Wykład z modelowania matematycznego.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wykład z modelowania matematycznego."

Transkrypt

1

2 Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2)

3 Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2) Rodzina funkcji (2) opisuje rodzinę krzywych całkowych zależnych od parametru c. Rozwiązaniu szczególnemu spełniającemu warunek początkowy odpowiada ta krzywa całkowa należąca do rodziny, która przechodzi przez punkt (t 0, x 0 ).

4 Załóżmy, że układ normalny dwóch równań różniczkowych x 1 (t) = f 1 (t, x 1, x 2 ) x 2 (t) = f 2(t, x 1, x 2 ). (3) ma rozwiązanie ogólne x1 (t) = ϕ 1 (t, c 1, c 2 ) x 2 (t) = ϕ 2 (t, c 1, c 2 ). (4)

5 Każda z funkcji w (4) opisuje powierzchnię walcową w przestrzeni Otx 1 x 2, a ich przecięcie - krzywą w tej przestrzeni. Układ (3) definiuje w każdym punkcie (t 0, x 1 (t 0 ), x 2 (t 0 )) pewnego obszaru przestrzeni pochodne x 1 (t 0), x 2 (t 0), z których otrzymujemy kierunek styczny do krzywej całkowej w tym punkcie i w konsekwencji pole kierunków w przestrzeni. Rozwiązanie ogólne układu (3) jest dwuparametrową rodziną krzywych, stycznych w każdym swoim punkcie do kierunku wyznaczonego przez pole.

6 Każda z funkcji w (4) opisuje powierzchnię walcową w przestrzeni Otx 1 x 2, a ich przecięcie - krzywą w tej przestrzeni. Układ (3) definiuje w każdym punkcie (t 0, x 1 (t 0 ), x 2 (t 0 )) pewnego obszaru przestrzeni pochodne x 1 (t 0), x 2 (t 0), z których otrzymujemy kierunek styczny do krzywej całkowej w tym punkcie i w konsekwencji pole kierunków w przestrzeni. Rozwiązanie ogólne układu (3) jest dwuparametrową rodziną krzywych, stycznych w każdym swoim punkcie do kierunku wyznaczonego przez pole. Uwaga. Analogiczna sytuacja ma miejsce w przypadku ogólnym układu n równań. Rozwiązaniem ogólnym układu są krzywe całkowe w przestrzeni R n+1. Rodzina tych krzywych jest zależna od n parametrów.

7 Przykład 2. Układ ma rozwiązanie ogólne x 1 (t) = x 2 x 2 (t) = k2 x 1 (5)

8 Przykład 2. Układ ma rozwiązanie ogólne x1 (t) = c 1 cos kt + c 2 sin kt x 1 (t) = x 2 x 2 (t) = k2 x 1 (5) x 2 (t) = c 1 k sin kt + c 2 k cos kt.

9 Przykład 2. Układ ma rozwiązanie ogólne x1 (t) = c 1 cos kt + c 2 sin kt x 1 (t) = x 2 x 2 (t) = k2 x 1 (5) x 2 (t) = c 1 k sin kt + c 2 k cos kt. Jeśli dodamy warunek początkowy x 1 (0) = a, x 2 (0) = b,

10 Przykład 2. Układ ma rozwiązanie ogólne x1 (t) = c 1 cos kt + c 2 sin kt x 1 (t) = x 2 x 2 (t) = k2 x 1 (5) x 2 (t) = c 1 k sin kt + c 2 k cos kt. Jeśli dodamy warunek początkowy x 1 (0) = a, x 2 (0) = b, to rozwiązaniem szczególnym jest x1 (t) = a cos kt + b k sin kt x 2 (t) = ak sin kt + b cos kt.

11 Krzywa całkowa jest postaci Uwaga. Wektor styczny do krzywej dla t = 0, tj. w punkcie (a, b) jest równy [b, k 2 a].

12 W wielu zastosowaniach fizycznych (szczególnie w mechanice) zmienną t interpretuje się jako czas. W tych przypadkach wygodny jest także inny sposób analizy geometrycznej rozwiązań, polegający na tym, że czas t nie odgrywa roli jednej ze współrzędnych, równoważnej ze współrzędnymi przestrzennymi, lecz jest parametrem w równaniu parametrycznym. Jeśli uda się go wyrugować, to otrzymamy krzywą na tzw. płaszczyźnie fazowej Ox 1 x 2.

13 Przykład 2 CD. Układ x 1 (t) = x 2 x 2 (t) = k2 x 1 jest układem autonomicznym. Podnosząc jego rozwiązanie do kwadratu stronami i dodając mamy

14 Przykład 2 CD. Układ x 1 (t) = x 2 x 2 (t) = k2 x 1 jest układem autonomicznym. Podnosząc jego rozwiązanie do kwadratu stronami i dodając mamy x ( ) 2 ( ) x2 b 2 = a 2 +. k k Jest to elipsa na płaszczyźnie fazowej Ox 1 x 2.

15 Analiza stabilności jest jednym ze sposobów jakościowego badania rozwiązań równania różniczkowego. Pytanie dotyczy tego jak zmieni się globalny przebieg rozwiązania pod wpływem małych zaburzeń warunków początkowych. Sens takiego pytania jest oczywisty tam gdzie równania różniczkowe stosowane są do opisu zjawisk z dziedziny fizyki, chemii, biologii, ekonomii.

16 Niech dany będzie układ równań X (t) = F (t, X ), (6) gdzie F : R n+1 R n jest klasy C 1 i niech Y (t) będzie rozwiązaniem tego układu w przedziale [0, ).

17 Niech dany będzie układ równań X (t) = F (t, X ), (6) gdzie F : R n+1 R n jest klasy C 1 i niech Y (t) będzie rozwiązaniem tego układu w przedziale [0, ). Mówimy, że rozwiązanie Y (t) jest stabilne w sensie Lapunowa jeśli dla każdego ε > 0 istnieje takie t 0 0 oraz δ > 0, że dla każdego rozwiązania X (t) układu (6) spełniającego nierówność X (t 0 ) Y (t 0 ) < δ (7) zachodzi X (t) Y (t) < ε dla każdego t t 0. (8)

18 Jeśli ponadto lim X (t) Y (t) = 0, t to mówimy, że rozwiązanie Y (t) jest stabilne asymptotycznie.

19 Jeśli ponadto lim X (t) Y (t) = 0, t to mówimy, że rozwiązanie Y (t) jest stabilne asymptotycznie. Jeśli przy każdym δ > 0 istnieje chociaż jedno rozwiązanie X (t), dla którego nierówność (8) nie zachodzi, to rozwiązanie Y (t) nazywamy niestabilnym.

