Zagadnienia statystyki aktuarialnej. pod redakcją Joanny Dębickiej

Transkrypt

1 Zagadnena statystyk aktuaralne pod redakcą Joanny Dębcke Wydawnctwo Unwersytetu Ekonomcznego we Wrocławu Wrocław 20

2 Recenzenc: Krzysztof Dębck, Grzegorz Kończak, Zbgnew Palmowsk, Włodzmerz Szkutnk Redakca wydawncza: Joanna Śwrska-Korłub Redakca technczna: Barbara Łopusewcz Korektor: Barbara Cbs Łamane: Adam Dębsk Proekt okładk: Beata Dębska Publkaca est dostępna na strone Streszczena opublkowanych artykułów są dostępne w he Central and Eastern European Onlne Lbrary a także w adnotowane bblograf zagadneń ekonomcznych BazEkon Informace o naborze artykułów zasadach recenzowana znaduą sę na strone nternetowe Wydawnctwa Kopowane powelane w akekolwek forme wymaga psemne zgody Wydawnctwa Copyrght by Unwersytet Ekonomczny we Wrocławu Wrocław 20 ISS ISB Wersa perwotna: publkaca drukowana Druk: Drukarna OEM

3 Sps treśc Wstęp... 7 Joanna Dębcka: Indeksaca przepływów penężnych w ubezpeczenach welostanowych... 9 Stansław Helpern: Wyznaczane welkośc renty w zależnych grupowych ubezpeczenach na życe Aleksandra Iwancka: Wpływ zewnętrznych czynnków ryzyka na prawdopodobeństwo runy w agregac dwóch klas ubezpeczeń Anna kodem-słowkowska: he effect of dependence on lfe nsurance.. 60 Katarzyna Ostasewcz: Modele progowe ch zastosowane w socolog ekonom Stansława Ostasewcz, Katarzyna Ostasewcz: Modelowane trwana życa w populacach neednorodnych Katarzyna Sawcz: Uwag o fnansowanu systemu ochrony zdrowa w Polsce Janusz L. Wywał, Agneszka Źrubek: O dokładnośc analtycznego wyznaczana mocy pewnego testu na normalność rozkładu prawdopodobeństwa... 3 Summares Joanna Dębcka, Indexng cash flows n multstate nsurance contracts Stansław Helpern, Calculaton of pensons n the multple lfe nsurances. 48 Aleksandra Iwancka, Influence of some outsde rsk factors on a run probablty n the aggregated two-classes rsk model Anna kodem-słowkowska, Wpływ zależnośc na ubezpeczena na życe Katarzyna Ostasewcz, hreshold models and ther applcaton to socology and economcs Stansława Ostasewcz, Katarzyna Ostasewcz, Approxmaton of sural functon for heterogenety populaton Katarzyna Sawcz, Some comments on the fnancng of health care system n Poland Janusz L. Wywał, Agneszka Źrubek, On estmaton of the power of a normalty test... 47

4 PRACE AUKOWE UIWERSYEU EKOOMICZEGO WE WROCŁAWIU nr 230 RESEARCH PAPERS OF WROCŁAW UIVERSIY OF ECOOMICS Zagadnena statystyk aktuaralne ISS Joanna Dębcka Unwersytet Ekonomczny we Wrocławu Indeksaca przepływów penężnych w ubezpeczenach welostanowych * Streszczene: Artykuł pośwęcono zagadnenu ndeksac śwadczeń (w konsekwenc składek rezerw) ubezpeczenowych odgrywaących stotną rolę w konstrukc welostanowych ubezpeczeń odpornych na nflacę. Podstawą aktuaralno-fnansowe analzy ubezpeczena est zmodyfkowany model welostanowy, którego struktura probablstyczna est defnowana w oparcu o neednorodny łańcuch Markowa. Celem artykułu est przedstawene ogólnego wzoru na wyznaczane stopy ndeksac rezerw w przypadku ubezpeczeń welostanowych ze stałą stopą procentową. Ponadto, by uproścć zaps oblczena numeryczne, zaproponowano macerzową reprezentacę wzoru na stopy ndeksac rezerw, co pozwala na uzyskane elastycznego narzędza służącego m.n. do analzy welostanowe polsy ubezpeczenowe. Ilustracą zastosowana reprezentac macerzowe do oblczana składek, rezerw stóp ndeksac dla rezerw est przykład numeryczny dotyczący ubezpeczena od ryzyka cężke choroby. Słowa kluczowe: zmodyfkowany model welostanowy, ndeksaca, składk netto, rezerwa prospektywna, ubezpeczena welostanowe.. Wstęp Z realzacą umów ubezpeczeń welostanowych zwązane są różnego rodzau przepływy środków penężnych, które tworzą strumene fnansowe. neszy artykuł pośwęcony est zagadnenu ndeksac śwadczeń (a w konsekwenc składek rezerw) ubezpeczenowych, które maą stotną rolę w konstrukc ubezpeczeń odpornych na nflacę oraz ubezpeczeń, w których wysokość śwadczeń może być dostosowywana do zmenaących sę zarobków ubezpeczonego; por. [6; 8; 9]. Strumene przepływów penężnych analzowane są z fnansowego punktu wdzena przy użycu zmodyfkowanego modelu welostanowego. W artykule rozważany est przypadek, w którym każdy rodza śwadczena ubezpeczenowego, składk oraz rezerwa prospektywna maą własną stopę ndeksac. Zakładamy, że stopa procentowa est ustalona. aważneszym celem est ednolte formalne uęce * Praca naukowa fnansowana ze środków na naukę w latach ako proekt badawczy nr 2293/B/H03/2009/36..

