Wykład z modelowania matematycznego.
|
|
- Milena Socha
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1
2 Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2)
3 Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2) Rodzina funkcji (2) opisuje rodzinę krzywych całkowych zależnych od parametru c. Rozwiązaniu szczególnemu spełniającemu warunek początkowy odpowiada ta krzywa całkowa należąca do rodziny, która przechodzi przez punkt (t 0, x 0 ).
4 Załóżmy, że układ normalny dwóch równań różniczkowych x 1 (t) = f 1 (t, x 1, x 2 ) x 2 (t) = f 2(t, x 1, x 2 ). (3) ma rozwiązanie ogólne x1 (t) = ϕ 1 (t, c 1, c 2 ) x 2 (t) = ϕ 2 (t, c 1, c 2 ). (4)
5 Każda z funkcji w (4) opisuje powierzchnię walcową w przestrzeni Otx 1 x 2, a ich przecięcie - krzywą w tej przestrzeni. Układ (3) definiuje w każdym punkcie (t 0, x 1 (t 0 ), x 2 (t 0 )) pewnego obszaru przestrzeni pochodne x 1 (t 0), x 2 (t 0), z których otrzymujemy kierunek styczny do krzywej całkowej w tym punkcie i w konsekwencji pole kierunków w przestrzeni. Rozwiązanie ogólne układu (3) jest dwuparametrową rodziną krzywych, stycznych w każdym swoim punkcie do kierunku wyznaczonego przez pole.
6 Każda z funkcji w (4) opisuje powierzchnię walcową w przestrzeni Otx 1 x 2, a ich przecięcie - krzywą w tej przestrzeni. Układ (3) definiuje w każdym punkcie (t 0, x 1 (t 0 ), x 2 (t 0 )) pewnego obszaru przestrzeni pochodne x 1 (t 0), x 2 (t 0), z których otrzymujemy kierunek styczny do krzywej całkowej w tym punkcie i w konsekwencji pole kierunków w przestrzeni. Rozwiązanie ogólne układu (3) jest dwuparametrową rodziną krzywych, stycznych w każdym swoim punkcie do kierunku wyznaczonego przez pole. Uwaga. Analogiczna sytuacja ma miejsce w przypadku ogólnym układu n równań. Rozwiązaniem ogólnym układu są krzywe całkowe w przestrzeni R n+1. Rodzina tych krzywych jest zależna od n parametrów.
7 Przykład 2. Układ ma rozwiązanie ogólne x 1 (t) = x 2 x 2 (t) = k2 x 1 (5)
8 Przykład 2. Układ ma rozwiązanie ogólne x1 (t) = c 1 cos kt + c 2 sin kt x 1 (t) = x 2 x 2 (t) = k2 x 1 (5) x 2 (t) = c 1 k sin kt + c 2 k cos kt.
9 Przykład 2. Układ ma rozwiązanie ogólne x1 (t) = c 1 cos kt + c 2 sin kt x 1 (t) = x 2 x 2 (t) = k2 x 1 (5) x 2 (t) = c 1 k sin kt + c 2 k cos kt. Jeśli dodamy warunek początkowy x 1 (0) = a, x 2 (0) = b,
10 Przykład 2. Układ ma rozwiązanie ogólne x1 (t) = c 1 cos kt + c 2 sin kt x 1 (t) = x 2 x 2 (t) = k2 x 1 (5) x 2 (t) = c 1 k sin kt + c 2 k cos kt. Jeśli dodamy warunek początkowy x 1 (0) = a, x 2 (0) = b, to rozwiązaniem szczególnym jest x1 (t) = a cos kt + b k sin kt x 2 (t) = ak sin kt + b cos kt.
11 Krzywa całkowa jest postaci Uwaga. Wektor styczny do krzywej dla t = 0, tj. w punkcie (a, b) jest równy [b, k 2 a].
12 W wielu zastosowaniach fizycznych (szczególnie w mechanice) zmienną t interpretuje się jako czas. W tych przypadkach wygodny jest także inny sposób analizy geometrycznej rozwiązań, polegający na tym, że czas t nie odgrywa roli jednej ze współrzędnych, równoważnej ze współrzędnymi przestrzennymi, lecz jest parametrem w równaniu parametrycznym. Jeśli uda się go wyrugować, to otrzymamy krzywą na tzw. płaszczyźnie fazowej Ox 1 x 2.
13 Przykład 2 CD. Układ x 1 (t) = x 2 x 2 (t) = k2 x 1 jest układem autonomicznym. Podnosząc jego rozwiązanie do kwadratu stronami i dodając mamy
14 Przykład 2 CD. Układ x 1 (t) = x 2 x 2 (t) = k2 x 1 jest układem autonomicznym. Podnosząc jego rozwiązanie do kwadratu stronami i dodając mamy x ( ) 2 ( ) x2 b 2 = a 2 +. k k Jest to elipsa na płaszczyźnie fazowej Ox 1 x 2.
15 Analiza stabilności jest jednym ze sposobów jakościowego badania rozwiązań równania różniczkowego. Pytanie dotyczy tego jak zmieni się globalny przebieg rozwiązania pod wpływem małych zaburzeń warunków początkowych. Sens takiego pytania jest oczywisty tam gdzie równania różniczkowe stosowane są do opisu zjawisk z dziedziny fizyki, chemii, biologii, ekonomii.
16 Niech dany będzie układ równań X (t) = F (t, X ), (6) gdzie F : R n+1 R n jest klasy C 1 i niech Y (t) będzie rozwiązaniem tego układu w przedziale [0, ).
17 Niech dany będzie układ równań X (t) = F (t, X ), (6) gdzie F : R n+1 R n jest klasy C 1 i niech Y (t) będzie rozwiązaniem tego układu w przedziale [0, ). Mówimy, że rozwiązanie Y (t) jest stabilne w sensie Lapunowa jeśli dla każdego ε > 0 istnieje takie t 0 0 oraz δ > 0, że dla każdego rozwiązania X (t) układu (6) spełniającego nierówność X (t 0 ) Y (t 0 ) < δ (7) zachodzi X (t) Y (t) < ε dla każdego t t 0. (8)
18 Jeśli ponadto lim X (t) Y (t) = 0, t to mówimy, że rozwiązanie Y (t) jest stabilne asymptotycznie.
19 Jeśli ponadto lim X (t) Y (t) = 0, t to mówimy, że rozwiązanie Y (t) jest stabilne asymptotycznie. Jeśli przy każdym δ > 0 istnieje chociaż jedno rozwiązanie X (t), dla którego nierówność (8) nie zachodzi, to rozwiązanie Y (t) nazywamy niestabilnym.
