PARAMETRYCZNE ZAGADNIENIE ODWROTNE ODTWARZANIA WŁASNOŚCI FILTRACYJNYCH GRUNTU

Transkrypt

1 MODELOWANIE INŻYNIERSIE ISNN X 32, s , Gliwice 2006 PARAMERYCZNE ZAGADNIENIE ODWRONE ODWARZANIA WŁASNOŚCI FILRACYJNYCH GRUNU IRENEUSZ SZCZYGIEŁ Instytut echnii Cieplnej, Politechnia Śląsa JÓZEF RYZA Instytut Nau Geologicznych Uniwersytet Wrocławsi ADAM FIC Instytut echnii Cieplnej, Politechnia Śląsa Streszczenie. W pracy przedstawiono algorytm odtwarzania własności filtracyjnych gruntu na potrzeby modelu numerycznego triasowego zbiornia wody gruntowej w rejonie Strzelec Opolsich. Zagadnienie to, należące do grupy zagadnień odwrotnych, rozwiązano na podstawie pojęcia współczynniów wrażliwości. Z uwagi na złe uwarunowanie zadania, w celach stabilizacyjnych, wyorzystano metodę Levenberga Marquardta. Osiągnięto znaczną poprawę zgodności modelu z pomiarami wyonanymi w terenie. 1. WSĘP Oreślenie wysoości hydraulicznej wód podziemnych w analizowanym obszarze, a taże prędości wód podziemnych, jest niezwyle ważnym zagadnieniem przy ocenie zasobów podziemnych zbiorniów wody pitnej, wytyczaniu stref ochronnych woół zbiorniów wody, ujęć wody pitnej czy też przy analizie przyczyn sażenia ujęć bądź zbiorniów. Obecnie doonuje się tego najczęściej na podstawie modelu numerycznego obszaru z dodatowym wyorzystaniem informacji pomiarowych o wysoości hydraulicznej w wybranych puntach. Pomiarów tych doonuje się w studniach obserwacyjnych lub w rząpiach opalnianych. Właściwe działanie modelu uwarunowane jest, poza poprawnością oreślenia liczby i uładu warstw geologicznych oraz warunów brzegowych, znajomością parametrów modelu. Do najważniejszych tego typu parametrów można zaliczyć własności filtracyjne gruntu. Informacje o gruncie można oczywiście czerpać z pomiarów, jedna z uwagi na błędy pomiarowe wsazane jest, aby wyonać pomiary na więszej liczbie próbe, co nie zawsze jest zadaniem łatwym i tanim. W przypadu brau pomiarów własności gruntu w części analizowanego obszaru można posłużyć się analizą odwrotną umożliwiającą tzw. alibrację modelu, tj. dopasowanie parametrów w sposób poprawiający zgodność modelu z wyniami pomiarów. Jest to lasyczne sformułowanie odwrotne [1], tj. odtwarzanie parametru wejściowych modelu na podstawie znajomości jego odpowiedzi.