5 0 Joanna Dębcka całe złożone problematyk ndeksac ubezpeczeń welostanowych, w szczególnośc wyznaczene ogólnego wzoru (który mógłby być wykorzystany do każdego typu ubezpeczena welostanowego) na wysokośc stóp ndeksac dla rezerwy przy założenu, że wysokośc stóp ndeksac dla wszystkch typów przepływów penężnych są dane. Ubezpeczenem welostanowym nazywa sę umowę ubezpeczena obemuącą różne przypadk życowe. Ubezpeczena tego typu składaą sę z podstawowe umowy ubezpeczena (est to zazwycza umowa ubezpeczena na życe) oraz ubezpeczeń dodatkowych, czyl tzw. opc (np. umowa ubezpeczena od ryzyka trwałego nwaldztwa, cężke choroby, nezdolnośc do pracy). aprostszą formą ubezpeczena welostanowego est węc ubezpeczene na życe. Podstawą aktuaralno-fnansowe analzy ubezpeczena est skonstruowane ego matematycznego modelu. Perwszym krokem est ops możlwych zdarzeń losowych (przypadków życowych), które obemue umowa ubezpeczena podstawowego wraz z umowam ubezpeczeń dodatkowych, a następne określene wszystkch możlwych przebegów ubezpeczena. W tym celu defnue sę tzw. model welostanowy (pkt 2) oraz przepływy penężne wynkaące z zawarca umowy ubezpeczena (pkt 3). astępnym krokem est wyznaczene wartośc aktualne aktuaralne przepływów penężnych, które z kole służą do wyznaczana składek rezerw netto. aturalną własnoścą model welostanowych est to, że duża lczba zdarzeń losowych obętych umową ubezpeczena znaczne zwększa złożoność modelu (z powodu duże lczby możlwych realzac kontraktu ubezpeczenowego). Dzęk zastosowanu zmodyfkowanego modelu welostanowego (pkt 4), w celu uproszczena zapsu oblczeń numerycznych, przedstawona została macerzowa reprezentaca wzoru na składk rezerwy (pkt 5). Umożlwło to wprowadzene macerzowego zapsu ndeksowanych przepływów penężnych (pkt 6) oraz wyznaczene macerzowego wzoru na wysokośc stóp ndeksac dla rezerw prospektywnych (pkt 7), który może być wykorzystany w odnesenu do dowolnego ubezpeczena welostanowego. Ilustracą zastosowana reprezentac macerzowe do oblczana składek, rezerw stóp ndeksac dla rezerw est przykład numeryczny dotyczący ubezpeczena od ryzyka cężke choroby opsany w pkt Model welostanowy Każdemu przypadkow życowemu, którego dotyczy opca lub umowa ubezpeczena podstawowego, odpowada stan (lub status ak w [3]), w akm znalazł sę ubezpeczony. Przymmy, że (< ) oznacza lczbę wszystkch możlwych stanów oraz S = {, 2,, } oznacza skończoną przestrzeń stanów. Ponadto nech para (, ), gdze oraz, S, oznacza bezpośredne prześce ze stanu do stanu. ech oznacza zbór wszystkch możlwych bezpośrednch prześć mędzy stanam.

6 Indeksaca przepływów penężnych w ubezpeczenach welostanowych Para (S, ), opsuąca wszystke możlwe zdarzena zachodzące w życu ubezpeczonego w okrese obętym umową ubezpeczena, nazywana est modelem welostanowym (por. [6]). Badane analza zman stanów (ewoluc statusu ubezpeczone osoby) od momentu zawarca umowy ubezpeczena est ednym z podstawowych elementów wpływaących na wycenę umowy ubezpeczena. ech x oznacza wek ubezpeczonego w chwl podpsywana umowy ubezpeczena. Dla dane umowy ubezpeczena, reprezentowane przez model welostanowy (S, ), funkca X(x,t) S, gdze X(x,t) S dla S, t, oznacza, że w chwl t (oznaczaące czas, ak upłynął od rozpoczęca umowy ubezpeczena) ubezpeczonego dotyczy przypadek życowy, któremu został przypsany stan. Poneważ analza dotyczy poedyncze polsy, to dla uproszczena zapsu pomany będze wek wstępu ubezpeczonego, tzn. X(x,t) = X(t). Przymue sę, że {X(t): t } est procesem stochastycznym przymuącym wartośc ze skończone przestrzen stanów S. W dalszych rozważanach zakłada sę, że {0,, 2, 3, }, a zatem {X(t): t } = {X(t): t = 0,, 2, 3, }. Oznacza to, że analza dotyczy ubezpeczeń, w których okres ubezpeczena został podzelony na rozłączne odcnk czasu, np. dn, mesące lub lata. Jeżel okres ubezpeczena został podzelony na lata, wówczas dla t-tego roku trwana okresu ubezpeczena śwadczena płatne z dołu realzowane są w momence t trwana okresu ubezpeczena (na końcu roku t). atomast śwadczena płatne z góry (np. renta płatna z góry) oraz składk za ten rok realzowane są w momence t trwana okresu ubezpeczena (na początku roku t). Zakłada sę, że w edne ednostce czasu proces {X(t)} może zmenć stan tylko eden raz (może zaść tylko edno zdarzene losowe). Ponadto przymue sę, że umowa ubezpeczena została zawarta w momence 0 na n ednostek czasu, gdze n est okresem ubezpeczena. Podstawowym welkoścam opsuącym ewolucę procesu {X(t)} są rozkłady skończene wymarowe. W szczególnośc zakładać będzemy, że {X(t)} est neednorodnym w czase łańcuchem Markowa. Wtedy do określena edno- dwuwymarowych rozkładów wystarczy znaomość wektora rozkładu początkowego P(0) = (, 0, 0, 0) R oraz cągu macerzy prawdopodobeństw prześć ( ) = Q(0), Q(),, Q(t),, gdze Q t q t q ()= t Ρ ( Xt ( + )= X()= t ). ()= () 3. Przepływy penężne ch wartość, natomast W wynku zawarca umowy ubezpeczena powstaą dwa strumene przepływów penężnych, których wysokość moment wypłaty określaą warunk umowy ubezpeczena. Perwszym z nch est strumeń składek (skerowany od ubezpeczonego do ubezpeczycela), a drugm strumeń śwadczeń ubezpeczenowych, np. sumy

