MINING DISLOCATIONS OF THE AREA AS BIASED BY RANDOM DEFORMATION
|
|
- Urszula Mikołajczyk
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 GÓRNICTWO I GEOLOGIA 0 Tom 7 Zeszyt Wiesław PIWOWARSKI Akademia Górniczo-Hutnicza, Kraków PRZEMIESZCZENIA GÓRNICZE TERENU, OBCIĄŻONE DEFORMACJĄ LOSOWĄ Streszczenie W artykule analizowano wpływ eksploatacji podziemnej na teren górniczy Obserwacje geodezyjnie przemieszczania się punktów powierzchni terenu nie są wystarczające do pełnego oszacowania przekształcenia powierzchni podobszaru Również odwzorowania klasyczne często nie opisują zadowalająco złożoności procesów destrukcji górotworu Zauważalny jest tu wpływ losowego rozkładu defektów ośrodka na proces deformacji Podjęto więc próbę opisu procesu przemieszczeń, opartą na teorii pól losowych Analizowano probabilistyczne własności procesu rozkłady i miary zmiennej losowej Sformułowano model obliczeniowy procesu jako związku między przemieszczeniem, pochodną i oddziaływaniem losowym MINING DISLOCATIONS OF THE AREA AS BIASED BY RANDOM DEFORMATION Summary The paper analyses the influence of underground exploitation on the mining area Geodetic surveys concerning the dislocations of the points of the area surface are not sufficient for a complete estimation of the transformation affecting the subdomain surface Similarly, the classical functions usually cannot be regarded as describing the complexity of the processes of rock mass destruction in an adequate and satisfying way It is possible to observe here the influence of the random distribution of rock mass defects on the deformation process Therefore the paper presents an attempt to describe the deformation process on the basis of random field theory Probabilistic properties of the process namely the distributions and measures of the random variable are analysed Finally, a computational model of the process is formulated as the relationship between dislocation, derivative and random impact Wprowadzenie Analiza ilościowa charakterystyki stanu powierzchni terenów górniczych dotyczy oceny przekształcenia czynnej powierzchni ziemi w powiązaniu z eksploatacją podziemną Przedmiotem rozważań jest tu próba określenia zmian konfiguracji geometrycznych ciała
2 48 W Piwowarski stałego (górotworu) w wyniku oddziaływania eksploatacji podziemnej procesu pogórniczych przemieszczeń Realne procesy deformacji górotworu są bardzo skomplikowane, więc podstawowym celem artykułu są analiza pola przemieszczeń pogórniczych na bazie stosownych pomiarów geodezyjnych oraz próba odwzorowania zaburzonego losowo pola deformacji Deformacje powierzchni terenu, wywołane eksploatacją podziemną w istotny sposób wpływają na stan techniczny obiektów znajdujących się na terenach górniczych Okresowe pomiary geodezyjne pozwalają wyznaczyć wskaźniki deformacji jako miary zagrożeń obiektów i terenu górniczego Często jest to jedyny sposób na określenie w czasie wpływu eksploatacji podziemnej na badany obiekt oraz na odróżnienie wpływów dokonanej eksploatacji górniczej od reakcji obiektu na inne, pozagórnicze czynniki: okresowe zmiany stosunków wodnych w gruncie, własne obciążenie eksploatacyjne konstrukcji obiektu, odkształcenia spowodowane innymi czynnikami Charakterystyka problemu W celu wyznaczenia przemieszczeń pogórniczych w podobszarze górotworu wprowadzamy do przestrzeni fizycznej punkty obserwacyjne Jeżeli na dany punkt działają siły czynne, wówczas punkt przemieszcza się po trajektorii [4] Odwołując się do mechaniki punktu materialnego [], można wyznaczyć trajektorię przemieszczania się punktu łuk tej krzywej określa zależność: r = r(t) Równanie to, rozpisane na składowe w R 3, przyjmuje postać: x = x(t) ; y = y(t) ; z = z(t) Stąd wynika, że dla określenia ruchu potrzebna jest znajomość toru i przebiegu czasowego _ t końca wektora r ( ) Przemieszczanie się punktu powierzchni terenu górniczego nie jest ruchem swobodnym, lecz ruchem podlegającym ograniczeniu, zadanym przez warunek pozostawania punktu na pewnej określonej powierzchni: f(x,y,z,t) = 0 Ogólnie tor punktu materialnego nie leży na tej powierzchni [7], co wynika z następującego faktu:
3 Przemieszczenia górnicze terenu, obciążone deformacją losową 49 więc: d dt f ( x( t), y( t), z( t), t) = r gradf f λgradf r dt = λ dt t f + t = 0, Jest to układ czterech równań skalarnych, gdzie niewiadomymi są cztery funkcje skalarne _ niewiadomych r ( t), λ( t) Trajektorie poziomego przemieszczania się punktu pod wpływem eksploatacji górniczej wykazują tu dużą nieregularność [4] Stąd opis analizowanego zjawiska w sensie prognozzy przy użyciu modelu deterministycznego jest możliwy, jednak nie zawsze otrzymujemy odwzorowanie z wystarczającą dokładnością Proces przemieszczania się punktów ośrodka jest wymuszony głównie eksploatacją podziemną (likwidacja pustki poeksploatacyjnej pod wpływem grawitacji) Należy dodać, że wpływ mają tu również inne czynniki: budowa geologiczna ośrodka, stan naprężeń, odwodnienie itd Oddziaływań tych nie jesteśmy w stanie dobrze określić Jeżeli punkt ośrodka (powierzchni) w R 3 (X, Z; t) przemieszcza się pod wpływem rozwijającej się eksploatacji, to fenomenologicznie pojawia się coś w rodzaju wędrującego wektora Czy jest możliwe wyznaczenie (bez odwołania się do pomiaru) ruchu punktu? Jeśli nie jest jednoznacznie określona trajektoria jego przemieszczania się, to problem jest otwarty zarówno w sensie geometrii różniczkowej, jak i teorii pola Pomiarowo wyznaczone trajektorie w i ( x, t) czy też u i ( x, t) przemieszczania się punktów są z prawdopodobieństwem różne dla istotnie różnych punktów przestrzeni Ponadto o danym procesie nie można powiedzieć, że zaistnieje na pewno, tylko że wystąpi z pewnym prawdopodobieństwem, co wynika z wewnętrznej losowości ośrodka Często więc modele deterministyczne nie są wystarczającym przybliżeniem opisu procesów fizykalnych 3 Proces przemieszczeń obserwowany geodezyjne Przyczyny, które powodują przemieszczania się części masy górotworu w kierunku pustki poeksploatacyjnej, prawdopodobnie nigdy się dokładnie nie powtarzają, więc stosowanie miar deterministycznych do oceny zagrożeń jest jednym (ale nie jedynym) z kryteriów charakterystyki stanu deformacji ośrodka Pomiary geodezyjne ruchów punktów powierzchni nie pozwalają w pełni oszacować zagrożenia obiektów na terenie górniczym Uzupełnienie
4 50 W Piwowarski stosownej analizy ilościowej, modelowaniem matematycznym procesów zależnych (deformacje terenu pustka poeksploatacyjna), stanowi istotne wspomaganie identyfikacji procesu, będącego następstwem pogórniczej deformacji górotworu O strukturach ośrodków X A X B i X C (rys ) mówimy, że są izomorficzne, jeżeli istnieje izomorfizm z X A w X B, ponadto z X B w X C w znaczeniu przekształcenia lub relacji równoważności Procesy deformacyjne górotworu o współrzędnych stanu to transformacja jednego stanu w inny poprzez destrukcję ośrodka Utrata stabilności każdej warstwy górotworu następuje, jeżeli zostanie przekroczony stan graniczny [, 8] Stan warstwy C zdarzenie X C PUSTKA Stan warstwy B zdarzenie X B niecka Stan warstwy A zdarzenie X A Rys Schemat ideowy generowania deformacji ciągłej Fig Schematic diagram of generating a continuous deformation Jak już zaznaczono, zniszczenie ciągłości struktury niektórych warstw górotworu i deformacja pozostałych wynikają z przekroczenia stanów granicznych ich wytrzymałości Do wyznaczenia stanu granicznego przyjmuje się z reguły następującą formułę []: Ω P a = { x : f ( x) = 0 } ( X Ω ) = 0 a ()
5 Przemieszczenia górnicze terenu, obciążone deformacją losową 5 Zauważmy, że proces finalny (deformacja) zachodzi po zniszczeniu struktury warstw w bezpośrednim otoczeniu zaburzenia górotworu (pustki) Nieciągłość wynika ze zniszczenia wszystkich warstw powyżej eksploatowanego pokładu, co powoduje proces osobliwy Można więc wyróżnić dwa stany w przestrzeni: - stan deformacji ośrodka { x : f ( x) > 0} Ωb =, () - stan zajścia zdarzenia osobliwego (wystąpienie deformacji nieciągłej) Ω ={ : f ( x) 0} a x, (3) gdzie f(x) to odporność na zniszczenie struktury części warstw górotworu 4 Próba sformułowania opisu losowego W wyniku eksploatacji podziemnej następuje zmiana gęstości ośrodka Górotwór w pewnym podobszarze ulega fragmentacji [3]: zniszczenie lub uszkodzenie materiału górotworu, uplastycznienie warstw nadległych itd Fragmentacja występuje tu w skali makro; można przyjąć, że ów górotwór jest ośrodkiem stochastycznym Przepakowanie górotworu ze stanu równowagi pierwotnej do stanu równowagi poeksploatacyjnej zachodzi nie tylko w przestrzeni, lecz także w czasie Wraz z upływem czasu, od chwili przejścia eksploatacji w bliskim otoczeniu punktu, następuje w tym podobszarze silniejsze upakowanie Poszczególne elementy górotworu, który uległ fragmentacji, przemieszczają się i doznają niewielkich obrotów Trajektoria przemieszczania się punktu wykazuje tu wahania względem wartości średniej, co potwierdzają zwłaszcza pomiary o dużej częstości próbkowania Realną charakterystykę kształtowania się przemieszczeń, generowaną przepakowaniem górotworu, można traktować jako proces losowy Zjawiska niestabilne najczęściej modeluje się jako procesy stochastyczne Jednak muszą tu być spełnione określone warunki: - należy wyspecyfikować wszystkie możliwe rezultaty eksperymentu, - wynik eksperymentu jest znany po realizacji, - eksperyment można powtarzać dowolną liczbę razy Zatem przestrzeń probabilistyczną należy określić dla każdego eksperymentu jest to bardzo złożony problem