20 Powyższa definicja oznacza, że jeśli wartości początkowe (tzn. w chwili t 0 ) rozwiązań różnią się mało od wartości początkowych rozwiązania stabilnego, to będą nadal różnić się mało na całym przedziale (t 0, ).

21 Powyższa definicja oznacza, że jeśli wartości początkowe (tzn. w chwili t 0 ) rozwiązań różnią się mało od wartości początkowych rozwiązania stabilnego, to będą nadal różnić się mało na całym przedziale (t 0, ). Uwaga. Jeśli X (t) = [x 1 (t),..., x n (t)] T, Y (t) = [y 1 (t),..., y n (t)] T, to nierówność (8) oznacza x j (t) y j (t) < ε dla każdego j = 1,..., n.

22 Równanie liniowe X (t) = A(t)X (t) + B(t) nazywamy stabilnym (niestabilnym) jeśli wszystkie jego rozwiązania X (t) są stabilne (niestabilne) w sensie Lapunowa.

23 Równanie liniowe X (t) = A(t)X (t) + B(t) nazywamy stabilnym (niestabilnym) jeśli wszystkie jego rozwiązania X (t) są stabilne (niestabilne) w sensie Lapunowa. Tw. Równanie liniowe X (t) = A(t)X (t) jest stabilne wtedy i tylko wtedy gdy rozwiązanie X (t) = 0 jest stabilne w sensie Lapunowa.

24 Równanie liniowe X (t) = A(t)X (t) + B(t) nazywamy stabilnym (niestabilnym) jeśli wszystkie jego rozwiązania X (t) są stabilne (niestabilne) w sensie Lapunowa. Tw. Równanie liniowe X (t) = A(t)X (t) jest stabilne wtedy i tylko wtedy gdy rozwiązanie X (t) = 0 jest stabilne w sensie Lapunowa. Uwaga. Oznacza to, że jeśli choć jedno z rozwiązań równania jednorodnego jest stabilne (niestabilne), to takie są wszystkie rozwiązania tego równania.

25 Niech dane będzie równanie x (t) = f (t, x). (9)

26 Niech dane będzie równanie x (t) = f (t, x). (9) Równanie (9), w którym prawa strona nie zależy jawnie od t, nazywamy równaniem autonomicznym. Równanie autonomiczne ma więc postać x (t) = f (x). (10)

27 Niech dane będzie równanie x (t) = f (t, x). (9) Równanie (9), w którym prawa strona nie zależy jawnie od t, nazywamy równaniem autonomicznym. Równanie autonomiczne ma więc postać x (t) = f (x). (10) Podobnie, jeśli dany jest układ równań X (t) = F (t, X ), (11) gdzie X = [x 1,..., x n ] T, to układ ten nazywamy układem autonomicznym gdy jest postaci X (t) = F (X ). (12)

28 Zbiór G R n+1 określoności funkcji F nazywamy rozszerzoną przestrzenią fazową układu (12), a jego rzut D na przestrzeń R n zmiennych x 1,..., x n stanowiących składowe wektora X - przestrzenią fazową układu (12). W przypadku n = 2 zamiast o przestrzeni mówimy o płaszczyźnie fazowej. Trajektorią lub orbitą fazową nazywamy rozwiązanie układu (12) w przestrzeni fazowej. Trajektorię określa zarówno układ równań różniczkowych, jak i warunki początkowe. Z twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania układ równań wynika

29 Tw. Przez każdy punkt płaszczyzny fazowej przechodzi dokładnie jedna orbita.

30 Tw. Przez każdy punkt płaszczyzny fazowej przechodzi dokładnie jedna orbita. Wynika stąd, że dwie różne orbity się nie przecinają. Możliwa jest jednak sytuacja, że orbita ma punkt samoprzecięcia.

31 Tw. Przez każdy punkt płaszczyzny fazowej przechodzi dokładnie jedna orbita. Wynika stąd, że dwie różne orbity się nie przecinają. Możliwa jest jednak sytuacja, że orbita ma punkt samoprzecięcia. Podzbiór przestrzeni fazowej wypełniony przez trajektorie fazowe nazywa się obrazem lub portretem fazowym układu. Punkt X 0 nazywamy punktem krytycznym lub punktem osobliwym układu (12) jeśli F (X 0 ) = 0. Ponieważ w tym przypadku mamy X (t) = 0, czyli X (t) = const = X 0, więc X 0 jest punktem (położeniem) równowagi. Punkt przestrzeni fazowej, który nie jest punktem krytycznym nazywamy punktem regularnym.

32 Przykład 2 CD. Trajektoriami fazowymi układu (5) są elipsy x ( ) 2 ( ) x2 b 2 = a 2 +. k k

33 Przykład 3. Wyznaczyć portret fazowy układu x 1 (t) = x 2 + x 1 (1 x 1 2 x 2 2 ) x 2 (t) = x 1 + x 2 (1 x 1 2 x 2 2 ). (13)

34 Wprowadzając współrzędne biegunowe x 1 = r cos θ, x 2 = r sin θ układ (13) można zapisać w postaci

35 Wprowadzając współrzędne biegunowe x 1 = r cos θ, x 2 = r sin θ układ (13) można zapisać w postaci r (t) = r(1 r 2 ) θ (t) = 1.

36 Wprowadzając współrzędne biegunowe x 1 = r cos θ, x 2 = r sin θ układ (13) można zapisać w postaci r (t) = r(1 r 2 ) θ (t) = 1. Zauważmy, że układ ten ma następujące rozwiązania: r(t) = 0 punkt x 1 = x 2 = 0, θ(t) = t + d

37 Wprowadzając współrzędne biegunowe x 1 = r cos θ, x 2 = r sin θ układ (13) można zapisać w postaci r (t) = r(1 r 2 ) θ (t) = 1. Zauważmy, że układ ten ma następujące rozwiązania: r(t) = 0 punkt x 1 = x 2 = 0, θ(t) = t + d r(t) = 1 θ(t) = t + d okrąg x 1 2 +x 2 2 = 1 orbita okresowa,

38 Wprowadzając współrzędne biegunowe x 1 = r cos θ, x 2 = r sin θ układ (13) można zapisać w postaci r (t) = r(1 r 2 ) θ (t) = 1. Zauważmy, że układ ten ma następujące rozwiązania: r(t) = 0 punkt x 1 = x 2 = 0, θ(t) = t + d r(t) = 1 θ(t) = t + d r(t) = et c+e 2t θ(t) = t + d okrąg x 1 2 +x 2 2 = 1 orbita okresowa, orbity spiralne nawijające się od wewnątrz i od zewnątrz na okrąg jednostkowy.