7 2 Joanna Dębcka ubezpeczena wypłacane w wynku śmerc lub dożyca, oraz różnego typu renty (skerowany od ubezpeczycela do ubezpeczonego). W wynku realzac umowy ubezpeczena welostanowego mogą być realzowane następuące typy przepływów penężnych (por. [6; 7]): p (t) składka płacona w momence t, gdy X(t)=, π (t) ednorazowa składka płacona w ustalonym momence t, eżel X(t)=, b (t) renta płacona z góry w momence t, gdy X(t)=, b (t) renta płacona z dołu w momence t, gdy X(t)=, d (t) ednorazowe śwadczene płacone w ustalonym momence t, eżel X(t)=, c (t) ednorazowe śwadczene płacone w momence t, gdy X(t)=, a X(t )=. Zauważmy, że strumeń składek tworzą przepływy penężne typu p (t) oraz π (t). W skróce będą one oznaczane przez {p, π}. atomast strumeń śwadczeń tworzą przepływy penężne typu b (t), b (t), d (t) oraz c (t), które w skróce oznaczane będą przez {b, b, d, c, c 2,, c }. Zauważmy, że c oznacza ednorazowe śwadczene zwązane z prześcem procesu ze stanu, a poneważ wysokość śwadczena płaconego w stane może zależeć od tego, w akm stane był proces {X(t)} w momence poprzedzaącym prześce, to w symbolcznym oznaczenu strumena śwadczeń wyróżnone zostały wszystke możlwe welkośc. ech węc oznacza eden z typów przepływów penężnych, tzn. {p, π, b, b, d, c,, c }. Kryterum podzału przepływów penężnych, stotnym z fnansowego punktu wdzena, est podzał na przepływy penężne płatne z góry ( {p, π, b }) oraz przepływy penężne płatne z dołu ( {b, d, c,, c }). Okazue sę, że wyszczególnene dwóch typów rent (płatne z góry płatne z dołu) est szczególne ważne w przypadku {0,, 2, }. Umożlwa to bowem właścwe określene welkośc aktuaralnych zwązanych z tym typam przepływów penężnych. ech u oznacza stopę procentową. Zakładamy, że est ona stała podczas całego okresu ubezpeczena. Wówczas welkość + u est czynnkem akumulac, natomast ν = (+u) est czynnkem dyskonta (por. [2; 3; 0]). Zakładamy, że kaptalzaca odbywa sę eden raz w ednostce czasu. Wtedy dla odcnka czasu [t, k] funkca akumulac ma postać r(t, k) = (+u) k t, a funkca dyskonta (t, k) = (+u) (k t)., ech ϒ t ( k) będze aktualną w momence t wartoścą przepływu penężnego typu płaconego w chwl k (0 t k), gdy proces {X(t)} est w momence k w stane. Jeżel est ednym z przepływów penężnych zwązanych z pobytem procesu {X(t)} w danym stane, tzn. {p, π, b, b, d}, to:

8 Indeksaca przepływów penężnych w ubezpeczenach welostanowych 3, ϒ t υ (, tk) { X( k)= } ( k) dla 0 t < k ( k)= { X( k)= } ( k) dla 0 t = k, rkt (, ) { X( k)= } ( k) dla 0 k < t () gdze {X(k) = } oznaczany est ndykator zdarzena, że proces {X(t)} est w stane w chwl k (t 0). Jeżel est ednym z przepływów penężnych zwązanych ze zmaną stanu przez proces {X(t)} tzn. {c,, c }, to wtedy c ϒ, t υ( tk, ) { X( k )= X( k)= } c ( k) dla S \{} 0 t < k { X( k )= X( k)= } c ( k) dla S \{} 0 t = k. (2) ( k)= rkt (, ) { X( k )= X( k)= } c ( k) dla S \{ } 0 k < t 0 dla =, Z () (2) wynka, że eżel 0 t < k to ϒ t ( k)est zdyskontowaną na moment t wartoścą przepływu penężnego realzowanego w momence k. atomast, gdy, 0 k < t, to ϒ t ( k)to est zakumulowaną na moment t wartoścą przepływu penężnego realzowanego w momence k. 4. Zmodyfkowany model welostanowy ech t L oznacza prospektywną stratę (prospecte loss) ubezpeczycela w chwl t zdefnowaną ako różnca mędzy aktualną na moment t umowy wartoścą wszystkch przyszłych wypłat ponesonych przez ubezpeczycela z tytułu zawarca umowy (tzn. śwadczeń za okres [t, n]) oraz przyszłych wpływów ze składek płaconych przez ubezpeczonego podczas trwana umowy ubezpeczena (tzn. składek za okres [t, n]). Formalne prospektywną stratę ubezpeczycela można zapsać w następuące postac: t n, b, t + t { bbdc,,,,..., c } Sk= t+ S n, L= ϒ ( k) ϒ ( t) ϒ ( k), { p, π } S k= t, gdze welkośc ϒ t ( k)są zdyskontowaną na moment t wartoścą przepływu penężnego realzowanego w momence k, dla 0 t k. Z fnansowego punktu wdzena każdy przepływ penężny ( {π, p, b, b, d, c, c 2,, c }) est wpłatą powększaącą fundusz strat ubezpeczycela lub wypłatą pomneszaącą welkość tego funduszu. Dlatego poszczególne przepływy penężne przymuą odpowedno dodatne lub uemne wartośc. a przykład dla funduszu określaącego całkowtą stratę ubezpeczycela L = 0 L t