20 Powyższa definicja oznacza, że jeśli wartości początkowe (tzn. w chwili t 0 ) rozwiązań różnią się mało od wartości początkowych rozwiązania stabilnego, to będą nadal różnić się mało na całym przedziale (t 0, ).
21 Powyższa definicja oznacza, że jeśli wartości początkowe (tzn. w chwili t 0 ) rozwiązań różnią się mało od wartości początkowych rozwiązania stabilnego, to będą nadal różnić się mało na całym przedziale (t 0, ). Uwaga. Jeśli X (t) = [x 1 (t),..., x n (t)] T, Y (t) = [y 1 (t),..., y n (t)] T, to nierówność (8) oznacza x j (t) y j (t) < ε dla każdego j = 1,..., n.
22 Równanie liniowe X (t) = A(t)X (t) + B(t) nazywamy stabilnym (niestabilnym) jeśli wszystkie jego rozwiązania X (t) są stabilne (niestabilne) w sensie Lapunowa.
23 Równanie liniowe X (t) = A(t)X (t) + B(t) nazywamy stabilnym (niestabilnym) jeśli wszystkie jego rozwiązania X (t) są stabilne (niestabilne) w sensie Lapunowa. Tw. Równanie liniowe X (t) = A(t)X (t) jest stabilne wtedy i tylko wtedy gdy rozwiązanie X (t) = 0 jest stabilne w sensie Lapunowa.
24 Równanie liniowe X (t) = A(t)X (t) + B(t) nazywamy stabilnym (niestabilnym) jeśli wszystkie jego rozwiązania X (t) są stabilne (niestabilne) w sensie Lapunowa. Tw. Równanie liniowe X (t) = A(t)X (t) jest stabilne wtedy i tylko wtedy gdy rozwiązanie X (t) = 0 jest stabilne w sensie Lapunowa. Uwaga. Oznacza to, że jeśli choć jedno z rozwiązań równania jednorodnego jest stabilne (niestabilne), to takie są wszystkie rozwiązania tego równania.
25 Niech dane będzie równanie x (t) = f (t, x). (9)
26 Niech dane będzie równanie x (t) = f (t, x). (9) Równanie (9), w którym prawa strona nie zależy jawnie od t, nazywamy równaniem autonomicznym. Równanie autonomiczne ma więc postać x (t) = f (x). (10)
27 Niech dane będzie równanie x (t) = f (t, x). (9) Równanie (9), w którym prawa strona nie zależy jawnie od t, nazywamy równaniem autonomicznym. Równanie autonomiczne ma więc postać x (t) = f (x). (10) Podobnie, jeśli dany jest układ równań X (t) = F (t, X ), (11) gdzie X = [x 1,..., x n ] T, to układ ten nazywamy układem autonomicznym gdy jest postaci X (t) = F (X ). (12)
28 Zbiór G R n+1 określoności funkcji F nazywamy rozszerzoną przestrzenią fazową układu (12), a jego rzut D na przestrzeń R n zmiennych x 1,..., x n stanowiących składowe wektora X - przestrzenią fazową układu (12). W przypadku n = 2 zamiast o przestrzeni mówimy o płaszczyźnie fazowej. Trajektorią lub orbitą fazową nazywamy rozwiązanie układu (12) w przestrzeni fazowej. Trajektorię określa zarówno układ równań różniczkowych, jak i warunki początkowe. Z twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania układ równań wynika
29 Tw. Przez każdy punkt płaszczyzny fazowej przechodzi dokładnie jedna orbita.
30 Tw. Przez każdy punkt płaszczyzny fazowej przechodzi dokładnie jedna orbita. Wynika stąd, że dwie różne orbity się nie przecinają. Możliwa jest jednak sytuacja, że orbita ma punkt samoprzecięcia.
31 Tw. Przez każdy punkt płaszczyzny fazowej przechodzi dokładnie jedna orbita. Wynika stąd, że dwie różne orbity się nie przecinają. Możliwa jest jednak sytuacja, że orbita ma punkt samoprzecięcia. Podzbiór przestrzeni fazowej wypełniony przez trajektorie fazowe nazywa się obrazem lub portretem fazowym układu. Punkt X 0 nazywamy punktem krytycznym lub punktem osobliwym układu (12) jeśli F (X 0 ) = 0. Ponieważ w tym przypadku mamy X (t) = 0, czyli X (t) = const = X 0, więc X 0 jest punktem (położeniem) równowagi. Punkt przestrzeni fazowej, który nie jest punktem krytycznym nazywamy punktem regularnym.
32 Przykład 2 CD. Trajektoriami fazowymi układu (5) są elipsy x ( ) 2 ( ) x2 b 2 = a 2 +. k k
33 Przykład 3. Wyznaczyć portret fazowy układu x 1 (t) = x 2 + x 1 (1 x 1 2 x 2 2 ) x 2 (t) = x 1 + x 2 (1 x 1 2 x 2 2 ). (13)
34 Wprowadzając współrzędne biegunowe x 1 = r cos θ, x 2 = r sin θ układ (13) można zapisać w postaci
35 Wprowadzając współrzędne biegunowe x 1 = r cos θ, x 2 = r sin θ układ (13) można zapisać w postaci r (t) = r(1 r 2 ) θ (t) = 1.
36 Wprowadzając współrzędne biegunowe x 1 = r cos θ, x 2 = r sin θ układ (13) można zapisać w postaci r (t) = r(1 r 2 ) θ (t) = 1. Zauważmy, że układ ten ma następujące rozwiązania: r(t) = 0 punkt x 1 = x 2 = 0, θ(t) = t + d
37 Wprowadzając współrzędne biegunowe x 1 = r cos θ, x 2 = r sin θ układ (13) można zapisać w postaci r (t) = r(1 r 2 ) θ (t) = 1. Zauważmy, że układ ten ma następujące rozwiązania: r(t) = 0 punkt x 1 = x 2 = 0, θ(t) = t + d r(t) = 1 θ(t) = t + d okrąg x 1 2 +x 2 2 = 1 orbita okresowa,
38 Wprowadzając współrzędne biegunowe x 1 = r cos θ, x 2 = r sin θ układ (13) można zapisać w postaci r (t) = r(1 r 2 ) θ (t) = 1. Zauważmy, że układ ten ma następujące rozwiązania: r(t) = 0 punkt x 1 = x 2 = 0, θ(t) = t + d r(t) = 1 θ(t) = t + d r(t) = et c+e 2t θ(t) = t + d okrąg x 1 2 +x 2 2 = 1 orbita okresowa, orbity spiralne nawijające się od wewnątrz i od zewnątrz na okrąg jednostkowy.
