Sterowalność liniowych uk ladów sterowania

Transkrypt

1 Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t, t 1 ] do zadanego stanu końcowego x(t ) = x x(t 1 ) = x 1 W zwi azku z takim zadaniem nasuwa siȩ pytanie czy dla danego obiektu istnieje sterowanie, które przeprowadzi obiekt z dowolnego stanu pocz atkowego do dowolnego stanu końcowego w zadanym czasie lub w dowolnym lecz skończonym czasie? W szczególności w zadaniach liniowego sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a liniowego stacjonarnego równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), t [t, t 1 ] do zadanego stanu końcowego x(t ) = x x(t 1 ) = x 1 W zwi azku z zadaniami liniowego sterowania docelowego nasuwa siȩ pytanie jakie warunki musz a spe lniać macierze A i B aby istnia lo sterowanie, które przeprowadzi obiekt z dowolnego stanu pocz atkowego do dowolnego stanu końcowego w zadanym czasie lub w dowolnym lecz skończonym czasie? 1

2 Definicja sterowalności uk ladu sterowania z czasem ci ag lym: Ci ag ly uk lad sterowania nazywa siȩ uk ladem sterowalnym, jeżeli stosuj ac ograniczone przedzia lami ci ag le sterowanie można go przeprowadzić w skończonym czasie t 1 z dowolnego stanu pocz atkowego x do zadanego stanu końcowego x 1 Przyjmuj ac x 1 = mówimy, że uk lad jest ca lkowicie sterowalny sterowalny do zera Za lożenie zerowego stanu końcowego moṅa zawsze spe lnić dokonuj ac odpowiedniej liniowej transformacji wspó lrzȩdnych stanu Nastȩpuj ace twierdzenie określa warunki jakie musz a spe lniać macierze A i B, aby liniowy stacjonarny uk lad sterowania z czasem ci ag lym by l sterowalny Twierdzenie: Liniowy stacjonarny uk lad sterowania z czasem ci ag lym jest sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy jego macierz sterowalności S = [B AB A 2 B A n 1 B] zawiera n liniowo niezależnych kolumn Warunek ten można sformu lować w równoważnej postaci: rz ad macierzy sterowalności jest równy wymiarowi przestrzeni stanu tj rz(s) = n Dowód: Rozwi azanie liniowego stacjonarnego uk ladu sterowania ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), x() = x ma postać x(t) = e At( x + t e A t Bu( t)d t ) Sterowalność do zera oznacza, że dla pewnego t 1 zachodzi równość = e At 1 ( x + Warunek ten bȩdzie spe lniony, jeśli e A t Bu( t)d t ) = x = = e A t Bu( t)d t A i ( t) i Bu( t)d t i! i= A i Bu i, u i = i=1 ( t) i u( t)d t i! Korzystamy z tw Cayleya-Hamiltona: każda macierz kwadratowa A n n spe lnia swoje równanie charakterystyczne det(si A) = a n s n + a n 1 s n a 1 s + a = 2

3 a n A n + a n 1 A n a 1 A + a I = Ponieważ n 1 n A n+1 = AA n = A ã i A i = ã i A i i=1 i=1 wiȩc macierze A k, k n mog a być przedstawione w postaci kombinacji liniowych macierzy A, A 1,, A n 1 Oznacza to, że dla pewnych kombinacji liniowych ū i wspó lczynników u i zachodzi równość n 1 x = A i Bū i czyli x = Bū + ABū 1 + A 2 Bū A n 1 Bū n 1 i= lub ( ) x = B AB A 2 B A n 1 B ū ū 1 ū 2 ū n 1 Jeśli macierz sterowalności S zawiera n liniowo niezależnych kolumn, to na tych kolumnach można rozpi ać n-wymiarow a przestrzeń za pomoc a sterowań ū i Uk lad sterowania z wieloma sterowaniami nazywamy regularnie sterowalnym, jeżeli jest on sterowalny ze wzglȩdu na każde wejście oddzielnie Liniowy stacjonarny uk lad sterowania jest sterowalny regularnie jeżeli macierze sterowalności ze wzglȩdu na każde wejście s a rzȩdu n tj rz(s j ) = n, gdzie S j = (B j AB j A 2 B j A n 1 B j ), j = 1,, n Warunek dostateczny niesterowalności uk ladu sterowania: Liniowy stacjonarny uk lad sterowania opisywany równaniami stanu ( ) ( ) A 11 A 12 B 1 ẋ(t) = x(t) + u(t) O A 22 O 3

