MINING DISLOCATIONS OF THE AREA AS BIASED BY RANDOM DEFORMATION

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "MINING DISLOCATIONS OF THE AREA AS BIASED BY RANDOM DEFORMATION"

Transkrypt

1 GÓRNICTWO I GEOLOGIA 0 Tom 7 Zeszyt Wiesław PIWOWARSKI Akademia Górniczo-Hutnicza, Kraków PRZEMIESZCZENIA GÓRNICZE TERENU, OBCIĄŻONE DEFORMACJĄ LOSOWĄ Streszczenie W artykule analizowano wpływ eksploatacji podziemnej na teren górniczy Obserwacje geodezyjnie przemieszczania się punktów powierzchni terenu nie są wystarczające do pełnego oszacowania przekształcenia powierzchni podobszaru Również odwzorowania klasyczne często nie opisują zadowalająco złożoności procesów destrukcji górotworu Zauważalny jest tu wpływ losowego rozkładu defektów ośrodka na proces deformacji Podjęto więc próbę opisu procesu przemieszczeń, opartą na teorii pól losowych Analizowano probabilistyczne własności procesu rozkłady i miary zmiennej losowej Sformułowano model obliczeniowy procesu jako związku między przemieszczeniem, pochodną i oddziaływaniem losowym MINING DISLOCATIONS OF THE AREA AS BIASED BY RANDOM DEFORMATION Summary The paper analyses the influence of underground exploitation on the mining area Geodetic surveys concerning the dislocations of the points of the area surface are not sufficient for a complete estimation of the transformation affecting the subdomain surface Similarly, the classical functions usually cannot be regarded as describing the complexity of the processes of rock mass destruction in an adequate and satisfying way It is possible to observe here the influence of the random distribution of rock mass defects on the deformation process Therefore the paper presents an attempt to describe the deformation process on the basis of random field theory Probabilistic properties of the process namely the distributions and measures of the random variable are analysed Finally, a computational model of the process is formulated as the relationship between dislocation, derivative and random impact Wprowadzenie Analiza ilościowa charakterystyki stanu powierzchni terenów górniczych dotyczy oceny przekształcenia czynnej powierzchni ziemi w powiązaniu z eksploatacją podziemną Przedmiotem rozważań jest tu próba określenia zmian konfiguracji geometrycznych ciała

2 48 W Piwowarski stałego (górotworu) w wyniku oddziaływania eksploatacji podziemnej procesu pogórniczych przemieszczeń Realne procesy deformacji górotworu są bardzo skomplikowane, więc podstawowym celem artykułu są analiza pola przemieszczeń pogórniczych na bazie stosownych pomiarów geodezyjnych oraz próba odwzorowania zaburzonego losowo pola deformacji Deformacje powierzchni terenu, wywołane eksploatacją podziemną w istotny sposób wpływają na stan techniczny obiektów znajdujących się na terenach górniczych Okresowe pomiary geodezyjne pozwalają wyznaczyć wskaźniki deformacji jako miary zagrożeń obiektów i terenu górniczego Często jest to jedyny sposób na określenie w czasie wpływu eksploatacji podziemnej na badany obiekt oraz na odróżnienie wpływów dokonanej eksploatacji górniczej od reakcji obiektu na inne, pozagórnicze czynniki: okresowe zmiany stosunków wodnych w gruncie, własne obciążenie eksploatacyjne konstrukcji obiektu, odkształcenia spowodowane innymi czynnikami Charakterystyka problemu W celu wyznaczenia przemieszczeń pogórniczych w podobszarze górotworu wprowadzamy do przestrzeni fizycznej punkty obserwacyjne Jeżeli na dany punkt działają siły czynne, wówczas punkt przemieszcza się po trajektorii [4] Odwołując się do mechaniki punktu materialnego [], można wyznaczyć trajektorię przemieszczania się punktu łuk tej krzywej określa zależność: r = r(t) Równanie to, rozpisane na składowe w R 3, przyjmuje postać: x = x(t) ; y = y(t) ; z = z(t) Stąd wynika, że dla określenia ruchu potrzebna jest znajomość toru i przebiegu czasowego _ t końca wektora r ( ) Przemieszczanie się punktu powierzchni terenu górniczego nie jest ruchem swobodnym, lecz ruchem podlegającym ograniczeniu, zadanym przez warunek pozostawania punktu na pewnej określonej powierzchni: f(x,y,z,t) = 0 Ogólnie tor punktu materialnego nie leży na tej powierzchni [7], co wynika z następującego faktu:

3 Przemieszczenia górnicze terenu, obciążone deformacją losową 49 więc: d dt f ( x( t), y( t), z( t), t) = r gradf f λgradf r dt = λ dt t f + t = 0, Jest to układ czterech równań skalarnych, gdzie niewiadomymi są cztery funkcje skalarne _ niewiadomych r ( t), λ( t) Trajektorie poziomego przemieszczania się punktu pod wpływem eksploatacji górniczej wykazują tu dużą nieregularność [4] Stąd opis analizowanego zjawiska w sensie prognozzy przy użyciu modelu deterministycznego jest możliwy, jednak nie zawsze otrzymujemy odwzorowanie z wystarczającą dokładnością Proces przemieszczania się punktów ośrodka jest wymuszony głównie eksploatacją podziemną (likwidacja pustki poeksploatacyjnej pod wpływem grawitacji) Należy dodać, że wpływ mają tu również inne czynniki: budowa geologiczna ośrodka, stan naprężeń, odwodnienie itd Oddziaływań tych nie jesteśmy w stanie dobrze określić Jeżeli punkt ośrodka (powierzchni) w R 3 (X, Z; t) przemieszcza się pod wpływem rozwijającej się eksploatacji, to fenomenologicznie pojawia się coś w rodzaju wędrującego wektora Czy jest możliwe wyznaczenie (bez odwołania się do pomiaru) ruchu punktu? Jeśli nie jest jednoznacznie określona trajektoria jego przemieszczania się, to problem jest otwarty zarówno w sensie geometrii różniczkowej, jak i teorii pola Pomiarowo wyznaczone trajektorie w i ( x, t) czy też u i ( x, t) przemieszczania się punktów są z prawdopodobieństwem różne dla istotnie różnych punktów przestrzeni Ponadto o danym procesie nie można powiedzieć, że zaistnieje na pewno, tylko że wystąpi z pewnym prawdopodobieństwem, co wynika z wewnętrznej losowości ośrodka Często więc modele deterministyczne nie są wystarczającym przybliżeniem opisu procesów fizykalnych 3 Proces przemieszczeń obserwowany geodezyjne Przyczyny, które powodują przemieszczania się części masy górotworu w kierunku pustki poeksploatacyjnej, prawdopodobnie nigdy się dokładnie nie powtarzają, więc stosowanie miar deterministycznych do oceny zagrożeń jest jednym (ale nie jedynym) z kryteriów charakterystyki stanu deformacji ośrodka Pomiary geodezyjne ruchów punktów powierzchni nie pozwalają w pełni oszacować zagrożenia obiektów na terenie górniczym Uzupełnienie

