dr inż. Damian Słota Gliwice r. Instytut Matematyki Politechnika Śląska

Transkrypt

1 Program wykładów z metod numerycznych na semestrze V stacjonarnych studiów stopnia I Podstawowe pojęcia metod numerycznych: zadanie numeryczne, algorytm. Analiza błędów: błąd bezwzględny i względny, przenoszenie się błędów, problem odwrotny teorii błędów. Przybliżone rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów: metoda bisekcji, metoda regula falsi, metoda siecznych, metoda Newtona. Rozwiązywanie układów równań liniowych: eliminacja Gaussa, ogólna postać metod iteracyjnych i jako szczególne przypadki metoda Jacobiego i metoda Gaussa-Seidla. Interpolacja: sformułowanie zagadnienia, interpolacja za pomocą wielomianów algebraicznych, wzór interpolacyjny Lagrange a, metoda Aitkena, oszacowanie błędu interpolacji i zbieżność procesów interpolacyjnych. Aproksymacja: sformułowanie zagadnienia, aproksymacja średniokwadratowa dyskretna i integralna. Całkowanie numeryczne: proste i złożone kwadratury Newtona-Cotesa, metoda Monte-Carlo. Metody rozwiązywanie zagadnień początkowych dla równań różniczkowych zwyczajnych: metoda Eulera, metody typu Rungego-Kutty. 1

2 Literatura 1. Z. Fortuna, B. Macukow, J. Wąsowski, Metody numeryczne, WNT, Warszawa J. Stoer, R. Bulirsch, Wstęp do analizy numerycznej, PWN, Warszawa G. Dahlquist, A. Björck, Metody numeryczne, PWN, Warszawa A. Ralston, Wstęp do analizy numerycznej, PWN, Warszawa D. Kincaid, W. Cheney, Analiza numeryczna, WNT, Warszawa E. Majchrzak, B. Mochnacki, Metody numeryczne. Podstawy teoretyczne, aspekty praktyczne i algorytmy, Wyd. Pol. Śl, Gliwice

3 Program zajęć laboratoryjnych z metod numerycznych na semestrze V stacjonarnych studiów stopnia I 1. Podstawowe instrukcje pakietu Mathematica. 2. Grafika w pakiecie Mathematica. 3. Elementy programowania w języku pakietu Mathematica(instrukcje: If, Do, Return, Module, itp.). 4. Pisanie krótkich programów(element maksymalny macierzy, sortowanielisty,itp.). 5. Sprawdzian. 6. Metoda bisekcji dla równań nieliniowych. 7. Metoda Newtona dla równań i układów równań nieliniowych. 8. Metoda Jacobiego i metoda Gaussa-Seidla. 9. Interpolacja wielomianowa i interpolacja Lagrange a. 10. Aproksymacja średniokwadratowa. 11. Metody Newtona-Cotesa. 12. Metoda Monte-Carlo. 13. Metoda Eulera. 14. Metoda Rungego-Kutty. 15. Sprawdzian. 3

4 Zasadyprzydziałupunktówwedługschematu5+[35+30]+30: ocenazzajęć:do5punktów (za każdą nieusprawiedliwioną nieobecność(począwszy od drugiej), odejmuje się po 5 punktów); dwa sprawdziany: pierwszy od 0 do 35 punktów, drugiod0do30punktów; sprawdzianzwykładów:od0do30punktów. Literatura 1. G. Drwal, R. Grzymkowski, A. Kapusta, D. Słota, Mathematica 4, WPKJS, Gliwice G. Drwal, R. Grzymkowski, A. Kapusta, D. Słota, Mathematica 5, WPKJS, Gliwice Z. Fortuna, B. Macukow, J. Wąsowski, Metody numeryczne, WNT, Warszawa E. Majchrzak, B. Mochnacki, Metody numeryczne. Podstawy teoretyczne, aspekty praktyczne i algorytmy, Wyd. Pol. Śl, Gliwice

5 Laboratorium nr 1 Podstawowe instrukcje pakietu Mathematica 2. Przeznaczenie i budowa pakietu Mathematica. 3. Pakiet Mathematica jako kalkulator. 4. Obliczenia dokładne i przybliżone(instrukcja N). 5. Funkcje elementarne i specjalne. 6. Różniczkowanie i całkowanie w pakiecie Mathematica. 7. Listy, wektory i macierze w pakiecie Mathematica: (a) Sposób zapisu. (b) Działania na wektorach. (c) Działania na macierzach. (d) Rozwiązywanie równań macierzowych. 8. Równania i układy równań w pakiecie Mathematica. (a) Sposób zapisu. (b) Instrukcja Solve. (c) Instrukcja LinearSolve. 9. Zadanie zadania domowego. 5

