WYKŁAD 6 5. Teoria Filtracji Część I Michał Strzelecki

Transkrypt

1 WYKŁAD 6 5. Teo Fltcj Część I Mchł Stzeleck 5. Pw ządzące pzesączem wody pzez poy ośodk dwufzowego Wszystke skły, w tym w szczególośc guty posdją włsośc fltcyje, dzęk któym cecze gzy mogą sę pzez e pzedostwć pod wpływem pol gwtcyjego, óżcy potecjłu elektyczego lub chemczego, óżcy tempetu. Podstwowe pwo pzepływu wody pzez guty zostło sfomułowe pzez Dcy ego w ltch [Dcy H., 956 ]. Dcy e uwzględł wcześejszych pc Poseulle [Stzeleck., 8]., któy ozwżjąc teoetycze pzepływ lmy wody pzez ukę kplą uzyskł uśedoe ówe uchu logcze do ów Dcy ego. Jk wdomo pwo Dcy ego w oyglej postc wyż sę wzoem: v = kj (5.) gdze k ozcz współczyk fltcj, v pole wektoowe pędkośc fltcj, J to spdek hydulczy wyżjący sę wzoem: J = gd ( H) (5.) pzy czym H ozcz wysokość hydulczą wyżoą uposzczoym wzoem Beoulego: p H = + xδ 3 (5.3) ρg W welu pcch [,,4] pzedstwoo kytycze uwg do pzedstwoego pzez Dcy ego pw, któe moż steścć w stępujących tezch: Dcy e uwzględł fktu, że gdet wysokośc hydulczej H m pzecwy zwot ż wekto pędkośc fltcj v węc podstwowe pwo Dcy ego powo meć postć: v = kj (5.4) Köbe w 884 [Weczysty, 98] podósł poblem gc stosowlośc pw Dcy ego Fochheme w 94. [Fochheme, 94] podł zleżość defującą ówe pzepływu fltcyjego w pzypdku, gdy uch ceczy pzepływjącej pzez poy m chkte tubulety w postc: J = v + bvv (5.5) Pzedstwoe szczegółowe omówee wszelkch spektów uwg zwązych z pwem Dcy ego moż zleźć w pcch Połubowej-Koczy [Połubow-Kocz P.,977], Weczystego [Weczysty A,98], Stzeleckego [Stzeleck T., Żk S., Kosteck S. 8] welu ych utoów. Zgdeem pzepływu lmego pzez poy ośodk gutowego zjmowo sę óweż w poszukwu mkoskopowego pw pzepływu fltcyjego dogą uśede pocesów zchodzących w skl po pzyjętej jko skl ejedoodośc ośodk peodyczego z zstosowem metody symptotyczej homogezcj. W skl ejedoodośc poces lmego pzepływu ceczy opsują zgode z pcm Besouss [Besouss, 978], Auult [Auult, 98, 99] Stzeleckego

2 ych [Stzeleck T., Auult JL:., Bue J., Kosteck S., Puł W., 996], Łydżby [Łydźb D., ] ów Nve Stockes z ówem cągłośc pzepływu ceczy eścślwej, dl któej dv( v ) =. Uwzględjąc wuek bzegowy v = kotkce płyu z cłem stłym oz wuk peodyczośc dl pol wektoowego pędkośc fukcj cśe w płye uzyskuje sę ukłd ówń óżczkowych, któy jest puktem wyjśc do ozpoczęc pocesu homogezcj. W wyku pzepowdzoego ozwąz uzyskujemy lowe pwo Dcy ego z opsem mtemtyczym w jk sposób moż wyzczć umeycze wtość teso pzepuszczlośc, jeżel potfmy okeślć stuktuę ośodk poowtego zmy lepkość pzepływjącego pzez poy ośodk płyu. Uzyske w cytowych wyżej pcch ozwąze jest stotym osągęcem fzyk teoetyczej. Używjąc tylko zędz mtemtyczych uzysko pzy pzejścu ze skl mkoskopowej do mkoskopowej zupełe odmey chkte ówń opsujących poces pzepływu w obydwu sklch, oz udło sę okeślć ząd welkośc teso pzepuszczlośc w skl mkoskopowej. Nleży pzy tym podkeślć, że uzysky wyk jest w peł zgody wykm dośwdczeń, zleżość współczyk fltcj od stosuku l / µ, gdze l okeśl welkość ozmu komók epezetcyjej REV µ ozcz lepkość płyącego pzez poy ośodk płyu zostł potwedzo lczym ekspeymetm. 5.. Klsyczy model mtemtyczy teo fltcj Rów hydodymk wód podzemych zostły okeśloe pzy pzyjęcu stępujących złożeń: ośodek poowty twozy stuktuę cł stłego tktowego jko ośodek cągły, wewątz któego steje seć klków fltcyjych wzjeme połączoych, e występują poy zmkęte zwejące cecz lub gz, seć klków jest tyle egul, że moż okeślć elemetą objętość epezettywą RVE, któ epezetowć będze wyodęboy postopdłośc o eskończee młych wymch, poy ośodk wypełoe są ceczą, poces pzepływu ceczy odbyw sę w stłej tempetuze (poces zotemczy), poces fltcj e m wpływu pole elektycze mgetycze zem, e uwzględmy wpływu potecjłu chemczego, uch ceczy ozptujemy obsewując go względem euchomego ukłdu odese x, węc w ukłdze Lgge. Poces zchowyw sę ceczy opsują ów: kostytutywe ów stu, ów cągłośc pzepływu, ów uchu ceczy pzez ośodek poowty. Jk wykżemy, powyższy ukłd ówń pozwolł okeślć model mtemtyczy pzepływu ceczy pzez ośodek poowty. Uzyske ów muszą być uzupełoe pzez wuk bzegowe początkowe Kostytutywe ów stu Pzez poy ośodk poowtego może pzepływć pły o dużej ścślwośc objętoścowej (p. gz, meszy ceczy gzu) lub cecz wykzując sę bdzo młą ścślwoścą. Mówmy wtedy o lowo spężystym eżme fltcj. Ogczymy sę do dwóch pzypdków

