Komputer kwantowy Zasady funkcjonowania. Dr hab. inż. Krzysztof Giaro Politechnika Gdańska Wydział ETI

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Komputer kwantowy Zasady funkcjonowania. Dr hab. inż. Krzysztof Giaro Politechnika Gdańska Wydział ETI"

Marcin Janiszewski
4 lat temu
Przeglądów:

1 Komputer kwantowy Zasady funkcjonowana Dr hab. nż. Krzysztof Garo Poltechnka Gdańska Wydzał ETI

2 Oblczena kwantowe. R. Feynman [985] symulację zachowana układu kwantowego należy przeprowadzć na "maszyne" kwantowej. D. Deutsch [985,989] modele oblczeń: kwantowa maszyna Turnga "seć" q bramek. P. Shor [995] perwszy kwantowy algorytm: faktoryzacja. Czas O(n 3 ). L. Grover [996] wyszukwane spośród N elementów jednego o pewnej własnośc. Lczba sprawdzeń O(N / ).

3 Kryptografa kwantowa. Protokoły zdalnego uzgadnana klucza. Użytkowncy A B chcą ustalć wspólny losowy cąg bnarny (klucz) mogący posłużyć do bezpecznego kodowana korespondencj transmtowanej kanałem publcznym. Zasady fzyk kwantowej gwarantują poufność (podsłuch wykluczony) ewentualna ngerencja osoby trzecej wprowadza obserwowalne zaburzene wdoczne dla A B. BB84: C. Bennett, G. Brassard [984] Z wykorzystanem stanów splątanych, A. Ekert [99] Perwsze zastosowana komercyjne Bty reprezentują dwa rodzaje polaryzacj fotonów przesyłanych śwatłowodam. Obecny zasęg rzędu km.

4 Fzyka klasyczna a kwantowa Fzyka klasyczna zgodna z ntucją wzja śwata, determnzm: dalsze losy cząstk są jednoznaczne wyznaczone przez jej beżące położene pęd. Fzyka kwantowa prawa natury okazują swój necodzenny, probablstyczny charakter, zasada neoznaczonośc (Hesenberg):. ne można jednocześne wyznaczyć położena pędu cząstk,. ne ma delkatnych pomarów, obserwacja zaburza układ 3. uzyskwane wynk mają charakter losowy.

5 Fzyka klasyczna a kwantowa Przykład. Ruch cząstk w zewnętrznym polu. Obraz klasyczny: Obraz kwantowy: współrzędne (x,x,x 3 ), zespolona funkcja ch wartośc zmenają sę falowa (x,x,x 3 ), w czase zgodne z zmena sę ona w czase równanam ruchu zgodne z równanem (determnzm). Schrödngera (determnzm). x t,,3. V ( x, x x, x 3 m ), t h H (x,x,x 3 ) gęstość prawdopodobeństwa wykryca cząstk w punkce (losowość).

6 Stan układu kwantowego, przestrzeń stanów Postulat I. Z układem fzycznym zwązana jest tzw. przestrzeń Hlberta: przestrzeń lnowa nad całem lczb zespolonych z loczynem skalarnym. = * c +d =c +d = = b a b = a b cos = = a x b x +a y b y +a z b z a Iloczyn skalarny określa normę (długość) wektora : = /. Wektory, są ortogonalne ( ), gdy =.

7 Stan układu kwantowego, przestrzeń stanów Postulat I.... Układ może przyjmować stany będące wektoram jednostkowym jego przestrzen stanów. Przykład. Funkcje falowe cząstek. Przestrzeń L tworzą funkcje (x,x,x 3 ) całkowalne z kwadratem. Iloczyn skalarny = R3 [ (x,x,x 3 )*] (x,x,x 3 ) dx dx dx 3.

8 Stan układu kwantowego, przestrzeń stanów Przykład. Oblczena kwantowe przeprowadza sę wyłączne w przestrzenach skończonego wymaru! Układy o skończene wymarowej przestrzen stanów. Przestrzeń C n tworzą n tk zespolone. c c... c n Baza standardowa:..., d d...,..., n... d n Operacje lnowe: c c... c c... c cc cc... n cc n c c... c n j j n n d d... d n * c j d j c j c c... c n d d d n

9 Stan układu kwantowego, przestrzeń stanów Postulat II. Ewolucja czasowa zolowanego układu kwantowego jest determnstyczna. Zmany stanu w czase opsuje operator U(t):L L (t) = U(t) () jest on lnowy: U(t)(c +d ) = cu(t) +du(t) untarny (ne zmena loczynu skalarnego): U(t) U(t) =