39 Rozwiązania układu równań różniczkowych można pogrupować w pewne klasy, którym przypisujemy jeden typ orbity fazowej. Z topologicznego punktu widzenia należy wyróżnić trzy kategorie orbit:
40 Rozwiązania układu równań różniczkowych można pogrupować w pewne klasy, którym przypisujemy jeden typ orbity fazowej. Z topologicznego punktu widzenia należy wyróżnić trzy kategorie orbit: orbity otwarte orbity zamknięte punkty krytyczne.
41 Rozwiązania układu równań różniczkowych można pogrupować w pewne klasy, którym przypisujemy jeden typ orbity fazowej. Z topologicznego punktu widzenia należy wyróżnić trzy kategorie orbit: orbity otwarte orbity zamknięte punkty krytyczne. Orbitom zamkniętym w przestrzeni fazowej odpowiadają rozwiązania okresowe. O orbicie zamkniętej mówimy, że jest cyklem granicznym jeśli istnieje obszar wypełniony trajektoriami fazowymi zmierzającymi do tej krzywej gdy t + lub t.
42 Przykład 5. Zbadać stabilność równania X (t) = AX (t), gdzie [ ] α β A =. β α
43 Jednym z rozwiązań tego równania jest funkcja stała Y (t) = 0. Ponieważ jest to równanie autonomiczne, jest to położenie równowagi. Rozwiązaniem ogólnym tego równania jest [ ] [ x1 (t) e αt ] (c 1 sin βt + c 2 cos βt) X (t) = = x 2 (t) e αt. (c 1 cos βt c 2 sin βt)
44 Jednym z rozwiązań tego równania jest funkcja stała Y (t) = 0. Ponieważ jest to równanie autonomiczne, jest to położenie równowagi. Rozwiązaniem ogólnym tego równania jest [ ] [ x1 (t) e αt ] (c 1 sin βt + c 2 cos βt) X (t) = = x 2 (t) e αt. (c 1 cos βt c 2 sin βt) Jeśli α < 0, to x 1 (t) i x 2 (t) są dowolnie bliskie 0 dla dostatecznie dużych t. Stąd rozwiązanie Y (t) = 0 jest asymptotycznie stabilnym położeniem równowagi.
45 Jednym z rozwiązań tego równania jest funkcja stała Y (t) = 0. Ponieważ jest to równanie autonomiczne, jest to położenie równowagi. Rozwiązaniem ogólnym tego równania jest [ ] [ x1 (t) e αt ] (c 1 sin βt + c 2 cos βt) X (t) = = x 2 (t) e αt. (c 1 cos βt c 2 sin βt) Jeśli α < 0, to x 1 (t) i x 2 (t) są dowolnie bliskie 0 dla dostatecznie dużych t. Stąd rozwiązanie Y (t) = 0 jest asymptotycznie stabilnym położeniem równowagi. Jeśli α > 0, to x 1 (t) i x 2 (t) oscylują wokół funkcji stale równej 0, przy czym oscylacje te zwiększają się ze wzrostem t. Stąd rozwiązanie Y (t) = 0 nie jest stabilnym położeniem równowagi.
46 Z algebry liniowej wiadomo, że dla macierzy kwadratowej stopnia 2 istnieje nieosobliwa macierz Q taka, że J = Q 1 AQ jest w postaci Jordana, tzn. jest macierzą jednej z trzech następujących postaci
47 Z algebry liniowej wiadomo, że dla macierzy kwadratowej stopnia 2 istnieje nieosobliwa macierz Q taka, że J = Q 1 AQ jest w postaci Jordana, tzn. jest macierzą jednej z trzech następujących postaci [ ] [ ] [ ] a 0 a 1 a b lub lub. 0 b 0 a b a
48 Z algebry liniowej wiadomo, że dla macierzy kwadratowej stopnia 2 istnieje nieosobliwa macierz Q taka, że J = Q 1 AQ jest w postaci Jordana, tzn. jest macierzą jednej z trzech następujących postaci [ ] [ ] [ ] a 0 a 1 a b lub lub. 0 b 0 a b a Ponadto, jeśli A ma dwie różne wartości własne, to J jest macierzą diagonalną z wartościami własnymi na przekątnej.
49 Jeśli J jest postacią kanoniczną macierzy A, to Q przeprowadza bazę kanoniczną na bazę przestrzeni wyjściowej. Oznacza to, że jeśli równanie X (t) = AX w bazie kanonicznej przyjmie postać Y (t) = JY, to X = QY. Kolumny macierzy Q są zbudowane z wektorów bazy kanonicznej wyrażonych we współrzędnych zmiennej X.
50 Załóżmy, że mamy układ X (t) = AX (14) ze stałą macierzą A = [ a11 a 12 a 21 a 22 ].
51 Załóżmy, że mamy układ X (t) = AX (14) ze stałą macierzą [ ] a11 a 12 A =. a 21 a 22 Punkt X = 0 jest punktem krytycznym tego równania. Jest on jedynym punktem krytycznym gdy det A 0.
52 Załóżmy, że det A 0. Będziemy analizować rozwiązania układu w otoczeniu punktu krytycznego, czyli X = 0. W tym celu rozważmy wielomian charakterystyczny macierzy A p(λ) = λ 2 λ(a 11 + a 22 ) + (a 11 a 22 a 21 a 12 )
53 Załóżmy, że det A 0. Będziemy analizować rozwiązania układu w otoczeniu punktu krytycznego, czyli X = 0. W tym celu rozważmy wielomian charakterystyczny macierzy A p(λ) = λ 2 λ(a 11 + a 22 ) + (a 11 a 22 a 21 a 12 ) lub inaczej p(λ) = λ 2 λ tr A + det A, gdzie tr A oznacza ślad macierzy A. Z założenia det A 0 wynika, że λ 0.
54 I. > 0
55 I. > 0 Macierz A ma dwie różne rzeczywiste wartości własne λ 1 = 1 2 (tr A ), λ 2 = 1 2 (tr A + ), gdzie = (tr A) 2 4 det A.