3 ów stu: pewszy gdy mmy w poch ośodk dwufzowego cecz dug gdy poy wypełoe są gzem. W obydwu pzypdkch pujące w ceczy cśee lub jego pzyost powoduje odksztłce objętoścowe zówo płyu jk fzy stłej ośodk. Uwzględjąc zmy objętoścowe ceczy szkeletu, mówmy o eżme spężystym pzepływu fltcyjego. Gdy pomjmy efekty spężystośc objętoścowej, mówmy o tzw. sztywym eżme fltcj. Zkłdmy, że fz stł ośodk e uleg odksztłceom postcowym dopuszczmy w tej fze ozwżń jedye zmy objętoścowe, wyżjące sę zmą poowtośc mtycy cł stłego. Spężystość objętoścową ceczy opsuje pwo Hooke, według któego względ zm gęstośc objętoścowej płyu ρ jest popocjol do zmy cśe w m pującego: d ρ βwdp ρ = (5.6) gdze: β w - ozcz współczyk objętoścowej ścślwośc ceczy, defowy jko względ zm objętośc ceczy pzy zme cśe o b. Pzykłdowo dl wody β w jest zędu welkośc P Rówe (5.6) powdz do elowego zwązku pomędzy gęstoścą płyu cśeem ceczy w postc: ρ = ρ exp( β ) (5.7) gdze ρ ozcz gęstość płyu w wukch cśe tmosfeyczego. w p Pzy ewelkch welkoścch cśe (do b) moż pzyjąć, że zmy gęstośc są ezcze wówczs moż pzyjąć ρ = cost Rówe cągłośc pzepływu Nech Ω okeśl obsz elemety wypełoy ośodkem dwufzowym. Ozczmy S powezchę ogczjącą, pzez któą odbyw sę pzepływ fltcyjy ceczy. Nech ozcz weso omly do S skeowy zewątz obszu Ω. Pzepływ ceczy pzez powezchę S ogczjącą obsz Ω ys. okeśl ówe: S ( ρ) ρvds + dω =. (5.8) Ω 3

4 Rys. 6.. Pzepływ medum pzez powezchę S ogczjącą obsz Ω. Kozystjąc z twedze Guss Ostogdzkego, możemy zmeć cłkę powezchową objętoścową. Dostjemy, węc: ( ρv ) ( ρ) d Ω + d Ω = x. (5.9) Ω Ω Powyższe ówe pozwl zpsć zwązek lokly w postc: d ρ + dv( v) = (5.) ρ dt gdze d = + v (5.) dt x Okeśl pochodą mtelą gęstośc objętoścowej płyu Klsyczy model mtemtyczy pocesu fltcj Zkłdjąc, w pewszy pzypdku, że ośodek gutowy jest cłem dele sztywym, cecz pzepływjąc pzez stkę klków fltcyjych jest eścślw, ukłd ówń opsujący poces pzepływu lmego spowdz sę do ów stu: ρ = cost,ów cągłośc pzepływu: dv v =, ówń uchu wyżoych popzez pwo Dcy ego: v = kgd % ( H ) gdze k % ozcz teso pzepuszczlośc. Podstwjąc ów uchu do ów cągłośc pzepływu dostjemy ówe óżczkowe opsujące poces pzepływu ceczy eścślwej pzez jedoody, zotopowy, eodksztłcly ośodek poowty w postc: dv( kgd % (H)) = (5.) Rówe (5.) jest podstwowym ówem teo fltcj dl pzypdku gdy ośodek gutowy jest cłem dele sztywym. W dugm pzypdku zkłdmy, że ośodek gutowy wykzuje sę odksztłcloścą objętoścową zówo w zkese fzy stłej cekłej, e wykzuje jedkże odksztłclośc postcowej. Rówe cągłośc w tym pzypdku wyż sę ówem (5.). Podstwjąc do ów (5.) ówe uchu Dcy ego oz uwzględjąc, że ρ = ρ dostjemy klsycze ówe pzepływu eustloego w postc: c f 4

5 ( ρc f ) dv( ρc fkgd % ( H )) = (5.3) Pochod po pwej stoe ów cągłośc (5.3) jest loczyem dwóch fukcj: ρ f, c węc: ( ρc f ) f ρc = ρc + f t. (5.4) Wpowdzjąc stępe złoże, że pędkość zmy gęstośc płyu w czse jest zleż od loczyu gęstośc pędkośc zmy cśe: ρc p = ρcβw (5.5) co moż by uzć, że jest zgode ze zwązkem kostytutywym (5.6) zkłdjąc, że zm gęstośc jest zmą gęstośc w czse. Zkłdjąc stępe, że pędkość zm poowtośc jest wpost popocjol do pędkośc zm cśe ceczy w klsyczym ujęcu teo fltcj wpowdz sę zwązek kostytutywy w postc: f p = βs (5.6) t Powyższy zwązek tudo uzsdć jkmkolwek zwązkem feomeologczym mechk gutów skł. W teo kosoldcj Bot zkłd sę wpost, że poowtość w pocese odksztłceń szkeletu gutowego jest welkoścą stłą, co też e jest złożeem zgodym z zeczywstoścą, le e wpływ w zczący sposób popwość ozwązń tej teo. Zwązek (5.4) moż kozystjąc ze wzoów (5.5) (5.6) pzedstwć w postc: ( ρc f ) H H = ρc gβs + f ρc gβw t, (5.7) W klsyczym modelu mtemtyczym pzyjmuje sę stępe, że p H = f ρcg (5.8) t Co oczywśce jest eścsłe, gdyż pzyjmując z słuszą defcję wysokośc hydulczej dl pzepływu fltcyjego: p H = + xδ 3 (5.9) f ρcg Pochod względem czsu wyos: ( ρc fgh ) H ρc f = ρcgf + Hgf + H ρcg (5.) węc pędkość zm cśe wyż sę wzoem: p H c f c f cg gfh ρ ρ = ρ + + gh ρc xδ 3 (5.) co powdz do zleżośc: H ρcg p = (5.) ρcgβwh ρcgβsh + xδ 3ρcgβw Tymczsem mmo stotej ezgodośc, klsycze ówe pzepływu eustloego pzyjmuje sę w postc: 5

