Podstawy opracowania wyników pomiarów

Transkrypt

1 Podstawy opracowania wyników pomiarów I Pracownia Fizyczna Chemia C na podstawie wykładu dr hab. Pawła Koreckiego Katarzyna Dziedzic-Kocurek Instytut Fizyki UJ, Zakład Fizyki Medycznej k.dziedzic-kocurek@uj.edu.pl

2 I Pracownia Fizyczna po co? Obserwacja zjawisk i efektów fizycznych. Samodzielne wykonywanie doświadczeń. O2 C1 C4 E3/E11 F6 F6

3 I Pracownia Fizyczna po co? Nauka obsługi prostych i trochę bardziej skomplikowanych urządzeń pomiarowych

4 I Pracownia Fizyczna po co? Nauka podstaw opracowania wyników pomiarów Nauka poprawnego wyznaczania wielkości fizycznych Nauka pomiaru zależności fizycznych i ich opisu Nauka poprawnej prezentacji wyników - dzisiejszy wykład

5 W jakiej formie prezentujemy wyniki? Plan sprawozdania 1. Strona administracyjna 2. Strona tytułowa 3. Wprowadzenie 4. Opis doświadczenia 5. Opracowanie wyników błędów z analizą niepewności pomiarowych 6. Dyskusja uzyskanych wyników 7. Bibliografia 8. Kopia notatek z zeszytu laboratoryjnego

6 1. Strona administracyjna do pobrania ze strony IPF 2. Strona tytułowa - M-16: Wyznaczanie współczynnika lepkości cieczy metodą Stokesa Magdalena Igrekowa CHEMIA C Wprowadzenie - krótkie, max. 2 strony tekstu, określenie celu ćwiczenia i podstawowych koncepcji fizycznych, wraz ze wzorami (numerowanymi, z opisanymi użytymi symbolami) potrzebnymi do ilościowego opisu badanego zjawiska SAMODZIELNIE NAPISANE 4. Opis doświadczenia - opis układu doświadczalnego (schemat), sposobu wykonywania doświadczenia co i w jakiej kolejności jest mierzone

7 5. Opracowanie wyników błędów z analizą niepewności pomiarowych

8 Pomiar bezpośredni doświadczenie, w którym przy pomocy odpowiednich przyrządów mierzymy (tj. porównujemy ze wzorcem) interesującą nas wielkość fizyczną: Przykład: pomiar długości przedmiotu linijką

9 Pomiar pośredni doświadczenie, w którym wyznaczamy wartość interesującej nas wielkości fizycznej przez pomiar innej wielkości fizycznej związanej z dana wielkością znanym związkiem funkcyjnym Przykład 1: Pomiar pola powierzchni Przykład 2: Pomiar częstotliwości kołowej

10 Pomiar wielkości złożonej doświadczenie, w którym wyznaczamy wartość interesującej nas wielkości fizycznej przez pomiar wielu innych wielkości fizycznych Przykład: pomiar średniej prędkości poprzez pomiar drogi i czasu oraz

11 Niepewność pomiaru [błąd pomiaru] Wszystkie pomiary mogą być wykonywane tylko ze skończoną dokładnością! Powód: niedoskonałość przyrządów pomiarowych nieprecyzyjność naszych zmysłów szumy, zakłócenia Jedyny sensowny zapis wyniku pomiaru (zmierzona wartość ± niepewność pomiarowa) jednostka np.: S= (2.20 ± 0.11) mm Niepewność pomiarowa ma taki sam wymiar [jednostkę] jak mierzona wielkość!!!

12 Niepewność względna i bezwzględna niepewność bezwzględna niepewność względna niepewność procentowa L=(100 1)mm ; DL/ L =0.01 lub 1%

13 Wynik pomiaru bez podania niepewności pomiaru nie jest wartością w pełni użyteczną Przykład: eksperyment Galileusza Swobodny spadek kuli z żelaza i ołowiu: (55.6 ± 1.0 )m Uzyskujemy wyniki: t żelazo = 3.31 s t ołow = 3.28 s Moglibyśmy zatem wnioskować t zelazo > t ołów Jeżeli wyniki podamy uwzględniając niepewność t zelazo = (3.31 ± 0.20) s t ołów = (3.28 ± 0.20) s to widać, że t żelazo t ołów =0.03 s < <0.20 s Jak było naprawdę? _Wieza_w_Pizie