56 I. > 0 Macierz A ma dwie różne rzeczywiste wartości własne λ 1 = 1 2 (tr A ), λ 2 = 1 2 (tr A + ), gdzie = (tr A) 2 4 det A. Odpowiadające im wektory własne są liniowo niezależne i tworzą bazę kanoniczną w R 2. W bazie tej A ma postać [ ] λ1 0 J =. 0 λ 2.
57 Równanie (14) sprowadza się wtedy do układu y 1 (t) = λ 1 y 1 y 2 (t) = λ 2y 2,
58 Równanie (14) sprowadza się wtedy do układu y 1 (t) = λ 1 y 1 y 2 (t) = λ 2y 2, którego rozwiązania wyrażają się wzorami y1 (t) = c 1 e λ 1t y 2 (t) = c 2 e λ 2t.
59 Równanie (14) sprowadza się wtedy do układu y 1 (t) = λ 1 y 1 y 2 (t) = λ 2y 2, którego rozwiązania wyrażają się wzorami y1 (t) = c 1 e λ 1t y 2 (t) = c 2 e λ 2t. Równanie orbit w przestrzeni fazowej jest postaci y 2 = cy 1 λ 2 /λ 1.
60 Równanie (14) sprowadza się wtedy do układu y 1 (t) = λ 1 y 1 y 2 (t) = λ 2y 2, którego rozwiązania wyrażają się wzorami y1 (t) = c 1 e λ 1t y 2 (t) = c 2 e λ 2t. Równanie orbit w przestrzeni fazowej jest postaci y 2 = cy 1 λ 2 /λ 1. Obraz orbit w otoczeniu punktu krytycznego X = 0 zależy od znaku pierwiastków λ 1, λ 2.
61 IA. λ 2 < λ 1 < 0 portret fazowy Punkt krytyczny X = 0 nazywany jest węzłem. Jest to punkt stabilny (rozwiązania dążą do punktu krytycznego gdy t ),
62 IB. λ 1 < λ 2 < 0 portret fazowy Punkt krytyczny X = 0 jest węzłem stabilnym.
63 IC. λ 2 > λ 1 > 0 portret fazowy Punkt krytyczny X = 0 jest węzłem niestabilnym (rozwiązania oddalają się od punktu krytycznego gdy t ).
64 ID. λ 1 > λ 2 > 0 portret fazowy Punkt krytyczny X = 0 jest węzłem niestabilnym.
65 IE. λ 1 λ 2 < 0 Punkt krytyczny X = 0 jest siodłem. Półosie współrzędnych też są orbitami, przy czym na półosiach Ox 1 punkt zbliża się do punktu krytycznego, zaś na półosiach Ox 2 punkt oddala się od punktu krytycznego. Zatem siodło nie jest punktem stabilnym.
66 II. = 0 Macierz A ma podwójną wartość własną λ 0.
67 II. = 0 Macierz A ma podwójną wartość własną λ 0. IIA. Jeśli wartości własnej λ 0 odpowiadają dwa liniowo niezależne wektory własne, to tworzą one bazę kanoniczną w R 2 i A ma w tej bazie postać [ ] λ0 0 J =. 0 λ 0.
68 Równanie (14) sprowadza się wtedy do układu y 1 (t) = λ 0 y 1 y 2 (t) = λ 0y 2,
69 Równanie (14) sprowadza się wtedy do układu y 1 (t) = λ 0 y 1 y 2 (t) = λ 0y 2, którego rozwiązania wyrażają się wzorami y1 (t) = c 1 e λ 0t y 2 (t) = c 2 e λ 0t.
70 Równanie (14) sprowadza się wtedy do układu y 1 (t) = λ 0 y 1 y 2 (t) = λ 0y 2, którego rozwiązania wyrażają się wzorami y1 (t) = c 1 e λ 0t y 2 (t) = c 2 e λ 0t. Równanie orbit w przestrzeni fazowej jest postaci y 2 = cy 1.
71 Portret fazowy tworzą proste. Punkt krytyczny X = 0 jest węzłem gwiaździstym.
72 Portret fazowy tworzą proste. Punkt krytyczny X = 0 jest węzłem gwiaździstym. W zależności od znaku λ 0 mamy: węzeł stabilny gdy λ 0 < 0 węzeł niestabilny gdy λ 0 > 0
73 IIB. Jeśli A ma tylko jeden wektor własny odpowiadający wartości własnej λ 0, to A ma postać kanoniczną [ ] λ0 1 J =. 0 λ 0.
74 Równanie (14) sprowadza się wtedy do układu y 1 (t) = λ 0 y 1 + y 2 y 2 (t) = λ 0y 2,
75 Równanie (14) sprowadza się wtedy do układu y 1 (t) = λ 0 y 1 + y 2 y 2 (t) = λ 0y 2, którego rozwiązania wyrażają się wzorami y1 (t) = (c 1 + c 2 t)e λ 0t y 2 (t) = c 2 e λ0t.
76 Równanie (14) sprowadza się wtedy do układu y 1 (t) = λ 0 y 1 + y 2 y 2 (t) = λ 0y 2, którego rozwiązania wyrażają się wzorami y1 (t) = (c 1 + c 2 t)e λ 0t y 2 (t) = c 2 e λ0t. Równanie orbit w przestrzeni fazowej jest postaci y 1 = 1 y 2 ln y 2 + cy 2. λ 0
77 Punkt krytyczny X = 0 jest węzłem zdegenerowanym.
78 Punkt krytyczny X = 0 jest węzłem zdegenerowanym. W zależności od znaku λ 0 mamy: węzeł stabilny gdy λ 0 < 0 węzeł niestabilny gdy λ 0 > 0
79 Uwaga. Kształt krzywych stanowiących orbity łatwiej wykreślić zaznaczając prostą, na której y 2 osiąga wartości ekstremalne, tzn prostą y 1 = λ 0 y 2 (gdyż tam y 2 (t) = 0).
80 III. < 0 Macierz A ma dwie wartości własne, wzajemnie sprzężone λ 0 i λ 0. Postacią kanoniczną macierzy A jest [ ] α β J =, β > 0. β α.
81 Równanie (14) sprowadza się wtedy do układu y 1 (t) = αy 1 βy 2 y 2 (t) = βy 1 + αy 2.
82 Równanie (14) sprowadza się wtedy do układu y 1 (t) = αy 1 βy 2 y 2 (t) = βy 1 + αy 2. Przechodząc do współrzędnych biegunowych y 1 = r cos θ, y 2 = r sin θ mamy r cos θ rθ sin θ = αr cos θ βr sin θ r sin θ + rθ cos θ = βr cos θ + αr sin θ.