2 440 I. SZCZYGIEŁ, J. RYZA, A. FIC W niniejszej pracy do rozwiązanie ta postawionego zadania wyorzystano metodę współczynniów wrażliwości. Z uwagi na słabe uwarunowanie zagadnień odwrotnych wyznaczenie poszuiwanych parametrów jest możliwe po zastosowaniu specjalnych techni stabilizacyjnych. Jedną z nich jest metoda Levenberga-Marquardta [2, 3], wyorzystana w prezentowanym algorytmie. 2. MODEL ZBIORNIA RIASOWEGO W REJONIE SRZELEC OPOLSICH Analizowany obszar Modelowaniu poddano obszar zbiornia triasowego wody pitnej (GZWP-333) położonego w obszarze Strzelec Opolsich. Obszar objęty modelem ma powierzchnię ooło 400 m 2. Główną cechą geologiczną zbiornia jest monolinalny zapad warstw w ierunu północnym, tóry sprawia, że najważniejszy zbiorni wód podziemnych opolsiego triasu zmienia swe zaleganie. Wodonośne wapienie środowego triasu tworzą wychodnie na południu, a na północy badanego obszaru występują na głęboości 400 m od powierzchni terenu. Granice modelu rozpatrywanego zbiornia stanowią: od północnego wschodu dolina rzei Jemielnicy, od zachodu oryto rzei Suchej, od południa granica zgodna z przebiegiem wybranej izolinii powierzchni piezometrycznej wód podziemnych leżącej na północ od wododziału łodnica-mała Panew. W przeroju pionowym model zawiera cztery warstwy, w tórych sład wchodzi siedem omplesów geologicznych według następującego podziału: warstwa pierwsza obejmuje (począwszy od stropu): osady czwartorzędowe i warstwowany omples górnego triasu. Ponad 90% tej warstwy stanowią formacje z bardzo nisim współczynniiem filtracji. Warstwa ta działa jao paiet napinający dla głębszej, wodonośnej formacji środowego triasu, warstwa druga jest podstawowym, głównym zbiorniiem wód podziemnych. W jej budowie uczestniczą poziomy litologiczne z wysoim lub bardzo wysoim współczynniiem filtracji (warstwy górażdżecie, archowicie i jemilnicie) z władami niso przepuszczalnych wapieni i margli, warstwa trzecia zawiera ooło 50-metrową warstwę gogolińsą, tóra ma bardzo nisie współczynnii filtracji, dające niewielą wartość przewodności pionowej. Parametry tej warstwy są bardzo słabo zbadane i ich identyfiacja stanowi cel procedury odwrotnej opisanej w niniejszej pracy, warstwa czwarta zawiera wielowarstwowy system osadów dolnego triasu, permu i dolnego arbonu. Współczynni filtracji jest w niej zróżnicowany, ale jest generalnie nisi. W głębszych partiach masyw salny staje się prawie nieprzepuszczalny. Na rysunu 1 zaprezentowano zarys oolic modelowanego obszaru. 2.2 Waruni brzegowe Waruni brzegowe oreślają waruni wymiany wody na brzegu między systemem a jego otoczeniem przez cały czas trwania procesu. Na granicy umownej strumieni wód podziemnych wzdłuż brzegów doliny został założony warune ze stałym ciśnieniem piezometrycznym (I rodzaju). Dla wariantu modelu uwzględniającego piętrzenie wody w zbiorniach waruni

3 PARAMERYCZNE ZAGADNIENIE ODWRONE ODWARZANIA WŁASNOŚCI brzegowe I rodzaju przyjęto taże dla rząpii opalni. Wartości ciśnień w poszczególnych bloach zostały zadane na podstawie map hydroizophis, głównie dla drugiej warstwy wodonośnej, oznaczających swobodną wymianę wody między obszarem modelowym a otoczeniem. Na pozostałym obszarze założono warune II rodzaju uwzględniając relacje pomiędzy wodami powierzchniowymi i gruntowymi. 2.2 Opis matematyczny zjawisa Rys.1. Zarys oolic analizowanego obszaru Rozład wysoości hydraulicznych w gruncie jest opisany poprzez równanie [4]: h h + = ij W S s (1) xi x j τ gdzie: xi ( i = 1,2,3), x j ( j = 1,2,3 ) - współrzędne uładu, ij - ierunowe współczynnii filtracji, h - wysoość hydrauliczna, W - źródła masy (dodatnie bądź ujemne), S s - retencja właściwa gruntu, τ - czas. Zagadnienia rozwiązywane w niniejszej pracy dotyczą procesów ustalonych. Pochodna po prawej stronie równania (1) jest więc równa zero. 2.3 Przyładowe wynii obliczeń Przedstawiony model można rozwiłać, po dysretyzacji obszaru, jedną ze znanych metod numerycznych. W niniejszej pracy wyorzystano metodę bilansów elementarnych. Przyładowy rozład wysoości hydraulicznej w pierwszej warstwie zaprezentowano na rysunu 2. Rys.2 Rozład wysoości hydraulicznych w pierwszej warstwie.

