HYBRYDOWA METODA PRZEDZIAŁOWEJ I GRADIENTOWEJ OPTYMALIZACJI GLOBALNEJ KONSTRUKCJI INŻYNIERSKICH

Transkrypt

1 ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Sera: BUDOWNICTWO z. Nr kol. Adrze POWNUK HYBRYDOWA METODA PRZEDZIAŁOWEJ I GRADIENTOWEJ OPTYMALIZACJI GLOBALNEJ KONSTRUKCJI INŻYNIERSKICH Streszczee. Przedzałowa metoda globale optmalzac est bardzo stabla oraz może zostać zastosowaa do rozwązwaa szeroke klas problemów żerskch. Metoda ta gwaratue, że wszstke globale mma zostaą zalezoe. Nestet algortm te posada bardzo wsoką złożoość oblczeową. W prac opsao hbrdową metodę wkorzstuącą oprócz algortmów przedzałowch algortm gradetowe. Zastosowae algortmu zostało przedstawoe a przkładze kostrukc kratowch. HYBRID INTERVAL AND GRADIENT METHOD FOR GLOBAL OPTIMIZATION OF ENGINEERING STRUCTURES Summar. A terval global optmzato method s ver stable ad robust ad uversall applcable. The terval algorthm guaratees that all statoar global solutos have bee foud. Ufortuatel applcato of ths algorthm s sometmes a ver tme cosumg task. I ths paper a hbrd gradet-terval global optmsato method s preseted. Ths method has the best features of both methods.e. fast local ad relable global covergece. I ths paper ths algorthm was appled to optmzato of truss structures. Wprowadzee Algortm optmalzac globale moża podzelć a dwe grup, do ede moża zalczć metod, które poszukuą globalego mmum tlko z pewm prawdopodobeństwem oraz metod, które gwaratuą zalezee globalego mmum z zadaą dokładoścą. Do perwsze grup moża zalczć różego rodzau algortm stochastcze. Naważeszą grupą metod, którą moża zalczć do metod drugego tpu są metod, w którch problem globale optmalzac zostae zastąpo cągem problemów optmalzac dskrete. Algortm oblczeń est astępuąc: ) przestrzeń poszukwań dzel sę a skończoą lość podprzestrze; ) w każde podprzestrze w przblżo sposób szacuem wartośc fukc celu; 3) elmue sę obszar, które a pewo e zaweraą globalego mmum;

2 A. Powuk Podstawową różcą pomędz algortmam te grup są sposob oszacowaa wartośc fukc dla poszczególch częśc przestrze poszukwań. Mmum fukc może zostać oszacowae prz pomoc artmetk przedzałowe [3] lub ch metod [6]. Nestet metod te posadaą bardzo wsoką złożoość oblczeową [3, 7]. Jedm z abardze efektwch metod lokale optmalzac są metod gradetowe (por. p. []). Zwkle do efektwe realzac tch algortmów stosue sę metod aalz wrażlwośc [4]. W esze prac skostruowao hbrdow algortm, któr aperw poszukue lokalego mmum prz pomoc metod gradetowch, a astępe sprawdza cz otrzmae mmum est globale prz pomoc metod przedzałowch. Gradetowa metoda lokale optmalzac Z matematczego puktu wdzea problem optmalzac moża sformułować astępuąco: m g p J () () () = for for =,...,m =,...,m eq () gdze J : R R est fukcą celu, est lczbą zmech proektowch, m est lczbą waruków erówoścowch, m eq est lczbą waruków rówoścowch. W aalzowach przkładach fukcoał J będze rów cężarow aalzowae kostrukc: J = e = Waruk erówoścowe będą określoe astępuąco: g g γ A L () () σ = σ (3) π EJ σ (4) L () = A gdze σ est aprężeem dopuszczalm, σ est aprężeem w -tm pręce, L est długoścą -tego pręta, E est modułem Youga, J est mometem bezwładośc est przekrou -tego pręta, γ est cężarem właścwm materału, z którego wkoaa est