83 Po a) pomnożeniu pierwszego równania przez cos θ, drugiego równania przez sin θ i dodaniu stronami oraz b) pomnożeniu pierwszego równania przez sin θ, drugiego równania przez cos θ i odjęciu stronami otrzymujemy
84 Po a) pomnożeniu pierwszego równania przez cos θ, drugiego równania przez sin θ i dodaniu stronami oraz b) pomnożeniu pierwszego równania przez sin θ, drugiego równania przez cos θ i odjęciu stronami otrzymujemy r (t) = αr którego rozwiązaniem jest θ (t) = β,
85 Po a) pomnożeniu pierwszego równania przez cos θ, drugiego równania przez sin θ i dodaniu stronami oraz b) pomnożeniu pierwszego równania przez sin θ, drugiego równania przez cos θ i odjęciu stronami otrzymujemy r (t) = αr θ (t) = β, którego rozwiązaniem jest r(t) = r0 e αt θ(t) = θ 0 + βt.
86 Po a) pomnożeniu pierwszego równania przez cos θ, drugiego równania przez sin θ i dodaniu stronami oraz b) pomnożeniu pierwszego równania przez sin θ, drugiego równania przez cos θ i odjęciu stronami otrzymujemy r (t) = αr θ (t) = β, którego rozwiązaniem jest r(t) = r0 e αt θ(t) = θ 0 + βt. Równanie orbit w przestrzeni fazowej jest postaci r(θ) = r 0 e α β (θ θ 0).
87 IIIA. Jeśli α = 0, to orbity są koncentrycznymi okręgami o promieniu r 0. Punkt krytyczny X = 0 nazywany jest środkiem. Jest to punkt stabilny, ale nie asymptotycznie stabilny.
88 IIIB. Jeśli α 0, to orbity są spiralami. W zależności od znaku α mamy
89 IIIB. Jeśli α 0, to orbity są spiralami. W zależności od znaku α mamy spiralę zwijającą się do punktu X = 0, punkt krytyczny X = 0 nazywamy ogniskiem stabilnym - gdy α < 0, spiralę rozwijającą się od punktu X = 0, punkt krytyczny X = 0 nazywamy ogniskiem niestabilnym - gdy α > 0.
90 IIIB. Jeśli α 0, to orbity są spiralami. W zależności od znaku α mamy spiralę zwijającą się do punktu X = 0, punkt krytyczny X = 0 nazywamy ogniskiem stabilnym - gdy α < 0, spiralę rozwijającą się od punktu X = 0, punkt krytyczny X = 0 nazywamy ogniskiem niestabilnym - gdy α > 0.
91 Powyższa klasyfikacja dotyczyła układów, dla których det A 0. Jeśli det A = 0, to przynajmniej jedna wartość własna macierzy A jest równa 0. Możliwe są dwa przypadki.
92 Jeśli rz A = 0, to A = 0 i każdy punkt jest punktem krytycznym. Równanie (14) jest w tym przypadku trywialne X (t) = 0. Jego rozwiązanie jest stałe X (t) = X 0.
93 Jeśli rz A = 1, to istnieje cała prosta złożona z punktów krytycznych. W tym przypadku równanie charakterystyczne przyjmuje postać p(λ) = λ (λ tr A).
94 Jeśli teraz λ 1 0 i λ 2 = 0, to postacią kanoniczną macierzy A jest [ ] λ1 0 J =, 0 0.
95 Jeśli teraz λ 1 0 i λ 2 = 0, to postacią kanoniczną macierzy A jest [ ] λ1 0 J =, 0 0. a równanie (14) jest postaci y 1 (t) = λ 1 y 1 y 2 (t) = 0.
96 Jeśli teraz λ 1 0 i λ 2 = 0, to postacią kanoniczną macierzy A jest [ ] λ1 0 J =, 0 0. a równanie (14) jest postaci y 1 (t) = λ 1 y 1 y 2 (t) = 0. Punktami krytycznymi są wszystkie punkty osi Oy 2 (y 1 = 0). Rozwiązania tego równania y1 (t) = c 1 e λ 1t y 2 (t) = c 2 tworzą portret fazowy w postaci układu prostych poziomych.
97 Dla λ 1 < 0 punkty krytyczne są stabilne, dla λ 1 > 0 punkty krytyczne są niestabilne.
98 Jeśli λ 1 = λ 2 = 0, to postacią kanoniczną macierzy A jest [ ] 0 0 J =, 1 0.
99 Jeśli λ 1 = λ 2 = 0, to postacią kanoniczną macierzy A jest [ ] 0 0 J =, 1 0. a równanie (14) jest postaci y 1 (t) = 0 y 2 (t) = y 1.
100 Jeśli λ 1 = λ 2 = 0, to postacią kanoniczną macierzy A jest [ ] 0 0 J =, 1 0. a równanie (14) jest postaci y 1 (t) = 0 y 2 (t) = y 1. Punktami krytycznymi są wszystkie punkty osi Oy 2.
101 Rozwiązania tego równania y1 (t) = c 1 y 2 (t) = c 2 e t
102 Rozwiązania tego równania y1 (t) = c 1 y 2 (t) = c 2 e t tworzą portret fazowy w postaci układu prostych pionowych.
103 Przykład 6. Znaleźć portret fazowy układu X (t) = AX, gdzie [ ] 7 4 A =. 6 7
104 Przykład 6. Znaleźć portret fazowy układu X (t) = AX, gdzie [ ] 7 4 A =. 6 7 Wielomian charakterystyczny p(λ) = λ 2 25 ma pierwiastki λ 1 = 5, λ 2 = 5. Odpowiadają im wektory własne [ ] [ ] [ ] v 1 =, v 2 =, stąd Q = Ponieważ λ 1 λ 2 < 0, zatem X = 0 jest siodłem.
105 Przykład 6. Znaleźć portret fazowy układu X (t) = AX, gdzie [ ] 7 4 A =. 6 7 Wielomian charakterystyczny p(λ) = λ 2 25 ma pierwiastki λ 1 = 5, λ 2 = 5. Odpowiadają im wektory własne [ ] [ ] [ ] v 1 =, v 2 =, stąd Q = Ponieważ λ 1 λ 2 < 0, zatem X = 0 jest siodłem. Równanie [ w ] 5 0 zmiennych Y jest postaci Y (t) = JY, gdzie J =, a 0 5 jego rozwiązanie: y1 (t) = c 1 e 5t y 2 (t) = c 2 e 5t.