6 Laboratorium nr 2 Grafika w pakiecie Mathematica 2. Wykresy funkcji jednej zmiennej: (a) Instrukcja Plot. (b) Opcje instrukcji Plot. (c) Instrukcja Show. 3. Wykresy funkcji dwóch zmiennych: (a) Instrukcja Plot3D. (b) Opcje instrukcji Plot3D. 4. Wykresy krzywych i powierzchni zadanych parametrycznie: (a) Instrukcja ParametricPlot. (b) Instrukcja ParametricPlot3D. (c) Opcje. 5. Wykreślanie danych liczbowych: (a) Instrukcja ListPlot. (b) Opcje instrukcji ListPlot. 6. Zadanie zadania domowego. 6

7 Laboratorium nr 3 Elementy programowania w języku pakietu Mathematica 2. Sprawdzenie wiedzy studentów z zakresu tematu zajęć laboratoryjnych. 3. Definiowanie zmiennych. 4. Różnice pomiędzy operatorami = i:=. 5.PętlaDo: (a) Opis konstrukcji. (b) Podanie przykładów ilustrujących jej działanie. (c) Sformułowanie zadania, w rozwiązaniu którego należy wykorzystać omawianą instrukcję. 6. Pętla While: (a) Opis konstrukcji. (b) Różnice między pętlami Do i While. (c) Podanie przykładów ilustrujących jej działanie. (d) Sformułowanie zadania, w rozwiązaniu którego należy wykorzystać omawianą instrukcję. 7

8 7. Instrukcja warunkowa If: (a) Opis konstrukcji. (b) Podanie przykładów ilustrujących jej działanie. (c) Sformułowanie zadania, w rozwiązaniu którego należy wykorzystać omawianą instrukcję. 8. Definiowanie funkcji. 9. Instrukcja Return: (a) Opis konstrukcji. (b) Wykorzystanie omawianej instrukcji do wypisywania większej liczby wartości. 10. Instrukcja blokowa Module: (a) Opis konstrukcji. (b) Zmienne lokalne i zmienne globalne. (c) Podanie przykładów ilustrujących jej działanie. (d) Sformułowanie zadania, w rozwiązaniu którego należy wykorzystać omawianą instrukcję. 11. Zadanie zadania domowego. 8

9 Laboratorium nr 4 Pisanie krótkich programów 2. Elementy maksymalne i minimalne listy. 3. Sortowanie listy. 4. Liczba wystąpień elementu na liście. 5. Element maksymalny macierzy i liczba jego wystąpień. 6. Przekształcanie list(np. podnoszenie elementów ujemnych do kwadratu, a nieujemnych pozostawienie bez zmian). 7. Zadanie zadania domowego. 9

10 Laboratorium nr 5 Sprawdzian 10

11 Laboratorium nr 6 Metoda bisekcji dla równań nieliniowych 2. Sprawdzenie wiedzy studentów z zakresu tematu zajęć laboratoryjnych. 3. Krótkie przypomnienie podstaw teoretycznych metody bisekcji. 4. Napisanie przez studentów programu realizującego metodę bisekcji. 5. Wykorzystanie przez studentów napisanego programu do rozwiązania zadanegoproblemu(np.znaleźćzzadanądokładnością ). 6. Zadanie zadania domowego. 11

12 Laboratorium nr 7 Metoda Newtona dla równań i układów równań nieliniowych 2. Sprawdzenie wiedzy studentów z zakresu tematu zajęć laboratoryjnych. 3. Krótkie przypomnienie podstaw teoretycznych metody Newtona. 4. Napisanie przez studentów programu realizującego metodę Newtona w przypadku jednego równania nieliniowego. 5. Wykorzystanie przez studentów napisanego programu do rozwiązania zadanego problemu(np. znaleźć najmniejszy dodatni pierwiastek funkcjih(x)=e x2 sinx cosx). 6. Napisanie przez studentów programu realizującego metodę Newtona w przypadku układu równań nieliniowych. 7. Wykorzystanie przez studentów napisanego{ programu do rozwiązania x zadanego układu równań nieliniowych(np. 2 +y 2 =0, x+2xy=0 ). 8. Zadanie zadania domowego. 12

13 Laboratorium nr 8 Metoda Jacobiego i metoda Gaussa-Seidla 2. Sprawdzenie wiedzy studentów z zakresu tematu zajęć laboratoryjnych. 3. Krótkie przypomnienie podstaw teoretycznych metody Jacobiego i metody Gaussa-Seidla. 4. Napisanie przez studentów programu realizującego metodę Jacobiego. 5. Wykorzystanie przez studentów napisanego programu do rozwiązania zadanego układu równań liniowych oraz porównanie otrzymanego rozwiązania przybliżonego z rozwiązaniem dokładnym, 4x y=2, np. x+4y z=6, y 4z=2. 6. Napisanie przez studentów programu realizującego metodę Gaussa- Seidla. 7. Wykorzystanie przez studentów napisanego programu do rozwiązania zadanego układu równań liniowych oraz porównanie otrzymanego rozwiązania przybliżonego z rozwiązaniem dokładnym. 8. Zadanie zadania domowego. 13