9 4 Joanna Dębcka wpłatam (o dodatnch wartoścach) są śwadczena (t. przepływy penężne typu {b, b, d, c,, c }), a wypłatam (o uemnych wartoścach) są składk (tzn. {π, p). Borąc ten fakt po uwagę, całkowtą stratę ubezpeczycela można zapsać w następuący sposób: n L= b ( t) + b( t) + d ( t) + c ( t) { X( t )= } p( t) π () t { X( t)= } υ(0, t). (3) t=0 S S We wzorze (3) czynnk b () t + b () t + d () t + c () t p () t π () t S { X( t ) = } est welkoścą określaącą blans wszystkch przepływów penężnych realzowanych w momence t, gdy proces {X(t)}est w tym momence w stane. ech cf (t) = cf X(t) = (t) oznacza przepływ penężny (casch flow) realzowany w momence t (t = 0,, 2,, n), eżel proces {X(t)} est w tym momence w stane ( =, 2,, ). Zauważmy, że wysokość przepływu penężnego w momence t zależy od tego, aką wartość w tym momence przyme proces {X(t)}. Zatem cf (t) est zmenną losową, które rozkład zależy od rozkładu zmenne losowe X(t). Z fnansowego punktu wdzena przepływ penężny cf (t) est sumą wpływów reprezentuących wpłaty, które zaslaą dany fundusz, oraz wydatków, które pomneszaą dany fundusz w momence t, eżel proces {X(t)} est w tym momence w stane. Poneważ teoretyczne w momence t mogą stneć nezależne wszystke typy przepływów penężnych, to cf () t = b () t + b () t + d () t + c () t + p () t + gdze dla {b, b, d, c,, c, p, π} { X( t )= } S/ { } >0, gdyest wplywem ł = <0, gdyest wydatkem. π (), t W tym śwetle całkowtą stratę ubezpeczycela (4) można zapsać następuąco: n (4) L= cf ( t) { X( t)= } υ (0, t). (5) t=0 S Zauważmy, że eżel cf (t) est sumą przepływów typu π (t), p (t), b (t), b (t), lub d (t) to dla każdego momentu t trwana umowy ubezpeczena oraz dla dowolnego stanu, eżel X(t) =, to przepływ penężny cf (t) est ednoznaczne określony. Jeżel w wynku realzac umowy ubezpeczena powstaą przepływy penężne zwązane ze zmaną stanu (t. c,, c ), to przepływ penężny cf (t) ne może być ednoznaczne określony. Oznacza to, że nformaca X(t) = ne est wystarczaąca do ednoznacznego określena wysokośc przepływu penężnego realzowanego

10 Indeksaca przepływów penężnych w ubezpeczenach welostanowych 5 = X () t = w momence t. W take sytuac ne est możlwe bezpośredne wprowadzene notac macerzowe. Rozwązanem est wprowadzene rozbudowanego modelu welostanowego (S *, * ). Sposób konstruowana (S *, * ) oraz ego struktury probablstyczne przy założenu, że proces {X(t)} est neednorodnym w czase łańcuchem Markowa został opsany w [5]. Dalsze rozważana dotyczyć będą rozbudowanego modelu welostanowego (S *, * ), w którym S * ={, 2,, * } S * = S S +, a zbór S + zawera stany dodane do przestrzen stanów S. atomast * {{, } ;, S * } est podzborem wszystkch możlwych bezpośrednch prześć mędzy stanam należącym do przestrzen stanów S *. Ponadto proces {X * (t)} (o którym zakładamy, że est neednorodnym łańcuchem Markowa) opsue ewoluce zmany stanów w modelu (S *, * ). Warunkam wprowadzena rozbudowanego modelu welostanowego est przyęce założena, że wysokośc przepływów penężnych typu c (t) ne zależą od stanu. Ponadto dla każdego stanu S z każdym prześcem do muszą być zwązane przepływy penężne typu c (t) lub z żadnym z prześć do stanu ne mogą być zwązane żadne przepływy penężne typu c (t). Założena te oznaczaą, że wysokość śwadczena zwązanego z prześcem mędzy stanam może wyłączne zależeć od stanu, w akm est proces {X(t)} w chwl t. ech cf () t cf () t oznacza przepływ penężny realzowany w momence t (t = 0,, 2,, n). Jeżel proces {X * (t)} est w tym momence w stane ( =, 2,, * ), wtedy cf p() t + π () t + b() t + d () t + c () t dla S ()= t p() t + π () t + b () t + d () t dla S +. (6) Zauważmy, że (S *, * ) = (S, ), gdy w wynku realzac umowy ubezpeczena ne ma przepływów penężnych typu c,, c. 5. Macerzowa reprezentaca składek rezerw netto W perwsze kolenośc wprowadzone zostaną oznaczena nezbędne do przedstawena składek rezerw w forme macerzowe. ech S = (,,,, ) R (n+). Ponadto dla każdego t =, 2,, n+ ( n ) nech I t =(0,0,,,,0) R +, a dla każdego =, 2,, * nech t =(0,0,,,,0). R atomast dla dowolne macerzy A= n ( a ) + macerz Dag(A) est macerzą, = dagonalną, które elementam przekątne są elementy przekątne macerzy A.