106 Na płaszczyźnie fazowej Oy 1 y 2 równanie orbit przyjmuje postać y 1 y 2 = c.
107 Na płaszczyźnie fazowej Oy 1 y 2 równanie orbit przyjmuje postać y 1 y 2 = c. Rozwiązanie na płaszczyźnie Ox 1 x 2 jest postaci [ ] [ ] [ ] x1 1 2 y1 =, x y 2 czyli x1 (t) = c 1 e 5t + 2c 2 e 5t x 2 (t) = 3c 1 e 5t + c 2 e 5t. Portrety fazowe odpowiednio na płaszczyźnie fazowej Oy 1 y 2 oraz Ox 1 x 2 ( rys.11, rys.12 ).
108 Przykład 7. Znaleźć portret fazowy układu X (t) = AX, gdzie [ ] 3 2 A =. 2 1
109 Przykład 7. Znaleźć portret fazowy układu X (t) = AX, gdzie [ ] 3 2 A =. 2 1 Wielomian charakterystyczny p(λ) = (λ + 1) 2 ma pierwiastek λ 0 = 1. Odpowiadają mu wektory własne v 1, v 2 takie, że [ ] 1 (A λ 0 I )v 1 = 0 stąd v 1 = 1 oraz (A λ 0 I )v 2 = v 1 stąd v 2 = [ 1 3/2 ].
110 Zatem [ 1 1 ] [ 1 1 ] Q = 1 3/2 oraz J = Q 1 AQ = 0 1. Punkt X = 0 jest węzłem stabilnym.
111 Przykład 8. Znaleźć portret fazowy układu X (t) = AX, gdzie [ ] 1 4 A =. 9 1
112 Przykład 8. Znaleźć portret fazowy układu X (t) = AX, gdzie [ ] 1 4 A =. 9 1 Wielomian charakterystyczny p(λ) = λ 2 35 ma pierwiastki λ 1 = 35i, λ 2 = 35i. Odpowiadają im wektory własne [ ṽ 1 = ] [ 4 1 oraz ṽ 2 = 35i ] i
113 Niech v 1 = Re ṽ 2 oraz v 2 = Im ṽ 2, więc v 1 = [ 4 1 ] oraz v 2 = [ ] Zatem [ 4 0 Q = 1 35 ] oraz J = Q 1 AQ = [ ]. Punkt X = 0 jest środkiem.
114 Badanie portretów fazowych układów liniowych o stałych współczynnikach można wykorzystać do badanie portretów fazowych układów nieliniowych autonomicznych. O dwóch trajektoriach będących rozwiązaniami równań X (t) = AX oraz Y (t) = BY mówimy, że są topologicznie sprzężone, jeśli istnieje homeomorfizm 1 przekształcający jedną trajektorię na drugą. 1 odwzorowanie h : A B jest homeomorfizmem zbioru A na zbiór B jeśli h jest funkcją ciągłą i różnowartościową zbioru A na zbiór B oraz h 1 jest funkcją ciągłą.
115 Tw. Niech dane będą dwa równania liniowe X (t) = AX oraz Y (t) = BY. Jeśli 1 wszystkie wartości własne macierzy A i B mają niezerową część rzeczywistą, 2 liczba wartości własnych z dodatnią częścią rzeczywistą macierzy A i B jest taka sama, 3 liczba wartości własnych z ujemną częścią rzeczywistą macierzy A i B jest taka sama, to równania te mają trajektorie topologicznie sprzężone.
116 Niech dany będzie układ autonomiczny X (t) = F (X ) i niech X = 0 będzie jego punktem krytycznym.
117 Niech dany będzie układ autonomiczny X (t) = F (X ) i niech X = 0 będzie jego punktem krytycznym.linearyzacją tego układu w otoczeniu punktu X = 0 nazywamy układ liniowy o stałych współczynnikach X (t) = AX taki, że układ X (t) = F (X ) można zapisać w postaci X (t) = AX + g(x ), (15) gdzie g(x ) jest funkcją ciągłą spełniającą warunek g(x ) lim = 0. X 0 X
118 Jeśli X = 0 nie jest punktem krytycznym układu X (t) = F (X ), ale X = X 0 jest punktem krytycznym, to linearyzację przeprowadzamy wokół tego punktu.
119 Jeśli X = 0 nie jest punktem krytycznym układu X (t) = F (X ), ale X = X 0 jest punktem krytycznym, to linearyzację przeprowadzamy wokół tego punktu. Odpowiednikiem równania (15) jest X (t) = A(X X 0 ) + g(x ), gdzie g(x ) jest funkcją ciągłą spełniającą warunek lim X X 0 0 g(x ) X X 0 = 0.
120 Tw. Grobmana-Hartmana Jeśli układowi autonomicznemu X (t) = F (X ) odpowiada układ zlinearyzowany X (t) = AX i wszystkie wartości własne macierzy A mają niezerowe części rzeczywiste, to portret fazowy układu X (t) = F (X ) jest w otoczeniu punktu krytycznego X = 0 homeomorficzny z portretem fazowym układu zlinearyzowanego X (t) = AX.
121 Dla układów nieliniowych mamy więc analogiczną klasyfikację punktów krytycznych jak dla układów liniowych. Jeśli punkt X = 0 jest węzłem, ogniskiem lub siodłem układu zlinearyzowanego, to jest on także węzłem, ogniskiem lub siodłem układu wyjściowego. Ponadto, jeśli wszystkie trajektorie w dostatecznie małym otoczeniu punktu krytycznego X = 0 równania X (t) = F (X ) są krzywymi zamkniętymi otaczającymi ten punkt, to taki punkt nazywamy środkiem.
122 Przykład 9. Układ x 1 (t) = x 1 + 4x 2 + e x 1 1 x 2 (t) = x 2 x 2 e x 1 ma jedyny punkt krytyczny X = 0 (czyli x 1 = x 2 = 0).
123 Układ zlinearyzowany jest postaci x 1 (t) = 2x 1 + 4x 2 x 2 (t) = 2x 2. Wartościami własnymi są liczby λ 1 = 2, λ 2 = 2. Stąd punkt X = 0 jest siodłem.
124 Przykład 10. Układ x 1 (t) = ln(1 x 2 + x 2 2 ) x 2 (t) = 3 x x 2 ma punkty krytyczne (3, 0), ( 3, 0), (1, 1), ( 1, 1).
125 Układ zlinearyzowany w otoczeniu punktu (3, 0) jest postaci x 1 (t) = x 2 x 2 (t) = x x Wartościami własnymi są liczby λ 1 = , λ 2 = Stąd punkt (3, 0) jest siodłem.