4 Dowód: Ponieważ ( ) ( ) A k = A k 11 A k, k = 1, 2, ; A k A k B = 11B 1 O A k 22 O, k = 1, 2,, to S = (B AB A 2 B A n 1 B) = ( ) B 1 A 11 B 1 A 2 11B 1 A11 n 1 B 1, O O O O a wiȩc rz(s) < n Twierdzenie: Jeżeli liniowy stacjonarny uk lad sterowania jest sterowalny, to sterowanie ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), t [t, t 1 ], x(t ) = x u(t) = B T e AT (t t ) R 1 x ( ) przeprowadza uk lad ze stanu pocz atkowego x(t ) = x do stanu końcowego x(t 1 ) = w skończonym czasie t 1 t, przy czym R jest macierz a nieosobliw a określon a jak nastȩpuje St ad i R = t e A(t t) BB T e AT (t t) d t Dowód: W chwili t 1 powinna być spe lniona zależność x(t 1 ) = = e A(t 1 t ) x + = x + t t e A(t 1 t )Bu( t)d t / e A(t 1 t ) e A(t t Bu( t)d t x = e A(t t Bu( t)d t t Podstawiaj ac sterowanie ( ) uzyskujemy tj x = x = t t e A(t t) B( B T e AT (t t ) R 1 x )d t e A(t t BB T e AT (t t ) R 1 x d t 4

5 sk ad wynika tożsamość x = RR 1 x Uzyskana tożsamość potwierdz tezȩ twierdzenia Jednak należy jeszcze wykazać, że istnieje odwrotność mzcierzy R macierz e At B ma liniowo zależne wiersze tj Za lóżmy, że uk lad jest sterowalny i że v T e At B =, t [t, t 1 ], v R n Różniczkuj ac (n 1)-krotnie powyższ a zależność wzglȩdem czasu otrzymujemy równość Oznacza to, że rz ad macierzy v T e At [B AB A 2 B A n 1 B] = e At [B AB A 2 B A n 1 B jest mniejszy od n Ponieważ rz(e At ) = n, wiȩc rz(s) < n, a to jest sprzeczne z za lożeniem o sterowalności uk ladu Tak wiȩc dla uk ladẃ sterowalnych wiersze macierzy e At B s a liniowo niezależne tj Niech w(t) = B T e AT (t t) v Wtedy v T e At B, t [t, t 1 ] t w T (t)w(t)dt = v T e A(t t) BB T e AT (t t) d tv = v T Rv > t Macierz R jest symetryczna i dodatnio określona W teorii macierzy dowodzi siȩ, że taka macierz jest zawsze nieosobliwa Za lóżmy, że wartość w lasna s i macierzy R jest zespolona Wtedy RP i = s i P i P T i RP i = s i P T i P i ( ) i RP i = s i P i R P i = s i Pi P i T T R = s i P i P T i RP i = s i P T i P i Odejmuj ac stronami wyrażenia (*) i (**) uzyskujemy (s i s i ) P i 2 = 5 ( )

6 Ponieważ P i jest wektorem niezerowym, to musi być s i = s i tj wartości w lasne macierzy symetrycznej s a rzeczywiste Niech s i, s j bȩd a różnymi wartościami w lasnymi macierzy R, a P i, P j niech bȩd a wektorami w lasnymi zwi azanymi z tymi wartościami w lasnymi Oznacza to, że RP i = s i P i Pi T R = s i Pi T i P T i RP j = s i P T i P j ( ) RP j = s j P j P T i RP j = s j P T i P j Odejmuj ac stronami (*) i (**) uzyskujemy ( ) czyli (s i s j )P T i P j = P T i P j =, gdyż s i s j z za lożenia Oznacza to, że wektory w lasne macierzy R s a ortogonalne Wektory te określone s a z dok ladności a do sta lej - moṅa je wiȩc wybrać tak, aby P T i P i = 1 Wtedy P T P = I P 1 = P T Podstawmy w formie kwadratowej v T Rv wektor v jako v = P w Mamy wiȩc w T P T RP w = w T P 1 RP w = w T diag 1 i n (s 1,, s n )w = n i=1 s iwi 2 Wartości s i musz a być dodatnie, gdyż badana forma kwadratowa jest dodatnio określona St ad a wiȩc R 1 istnieje P 1 RP = S R = P SP 1 R 1 P S 1 P 1 R 1 = P diag(s 1 1, s 1 2,, s 1 n )P 1, Definicja: Uk lad sterowania nazywa siȩ sterowalnym ze wzglȩdu na wyjście uk ladu, jeżeli dla dowolnego stanu pocz atkowego w chwili t istnieje chwila t 1 > t i ograniczone, przedzia lami ci ag le sterowanie określone w przedziale [t, t 1 ] i takie, że wyjście uk ladu przyjmuje w chwili t 1 dowoln a zadan a wartość y t1 6

