Minimalizacja kosztu mieszanek komponentów dostępnych w opakowaniach o ustalonych pojemnościach (ERRATA)

Transkrypt

1 Przemsław Kowalk Przemsław Kowalk Mmalzaca kosztu meszaek kompoetów dostępch w opakowaach o ustaloch poemoścach (ERRATA) Streszczee: Zadae stworzea atańsze meszak o zadae zawartośc składków złożoe z różch kompoetów est edm z astarszch zastosowań programowaa lowego. Jeżel zadae to est modelem wboru atańsze meszak produktów spożwczch, wówczas est azwae zadaem optmale det. Nezależe od tego, ake est przezaczee przgotowwae meszak, moża wróżć dwa podstawowe warat rozważaego zadaa: mmalzaca kosztów lośc meszak spełaące orm dotczące zawartośc składków wrażoe w wartoścach bezwzględch (zwkle edostkach mas lub eerg) oraz mmalzaca kosztu edostkowego meszak spełaące orm dotczące zawartośc składków wrażoe w wartoścach względch (p. edostk składka a edostkę meszak, procet). W prac pokazao modfkace obu waratów zadaa wboru optmale meszak poprzez uwzględee wmogu zakupu kompoetów włącze w porcach, którch welkość wka z poemośc ch opakowań. Modfkace te są zadaam meszaego programowaa lowego całkowtolczbowego. Rozważaa teoretcze został uzupełoe przkładowm zadaem. Słowa kluczowe: programowae lowe, meszae programowae lowe całkowtolczbowe, zadae optmale meszak, zadae optmale det, fukca celu, waruk ograczaące.. Wprowadzee - optmalzaca meszaek prz pomoc programowaa lowego Jedm z problemów spotkach w różch dzedzach ludzke aktwośc est zagadee sporządzea meszak różch weloskładkowch substac zwach dale kompoetam, która to meszaka ma ustalo skład tz. o ustaloą zawartość poszczególch składków (wrażoą aczęśce w edostkach mas). Rozwązae takego zadaa e est oczwste, zwłaszcza prz uwzględeu dodatkowego krterum optmalośc, akm est mmalzaca łączch kosztów meszak. Naprostsze modele matematcze wboru meszaek są zadaam programowaa lowego. Jedm z oczwstch przkładów optmalzac kosztów meszak est stworzee atańsze det spełaące orm zawartośc poszczególch składków, wlczaąc w to róweż wrtual składk, akm est wartość eergetcza pokarmu wrażoa aczęśce w klokalorach lub klodżulach. Zdefowae ak powże tzw. zadae optmale det (którego celem bła mmalzaca kosztów zakupu żwośc dla arm amerkańske) zostało sformułowae ako zadae programowaa lowego po raz perwsz w 945 roku, a w 947 zostało rozwązae prz pomoc metod smpleks. Oczwśce, plaowae meszaek e ogracza sę ede do produktów spożwczch może bć zastosowae także do meszaa dowolch kompoetów, w którch oddzelee od sebe poszczególch składków est bardze kosztowe skomplkowae ż wmeszae tchże kompoetów. W przpadku meszaek eżwoścowch często spotkam podeścem est mmalzaca kosztów ede edostk (p. klograma, to) meszak różch kompoetów, gd wmagae zawartośc składków w meszace podae są ako wartośc względe tz. lośc składków przpadaące a Stgler, G. J., The cost of subsstece, Joural of Farm Ecoomcs, Vol. 7, No. (Ma), 945, Datzg G. B., The Det Problem, Iterfaces, Vol. 0, No. 4, 990,