4 442 I. SZCZYGIEŁ, J. RYZA, A. FIC 3. ALIBRACJA MODELU ZBIORNIA RIASOWEGO GZWP alibracja modelu jao zagadnienie odwrotne Ja już wspomniano, do poprawnej pracy modelu numerycznego onieczna jest znajomość parametrów gruntu, a w szczególności współczynniów filtracji. Jednym ze sposobów pozysania tej informacji jest przeprowadzenie odwiertów w terenie i następne laboratoryjne oreślenie wartości współczynniów filtracji. Wierne odwzorowanie rozładu współczynniów filtracji związane jest z oniecznością przeprowadzenia dużej liczby odwiertów, co wiąże się z wysoą czasochłonnością przedsięwzięcia oraz z jego wysoimi osztami. Dlatego też celowe wydaje się wyorzystanie częściowych pomiarów współczynnia filtracji oraz informacji o wysoości hydraulicznej wód gruntowych pozysanej z pomiarów prowadzonych w studniach obserwacyjnych. Dodatowo informację o wysoości hydraulicznej można pozysać z esploatowanych i nieczynnych opalni na podstawie pomiaru poziomu lustra wody w rząpiach. Zagadnienie taie, będące w swej istocie lasycznym sformułowaniem zagadnienia odwrotnego, nazywane jest alibracją modelu numerycznego. Istnieje wiele metod rozwiązywania zagadnień odwrotnych. W niniejszej pracy wyorzystano ideę współczynniów wrażliwości (ang. sensitivity coefficients) opracowaną przez Jamesa Beca [1]. Zalety płynące ze stosowania współczynniów wrażliwości zostały szeroo opisane w literaturze. Współczynnii te pozwalają, między innymi, oreślić dogodne położenie przeprowadzenia pomiarów oraz szanse uzysania zbieżności procedury odwrotnej itp. Wyorzystując wyznaczone współczynnii wrażliwości doonano alibracji modelu, wyorzystując w celach stabilizacyjnych metodę Levenberga-Marquardta [2, 3]. 3.2 Współczynnii wrażliwości. Współczynnii wrażliwości oreślają wrażliwość wielości mierzonej na zmiany wielości będącej celem procedury odwrotnej. Z matematycznego puntu widzenia są więc pierwszą pochodnej wielości mierzonej względem wielości odtwarzanej: h Z h = (2) gdzie: Z h - oznacza współczynni wrażliwości, h - wysoość hydrauliczną, - estymowaną sładową tensora przewodności hydraulicznej. Współczynnii wrażliwości najczęściej wyznacza się poprzez: rozwiązanie analityczne, rozwiązanie odpowiedniego zagadnienia brzegowego (ang. Boundary Value Approach), zastosowanie różnic sończonych we wzorze (2). Pierwsza ze wspomnianych ogranicza się w zasadzie do przypadów, w tórych znane jest rozwiązanie analityczne, a więc do przypadów mocno uproszczonych. Wyznaczenie współczynniów wrażliwości poprzez rozwiązywanie zagadnień brzegowych doonywane jest poprzez różniczowanie równań modelu matematycznego zjawisa wraz z warunami brzegowymi. Podejście to posiada szereg zalet, ompliuje się niestety w przypadach nieliniowych. Jest jedna warte rozważenia, szczególnie wówczas gdy rozwiązanie zagadnienia bezpośredniego jest problemem bardzo czasochłonnym, ja ma to miejsce w obliczeniach CFD.