7 Warunek sterowalności ze wzglȩdu na wyjście uk ladu dla liniowych stacjonarnych uk ladów sterowania przybiera postać rz(s) = p,gdzie S = (CB CAB CA 2 B CA n 1 B), a p jest wymiarem przestrzeni wyjść uk ladu (liczb a wyjść uk ladu Sterowanie docelowe ze wzglȩdu na wyjście dla uk ladu sterowania ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), x(t ) = x, y(t) = Cx(t) jest postaci u(t) = B T e AT (t 1 t) C T R 1 Ce A(t 1 t ) x y(t 1 )), gdzie R = t Ce A(t t) BB T e AT (t t) C T d t Sterowalność liniowych stacjonarnych uk ladów sterowania z czasem dyskretnym Definicja sterowalności uk ladów sterowania z czasem dyskretnym: Dyskretny uk lad sterowania nazywa siȩ uk ladem sterowalnym, jeżeli stosuj ac ograniczone sterowanie dyskretne można go przeprowadzić w skończonym czasie k 1 z dowolnego stanu pocz atkowego x do zadanego stanu końcowego x 1 Przyjmuj ac x 1 = mówimy, że uk lad dyskretny jest sterowalny do zera Rozważmy liniowy stacjonarny uk lad sterowania z czasem dyskretnym opisywany równaniami stanu x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), k =, 1, ; x() = x Twierdzenie: Liniowy stacjonarny uk lad sterowania z czasem dyskretnym jest sterowalny wtedy, gdy jego macierz sterowalności S = [B AB A 2 B A n 1 B] zawiera n liniowo niezależnych kolumn Warunek ten można sformu lować w równoważnej postaci: rz ad macierzy sterowalności jest równy wymiarowi przestrzeni stanu tj rz(s) = n Dowód: Rozwi azanie liniowego stacjonarnego uk ladu ma postać k 1 x(k) = A k x + A k j 1 Bu(j) j= 7

8 W chwili k 1 mamy osi agn ać stan zerowy tj = A k 1 x + Przyjmuj ac k 1 = n uzyskujemy czyli k 1 1 j= A k 1 j 1 Bu(j) n 1 A n x = A n j 1 Bu(j) j= u(n 1) u(n 2) u(n 3) A n x = [B AB A 2 B A n 1 B] u() Jeśli macierz sterowalności S o wymiarach n mn posiada nieosobliw a podmacierz S o wmiarach n n, to dowolny wektor lewej strony ostatniej równości można wygenerować mnoż ac macierz S przez podwektor zmiennych steruj acych zwi azanych z kolumnami tej macierzy Oznaczmy ten podwektor jako n u Dyskretne sterowanie docelowe dla uk ladu liniowego stacjonarnego wyrazi siȩ wzorem n u = S 1 A n x Wynika st ad, że warunkiem wystarczaj acym sterowalności uk ladu dyskretnego jest warunek rz(s) = n Należy podkreślić, że, w odróżnieniu od uk ladów z czasem ci ag lym, warunek rzȩdu macierzy S nie jest warunkiem koniecznym sterowalności uk ladu dyskretnego Nie obowi azuje on np w przypadku tzw nilpotentnej macierzy stanu Jest to niezerowa macierz A taka, że A n = Wtedy uk lad sprowadza do zera dowolny stan pocz atkowy przy sterowaniu zerowym nawet jeśli warunek rzȩdu macierzy S nie jest spe lniony Można powiedzieć, że taki uk lad dyskretny sam sprowadza siȩ do zera Przyk lad: Dyskretny uk lad sterowania ( ) ( ) a x(k + 1) = x(k) + u(k), k =, 1, 2, ; x() = x 1 8

9 sam sprowadza siȩ do zera, gdyż jego macierz stanu jest nilpotentna dla dowolnej wartości parametru a ( ) ( ) ( ) A 2 a a = = 9