39 Rozwiązania układu równań różniczkowych można pogrupować w pewne klasy, którym przypisujemy jeden typ orbity fazowej. Z topologicznego punktu widzenia należy wyróżnić trzy kategorie orbit:

40 Rozwiązania układu równań różniczkowych można pogrupować w pewne klasy, którym przypisujemy jeden typ orbity fazowej. Z topologicznego punktu widzenia należy wyróżnić trzy kategorie orbit: orbity otwarte orbity zamknięte punkty krytyczne.

41 Rozwiązania układu równań różniczkowych można pogrupować w pewne klasy, którym przypisujemy jeden typ orbity fazowej. Z topologicznego punktu widzenia należy wyróżnić trzy kategorie orbit: orbity otwarte orbity zamknięte punkty krytyczne. Orbitom zamkniętym w przestrzeni fazowej odpowiadają rozwiązania okresowe. O orbicie zamkniętej mówimy, że jest cyklem granicznym jeśli istnieje obszar wypełniony trajektoriami fazowymi zmierzającymi do tej krzywej gdy t + lub t.

42 Przykład 5. Zbadać stabilność równania X (t) = AX (t), gdzie [ ] α β A =. β α

43 Jednym z rozwiązań tego równania jest funkcja stała Y (t) = 0. Ponieważ jest to równanie autonomiczne, jest to położenie równowagi. Rozwiązaniem ogólnym tego równania jest [ ] [ x1 (t) e αt ] (c 1 sin βt + c 2 cos βt) X (t) = = x 2 (t) e αt. (c 1 cos βt c 2 sin βt)

44 Jednym z rozwiązań tego równania jest funkcja stała Y (t) = 0. Ponieważ jest to równanie autonomiczne, jest to położenie równowagi. Rozwiązaniem ogólnym tego równania jest [ ] [ x1 (t) e αt ] (c 1 sin βt + c 2 cos βt) X (t) = = x 2 (t) e αt. (c 1 cos βt c 2 sin βt) Jeśli α < 0, to x 1 (t) i x 2 (t) są dowolnie bliskie 0 dla dostatecznie dużych t. Stąd rozwiązanie Y (t) = 0 jest asymptotycznie stabilnym położeniem równowagi.

45 Jednym z rozwiązań tego równania jest funkcja stała Y (t) = 0. Ponieważ jest to równanie autonomiczne, jest to położenie równowagi. Rozwiązaniem ogólnym tego równania jest [ ] [ x1 (t) e αt ] (c 1 sin βt + c 2 cos βt) X (t) = = x 2 (t) e αt. (c 1 cos βt c 2 sin βt) Jeśli α < 0, to x 1 (t) i x 2 (t) są dowolnie bliskie 0 dla dostatecznie dużych t. Stąd rozwiązanie Y (t) = 0 jest asymptotycznie stabilnym położeniem równowagi. Jeśli α > 0, to x 1 (t) i x 2 (t) oscylują wokół funkcji stale równej 0, przy czym oscylacje te zwiększają się ze wzrostem t. Stąd rozwiązanie Y (t) = 0 nie jest stabilnym położeniem równowagi.

46 Z algebry liniowej wiadomo, że dla macierzy kwadratowej stopnia 2 istnieje nieosobliwa macierz Q taka, że J = Q 1 AQ jest w postaci Jordana, tzn. jest macierzą jednej z trzech następujących postaci

47 Z algebry liniowej wiadomo, że dla macierzy kwadratowej stopnia 2 istnieje nieosobliwa macierz Q taka, że J = Q 1 AQ jest w postaci Jordana, tzn. jest macierzą jednej z trzech następujących postaci [ ] [ ] [ ] a 0 a 1 a b lub lub. 0 b 0 a b a

48 Z algebry liniowej wiadomo, że dla macierzy kwadratowej stopnia 2 istnieje nieosobliwa macierz Q taka, że J = Q 1 AQ jest w postaci Jordana, tzn. jest macierzą jednej z trzech następujących postaci [ ] [ ] [ ] a 0 a 1 a b lub lub. 0 b 0 a b a Ponadto, jeśli A ma dwie różne wartości własne, to J jest macierzą diagonalną z wartościami własnymi na przekątnej.

49 Jeśli J jest postacią kanoniczną macierzy A, to Q przeprowadza bazę kanoniczną na bazę przestrzeni wyjściowej. Oznacza to, że jeśli równanie X (t) = AX w bazie kanonicznej przyjmie postać Y (t) = JY, to X = QY. Kolumny macierzy Q są zbudowane z wektorów bazy kanonicznej wyrażonych we współrzędnych zmiennej X.

50 Załóżmy, że mamy układ X (t) = AX (14) ze stałą macierzą A = [ a11 a 12 a 21 a 22 ].

51 Załóżmy, że mamy układ X (t) = AX (14) ze stałą macierzą [ ] a11 a 12 A =. a 21 a 22 Punkt X = 0 jest punktem krytycznym tego równania. Jest on jedynym punktem krytycznym gdy det A 0.

52 Załóżmy, że det A 0. Będziemy analizować rozwiązania układu w otoczeniu punktu krytycznego, czyli X = 0. W tym celu rozważmy wielomian charakterystyczny macierzy A p(λ) = λ 2 λ(a 11 + a 22 ) + (a 11 a 22 a 21 a 12 )

53 Załóżmy, że det A 0. Będziemy analizować rozwiązania układu w otoczeniu punktu krytycznego, czyli X = 0. W tym celu rozważmy wielomian charakterystyczny macierzy A p(λ) = λ 2 λ(a 11 + a 22 ) + (a 11 a 22 a 21 a 12 ) lub inaczej p(λ) = λ 2 λ tr A + det A, gdzie tr A oznacza ślad macierzy A. Z założenia det A 0 wynika, że λ 0.

54 I. > 0

55 I. > 0 Macierz A ma dwie różne rzeczywiste wartości własne λ 1 = 1 2 (tr A ), λ 2 = 1 2 (tr A + ), gdzie = (tr A) 2 4 det A.