3 Hbrdowa metoda... kratowca. Spełee waruków g zapewa kostrukc odpowedą stateczość, a spełee waruków g wstarczaącą wtrzmałość. Warukam rówoścowm, są rówaa rówowag o astępuące postac: () q Q() K = (5) gdze K est macerzą sztwośc, Q est wektorem sł przwęzłowch, est wektorem zmech proektowch. Do lokale optmalzac w esze prac została zastosowaa metoda aszbszego spadku (por. p. []). Kolee krok algortmu są astępuące: ) Wprowadzć dae początkowe =, ) Oblczć J ( ) oraz ( ) g. =. 3) Zdetfkować węz aktwe eaktwe. 4) Oblczć gradet fukc celu. 5) Określć ow keruek poszukwaa 6) Przeprowadzć poszukwae amesze wartośc fukc celu w keruku określee wartośc parametru. 7) Oblczć + = + d d d oraz 8) Jeśl waruk zbeżośc są spełoe, to zakończć oblczea, w przecwm przpadku prząć = + powrócć do puktu. Prz oblczau gradetu fukc celu szeroko stosowae są metod aalz wrażlwośc [4]. Prezetowa tuta algortm lokale optmalzac może bć zastąpo przez dowol algortm optmalzac lokale [6].Algortm przedzałowe optmalzac globale Nech fˆ [] + [ ( ), fˆ ([] ) ] = hull fˆ ([] ), [ ][, ] IR, f : R R, IR est zborem wszstkch domkętch przedzałów lczbowch oraz fˆ : IR IR est aturalm przedzałowm rozszerzeem fukc [5]. Algortm przedzałowe optmalzac globale opart est a astępuące własośc [3]. Jeśl zachodz astępuąca erówość: to ([ ]) fˆ ([ ]) + < fˆ (6)

4 " A. Powuk! "! (7) przedzał te może [ ] [ ] f () < f () czl globale mmum e może zadować sę w przedzale [ ] zostać pomęt w dalszch oblczeach. Nech będze da welowmarow przedzał [] IR. Podstawow algortm przedzałowe optmalzac globale składa sę z astępuącch kroków: ) Prząć [ ] = [] = fˆ ([] ). Zacować lstę L=(( [] ) Wbrać współrzędą k {,,...,} wzdłuż które dokouem podzału. 3) Podzelć przedzał [ ] wzdłuż k-te współrzęde [ ] = [ v ] [ v ]. 4) Oblczć fˆ ([ v ]), v = ([ ]) fˆ v dla =, oraz = m z, fˆ ([ v ]) +, fˆ ([ v] ) 5) Usuąć parę ([ ], ) z lst L. 6) Usuąć par ([ v ], v ) eśl v > z (=,). 7) Dodać pozostałe par ([ v ], ) do lst L. v,)) oraz oblczć z = fˆ ([] ) +. { } + z. 8) Jeśl lsta L est pusta ależ zatrzmać oblczea. 9) Ozaczć parę z ameszm elemetem v ako ([], ). ) Jeśl szerokość przedzału [] est mesza ż ε, druku fˆ [], [] oraz zatrzmać oblczea. ) Prześć do kroku. Poadto wprowadzoo wele dodatkowch procedur przspeszaącch zbeżość prezetowaego algortmu. Moża tu wmeć sprawdzae mootoczośc [3], test puktu środkowego [3], przedzałową metodę Newtoa [3] tp. Przedstawo algortm może zostać uogólo a przpadek optmalzac z ograczeam. ( ) 3 Optmalzaca układów z epewm parametram Założm teraz, że optmalzowaa kostrukca zawera pewe parametr epewe h. Do modelowaa epewośc parametrów zastosuę zbor rozmte oraz przedzał lczbowe. Ab ukąć eporozumeń zostaą wkorzstae astępuące ozaczea [] IR h ~ F R (zbór rozmt, F(R) ozacza rodzę h (welowmarowe przedzał), ( ) zborów rozmtch określoch a zborze R por. p. []), h R (elemet przestrze

5 Hbrdowa metoda... R ). Założę poadto, że epewośc parametrów będą odpowedo małe (por. [8]), oraz e posadam dostatecze lośc formac do określea losowch charakterstk. Nech ( ) h m ozacza rozwązae optmale dla pewego h [] h. Stosuąc R loraz różcowe moża oblczć: ( h ) m ( h,...,h + h,...,h ) m ( ) m h h h (8) Jeśl zam zak pochodch h m, to moża oblczć ekstremale wartośc rozwązaa a podstawe zaku pochode. Jeśl Jeśl gdze ( ) m h > ( ) ( ) m m...,h,... h ( ) m h < ( ) ( ) m m +...,h,... h m + m + =, ( ) (...,h,...) = (9) m + m =, ( ) (...,h,...) m m + m [( ),( ) ] = { () h : h [] h } = () () W aalogcz sposób moża oblczć ekstremale wartośc fukc celu. Jeśl epewe parametr będą lczbam rozmtm, to fukce przależośc optmalego rozwązaa otrzmuem stosuąc astępuąc algortm: m Ω = { () h : h h ~ } gdze h ~ = { h : µ ( h h ~ ) } () µ est fukcą przależośc (por. p. []). Fukcę przależośc gdze : R [,] rozwązaa optmalego otrzmuem a podstawe astępuącego wzoru []: m ( ~ ) sup{ : } µ Ω = (3) 4 Przkład umercz Rozważm teraz kostrukcę prętową przedstawoą a rsuku. W oblczeach przmę astępuące ozaczea L=H= [m], σ =9 [MPa], P =55 [kn], P =-5 [kn], kn [, ][m], γ = 76, 5 3 m. Wk oblczeń umerczch są przedstawoe w tabel.