10 Stan układu kwantowego, przestrzeń stanów Postulat III. Pomar kwantowy. Badamy pewną welkość fzyczną. Każdej możlwej jej wartośc w odpowada lnowa podprzestrzeń stanów W L, dla których welkość ta ma określoną wartość równą w, przestrzene odpowadające różnym wartoścom w są prostopadłe (W W j ), w j

11 Stan układu kwantowego, przestrzeń stanów Postulat III. Pomar kwantowy.... nech stan = +, gdze W, W. Dokonany przez obserwatora pomar welkośc fzycznej zwróc wynk w z prawdopodobeństwem równym, następuje wtedy przeskok kwantowy. W. Stany ortogonalne są całkowce rozróżnalne.

12 Bty bramk kwantowe Bt kwantowy (qbt) układ kwantowy o dwuwymarowej przestrzen stanów, konkretny stan takego układu, wektor z C. Stany bazowe:, oczywśce. Dopuszczalnym stanem btu kwantowego jest dowolny wektor jednostkowy ( + =)

13 Bty bramk kwantowe Bt kwantowy (qbt) Dopuszczalnym stanem btu kwantowego jest dowolny wektor jednostkowy ( + =) Pomar stanu qbtu przez obserwatora: prawdopodobeństwo odczytana dla qbtu w stane ( przeskok ) wynos =. dla prawdopodobeństwo przeskoku wynos =.

14 Bty bramk kwantowe Co można robć z btam kwantowym? Łączyć w rejestry kwantowe. Postulat IV. Układ złożony. Jeśl podukład I ma przestrzeń stanów o k wymarach a podukład II o l wymarach, to przestrzeń stanów układu złożonego z obu tych częśc ma wymar kl. Przykład. Stan układu złożonego wyznaczamy za pomocą tzw. loczynu tensorowego. Jeśl =[c,...,c k ] T, =[d,...,d l ] T, to całość jest w stane =[c T,...,c k T ] T = = [c d, c d,..., c d l, c d, c d,..., c d l,... c k d, c k d,...,c k d l ] T.

15 Bty bramk kwantowe Rejestr btowy ma 4 wymarową przestrzeń stanów. Baza: Stan rejestru ma postać: ( =),,, Co można robć z btam kwantowym? Łączyć w rejestry kwantowe. Jak jest stan rejestru jako całośc? Przykład. Rozważamy dwa q bty w stanach:,

16 Bty bramk kwantowe Rejestr n btowy ma n wymarową przestrzeń stanów. Baza,,..., n, przy czym: = n n... = ( j {,}) pozycja pozycja pozycja pozycja n pozycja n gdze jest lczbą o kolejnych btach rozwnęca dwójkowego: n, n,...,.

17 Bty bramk kwantowe Jeden stan może być lnową superpozycją welu różnych klasyczne rozumanych wartośc rejestru:... n n n Pomar wszystkch btów rejestru zwróc lczbę z prawdopodobeństwem (przeskok ).

18 Bty bramk kwantowe Przykład. Stan EPR (Ensten-Podolsky-Rosen) ( ) E P R Merzymy drug bt rejestru. wartośc odpowada podprzestrzeń rozpęta na,, wartośc odpowada podprzestrzeń rozpęta na,.?? Z prawd. ½ uzyskujemy ( + ), z prawd. ½ otrzymamy ( + ). Wynk losowy, ale zawsze oba bty ustawą sę jednakowo!

19 Bty bramk kwantowe Proces fzyczny przekształca stany według pewnego operatora U(t). Jest on lnowy untarny. Bramka kwantowa ustalone zjawsko fzyczne mające wpływ na jeden lub klka btów rejestru kwantowego, dowolny lnowy operator untarny dzałający w przestrzen stanów klku q btów. Przykład. Negacja klasyczna NOT =, NOT =, NOT

20 Bty bramk kwantowe Przykład. Tego klasyczne zrobć sę ne da: NOT NOT NOT NOT Przykład. Bramka Hadamarda Hd Hd Hd ( ( ) ) ( {,}) Hd =Id

21 Bty bramk kwantowe Przykład. Bramka qbtowa CN. CN NOT Czyl dla x,y {,} mamy CN x,y = = x,x y. Przykład. Najprostszy program kwantowy. Jak zrealzować zamanę stanu dwóch q qbtów? SWAP = SWAP NOT NOT NOT