2 Mmalzaca kosztu meszaek kompoetów dostępch w opakowaach o ustaloch poemoścach wże wmeoą edostkę. 3 Drug warat optmalzac meszak bwa róweż stosowa w plaowau det, choć wmaga pewch modfkac orm spożca składków. 4 Wspólą cechą obu wmeoch powże waratów optmalzac meszak est założee podzelośc ch kompoetów, co ozacza w praktce możlwość zakupu tch kompoetów w dowolch loścach. Tmczasem w rzeczwstośc edą możlwoścą zakupu kompoetów może zakup ch w porcach, którch welkość wka z poemośc opakowań, w którch są sprzedawae. Fakt te pocąga za sobą dwe stote kosekwece. Po perwsze, możlw est wzrost kosztów zakupu kompoetów potrzebch do sporządzea meszak w stosuku do kosztu teoretcze aższego, co wka z koeczośc zakupu całkowte lczb opakowań kompoetów (a zatem potecale wększe lośc ż est faktcze potrzeba). Po druge, uwzględee dostępch welkośc opakowań powodue koeczość wprowadzea do model zmech całkowtolczbowch odzwercedlaącch lczbę zakupoch opakowań. Dodatkowo, optmalzaca w warace mmalzaca kosztu ede edostk meszak wmaga modfkac poprzez przekształcee w warat mmalzaca kosztu zadae lośc meszak. W rozdzałach 3, odpowedo, oba warat zadaa mmalzac kosztów meszak został sformułowae w wersach uwzględaącch dostępość opakowań kompoetów o określoch poemoścach. Warat perwsz został róweż zlustrowa przkładowm zadaem. W rozdzale 4 podae są wosk końcowe dotczące przedstawoch model.. Optmalzaca składu meszaek uwzględaąca welkość opakowań prz ormach zawartośc składków wrażoch w edostkach bezwzględch Perwszm z rozważach waratów optmalzac meszak weloskładkowch kompoetów est mmalzaca kosztu teże meszak prz ormach zawartośc składków wrażoch w edostkach bezwzględch (aczęśce w edostkach mas, ale też p. w edostkach eerg). W lteraturze to zagadee często est prezetowae ako tzw. zadae optmale det, czl zadae programowaa lowego polegaące a mmalzac kosztu meszak produktów spożwczch spełaącch orm spożca składków odżwczch oraz orm dotczące wartośc eergetcze pokarmu. Oczwśce praktcze zastosowae rozważaego modelu e ogracza sę do plaowaa det. Model matematcz zagadea dla rodzaów kompoetów meszak oraz m rodzaów składków moża przedstawć astępuąco. 5 Zmee decze to:,,,..., lość kompoetu -tego rodzau wchodzące w skład meszak. Parametr to: a,,,..., m,,,..., - zawartość składka -tego rodzau w ede edostce kompoetu -tego rodzau; b,,,..., m - mmala wmagaa zawartość składka -tego rodzau w meszace podaa ako ego lość w edostkach bezwzględch (masa, wartość eergetcza); c,,,..., - cea/koszt edostkow kompoetu -tego rodzau wchodzące w skład meszak. 3 Datzg G. B., Lear Programmg ad Etesos, The RAND Corporato, 963, str Thomso E., Nola J., UNEForm: a powerful feed formulato spreadsheet sutable for teachg or o-farm formulato, Amal Feed Scece ad Techolog, Volume 9, Issue 3, 00, Użte ozaczea oparte są a modelu dla zadaa optmale det pochodzącego z: Jędrzeczk Z., Kukuła K., Skrzpek J., Walkosz A.,: Badaa operace w przkładach zadaach, Wdawctwo Naukowe PWN, Warszawa 0, str.37.