6 H dv( ρkgd % ( H )) = ρη sp (5.3) Gdze η sp okeśle jest mem pojemośc spężystej wstwy wyos: ( f ) η = ρg β + β (5.4) sp s w Zkłdjąc, że zmy gęstośc ceczy w zleżośc od zmeych pzestzeych są młe, pzyjęto, że e zleżą od zmeych pzestzeych. Rówe uposzcz sę wówczs do postc: H dv( kgd % ( H )) =η sp (5.5) Powyższe ówe, mmo wykzych epwdłowośc od stoy mtemtyczej fzyczej uwż sę jko podstwowe ówe hydodymk wód podzemych dl ośodk ścślwego, pzez któy pzepływ ścślw cecz w opcu o e wykouje sę oblcze umeycze stosując pofesjole pogmy do oblczeń hydogeologczych jk pzykłd powszeche stosowy pogm ModFlow [5]. 5.. Model mtemtyczy teo fltcj zgody z teoą kosoldcj Bot 5... Złoże wstępe Pzyjęte w popzedm ozdzle złoże wstępe do teo fltcj uzupełmy o dodtkowe defcje wykjące z teo kosoldcj Bot [Bot M.A.,94,956] oz podstwe pc Coussy ego [Coussy O., 7,] dl ośodk dwufzowego. Stosując ozcze zgode z pcm Stzeleckego [Stzeleck T., Żk S., Kosteck S. 8] Nech Ω jest postopdłośceą pzestzeą o eskończee młych kwędzch wypełoą ośodkem dwufzowym złożoym: z poowtego szkeletu spężystego ceczy wypełjącej jego poy. Okeślmy pzez S powezchę ścy elemetu pzestzeego Ω, wekto jest jedostkowym wektoem omlym do l powezch S, skeowym zewątz elemetu Ω. Pzez v s v ozczć będzemy odpowedo wektoy pędkośc fltcj płyu pędkośc szkeletu ośodk, l s v = v v okeśl skłdowe względej pędkośc pzepływu fltcyjego ceczy pzez ośodek poowty. Jeżel ρ s ρ l ozczją kolejo gęstość włścwą szkeletu ceczy, to możemy okeślć welkość gęstośc objętoścowe szkeletu ρ ceczy ρ, odesoe kżd z ch do objętośc cłkowtej obszu Ω. Ozczjąc pzez f poowtość objętoścową, możemy oblczyć te gęstośc: ρ ( f ) = ρ ρ = f ρl. s Pzez ρ ozczć będzemy gęstość ośodk dwufzowego ówą, co do wtośc sume: ρ = ρ + ρ. Wtość ρ ozczć będze gęstość płyu pzepływjącego pzez ścę S: ρ = faρl, gdze f A ozcz poowtość powezchową. eegę ketyczą ośodk dwufzowego możemy wyzć wzoem: s s s l l l K = ( ρv v + ρv v + ρv v ) dω (5.6) z wukm: Ω 6

7 ρ + ρ = ρ > ; ρ + ρ = ρ > ; ρ <, gdze ρ jest owym pmetem o wymze gęstośc okeśljącym dymcze spzężee pomędzy dwom fzm ośodk; fukcj dyssypcj jest fomą kwdtową zleżą od pędkośc względej pzepływu fltcyjego, co moż wyzć w stępujący sposób: W = bv v dω, (5.7) d Ω gdze b jest współczykem opou fltcyjego spełjącym wuek b>; kozystjąc z ów (5.7) moż okeślć objętoścowe sły wewętze wykjące z opou lepkego pzepływjącej ceczy pzez poy ośodk. Sły dzłjące szkelet ośodk wyoszą: cecz M M s l W = = bv dω v (5.8) d s d l 7 Ω W = = bv dω v, (5.9) skłdowe loklego wekto pędu szkeletu ceczy moż oblczyć ze wzou: Ω ( ρ ρ ) P = v + v dω, (5.3) s s l Ω P = ( ρ v + ρ v ) dω. (5.3) l s l Ω 5... Rów cągłośc pzepływu ośodk dwufzowego 5... Pzepływ łączy szkeletu płyu Bls łączy pzepływu msy szkeletu płyu pzez elemet epezettywy VER m zgode z pcą Ksel [5] postć: s l s ρ ρv ds + ρ ( v v ) ds + dω =. (5.3) S S Stąd kozystjąc z twedze Guss Ostogdskego ówe cągłośc pzepływu ośodk dwufzowego złożoego z płyu szkeletu m postć: s d ρ + ρε & = [ ρ v ],, (5.33) dt s d gdze ozcz pochodą mtelą wyżoą wzoem: dt s d s = + v dt x, (5.34) ε& ozcz pędkość zmy dyltcj szkeletu ów co do wtośc v, Rówe cągłośc pzepływ płyu. Bls msy płyu pzepływjącego pzez RVE m postć: Ω s

8 ρ ρ (5.35) S v ds + dω = Ω Stąd kozystjąc z twedze Guss Ostogdskego ówe cągłośc pzepływu płyu m postć: d ρ + ρ ( & θ ε ) = dt &, (5.36) gdze d dt d l s jest pochod mtelą wyżoą wzoem = + ( v v ) s 8 dt x Zkłdjąc, że fz stł jest euchom ( v = ), pzez poy pzesącz sę ścślw cecz, ówe cągłośc pzepływu m ses tylko w odeseu do fzy cekłej ośodk spowdz sę do postc: ( ρ ) dv( ρ l v ) =. (5.37) t Tką postć ów cągłośc uzysklśmy w popzedm ozdzle wzó (5.) dl klsyczego modelu hydodymczego pzepływu fltcyjego Rów zchow pędu dl fzy płyej Dl fzy płyej ośodk pwo zchow pędu spowdz sę do postc: σ s l σ ds + b( v v ) dω + ρx dω = dω, (5.38) S Ω Ω Ω ozcz pężee ozmyte tz. odesoe do cłej powezch pzekoju obejmującej szkelet + pły, e tylko do powezch zjmowej pzez pły. Npężee σ ów sę co do wtośc: P σ = pf, (5.39) pzy czym p ozcz cśee efektywe w płye. Rówe (5.38) po wykozystu twedze Guss - Ostogdzkego pozwl uzyske loklego ów uchu fzy cekłej ośodk w postc: s l v v σ, + X ρ = bv + ρ + ρ (5.4) Dl pzypdku pzepływu qus sttyczego moż pomąć człoy epezetujące sły bezwłdośc ceczy ów uchu dl fzy płyej moż zpsć w postc: σ + X ρ = bv (5.4), Powyższe ówe powdz do klsyczego zpsu pw Dcy ego w postc: σ v = kgd ( x δ3) (5.4) ρ fg Powyższe ówe (5.4) powdz do ów Dcy ego, pzy czym k okeśl współczyk pzewodośc fltcyjej Dcy,ego: v = kgd ( H ) (5.43) Pzy czym współczyk fltcj k = ρ fg / b. l.