4 50 W Piwowarski stosownej analizy ilościowej, modelowaniem matematycznym procesów zależnych (deformacje terenu pustka poeksploatacyjna), stanowi istotne wspomaganie identyfikacji procesu, będącego następstwem pogórniczej deformacji górotworu O strukturach ośrodków X A X B i X C (rys ) mówimy, że są izomorficzne, jeżeli istnieje izomorfizm z X A w X B, ponadto z X B w X C w znaczeniu przekształcenia lub relacji równoważności Procesy deformacyjne górotworu o współrzędnych stanu to transformacja jednego stanu w inny poprzez destrukcję ośrodka Utrata stabilności każdej warstwy górotworu następuje, jeżeli zostanie przekroczony stan graniczny [, 8] Stan warstwy C zdarzenie X C PUSTKA Stan warstwy B zdarzenie X B niecka Stan warstwy A zdarzenie X A Rys Schemat ideowy generowania deformacji ciągłej Fig Schematic diagram of generating a continuous deformation Jak już zaznaczono, zniszczenie ciągłości struktury niektórych warstw górotworu i deformacja pozostałych wynikają z przekroczenia stanów granicznych ich wytrzymałości Do wyznaczenia stanu granicznego przyjmuje się z reguły następującą formułę []: Ω P a = { x : f ( x) = 0 } ( X Ω ) = 0 a ()

5 Przemieszczenia górnicze terenu, obciążone deformacją losową 5 Zauważmy, że proces finalny (deformacja) zachodzi po zniszczeniu struktury warstw w bezpośrednim otoczeniu zaburzenia górotworu (pustki) Nieciągłość wynika ze zniszczenia wszystkich warstw powyżej eksploatowanego pokładu, co powoduje proces osobliwy Można więc wyróżnić dwa stany w przestrzeni: - stan deformacji ośrodka { x : f ( x) > 0} Ωb =, () - stan zajścia zdarzenia osobliwego (wystąpienie deformacji nieciągłej) Ω ={ : f ( x) 0} a x, (3) gdzie f(x) to odporność na zniszczenie struktury części warstw górotworu 4 Próba sformułowania opisu losowego W wyniku eksploatacji podziemnej następuje zmiana gęstości ośrodka Górotwór w pewnym podobszarze ulega fragmentacji [3]: zniszczenie lub uszkodzenie materiału górotworu, uplastycznienie warstw nadległych itd Fragmentacja występuje tu w skali makro; można przyjąć, że ów górotwór jest ośrodkiem stochastycznym Przepakowanie górotworu ze stanu równowagi pierwotnej do stanu równowagi poeksploatacyjnej zachodzi nie tylko w przestrzeni, lecz także w czasie Wraz z upływem czasu, od chwili przejścia eksploatacji w bliskim otoczeniu punktu, następuje w tym podobszarze silniejsze upakowanie Poszczególne elementy górotworu, który uległ fragmentacji, przemieszczają się i doznają niewielkich obrotów Trajektoria przemieszczania się punktu wykazuje tu wahania względem wartości średniej, co potwierdzają zwłaszcza pomiary o dużej częstości próbkowania Realną charakterystykę kształtowania się przemieszczeń, generowaną przepakowaniem górotworu, można traktować jako proces losowy Zjawiska niestabilne najczęściej modeluje się jako procesy stochastyczne Jednak muszą tu być spełnione określone warunki: - należy wyspecyfikować wszystkie możliwe rezultaty eksperymentu, - wynik eksperymentu jest znany po realizacji, - eksperyment można powtarzać dowolną liczbę razy Zatem przestrzeń probabilistyczną należy określić dla każdego eksperymentu jest to bardzo złożony problem

6 5 W Piwowarski Schematy przestrzeni probabilistycznej a) schemat dyskretny, b) schemat prawdopodobieństw geometrycznych Schemat dyskretny,gdy zbiór możliwych rezultatów eksperymentu jest co najmniej przeliczalny [6, 8] Ω = # Ω x 0 ; ρ ( Ω) { ω } ( Ω) = ( { ω 0 }) ω Ω ({ ω} ) pω P (4) ω Ω P = eksperyment (5) W sensie częstotliwościowym przedstawioną zależność można zapisać następująco: P( A) df = Dla dwóch przestrzeni mierzalnych mamy:, ) ( x, x, ) ( # A p({ ω }) = (# A) = (6) n Ω ω A # ( x x 3,( ) 443 c product σ a lg ebra Największa przestrzeń = { A A ; A, A } σ Odwzorowanie ξ : Ω ϑ nazywamy losowym [8, 9], jeżeli: A ξ ξ ( A) Wektory losowe ξi są niezależne, gdy σ są niezależne [6, 8], tzn gdy: ki { i ( A ); A ( R )} i,,, n ( ξi ) = ξ = σ Stan deformacji górotworu identyfikuje się poprzez tzw wskaźniki deformacji Y, które są funkcjami prostymi, co dla przestrzeni probabilistycznej można zapisać następująco: gdzie: Y = n y i i=, (7) F i n yi i= wartości przyjmowane przez Y, F i (8): { ω : X ( ω = y } F = ) i Wówczas dla przestrzeni z miarą (probabilistyczną) w naturalny sposób określamy całkę Y f ( y) P( dy) (8)