126 Układ zlinearyzowany w otoczeniu punktu (1, 1) jest postaci x 1 (t) = x 2 1 x 2 (t) = 1 3 x x Wartościami własnymi są liczby λ 1 = 1, λ 2 = 1 3. Stąd punkt (1, 1) jest węzłem stabilnym. Analogicznie badamy dwa pozostałe punkty.
127 Przykład 11. Dane są dwa układy x 1 (t) = x 2 + x 1 (x x 2 2 ) x 2 (t) = x 1 + x 2 (x x 2 2 ) oraz x 1 (t) = x 2 x 1 (x x 2 2 ) x 2 (t) = x 1 x 2 (x x 2 2 )
128 Przykład 11. Dane są dwa układy x 1 (t) = x 2 + x 1 (x x 2 2 ) x 2 (t) = x 1 + x 2 (x x 2 2 ) oraz x 1 (t) = x 2 x 1 (x x 2 2 ) x 2 (t) = x 1 x 2 (x x 2 2 ) Oba układy mają taką samą linearyzację wokół jedynego punktu krytycznego X = 0: x 1 (t) = x 2 x 2 (t) = x 1.
129 Przykład 11. Dane są dwa układy x 1 (t) = x 2 + x 1 (x x 2 2 ) x 2 (t) = x 1 + x 2 (x x 2 2 ) oraz x 1 (t) = x 2 x 1 (x x 2 2 ) x 2 (t) = x 1 x 2 (x x 2 2 ) Oba układy mają taką samą linearyzację wokół jedynego punktu krytycznego X = 0: x 1 (t) = x 2 x 2 (t) = x 1. Dla równania zlinearyzowanego X = 0 jest środkiem gdyż λ 1 = i, λ 2 = i, ale Re λ 1 = Re λ 2 = 0!
130 Po przejściu do współrzędnych biegunowych mamy odpowiednio w obu przypadkach r (t) = r 3 θ (t) = 1 oraz r (t) = r 3 θ (t) = 1 Zatem punkt X = 0 jest ogniskiem niestabilnym i ogniskiem stabilnym odpowiednio.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowoII. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.
II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoUkłady autonomiczne. Rozdział Stabilność w sensie Lapunowa. Przedmiotem analizy w tym rozdziale będą układy równań autonomicznych
Rozdział 5 Układy autonomiczne 5.1 Stabilność w sensie Lapunowa Przedmiotem analizy w tym rozdziale będą układy równań autonomicznych ẋ = f(x), (5.1) z funkcją f : Q R m, gdzie Q jest otwartym zbiorem
Bardziej szczegółowoZadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych
Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych [ ] e Zadanie 1 Pokazać, że X(t) = 2t cos t sin t e 2t jest specjalną macierzą fundamentalną w sin t cos t [ 2 cos chwili τ = 0 układu
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Marta Zelmańska
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Marta Zelmańska Toruń 009 1 Rozdział 1 Wstęp Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie: F (t, x, x, x,..., x (n) ) = 0 (1.1) Rozwiązaniem równania
Bardziej szczegółowoϕ(t k ; p) dla pewnego cigu t k }.
VI. Trajektorie okresowe i zbiory graniczne. 1. Zbiory graniczne. Rozważamy równanie (1.1) x = f(x) z funkcją f : R n R n określoną na całej przestrzeni R n. Będziemy zakładać, że funkcja f spełnia założenia,
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoWykład Analiza jakościowa równań różniczkowych
Na podstawie książki J. Rusinka, Równania różniczkowe i różnicowe w zarządzaniu, Oficna Wdawnicza WSM, Warszawa 2005. 21 maja 2012 Definicja Stabilność Niech = F (x, ) będzie równaniem różniczkowm. Rozwiązanie
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoTwierdzenie 2: Własności pola wskazujące na istnienie orbit
Cykle graniczne Dotychczas zajmowaliśmy się głównie znajdowaniem i badaniem stabilności punktów stacjonarnych. Wiele ciekawych procesów ma naturę cykliczną. Umiemy już sobie poradzić z cyklicznością występującą
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem
Bardziej szczegółowoRozdział 2. Krzywe stożkowe. 2.1 Elipsa. Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie
Rozdział Krzywe stożkowe Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie x + By + Cxy + Dx + Ey + F = 0. (.) W zależności od relacji pomiędzy współczynnikami otrzymujemy elipsę,
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e
Bardziej szczegółowoStabilność II Metody Lapunowa badania stabilności
Metody Lapunowa badania stabilności Interesuje nas w sposób szczególny system: Wprowadzamy dla niego pojęcia: - stabilności wewnętrznej - odnosi się do zachowania się systemu przy zerowym wejściu, czyli
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowo5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu
5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie
Bardziej szczegółowoWykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Procesy wykładniczego wzrostu i spadku (np populacja bakterii, rozpad radioaktywny, wymiana ciepła) można modelować równaniem
Bardziej szczegółowo27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i
Bardziej szczegółowoBiotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1
Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoUniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki
Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Stabilność rozwiązań równań różniczkowych w ujęciu lokalnych układów dynamicznych. Adam Kanigowski Toruń 2010 1 Spis treści 1 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowoLokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane
Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoKrzywe stożkowe. Algebra. Aleksander Denisiuk
Algebra Krzywe stożkowe Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Algebra p. 1 Krzywe stożkowe
Bardziej szczegółowo1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0
Z43: Algebra liniowa Zagadnienie: przekształcenie liniowe, macierze, wyznaczniki Zadanie: przekształcenie liniowe, jądro i obraz, interpretacja geometryczna. Przestrzeń liniowa Już w starożytności człowiek
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowoGeometria Analityczna w Przestrzeni
Algebra p. 1/25 Algebra Geometria Analityczna w Przestrzeni Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowoWykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2
Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana Niech A - macierz kwadratowa stopnia n Jak obliczyć np A 100? a 11 0 0 0 a 22 0 Jeśli A jest macierzą diagonalną tzn A =, to Ak = 0 0 a nn Niech B =
Bardziej szczegółowoTydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoRównania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem
Rozdział 6 Równania liniowe 6 Przekształcenia liniowe Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem F Definicja 6 Funkcję f : X Y spełniającą warunki: a) dla dowolnych x,
Bardziej szczegółowo. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone
Bardziej szczegółowoWektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy
Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 217/218
Bardziej szczegółowo13. Równania różniczkowe - portrety fazowe
13. Równania różniczkowe - portrety fazowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - portrety fazowe 1 /
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2017 1 / 10 Definicja Funkcja
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1
Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoPrzekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej
Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przygotowanie: Dariusz Pazderski Liniowe przekształcenie równania stanu Rozważmy liniowe równanie stanu i równanie wyjścia układu niesingularnego
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowo18. Wprowadzenie do metod analizy i syntezy układów
18. Wprowadzenie do metod analizy i syntezy kładów Metody analizy kładów nieliniowych dzielimy na dwie grpy: przybliżone i ścisłe. 1. Metody przybliżone a) linearyzacja przez rozwinięcie w szereg Taylora,
Bardziej szczegółowoKinematyka: opis ruchu
Kinematyka: opis ruchu Fizyka I (B+C) Wykład IV: Ruch jednostajnie przyspieszony Ruch harmoniczny Ruch po okręgu Klasyfikacja ruchów Ze względu na tor wybrane przypadki szczególne prostoliniowy, odbywajacy
Bardziej szczegółowo2. Kombinacja liniowa rozwiązań zeruje się w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się w każdym punkcie.