9 Wykoując opecję dywegecj ówu (5.4) ówe zchow pędu możemy zpsć w postc: dv( gd ( σ )) = ( & θ & ε ) / kw (5.44) ze jko ówe pzepływu Dcy Bot. W ówu tym & θ okeśl pędkość zmy dyltcj ceczy, ε& okeśl pędkość zmy dyltcj szkeletu, k w wyż sę wzoem: k k k = w f g = f g (5.45) Rów kostytutywe ρ 9 ρ l Zwązk kostytutywe ośodk dwufzowego moż uzyskć stosując pw temodymk pocesów eodwclych. Pewsze pwo temodymk moż zpsć w postc: L& + Q& = ( U + K ) (5.46) gdze L & ozcz moc sł powezchowych, msowych opou lepkego ceczy, Q & lość eeg ceplej pzepływjącej pzez cło, U okeśl eegę wewętzą, K eegę ketyczą. Po pzepowdzeu postępow zgodego z zsdm temodymk uzyskuje sę dl pocesu zotemczego podstwe pcy Stzeleckego [Stzeleck T., Żk S., Kosteck S. 8] zwązk kostytutywe dl szkeletu gutowego płyu pzepływjącego pzez gut w postc: σ j = cjklε kl + βjθ (5.47) σ σ = β ε + γθ j j gdze c jkl to teso spężystośc czwtego zędu odesoy do odksztłceń szkeletu ośodk dwufzowego, β j jest tesoem spzęże wykjące wzjemego oddzływ fzy stłej cekłej ośodk, γ okeśl współczyk ścślwośc płyu, σ j ozcz teso pężeń w szkelece, σ to pężee w płye, σ to pężee w tmosfeycze ówe b, ε j okeśl teso odksztłce szkeletu θ to dyltcj płyu. Powyższe zwązk kostytutywe stową po wpowdzeu uposzczeń, gdy zkłdmy zotopę szkeletu : c = Aδ δ + N δ δ + δ δ (5.48) ( ) jkl j kl k jl l jk oz pzy złożeu, że teso dugego zędu β j wzjemego oddzływ szkeletu ośodk pły wyż sę zwązkem: β = Qδ (5.49) j j oz pzyjmując z Botem ozczee stłej ścślwośc ceczy, mmy: γ = R (5.5) zwązk kostytutywe zpopoowe pzez Bot w pcch [Bot M. A. 94, 956] : σ j = Nεj + ( Aε + Qθ ) δj (5.5) σ σ = Qε + Rθ gdze: N,A to stłe spężystośc Lmego pzy zstosowu ozczeń M.A. Bot [Bot M. A., 956] oz R to moduł ścślwośc płyu, Q ozcz współczyk wzjemego oddzływ fz sebe.

10 5...5 Rówe uchu ścślwego płyu pzez eodksztłcly szkelet ośodk dwufzowego. Pzyjmując, że szkelet ośodk jest eodksztłcly, czyl zkłdjąc, że ε j =, co z tym dze dyltcj szkeletu ε =, zwązk fzycze (5.5) spowdzją sę do pojedyczego zwązku: σ σ = Rθ (5.5) Podstwjąc powyższy zwązek fzyczy do ów uchu ceczy (5.44) dostjemy ówe pzepływu eustloego płyu pzez eodksztłcly szkelet ośodk dwufzowego w postc: f ρg σ dv( gd ( σ )) = (5.53) kr Jeżel ozwżmy pzepływ ścślwego gzu pzez ośodek poowty to zwązek kostytutywy (5.5) po uwzględeu pw Boyle Mott spowdz sę do postc: σ σ σ = θ (5.54) + θ ( ) Rówe pzepływu gzu pzez gut pzy złożeu eścślwośc szkeletu gutowego spowdz sę w tym pzypdku do ów pzepływu fltcyjego w postc: f ρl gσ σ dv( gd ( σ )) = (5.55) kσ W pzecweństwe do ów detemującego pzepływ ceczy pzez eodksztłcly ośodek poowty ówe pzepływu gzu jest elowe Rów fltcj ścślwego płyu pzez ścślwy szkelety ośodk dwufzowego Rozwżmy poces fltcj w ośodku dwufzowym, któego szkelet uleg odksztłceom objętoścowym pzy bku odksztłceń postcowych. Zwązk kostytutywe (5.5) w pzypdku pzepływu ceczy pzez poy ośodk dwufzowego spowdzją sę w tym pzypdku do postc: σ m = σ = Ksε + Qθ 3 (5.56) σ σ = Qε + Rθ lub zwązk odwote: R Q ε = σ σ σ K R Q K R Q s s m s s m s ( ) Q K θ = σ + σ σ K R Q K R Q ( ) (5.57) Pzy złożeu, że w ośodku dwufzowym pędkość zm cśe poowego ówe jest pędkośc zm pęże śedego w szkelece ze zkem pzecwym, moż pzyjąć, że: Co powdz do ukłdu ówń: & σ = & σ m (5.58)