3 Zadae programowaa lowego opsuące wbór optmale meszak to: c c... c m łącz koszt kompoetów Przemsław Kowalk prz ograczeach rzeczwste zawartośc składków mmale wmagae zawartośc składków w meszace w meszace a a... a b a a... a b a a... a b m m m 0, 0,..., 0 lośc kompoetów e mogą bć ueme. Oczwśce zbór waruków ograczaącch może bć poszerzo w marę potrzeb p. o góre orm zawartośc składków cz też góre /lub dole orm lośc kompoetów 6. Model ulega edakże zacze zmae, gd dodae est założee, że kompoet dostępe są w opakowaach zaweraącch odpowedo lośc s s,..., m, s tchże kompoetów. Podstawową różcą stae sę koeczość zakupu kompoetów w loścach będącch całkowtm welokrotoścam zawartośc opakowań. Różca ta sugerue, że zmee decze będą całkowtolczbowe - będą określał lczbę opakowań. Fakt te e oddae edak w peł stot problemu zakupu kompoetów w opakowaach. Rozwązae zadaa optmale meszak mus bowem prześć odpowedź e tlko a ptae, le opakowań poszczególch kompoetów ależ kupć, ale także, le ależ zużć kompoetów z opakowań, którch zawartość e est wkorzstaa w całośc. Dla skrócea zapsu będą stosowae astępuące term: pełe/epełe zużce/wkorzstae opakowaa w zaczeu pełe/epełe zużce/wkorzstae kompoetu zawartego w opakowau. Z podach wże powodów z każdm rodzaem kompoetu skoarzoe są trz zmee decze (moża zatem wróżć trz -elemetowe grup zmech):,,,..., zmee całkowtolczbowe zlczaące opakowaa kompoetu -tego rodzau wkorzstae w całośc (edostkam są sztuk opakowań);,,,..., zmee rzeczwste merzące pozom wkorzstaa zawartośc opakowaa kompoetu -tego rodzau ewkorzstaego w całośc (wartośc emaowae z przedzału [0,]); z,,,..., zmee bare (zeroedkowe) wskazuące cz edo z opakowań kompoetu -tego rodzau będze zużte częścowo (są to lczb sztuk opakowań zużtch częścowo). Parametr to: a,,,..., m,,,..., - zawartość składka -tego rodzau w ede edostce kompoetu -tego rodzau; b,,,..., m - mmala wmagaa zawartość składka -tego rodzau w meszace podaa ako ego lość w edostkach bezwzględch (masa, wartość eergetcza); k,,,..., - cea/koszt edostkow edego opakowaa kompoetu -tego rodzau wchodzące w skład meszak, s,,,..., - masa etto (masa zawartośc) edego opakowaa kompoetu -tego rodzau wchodzące w skład meszak (pomaąc edostk, est to stosuek welkośc opakowaa do edostk, w które merzo est kompoet). 6 Skora W. [red.], Badaa operace, Polske Wdawctwo Ekoomcze, Warszawa 008, str.8. 3

4 Mmalzaca kosztu meszaek kompoetów dostępch w opakowaach o ustaloch poemoścach Zadae optmalzace to zadae meszaego całkowtolczbowego programowaa lowego: k z ) k ( z )... k ( z ) m łącz koszt opakowań kompoetów ( prz ograczeach rzeczwste zawartośc składków mmale wmagae zawartośc w meszace składków w meszace a s ( ) a s ( )... a s ( b ) s ) as( )... as( ) a a ( b ) a s ( )... a s ( ) ms ( m,..., 0 4 m 0, 0 lczb opakowań kompoetów e mogą bć ueme,,..., - całkowte 0, 0,..., 0 stopeń zużca częścowo wkorzstach opakowań e może bć uem z, z,..., z - bare z, z,..., z stopeń zużca częścowo wkorzstach opakowań e może bć wększ ż (w przpadku, gd z - opakowae kompoetu -tego rodzau est wkorzstwae częścowo). Zadae. Przkładowe zadae optmale meszak z uwzględeem welkośc opakowań. Celem est mmalzaca kosztów zakupu opakowań kompoetów 6 rodzaów, z którch to kompoetów zostae stworzoa meszaka. Dae lczbowe został podae w tabel. Tabela. Dae lczbowe do zadaa. Kompoet b K K K3 K4 K5 K6 Poemośc opakowaa (mas etto kompoetu w kg) 0,4 0, 0,7 6 0,5 Ce za szt. opakowaa 0, 0,8 0,35 0,9 0,3 0,4 Składk kompoetów Zawartośc składków w kompoetach (g/kg) Mmale wmagae lośc składków s s s3 0,7 0,5, 3,7 3,6 5 s4 3, 3 3,5 4,5 0,3 5,7 7 s5 08, ,5 4,5 5, Źródło: Opracowae włase (dae fkce). Model matematcz do tego zadaa przestawa sę astępuąco:,( z ) 0,8( z )... 