11 6 Joanna Dębcka a a2 0 dag( A)= 0 0 a Dla dowolne chwl t nech dany będze następuący wektor P 2 3. ()=( t pr (), t pr ( t), pr (), t, pr ()) t R prawdopodobeństw byca procesu {X * (t)} w określonym stane, gdze pr * (t) = P(X * (t) = ). Ponadto nech d= P(0) P() Pn ( ) R ( n ) +. (7) Dla dowolnych chwl czasu t, t 2 {0,, 2,, n} nech macerz Q ( t, t2)=( q ( t, t2 )), = będze macerzą prawdopodobeństw warunkowych, gdze q ( t, t2)= P( X ( t2)= X ( t)= ). Przy założenu, że {X * (t); t = 0,, 2, } est neednorodnym w czase łańcuchem Markowa macerze P * (t) oraz Q * (t, t 2 ) można wyrazć za pomocą wektora rozkładu początkowego P * (0) = (, 0, 0,, 0) I R * oraz cągu macerzy prawdopodobeństw prześć Q * (0), Q * (), Q * (2),, Q * (n ) określonych dla procesu {X * (t)} w następuący sposób (por. [5]): t P () t = P (0) Q ( k), t2 k=0 Q ( t, t ) = Q ( t). 2 t= t n ( n ) ( n ) Ze stopą procentową zwązana est macerz Λ=( λ tt ) 2 t, t R + +, które 2 =0 elementy zaweraą czynnk dyskontuące υ(t, t 2 ) akumuluące r(t, t 2 ) = (υ(t, t 2 )). Manowce dla stałe stopy procentowe macerz Λ est następuąca: p y g y t q n u y - g y n - q u K = qy - 2 y - g y u n - 2, q u q h h h u qy - n - (n - ) y g u r gdze υ = ( + u).

12 Indeksaca przepływów penężnych w ubezpeczenach welostanowych 7 Przepływy cf ()tworzą t następuącą macerz przepływów penężnych rozmaru (n + ) * określoną w następuący sposób: cf (0) cf2 (0) cf (0) cf () cf2 () cf () C = cf (2) cf2 (2) cf (2) cf ( ) ( ) n cf2 n cf ( n) Dla {b, b, d, c,, c *,p, π, } nech C ( t ) t=0,,..., n = ( ) =,2,..., R ( n + ) R ( n+ ). będze macerzą przepływów penężnych typu. Wtedy dla funduszu strat ubezpeczycela L mamy, że C= C { bbdc,,,,..., c, p, π } = C + C + C b { bdc,,,..., c } { p, } π = C + C + C = C + C, n n out n out n ( n ) gdze C n =( cf ()) t R + zaweraąca edyne wpływy (nflows) do danego funduszu est sumą wpływów płatnych z góry C n wpływów płatnych z dołu C n. out ( n ) atomast C out =( cf ()) t R + zawera edyne wydatk (outgo) pomneszaące dany fundusz. Zauważmy, że n cf ()= t b ( t) + b ( t) + d ( t) + c ( t), out cf ()= t ( p () t +π () t ) dla funduszu strat ubezpeczycela. Wartoścą aktuaralną na chwlę t przepływu penężnego realzowanego w momence k, gdy X(k) = oraz X(t) =, nazywamy warunkową wartość oczekwaną E( ϒ t, ( k) Xt ( )= ). Wówczas dla {p, π, b, b, d} mamy, że υ (, tkq ) ( t, k) ( k) dla 0 t < k k t ( ) 0 E( ϒ, dla = k = t ( k) Xt ( )= )=, (8) 0 dla 0 t = k rktq (, ) ( kt,) ( k) dla 0 k < t

13 8 Joanna Dębcka {c,, c * } mamy, że υ (, tkq ) h( t, k ) qh ( k, k) ch ( k) dla h S \{} oraz 0 t < k qh ( t,) tch () t dla h S \{} c E h, ( ϒ t ( k) X( t)= )= oraz 0 t = k =. rktq (, ) h ( k, k) q( k,) tch ( k) dla h S \{} oraz 0 k < t 0 poza tym W twerdzenu 5. przedstawone zostały macerzowe formuły na oblczene ednorazowe okresowe składk netto przy założenu, że spełnona est zasada równoważnośc (wyrażona równoścą E(L) = 0); por. [5]. werdzene 5.. Załóżmy, że spełnona est zasada równoważnośc, a stopa procentowa est stała w całym okrese ubezpeczena. Ponadto dla modelu welostanowego (S *, * ) macerz przepływów penężnych C n określona est dla funduszu strat ubezpeczycela L oraz składk są płacone wtedy, gdy proces X * (t) =. Wówczas: Jednorazowa składka netto π płatna na początku okresu ubezpeczena est postac π = I Λ Dag ( Cn D ) S. (9) Stała okresowa składka netto p płatna z góry przez perwszych m (0 m n) ednostek czasu, na ak został podzelony okresu ubezpeczena n, est postac p = ( n ) I Λ Dag C D S n+ I Λ I It It D J t= m+. (0) 2 Dowód. Dowód est analogczny ak w [5]. Wystarczy zauważyć, że dla stałe 2 stopy procentowe Λ I =(, υυ,,..., υ n ) est wektorem funkc dyskontuące w całym okrese ubezpeczena est odpowednkem wektora M określonego dla stochastyczne stopy procentowe. ech V( t)=( V (), t V ( t),, V ( t)) R będze wektorem rezerw prospektywnych w momence t dla wszystkch stanów przestrzen stanów S * oraz V(0) V() ( n ) V = R + V( n) będze macerzą rezerw prospektywnych określonych w całym okrese ubezpeczena.