11 & σ = K & sε + Q& θ (5.59) & σ = Q& ε + R& θ Skąd dostjemy zwązek: Q + R & ε = & θ (5.6) Q + Ks Któy powdz do zwązku: & θ = & σ (5.6) Q + R R Q Q + Ks W ezultce dostjemy ówe pzepływu eustloego w postc: ( Ks R) f ρg dv( gd( σ )) = & σ (5.6) RK Q k ( s ) W pzypdku pzepływu gzu pzez poy ośodk dwufzowego, szkelet uleg tylko odksztłceom objętoścowym ów kostytutywe spwdzją sę do postc: σ m = σ = Ksε + Qθ 3 (5.63) σ σ σ = Qε θ + θ ( ) Z pewym uposzczeem moż pzyjąć ówe fltcj eustloej gzu w postc: ( Ksσ + σ ) f ρg dv( gd( σ )) = & σ (5.64) σ K + Q σ k ( ) s w Pzedstwoy w pukce 6.. model mtemtyczy pocesu fltcj ceczy pzez ośodek poowty óż sę od stosowego powszeche ów fltcj eustloej. Podstwowe óżce pozwlją stwedzć: wypowdzoe powyżej ówe pzepływu fltcyjego (5.44) zostło zgode z zsdm stosowym w mechce z zsdy zchow pędu, e z ów cągłośc pzepływjącej pzez gut ceczy, uzyske ówe eustloego pzepływu fltcyjego zleży od pzyjętych złożeń dotyczących odksztłceń fzy płyej stłej ośodk dwufzowego, w pzypdku pzepływu gzu pzez ośodek poowty ówe fltcj eustloej jest elowe co pokzują ów (5.55) (5.64), pzyjęte w modelu klsyczym ówe cągłośc jest eścsłe bowem zkłd, że x gęstość ceczy jest fukcją czsu e zleży od zmeych pzestzeych powodu pochod mtel dρ dt jest ów pochodej loklej węc czło kowekcyjy pochodej mtelej, ρ z tego t ; pomj sę

12 pzyjęty zwązek kostytutywy okeśljący zleżość pędkośc zm poowtośc od pędkośc zm cśe poowego jko zwązek kostytutywy dl szkeletu gutowego e m żdego uzsde w mechce gutów skł z tego względu leży go uzć jko epopwy, kolejym stotym błędem jest pzyjęce lowej zleżośc pomędzy pędkoścą zm cśe poowego pędkoścą zm wysokośc hydulczej H, Jest jeszcze jede stoty spekt odzuce epwdłowo szym zdem sfomułowej teo uchu eustloego pzez poy ośodk dwufzowego. Z puktu wdze fomlzmu mtemtyczego tudo ozszezyć ówe cągłośc płyu o e człoy, gdy ozptujemy pzepływ płyu wywoły dzłem pol elektyczego lub gdetem stęże joów w płye. Mechzm budowy tkego modelu wymg okeśle fukcj dyssypcj pądu elektyczego dyssypcj w pocese pzepływu osmotyczego oz uwzględee tych fukcj w ówch zchow pędu, czyl pzy zstosowu popoowej metodyk defcj ówń uchu. Pzyjmując jko pukt wyjśc klsyczy model mtemtyczy fltcj tudo óweż o jego ozbudowę o pocesy ezotemcze. Jk pokzo to w pcy Stzeleckego [Stzeleck M., 3] model pzepływu ezotemczego uzyskuje sę z temodymk pocesów eodwclych popzez uzyske dodtkowych człoów w ówch kostytutywych. Uwzględjąc dodtkowe człoy zleże od tempetuy w ówch uchu moż uzyskć model temo-fltcj. Ne wdzmy możlwośc tkej ozbudowy modelu o koleje zjwsk w pzypdku klsyczego modelu teo fltcj. 5. Rozwąz zgdeń pzepływu fltcyjego metodm ltyczym. 5.. Zgde jedowymowe fltcj Okeślee śedego współczyk fltcj dl pzepływu pzez ośodek ekwwlety w odeseu do ośodk uwstwoego. Pzypdek I Rozwżmy pozomo uwstwoą wstwę pzepuszczlą skłdjącą sę z wstw o óżym współczyku fltcj k ys. 6.

13 Rys. 5. Pzepływ pzez ośodek złożoy z klku wstw ułożoych ówolegle do keuku pzepływu ) ośodek uwstwoy, b) ośodek ekwwlety. H Pzepływ wywoły óżcą wysokośc hydulczych pomędzy pzekojm A B odbyw m m sę pzez m poszczególe wstwy w keuku ówoległym k kdo wstw. k Ozczjąc,,... mąższość poszczególych wstw oz pzez,,... ch współczyk pzepuszczlośc, możemy kozystjąc z pw Dcy ego oblczyć wydtek pzepływjącej pzez mb kżdej z wstw wzom. Q Fv m k I = =, Q F v m k I = =, (6.) M Q F v m k I = =. H Poewż, spdek hydulczy dl kżdej z wstw jest jedkowy, ówy, gdze L te jest to odległość pomędzy pzekojm A B, Q wydtek m k dowolej wstwy wyos: =. Rozwżmy stępe ekwwlety ośodek poowty poddy dzłu tkego smego spdku hydulczego I oz spełjącego wuek, że wydtek cłkowty pzepływjący pzez te ośodek jest ówy sume wydtków pzepływjących pzez wszystke wstw ośodk uwstwoego: Q Q =. (6.) Poewż zgode z pwem Dcy ego pzepływ pzez te ośodek możemy okeślć wzoem: m Q Ik m e =, (6.) moż zpsć zleżość: 3

14 Ik m I m k =. (6.3) e = = Z zleżośc (6.3) moż oblczyć wtość śedą współczyk fltcj Dcy ego ośodk ekwwletego wzoem: k e dl k e= = = m k m (6.4) Pzypdek II. Rozwżmy poowo uwstwoą wstwę pzepuszczlą skłdjącą sę z wstw o óżym współczyku fltcj k ys. 5.3 Rys. 5.3 Pzepływ pzez ośodek złożoy z klku wstw ułożoych ówolegle do keuku pzepływu ) ośodek uwstwoy, b) ośodek ekwwlety. H Pzepływ wywoły óżcą wysokośc hydulczych pomędzy pzekojm A B odbyw sę pzez poszczególe wstwy w keuku postopdłym do wstw. Ozczjąc, l,... l l k k k szeokośc poszczególych wstw oz pzez,,... ch współczyk pzepuszczlośc, możemy kozystjąc z pw Dcy ego oblczyć pędkość fltcj pzepływjącej pzez mb kżdej z wstw wzom: 4