6 5 W Piwowarski Schematy przestrzeni probabilistycznej a) schemat dyskretny, b) schemat prawdopodobieństw geometrycznych Schemat dyskretny,gdy zbiór możliwych rezultatów eksperymentu jest co najmniej przeliczalny [6, 8] Ω = # Ω x 0 ; ρ ( Ω) { ω } ( Ω) = ( { ω 0 }) ω Ω ({ ω} ) pω P (4) ω Ω P = eksperyment (5) W sensie częstotliwościowym przedstawioną zależność można zapisać następująco: P( A) df = Dla dwóch przestrzeni mierzalnych mamy:, ) ( x, x, ) ( # A p({ ω }) = (# A) = (6) n Ω ω A # ( x x 3,( ) 443 c product σ a lg ebra Największa przestrzeń = { A A ; A, A } σ Odwzorowanie ξ : Ω ϑ nazywamy losowym [8, 9], jeżeli: A ξ ξ ( A) Wektory losowe ξi są niezależne, gdy σ są niezależne [6, 8], tzn gdy: ki { i ( A ); A ( R )} i,,, n ( ξi ) = ξ = σ Stan deformacji górotworu identyfikuje się poprzez tzw wskaźniki deformacji Y, które są funkcjami prostymi, co dla przestrzeni probabilistycznej można zapisać następująco: gdzie: Y = n y i i=, (7) F i n yi i= wartości przyjmowane przez Y, F i (8): { ω : X ( ω = y } F = ) i Wówczas dla przestrzeni z miarą (probabilistyczną) w naturalny sposób określamy całkę Y f ( y) P( dy) (8)
7 Przemieszczenia górnicze terenu, obciążone deformacją losową 53 Na przestrzeni probabilistycznej zadajemy proces stochastyczny Niech θ, ξ ) = ( θ t, ξ ), t 0 to częściowo obserwowany (fragment wyników pomiaru) ( t Cechą charakterystyczną każdego zjawiska losowego jest to, że wynik doświadczenia nie może być przewidziany a priori Jest to proces stochastyczny [8] o następujących własnościach: I 0 Proces stochastyczny{ X t ( ω), t T, ω Ω} jest rodziną zmiennych losowych, zależnych od t i określonych na przestrzeni probabilistycznej ( Ω,, P) II 0 Proces stochastyczny X(t,ω ) jest funkcją mierzalną i odwzorowuje: Ω X Z (I 0 ) i (II 0 ) wynika, że dla ustalonego ω Ω odwzorowanie X(t,ω ) opisuje ustaloną realizację procesu stochastycznego Wprowadzenie czynnika losowego do opisu procesu z zaburzeniami prowadzi do nowych zagadnień probabilistycznych najczęściej do stochastycznego równania różniczkowego [8] 5 Próba sformułowania stochastycznego opisu przemieszczeń pogórniczych Rozpatrzmy proces losowy{ ζ t } t T, określony następująco: gdzie: u( ξ t ) to zmienna losowa t ( t ζ = u t t; ξ ), (9) Dla ustalonego punktu ( t; x) R t R Funkcję u ( x, t ) generuje równanie różniczkowe [6]: u = t n n u(0, x) = u u σ ij ( x) x x i= j= i j i= 0 ( x) + n u ai ( x) x i (0) Prawą stronę równania (0) można zapisać następująco: EW W t ϕ s t s ϕ dsdt = s t ϕ s t 0< s< t ϕ s dsdt + s t 0< t< s ϕ t dsdt s t ( s) ϕ( s; s) s dsdt t dsdt + = R ds dt = t< s< 0 s< t< 0 () = R ( s) ϕ ( s + t; t) dt dt
8 54 W Piwowarski Funkcja kowariancji R() w równaniu () ma następujące własności: Proces losowy { t } t 0 - o R ( 0) 0, o ( t) R( 0) R, 3 o R (-t)=r(t), 4 o R( t) R( s) Re[ R( 0) R( t s) ] W postulaty matematyczne: - t t> 0 W t ma gęstość u(t;), u L na przedziale (, ) R A 0 lim ζ ; = σ 0 u t x dx t t - ( ) A 0 i ograniczona wraz z pochodnymi na przedziale [ T ; ] R Proces { W t } ma gęstość, stąd jest możliwy model tego procesu Odniesienie do fizykalnej struktury procesu przemieszczeń górotworu Znana formuła S Knothego [], określająca obniżanie się pojedynczego punktu niestacjonarnej niecki osiadania pod wpływem eksploatacji, wynika z odniesienia do więzów reonomicznych Podejście takie generuje pewną własność, a mianowicie: wszystkie niecki osiągają praktycznie taki sam rozkład W realnych sytuacjach nie uzyskujemy zwykle dokładnie takich rozkładów, ponadto, czy są one rozkładami strukturalnie stabilnymi? Uwzględniając losowe zaburzenie procesu deformacji górotworu, równanie trajektorii przemieszczeń można zapisać w postaci: dζ ( t) = k[ t, ζ ( t)] + σ [ t, ζ ( t)] ξ ( t) dt () ζ ( t = 0) = 0 Pierwszy człon w równaniu () to oddziaływanie deterministyczne, drugi zaś wyraz to stochastyczne ujęcie nieregularności trajektorii Część deterministyczną opisu procesu (), zgodnie z [], stanowi tu rozwiązanie równania różniczkowego liniowego [7]: ζ = f ( ζ ; γ ) k (3) ζ (t=0) = 0 Z teorii równań różniczkowych wiadomo, że problem (3) ma jednoznaczne rozwiązanie: W artykule przyjęto, że ( ) k tγ ζ ( x, t) = e f ( ζ ( x)) (4) k w będzie wyznaczana na podstawie teorii S Knothego []
9 Przemieszczenia górnicze terenu, obciążone deformacją losową 55 gdzie: Projekcja procesu przemieszczeń dla ξ R to: (,Λ) t i w f funkcja czasu, Λ parametry, k ( ) ξ dx dx, (5) i= P[ t ] ρ i k π (, tk, t) = A f ( t, Λ) exp ( x ) + ( x ) A, ρ odpowiednie współczynniki i parametry teorii, P ślad rzutu pola eksploatacji na płaszczyznę poziomą Oznaczając, że (t) W k X t + k =, otrzymujemy: w n ( t) t n+ = c j wn j+ + j= n+ ε (6) Zależność (6) stanowi model prognozy przemieszczeń pogórniczych w stanie niestacjonarnym, jeżeli są spełnione warunki zdefiniowanego problemu Konstrukcja algorytmu, rozwiązującego opisane sformułowanie, składa się w zasadzie z dwóch kroków Krok pierwszy to tworzenie reprezentacji problemu Krok drugi to szukanie rozwiązania reprezentacji problemu Do celów aplikacyjnych opracowano procedury obliczeniowe, będące modelem fragmentu rozważanej rzeczywistości Numer punktu Wyniki pomiaru przemieszczeń pionowych H, [m] układ wysokości Kronsztad 60 OBNIŻENIA, [m] W W W Tabela W ,34 7,07 7,06-0,7 0,8 68,66 PKP03 68,44 68,44 PKP04 68,35 68,34 PKP05 68,40 68,40 PKP06 68,56 68,56 PKP07 69,07 68,58 68,60 68,59-0,49-0,47 0,0 0,47 PKP08 69, 68,70 68,69 68,68-0,5-0,5-0,0 0,53 PKP09 69,4 68,88 68,79 68,8-0,53-0,6-0,09 0,59 PKP0 69,39 68,79 68,66 68,64-0,6-0,73-0,3 0,75