6 P A. Powuk H P Rs.. Schemat statcz kratowc Fg.. Statc scheme of the truss structure Lokala optmalzaca Przedzałowa optmalzaca globala Tabela [m] A [ m ] A [ m ] [m] A [ m ] A [ m ] [.674,.6765] [ , ] [.767 3, ] Założm teraz, że parametr σ oraz P będą trapezowm lczbam rozmtm o fukcach przależośc dach w postac -przekroów w tabel. Tabela ~ [MPa] P ~ [kn] P ~ [kn] σ [89, 9] [5, 6] [-55, -495] [85, 95] [5, 3] [-55, -485] Pochode określoe wzorem (8) oblczoe został dla środków przedzałów (odpowedch -przekroów lczb rozmtch σ ~,P ~ P~, ) zestawoe został w tabel 3. -przekroe lczb rozmte reprezetuące rozwązae optmale został przedstawoe w tabel 4.

7 Hbrdowa metoda... sg σ sg P sg P Tabela 3 [m] [.56,.78].5 [.7,.8] [.6,.84] Tabela 4 Oblczea został wkoae prz wkorzstau autorskego programu apsaego w ęzku C++. Zastosowao programowae obektowe. 5 Wosk Dzęk zastosowau algortmu gradetowego w bardzo szbkm czase otrzmao rozwązae problemu lokale optmalzac. Algortm przedzałow pozwala sprawdzć cz otrzmae rozwązae est rozwązaem globalm. Zastosowae algortmu hbrdowego pozwala w bardzo zaczm stopu przspeszć oblczea wkowae algortmem przedzałowm. Prz pomoc przedstawoego algortmu moża optmalzować układ z przedzałowm rozmtm parametram. Modelowae przedzałowch epewośc oparto a testach mootoczośc (por. [8]). Praca została wkoaa w ramach gratu KBN r 8TF65 pt. Przedzałowe akoścowe metod modelowaa epewośc w układach fzczch.

8 LITERATURA A. Powuk. Buckle J.J.: O usg a-cuts to evaluate fuzz equatos, Fuzz Sets ad Sstems, Vol.38, 99, s Camero T.M. Thruavukarasu A.C., El-Saed M.E.M.: Optmzato of frame structure wth fleble ots. Structural ad Multdscplar Optmzato, Vol.9,, pp Hase E.R.: Global optmzato usg terval methods. New York, Marcel Dekker, Kleber M.: Parameter Sestvt Nolear Mechacs, Theor ad Fte Elemet Computatos, Joh Wlle & Sos, New York Moore R.E.: Iterval Aalss, New Jerse, Pretce-Hall, Neumaer A.: Powuk A.: Przedzałowe metod optmalzac kostrukc. Proc. XLV Kofereca Komtetu Iżer Lądowe Wode PAN oraz Komtetu Nauk PZTB "Krca'99", Tom, Krca, 999, s Powuk A.: Zastosowae metod aalz wrażlwośc do modelowaa kostrukc z przedzałowm parametram. Proc. XLVI Kofereca Komtetu Iżer Lądowe Wode PAN oraz Komtetu Nauk PZTB "Krca'", Krca,, (referat przęt do druku w materałach koferecch). Abstract: The problem of optmal desg cossts fdg the optmum parameters accordg to a prescrbed optmalt crtero. Estg optmzato methods usuall are t relable or ca t use the odfferetable, ot cotuous obectve fuctos or costrats. A terval global optmzato method s: ver stable ad robust ad uversall applcable. The terval algorthm guaratees that all statoar global solutos have bee foud. Ufortuatel applcato of ths algorthm s sometmes a ver tme cosumg task. The best local optmzato methods are the gradet methods. I ths paper a hbrd gradet-terval global optmsato method s preseted. Ths method has the best features of both methods.e. fast local ad relable global covergece. I ths paper ths algorthm was appled to optmzato of truss structures. Eamples of optmzato of truss structures wth ucerta parameters was also preseted.