56 I. > 0 Macierz A ma dwie różne rzeczywiste wartości własne λ 1 = 1 2 (tr A ), λ 2 = 1 2 (tr A + ), gdzie = (tr A) 2 4 det A. Odpowiadające im wektory własne są liniowo niezależne i tworzą bazę kanoniczną w R 2. W bazie tej A ma postać [ ] λ1 0 J =. 0 λ 2.

57 Równanie (14) sprowadza się wtedy do układu y 1 (t) = λ 1 y 1 y 2 (t) = λ 2y 2,

58 Równanie (14) sprowadza się wtedy do układu y 1 (t) = λ 1 y 1 y 2 (t) = λ 2y 2, którego rozwiązania wyrażają się wzorami y1 (t) = c 1 e λ 1t y 2 (t) = c 2 e λ 2t.

59 Równanie (14) sprowadza się wtedy do układu y 1 (t) = λ 1 y 1 y 2 (t) = λ 2y 2, którego rozwiązania wyrażają się wzorami y1 (t) = c 1 e λ 1t y 2 (t) = c 2 e λ 2t. Równanie orbit w przestrzeni fazowej jest postaci y 2 = cy 1 λ 2 /λ 1.

60 Równanie (14) sprowadza się wtedy do układu y 1 (t) = λ 1 y 1 y 2 (t) = λ 2y 2, którego rozwiązania wyrażają się wzorami y1 (t) = c 1 e λ 1t y 2 (t) = c 2 e λ 2t. Równanie orbit w przestrzeni fazowej jest postaci y 2 = cy 1 λ 2 /λ 1. Obraz orbit w otoczeniu punktu krytycznego X = 0 zależy od znaku pierwiastków λ 1, λ 2.

61 IA. λ 2 < λ 1 < 0 portret fazowy Punkt krytyczny X = 0 nazywany jest węzłem. Jest to punkt stabilny (rozwiązania dążą do punktu krytycznego gdy t ),

62 IB. λ 1 < λ 2 < 0 portret fazowy Punkt krytyczny X = 0 jest węzłem stabilnym.

63 IC. λ 2 > λ 1 > 0 portret fazowy Punkt krytyczny X = 0 jest węzłem niestabilnym (rozwiązania oddalają się od punktu krytycznego gdy t ).

64 ID. λ 1 > λ 2 > 0 portret fazowy Punkt krytyczny X = 0 jest węzłem niestabilnym.

65 IE. λ 1 λ 2 < 0 Punkt krytyczny X = 0 jest siodłem. Półosie współrzędnych też są orbitami, przy czym na półosiach Ox 1 punkt zbliża się do punktu krytycznego, zaś na półosiach Ox 2 punkt oddala się od punktu krytycznego. Zatem siodło nie jest punktem stabilnym.

66 II. = 0 Macierz A ma podwójną wartość własną λ 0.

67 II. = 0 Macierz A ma podwójną wartość własną λ 0. IIA. Jeśli wartości własnej λ 0 odpowiadają dwa liniowo niezależne wektory własne, to tworzą one bazę kanoniczną w R 2 i A ma w tej bazie postać [ ] λ0 0 J =. 0 λ 0.

68 Równanie (14) sprowadza się wtedy do układu y 1 (t) = λ 0 y 1 y 2 (t) = λ 0y 2,

69 Równanie (14) sprowadza się wtedy do układu y 1 (t) = λ 0 y 1 y 2 (t) = λ 0y 2, którego rozwiązania wyrażają się wzorami y1 (t) = c 1 e λ 0t y 2 (t) = c 2 e λ 0t.

70 Równanie (14) sprowadza się wtedy do układu y 1 (t) = λ 0 y 1 y 2 (t) = λ 0y 2, którego rozwiązania wyrażają się wzorami y1 (t) = c 1 e λ 0t y 2 (t) = c 2 e λ 0t. Równanie orbit w przestrzeni fazowej jest postaci y 2 = cy 1.

71 Portret fazowy tworzą proste. Punkt krytyczny X = 0 jest węzłem gwiaździstym.

72 Portret fazowy tworzą proste. Punkt krytyczny X = 0 jest węzłem gwiaździstym. W zależności od znaku λ 0 mamy: węzeł stabilny gdy λ 0 < 0 węzeł niestabilny gdy λ 0 > 0

73 IIB. Jeśli A ma tylko jeden wektor własny odpowiadający wartości własnej λ 0, to A ma postać kanoniczną [ ] λ0 1 J =. 0 λ 0.

74 Równanie (14) sprowadza się wtedy do układu y 1 (t) = λ 0 y 1 + y 2 y 2 (t) = λ 0y 2,

75 Równanie (14) sprowadza się wtedy do układu y 1 (t) = λ 0 y 1 + y 2 y 2 (t) = λ 0y 2, którego rozwiązania wyrażają się wzorami y1 (t) = (c 1 + c 2 t)e λ 0t y 2 (t) = c 2 e λ0t.

76 Równanie (14) sprowadza się wtedy do układu y 1 (t) = λ 0 y 1 + y 2 y 2 (t) = λ 0y 2, którego rozwiązania wyrażają się wzorami y1 (t) = (c 1 + c 2 t)e λ 0t y 2 (t) = c 2 e λ0t. Równanie orbit w przestrzeni fazowej jest postaci y 1 = 1 y 2 ln y 2 + cy 2. λ 0

77 Punkt krytyczny X = 0 jest węzłem zdegenerowanym.

78 Punkt krytyczny X = 0 jest węzłem zdegenerowanym. W zależności od znaku λ 0 mamy: węzeł stabilny gdy λ 0 < 0 węzeł niestabilny gdy λ 0 > 0

79 Uwaga. Kształt krzywych stanowiących orbity łatwiej wykreślić zaznaczając prostą, na której y 2 osiąga wartości ekstremalne, tzn prostą y 1 = λ 0 y 2 (gdyż tam y 2 (t) = 0).

80 III. < 0 Macierz A ma dwie wartości własne, wzajemnie sprzężone λ 0 i λ 0. Postacią kanoniczną macierzy A jest [ ] α β J =, β > 0. β α.

81 Równanie (14) sprowadza się wtedy do układu y 1 (t) = αy 1 βy 2 y 2 (t) = βy 1 + αy 2.

82 Równanie (14) sprowadza się wtedy do układu y 1 (t) = αy 1 βy 2 y 2 (t) = βy 1 + αy 2. Przechodząc do współrzędnych biegunowych y 1 = r cos θ, y 2 = r sin θ mamy r cos θ rθ sin θ = αr cos θ βr sin θ r sin θ + rθ cos θ = βr cos θ + αr sin θ.

