tłok w ciąu inut, jeśli ole rekroju każeo otworu A wnoi? Prjąć wółcnnik kontrakcji β =,8. Rowiąanie: Jeśli na tłok iała ewnętrna iła F, a jenoceśnie tłok a ootawać w tanie równowai tatcnej, to woa ui iałać na tłok iłą arcia P=F. Mui to wwołwać w woie ewne ciśnienie.

49 9 Wiaoo, że arcie na owolną owiercnię łaką jet ilocne ola tej owiercni i ciśnienia rotatcneo w jej śroku ciężkości. Tłok wółracuje clinre, więc a ktałt kołow. Śroek ciężkości owiercni tłoka leż ate na oi clinra. Ma więc ożliwość oblicenia ciśnienia w oi clinra o na otawie ił arcia i ola owiercni tłoka. P A F D o 5 55Pa,6 Prękość włwu re otwor B i C określi ientcnie, jak w aaniu.8 B C D,96 D, ,8,6 55 9,8,6,87,9 Wkutek tc niecelności, clinra ucieka woa natężenie włwu: V r B A B A A,8,87,9 Ubtek objętości wo w ciąu jenej inut wnoi: A B 6,6 5 V V r t, ,65 Ponieważ iła naciku na tłok jet tała, to tłok bęie reuwał ię w rawo acowując to ao ciśnienie w clinre. Preunięcie tłoka w ciąu inut Δ ui bć takie, żeb koenować ubtek wo. Wartość Δ oblic warunku, że ilocn reunięcia tłoka i ola jeo owiercni jet równ objętości utraconej wo. D V V 8,65,5,5 D,6 Za..8 W łuiej ionowej rure, otwartej u ór, jet wkonan otwór otrokrawęiow o śrenic 5. Ocekuje ię, że bęie re nieo włwać woa natężenie 6 /in. Wółcnnik rękości w otwore wnoi,96, aś wółcnnik kontrakcji,8. Ile owinno wnoić ciśnienie rotatcne na oioie otworu? Jak woki owinien bć łu wo w rure ona otwore? Oowieź: = kpa ; H =,.

50 5 Za..9 Wnacć cwilową rękość rełwu wo lewej o rawej koor otwarteo biornika w trec retawionc rakac. Wiar wnoą: H =, =,, w =, w =,, w =,. W każ raku rjąć wółcnnik rękości równ,98. Oowieź: =,88 / Za.. W otwart kanale o tałej erokości łnie woa e śrenią rękością 5 k/o. W ewn iejcu na całej erokości na kanału najuje ię wnieienie (arb) o wokości = c, co owouje lokalne obniżenie owiercni wo. Wnacć wiar teo obniżenia. Rowiąanie: Jeżeli woa naotka rekoę w otaci orecneo arbu, to jet uona o więkenia rękości (ui bć acowane równanie ciąłości rełwu). Zwiękenie rękości owouje niejenie ciśnienia w woie (rawo acowania enerii) wkutek ceo lokalnie aaa ię jej owiercnia wobona. Jak wnika teo wwou, rowiąanie robleu jet oarte na ełnieniu wóc równań: równania Bernoullieo i równania ciąłości rełwu, la rekroju () re rekoą i la rekroju () w iejcu reko, obwóc wiąanc owiercnią woboną wo. Za oio onieienia rjij oio lutra wo w oaleniu o reko. Potawienia o równania Bernoullieo: ciśnienie abolutne w rekroju (): = at ; wokość jet równa ero (to jet oio onieienia); ciśnienie abolutne w rekroju () = at ; wokość (wlęe oiou onieienia) jet równa -; Po wrowaeniu tc otawień równanie Bernoullieo rjie natęującą otać: albo inacej