Wniosek 1 Rozpatrzmy układ równań postaci: y 1 = a 11 (x)y 1 + + a 1n (x)y n y 2 = a 21 (x)y 1 + + a 2n (x)y n y n = a n1 (x)y 1 + + a nn (x)y n (1) o współczynnikach ciągłych w przedziale J 1 Rozwiązanie
Bardziej szczegółowoALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Rozdział 10
Rozdział 10 Formy kwadratowe Rozważmy rzeczywistą macierz symetryczną A R n n Definicja 101 Funkcję h : R n R postaci h (x) = x T Ax (101) nazywamy formą kwadratową Macierz symetryczną A występującą w
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowoWykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowo5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 1 Zadanie Definicja 1.1. (zadanie) Zadaniem nazywamy zagadnienie znalezienia rozwiązania x spełniającego równanie F (x, d) = 0, gdzie d jest zbiorem danych (od których zależy rozwiązanie x), a F
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 15
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 15 Niech r ( t ) [ x( t), y( t), z( t)], t I ( r ( t ) x( t) i y( t) j z( t) k, t I ) będzie równaniem wektorowym krzywej w R 3. Definicja Krzywą o równaniu r ( t ) [ a cost,
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Notatki z wykładu.
Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument
Bardziej szczegółowoBaza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Bardziej szczegółowo2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
2. Równania o rozdzielonych zmiennych 2 1 2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie różniczkowe
Bardziej szczegółowoKrzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola
Krzywe stożkowe Lekcja VII: Hiperbola Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Czym jest hiperbola? Hiperbola jest krzywą stożkową powstałą przez przecięcie stożka płaszczyzną pod kątem 0 β < α (gdzie
Bardziej szczegółowoWykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie
Wykład 14 i 15 Równania różniczkowe Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (1) gdzie: y = y(x) niewiadoma funkcja zmiennej rzeczywistej
Bardziej szczegółowoUkłady współrzędnych
Układy współrzędnych Układ współrzędnych matematycznie - funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni skończony ciąg (krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu. Układ współrzędnych
Bardziej szczegółowo3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (II)
Wykład 5 Równanie przewodnictwa cieplnego (II) 5.1 Metoda Fouriera dla pręta ograniczonego 5.1.1 Pierwsze zagadnienie brzegowe dla pręta ograniczonego Poszukujemy rozwiązania równania przewodnictwa spełniającego
Bardziej szczegółowo1 Geometria analityczna
1 Geometria analityczna 1.1 Wektory na płaszczyźnie Wektor to uporządkowana para punktów, z których pierwszy nazywa się początkiem, a drugi końcem wektora. Jeżeli wprowadzimy prostokątny układ współrzędnych,
Bardziej szczegółowoSekantooptyki owali i ich własności
Sekantooptyki owali i ich własności Magdalena Skrzypiec Wydział Matematyki, Fizyki i Informatyki Uniwersytet Marii Curie-Skłodowskiej 19 października 2009r. Informacje wstępne Definicja Owalem nazywamy
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych ozważmy układ n równań liniowych o współczynnikach a ij z n niewiadomymi i : a + a +... + an n d a a an d a + a +... + a n n d a a a n d an + an +... + ann n d n an an a nn n d
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe II rzędu
Równania różniczkowe liniowe II rzędu Definicja równania różniczkowego liniowego II rzędu Warunki początkowe dla równania różniczkowego II rzędu Równania różniczkowe liniowe II rzędu jednorodne (krótko
Bardziej szczegółowo13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
Bardziej szczegółowoKURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale
Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy
Bardziej szczegółowoCałka podwójna po prostokącie
Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające
Bardziej szczegółowo3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B
1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =
Bardziej szczegółowoIII. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 1. Pojęcia wstępne Przykład 1.1. (Rozpad substancji promieniotwórczej ) Z doświadczeń wiadomo, że prędkość rozpa pierwiastka promieniotwórczego jest ujemna i proporcjonalna
Bardziej szczegółowoFunkcja liniowa i prosta podsumowanie
Funkcja liniowa i prosta podsumowanie Definicja funkcji liniowej Funkcja liniowa określona jest wzorem postaci: y = ax + b, x R, a R, b R a, b współczynniki funkcji dowolne liczby rzeczywiste a- współczynnik
Bardziej szczegółowowszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów
KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją
Bardziej szczegółowoWykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2
Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych
Bardziej szczegółowoPojęcie funkcji. Funkcja liniowa
Pojęcie funkcji. Funkcja liniowa dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Wykład 2; rok akademicki 2016/2017 Zależności funkcyjne w naukach przyrodniczych Rozwój algebry
Bardziej szczegółowoEfekt motyla i dziwne atraktory
O układzie Lorenza Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja kopernika Toruń, 3 grudnia 2009 Spis treści 1 Wprowadzenie Wyjaśnienie pojęć 2 O dziwnych atraktorach 3 Wyjaśnienie pojęć Dowolny
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych
Algebra liniowa Macierze i układy równań liniowych Własności wyznaczników det I = 1, det(ab) = det A det B, det(a T ) = det A. Macierz nieosobliwa Niech A będzie macierzą kwadratową wymiaru n n. Mówimy,
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także
Bardziej szczegółowo6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9 Przykład z fizyki Rozpatrzmy szeregowe połączenie dwu elementów elektronicznych: opornika i diody półprzewodnikowej.
Bardziej szczegółowo