83 Po a) pomnożeniu pierwszego równania przez cos θ, drugiego równania przez sin θ i dodaniu stronami oraz b) pomnożeniu pierwszego równania przez sin θ, drugiego równania przez cos θ i odjęciu stronami otrzymujemy

84 Po a) pomnożeniu pierwszego równania przez cos θ, drugiego równania przez sin θ i dodaniu stronami oraz b) pomnożeniu pierwszego równania przez sin θ, drugiego równania przez cos θ i odjęciu stronami otrzymujemy r (t) = αr którego rozwiązaniem jest θ (t) = β,

85 Po a) pomnożeniu pierwszego równania przez cos θ, drugiego równania przez sin θ i dodaniu stronami oraz b) pomnożeniu pierwszego równania przez sin θ, drugiego równania przez cos θ i odjęciu stronami otrzymujemy r (t) = αr θ (t) = β, którego rozwiązaniem jest r(t) = r0 e αt θ(t) = θ 0 + βt.

86 Po a) pomnożeniu pierwszego równania przez cos θ, drugiego równania przez sin θ i dodaniu stronami oraz b) pomnożeniu pierwszego równania przez sin θ, drugiego równania przez cos θ i odjęciu stronami otrzymujemy r (t) = αr θ (t) = β, którego rozwiązaniem jest r(t) = r0 e αt θ(t) = θ 0 + βt. Równanie orbit w przestrzeni fazowej jest postaci r(θ) = r 0 e α β (θ θ 0).

87 IIIA. Jeśli α = 0, to orbity są koncentrycznymi okręgami o promieniu r 0. Punkt krytyczny X = 0 nazywany jest środkiem. Jest to punkt stabilny, ale nie asymptotycznie stabilny.

88 IIIB. Jeśli α 0, to orbity są spiralami. W zależności od znaku α mamy

89 IIIB. Jeśli α 0, to orbity są spiralami. W zależności od znaku α mamy spiralę zwijającą się do punktu X = 0, punkt krytyczny X = 0 nazywamy ogniskiem stabilnym - gdy α < 0, spiralę rozwijającą się od punktu X = 0, punkt krytyczny X = 0 nazywamy ogniskiem niestabilnym - gdy α > 0.

90 IIIB. Jeśli α 0, to orbity są spiralami. W zależności od znaku α mamy spiralę zwijającą się do punktu X = 0, punkt krytyczny X = 0 nazywamy ogniskiem stabilnym - gdy α < 0, spiralę rozwijającą się od punktu X = 0, punkt krytyczny X = 0 nazywamy ogniskiem niestabilnym - gdy α > 0.

91 Powyższa klasyfikacja dotyczyła układów, dla których det A 0. Jeśli det A = 0, to przynajmniej jedna wartość własna macierzy A jest równa 0. Możliwe są dwa przypadki.

92 Jeśli rz A = 0, to A = 0 i każdy punkt jest punktem krytycznym. Równanie (14) jest w tym przypadku trywialne X (t) = 0. Jego rozwiązanie jest stałe X (t) = X 0.

93 Jeśli rz A = 1, to istnieje cała prosta złożona z punktów krytycznych. W tym przypadku równanie charakterystyczne przyjmuje postać p(λ) = λ (λ tr A).

94 Jeśli teraz λ 1 0 i λ 2 = 0, to postacią kanoniczną macierzy A jest [ ] λ1 0 J =, 0 0.

95 Jeśli teraz λ 1 0 i λ 2 = 0, to postacią kanoniczną macierzy A jest [ ] λ1 0 J =, 0 0. a równanie (14) jest postaci y 1 (t) = λ 1 y 1 y 2 (t) = 0.

96 Jeśli teraz λ 1 0 i λ 2 = 0, to postacią kanoniczną macierzy A jest [ ] λ1 0 J =, 0 0. a równanie (14) jest postaci y 1 (t) = λ 1 y 1 y 2 (t) = 0. Punktami krytycznymi są wszystkie punkty osi Oy 2 (y 1 = 0). Rozwiązania tego równania y1 (t) = c 1 e λ 1t y 2 (t) = c 2 tworzą portret fazowy w postaci układu prostych poziomych.

97 Dla λ 1 < 0 punkty krytyczne są stabilne, dla λ 1 > 0 punkty krytyczne są niestabilne.

98 Jeśli λ 1 = λ 2 = 0, to postacią kanoniczną macierzy A jest [ ] 0 0 J =, 1 0.

99 Jeśli λ 1 = λ 2 = 0, to postacią kanoniczną macierzy A jest [ ] 0 0 J =, 1 0. a równanie (14) jest postaci y 1 (t) = 0 y 2 (t) = y 1.

100 Jeśli λ 1 = λ 2 = 0, to postacią kanoniczną macierzy A jest [ ] 0 0 J =, 1 0. a równanie (14) jest postaci y 1 (t) = 0 y 2 (t) = y 1. Punktami krytycznymi są wszystkie punkty osi Oy 2.

101 Rozwiązania tego równania y1 (t) = c 1 y 2 (t) = c 2 e t

102 Rozwiązania tego równania y1 (t) = c 1 y 2 (t) = c 2 e t tworzą portret fazowy w postaci układu prostych pionowych.

103 Przykład 6. Znaleźć portret fazowy układu X (t) = AX, gdzie [ ] 7 4 A =. 6 7

104 Przykład 6. Znaleźć portret fazowy układu X (t) = AX, gdzie [ ] 7 4 A =. 6 7 Wielomian charakterystyczny p(λ) = λ 2 25 ma pierwiastki λ 1 = 5, λ 2 = 5. Odpowiadają im wektory własne [ ] [ ] [ ] v 1 =, v 2 =, stąd Q = Ponieważ λ 1 λ 2 < 0, zatem X = 0 jest siodłem.

105 Przykład 6. Znaleźć portret fazowy układu X (t) = AX, gdzie [ ] 7 4 A =. 6 7 Wielomian charakterystyczny p(λ) = λ 2 25 ma pierwiastki λ 1 = 5, λ 2 = 5. Odpowiadają im wektory własne [ ] [ ] [ ] v 1 =, v 2 =, stąd Q = Ponieważ λ 1 λ 2 < 0, zatem X = 0 jest siodłem. Równanie [ w ] 5 0 zmiennych Y jest postaci Y (t) = JY, gdzie J =, a 0 5 jego rozwiązanie: y1 (t) = c 1 e 5t y 2 (t) = c 2 e 5t.