22 Bty bramk kwantowe Ogranczena bramek kwantowych lnowość, untarność, untarność mplkuje odwracalność. Przykład. (Non Clone Theorem). Ne można kopować neznanego stanu jednego qbtu na drug. Copy = dla wszystkch C. Dowód. Copy Copy ( + ) = = Copy + Copy = +

23 Algorytm kwantowy Struktura procedury kwantowej.. Oblczena prowadzone są w rejestrze złożonym z q btów (podrejestry: wejścowy, wyjścowy, pomocnczy) start= Wprowadzene danych n= dana Układ poddajemy dzałanu pewnej ser bramek kwantowych stop= j j dana wynk j resztk j 4. Pomar wartośc btów (algorytm probablstyczny) out= dane wynk j resztk j

24 Algorytm kwantowy Na czym polega sła algorytmów kwantowych? n= dana (3) stop= j j dana wynk j resztk j Lnowość algorytmu kwantowe zrównoleglene n, = ( dana ) (3) stop, = j,j dana wynk,j resztk,j W tym samym czase możemy przeprowadzć operacje oblczenowe tak dla jednej danej wejścowej, jak dla superpozycj welu różnych wejść! Problem: jak odzyskać rezultaty z superpozycj???

25 Algorytm Grovera Problem: Dany jest zbór Q o rozmarze Q =N= n oblczalna f:q {,} taka, że q f(q)=. funkcja Znajdź ten unkalny element q Q. Algorytm probablstyczny Grovera znajduje element z prawdopodobeństwem wększym od /N wykonując oblczene wartośc funkcj f tylko O(N / ) razy. Algorytm klasyczny wymagałby (N) sprawdzeń.

26 Algorytm Grovera Rejestr n btowy przechowuje numery elementów z Q.. Ustaw rejestr w stane wyzerowanym pocz= n n... =. Wykonaj na każdym jego bce bramkę Hadamarda Hd [ ( )]... [ do rejestru wpsalśmy superpozycję wszystkch możlwych numerów n-btowych! ( )] N N

27 Algorytm Grovera Rejestr n btowy przechowuje numery elementów z Q. [ ( )]... [ ( )] N N 3. Powtarzaj kolejne teracje: gdze operatory: =, k+=ba k A = q q, B = 4. Zakończ dla k= /4arcsn(N / ) N / /4. Zmerz wartośc btów rejestru odczytując szukane q.

28 Algorytm Grovera Jak dzałają A, B? ) ( ) ( N f N A ) ( ) ( N sred N N j N N j N N B q A q B q Dlaczego algorytm Grovera dzała? k ta teracja: a k współczynnk przy q b k współczynnk przy, q. a =b =/N /. a k+ = ( /N)a k + ( /N)b k b k+ = ( /N)a k + ( /N)b k

29 Algorytm Grovera Dlaczego algorytm Grovera dzała? Rozwązane rekursj: a k =sn[(k+)arcsn(n / )] sn((k+)/n / ) b k = (N ) / cos[(k+)arcsn(n / )] Współczynnk a k przy szukanym q zachowuje sę jak snusoda. Należy przerwać pętlę z chwlą, gdy zblżymy sę do perwszego maksmum, tj. k= N / /4. Fakt. Prawdopodobeństwo sukcesu dla pomaru wykonanego po k teracjach algorytmu Grovera spełna a k > /N.

30 Algorytm Grovera Przeps na operator A: Wykorzystujemy dodatkowy q bt, algorytm oblczający f U f x = x f (x) oraz bramkę jednobtową z z z =, z = Stosując kolejno na x : U f, z na q bce pomocnczym, U f uzyskamy ( ) f(x) x.

31 Algorytm Grovera Przeps na B: B=Hd (n) R Hd (n), gdze Hd (n) to bramka Hd wykonana na każdym z n btów, a R dzałająca na cały rejestr ma postać: R Koszt jednej teracj: użyto O(n) bramek kwantowych oraz dwukrotne oblczono funkcję f (algorytm U f ).

Podobne dokumenty

I. Elementy analizy matematycznej

I. Elementy analizy matematycznej WSTAWKA MATEMATYCZNA I. Elementy analzy matematycznej Pochodna funkcj f(x) Pochodna funkcj podaje nam prędkość zman funkcj: df f (x + x) f (x) f '(x) = = lm x 0 (1) dx x Pochodna funkcj podaje nam zarazem