14 Indeksaca przepływów penężnych w ubezpeczenach welostanowych 9 werdzene 5.2. Dla ubezpeczena z modelem welostanowym (S *, * ) dla każdego t {0,,, n} zachodz Vt ()=( out + + F t n (, C ) Λ) I t+, gdze macerz przepływów penężnych C n oraz C out określone są dla funduszu strat ubezpeczycela L oraz n k F (, t C)= Q ( u) C I k+ I k+. () k= t+ u= t Dowód. Dowód est analogczny ak w [4], trzeba edyne uwzględnć rentę płatną z góry oraz zależność ΛI = M. Uwaga 5.. W praktyce warto analzować tylko te elementy macerzy V, które maą szansę być zrealzowane. ech gdze V real V real real ( n ) = V ( t) =,2,..., R, t=0,,..., n J V It dla d I ()= t dla d I + t+ + (2) t+ >0 =0 będze tablcą zaweraącą rezerwy prospektywne, które maą szansę być zrealzowane w rzeczywstośc. ablca (2) ułatwa analzę V (t), gdyż redukue lczbę welkośc, które trzeba brać pod uwagę. 6. Indeksaca przepływów penężnych ech g (t) będze stopą ndeksac (adustment rate) przepływu penężnego (t). Załóżmy, że g (t) = 0 dla t = 0 (gdyż w momence wykupena ubezpeczena ne ma eszcze ndeksac) oraz t = n (bo w momence kończącym okres ubezpeczena ne ma potrzeby nczego ndeksować). Dla przepływu penężnego typu wprowadźmy macerz stóp ndeksac w całym okrese ubezpeczena G g () g2 () g () g (2) g2 (2) g (2) = R g ( n ) g2 ( n ) g ( n ) ( n+ ). (3)

15 20 Joanna Dębcka Ponadto nech g cf ()= t ( t)( + g ()) t { bbdc,,,,..., c p,, π } = cf ( t) + ( tg ) ( t) { bbdc,,,,..., c, p, π } będze ndeksowanym przepływem penężnym płaconym w momence t, gdy X * (t) =, oraz nech C g g g g cf (0) cf2 (0) cf (0) g g g cf () cf2 () cf () g g g = cf (2) cf2 (2) cf (2) g g g cf ( n) cf ( n) cf 2 ( n) R ( n+ ) będze macerzą ndeksowanych przepływów penężnych w całym okrese ubezpeczena. W twerdzenu 6. przedstawono reprezentacę macerzową C g przy założenu, że stopa ndeksac każdego z typów przepływów penężnych est stała przez cały okres ubezpeczena. werdzene 6.. Załóżmy, że dla ubezpeczena welostanowego z modelem welostanowym (S *, * ) stopa ndeksac dla każdego z typów przepływów penężnych {b, b, d, c,, c *, p, π} spełna g g dla t =,2,..., n ()= t. 0 dla t =0 t = n Wtedy macerz ndeksowanych przepływów penężnych est postac g C = C+ C g, gdze macerze przepływów penężnych C okreś- { bbdc,,,,..., c, p, } π lone są dla funduszu strat ubezpeczycela L. Dowód. Z założena, ż t=,2,..., n g ()= t g mamy G g G Ponadto (por. (4)) cf g =, gdze (4) G =( S ( I + I )) S. (5) n+ ()= t It+ C + It+ G. (6) { bbdc,,,,..., c p,, π } ( )

16 Indeksaca przepływów penężnych w ubezpeczenach welostanowych 2 Po podstawenu (5) w (6) otrzymuemy g cf ()= t It+ C ( + It+ g ( S ( I+ I n+ )) S = C I { bbdc,,,,..., c p,, π } t+ + { bbdc,,,,..., c, p, π } C g It+ It+ ( S ( I+ I n+ )). (7) Poneważ I = I I ( S ( I + I )), (7) można zapsać następuąco t+ t+ t+ n+ g cf t ()= C It+ + g C { bbdc,,, c p,...,,, π } = + C C g I { bbdc,,, c,...,, p, π } t+ I t+ g co kończy dowód, gdyż cf t g ()= C I t+. Jeśl stopa ndeksac ustalona est na takm, samym pozome dla wszystkch typów śwadczeń, to macerz C g ma prostszą formę, co zostało pokazane we wnosku 6. wnosku 6.2. Wnosek 6.. Załóżmy, że dla ubezpeczena welostanowego z modelem welostanowym (S *, * ) zachodz g n g dla {,, b bdc,,..., c t n } =,2,..., out ()= t g dla { p, π} t =,2,..., n. 0 dla t =0 t = n Wtedy macerz ndeksowanych przepływów penężnych est postac C g = C n (+g n ) + C out (+g out ) gdze macerze przepływów penężnych C, C out oraz C n określone są dla funduszu strat ubezpeczycela L. Dowód. Dowód wynka bezpośredno z twerdzena 6.. Wnosek 6.2. Załóżmy, że dla ubezpeczena welostanowego z modelem welostanowym (S *, * ) zachodz g g dla t =,2,..., n ()= t 0 dla t =0 t = n

17 22 Joanna Dębcka dla każdego typu przepływu penężnego {b, b, d, c,, c *, p, π}. Wtedy macerz ndeksowanych przepływów penężnych est postac C g = C (+g), gdze macerz przepływów penężnych C określona est dla funduszu strat ubezpeczycela L. Dowód. Dowód wynka bezpośredno z twerdzena Indeksaca rezerw prospektywnych Przedźmy obecne do ndeksac rezerw. ech g (t) będze stopą ndeksac rezerwy V (t). Analogczne do wprowadzonych w (3) macerzy stóp ndeksac przepływów penężnych wprowadźmy macerz G stóp ndeksac rezerw w całym okrese ubezpeczena. g Ponadto nech V () t = V()( t + g ( t)) będze ndeksowaną rezerwą realzowaną w momence t, gdy X ( t) =. Wysokośc stóp procentowych g (t) dla {,, bbdc,,..., c, p, } oraz g (t) określa sę w ten sposób, aby spełnona była zasada równoważnośc, która z twerdzena 5.2 est postac ( ) ( ) g g g Cout+ C + (, C ) t = t + t. (8) n F t Lewa strona równośc (8) zależy od stóp ndeksac określonych dla składek śwadczeń. atomast prawa strona równośc (8) zależy wyłączne od stopy ndeksac rezerw. Równość (8) umożlwa określene stopy ndeksac dla wybranego typu przepływu penężnego lub rezerwy przy założenu, że wysokośc stóp ndeksac dla pozostałych typów przepływów penężnych są dane. werdzene 7.. Załóżmy, że dla ubezpeczena welostanowego z modelem welostanowym ( S, ) stopy ndeksac g (t) dla każdego z typów przepływów penężnych {,, bbdc,,..., c, p, } są ustalone w całym okrese ubezpeczena. Jeżel g (t) określone est następuąco ( F n (, t ) ) ( ) g g g Cout + C + C t+ dla =,2,..., t n g ()= t (, ), Cout+ C + F t C n t+ 0 dla t =0 t = n a macerze przepływów penężnych C, C out oraz C określone są dla funduszu n strat ubezpeczycela L, to spełnona est zasada równoważnośc (8). Dowód. Dowód wynka bezpośredno z (8) oraz twerdzena 5.2. Wnosek 7.. Załóżmy, że dla ubezpeczena welostanowego z modelem welostanowym ( S, ) n g dla { b, bdc,,,..., c } =,2,..., t n out g ()= t g dla { p, } t =,2,..., n 0 dla t =0 t = n