0,4( z ) m prz ograczeach 00,4( ) 950,( ) ,5( 6 6) ,4( ) 40,( )... 0,5( 6 6) 30 08,5 0,4( ) 70,( )... 5,850,5( 6 6) 365 0, 0,..., 6 0,,,..., - całkowte 6 0, 0,..., 6 0, z, z,..., z - bare, 6 z, z,..., 6 z6 m

5 Przemsław Kowalk Zadae zostało rozwązae prz pomoc dodatku Solver w Ecelu 007 z ustaweam Przm model low (użce metod smpleks) oraz Toleraca 0% (dokład wk optmalzac całkowtolczbowe). Wk został podae z dokładoścą do 4 mesc po przecku. Mmal koszt składków to,6. Solver zadue alteratwe rozwązaa podae w tabel. Tabela. Rozwązaa zadaa. Kompoet S S S3 S4 S5 S6 Rozwązae * Lczba w peł wkorzstach opakowań ( ) Stopeń użca częścowo wkorzstach * opakowań ( ) 0 0 0, Lczba wkorzstach opakowań ( ) z Rozwązae * Lczba w peł wkorzstach opakowań ( ) Stopeń użca częścowo wkorzstach * opakowań ( ) 0, ,87 0 Lczba wkorzstach opakowań ( ) Źródło: Opracowae włase. z Oba rozwązaa pozore są detcze wmagae est użce 3 opakowań kompoetu rodzau, opakowaa kompoetu 4 rodzau oraz użce 3 opakowań kompoetu 5 rodzau. Różą sę oe edak stopem częścowego użca opakowań. W przpadku rozwązaa częścowo (86,%) użte est opakowae kompoetu rodzau 4, atomast częścowe użce opakowaa kompoetu rodzau a pozome 00% użca est oczwśce rówoważe pełemu użcu 3 opakowań. W rozwązau częścowo użte są opakowaa kompoetu rodzau oraz 5 (odpowedo 7,4% oraz 8,7%). Jak łatwo sprawdzć, steą róweż e rozwązaa optmale, take ak choćb pełe wkorzstae 3 opakowań kompoetu rodzau, opakowaa kompoetu 4 rodzau oraz 3 opakowań kompoetu 5 rodzau. Istee welu rozwązań optmalch e est oczwśce zaskakuącm faktem, poeważ lość kompoetów dostępch w opakowaach est admarowa w porówau z wmagaą loścą składków, co pozwala a pewą swobodę wboru tchże kompoetów w ramach ograczeń dotczącch zawartośc składków. Fakt te edak pocąga za sobą koeczość zmodfkowaa krterum optmalośc w sposób umożlwaąc uedozaczee rozwązaa lub przame zmeszee zboru rozwązań optmalch. Modfkaca krterum optmalośc polega a mmalzac łączego kosztu lośc kompoetów rzeczwśce potrzebch do wprodukowaa meszak. Ozacza to, że owa fukca celu est sumą kosztu użtch pełch opakowań kompoetów oraz kosztu użtch kompoetów zawartch w opakowaach wkorzstach ecałkowce: k k... k koszt pełch opakowań kompoetów k k... k m koszt kompoetów z opakowań wkorzstach ecałkowce. Uzasadeem dla takego właśe krterum optmalośc est dążee do wprodukowaa meszak ak aższm kosztem. Oczwśce e est to koszt zakupu kompoetów, gdż te est welokrotoścą kosztu wszstkch użtch (całkowce bądź częścowo) opakowań. Neme edak take krterum optmalośc zapewa wprodukowae meszak w możlwe małe, ale przede wszstkm możlwe tae lośc, co ozacza, że wększa lość droższch kompoetów z ewkorzstach opakowań pozostae do przszłego użca (ewetuale może zostać sprzedaa). Optmalzaca kosztów polega węc a oszczędoścach wkaącch 5