15 v = v = k I, k I, M v k I =. Poewż w obszze fltcj e m źódeł ceczy, zkłdmy, że zówo ośodek poowty, jk cecz jest eścślw, wydtek pzepływjący pzez dowoly pzekój postopdły do keuku pzepływu jest Q tk Qsm, węc: Q Q = = L = =. Poewż mąższość wszystkch wstw jest stł, ów m, węc óweż pędkość pzepływu pzez kżdą z wstw jest jedkow: v v v v = = L = =. (6.) Pzyjmując wtość pędkośc pzez poszczególe wstwy ówą v możemy oblczyć spdek hydulczy pzypdjący kżdą z wstw: v I =, k v I =, k (6.) M I = v k. Wemy, że spdek cłkowty pomędzy pzekojm A B wyos I, węc: I I =. (6.3) = Dl ośodk ekwwletego zkłdmy tką smą pędkość fltcj ceczy pzepływjącej pzez dowoly pzekój postopdły do keuku pzepływu ośodk uwstwoego: v k = e. (6.4) Stąd uzyskujemy ówe: v v k=. k (6.5) N podstwe ów (6.5) możemy oblczyć wtość śedą współczyk fltcj ośodk ekwwletego wzoem: e = k edl 5

16 k e= =. (6.6) k Jk wdć, ekwwlety współczyk fltcj jest śedą geometyczą z wtośc współczyków fltcj ośodk jedoodego. Powyższy pzykłd jest lzowy metodą teo homogezcj w ozdzle VI. Dl pzypdków ośodk ejedoodego, bdzej skomplkowego ż pzypdk lzowe powyżej, leży stosowć bdzej złożoe zędz mtemtycze opte twedzech teo homogezcj. 5.. Pzykłdy ozwązń zdń dwuwymowych w opcu o poksymcję Duput Zgde pzepływu ustloego pzy zslu boczym - pzepływ wody pzez goblę. Gobl zbudow z gutu jedoodego zotopowego o współczyku fltcj k spoczyw pozomo ułożoym stope wstwy epzepuszczlej (ys. 5.4). Rys. 5.4 Schemt zd pzepływ wody pzez goblę. Szeokość gobl wyos m, tomst długość l. Pozom wody po jedej stoe gobl wyos H, tomst po dugej H. Pzepływ wody pzez goblę jest ustloy. Wyzczymy pozom zwecdł wody w gobl oz wydtek pzepływjącej pzez goblę wody. Le pądu w tym pzypdku wyglądją tk, jk to pokzo (ys. 6.5). 6

17 Rys. 5.5 Le pądu powezche pzekoju. Wdć węc, że podzł obszu fltcj pzekojm poowym postopdłym do bzegu epzepuszczlego odpowd złożeom teo Duput. Pędkość fltcj w odległośc x od początku ukłdu współzędych wyese: dh v = k. (6.7) dx Wydtek pzypdjący mb gobl jest ówy: dh q Fv kh cos = = dx=. (6.8) Rozwązując powyższe ówe óżczkowe zwyczje metodą ozdzele zmeych, otzymmy: Uwzględjąc wuek bzegowy: H q = x + c. (6.9) k dl x = ; H = H oz x = l; H = H, wyzczymy stłe c oz wydtek q w ówu (6.9): c = H, ( H H ) k q =. l 7 (6.)

18 Rówe opsujące powezchę swobodą zwecdł wody m węc w postć: x ( H H ) H = + H. (6.) l Rozkłd pędkośc fltcj wzdłuż dog pzepływu pzedstw sę stępująco: k H H v =. (6.) l H x ( H H ) l 5... Dopływ do stud w wstwe o zwecdle swobodym pzy zslu boczym. Rozwążemy dopływ do stud o zwecdle swobodym (ys.6.6) pzy stępujących złożech: Rys. 6.6 Schemt zd dopływ ceczy eścślwej do stud. stud o pomeu leży śodku wyspy o pomeu R, wstw wodooś o współczyku fltcj k jest jedood zotopow, stop wstwy epzepuszczlej jest ułożoy pozomo, stud sęg spągu wstwy pzepuszczlej (stud zupeł) jest do ej postopdł, pzed pompowem zwecdło ceczy jest pozome, bzegch wyspy pozom wody względem stopu wstwy epzepuszczlej wyos H, w stud H, pzepływ jest ustloy lmy. Zzczmy ys. 6.7 pzebeg l pądu dl ozwązywego zd. 8

19 Rys 5.7. Pzebeg l pądu. Obsz fltcj w tym pzypdku podzelmy poowym, współosowym ze studą powezchm. Pędkość fltcj w odległośc od os stud wyese: wydtek tomst będze ówy: dh v = k, d dh Q = πhk. d Rozwązując powyższe ówe óżczkowe metodą ozdzele zmeych otzymmy: Q H = l + c. (6.3) πk Wuk bzegowe dl ozptywego pzypdku są stępujące: dl = ; H = H oz = R; H = H. Uwzględjąc powyższe wuk uzyskujemy ówe opsujące powezchę zwecdł wody w postc: l H = H ( H H ) (6.4) R l oz wzó wydtek dopływjącego do stud: 9

20 tomst pędkość fltcj wyz sę wzoem: v Q k ( H H ) = π, (6.5) l R ( H H ) =. (6.6) R l k H ( H H ) R l R l Dopływ do stud w wstwe o zwecdle pętym. Zde ozwążemy pzy złożech z pzykłdu popzedego z tym, że w mejsce tzecego złoże djemy złożee stępujące: wstw wodooś o stłej mąższośc M jest ułożo pozomo (ys. 6.8). Rys. 5.8 Schemt zd dopływ do stud w wstwe o zwecdle pętym. Łtwo zuwżyć, że, podobe jk w pzykłdze ozwązym popzedo (podozdz.vii..) obsz fltcj moż podzelć poowym, współosowym powezchm (ys. 9). Pędkość fltcj w odległośc od stud pszemy zgode z teoą Duput w postc: dh v = k. d Rówe cągłośc pzepływu m postć: dh Q = πmk. (6.7) d

21 Rozwąze tego ów m postć: Q H = l + c. (6.8) πmk Wuk bzegowe dl ozptywego pzypdku są stępujące: dl = ; H = H oz = R; H = H. Osttecze ozwąze zd po uwzględeu wuków bzegowych m postć:. ów opsującego lę pezometyczą cśeń:. wydtku dopływjącej do stud wody: Q H = l + H ; (6.9) π km Q km R l 3. ozkłdu pędkośc wzdłuż dog fltcj: ( H H ) = π ; (6.) v k ( H H ) =. (6.) l R Wzoy stowące ozwąz w popzedch podozdzłch [VII.. do VII..3] stosuje sę często w pktyce żyeskej e tylko do oblcz stud będących w śodku wyspy otoczoej wodą, lecz óweż w pzypdkch schemtów pzedstwoych ys. 6.9.