7 Przemieszczenia górnicze terenu, obciążone deformacją losową 53 Na przestrzeni probabilistycznej zadajemy proces stochastyczny Niech θ, ξ ) = ( θ t, ξ ), t 0 to częściowo obserwowany (fragment wyników pomiaru) ( t Cechą charakterystyczną każdego zjawiska losowego jest to, że wynik doświadczenia nie może być przewidziany a priori Jest to proces stochastyczny [8] o następujących własnościach: I 0 Proces stochastyczny{ X t ( ω), t T, ω Ω} jest rodziną zmiennych losowych, zależnych od t i określonych na przestrzeni probabilistycznej ( Ω,, P) II 0 Proces stochastyczny X(t,ω ) jest funkcją mierzalną i odwzorowuje: Ω X Z (I 0 ) i (II 0 ) wynika, że dla ustalonego ω Ω odwzorowanie X(t,ω ) opisuje ustaloną realizację procesu stochastycznego Wprowadzenie czynnika losowego do opisu procesu z zaburzeniami prowadzi do nowych zagadnień probabilistycznych najczęściej do stochastycznego równania różniczkowego [8] 5 Próba sformułowania stochastycznego opisu przemieszczeń pogórniczych Rozpatrzmy proces losowy{ ζ t } t T, określony następująco: gdzie: u( ξ t ) to zmienna losowa t ( t ζ = u t t; ξ ), (9) Dla ustalonego punktu ( t; x) R t R Funkcję u ( x, t ) generuje równanie różniczkowe [6]: u = t n n u(0, x) = u u σ ij ( x) x x i= j= i j i= 0 ( x) + n u ai ( x) x i (0) Prawą stronę równania (0) można zapisać następująco: EW W t ϕ s t s ϕ dsdt = s t ϕ s t 0< s< t ϕ s dsdt + s t 0< t< s ϕ t dsdt s t ( s) ϕ( s; s) s dsdt t dsdt + = R ds dt = t< s< 0 s< t< 0 () = R ( s) ϕ ( s + t; t) dt dt

8 54 W Piwowarski Funkcja kowariancji R() w równaniu () ma następujące własności: Proces losowy { t } t 0 - o R ( 0) 0, o ( t) R( 0) R, 3 o R (-t)=r(t), 4 o R( t) R( s) Re[ R( 0) R( t s) ] W postulaty matematyczne: - t t> 0 W t ma gęstość u(t;), u L na przedziale (, ) R A 0 lim ζ ; = σ 0 u t x dx t t - ( ) A 0 i ograniczona wraz z pochodnymi na przedziale [ T ; ] R Proces { W t } ma gęstość, stąd jest możliwy model tego procesu Odniesienie do fizykalnej struktury procesu przemieszczeń górotworu Znana formuła S Knothego [], określająca obniżanie się pojedynczego punktu niestacjonarnej niecki osiadania pod wpływem eksploatacji, wynika z odniesienia do więzów reonomicznych Podejście takie generuje pewną własność, a mianowicie: wszystkie niecki osiągają praktycznie taki sam rozkład W realnych sytuacjach nie uzyskujemy zwykle dokładnie takich rozkładów, ponadto, czy są one rozkładami strukturalnie stabilnymi? Uwzględniając losowe zaburzenie procesu deformacji górotworu, równanie trajektorii przemieszczeń można zapisać w postaci: dζ ( t) = k[ t, ζ ( t)] + σ [ t, ζ ( t)] ξ ( t) dt () ζ ( t = 0) = 0 Pierwszy człon w równaniu () to oddziaływanie deterministyczne, drugi zaś wyraz to stochastyczne ujęcie nieregularności trajektorii Część deterministyczną opisu procesu (), zgodnie z [], stanowi tu rozwiązanie równania różniczkowego liniowego [7]: ζ = f ( ζ ; γ ) k (3) ζ (t=0) = 0 Z teorii równań różniczkowych wiadomo, że problem (3) ma jednoznaczne rozwiązanie: W artykule przyjęto, że ( ) k tγ ζ ( x, t) = e f ( ζ ( x)) (4) k w będzie wyznaczana na podstawie teorii S Knothego []

9 Przemieszczenia górnicze terenu, obciążone deformacją losową 55 gdzie: Projekcja procesu przemieszczeń dla ξ R to: (,Λ) t i w f funkcja czasu, Λ parametry, k ( ) ξ dx dx, (5) i= P[ t ] ρ i k π (, tk, t) = A f ( t, Λ) exp ( x ) + ( x ) A, ρ odpowiednie współczynniki i parametry teorii, P ślad rzutu pola eksploatacji na płaszczyznę poziomą Oznaczając, że (t) W k X t + k =, otrzymujemy: w n ( t) t n+ = c j wn j+ + j= n+ ε (6) Zależność (6) stanowi model prognozy przemieszczeń pogórniczych w stanie niestacjonarnym, jeżeli są spełnione warunki zdefiniowanego problemu Konstrukcja algorytmu, rozwiązującego opisane sformułowanie, składa się w zasadzie z dwóch kroków Krok pierwszy to tworzenie reprezentacji problemu Krok drugi to szukanie rozwiązania reprezentacji problemu Do celów aplikacyjnych opracowano procedury obliczeniowe, będące modelem fragmentu rozważanej rzeczywistości Numer punktu Wyniki pomiaru przemieszczeń pionowych H, [m] układ wysokości Kronsztad 60 OBNIŻENIA, [m] W W W Tabela W ,34 7,07 7,06-0,7 0,8 68,66 PKP03 68,44 68,44 PKP04 68,35 68,34 PKP05 68,40 68,40 PKP06 68,56 68,56 PKP07 69,07 68,58 68,60 68,59-0,49-0,47 0,0 0,47 PKP08 69, 68,70 68,69 68,68-0,5-0,5-0,0 0,53 PKP09 69,4 68,88 68,79 68,8-0,53-0,6-0,09 0,59 PKP0 69,39 68,79 68,66 68,64-0,6-0,73-0,3 0,75