5 PARAMERYCZNE ZAGADNIENIE ODWRONE ODWARZANIA WŁASNOŚCI Gdy rozwiązanie zagadnienia bezpośredniego przebiega szybo, najlepszą metodą wyznaczenia współczynniów wrażliwości jest zastosowanie różnic sończonych, wymagające ilarotnego (w zależności od przyjętej aprosymacji) rozwiązania zagadnienia bezpośredniego. Podejście taie zostało wyorzystane w niniejszej pracy. 3.3 alibracja modelu Rozwiązanie zagadnienia odwrotnego, a więc alibracja modelu, sprowadza się do minimalizacji sumy wadratów odchyłe wysoości hydraulicznej będącej odpowiedzią modelu i pomiarów ze studni obserwacyjnych i rząpii opalnianych: [ ] 2 H h ( J ) = j j ) (3) j= 1 R( gdzie R () oznacza sumę wadratów błędów odtwarzanej funcji, H j wartość zmierzonej wysoości hydraulicznej przez sensor j, jest wetorem poszuiwanych N wartości współczynniów filtracji, h () wartość wysoości hydraulicznej w puncie j obliczona dla j atualnej estymaty. Liczba sensorów jest równa J, przy czym J N Zależność (3) można przestawić w zapisie macierzowym: R = [ H h] [ H h] (4) gdzie indes oznacza transpozycję, a wetory H i h zawierają odpowiednio wynii obserwacji ze wszystich studni i rząpii oraz symulacji wysoości hydraulicznych w tych puntach. W celu oreślenia minimum normy R należy ją zróżniczować względem poszuiwanych parametrów, a otrzymane różniczi przyrównać do zera: R R R = = L = = 0 (5) 1 2 N co można przedstawić macierzowo: h( ) [ H h( ) ] = 0 Pierwszy człon w powyższym równaniu jest macierzą wrażliwości (Jaobianem) h( ) J = (6) (7) i zawiera wartości Z h w miejscach loalizacji puntów pomiarowych. Wobec powyższego: [ H h( ) ] 0 J ( ) = (8)

6 444 I. SZCZYGIEŁ, J. RYZA, A. FIC Ponieważ wysoość hydrauliczna jest funcją współczynniów filtracji, można ją rozwinąć w szereg aylora woół dowolnej wartości h, przy czym może być to wartość pochodząca z poprzedniej, -tej iteracji. Po pominięciu wyrazów: hj = h j ( ) + J j ( ) (9) i w zapisie macierzowym: h = h( ) + J ( ) (10) gdzie się: J j jest j-tym wierszem Jaobianu w -tej iteracji. Wyorzystując (8) i (10) otrzymuje = + 1 [( J ) J ] ( J ) [ H h( )] + 1 (11) Opisana metoda iteracyjna jest metodą Gaussa. Rozwiązanie równania (11) jest możliwe, jeżeli macierz J J nie jest osobliwa. Niestety, w zagadnieniach odwrotnych, szczególnie w początowych iteracjach, macierz ta jest często osobliwa bądź bardzo blisa osobliwości. Problemy taie oreślane są jao źle uwarunowane. W celu rozwiązania tego problemu w niniejszej pracy wyorzystano metodę Levenberga-Marquardta. Wyorzystując tę metodę, procedura iteracyjna zostaje zmodyfiowana do postaci: = + 1 [( J ) J + Ω ] ( J ) [ H h( )] β (12) + 1 Człon β Ω wprowadza się w celu zmniejszenia oscylacji i niestabilności spowodowanych złym uwarunowaniem problemu. Wartość parametru tłumiącego winna się zmniejszać z olejnymi iteracjami z uwagi na poprawiające się uwarunowanie uładu równań. W efecie więc metoda zmierza u metodzie Gaussa. Istnieje wiele odmian metody Lavenberga-Marquardta różniących się między sobą doborem macierzy Ω. W niniejszej pracy macierz ta jest zdefiniowana następująco: Ω = diag[( J ) ( J )] (13) Wyorzystując powyższe zależności pełna procedura odwrotna może być przedstawiona następująco: 1. założenie startowej wartości wetora oraz startowej wartości parametru tłumiącego β ( = 1); 2. rozwiązanie zagadnienia bezpośredniego (1) dla atualnej estymaty wetora wysoości hydraulicznej h ( ) ; w celu oreślenia 3. oreślenie sumy wadratów odchyłe wg zależności (3); 4. obliczenie pola współczynniów wrażliwości Z, a następnie oreślenie Jaobianu (7) oraz macierzy Ω (13), 5. rozwiązanie uładu równań wyniającego z metody Levenberga-Marquardta: ze względu na = [( J ) J + Ω ] = ( J ) [ H h( )] obliczenie nowej estymaty ; h β (14) +1 jao: J