14 Rodzaje niepewności pomiarowych SYSTEMATYCZNE W przybliżeniu ta sama różnica ( w jedną stronę) pomiędzy wartością rzeczywistą a wynikami pomiarów Np: skończona dokładność przyrządów PRZYPADKOWE Spowodowane przez wiele niezależnych przyczyn o porównywalnym znaczeniu nieprecyzyjność naszych zmysłów, szumy, zakłócenia symetryczny przypadkowy rozrzut wyników pomiaru wokół wartości rzeczywistej

15 Błędy grube GRUBE Drastycznie duże odchyłki. Nieumiejętność obsługi, pomyłki przy odczycie lub zapisie [ELIMINACJA!] t=239s

16 Niepewności systematyczne Przesuwają wynik zawsze w jedną stronę w stosunku do prawdziwej wartości = najmniejsza działka (w tym przypadku 1 mm, 1 C) Taki zapis oznacza, że prawdziwa wartość prawie na pewno [ z prawdopodobieństwem bliskim 100%] znajdzie się w tym przedziale [niepewność maksymalna] Błąd paralaksy!

17 Ale! Zazwyczaj przyjmujemy odległość między dwoma kolejnymi działkami, choć gdy te są daleko można przyjąć połowę albo nawet 1/3 tej odległości niepewność klasy przyrządu Δ k x D x k klasa zakres 100

18 Niepewności systematyczne przyrządów cyfrowych = specyfikacja urządzenia! to nie jest ostatnia cyfra znacząca!!! Należy przeczytać specyfikację instrukcję urządzenia! Notujcie typ przyrządów. W Internecie prawie zawsze można znaleźć specyfikację!!!

19 D s C = 1) C=0.010mF [200nF] 2%rdg= mf 3dgt=0.003 mf D s C=0.003 mf 2) C=10.00mF [20mF] 3%rdg=0.30 mf 5dgt=0.05 mf D s C=0.35 mf Notujcie typ przyrządów. W Internecie prawie zawsze można znaleźć specyfikację!!!

20 Niepewności przypadkowe pomiarów bezpośrednich niepewności statystyczne Przykład: pomiar okresu drgań wahadła Dokładny stoper (0.01s) Czas reakcji człowieka jest rzędu 0.2s

21 Wyniki kolejnych pomiarów okresu i-ty Ti [s] pomiar Naszym zadaniem jest podanie wyniku i jego niepewności

22 Analiza statystyczna niepewności przypadkowych Dla błędów przypadkowych rozkład wielkości mierzonych wokół wartości prawdziwej dany jest rozkładem Gaussa ( x, S x ) ( x x ) / 2Sx ( x) e S x 2 Prawdziwa wartość mierzonej wielkości utożsamiana z wartością oczekiwaną W przedziale [x-s x,x+s x ] mieści się 68,3% wszystkich wyników W przedziale [x-3s x,x+3s x ] mieści się 99,8% wszystkich wyników UWAGA!!! Przy skończonej liczbie pomiarów parametr rozkładu można tylko estymować (przybliżać)

23 Analiza statystyczna niepewności przypadkowych Poziom ufności prawdopodobieństwo z jakim wyznaczony przedział zawiera wartość rzeczywistą mierzonej wielkości.

24 Wynik pomiaru średnia arytmetyczna wielkością najbardziej zbliżoną do wartości rzeczywistej [estymatorem wartości oczekiwanej] jest średnia arytmetyczna pomiarów. Ogólnie: - wartość średnia - i-ty pomiar - liczba pomiarów W tym przypadku:

25 Niepewność wyniku niepewność średniej arytmetycznej Wielkością najlepiej opisującą niepewność wyniku jest odchylenie standardowe średniej arytmetycznej Ostateczny wynik pomiaru:

26 Niepewność wyniku niepewność średniej arytmetycznej Wielkością najlepiej opisującą niepewność wyniku jest odchylenie standardowe średniej arytmentycznej W 68% identycznych doświadczeń otrzymamy średnią arytmetyczną mieszczącą się w przedziale można zmniejszać zwiększając liczbę pomiarów n

27 Niepewność wyniku małe serie pomiarowe Dla małych serii pomiarowych (kilka pomiarów - ok. 6) do oszacowania niepewności bierze się maksymalne odchylenie od średniej [nie oblicza się odchyleń standardowych] wynik maksymalnie odbiegający od średniej Ostateczny wynik pomiaru:

28 Niepewność wyniku małe serie pomiarowe rozkład Studenta-Fishera Dla małej liczby pomiarów: daje zaniżoną wartość niepewności Współczynnik Studenta Liczba pomiarów Poziom ufności n a a 0.95 a Poziom ufności prawdopodobieństwo z jakim wyznaczony przedział zawiera wartość rzeczywistą mierzonej wielkości.