10 56 W Piwowarski cd tableli PKP 68,83 68,8 67,98 67,97-0,65-0,85-0, 0,86 PKP 69,8 7,69 68,3 68,9,4-0,96-3,37 0,99 PKP3 69,3 68,58 68,7 68,7-0,74 -,05-0,3,05 PKP4 70,0 68,58 -,43 PKP5 70,55 69, 69,7 69,6 -,33 -,8 0,05,9 PKP6 70,9 69,68 69,60 69,56 -,3 -,3-0,08,35 PKP7 7,38 70, 70,0 70,06 -,6 -,8-0,0,3 PKP8 7,83 70,67 70,47 70,48 -,6 -,36-0,,35 PKP9 7,3 7, 70,73 70,67 -,0 -,4-0,39,45 PKP0 7,4 7,4 70,97 70,90 - -,44-0,44,5 PKP 7,79 7,08 7,30 7,3-0,7 -,49-0,78,56 PKP 7,59 7,05 70,94 -,54,65 PKP3 7,69 7,09 70,97 -,6,7 PKP4 70, PKP5 7, 70,47 70,5 -,64,86 PKP6 7,58 69,95 69,69 -,63,89 PKP7 7,4 69,59 69,0 -,55,94 PKP8 70,97 69,34 68,98 -,63,99 PKP9 70,53 68,89 68,53 -,64,00 PKP30 70,48 68,9 68,49 -,56,98 PKP3 70,7 68,76 68,8 -,5,98 PKP3 70,8 68,74 68,05 -,44,3 PKP33 70,3 68,9 -,39 PKP34 70,6 68,85 -,3 PKP35 70,37 69,7 68,48 -,,88 PKP36 70,65 69,63 68,93 -,0,73 PKP37 7,6 70,4 69,74-0,85,5 PKP38 7,60 70,98 70,4-0,6,8 PKP39 7,38 7,79 7,39-0,59 0,99 PKP40 7,56 7,5 7,0-0,3 0,55 PKP4 7,99 73,00 7,79 7,63-0,0-0, -0, 0, ,4 7,96 7,89-0, ,38 73,3 73,8-0, , 7,97 7,98-0,4
11 Przemieszczenia górnicze terenu, obciążone deformacją losową 57 cd tabeli 45 73,07 7,94-0, ,8 73,3 7,93-0, ,77 7,65 7,64-0, 48 7,78 7,64 7,63-0, ,07 7,7 -,35 Tabela Odwzorowanie przemieszczeń pionowych wg (6) i odniesienie do wyników pomiaru Numer OBNIŻENIA, [m] punktu pomiar model pomiar model pomiar model pomiar model 84-0,7-0,3349 0,8-0,3454 PKP03 PKP04 PKP05 PKP06 PKP07-0,49-0, ,47-0,5053 0,0-0,0857-0,47-0,46838 PKP08-0,5-0,57-0,5-0,5305-0,0-0,0657-0,53-0,49533 PKP09-0,53-0,5805-0,6-0,6366-0,09-0,365-0,59-0,569 PKP0-0,6-0, ,73-0,7045-0,3-0,4738-0,75-0,7993 PKP -0,65-0, ,85-0,7969-0, -0,936-0,86-0,888 PKP,4-0,74-0,96-0, ,37-0,3495-0,99-0,9683 PKP3-0,74-0,7804 -,05-0, ,3-0,3695 -,05 -,0774 PKP4 -,43 -,358 -, -0,65 -,603 PKP5 -,33 -,3008 -,8 -,304 0,05-0, ,9 -,730 PKP6 -,3 -,685 -,3 -, ,08-0,075 -,35 -,3805 PKP7 -,6 -,3604 -,8 -,9077-0,0-0,3353 -,3 -,39436 PKP8 -,6 -,9095 -,36 -,3666-0, -0,7889 -,35 -,397 PKP9 -,0-0,9845 -,4 -,4478-0,39-0,486 -,45 -,4468 PKP0 - -0, ,44 -,493-0,44-0,474 -,5 -,4905 PKP -0,7-0,7684 -,49 -,5308-0,78-0, ,56 -,4987 PKP -,54 -,685 -,65 -,69679
12 58 W Piwowarski cd tabeli PKP3 -,6 -,633 -,7 -,78484 PKP4 0 -, ,79444 PKP5 -,64 -,6053 -,86 -,8454 PKP6 -,63 -,5705 -,89 -,8569 PKP7 -,55 -,6366 -,94 -,9733 PKP8 -,63 -,7045 -,99 -,09073 PKP9 -,64 -,769 -,00 -,47 PKP30 -,56 -, ,98 -,47 PKP3 -,5 -, ,98 -,5975 PKP3 -,44 -,4 -,3 -,7977 PKP33 -,39 -,3404 -,8889 PKP34 -,3 -,9307 -,0935 PKP35 -, -,3077 -,88 -,95745 PKP36 -,0 -,6 -,73 -,79763 PKP37-0,85-0,978 -,5 -,56 PKP38-0,6-0,6549 -,8 -,3647 PKP39-0,59-0, ,99 -,934 PKP40-0,3-0, ,55-0,73485 PKP4-0, -0,73-0, -0,98-0,36-0,44485 LINIA PKP 07-4; OBNIŻENIA Czasookres Obnizenia W [m] -0,5 PKP07 - -,5 - PKP09 PKP PKP3 PKP5 PKP7 PKP9 PKP PKP3 PKP5 PKP7 PKP9 PKP3 PKP33 PKP35 PKP37 PKP39 PKP4 Punkty Pomiar Model Rys Wyniki obserwacji i modelowania rozkładu górniczych przemieszczeń pionowych W(t ); szlak PKP odwzorowanie dyskretne Wysokości punktów odniesiono do punktu stałego do geoidy Fig Results of observations and modeling of vertical displacements distribution W(t ); railway route discrete representation Heights of points are related to fixed point to geoid
13 Przemieszczenia górnicze terenu, obciążone deformacją losową 59 LINIA PKP 07-4; OBNIŻENIA, Czasookres ,5 OBNIŻENIA W [m] 0-0,5 PKP07 - -,5 - PKP09 PKP PKP3 PKP5 PKP7 PKP9 PKP PKP3 PKP5 PKP7 PKP9 PKP3 PKP33 PKP35 PKP37 PKP39 PKP4 -,5 Punkty Pomiar Model Pomiar - Model Rys 3 Wyniki pomiaru i odwzorowania przemieszczeń pionowych W(x j ; t ); odwzorowanie dyskretne oraz rozkład jakości odwzorowania: W x, t ) W ( x, t ) pom( j i mod el j i Fig 3 Results of measurements and representations of vertical displacement W(xj; t ); discrete representation and distribution of quality representation: W x, t ) W ( x, t ) pom( j i mod el j i Macierz korelacji W x, t ) W ( x, t ) pom( j i mod el j i Tabela 3 Zmienne W pom (x i ) (009) W pom (x i ) (009) W model (x i ) (009) W (x i ) (009) W pom (x i ) (00) W model (x i ) (00) W (x i ) (00) W model (x i ) (009) W (x i ) (009) W pom (x i ) (00) W model (x i ) (00) W (x i ) (00), , ,0886 0,89 0,8460 0,960 0,99806, ,6439 0, , ,0744-0,088-0,6439, ,6960-0, , ,89 0, ,6960, , ,5048 0,8460 0, , ,99089, , ,960 0,0744 0, ,5048-0,87697,000000