10 56 W Piwowarski cd tableli PKP 68,83 68,8 67,98 67,97-0,65-0,85-0, 0,86 PKP 69,8 7,69 68,3 68,9,4-0,96-3,37 0,99 PKP3 69,3 68,58 68,7 68,7-0,74 -,05-0,3,05 PKP4 70,0 68,58 -,43 PKP5 70,55 69, 69,7 69,6 -,33 -,8 0,05,9 PKP6 70,9 69,68 69,60 69,56 -,3 -,3-0,08,35 PKP7 7,38 70, 70,0 70,06 -,6 -,8-0,0,3 PKP8 7,83 70,67 70,47 70,48 -,6 -,36-0,,35 PKP9 7,3 7, 70,73 70,67 -,0 -,4-0,39,45 PKP0 7,4 7,4 70,97 70,90 - -,44-0,44,5 PKP 7,79 7,08 7,30 7,3-0,7 -,49-0,78,56 PKP 7,59 7,05 70,94 -,54,65 PKP3 7,69 7,09 70,97 -,6,7 PKP4 70, PKP5 7, 70,47 70,5 -,64,86 PKP6 7,58 69,95 69,69 -,63,89 PKP7 7,4 69,59 69,0 -,55,94 PKP8 70,97 69,34 68,98 -,63,99 PKP9 70,53 68,89 68,53 -,64,00 PKP30 70,48 68,9 68,49 -,56,98 PKP3 70,7 68,76 68,8 -,5,98 PKP3 70,8 68,74 68,05 -,44,3 PKP33 70,3 68,9 -,39 PKP34 70,6 68,85 -,3 PKP35 70,37 69,7 68,48 -,,88 PKP36 70,65 69,63 68,93 -,0,73 PKP37 7,6 70,4 69,74-0,85,5 PKP38 7,60 70,98 70,4-0,6,8 PKP39 7,38 7,79 7,39-0,59 0,99 PKP40 7,56 7,5 7,0-0,3 0,55 PKP4 7,99 73,00 7,79 7,63-0,0-0, -0, 0, ,4 7,96 7,89-0, ,38 73,3 73,8-0, , 7,97 7,98-0,4

11 Przemieszczenia górnicze terenu, obciążone deformacją losową 57 cd tabeli 45 73,07 7,94-0, ,8 73,3 7,93-0, ,77 7,65 7,64-0, 48 7,78 7,64 7,63-0, ,07 7,7 -,35 Tabela Odwzorowanie przemieszczeń pionowych wg (6) i odniesienie do wyników pomiaru Numer OBNIŻENIA, [m] punktu pomiar model pomiar model pomiar model pomiar model 84-0,7-0,3349 0,8-0,3454 PKP03 PKP04 PKP05 PKP06 PKP07-0,49-0, ,47-0,5053 0,0-0,0857-0,47-0,46838 PKP08-0,5-0,57-0,5-0,5305-0,0-0,0657-0,53-0,49533 PKP09-0,53-0,5805-0,6-0,6366-0,09-0,365-0,59-0,569 PKP0-0,6-0, ,73-0,7045-0,3-0,4738-0,75-0,7993 PKP -0,65-0, ,85-0,7969-0, -0,936-0,86-0,888 PKP,4-0,74-0,96-0, ,37-0,3495-0,99-0,9683 PKP3-0,74-0,7804 -,05-0, ,3-0,3695 -,05 -,0774 PKP4 -,43 -,358 -, -0,65 -,603 PKP5 -,33 -,3008 -,8 -,304 0,05-0, ,9 -,730 PKP6 -,3 -,685 -,3 -, ,08-0,075 -,35 -,3805 PKP7 -,6 -,3604 -,8 -,9077-0,0-0,3353 -,3 -,39436 PKP8 -,6 -,9095 -,36 -,3666-0, -0,7889 -,35 -,397 PKP9 -,0-0,9845 -,4 -,4478-0,39-0,486 -,45 -,4468 PKP0 - -0, ,44 -,493-0,44-0,474 -,5 -,4905 PKP -0,7-0,7684 -,49 -,5308-0,78-0, ,56 -,4987 PKP -,54 -,685 -,65 -,69679

12 58 W Piwowarski cd tabeli PKP3 -,6 -,633 -,7 -,78484 PKP4 0 -, ,79444 PKP5 -,64 -,6053 -,86 -,8454 PKP6 -,63 -,5705 -,89 -,8569 PKP7 -,55 -,6366 -,94 -,9733 PKP8 -,63 -,7045 -,99 -,09073 PKP9 -,64 -,769 -,00 -,47 PKP30 -,56 -, ,98 -,47 PKP3 -,5 -, ,98 -,5975 PKP3 -,44 -,4 -,3 -,7977 PKP33 -,39 -,3404 -,8889 PKP34 -,3 -,9307 -,0935 PKP35 -, -,3077 -,88 -,95745 PKP36 -,0 -,6 -,73 -,79763 PKP37-0,85-0,978 -,5 -,56 PKP38-0,6-0,6549 -,8 -,3647 PKP39-0,59-0, ,99 -,934 PKP40-0,3-0, ,55-0,73485 PKP4-0, -0,73-0, -0,98-0,36-0,44485 LINIA PKP 07-4; OBNIŻENIA Czasookres Obnizenia W [m] -0,5 PKP07 - -,5 - PKP09 PKP PKP3 PKP5 PKP7 PKP9 PKP PKP3 PKP5 PKP7 PKP9 PKP3 PKP33 PKP35 PKP37 PKP39 PKP4 Punkty Pomiar Model Rys Wyniki obserwacji i modelowania rozkładu górniczych przemieszczeń pionowych W(t ); szlak PKP odwzorowanie dyskretne Wysokości punktów odniesiono do punktu stałego do geoidy Fig Results of observations and modeling of vertical displacements distribution W(t ); railway route discrete representation Heights of points are related to fixed point to geoid

13 Przemieszczenia górnicze terenu, obciążone deformacją losową 59 LINIA PKP 07-4; OBNIŻENIA, Czasookres ,5 OBNIŻENIA W [m] 0-0,5 PKP07 - -,5 - PKP09 PKP PKP3 PKP5 PKP7 PKP9 PKP PKP3 PKP5 PKP7 PKP9 PKP3 PKP33 PKP35 PKP37 PKP39 PKP4 -,5 Punkty Pomiar Model Pomiar - Model Rys 3 Wyniki pomiaru i odwzorowania przemieszczeń pionowych W(x j ; t ); odwzorowanie dyskretne oraz rozkład jakości odwzorowania: W x, t ) W ( x, t ) pom( j i mod el j i Fig 3 Results of measurements and representations of vertical displacement W(xj; t ); discrete representation and distribution of quality representation: W x, t ) W ( x, t ) pom( j i mod el j i Macierz korelacji W x, t ) W ( x, t ) pom( j i mod el j i Tabela 3 Zmienne W pom (x i ) (009) W pom (x i ) (009) W model (x i ) (009) W (x i ) (009) W pom (x i ) (00) W model (x i ) (00) W (x i ) (00) W model (x i ) (009) W (x i ) (009) W pom (x i ) (00) W model (x i ) (00) W (x i ) (00), , ,0886 0,89 0,8460 0,960 0,99806, ,6439 0, , ,0744-0,088-0,6439, ,6960-0, , ,89 0, ,6960, , ,5048 0,8460 0, , ,99089, , ,960 0,0744 0, ,5048-0,87697,000000