6 Mmalzaca kosztu meszaek kompoetów dostępch w opakowaach o ustaloch poemoścach z późeszego zużca lub odsprzedaż kompoetów Oszczędośc te poawą sę oczwśce włącze wted, gd częścowo wkorzstae kompoet mogą bć przechowwae bez utrat swoch własośc użtkowch. Poadto, ab e zredukować sztucze kosztów meszak poprzez ewetuale użce kosztowch opakowań kompoetów, ależ wprowadzć dodatkow waruek ograczaąc k ( z) k( z)... k( z) k, gdze m k m est mmalm kosztem opakowań kompoetów oblczom według podaego wcześe modelu. W przpadku przkładowego zadaa zastosowae zmodfkowaego krterum optmalośc prowadz do rozwązaa podaego w Tabel. W tm rozwązau łącz koszt kompoetów użtch do wprodukowaa 9,879 kg meszak wos,0, a koszt ewkorzstach kompoetów rodzau oraz 5 to 0,389. Dla rozwązaa podaego w Tabel. W tm rozwązau łącz koszt kompoetów użtch do wprodukowaa 9,879 kg meszak wos,0, a koszt ewkorzstach kompoetów rodzau oraz 5 to 0,389. Dla rozwązaa łącz koszt kompoetów użtch do wprodukowaa 0,944 kg meszak wos,036, a koszt ewkorzstaego kompoetu rodzau 4 to 0,4. Gdb zaś rozważć rozwązae optmale, w którm meszaka adal spełaąca orm odośe zawartośc składków - powstae prz pełm wkorzstau wszstkch opakowań, to wówczas trzeba e wprodukować,6 kg bez pozostawea akchkolwek kompoetów do późeszego wkorzstaa. Dla porówaa, rozwązae zadaa w lczbach rzeczwstch dae wk,804 kg kompoetu 4 oraz 4,633 kg 68 kompoetu (razem 7,4337 kg) prz koszce,996. Ostatecze, model matematcz optmalzuąc skład meszaek tworzoch z kompoetów dostępch w opakowaach o ustaloch rozmarach prz ormach zawartośc składków wrażoch w edostkach względch może bć zapsa astępuąco k k... k koszt pełch opakowań kompoetów k... k k m koszt kompoetów z opakowań wkorzstach ecałkowce prz ograczeach rzeczwste zawartośc składków mmale wmagae zawartośc składków w meszace w meszace a s ( ) a s ( )... a s ( b ) s ) as( )... as( ) a a ( b ) a s ( )... a s ( ) m s( m 0,..., 0, 0 6 m lczb opakowań kompoetów e mogą bć ueme,,..., - całkowte 0, 0,..., 0 stopeń zużca kompoetów z częścowo wkorzstach opakowań e może bć uem z, z,..., z - bare z, z,..., z stopeń zużca kompoetów z częścowo wkorzstach opakowań e może bć wększ ż (w przpadku, gd z - opakowae kompoetu -tego rodzau est wkorzstwae częścowo). k ( z) k( z)... k( z) k, gdze m k est mmalm kosztem opakowań kompoetów oblczom według podaego wcześe m modelu. Mmal koszt wszstkch potrzebch opakowań kompoetów est oczwśce detcz ak w warace. Neme edak, dzęk mmalzac wartośc kompoetów potrzebch do wprodukowaa meszak o zadach parametrach różca pomędz kosztem zakupoch opakowań kompoetów a wartoścą kompoetów faktcze zużtch do wprodukowaa b m

7 Przemsław Kowalk meszak o zadach parametrach est możlwe awększa. Dae to możlwość maksmalzac oszczędośc kompoetów dzęk ch ewetualemu późeszemu wkorzstau albo odsprzedaż. oblczo prz wkorzstau formuł k ( z ) k ( z )... k ( z ) gdze, z,,,..., są optmalm wartoścam odpowedch zmech. 3. Optmalzaca składu meszaek uwzględaąca welkość opakowań prz ormach zawartośc składków wrażoch w edostkach względch Zadae optmalzac składu meszaek ma warat, w którm orm zawartośc składków są wrażoe w edostkach względch takch ak p. gram a klogram meszak, klodżule a klogram meszak lub po prostu procet (lczbowo rówe lośc dekagramów składka przpadaącego a klogram meszak). W przpadku przęca procetów ako edostk, w które wrażoe są orm zawartośc, w procetach róweż moża zapsać zawartośc składków w kompoetach (e dotcz to oczwśce wartośc eergetcze składków wrażae w edostkach eerg przpadaącch a edą edostkę mas). Model matematcz zagadea dla rodzaów kompoetów wchodzącch w skład meszak oraz m rodzaów składków moża przedstawć astępuąco. Zmee decze to:,,,..., lość kompoetu -tego rodzau wchodzące