106 Na płaszczyźnie fazowej Oy 1 y 2 równanie orbit przyjmuje postać y 1 y 2 = c.

107 Na płaszczyźnie fazowej Oy 1 y 2 równanie orbit przyjmuje postać y 1 y 2 = c. Rozwiązanie na płaszczyźnie Ox 1 x 2 jest postaci [ ] [ ] [ ] x1 1 2 y1 =, x y 2 czyli x1 (t) = c 1 e 5t + 2c 2 e 5t x 2 (t) = 3c 1 e 5t + c 2 e 5t. Portrety fazowe odpowiednio na płaszczyźnie fazowej Oy 1 y 2 oraz Ox 1 x 2 ( rys.11, rys.12 ).

108 Przykład 7. Znaleźć portret fazowy układu X (t) = AX, gdzie [ ] 3 2 A =. 2 1

109 Przykład 7. Znaleźć portret fazowy układu X (t) = AX, gdzie [ ] 3 2 A =. 2 1 Wielomian charakterystyczny p(λ) = (λ + 1) 2 ma pierwiastek λ 0 = 1. Odpowiadają mu wektory własne v 1, v 2 takie, że [ ] 1 (A λ 0 I )v 1 = 0 stąd v 1 = 1 oraz (A λ 0 I )v 2 = v 1 stąd v 2 = [ 1 3/2 ].

110 Zatem [ 1 1 ] [ 1 1 ] Q = 1 3/2 oraz J = Q 1 AQ = 0 1. Punkt X = 0 jest węzłem stabilnym.

111 Przykład 8. Znaleźć portret fazowy układu X (t) = AX, gdzie [ ] 1 4 A =. 9 1

112 Przykład 8. Znaleźć portret fazowy układu X (t) = AX, gdzie [ ] 1 4 A =. 9 1 Wielomian charakterystyczny p(λ) = λ 2 35 ma pierwiastki λ 1 = 35i, λ 2 = 35i. Odpowiadają im wektory własne [ ṽ 1 = ] [ 4 1 oraz ṽ 2 = 35i ] i

113 Niech v 1 = Re ṽ 2 oraz v 2 = Im ṽ 2, więc v 1 = [ 4 1 ] oraz v 2 = [ ] Zatem [ 4 0 Q = 1 35 ] oraz J = Q 1 AQ = [ ]. Punkt X = 0 jest środkiem.

114 Badanie portretów fazowych układów liniowych o stałych współczynnikach można wykorzystać do badanie portretów fazowych układów nieliniowych autonomicznych. O dwóch trajektoriach będących rozwiązaniami równań X (t) = AX oraz Y (t) = BY mówimy, że są topologicznie sprzężone, jeśli istnieje homeomorfizm 1 przekształcający jedną trajektorię na drugą. 1 odwzorowanie h : A B jest homeomorfizmem zbioru A na zbiór B jeśli h jest funkcją ciągłą i różnowartościową zbioru A na zbiór B oraz h 1 jest funkcją ciągłą.

115 Tw. Niech dane będą dwa równania liniowe X (t) = AX oraz Y (t) = BY. Jeśli 1 wszystkie wartości własne macierzy A i B mają niezerową część rzeczywistą, 2 liczba wartości własnych z dodatnią częścią rzeczywistą macierzy A i B jest taka sama, 3 liczba wartości własnych z ujemną częścią rzeczywistą macierzy A i B jest taka sama, to równania te mają trajektorie topologicznie sprzężone.

116 Niech dany będzie układ autonomiczny X (t) = F (X ) i niech X = 0 będzie jego punktem krytycznym.

117 Niech dany będzie układ autonomiczny X (t) = F (X ) i niech X = 0 będzie jego punktem krytycznym.linearyzacją tego układu w otoczeniu punktu X = 0 nazywamy układ liniowy o stałych współczynnikach X (t) = AX taki, że układ X (t) = F (X ) można zapisać w postaci X (t) = AX + g(x ), (15) gdzie g(x ) jest funkcją ciągłą spełniającą warunek g(x ) lim = 0. X 0 X

118 Jeśli X = 0 nie jest punktem krytycznym układu X (t) = F (X ), ale X = X 0 jest punktem krytycznym, to linearyzację przeprowadzamy wokół tego punktu.

119 Jeśli X = 0 nie jest punktem krytycznym układu X (t) = F (X ), ale X = X 0 jest punktem krytycznym, to linearyzację przeprowadzamy wokół tego punktu. Odpowiednikiem równania (15) jest X (t) = A(X X 0 ) + g(x ), gdzie g(x ) jest funkcją ciągłą spełniającą warunek lim X X 0 0 g(x ) X X 0 = 0.

120 Tw. Grobmana-Hartmana Jeśli układowi autonomicznemu X (t) = F (X ) odpowiada układ zlinearyzowany X (t) = AX i wszystkie wartości własne macierzy A mają niezerowe części rzeczywiste, to portret fazowy układu X (t) = F (X ) jest w otoczeniu punktu krytycznego X = 0 homeomorficzny z portretem fazowym układu zlinearyzowanego X (t) = AX.

121 Dla układów nieliniowych mamy więc analogiczną klasyfikację punktów krytycznych jak dla układów liniowych. Jeśli punkt X = 0 jest węzłem, ogniskiem lub siodłem układu zlinearyzowanego, to jest on także węzłem, ogniskiem lub siodłem układu wyjściowego. Ponadto, jeśli wszystkie trajektorie w dostatecznie małym otoczeniu punktu krytycznego X = 0 równania X (t) = F (X ) są krzywymi zamkniętymi otaczającymi ten punkt, to taki punkt nazywamy środkiem.

122 Przykład 9. Układ x 1 (t) = x 1 + 4x 2 + e x 1 1 x 2 (t) = x 2 x 2 e x 1 ma jedyny punkt krytyczny X = 0 (czyli x 1 = x 2 = 0).

123 Układ zlinearyzowany jest postaci x 1 (t) = 2x 1 + 4x 2 x 2 (t) = 2x 2. Wartościami własnymi są liczby λ 1 = 2, λ 2 = 2. Stąd punkt X = 0 jest siodłem.