14 60 W Piwowarski P009 M HISTOGRAM Pomiar 009 i Model 009 P009 = 34*0,*normal(x; -,74; 0,475) M-009 = 35*0,*normal(x; -,805; 0,435) Liczba obs ,8 -,6 -,4 -, - -0,8-0,6-0,4-0, 0 0, 8 HISTOGRAM OBNIŻENIA W(x) POMIAR i MODEL 00 Pomiar W {00) = 3*0,*normal(x; -,3684; 0,537) Model W (00) = 35*0,*normal(x; -,4595; 0,5494) 7 6 Liczba obs ,4 -, - -,8 -,6 -,4 -, - -0,8-0,6-0,4-0, 0 Pomiar 00 Model 00
15 Przemieszczenia górnicze terenu, obciążone deformacją losową 6 4 HISTOGRAM ODCHYŁEK : POMIAR - MODEL dw(x) dw(x)_009 = 33*0,05*normal(x; 0,087; 0,0549) dw(x)_000 = 3*0,05*normal(x; 0,046; 0,0777) 0 Liczba obs ,5-0, -0,05 0 0,05 0, 0,5 0, 0,5 dw(x)_009 dw(x)_00 Rys 4 Rozkłady statystyczne wyników pomiaru, modelowania i odchyłek Fig 4 Statistical distributions of measurement results, modeling, and deviations Podstawową cechą analiz statystycznych jest uniwersalność dla różnych wielkości obserwowanych i modelowanych charakterystyki są takie same 6 Podsumowanie Działalność górnicza zawsze wywołuje ryzyko powstania procesów niekorzystnych, określanych mianem szkody górniczej Podejmowanie decyzji dotyczących prowadzenia eksploatacji podziemnej jest związane z funkcją planowania minimalnego zagrożenia przez proces deformacji terenu, który musi być kontrolowany Losowość oraz niepełna określoność deformacyjnych procesów pogórniczych sprawiają, że modele zjawisk czy też procesów fizykalnych często nie powinny być formułowane na podstawie zmiennych rzeczywistych Wydaje się, że procesy stochastyczne są bardziej adekwatne dla odwzorowań realnych procesów, gdyż właśnie zawierają elementy losowe Istnieją możliwości, by górniczy proces przemieszczeń górotworu odwzorować przez odpowiednie modele stochastyczne Analiza wyników pomiarów wskazuje, że trajektorie procesu deformacji ośrodka z reguły są o ograniczonym wahaniu Zagrożenie obiektu zależy więc od tego, czy proces deformacyjny jest tu niewidoczny z prawej czy też z lewej strony Spostrzeżenie to stanowi pewnego rodzaju kryterium odnośnie do sterowania czasoprzestrzennym rozwojem eksploatacji w sensie lokalnej minimalizacji zagrożenia
16 6 W Piwowarski 3 W przypadku braku apriorycznej wiedzy co do tego, która zmienna jest zmienną odpowiedzialną za transformację procesu z jednego reżimu do drugiego, istnieje idea modeli progowych pozwala ona na szerszą analizę systemu procesów Możliwe jest ustalenie wielu parametrów progowych, odpowiadających opisywanym reżimom Istotnie są warunki do przyjęcia nieliniowej postaci analitycznej modelu W tym celu niezbędne są mocne testy, pozwalające na podjęcie jednoznacznej decyzji W artykule ustalono, że model (6) stanowi dobre odwzorowanie procesu pogórniczych przemieszczeń pionowych BIBLIOGRAFIA Eringen AC, Suhubi ES: Elastodynamics Academic Press, Vol II, NY 975 Knothe S: Równanie profilu ostatecznie wykształconej niecki osiadania Archiwum Górnictwa i Hutnictwa, t I, z, Warszawa Litwiniszyn J: Zastosowanie równań procesów stochastycznych do mechaniki górotworu Archiwum Górnictwa i Hutnictwa, t, z 3, Warszawa Piwowarski W: Model prognozy niestacjonarnego procesu odniesiony do opisu przemieszczeń pogórniczych identyfikowany pomiarami geodezyjnymi PIGiK, Warszawa Piwowarski W: O ryzyku wystąpienia szkody górniczej VII Dni Miernictwa Górniczego i Ochrony Terenów Górniczych, Główny Instytut Górnictwa, Katowice Piwowarski W: Relational model-survey results as related to quantitative descriptionnof random process Mineral Resources Management Polish Academy of Scevces, Cracow 00 7 Rosenblatt M: Procesy stochastyczne PWN, Warszawa Schwartz L: Kurs analizy matematycznej, t i, PWN Warszawa Snel JL: Introduction to Probability Random House, New York Zieliński P: Cyfrowe przetwarzanie sygnałów: od teorii do zastosowań Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, Warszawa 007 Pracę wykonano w ramach badań własnych Nr Abstract The paper analyses the influence of underground exploitation on the mining area Geodetic surveys concerning the dislocations of the points of the area surface are not sufficient for a complete estimation of the transformation affecting the subdomain surface Similarly, the classical functions usually cannot be regarded as describing the complexity of the processes of rock mass destruction in an adequate and satisfying way It is possible to observe here the influence of the random distribution of rock mass defects on the deformation process Therefore the paper presents an attempt to describe the deformation process on the basis of random field theory Probabilistic properties of the process namely the distributions and measures of the random variable are analysed Finally, a computational model of the process is formulated as the relationship between dislocation, derivative and random impact
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury
KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury Funkcje wektorowe Jeśli wektor a jest określony dla parametru t (t należy do przedziału t (, t k )
Procesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 21 lutego 2017 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane
Procesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 2 marca 2015 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane są
Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania
Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Szeregi czasowe 1 Szeregi czasowe 2 3 Szeregi czasowe Definicja 1 Szereg czasowy jest to proces stochastyczny z czasem dyskretnym
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego
Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Michał Krzemiński Streszczenie Omówimy metodę generowania trajektorii spacerów losowych (błądzenia losowego), tj. szczególnych procesów Markowa z
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
Wstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski
Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y
INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 7
KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 7 PRZEDMIOT TEMAT OPRACOWAŁ LABORATORIUM MODELOWANIA Przykładowe analizy danych: przebiegi czasowe, portrety
II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.
II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),
MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH
dr inż. Robert Szmit Przedmiot: MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH WYKŁAD nr Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Katedra Geotechniki i Mechaniki Budowli Opis stanu odkształcenia i naprężenia powłoki
Modelowanie jako sposób opisu rzeczywistości. Katedra Mikroelektroniki i Technik Informatycznych Politechnika Łódzka
Modelowanie jako sposób opisu rzeczywistości Katedra Mikroelektroniki i Technik Informatycznych Politechnika Łódzka 2015 Wprowadzenie: Modelowanie i symulacja PROBLEM: Podstawowy problem z opisem otaczającej
Wstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Mechatronika i inteligentne systemy produkcyjne. Modelowanie systemów mechatronicznych Platformy przetwarzania danych
Mechatronika i inteligentne systemy produkcyjne Modelowanie systemów mechatronicznych Platformy przetwarzania danych 1 Sterowanie procesem oparte na jego modelu u 1 (t) System rzeczywisty x(t) y(t) Tworzenie
Katedra Fizyki Ciała Stałego Uniwersytetu Łódzkiego. Ćwiczenie 2 Badanie funkcji korelacji w przebiegach elektrycznych.
Katedra Fizyki Ciała Stałego Uniwersytetu Łódzkiego Ćwiczenie Badanie unkcji korelacji w przebiegach elektrycznych. Cel ćwiczenia: Celem ćwiczenia jest zbadanie unkcji korelacji w okresowych sygnałach
PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω)
PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω) określonych na tej samej przestrzeni probabilistycznej
Definicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Na A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n)
MODELE STATYSTYCZNE Punktem wyjścia w rozumowaniu statystycznym jest zmienna losowa (cecha) X i jej obserwacje opisujące wyniki doświadczeń bądź pomiarów. Zbiór wartości zmiennej losowej X (zbiór wartości
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie
3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas
3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas oddziaływanie między ciałami, ani też rola, jaką to
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XV: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 2 lutego 2015 r. Standaryzacja danych Standaryzacja danych Własności macierzy korelacji Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie.
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
[ P ] T PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES. [ u v u v u v ] T. wykład 4. Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia)
PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES wykład 4 Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia) Obszar zdyskretyzowany trójkątami U = [ u v u v u v ] T stopnie swobody elementu P = [ P ]
W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)
W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie) Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Marek Woda www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Rachunek prawdopodobieństwa - przypomnienie 1. Zdarzenia 2. Prawdopodobieństwo
POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny
POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny Funkcja Falowa Postulat 1 Dla każdego układu istnieje funkcja falowa (funkcja współrzędnych i czasu), która jest ciągła, całkowalna w kwadracie,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu
Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających
Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16
Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego
Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż.
Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż. Joanna Szulczyk Politechnika Warszawska Instytut Techniki Lotniczej i Mechaniki
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XIII: Prognoza. 26 stycznia 2015 Wykład XIII: Prognoza. Prognoza (predykcja) Przypuśćmy, że mamy dany ciąg liczb x 1, x 2,..., x n, stanowiących wyniki pomiaru pewnej zmiennej w czasie wielkości
Układy stochastyczne
Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego 21 stycznia 2009 Definicja Definicja Proces stochastyczny to funkcja losowa, czyli funkcja matematyczna, której wartości leżą w przestrzeni zdarzeń losowych.
Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Weryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii
Mechanika klasyczna Tadeusz Lesiak Wykład nr 4 Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Energia i praca T. Lesiak Mechanika klasyczna 2 Praca Praca (W) wykonana przez stałą
WYZNACZANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODAMI SYMULACYJNYMI
WYZNACZANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODAMI SYMULACYJNYMI Stefan WÓJTOWICZ, Katarzyna BIERNAT ZAKŁAD METROLOGII I BADAŃ NIENISZCZĄCYCH INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI ul. Pożaryskiego 8, 04-703 Warszawa tel. (0)
Statystyka i eksploracja danych
Wykład XII: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 12 maja 2014 Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie. Standaryzacją zmiennej X nazywamy zmienną losową Z = X EX Var (X ). Definicja
Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Statystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby
Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna
Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Problem aproksymacji funkcji polega na tym, że funkcję F(x), znaną lub określoną tablicą wartości, należy zastąpić inną funkcją, f(x), zwaną funkcją aproksymującą
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XIV: Metody Monte Carlo 19 stycznia 2016 Przybliżone obliczanie całki oznaczonej Rozważmy całkowalną funkcję f : [0, 1] R. Chcemy znaleźć przybliżoną wartość liczbową całki 1 f (x) dx. 0 Jeden ze
Statystyka i eksploracja danych
Wykład I: Formalizm statystyki matematycznej 17 lutego 2014 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura
7. ELEMENTY PŁYTOWE. gdzie [N] oznacza przyjmowane funkcje kształtu, zdefinować odkształcenia i naprężenia: zdefiniować macierz sztywności:
7. ELEMENTY PŁYTOWE 1 7. 7. ELEMENTY PŁYTOWE Rys. 7.1. Element płytowy Aby rozwiązać zadanie płytowe należy: zdefiniować geometrię płyty, dokonać podziału płyty na elementy, zdefiniować węzły, wprowadzić
Wykład z modelowania matematycznego.
Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2) Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2) Rodzina funkcji
2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
2. Równania o rozdzielonych zmiennych 2 1 2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie różniczkowe
Obiekty budowlane na terenach górniczych
Jerzy Kwiatek Obiekty budowlane na terenach górniczych Wydanie II zmienione i rozszerzone GŁÓWNY INSTYTUT GÓRNICTWA Katowice 2007 SPIS TREŚCI WYKAZ WAŻNIEJSZYCH POJĘĆ... 13 WYKAZ WAŻNIEJSZYCH OZNACZEŃ...
Spis treści 3 SPIS TREŚCI
Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe
Rozdział 2: Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów
Rozdział : Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów W tym rozdziale omówione zostaną dwie najpopularniejsze metody estymacji parametrów w ekonometrycznych modelach nieliniowych,
2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
METODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03
METODY OBLICZENIOWE Projekt nr 3.4 Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 Zadanie Nasze zadanie składało się z dwóch części: 1. Sformułowanie, przy użyciu metody Lagrange a II rodzaju, równania różniczkowego
Drgania układu o wielu stopniach swobody
Drgania układu o wielu stopniach swobody Rozpatrzmy układ składający się z n ciał o masach m i (i =,,..., n, połączonych między sobą i z nieruchomym podłożem za pomocą elementów sprężystych o współczynnikach
Rozkład normalny, niepewność standardowa typu A
Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu Laboratorium Rozkład normalny, niepewność standardowa typu A Instrukcja do ćwiczenia nr 1 Zakład Miernictwa i Ochrony Atmosfery Wrocław, listopad 2010 r. Podstawy
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład I: Formalizm teorii prawdopodonieństwa 6 października 2014 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Dostępność treści wykładów 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin dwuczęściowy:
8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,
Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe
Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i
Ważne rozkłady i twierdzenia
Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne
INTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Wprowadzenie Na czym polega interpolacja? Interpolacja polega
F t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Rozdział 1 PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE
1. 1. W p r owadze n ie 1 Rozdział 1 PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE 1.1. WPROWADZENIE SYGNAŁ nośnik informacji ANALIZA SYGNAŁU badanie, którego celem jest identyfikacja własności, cech, miar sygnału; odtwarzanie
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:
Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
ĆWICZENIA LABORATORYJNE Z KONSTRUKCJI METALOWCH. Ć w i c z e n i e H. Interferometria plamkowa w zastosowaniu do pomiaru przemieszczeń
Akademia Górniczo Hutnicza Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji Nazwisko i Imię: Nazwisko i Imię: Wydział Górnictwa i Geoinżynierii Grupa