14 60 W Piwowarski P009 M HISTOGRAM Pomiar 009 i Model 009 P009 = 34*0,*normal(x; -,74; 0,475) M-009 = 35*0,*normal(x; -,805; 0,435) Liczba obs ,8 -,6 -,4 -, - -0,8-0,6-0,4-0, 0 0, 8 HISTOGRAM OBNIŻENIA W(x) POMIAR i MODEL 00 Pomiar W {00) = 3*0,*normal(x; -,3684; 0,537) Model W (00) = 35*0,*normal(x; -,4595; 0,5494) 7 6 Liczba obs ,4 -, - -,8 -,6 -,4 -, - -0,8-0,6-0,4-0, 0 Pomiar 00 Model 00

15 Przemieszczenia górnicze terenu, obciążone deformacją losową 6 4 HISTOGRAM ODCHYŁEK : POMIAR - MODEL dw(x) dw(x)_009 = 33*0,05*normal(x; 0,087; 0,0549) dw(x)_000 = 3*0,05*normal(x; 0,046; 0,0777) 0 Liczba obs ,5-0, -0,05 0 0,05 0, 0,5 0, 0,5 dw(x)_009 dw(x)_00 Rys 4 Rozkłady statystyczne wyników pomiaru, modelowania i odchyłek Fig 4 Statistical distributions of measurement results, modeling, and deviations Podstawową cechą analiz statystycznych jest uniwersalność dla różnych wielkości obserwowanych i modelowanych charakterystyki są takie same 6 Podsumowanie Działalność górnicza zawsze wywołuje ryzyko powstania procesów niekorzystnych, określanych mianem szkody górniczej Podejmowanie decyzji dotyczących prowadzenia eksploatacji podziemnej jest związane z funkcją planowania minimalnego zagrożenia przez proces deformacji terenu, który musi być kontrolowany Losowość oraz niepełna określoność deformacyjnych procesów pogórniczych sprawiają, że modele zjawisk czy też procesów fizykalnych często nie powinny być formułowane na podstawie zmiennych rzeczywistych Wydaje się, że procesy stochastyczne są bardziej adekwatne dla odwzorowań realnych procesów, gdyż właśnie zawierają elementy losowe Istnieją możliwości, by górniczy proces przemieszczeń górotworu odwzorować przez odpowiednie modele stochastyczne Analiza wyników pomiarów wskazuje, że trajektorie procesu deformacji ośrodka z reguły są o ograniczonym wahaniu Zagrożenie obiektu zależy więc od tego, czy proces deformacyjny jest tu niewidoczny z prawej czy też z lewej strony Spostrzeżenie to stanowi pewnego rodzaju kryterium odnośnie do sterowania czasoprzestrzennym rozwojem eksploatacji w sensie lokalnej minimalizacji zagrożenia

16 6 W Piwowarski 3 W przypadku braku apriorycznej wiedzy co do tego, która zmienna jest zmienną odpowiedzialną za transformację procesu z jednego reżimu do drugiego, istnieje idea modeli progowych pozwala ona na szerszą analizę systemu procesów Możliwe jest ustalenie wielu parametrów progowych, odpowiadających opisywanym reżimom Istotnie są warunki do przyjęcia nieliniowej postaci analitycznej modelu W tym celu niezbędne są mocne testy, pozwalające na podjęcie jednoznacznej decyzji W artykule ustalono, że model (6) stanowi dobre odwzorowanie procesu pogórniczych przemieszczeń pionowych BIBLIOGRAFIA Eringen AC, Suhubi ES: Elastodynamics Academic Press, Vol II, NY 975 Knothe S: Równanie profilu ostatecznie wykształconej niecki osiadania Archiwum Górnictwa i Hutnictwa, t I, z, Warszawa Litwiniszyn J: Zastosowanie równań procesów stochastycznych do mechaniki górotworu Archiwum Górnictwa i Hutnictwa, t, z 3, Warszawa Piwowarski W: Model prognozy niestacjonarnego procesu odniesiony do opisu przemieszczeń pogórniczych identyfikowany pomiarami geodezyjnymi PIGiK, Warszawa Piwowarski W: O ryzyku wystąpienia szkody górniczej VII Dni Miernictwa Górniczego i Ochrony Terenów Górniczych, Główny Instytut Górnictwa, Katowice Piwowarski W: Relational model-survey results as related to quantitative descriptionnof random process Mineral Resources Management Polish Academy of Scevces, Cracow 00 7 Rosenblatt M: Procesy stochastyczne PWN, Warszawa Schwartz L: Kurs analizy matematycznej, t i, PWN Warszawa Snel JL: Introduction to Probability Random House, New York Zieliński P: Cyfrowe przetwarzanie sygnałów: od teorii do zastosowań Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, Warszawa 007 Pracę wykonano w ramach badań własnych Nr Abstract The paper analyses the influence of underground exploitation on the mining area Geodetic surveys concerning the dislocations of the points of the area surface are not sufficient for a complete estimation of the transformation affecting the subdomain surface Similarly, the classical functions usually cannot be regarded as describing the complexity of the processes of rock mass destruction in an adequate and satisfying way It is possible to observe here the influence of the random distribution of rock mass defects on the deformation process Therefore the paper presents an attempt to describe the deformation process on the basis of random field theory Probabilistic properties of the process namely the distributions and measures of the random variable are analysed Finally, a computational model of the process is formulated as the relationship between dislocation, derivative and random impact

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w

Bardziej szczegółowo

KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury

KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury Funkcje wektorowe Jeśli wektor a jest określony dla parametru t (t należy do przedziału t (, t k )

Bardziej szczegółowo

Procesy stochastyczne

Procesy stochastyczne Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 21 lutego 2017 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane

Bardziej szczegółowo

Procesy stochastyczne

Procesy stochastyczne Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 2 marca 2015 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane są

Bardziej szczegółowo

Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania

Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Szeregi czasowe 1 Szeregi czasowe 2 3 Szeregi czasowe Definicja 1 Szereg czasowy jest to proces stochastyczny z czasem dyskretnym

Bardziej szczegółowo

III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.