29 Niepewności pomiarów pośrednich x - wielkość mierzona bezpośrednio (znamy także jej niepewność Dx ) y - wielkość którą chcemy wyznaczyć (wraz z niepewnością Dy) Znamy równanie, które łączy obie wielkości tu liczymy pochodną

30 Przykład 1 Pomiar pola powierzchni na podstawie zmierzonej średnicy Identyfikujemy nasze zmienne Obliczamy pochodną Zatem:

31 Przykład 2 Pomiar częstości kołowej na podstawie pomiaru okresu Identyfikujemy nasze zmienne Obliczamy pochodną Zatem:

32 Niepewność wielkości złożonej x,y - wielkości mierzone bezpośrednio w doświadczeniu (znamy także Dx i Dy ) z - wielkość którą chcemy wyznaczyć (wraz z niepewnościa Dz ) Znamy równanie, które te wielkości [ tutaj zależność od dwóch zmiennych] Tutaj liczymy tzw. pochodne cząstkowe. Liczy się je tak samo jak zwykłe pochodne. Wszystkie inne zmienne (oprócz tej po której różniczkujemy) traktujemy jako stałe.

33 Przykład 1 Mierzona wielkość jest sumą/różnicą dwóch innych wielkości Uwaga: dla różnicy też +!

34 Przykład 2 Pomiar prędkości na podstawie pomiaru przebytej drogi i czasu Obliczamy pochodne cząstkowe: Identyfikujemy nasze zmienne

35 Zapis niepewności zaokrąglanie Podaje się tylko dwie cyfry znaczące niepewności. Liczymy co najmniej trzy i zaokrąglamy zawsze do góry. Wynik pomiaru obliczamy o co najmniej jedno miejsce dziesiętne dalej niż miejsce dziesiętne, na którym zaokrąglono błąd, a następnie zaokrąglamy wg. normalnych reguł do tego samego miejsca dziesiętnego, do którego zaokrąglono błąd. Notatki: Sprawozdanie: g=(9.81±0.22) m/s2 Bez sensu:

36 Zapis niepewności Wyniki pomiarów i obliczeń najlepiej podawać w jednostkach, dla których wartość liczbowa zawarta jest przedziale od 0,01 do Można używać: przedrostków, [m, m, M, G] itd. lub notacji potęgowej typu 2x10 6, 2x10-6 I= A ± A I=(31.21 ± 0.12) ma I=(31.21 ± 0.12) x 10-6 A

37 Ostateczny zapis niepewności pomiarowej B. Damski

38 Przykład 3 B. Damski

39 Ostateczny zapis niepewności pomiarowej B. Damski

40 Jak robić wykresy?

48 Jak robić wykresy? źle dobrze

49 Regresja liniowa Badanie związku między dwoma wielkościami związanymi zależnością liniową pomiary Regresja pozwala sprawdzić czy zależność jest liniowa oraz wyznaczyć parametry a i b Wyniki (kartka lub komputer) Wartości oczekiwane parametrów a oraz b i ich niepewności Współczynnik korelacji [im bliższy 1 tym lepiej]

50 Regresja liniowa Badanie związku między dwoma wielkościami związanymi zależnością liniową pomiary Regresja pozwala sprawdzić czy zależność jest liniowa oraz wyznaczyć parametry a i b - parametry a i b też mają swoje jednostki Wyniki (kartka lub komputer) Wartości oczekiwane parametrów a oraz b i ich niepewności Współczynnik korelacji r (lub R) - im bliższy 1 tym lepiej

51 6. Dyskusja otrzymanych wyników porównanie z wielkością tablicową zgodność porównanie dwóch zmierzonych wielkości zgodność

52 6. Dyskusja otrzymanych wyników B. Damski

53 Bibliografia [1] I Pracownia Fizyczna, red. A. Magiera, OWI Kraków 2006 (Kraków 2010 wydanie trzecie, tylko wersja elektroniczna) [2] H. Szydłowski, Pracownia fizyczna, PWN Warszawa 1999 [3] J.R. Taylor, Wstęp do analizy błędu pomiarowego, PWN, Warszawa, 1995.