14 Laboratorium nr 9 Interpolacja wielomianowa i interpolacja Lagrange a 2. Sprawdzenie wiedzy studentów z zakresu tematu zajęć laboratoryjnych. 3. Krótkie przypomnienie podstaw teoretycznych interpolacji. 4. Dla zadanych punktów znalezienie wielomianu interpolacyjnego: (a) Utworzenie układu równań. (b) Rozwiązanie układu równań. (c) Narysowanie odpowiedniego rysunku. 5. Wykorzystanie powyższego podejścia do rozwiązania zadanego problemu(np.: dobrać wielomian interpolujący funkcję sin x w zadanej liczbie punktów z przedzialu[0, π], oszacować(graficznie) błąd interpolacji). 6. Napisanie przez studentów programu realizującego metodę interpolacji Lagrange a. 7. Zadanie zadania domowego. 14

15 Laboratorium nr 10 Aproksymacja średniokwadratowa dyskretna 2. Sprawdzenie wiedzy studentów z zakresu tematu zajęć laboratoryjnych. 3. Krótkie przypomnienie podstaw teoretycznych aproksymacji średniokwadratowej dyskretnej. 4. Napisanie przez studentów programu realizującego aproksymację średniokwadratową dyskretną. 5. Wykorzystanie przez studentów napisanego programu do rozwiązania podanego zadania(np. dla funkcji zadanej dyskretnie: f( 1) = 1, f(0)=0,f(1)=2,f(2)=2znaleźćaproksymacjęfunkcjąliniową zwagąw(x)=2 x). 6. Zadanie zadania domowego. 15

16 Laboratorium nr 11 Metody Newtona-Cotesa 2. Sprawdzenie wiedzy studentów z zakresu tematu zajęć laboratoryjnych. 3. Krótkie przypomnienie podstaw teoretycznych metod Newtona-Cotesa. 4. Napisanie przez studentów programu realizującego wybraną z metod Newtona-Cotesa. 5. Wykorzystanie przez studentów napisanego programu do rozwiązania podanego zadania. 6. Zadanie zadania domowego. 16

17 Laboratorium nr 12 Metoda Monte-Carlo 2. Sprawdzenie wiedzy studentów z zakresu tematu zajęć laboratoryjnych. 3. Krótkie przypomnienie podstaw teoretycznych metody Monte-Carlo. 4. Napisanie przez studentów programu realizującego całkowanie metodą Monte-Carlowprzypadkufunkcjif:[0,1] [0,1]. 5. Wykorzystanie przez studentów napisanego programu do rozwiązania podanego zadania. 6. Rozszerzenie działania poprzedniego programu na przypadek funkcji g:[0,1] [0,M]. 7. Wykorzystanie przez studentów napisanego programu do rozwiązania podanego zadania. 8. Rozszerzenie działania poprzedniego programu na przypadek funkcji h:[a,b] [0,M]. 9. Wykorzystanie przez studentów napisanego programu do rozwiązania podanego zadania. 17

18 10. Rozszerzenie działania poprzedniego programu na przypadek funkcji k:[a,b] [ M 1,M 2 ]. 11. Wykorzystanie przez studentów napisanego programu do rozwiązania podanego zadania. 12. Zadanie zadania domowego. 18

19 Laboratorium nr 13 Metoda Eulera 2. Sprawdzenie wiedzy studentów z zakresu tematu zajęć laboratoryjnych. 3. Krótkie przypomnienie podstaw teoretycznych metody Eulera. 4. Napisanie przez studentów programu realizującego metodę Eulera dla równaniapierwszegorzęduzwarunkiempoczątkowym(np.y (x)= x+y(x),y(0)=2,x [0,3]). 5. Napisanie przez studentów programu realizującego metodę Eulera dla równania pierwszego rzędu z warunkiem na końcu przedziału(np. y (x)=x+y(x),y(3)=2,x [0,3]). 6. Zadanie zadania domowego. 19

20 Laboratorium nr 14 Metoda Rungego-Kutty 2. Sprawdzenie wiedzy studentów z zakresu tematu zajęć laboratoryjnych. 3. Krótkie przypomnienie podstaw teoretycznych metody Rungego-Kutty. 4. Napisanie przez studentów programu realizującego metodę Rungego- Kutty wybranego rzędu dla równania pierwszego rzędu z warunkiem początkowym(np.y (x)=x 2 1+y(x),y(0)=1,x [0,1]). 5. Zadanie zadania domowego. 20

21 Laboratorium nr 15 Sprawdzian 21