III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego

Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Michał Krzemiński Streszczenie Omówimy metodę generowania trajektorii spacerów losowych (błądzenia losowego), tj. szczególnych procesów Markowa z

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Wstęp do równań różniczkowych

Wstęp do równań różniczkowych Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych

Bardziej szczegółowo

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 7

INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 7 KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 7 PRZEDMIOT TEMAT OPRACOWAŁ LABORATORIUM MODELOWANIA Przykładowe analizy danych: przebiegi czasowe, portrety

Bardziej szczegółowo

II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.

II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH

MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH dr inż. Robert Szmit Przedmiot: MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH WYKŁAD nr Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Katedra Geotechniki i Mechaniki Budowli Opis stanu odkształcenia i naprężenia powłoki

Bardziej szczegółowo

Modelowanie jako sposób opisu rzeczywistości. Katedra Mikroelektroniki i Technik Informatycznych Politechnika Łódzka

Modelowanie jako sposób opisu rzeczywistości. Katedra Mikroelektroniki i Technik Informatycznych Politechnika Łódzka Modelowanie jako sposób opisu rzeczywistości Katedra Mikroelektroniki i Technik Informatycznych Politechnika Łódzka 2015 Wprowadzenie: Modelowanie i symulacja PROBLEM: Podstawowy problem z opisem otaczającej

Bardziej szczegółowo

Wstęp do równań różniczkowych

Wstęp do równań różniczkowych Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych

Bardziej szczegółowo

Mechatronika i inteligentne systemy produkcyjne. Modelowanie systemów mechatronicznych Platformy przetwarzania danych

Mechatronika i inteligentne systemy produkcyjne. Modelowanie systemów mechatronicznych Platformy przetwarzania danych Mechatronika i inteligentne systemy produkcyjne Modelowanie systemów mechatronicznych Platformy przetwarzania danych 1 Sterowanie procesem oparte na jego modelu u 1 (t) System rzeczywisty x(t) y(t) Tworzenie

Bardziej szczegółowo

Katedra Fizyki Ciała Stałego Uniwersytetu Łódzkiego. Ćwiczenie 2 Badanie funkcji korelacji w przebiegach elektrycznych.

Katedra Fizyki Ciała Stałego Uniwersytetu Łódzkiego. Ćwiczenie 2 Badanie funkcji korelacji w przebiegach elektrycznych. Katedra Fizyki Ciała Stałego Uniwersytetu Łódzkiego Ćwiczenie Badanie unkcji korelacji w przebiegach elektrycznych. Cel ćwiczenia: Celem ćwiczenia jest zbadanie unkcji korelacji w okresowych sygnałach

Bardziej szczegółowo

PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω)

PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω) PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω) określonych na tej samej przestrzeni probabilistycznej

Bardziej szczegółowo

Definicje i przykłady

Definicje i przykłady Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest

Bardziej szczegółowo

Na A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n)

Na A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n) MODELE STATYSTYCZNE Punktem wyjścia w rozumowaniu statystycznym jest zmienna losowa (cecha) X i jej obserwacje opisujące wyniki doświadczeń bądź pomiarów. Zbiór wartości zmiennej losowej X (zbiór wartości

Bardziej szczegółowo

Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady

Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie

Bardziej szczegółowo

3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas

3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas 3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas oddziaływanie między ciałami, ani też rola, jaką to

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład XV: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 2 lutego 2015 r. Standaryzacja danych Standaryzacja danych Własności macierzy korelacji Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie.

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe

Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej

Bardziej szczegółowo

[ P ] T PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES. [ u v u v u v ] T. wykład 4. Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia)

[ P ] T PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES. [ u v u v u v ] T. wykład 4. Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia) PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES wykład 4 Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia) Obszar zdyskretyzowany trójkątami U = [ u v u v u v ] T stopnie swobody elementu P = [ P ]

Bardziej szczegółowo

W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)

W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie) W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie) Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Marek Woda www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Rachunek prawdopodobieństwa - przypomnienie 1. Zdarzenia 2. Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny Funkcja Falowa Postulat 1 Dla każdego układu istnieje funkcja falowa (funkcja współrzędnych i czasu), która jest ciągła, całkowalna w kwadracie,

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż.

Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż. Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż. Joanna Szulczyk Politechnika Warszawska Instytut Techniki Lotniczej i Mechaniki

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład XIII: Prognoza. 26 stycznia 2015 Wykład XIII: Prognoza. Prognoza (predykcja) Przypuśćmy, że mamy dany ciąg liczb x 1, x 2,..., x n, stanowiących wyniki pomiaru pewnej zmiennej w czasie wielkości

Bardziej szczegółowo

Układy stochastyczne

Układy stochastyczne Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego 21 stycznia 2009 Definicja Definicja Proces stochastyczny to funkcja losowa, czyli funkcja matematyczna, której wartości leżą w przestrzeni zdarzeń losowych.

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem

Bardziej szczegółowo

1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2

1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2 Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Mechanika klasyczna Tadeusz Lesiak Wykład nr 4 Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Energia i praca T. Lesiak Mechanika klasyczna 2 Praca Praca (W) wykonana przez stałą

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODAMI SYMULACYJNYMI

WYZNACZANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODAMI SYMULACYJNYMI WYZNACZANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODAMI SYMULACYJNYMI Stefan WÓJTOWICZ, Katarzyna BIERNAT ZAKŁAD METROLOGII I BADAŃ NIENISZCZĄCYCH INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI ul. Pożaryskiego 8, 04-703 Warszawa tel. (0)

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład XII: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 12 maja 2014 Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie. Standaryzacją zmiennej X nazywamy zmienną losową Z = X EX Var (X ). Definicja

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna

Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Problem aproksymacji funkcji polega na tym, że funkcję F(x), znaną lub określoną tablicą wartości, należy zastąpić inną funkcją, f(x), zwaną funkcją aproksymującą

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład XIV: Metody Monte Carlo 19 stycznia 2016 Przybliżone obliczanie całki oznaczonej Rozważmy całkowalną funkcję f : [0, 1] R. Chcemy znaleźć przybliżoną wartość liczbową całki 1 f (x) dx. 0 Jeden ze

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład I: Formalizm statystyki matematycznej 17 lutego 2014 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura

Bardziej szczegółowo

7. ELEMENTY PŁYTOWE. gdzie [N] oznacza przyjmowane funkcje kształtu, zdefinować odkształcenia i naprężenia: zdefiniować macierz sztywności:

7. ELEMENTY PŁYTOWE. gdzie [N] oznacza przyjmowane funkcje kształtu, zdefinować odkształcenia i naprężenia: zdefiniować macierz sztywności: 7. ELEMENTY PŁYTOWE 1 7. 7. ELEMENTY PŁYTOWE Rys. 7.1. Element płytowy Aby rozwiązać zadanie płytowe należy: zdefiniować geometrię płyty, dokonać podziału płyty na elementy, zdefiniować węzły, wprowadzić

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego.