22 Rys 5.9. Schemty dopływu wody do stud. Do oblczeń potzeb jest w tym pzypdku zjomość zsęgu lej depesj R. Okeśl sę ją pzy pomocy wzoów empyczych. Do jczęścej stosowych zlcz sę: wzó Schdt dl stud o zwecdle pętym: gdze s = H H depesj w [m], k współczyk fltcj w [m/s], R pomeń zsęgu lej depesj w [m]; wzó Kusk dl stud o zwecdle swobodym: gdze s = H H depesj w [m], k współczyk fltcj w [m/s], R pomeń zsęgu lej depesj w [m], H śed mąższość wstwy wodoośej w [m]. R = 3s k, (6.) R = 575s kh, (6.3) Kozyste z powyższych wzoów wymg dużej ostożośc. Tzeb pmętć, że powy być spełoe wuk okeśloe złożem teo Duput, węc zkes stosow ch jest wąsk. Szczególe, gdy depesj s jest duż, powo wykozystywć sę ozwąze wykjące z teo lepej opsującej zeczywstość Zeskok hydulczy. W pzypdku występow swobodego zwecdł wody powezch stowącej gcę obszu fltcj, pzez któą stępuje wypływ wody, powstje uskok hydulczy. Jest to óżc mędzy pozomem zwecdł wody w obszze fltcj pzy wypływe pozomem wody poz tym obszem (ys. 5.).

23 Rys. 5.. Zeskok hydulczy. W opcu o teoę Duput e d sę okeślć welkośc zeskoku hydulczego z ówń teo. Dltego w pzypdku stosow tej teo welkość uskoku hydulczego H okeśl jest podstwe lczych wzoów empyczych. Dl pzykłdu dl stud zupełej moż oblczyć wtość H w opcu o wzó (6.4) [Czego, 948]: Q Q k H =,73l,5 H H k +, (6.4) gdze: Q wydtek stud [ m / s] 3, k współczyk fltcj [ m / s] ], pomeń stud [m], H pozom wody w stud [m]. Oetcyje uskok hydulczy dl stud moż oblczyć z postszego wzou empyczego:,5s H =, (6.5) M gdze: H uskok hydulczy [m], s depesj [m], M mąższość wstwy wodoośej [m] Dopływ do stud ezupełych. Njczęścej stosowe wzoy oblczee dopływu do stud ezupełych moż podzelć dwe gupy: 3

24 wzoy uwzględjące ezupełość stud popzez popwkę okeśloą dodze dośwdczlej, wzoy ltycze wypowdzoe pzy złożeu, że w pewym obszze pzepływ m chkte sfeyczy Wzoy ltycze dją ogół dokłdejsze wyk, lecz ze względu ch dużą lczbę e będą w ejszej pcy cytowe. Czytelk zjdze je w ych moogfch [Weczystego, 98], [Pzdo, 983] oz w [Podku Hydogeolog, 97]. Pody zoste wzó oblczee dopływu do stud ezupełej Q z popwką Ph. Fochheme: z Q = z Qzb, (6.6) gdze: Q z wydtek stud zupełej w logczych wukch hydogeologczych, b popwk Fochheme. Rys. 5. Stud ezupeł w wstwe o zwecdle swobodym. Wtość popwk dl stud w wstwe o zwecdle swobodym (ys. 6.) pzy spełeu wuku ( H s) l wyos: 3 l l b =, (6.7) h h Tk węc wydtek Q z będze ówy: ( H H ) b k Q = π. (6.8) R l 4

25 W pzypdku, gdy ( H s) > l pzyjmuje sę, że stop wstwy epzepuszczlej zleg 3 głębokośc H, zwej mąższoścą stefy ktywej. E.A. Zm zlec pzyjmowć H w zleżośc od depesj stud (tbel 7.) ( s l) ( s l) Tbel 6. s / +,,3,5,8, H / +,3,5,7,85, Po okeśleu H oblczmy h = H s wstwmy do wzou (6.8) zmst H H. Wtość popwk Ph. Fochheme dl stud w wstwe o zwecdle pętym wyos: l l b = 4, (6.9) M M gdze: M mąższość wstwy wodoośej, l długość flt. Wydtek stud ezupełej jest, ztem ówy: Mks R l l M 5 l M Q 4 z = π. (6.3) Jeżel mąższość wstwy wodoośej jest duż, to leży okeślć mąższość stefy ktywej H wg. elcj Zm [ ] we wzoze (6.3) w mejsce M wstwmy H Współdzłe stud. W pktyce żyeskej bdzo często występuje poblem okeśle ksztłtu powezch zwecdł wody podzemej (lub pezometyczej powezch cśeń) w otoczeu stud współdzłjących, bądź oblcze ch wydjośc. Pożej pzedstwo zoste jed z welu metod oblcz stud współdzłjących. Jest to metod P. Fochheme szczególe chęte stosow pzy pojektowu systemów odwdjących, któych zdem jest utzyme stłego obże zwecdł wody podzemej. Złoże tej metody są stępujące: w wstwe wodoośej o swobodym zwecdle wody zloklzowo stud w odległoścch umożlwjących wzjemy wpływ sebe, spąg wstwy wodoośej jest pozomy, stude są zupełe postopdłe do spągu wstwy wodoośej, wstw wodooś o współczyku fltcj k jest jedood zotopow, pzed pompowem zwecdło wody jest pozome, wod pompow jest ze wszystkch stud tk długo, że pzepływ jest ustloy, pzepływ wody podzemej jest lmy,