7 PARAMERYCZNE ZAGADNIENIE ODWRONE ODWARZANIA WŁASNOŚCI = + 7. rozwiązanie zagadnienia bezpośredniego (1) z nową estymatą h ( ) oraz R( ) ; jeżeli R( ) R( ) zastąpienie β przez jeżeli R( ) < R( ) zaaceptowanie nowej estymaty 0.1β ; 10 β i powrót do puntu 5.; (15) +1 w celu wyznaczenia +1 oraz zastąpienie β przez 10. sprawdzenie ryterium zbieżności i jeżeli nie uzysano zadawalającej zbieżności zastąpienie przez + 1 oraz powrót do puntu 4. Jao ryterium zbieżności przyjmuje się: + 1 R( ) < ε ( J ) [ H h( < ε 3 )] < ε 2 (16) gdzie ε 1,ε oraz 2 ε 3 oznaczają przyjęte wsaźnii doładności. 3.3 Wynii przyładowych obliczeń i wniosi Przy wyorzystaniu zaprezentowanego algorytmu przeprowadzono alibrację modelu numerycznego zbiornia GZWP-333. W związu z posiadanymi informacjami na temat współczynniów filtracji alibrowano parametry gruntu wchodzące w sład trzeciej warstwy geologicznej. Założono izotropowość poziomą gruntu, tj. = dla ażdego gruntu. Odtwarzano więc 5 parametrów. Miarą jaości alibracji jest odchyła wyniowej wysoości hydraulicznej modelu i odpowiadającym im wartościom obserwacji w studniach. Na rysunach 3 i 4 zaprezentowano wspomniane odchyłi przed oraz po alibracji modelu. Rezultaty te wsazują, że w wyniu zastosowanego do alibracji omówionych procedur rozwiązywania zadań odwrotnych osiągnięto znaczną poprawę zgodności symulacji modelowych z pomiarami terenowymi wysoości hydraulicznej wód gruntowych. xx yy Rys.3 Modelowa i obserwowana wysoość hydrauliczna w studniach zbiornia GZWP-333 przed (rysune lewy) i po alibracji modelu (rysune prawy).

8 446 I. SZCZYGIEŁ, J. RYZA, A. FIC Rys.4 Różnice wysoości obliczonej i obserwowanej [m] w poszczególnych studniach obserwacyjnych przed (słupi z lewej strony) i po (słupi z prawej strony) alibracji modelu LIERAURA 1. Ozisi, M.N., Orlande, H.R.B., Inverse heat transfer taylor and francis, urpisz,, Nowa A.J.: Inverse thermal problems, Computational Mechanics Publications, Szczygiel, I., Estimation of the boundary conditions in convectional heat transfer problems inverse problems in heat transfer and fluid flow, vol. 2, HD vol. 340, 17-24, G.S. Duliravich and.a. Woodburry (eds.) ASME Anderson M.P., Woessner W.W.: Applied groundwater modeling. Academic Press, London, PARAMERC INVERSE PROBLEM OF ESMAING HE GROUND HYDRAULIC CONDUCIVIY Summary. In the paper, inverse method for the ground parameters estimation is presented. his method was utilized during the calibration of the numerical model of the triasic water reservoir located near the Strzelce Opolsie. Both the inverse procedure and exemplary results on the model calibration are presented. Praca została wyonana w ramach projetu BN 410B05624.