Wykład z modelowania matematycznego. Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2) Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2) Rodzina funkcji

Bardziej szczegółowo

2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych 2. Równania o rozdzielonych zmiennych 2 1 2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie różniczkowe

Bardziej szczegółowo

Obiekty budowlane na terenach górniczych

Obiekty budowlane na terenach górniczych Jerzy Kwiatek Obiekty budowlane na terenach górniczych Wydanie II zmienione i rozszerzone GŁÓWNY INSTYTUT GÓRNICTWA Katowice 2007 SPIS TREŚCI WYKAZ WAŻNIEJSZYCH POJĘĆ... 13 WYKAZ WAŻNIEJSZYCH OZNACZEŃ...

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2: Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów

Rozdział 2: Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów Rozdział : Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów W tym rozdziale omówione zostaną dwie najpopularniejsze metody estymacji parametrów w ekonometrycznych modelach nieliniowych,

Bardziej szczegółowo

2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.

2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ. Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.

Bardziej szczegółowo

METODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03

METODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 METODY OBLICZENIOWE Projekt nr 3.4 Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 Zadanie Nasze zadanie składało się z dwóch części: 1. Sformułowanie, przy użyciu metody Lagrange a II rodzaju, równania różniczkowego

Bardziej szczegółowo

Drgania układu o wielu stopniach swobody

Drgania układu o wielu stopniach swobody Drgania układu o wielu stopniach swobody Rozpatrzmy układ składający się z n ciał o masach m i (i =,,..., n, połączonych między sobą i z nieruchomym podłożem za pomocą elementów sprężystych o współczynnikach

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny, niepewność standardowa typu A

Rozkład normalny, niepewność standardowa typu A Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu Laboratorium Rozkład normalny, niepewność standardowa typu A Instrukcja do ćwiczenia nr 1 Zakład Miernictwa i Ochrony Atmosfery Wrocław, listopad 2010 r. Podstawy

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład I: Formalizm teorii prawdopodonieństwa 6 października 2014 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Dostępność treści wykładów 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin dwuczęściowy:

Bardziej szczegółowo

8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów

8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia

Ważne rozkłady i twierdzenia Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne

Bardziej szczegółowo

INTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI

INTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Wprowadzenie Na czym polega interpolacja? Interpolacja polega

Bardziej szczegółowo

F t+ := s>t. F s = F t.

F t+ := s>t. F s = F t. M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE

Rozdział 1 PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE 1. 1. W p r owadze n ie 1 Rozdział 1 PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE 1.1. WPROWADZENIE SYGNAŁ nośnik informacji ANALIZA SYGNAŁU badanie, którego celem jest identyfikacja własności, cech, miar sygnału; odtwarzanie

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIA LABORATORYJNE Z KONSTRUKCJI METALOWCH. Ć w i c z e n i e H. Interferometria plamkowa w zastosowaniu do pomiaru przemieszczeń

ĆWICZENIA LABORATORYJNE Z KONSTRUKCJI METALOWCH. Ć w i c z e n i e H. Interferometria plamkowa w zastosowaniu do pomiaru przemieszczeń Akademia Górniczo Hutnicza Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji Nazwisko i Imię: Nazwisko i Imię: Wydział Górnictwa i Geoinżynierii Grupa

Bardziej szczegółowo

Inżynieria Systemów Dynamicznych (4)

Inżynieria Systemów Dynamicznych (4) Inżynieria Systemów Dynamicznych (4) liniowych (układów) Piotr Jacek Suchomski Katedra Systemów Automatyki WETI, Politechnika Gdańska 2 grudnia 2010 O czym będziemy mówili? 1 2 WE OKREŚLO 3 ASYMPTO 4 DYNAMICZ

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014

Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe

Bardziej szczegółowo

Zadania do Rozdziału X

Zadania do Rozdziału X Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,

Bardziej szczegółowo

17. 17. Modele materiałów

17. 17. Modele materiałów 7. MODELE MATERIAŁÓW 7. 7. Modele materiałów 7.. Wprowadzenie Podstawowym modelem w mechanice jest model ośrodka ciągłego. Przyjmuje się, że materia wypełnia przestrzeń w sposób ciągły. Możliwe jest wyznaczenie

Bardziej szczegółowo

Pierwsze komputery, np. ENIAC w 1946r. Obliczenia dotyczyły obiektów: o bardzo prostych geometriach (najczęściej modelowanych jako jednowymiarowe)

Pierwsze komputery, np. ENIAC w 1946r. Obliczenia dotyczyły obiektów: o bardzo prostych geometriach (najczęściej modelowanych jako jednowymiarowe) METODA ELEMENTÓW W SKOŃCZONYCH 1 Pierwsze komputery, np. ENIAC w 1946r. Obliczenia dotyczyły obiektów: o bardzo prostych geometriach (najczęściej modelowanych jako jednowymiarowe) stałych własnościach

Bardziej szczegółowo

Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju

Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji -go i 2-go rodzaju Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.