w skład meszak. Parametr to: a,,,..., m,,,..., - zawartość składka -tego rodzau w ede edostce kompoetu -tego rodzau; b / d,,,..., m - mmala/maksmala wmagaa zawartość składka -tego rodzau w ede edostce meszak; c,,,..., - cea/koszt edostkow kompoetu -tego rodzau wchodzącego w skład meszak. Model matematcz przedstawa sę astępuąco 7,: c c... c m łącz koszt kompoetów prz ograczeach mmale wmagae rzeczwste maksmale wmagae zawartośc składków zawartośc składków zawartośc składków w meszace w meszace w meszace b a a... a d b a a... a d bm am am... am dm 0, 0,..., 0 lośc kompoetów e mogą bć ueme... lośc kompoetów sumuą sę do edostk meszak Model matematcz optmalzuąc skład meszaek tworzoch z kompoetów dostępch w opakowaach o ustaloch rozmarach prz ormach zawartośc składków wrażoch w edostkach względch est stworzo aalogcze do modelu z poprzedego 7 W wers z ograczeam rówoścowm dla zawartośc składków model może bć zalezo p. w Datzg G. B., Lear, op.ct., str W esze prac zgode z sugestą zawartą w: Nowak E.. Decze rachuk kosztów. Kalkulace meedżera, Wdawctwo Naukowe PWN, Warszawa 994, str. 5, poda model est bardze uwersal tz. zawera zarówo dole ak góre orm zawartośc składków. 7

8 Mmalzaca kosztu meszaek kompoetów dostępch w opakowaach o ustaloch poemoścach rozdzału. Koecza est edak pewa modfkaca w porówau z modelem dla zmech rzeczwstch. Polega oa a zmae postac waruku blasowego. Sumowae lośc kompoetów do ede edostk meszak trac ses, poeważ ze względu a koeczość zakupu pełch opakowań e ma proporcoalośc pomędz kosztem meszak a kosztam e kompoetów. Zamast sumowaa do, ależ zatem wprowadzć sumowae lośc kompoetów do lczb A będące wmagaą loścą meszak. Ops zmech oraz parametrów pozostaą w zasadze ezmeoe w stosuku do modelu opsaego w poprzedm rozdzale. Różce podae są poże. b / d,,,..., m - mmala/maksmala wmagaa zawartość składka -tego rodzau w ede edostce meszak; A - łącza lość meszak, aka powa zostać sporządzoa. Model matematcz może bć zapsa astępuąco k z ) k ( z )... k ( z ) m łącz koszt opakowań kompoetów ( prz ograczeach mmale wmagae rzeczwste maksmale wmagae zawartośc składków zawartośc składków zawartośc składków w meszace w meszace w meszace b A a s( ) as( )... a s( ) d A b A a s ( ) a s ( )... a s ( d A 8 ) b A m am s( ) ams( )... ams( ) (zawartośc składków są przelczoe a wartośc bezwzględe) s ) s ( )... s ( ) A łącza lość meszak wos A ( 0, 0,..., 0 lczb opakowań kompoetów e mogą bć ueme,,..., - całkowte 0, 0,..., 0 stopeń zużca kompoetów z częścowo wkorzstach opakowań e może bć uem z, z,..., z - bare z, z,..., z stopeń zużca kompoetów z częścowo wkorzstach opakowań e może bć wększ ż (w przpadku, gd z - opakowae kompoetu -tego rodzau est wkorzstwae częścowo). Tak ak w częśc, tu róweż moża uwzględć oszczędośc zwązae z ewetualm późeszm wkorzstaem lub odsprzedażą ewkorzstach kompoetów. I tak ak w poprzedm przpadku, tu róweż ależ zmmalzować koszt kompoetów faktcze potrzebch do sporządzea meszak k k... k koszt pełch opakowań kompoetów k k... k m koszt kompoetów z opakowań wkorzstach ecałkowce prz ograczeach ak wże uzupełoch o dodatkow waruek k ( z) k( z)... k( z) k, gdze m k est mmalm kosztem opakowań m kompoetów oblczom według podaego wcześe modelu. Mmal koszt wszstkch opakowań kompoetów est oblczo prz wkorzstau formuł k ( z ) k ( z )... k ( z ) gdze, z,,,..., są optmalm wartoścam odpowedch zmech. d m A