18 Indeksaca przepływów penężnych w ubezpeczenach welostanowych 23 spełnona est zasada równoważnośc (8). Wtedy stopa ndeksac dla rezerwy g (t) est postac g out n ( g ( F (, t Cout ) Λ ) + g ( C + F ( t, C n n ) Λ)) It+ () t = ( Cout + C + F (, t C) Λ ) I n t+ 0 dla t = 2,, n dla t = 0 t = n gdze macerze przepływów penężnych C, C out, C oraz C n n określone są dla funduszu strat ubezpeczycela L. Dowód. Dowód wynka bezpośredno z twerdzena 7. oraz z wnosku 6., a także z własnośc addytywnośc macerzy F(t,C) (w szczególnośc mamy, że F( t, C ) = F( t, C ) + F( t, Cn ) + F( t, Cout ) ). n Zauważmy, że mmo ż stopa ndeksac g n dla każdego typu śwadczena est stała oraz stopa ndeksac g out dla każdego typu składk est stała, to stopa ndeksac dla rezerwy g (t) zależy od czasu trwana ubezpeczena. Dopero gdy g n = g out = g, to stopa ndeksac dla rezerwy ne zależy od czasu trwana ubezpeczena dla t 0 oraz t n mamy, że g ( t) = g. Wnosek 7.2. Załóżmy, że dla ubezpeczena welostanowego z modelem welostanowym ( S, ) dla każdego typu przepływu penężnego {b, b, d, c,, c *, p, π} g dla t = 2,, n g () t = 0 dla t = 0 t = n spełnona est zasada równoważnośc (8). Wtedy g ( t) = g ( t). Dowód. Dowód wynka bezpośredno z twerdzena 7. oraz z wnosku 6.2. W twerdzenu 7. oraz we wnoskach z nego wynkaących przedstawone zostały wzory na wyznaczene wysokośc stopy ndeksac dla rezerwy przy założenu, że wysokośc stóp ndeksac dla wszystkch typów przepływów penężnych są dane. W analogczny sposób można wyznaczyć wysokośc stóp ndeksac dla wybranego typu przepływu penężnego przy założenu, że wysokośc stóp ndeksac dla pozostałych typów przepływów penężnych oraz rezerwy są z góry ustalone. 8. Przykłady numeryczne Rozważmy n-letne ubezpeczene od ryzyka cężke choroby, w wynku którego chory w raze określone choroby otrzymue stałą rentę. Raty renty są wypłacane przez okres choroby ubezpeczonego, ednak ne dłuże nż do końca okresu ubezpeczena n. ake umowe ubezpeczena odpowada przestrzeń stanów z następuącym elementam:

19 24 Joanna Dębcka ubezpeczony znadue sę w dobrym zdrowu, 2 ubezpeczony est chory, 3 ubezpeczony ne żye. W modelu welostanowym uwzględnono fakt, że przedłużaąca sę choroba znacząco zmnesza szansę wyzdrowena, co oznacza, że czas pobytu procesu {X(t)} w stane 2 ma stotny wpływ na prawdopodobeństwo powrotu procesu {X(t)} do stanu. Stało sę to motywacą do rozszerzena przestrzen stanów przez odpowedn podzał stanu 2. Stan 2 może być podzelony na η (0 < η < n) stanów 2 (), 2 (2),, 2 (η), gdze stan 2 (h) oznacza, że ubezpeczony est chory h-ty rok, a stan 2 (η) oznacza, że ubezpeczony est chory co namne η lat. Ilustracą grafczną rozszerzone przestrzen stanów możlwych prześć mędzy nm w tym przypadku est rys.. Rys.. Schemat modelu welostanowego dla ubezpeczena od ryzyka cężke choroby Źródło: opracowane własne.

20 Indeksaca przepływów penężnych w ubezpeczenach welostanowych 25 Rozważmy ubezpeczene od ryzyka cężke choroby dla osoby 40-letne na okres n = 0 lat. Model welostanowy tego ubezpeczena przedstawony est na rys. dla η = 0. Dane określaące poszczególne elementy macerzy D dane wzorem (7) zostały podane na podstawe badań statystycznych prowadzonych przez prywatnego ubezpeczycela w Szwec; por. [] D= Załóżmy, że w raze określone w umowe choroby ubezpeczony otrzymue stałą rentę w wysokośc ednostk. Raty renty wypłacane są przez okres choroby ubezpeczonego, ednak ne dłuże nż do końca okresu ubezpeczena n = 0 lat. Postać macerzy przepływów penężnych zaweraące śwadczena est następuąca: Cn = C n = Załóżmy, że roczna stopa procentowa est równa 4% est stała w trakce całego okresu ubezpeczena. Wówczas macerz Λ est postac (υ = 0,965)