Inżynieria Systemów Dynamicznych (4)
Inżynieria Systemów Dynamicznych (4) liniowych (układów) Piotr Jacek Suchomski Katedra Systemów Automatyki WETI, Politechnika Gdańska 2 grudnia 2010 O czym będziemy mówili? 1 2 WE OKREŚLO 3 ASYMPTO 4 DYNAMICZ
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Zadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
17. 17. Modele materiałów
7. MODELE MATERIAŁÓW 7. 7. Modele materiałów 7.. Wprowadzenie Podstawowym modelem w mechanice jest model ośrodka ciągłego. Przyjmuje się, że materia wypełnia przestrzeń w sposób ciągły. Możliwe jest wyznaczenie
Pierwsze komputery, np. ENIAC w 1946r. Obliczenia dotyczyły obiektów: o bardzo prostych geometriach (najczęściej modelowanych jako jednowymiarowe)
METODA ELEMENTÓW W SKOŃCZONYCH 1 Pierwsze komputery, np. ENIAC w 1946r. Obliczenia dotyczyły obiektów: o bardzo prostych geometriach (najczęściej modelowanych jako jednowymiarowe) stałych własnościach
Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju
Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji -go i 2-go rodzaju Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów
Komputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład 9 27.04.2018 dr inż. Łukasz Graczykowski lukasz.graczykowski@pw.edu.pl Semestr letni 2017/2018 Metoda największej wiarygodności ierównosć informacyjna
Ćwiczenia nr 7. TEMATYKA: Krzywe Bézier a
TEMATYKA: Krzywe Bézier a Ćwiczenia nr 7 DEFINICJE: Interpolacja: przybliżanie funkcji za pomocą innej funkcji, zwykle wielomianu, tak aby były sobie równe w zadanych punktach. Poniżej przykład interpolacji
Systemy. Krzysztof Patan
Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej
KARTA PRZEDMIOTU. 2. Kod przedmiotu: N Iz-GGiP/36
Strona 1 z 5 Z1PU7 Wydanie N1 (pieczęć wydziału) KARTA PRZEDMIOTU 1. Nazwa przedmiotu: Ochrona terenów górniczych 3. Karta przedmiotu ważna od roku akademickiego: 2013/14 4. Poziom kształcenia: studia
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2005/06 Wstęp
Lepkosprężystość. Metody pomiarów właściwości lepkosprężystych materii
Metody pomiarów właściwości lepkosprężystych materii Pomiarów dokonuje się w dwóch dziedzinach: czasowej lub częstotliwościowej i nie zależy to od rodzaju przyłożonych naprężeń (normalnych lub stycznych).
Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych
Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Prowadząca: dr inż. Hanna Zbroszczyk e-mail: gos@if.pw.edu.pl tel: +48 22 234 58 51 konsultacje: poniedziałek, 10-11, środa: 11-12 www: http://www.if.pw.edu.pl/~gos/students/kadd
1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Propozycja prognozowania deformacji powierzchni spowodowanych eksploatacją dwóch ścian w górotworze nienaruszonym
Nr 3 PRZEGLĄD GÓRNICZY 101 UKD 624.131:622.167/.168:622.83/.84 Propozycja prognozowania deformacji powierzchni spowodowanych eksploatacją dwóch ścian w górotworze nienaruszonym Concept of forecasting surface
Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.
Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej
Zmienność wiatru w okresie wieloletnim
Warsztaty: Prognozowanie produktywności farm wiatrowych PSEW, Warszawa 5.02.2015 Zmienność wiatru w okresie wieloletnim Dr Marcin Zientara DCAD / Stermedia Sp. z o.o. Zmienność wiatru w różnych skalach
REGRESJA LINIOWA Z UOGÓLNIONĄ MACIERZĄ KOWARIANCJI SKŁADNIKA LOSOWEGO. Aleksander Nosarzewski Ekonometria bayesowska, prowadzący: dr Andrzej Torój
1 REGRESJA LINIOWA Z UOGÓLNIONĄ MACIERZĄ KOWARIANCJI SKŁADNIKA LOSOWEGO Aleksander Nosarzewski Ekonometria bayesowska, prowadzący: dr Andrzej Torój 2 DOTYCHCZASOWE MODELE Regresja liniowa o postaci: y
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,
5. Analiza dyskryminacyjna: FLD, LDA, QDA
Algorytmy rozpoznawania obrazów 5. Analiza dyskryminacyjna: FLD, LDA, QDA dr inż. Urszula Libal Politechnika Wrocławska 2015 1 1. Liniowe funkcje dyskryminacyjne Liniowe funkcje dyskryminacyjne mają ogólną
1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie Teoria sprężystości jest działem mechaniki, zajmującym się bryłami sztywnymi i ciałami plastycznymi. Sprężystość zajmuje się odkształceniami
AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA
AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej KATEDRA MATEMATYKI TEMAT PRACY: ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA AUTOR: BARBARA MARDOSZ Kraków, styczeń 2008 Spis treści 1 Wprowadzenie 2 2 Definicja
RÓWNANIE DYNAMICZNE RUCHU KULISTEGO CIAŁA SZTYWNEGO W UKŁADZIE PARASOLA
Dr inż. Andrzej Polka Katedra Dynamiki Maszyn Politechnika Łódzka RÓWNANIE DYNAMICZNE RUCHU KULISTEGO CIAŁA SZTYWNEGO W UKŁADZIE PARASOLA Streszczenie: W pracy opisano wzajemne położenie płaszczyzny parasola
Programowanie celowe #1
Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem
IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA
IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji
Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy układ ten wytrącony ze stanu równowagi
STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa
STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem
TEORIA CHAOSU. Autorzy: Szymon Sapkowski, Karolina Seweryn, Olaf Skrabacz, Kinga Szarkowska
TEORIA CHAOSU Autorzy: Szymon Sapkowski, Karolina Seweryn, Olaf Skrabacz, Kinga Szarkowska Wydział MiNI Politechnika Warszawska Rok akademicki 2015/2016 Semestr letni Krótki kurs historii matematyki DEFINICJA
Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2018 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny jeżeli jego odpowiedź na wymuszenie (zakłócenie)
Elementy rachunku różniczkowego i całkowego
Elementy rachunku różniczkowego i całkowego W paragrafie tym podane zostaną elementarne wiadomości na temat rachunku różniczkowego i całkowego oraz przykłady jego zastosowania w fizyce. Małymi literami