9 Przemsław Kowalk 4. Podsumowae Propoowae modele wboru atańszch meszaek z uwzględeem poemośc opakowań, w którch dostępe są kompoetów, charakterzuą sę zaczm wzrostem złożoośc oblczeowe w porówau z modelam klasczm. Wka o z koeczośc użca (dla problemu z rodzaam kompoetów) poza zmem rzeczwstm róweż zmech całkowtolczbowch (w tm barch) oraz dodaa waruków ograczaącch, w którch wstępuą zmee bare. Oczwśce powższ fakt wklucza użwae do oblczeń oprogramowaa optmalzacego e wsperaącego optmalzac całkowtolczbowe. Prostm, ale przdatm rozszerzeem zapropoowach model est uwzględee dostępośc daego kompoetu w opakowaach o różch poemoścach. Pozwala to a potecale lepsze dopasowae lośc zakupoch kompoetów do potrzeb realzac zamówea, awet borąc pod uwagę wstępuącą często zależość m mesze opakowae, tm wększa cea edostkowa zawartośc opakowaa. Róweż częścowo zużte opakowaa kompoetów wkorzstae prz tworzeu meszaek w przeszłośc mogą bć uwzględoe w oblczeach p. opakowae 6 kg wkorzstae w 70% może bć reprezetowae ako opakowae 4, kg dostępe w lczbe co awże z zerową ceą (poeważ zostało zakupoe wcześe obcążło koszt przgotowaa e, wcześesze meszak). Możlwe est róweż rozważae swostego odwrócea waratu drugego poprzez maksmalzacę lośc meszak o zadam składze prz ograczoe lośc kompoetów (zarówo w wers klascze ak rozważae tu całkowtolczbowe ). Take odwrócee błob pewą aalogą do zadaa optmalego rozkrou w wers maksmalzaca lczb kompletów detal 8, edakże e zostało tu zaprezetowae ze względu a rozmar prac. Bblografa. Datzg G. B., Lear Programmg ad Etesos, The RAND Corporato, Datzg G. B., The Det Problem, Iterfaces, Vol. 0, No. 4, 990, Jędrzeczk Z., Kukuła K., Skrzpek J., Walkosz A.,: Badaa operace w przkładach zadaach, Wdawctwo Naukowe PWN, Warszawa Nowak E.: Decze rachuk kosztów. Kalkulace meedżera, Wdawctwo Naukowe PWN, Warszawa Skora W. [red.], Badaa operace, Polske Wdawctwo Ekoomcze, Warszawa Stgler, G. J. The cost of subsstece, Joural of Farm Ecoomcs, Vol. 7, No. (Ma), 945, Thomso E., Nola J., UNEForm: a powerful feed formulato spreadsheet sutable for teachg or o-farm formulato, Amal Feed Scece ad Techolog, Volume 9, Issue 3, 00, Cost optmzato of bleds of compoets avalable cotaers of fed volume The problem of creatg a optmal (usuall the cheapest) bled of varous mult-gredet compoets wth fed cotets of gredets defed s oe of the oldest applcato of lear programmg. If the problem s to select the cheapest bled of food products, the t s ofte called the optmal det problem. No matter what s the fal usage of the prepared bled, two basc varats of the cosdered problem ca be dstgushed: mmzato of the cost of the bled where orms for amouts of gredets are epressed absolute uts (usuall mass or eerg uts), or, mmzato of the ut cost of the bled where orms for amouts of gredets are 8 Nowak E., bdem, str

10 Mmalzaca kosztu meszaek kompoetów dostępch w opakowaach o ustaloch poemoścach epressed relatve uts (e.g. amout of uts of a gredet per oe ut of the bled, per cets). I the paper, modfcatos of the two varats whch take to accout the ecesst of purchasg the compoets portos ol (where the porto szes result from the capactes of the cotaers of compoets) were preseted. The modfcatos are med-teger lear programmg (MILP) problems. Theoretcal cosderatos were completed wth a eample problem. Kewords: lear programmg, med teger lear programmg, optmal bledg problem, optmal det problem, obectve fucto, costrats. 0