26 zkłd sę słuszość ozwąz zgde dopływu do stud w wstwe o zwecdle swobodym. Rys. 5. Współdzłe stud w wstwe o zwecdle swobodym. Metod Ph. Fochheme bzuje twedzeu, że jeśl dl kżdej z stud pcujących oddzele zwecdło wody podzemej opsują ów: y = f x, y ; y = f x, y ;...; y f x y, ( ) ( ) ( ) =, to ówe opsujące powezchę zwecdł wody, gdy wszystke stude pcują ówocześe oddzłują sebe m postć: y = = f ( x, y) c +. (6.3) Stłą c wyzcz sę w tym ówu z wuków bzegowych występujących gcy zsl. Zgode ze wzom (6.3) (6.4) dl stud pcującej oddzele w wukch pzepływu swobodego, ówe opsujące powezchę zwecdł wody m postć: H Q = H + l. πk Dl kżdej z stud dzłjącej e zleże (ys. 7.) możemy zpsć: y Q H + l πk =, Q y H l = +, πk..., Q y = H + l, πk..., 6

27 gdze: y Q = H + l, πk H ozcz głębokość stud w -tej stud, y to pozom zwecdł wody w dowolym pukce A oddloym o pomeń od śodk -tej stud, gdyby pcowł o smodzele, Q okeśl wydtek -tej stud, ozcz odległość puktu A od śodk -tej stud, k to współczyk fltcj, okeśl pomeń -tej stud. Dl stud oddzływujących zgode z powyższym wzom ówe zwecdł wody pzyjme postć: Q y = l + c. (6.3) πk = Stłą c moż wyzczyć boąc pod uwgę pukt B leżący gcy wpływu systemu wszystkch stud. Dl tego puktu odległośc pomędzy studm są młe w poówu z odległoścą do tego puktu, co pozwl złożyć, że x = x =... = x = R. Uwzględjąc wuek, że w odległośc R y = H dostjemy: c = H = Q l πk R, wstwjąc stłą c do ów (6.3) mmy: y = H = Q l πk R. (6.33) W jpostszym pzypdku moż pzyjąć, ze wydtk poszczególych stud są jedkowe: Q = Q = L = Q = L = Q = Q. Wówczs powezchę zwecdł swobodego wód gutowych opsuje ówe: y = H Q πk ( l R l( L )). (6.34) Jeśl z kole złożymy, że zmy w pewym okeśloym pukce A, zjdującym sę w obszze oddzływ stud, wtość y A okeśljącą położee zwecdł wody, to podstwe (6.34) możemy okeślć wydtek Q, jk pow meć kżd stud: 7

28 Q = πk l R l ( H y ) A ( x x Lx ), (6.35) tym smym wydtek cłego ujęc wyos: Q c = Q. (6.36) W pzypdku eżmu pzepływu pod cśeem postępujemy logcze jk w pzypdku pzepływu swobodego wykozystując zsdę supepozycj. 5.3 Ltetu. AURIAULT J.L., Dymc Behvou of Poous Medum Stuted by Newto Flud, It. J. Egg. Sc.,(98), vol. 8. AURIAULT J.L., STRZELECKI T., O the Electo-Osmotc Flow Stuted Poous Medum., It. J. Egg. Sc., (98), vol. 9. AURIAULT J.L., STRZELECKI T.,BAUER J., HE S., Poous defomble Med Stuted by Vey Compessble Flud, Eu. J. Mech. A/Sold, (99), vol. 9,4. BENSOUSSAN A., LIONS J.L., PAPANICOLAOU G., Asymptotc Alyss fo Peodc Stuctues, Holld Publshg Compy, Amstedm, (978). BIOT M.A., Geel Theoy of thee-dmesol Cosoldto, J. Appl. Physcs, (94), vol. BIOT M.A., Theoy of Popgto of Elstc Wves Flud-Stuted poous Sold, I Lw- Fequecy Rge, J.A.S.A (956), 8, BARTLEWSKA M., STRZELECKI T., Equtos of Bots cosoldto wth Kelv Voght heologcl fme, Stud Geotechc et Mechc, 9, Vol. XXXI, No., BARTLEWSKA M., STRZELECKI T., Oe-dmesol cosoldto of the poous medum wth the Rheologcl Kelv Voght skeleto, Stud Geotechc et Mechc, 8, Vol. XXX, COUSSY O. Revstg the costtutve equtos of ustuted poous solds usg Lgg stuto cocept, It. J. Nume. Al. Meth. Geomech. 3(7) COUSSY O. Mechcs d Physcs of Poous Solds,JohWley. () DETOURNAY E. & CHENG A.H.-D.,. Fudmetls of Pooelstcty, Compehesve Rock Egeeg: Pcples,Pctce d Pojects,Vol. II, Alyss d Desg Methods, Oxfod: Pegmo Pess. (993) FORCHEHEIMER P., Hydulk, Lepzg, (94) DARCY H., Les fotes publques de l vlle de Djo, Ps, 856 DUPUIT J., Etudes theoques et pctques su le movemet des eux ds les cux decouvet et tves les tes pemeble, Ps, 863 KISIEL I, DERSKI W. IZBICKI R., MRÓZ Z., Mechk gutów skł, Se: Mechk Techcz, tom VII, PWN, Wszw (98) ŁYDŻBA D., Costtutve equtos of gs-col medum, Stud Geotechc et Mechc, 3(3 4) (99) ŁYDŻBA D., Zstosowe metody symptotyczej homogezcj w mechce gutów skł, Ofcy Wydwcz Poltechk Wocłwskej, () LAMBE T.W., WHITMAN R.V., Mechk gutów, Akdy, Wszw, (978) POŁUBARINOWA-KOCZINA P.J., Teo dwżej podzemych wod, Nuk, Moskw (977) STRZELECKI T., BAUER J., AURIAULT J.L., Costtutve equto of gs-flled two-phse medum, Tspot Poous Med, (993) 8

29 STRZELECKI T., AURIAULT J.L., BAUER J., KOSTECKI S., PUŁA W., Mechk ośodków ejedoodych, Teo homogezcj, Lowe Sles Eductol Publshes. ( Polsh) (996) STRZELECKI T., KOSTECKI S. ŻAK, S.. Modelg of flows though poous med, Lowe Sles Eductol Publshes. ( Polsh) (8) STRZELECKI M., Quck sds effect o deset lds exmple of fltto stblty loss ; Stud Geotechc et Mechc, Vol. XXXV, No., (3) WIECZYSTY A., Hydogeolog Iżyesk, PWN, Wszw, 98 ModFlow : 9