21 26 Joanna Dębcka υ υ υ υ υ υ υ υ 3 2 υ υ υ υ υ υ υ υ υ n n n 2 n 3 υ υ υ υ 2 3 n υ υ υ υ 2 ( n ) 2 ( n 2) ( n 3) n n 2 n 3 n 4. (9) a podstawe twerdzena 5. okresowa składka netto płacona przez perwszych 8 lat okres ubezpeczena (m = 8) est równa p = 0,0064 oraz C out = Po skorzystanu z twerdzena 5.2 dla składk okresowe otrzymuemy, że macerz rezerw prospektywnych (uwzględnaąc uwagę 5.) est postac V real = (20)

22 Indeksaca przepływów penężnych w ubezpeczenach welostanowych 27 Dodatne wartośc w perwsze kolumne tablcy (20) są rezerwam składk netto. Poneważ zobowązane ubezpeczycela est aktywem dla ubezpeczonego, można powedzeć, że V (t) est wartoścą netto umowy, która może być podstawą zmany warunków (w tym przypadku wykupu ubezpeczena). atomast rezerwy w kolumnach od 2 do 0 są lczone, gdy ubezpeczony est chory, a węc odpowadaą welkośc funduszu, ak pownen odłożyć ubezpeczycel, aby zagwarantować wypłatę śwadczeń ubezpeczonemu. Ostatn wersz zawera edyne zera, gdyż odpowada momentow wygaśnęca umowy ubezpeczena. Ostatna kolumna odpowada sytuac śmerc osoby ubezpeczone, co równeż est równoznaczne z zakończenem umowy ubezpeczena. Załóżmy, że stopy ndeksac dla składek śwadczeń są stałe 0.06 dla = b t =,2,...,9 g ()= t 0.05 dla = p t =,2,...,9 0 poza tym oraz spełnona est zasada równoważnośc (8). Wtedy, zgodne z wnoskem 7., macerz G stóp ndeksac dla rezerw est postac G = (2) Zauważmy, że mmo ż stopa ndeksac g n = 0.06 est stała dla każdego typu śwadczena oraz stopa ndeksac g out = 0.05 est stała dla każdego typu składk, to stopa ndeksac dla rezerwy składk netto g () t, dla t =, 2,, 8 zależy od czasu n trwana ubezpeczena. Dla pozostałych elementów macerzy (2) mamy g ()= t g, gdyż ndeksaca dotyczy edyne śwadczeń.

23 28 Joanna Dębcka abela. Indeksaca rezerwy składk netto (dla x = 35 lat n = 0 lat oraz m = 8 lat) g n g out g (0) g () g (2) g (3) g (4) g (5) g (6) g (7) g (8) g (9) g (0) Źródło: opracowane własne. abela zawera rezerwy składk netto przy różnych warantach stóp ndeksac śwadczeń składek. Zauważmy, że gdy g n = g out = 0.05, stopa ndeksac dla rezerwy ne zależy od czasu trwana ubezpeczena. W przypadku, gdy ndeksowane są edyne śwadczena, ndeksaca rezerw mus być bardzo wysoka. Gdy ndeksowane są edyne składk, zgromadzone rezerwy są za duże w stosunku do zobowązań można e zmneszyć, o czym śwadczą uemne stopy ndeksac dla rezerw. Lteratura [] Amsler M.H., Sur la Modélsaton des Rsques Ve par les Chaênes de Marko, [w:] ransactons of the 8th Internatonal Congress of Actuares 968, 5, s [2] Bak W., Podgórska M., Utkn J., Matematyka fnansowa; teora praktyka oblczeń fnansowych, Bzant, Warszawa 994. [3] Błaszczyszyn B., Rolsk., Wykłady z matematyk ubezpeczeń na życe, Wydawnctwo aukowo-echnczne, Warszawa [4] Dębcka J., Macerzowa reprezentaca rezerw w ubezpeczenach welostanowych, Rocznk KAE, Zeszyt nr 2/200, SGH, Warszawa, s [5] Dębcka J., Macerzowa reprezentaca ubezpeczena welostanowego z neednorodnym łańcuchem Markowa, [w:] Statystyka aktuaralna stan perspektywy rozwou w Polsce, red. W. Ostasewcz, Prace aukowe Akadem Ekonomczne we Wrocławu nr 08, AE, Wrocław 2006, s [6] Haberman S., Ptacco E., Actuaral Models for Dsablty Insurance, Chapman & Hall/CRC, London 999.

24 Indeksaca przepływów penężnych w ubezpeczenach welostanowych 29 [7] Ostasewcz W. (red.), Składk ryzyko ubezpeczenowe. Modelowane stochastyczne, AE, Wrocław [8] Pentkanen., Lnkng lfe and prate penson nsurance to the prce ndex, [w:] ransactons of the 8-th Internatonal Congress of Actuares, Munch 968, Vol. 2, s [9] Pttaco E., Adustment problems n permanent health nsurance, [w:] Proceedngs of the XXI ASI Colloquum, ew York 989, s [0] Podgórska M., Klmkowska J., Matematyka fnansowa, PW, Warszawa Indexng cash flows n multstate nsurance contracts Summary: hs paper deals wth the problem of ndexng benefts, premums and prospecte reseres n multple nsurance contracts. From a fnancal pont of ew, the fxed, nonstochastc nterest rates are consdered. From a modellng pont of ew, the ndexng problem s embedded n a non-homogenous Marko multple-state framework. A tme-dscrete approach s adopted. he am of ths paper s to ge a general formula for the resere adustment rate, whch s a weghted mean of the rates of amendment of the benefts and of the premums for multstatensurance contracts. In order to smplfy the form of the dered expresson, we use matrx notaton. hs approach enables us to ge a flexble tool for the analyss of ndexng cash flows connected wth a multstate nsurance contracts and makes the numercal procedures to be mplemented easer. umercal llustraton for the llness nsurance contract s proded. Keywords: modfed multstate model, ndexng, an adustment rate, net premum, prospecte resere, multstate nsurance contracts.