124 Przykład 10. Układ x 1 (t) = ln(1 x 2 + x 2 2 ) x 2 (t) = 3 x x 2 ma punkty krytyczne (3, 0), ( 3, 0), (1, 1), ( 1, 1).

125 Układ zlinearyzowany w otoczeniu punktu (3, 0) jest postaci x 1 (t) = x 2 x 2 (t) = x x Wartościami własnymi są liczby λ 1 = , λ 2 = Stąd punkt (3, 0) jest siodłem.

126 Układ zlinearyzowany w otoczeniu punktu (1, 1) jest postaci x 1 (t) = x 2 1 x 2 (t) = 1 3 x x Wartościami własnymi są liczby λ 1 = 1, λ 2 = 1 3. Stąd punkt (1, 1) jest węzłem stabilnym. Analogicznie badamy dwa pozostałe punkty.

127 Przykład 11. Dane są dwa układy x 1 (t) = x 2 + x 1 (x x 2 2 ) x 2 (t) = x 1 + x 2 (x x 2 2 ) oraz x 1 (t) = x 2 x 1 (x x 2 2 ) x 2 (t) = x 1 x 2 (x x 2 2 )

128 Przykład 11. Dane są dwa układy x 1 (t) = x 2 + x 1 (x x 2 2 ) x 2 (t) = x 1 + x 2 (x x 2 2 ) oraz x 1 (t) = x 2 x 1 (x x 2 2 ) x 2 (t) = x 1 x 2 (x x 2 2 ) Oba układy mają taką samą linearyzację wokół jedynego punktu krytycznego X = 0: x 1 (t) = x 2 x 2 (t) = x 1.

129 Przykład 11. Dane są dwa układy x 1 (t) = x 2 + x 1 (x x 2 2 ) x 2 (t) = x 1 + x 2 (x x 2 2 ) oraz x 1 (t) = x 2 x 1 (x x 2 2 ) x 2 (t) = x 1 x 2 (x x 2 2 ) Oba układy mają taką samą linearyzację wokół jedynego punktu krytycznego X = 0: x 1 (t) = x 2 x 2 (t) = x 1. Dla równania zlinearyzowanego X = 0 jest środkiem gdyż λ 1 = i, λ 2 = i, ale Re λ 1 = Re λ 2 = 0!

130 Po przejściu do współrzędnych biegunowych mamy odpowiednio w obu przypadkach r (t) = r 3 θ (t) = 1 oraz r (t) = r 3 θ (t) = 1 Zatem punkt X = 0 jest ogniskiem niestabilnym i ogniskiem stabilnym odpowiednio.

Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych

Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych [ ] e Zadanie 1 Pokazać, że X(t) = 2t cos t sin t e 2t jest specjalną macierzą fundamentalną w sin t cos t [ 2 cos chwili τ = 0 układu

Bardziej szczegółowo

ϕ(t k ; p) dla pewnego cigu t k }.

ϕ(t k ; p) dla pewnego cigu t k }. VI. Trajektorie okresowe i zbiory graniczne. 1. Zbiory graniczne. Rozważamy równanie (1.1) x = f(x) z funkcją f : R n R n określoną na całej przestrzeni R n. Będziemy zakładać, że funkcja f spełnia założenia,

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta

Bardziej szczegółowo

Wykład Analiza jakościowa równań różniczkowych

Wykład Analiza jakościowa równań różniczkowych Na podstawie książki J. Rusinka, Równania różniczkowe i różnicowe w zarządzaniu, Oficna Wdawnicza WSM, Warszawa 2005. 21 maja 2012 Definicja Stabilność Niech = F (x, ) będzie równaniem różniczkowm. Rozwiązanie

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie 2: Własności pola wskazujące na istnienie orbit

Twierdzenie 2: Własności pola wskazujące na istnienie orbit Cykle graniczne Dotychczas zajmowaliśmy się głównie znajdowaniem i badaniem stabilności punktów stacjonarnych. Wiele ciekawych procesów ma naturę cykliczną. Umiemy już sobie poradzić z cyklicznością występującą

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Krzywe stożkowe. 2.1 Elipsa. Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie

Rozdział 2. Krzywe stożkowe. 2.1 Elipsa. Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie Rozdział Krzywe stożkowe Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie x + By + Cxy + Dx + Ey + F = 0. (.) W zależności od relacji pomiędzy współczynnikami otrzymujemy elipsę,

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia 1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki

Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Stabilność rozwiązań równań różniczkowych w ujęciu lokalnych układów dynamicznych. Adam Kanigowski Toruń 2010 1 Spis treści 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd 7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy

Bardziej szczegółowo

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i

Bardziej szczegółowo

Krzywe stożkowe. Algebra. Aleksander Denisiuk

Krzywe stożkowe. Algebra. Aleksander Denisiuk Algebra Krzywe stożkowe Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Algebra p. 1 Krzywe stożkowe

Bardziej szczegółowo

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie

Bardziej szczegółowo

1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0

1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0 Z43: Algebra liniowa Zagadnienie: przekształcenie liniowe, macierze, wyznaczniki Zadanie: przekształcenie liniowe, jądro i obraz, interpretacja geometryczna. Przestrzeń liniowa Już w starożytności człowiek

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2

Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2 Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana Niech A - macierz kwadratowa stopnia n Jak obliczyć np A 100? a 11 0 0 0 a 22 0 Jeśli A jest macierzą diagonalną tzn A =, to Ak = 0 0 a nn Niech B =

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy

Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 217/218

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone

Bardziej szczegółowo

Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej

Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przygotowanie: Dariusz Pazderski Liniowe przekształcenie równania stanu Rozważmy liniowe równanie stanu i równanie wyjścia układu niesingularnego

Bardziej szczegółowo

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Rozdział 10

Formy kwadratowe. Rozdział 10 Rozdział 10 Formy kwadratowe Rozważmy rzeczywistą macierz symetryczną A R n n Definicja 101 Funkcję h : R n R postaci h (x) = x T Ax (101) nazywamy formą kwadratową Macierz symetryczną A występującą w

Bardziej szczegółowo

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania. 10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych

Bardziej szczegółowo

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami: 9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym

Bardziej szczegółowo

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

1 Geometria analityczna

1 Geometria analityczna 1 Geometria analityczna 1.1 Wektory na płaszczyźnie Wektor to uporządkowana para punktów, z których pierwszy nazywa się początkiem, a drugi końcem wektora. Jeżeli wprowadzimy prostokątny układ współrzędnych,

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2017 1 / 10 Definicja Funkcja

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu.