2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ. Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów

Bardziej szczegółowo

Komputerowa analiza danych doświadczalnych

Komputerowa analiza danych doświadczalnych Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład 9 27.04.2018 dr inż. Łukasz Graczykowski lukasz.graczykowski@pw.edu.pl Semestr letni 2017/2018 Metoda największej wiarygodności ierównosć informacyjna

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia nr 7. TEMATYKA: Krzywe Bézier a

Ćwiczenia nr 7. TEMATYKA: Krzywe Bézier a TEMATYKA: Krzywe Bézier a Ćwiczenia nr 7 DEFINICJE: Interpolacja: przybliżanie funkcji za pomocą innej funkcji, zwykle wielomianu, tak aby były sobie równe w zadanych punktach. Poniżej przykład interpolacji

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo

KARTA PRZEDMIOTU. 2. Kod przedmiotu: N Iz-GGiP/36

KARTA PRZEDMIOTU. 2. Kod przedmiotu: N Iz-GGiP/36 Strona 1 z 5 Z1PU7 Wydanie N1 (pieczęć wydziału) KARTA PRZEDMIOTU 1. Nazwa przedmiotu: Ochrona terenów górniczych 3. Karta przedmiotu ważna od roku akademickiego: 2013/14 4. Poziom kształcenia: studia

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2005/06 Wstęp

Bardziej szczegółowo

Lepkosprężystość. Metody pomiarów właściwości lepkosprężystych materii

Lepkosprężystość. Metody pomiarów właściwości lepkosprężystych materii Metody pomiarów właściwości lepkosprężystych materii Pomiarów dokonuje się w dwóch dziedzinach: czasowej lub częstotliwościowej i nie zależy to od rodzaju przyłożonych naprężeń (normalnych lub stycznych).

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Prowadząca: dr inż. Hanna Zbroszczyk e-mail: gos@if.pw.edu.pl tel: +48 22 234 58 51 konsultacje: poniedziałek, 10-11, środa: 11-12 www: http://www.if.pw.edu.pl/~gos/students/kadd

Bardziej szczegółowo

1 Relacje i odwzorowania

1 Relacje i odwzorowania Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej

Bardziej szczegółowo

Propozycja prognozowania deformacji powierzchni spowodowanych eksploatacją dwóch ścian w górotworze nienaruszonym

Propozycja prognozowania deformacji powierzchni spowodowanych eksploatacją dwóch ścian w górotworze nienaruszonym Nr 3 PRZEGLĄD GÓRNICZY 101 UKD 624.131:622.167/.168:622.83/.84 Propozycja prognozowania deformacji powierzchni spowodowanych eksploatacją dwóch ścian w górotworze nienaruszonym Concept of forecasting surface

Bardziej szczegółowo

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III. Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej

Bardziej szczegółowo

Zmienność wiatru w okresie wieloletnim

Zmienność wiatru w okresie wieloletnim Warsztaty: Prognozowanie produktywności farm wiatrowych PSEW, Warszawa 5.02.2015 Zmienność wiatru w okresie wieloletnim Dr Marcin Zientara DCAD / Stermedia Sp. z o.o. Zmienność wiatru w różnych skalach

Bardziej szczegółowo

REGRESJA LINIOWA Z UOGÓLNIONĄ MACIERZĄ KOWARIANCJI SKŁADNIKA LOSOWEGO. Aleksander Nosarzewski Ekonometria bayesowska, prowadzący: dr Andrzej Torój

REGRESJA LINIOWA Z UOGÓLNIONĄ MACIERZĄ KOWARIANCJI SKŁADNIKA LOSOWEGO. Aleksander Nosarzewski Ekonometria bayesowska, prowadzący: dr Andrzej Torój 1 REGRESJA LINIOWA Z UOGÓLNIONĄ MACIERZĄ KOWARIANCJI SKŁADNIKA LOSOWEGO Aleksander Nosarzewski Ekonometria bayesowska, prowadzący: dr Andrzej Torój 2 DOTYCHCZASOWE MODELE Regresja liniowa o postaci: y

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,

Bardziej szczegółowo

5. Analiza dyskryminacyjna: FLD, LDA, QDA

5. Analiza dyskryminacyjna: FLD, LDA, QDA Algorytmy rozpoznawania obrazów 5. Analiza dyskryminacyjna: FLD, LDA, QDA dr inż. Urszula Libal Politechnika Wrocławska 2015 1 1. Liniowe funkcje dyskryminacyjne Liniowe funkcje dyskryminacyjne mają ogólną

Bardziej szczegółowo

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie Teoria sprężystości jest działem mechaniki, zajmującym się bryłami sztywnymi i ciałami plastycznymi. Sprężystość zajmuje się odkształceniami

Bardziej szczegółowo

AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA

AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej KATEDRA MATEMATYKI TEMAT PRACY: ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA AUTOR: BARBARA MARDOSZ Kraków, styczeń 2008 Spis treści 1 Wprowadzenie 2 2 Definicja

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIE DYNAMICZNE RUCHU KULISTEGO CIAŁA SZTYWNEGO W UKŁADZIE PARASOLA

RÓWNANIE DYNAMICZNE RUCHU KULISTEGO CIAŁA SZTYWNEGO W UKŁADZIE PARASOLA Dr inż. Andrzej Polka Katedra Dynamiki Maszyn Politechnika Łódzka RÓWNANIE DYNAMICZNE RUCHU KULISTEGO CIAŁA SZTYWNEGO W UKŁADZIE PARASOLA Streszczenie: W pracy opisano wzajemne położenie płaszczyzny parasola

Bardziej szczegółowo

Programowanie celowe #1

Programowanie celowe #1 Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem

Bardziej szczegółowo

IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA

IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy układ ten wytrącony ze stanu równowagi

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem

Bardziej szczegółowo

TEORIA CHAOSU. Autorzy: Szymon Sapkowski, Karolina Seweryn, Olaf Skrabacz, Kinga Szarkowska

TEORIA CHAOSU. Autorzy: Szymon Sapkowski, Karolina Seweryn, Olaf Skrabacz, Kinga Szarkowska TEORIA CHAOSU Autorzy: Szymon Sapkowski, Karolina Seweryn, Olaf Skrabacz, Kinga Szarkowska Wydział MiNI Politechnika Warszawska Rok akademicki 2015/2016 Semestr letni Krótki kurs historii matematyki DEFINICJA

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2018 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny jeżeli jego odpowiedź na wymuszenie (zakłócenie)

Bardziej szczegółowo

Elementy rachunku różniczkowego i całkowego

Elementy rachunku różniczkowego i całkowego Elementy rachunku różniczkowego i całkowego W paragrafie tym podane zostaną elementarne wiadomości na temat rachunku różniczkowego i całkowego oraz przykłady jego zastosowania w fizyce. Małymi literami

Bardziej szczegółowo