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu. Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 1 Zadanie Definicja 1.1. (zadanie) Zadaniem nazywamy zagadnienie znalezienia rozwiązania x spełniającego równanie F (x, d) = 0, gdzie d jest zbiorem danych (od których zależy rozwiązanie x), a F

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 15

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 15 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 15 Niech r ( t ) [ x( t), y( t), z( t)], t I ( r ( t ) x( t) i y( t) j z( t) k, t I ) będzie równaniem wektorowym krzywej w R 3. Definicja Krzywą o równaniu r ( t ) [ a cost,

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

Równanie przewodnictwa cieplnego (II)

Równanie przewodnictwa cieplnego (II) Wykład 5 Równanie przewodnictwa cieplnego (II) 5.1 Metoda Fouriera dla pręta ograniczonego 5.1.1 Pierwsze zagadnienie brzegowe dla pręta ograniczonego Poszukujemy rozwiązania równania przewodnictwa spełniającego

Bardziej szczegółowo

Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola

Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Czym jest hiperbola? Hiperbola jest krzywą stożkową powstałą przez przecięcie stożka płaszczyzną pod kątem 0 β < α (gdzie

Bardziej szczegółowo

13 Układy równań liniowych

13 Układy równań liniowych 13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Układy współrzędnych

Układy współrzędnych Układy współrzędnych Układ współrzędnych matematycznie - funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni skończony ciąg (krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu. Układ współrzędnych

Bardziej szczegółowo

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B 1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

Funkcja liniowa i prosta podsumowanie

Funkcja liniowa i prosta podsumowanie Funkcja liniowa i prosta podsumowanie Definicja funkcji liniowej Funkcja liniowa określona jest wzorem postaci: y = ax + b, x R, a R, b R a, b współczynniki funkcji dowolne liczby rzeczywiste a- współczynnik

Bardziej szczegółowo

Efekt motyla i dziwne atraktory

Efekt motyla i dziwne atraktory O układzie Lorenza Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja kopernika Toruń, 3 grudnia 2009 Spis treści 1 Wprowadzenie Wyjaśnienie pojęć 2 O dziwnych atraktorach 3 Wyjaśnienie pojęć Dowolny

Bardziej szczegółowo

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych

Bardziej szczegółowo

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją

Bardziej szczegółowo

2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych 2. Równania o rozdzielonych zmiennych 2 1 2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie różniczkowe

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x). 6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco

Bardziej szczegółowo

1 Podobieństwo macierzy

1 Podobieństwo macierzy GAL (Informatyka) Wykład - zagadnienie własne Wersja z dnia 6 lutego 2014 Paweł Bechler 1 Podobieństwo macierzy Definicja 1 Powiemy, że macierze A, B K n,n są podobne, jeżeli istnieje macierz nieosobliwa

Bardziej szczegółowo

Dwa przykłady z mechaniki

Dwa przykłady z mechaniki Rozdział 6 Dwa przykłady z mechaniki W rozdziale tym przedstawimy proste przykłady rozwiązań równań mechaniki Newtona. Mechanika Newtona zajmuje się badaniem ruchu układu punktów materialnych w przestrzeni

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.

Bardziej szczegółowo

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to

Bardziej szczegółowo

2. Definicja pochodnej w R n

2. Definicja pochodnej w R n 2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006 FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)

Bardziej szczegółowo

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można

Bardziej szczegółowo

Obliczanie długości łuku krzywych. Autorzy: Witold Majdak

Obliczanie długości łuku krzywych. Autorzy: Witold Majdak Obliczanie długości łuku krzywych Autorzy: Witold Majdak 7 Obliczanie długości łuku krzywych Autor: Witold Majdak DEFINICJA Definicja : Długość łuku krzywej zadanej parametrycznie Rozważmy krzywą Γ zadaną

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo

3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas

3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas 3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas oddziaływanie między ciałami, ani też rola, jaką to

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1

Bardziej szczegółowo

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 9 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że 4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze taka że K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η) R n R, f(x 0, y 0 ) = 0, y f(x 0, y 0 ) 0. Wówczas dla odpowiednio

Bardziej szczegółowo

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................

Bardziej szczegółowo

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu, cd

Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu, cd Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu, cd Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Równania różniczkowe zwyczajne w postaci uwikłanej........... 1 1.1.1 Rozwiązanie w postaci parametrycznej................

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:

Bardziej szczegółowo

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same 1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +

Bardziej szczegółowo

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na

Bardziej szczegółowo

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1 Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Zapisujemy:. Dla jednoczesnego podania funkcji (sposobu przyporządkowania) oraz zbiorów i piszemy:.

Zapisujemy:. Dla jednoczesnego podania funkcji (sposobu przyporządkowania) oraz zbiorów i piszemy:. Funkcja Funkcją (stosuje się też nazwę odwzorowanie) określoną na zbiorze o wartościach w zbiorze nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi dokładnie jednego elementu. nazywamy argumentem, zaś wartością

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe zwyczajne zadania z odpowiedziami

Równania różniczkowe zwyczajne zadania z odpowiedziami Równania różniczkowe zwyczajne zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Równania pierwszego rzędu 2 o rozdzielonych zmiennych 2 jednorodne 4 liniowe 4 Bernoulliego 5 Równania sprowadzalne

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe ALGEBRA LINIOWA 2 Wydział Mechaniczny / AIR, MTR Semestr letni 2009/2010 Prowadzący: dr Teresa Jurlewicz Przestrzenie liniowe Uwaga. W nawiasach kwadratowych podane są numery zadań znajdujących się w podręczniku

Bardziej szczegółowo

Granica funkcji. 8 listopada Wykład 4

Granica funkcji. 8 listopada Wykład 4 Granica funkcji 8 listopada 2011 Definicja Niech D R będzie dowolnym zbiorem. Punkt x 0 R nazywamy punktem skupienia zbioru D jeżeli δ>0 x D\{x0 } : x x 0 < δ. Zbiór punktów skupienia zbioru D oznaczamy

Bardziej szczegółowo

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Do opisu członów i układów automatyki stosuje się, oprócz transmitancji operatorowej (), tzw. transmitancję widmową. Transmitancję widmową () wyznaczyć można na podstawie

Bardziej szczegółowo

KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury

KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury Funkcje wektorowe Jeśli wektor a jest określony dla parametru t (t należy do przedziału t (, t k )

Bardziej szczegółowo

Całki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1

Całki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne. Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo