RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

Transkrypt

1 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Lisa zadań 26/27 Opracowanie: dr Marian Gewer, doc. dr Zbigniew Skoczlas

2 Lisa pierwsza. a)zpewnejsubsancjiradioakwnejpoupłwie4lazosało2gram,apoupłwiedalszch4la lko 4 gram. Wznaczć masę subsancji w chwili począkowej. b) Polon-2 ma okres połowicznego zaniku równ 4 dni. Znaleźć masę ego pierwiaska po dniach, jeżeli jego masa począkowa wnosiła 2 g. c) Okres połowicznego zaniku pewnego pierwiaska promieniowórczego jes równ la. Ile procen mas począkowej ego pierwiaska pozosanie po i), ii) 5, iii) 2 laach?.2 Sprawdzić, że podane funkcje są rozwiązaniami wskazanch równań różniczkowch na zadanch przedziałach: a))= sin, +=cos,, ); b))= 2, +=3 2, R; c))= + 2, +2 2 =, R; d))= 4 2, =, 2,2)..3 Sprawdzić, że dla każdego C R podane funkcje są rozwiązaniami wskazanch równań różniczkowch, a nasępnie znaleźć rozwiązania spełniające zadane warunki począkowe: a))=+c, =, )=; b))=ce, =, )= ; c))=ce e, +2=e, )=; d))=+c 2 +, = + 2 +, )=..4 Scałkować podane równania różniczkowe o zmiennch rozdzielonch: a) +4=; b)d=2 2 d; c) 2 ) d+ 2 ) d=; d)2 ) = 2 ; e) =+++; f) +4= e Dokonaćanalizrozwiązańrównaniaróżniczkowego =kwzależnościodrzeczwisegoparameru k. Naszkicować krzwe całkowe ego równania. Lisa druga + 2) =+ 2 zzadanmiwarunkamipoczą-.6 Wznaczć rozwiązanie równania różniczkowego kowmi: a))= ; b))=. Podać przedział, na kórch są one określone..7 Rozwiązać podane zagadnienia począkowe dla równań różniczkowch o rozdzielonch zmiennch: π a) sin=ln, =e; b) 2) 2 d+ 2 d=, )=; c)+) =, e)=; d)cosd + 2) d=, )=; e) = 2 + 2), )= 2; f)e ) =, )=. 2

3 .8 Scałkować podane równania różniczkowe jednorodne: a) = 2 2 +; b) )d+d=; c) =ln ln); d) =g ; e) 2 2) d+d=; f) 2 = Rozwiązać podane zagadnienia począkowe dla równań rózniczkowch jednorodnch oraz wznaczć przedział, na kórch są one określone: a) 2 + 2) d 2d=,)= 2; b) =+ 2,)=; c) = 42 2,)=; d) 3 3) d 2 d=,)=3. 2. Znaleźć krzwe, dla kórch rójką OSYrsunek) uworzon przez oś O, sczną i wekor wodząc punku sczności jes równoramienno podsawie OY). Y S =) O Lisa rzecia. Rozwiązać podane równania różniczkowe liniowe niejednorodne: a) +=sin; b) +2=e 2 ; c) 2= 3 cos; d) 2=4 4 ; e)+e =; f)2+) = a)załóżm,żeψ)jesrozwiązaniemrównaniaróżniczkowegoliniowegoniejednorodnegoln) + p)=q),afunkcjaϕ) rozwiązaniemczęścijednorodnejegorównanialj) +p)=, gdzie funkcje p), q) są ciągłe na przedzialea, b). Pokazać, że każde rozwiązanie ) równania niejednorodnego można przedsawić w posaci ) = Cϕ) + ψ), gdzie C jes odpowiednio dobraną sałą. rzeczwisą. b) Załóżm, że funkcje η), ψ) są różnmiη) ψ)) rozwiązaniami równania różniczkowego liniowego niejednorodnegoln). Pokazać, że każde rozwiązanie ) równania niejednorodnego ma posać)=cη) ψ))+η),gdziecjesodpowiedniodobranąsałą..3 Wznaczć rozwiązania podanch zagadnień począkowch dla równań liniowch niejednorodnch oraz podać przedział, na kórch są one określone: a) =,3)=3; b) =+)sin, )= ; π c) +=+,)=; d) sincos=+sin 3, =. 4) 3

4 .4 Dlarównanialiniowegoniejednorodnego +p=q),gdziep Rwznaczćrozwiązanieϕ)w podanej posaci, jeżeli: a)p=4, q)= 2, ϕ)=a 2 +B+C; b)p=, q)= 4, ϕ)=a 4 +B 3 +C 2 +D+E; c)p= 3, q)=4 2 e, ϕ)= A 2 +B+C ) e ; d)p=, q)=e, ϕ)=a+b)e ; e)p=2, q)=cos3, ϕ)=asin3+bcos3; f)p= 2, q)=2sin 2 cos 2, ϕ)=asin 2 +Bcos 2..5 ) 2 + e spełnia- Znaleźćrozwiązanierównaniaróżniczkowegoliniowegoniejednorodnego 2 += jące warunek lim )=. *.6 Znaleźć równanie krzwej przechodzącej przez punk,), dla kórej pole rójkąa OSTrsunek) uworzonego przez oś O, sczną i wekor wodząc punku sczności jes sałe i równa się. S O T =).7 Rozwiązać podane równania różniczkowe Bernoulliego: c) a) +2=2 2 ; b) = 3 ; + 2) =; d) 2= sin; e) + ) =,>; f) = 2 e..8 Rozwiązać podane zagadnienia począkowe dla równań różniczkowch Bernoulliego oraz wznaczć przedział, na kórch są one określone: a) 2 +2= 3,>)= ; b) += 2 ln,)=; c) 2=2 e ln,)=; d)2 ln+ =,e)= e. Lisa czwara *.23 Wznaczć równania różniczkowe rodzin krzwch określonch podanmi równaniami: a)=c 3 ; b) =C; c) C=C ; d) 2 =2C 2 2. *.24 Znaleźć równania rodzin krzwch orogonalnch do podanch rodzin krzwch: 4

5 a)=c 2 ; b) =2C; c)= C ; d)2 =+C..25 a)basenopojemnościlirówzawieralirówczsejwod.dobasenuwlewasięwodao skażeniu 5% z prędkością 2 lirów na minuę. Przez owór spusow ciecz wlewa się z prędkością lirów na minuę. Wznaczć skażenie wod w chwili napełnienia zbiornika. b)whalioobjęości2m 3 powierzezawiera.5%dwulenkuwęgla.wenlaorpodajewciągu minu2m 3 powierzazawierającego.4%co 2.Pojakimczasiesężeniedwulenkuwęglawhali zmniejsz się dwukronie? c) Zbiornik o pojemności 25 lirów napełnion jes 4% wodnm rozworem alkoholu. Po włączeniu pomp=)dozbiornikawlewasię2%wodnrozwóralkoholuzprędkością5l/min,apowsała mieszanina wlewa się dwa raz szbciej. Po ilu minuach ilość alkoholu w zbiorniku będzie największa?.26 a) Kulura licząca 5 bakerii rozwija się według wkładniczego prawa wzrosu ak, że po rzech godzinach osiąga san 8 bakerii. Po jakim czasie populacja będzie liczła milion bakerii? b) Populacja pewnego gaunku rb rozwijająca się według wkładniczego prawa wzrosu podwoiła liczbęswoichosobnikówwciągula.poilulaachliczbarbporoisię? c) Populacja pewnego gaunku biologicznego, kórej rozwój opisan jes równaniem logiscznm liczłanapocząku5s.osobników.podniachichliczbawzrosłado8s.osobników,bpo dosaecznie długim czasie usabilizować się na poziomie 5 s. osobników. Wznaczć czas, po kórm populacja podwoiła liczbę swoich osobników..27 a)termomerzpokoju,wkórmwskazwał2 C,wsawiononazewnąrz,gdziepanował5 C chłód.pojednejminucienaermomerzebłojuż2 C.Pojakimczasieermomerbędziewskazwał emperaurę lko o % wższą niż fakczna? b)ciało,kóregoemperaurawnosi22 Cumieszczonowpomieszczeniuoemperaurze6 C.Po minuachjegoemperauraobniżłasiędo4 C.Wmmomenciewłączonoklimazaor,kóre obniżająemperauręooczeniazszbkością Cnaminuę.JakabędzieemperauraTciałapo minuach od chwili uruchomienia klimazaorów?.28 a) W obwodzie elekrcznm połączono szeregowo opornik o oporności R = Ω, cewkę o indukcjnościl=2horazźródłonapięciasałegoe)=2v.wznaczćgranicznenaężenieprąduw obwodzie,gd.naszkicowaćfunkcjęi)a,jeżelii)=.2a. b) W obwodzie elekrcznm połączono szeregowo opornik o oporze R = 5Ω, cewkę o indukcjności L = 2.5H oraz zewnęrzną siłę elekromoorczną E) = sin V. Wznaczć naężenie prądu I)Awobwodzie,jeżeliI)=. 5

6 .29 Krzwa = ) przechodzi przez począek układu współrzędnch i leż w górnej półpłaszczźnie. Każd prosoką ograniczon osiami układu współrzędnch i prosmi poprowadzonmi z dowolnego punku, )) krzwej prosopadłmi do nich krzwa ) dzieli na dwie części. Pole zaware pod krzwą ) jes dwa raz mniejsze niż pole nad krzwą. Wznaczć równanie ej krzwej. =) ) O Lisa piąa.3 Wznaczć rozwiązania podanch równanań rzędu drugiego: a) 2 ) 2 =; b) = 2 e ; c)2 = ) 2 ; d) = Rozwiązaćscałkować) podane równania różniczkowe: a) 3 +=; b)2 3 ) 2 =4 2 ; c) ) =2 ) 2 ; d*) + ) 2 =e ) Rozwiązać podane równania różniczkowe z zadanmi warunkami począkowmi: a) = +2,2)=, 2)=4; b) ) 2 = 2 ln,)=, )=; c)2 =3 2, 2)=, 2)=; d) =2 + ),)=, )=..33 Znaleźćkrzwą=),kóraprzechodziprzezpunk,)ijeswnimscznadoprosej+= orazspełniarównanieróżniczkowe + ) 2 =..34 a) Wznaczć równanie ruchu spadającego swobodnie ciała o masie m z uwzględnieniem oporu powierza, kór jes wpros proporcjonaln do kwadrau prędkości spadania, ze współcznnikiem proporcjonalnościk>.przjąć,żeciałospadazwsokościs przzerowejprędkościpocząkowej. b) Cząseczka o masie m porusza się po linii prosej. Niech x) oznacza odległość ej cząseczki w chwili od usalonego cenrum na prosej. W punkcie x cząseczka jes przciągana przez cenrum zsiłąkx 3,gdziek>.Wznaczćrównanieruchucząseczkiorazznaleźćjegorozwiązanie,jeżeli rozpoczęłaonaruchwodległościx odcenrumzzerowąprędkościąpocząkową.obliczćczas,po kórm cząseczka osiągnie cenrum. Lisa szósa 2. Korzsając z wierdzenia o isnieniu i jednoznaczności dla równań różniczkowch liniowch wznaczć 6

7 przedział, na kórch podane zagadnienia począkowe mają jednoznaczne rozwiązania: ) a) ) +=ln, ) =, )=; b) 3) + +ln )=, )=, )=. 2.2 Sprawdzić,żefunkcjeϕ)=e,ψ)=e 3 orazichdowolnakombinacjaliniowasąrozwiązaniami równania 2 3=. 2.3 Danjesukładfundamenaln ), 2 ))równanialiniowegojednorodnegoposaci +p) + q)=.dlajakichparamerówα,β R,parafunkcjiu ),u 2 ))określonchwzorami u )=α )+ 2 ) u 2 )= )+β 2 ) jes również układem fundamenalnm ego równania? 2.4 Sprawdzić, że podane funkcje worzą na zadanch przedziałach układ fundamenalne wskazanch równań różniczkowch. Znaleźć rozwiązania ch równań z zadanmi warunkami począkowmi: a) )=e, 2 )=e 2,, ), 2=, )=, )= 5; b) )=ln, 2 )=,,e), 2 ln) + =, )=2, )=; c) )=, 2 )=e,,), ) +=, )=, )=; d) )=, 2 )= 2,, ), =, )=3, )=. 2.5 Wznaczćrównaniaróżniczkoweliniowejednorodneposaci +p) +q)=,kórchukład fundamenalne składają się z podanch funkcji: a) )=sh, 2 =ch,gdzie R; b) )=, 2 )= 2,gdzie, ); c) )= 7, 2 )=,gdzie, ). 2.6 Do każdego z podanch równań różniczkowch wskazano jedno jego rozwiązanie. Wkorzsując meodę obniżania rzędu równania znaleźć rozwiązania ogólne ch równań różniczkowch: a) 5 +6=, ϕ)=e 3 ; b) +4=, ϕ)=cos2; c) 2 3=, ϕ)= ; d) ) +) +2=, ϕ)=e ; e) 2 +2 )=, ϕ)=e ; f) =, ϕ)=. 2.7 Wznaczć e warości parameru m R, dla kórch wskazana funkcja będzie rozwiązaniem podanego równania, a nasepnie scałkować e równania: a)ϕ)=e m,2+) +22 ) 8=; b)ϕ)= m, =. 7

8 * 2.8 Do każdego z podanch równań wskazano jedno jego rozwiązanie. Korzsając ze wzoru Liouville a wznaczć układ fundamenalne ch równań: a) 3 + =, )=; b) +2 +=, )= sin. Lisa siódma 2.9 Napisać równania charakersczne podanch równań różniczkowch: a) 2 +=; b) 3=; c)4 + =; d)2 3 +4=. 2. Wznaczćrównaniaróżniczkoweliniowejednorodneosałchwspółcznnikachposaci +p +q=, jeżeli podane są pierwiaski ich wielomianów charakerscznch: a)λ =+ 3i; b)λ =λ 2 = 2; c)λ =2,λ 2 =3; d)λ =i. 2. Wznaczćrównaniaróżniczkoweliniowejednorodneosałchwspółcznnikachposaci +p +q=, jeżeli podane funkcje wchodzą w skład ich układów fundamenalnch: a)cos2; b)e ; c)e 2,e α,gdzieα 2; d)e sin; e); f),e. 2.2 Rozwiązać podane równania różniczkowe liniowe o sałch współcznnikach: a)6 5 +=; b) 2=; c)4 4+=; d) =; e) 4 +5=; f) 2 +5=; g) +6 +8=; h)7 +4 3=; i) 6 +9=. 2.3 Rozwiązać podane zagadnienia począkowe: a) + 6=, ) ) ) π π =, )=; b) +9=, =, =; 3 3 c) 2 +=, ) =2, )=3; d) 7 +2=, ) =3, )= Punkmaerialnomasiemporuszasiępoprosejłaczącejdwacenraijesprzciąganprzezniez siłą wpros proporcjonalną do jego odległości od każdego z nich. Współcznnik proporcjonalności jes równ k >, a odległość międz cenrami wnosi 2b. Znaleźć równanie ruchu i rozwiązać je wiedząc, żewchwilipocząkowej =)punkznajdowałsięwodległościx odśrodkaliniiłączącejoba cenra i miał zerową prędkość. 2.5 W obwodzie elekrcznm połączono szeregowo cewkę o indukcjności LH oraz kondensaor o pojemności CF. Wznaczć naężenie prądu IA w m obwodzie jako funkcję czasu. 8

9 Lisa ósma * 2.6 Wznaczć e warości parameru α R, dla kórch zagadnienie brzegowe ma niezerowe rozwiązanie. +α=,)=2π), )= 2π) 2.7 Sprawdzić, że podane funkcje są rozwiązaniami wskazanch równań różniczkowch liniowch niejednorodnch. Wznaczć rozwiązania ogólne ch równań lub zagadnień począkowch: a) + +25=4e 5, ϕ)=2 2 e 5 ; b) +4=sin2, ϕ)= 4 cos2; c) 2=4 2e, ϕ ) = 2+e, )=, )=; d) + 2= 2 e 4, ϕ)= ) e 4, )= , )= Sprawdzić,żefunkcjaϕ)=2+ 5 e sin+cos)jesrozwiązaniemrównaniaróżniczkowego +3 +2=4+2e cos. Znaleźć rozwiązanie, kóre spełnia warunek lim )= Zakładając,żepodanefunkcjesąrozwiązaniamirównanialiniowegoniejednorodnego +p) + q) = h), wznaczć rozwiązanie ogólne ego równania lub rozwiązać zagadnienie począkowe: a)ϕ)=5e 2 sin, ψ)=cos+5sin)e 2, η)=+5)e 2 sin; b)ϕ)=cos+ 2 sin, ψ)=+)cos+ 2 sin, η)=cos+ + 2) sin, )=, )=. 2.2 Podane funkcje są rozwiązaniami wskazanch równań liniowch niejednorodnch. Wznaczć rozwiązania ogólne ch równań: a)ϕ)= sin +, ψ)=, + 2 += ; b)ϕ)=, ψ)=sine +, +e 2 =e 2. Lisa dziewiąa 2.2 Wznaczć rozwiązania ogólne podanch równań liniowch niejednorodnch, jeżeli znane są układ fundamenalne odpowiadając im równań jednorodnch: a) 7 +=e 3, )=e 2, 2 )=e 5 ; b) 3+2 2) 6+) +6=6, )= 3, 2 )=+; c) ) += ) 2 e, )=, 2 )=e ; d)+) 2+) =e, )=, 2 )=e. 9

10 2.22 Korzsając z meod uzmienniania sałch rozwiązać podane równania różniczkowe: a) +4 +4=e 2 ; b) +4= cos2 ; c) = 42 + ; d) 2 g=; e) +3 +2= +e ; f) +3 +2=cos e ) Korzsając z meod przewidwania podać posacie rozwiązań podanch równań różniczkowch: a)4 4= 3 24; b) 7 = ) 2 ; c) 8 +6= )e 4 ; d) +3 =3; e) +25=cos5; f) +=sin cos Korzsając z meod współcznników nieoznaczonchmeoda przewidwania) rozwiązać podane równania różniczkowe liniowe niejednorodne: a) +2 += 2; b) 4 +4= 2 ; c) +4 +4=8e 2 ; d) +3 =3e 3 ; e) +5 +6= )e 2 ; f) +4 4=8sin Korzsając z wierdzenia o składaniu rozwiązań i meod współcznników nieoznaczonchmeoda przewidwania) rozwiązać podane równania różniczkowe: a) 2=e +e 2 ; b) =+sin; c) 4 =2cos 2 4; d) 2=4 2e Rozwiązać podane zagadnienia począkowe: a) +=2 ), )=2, )= 2; b) 6 +9= , )=, )=3; c) +6 +9=sin, )=, )=; d) + =e, ) =, )= W obwodzie elekrcznm połączono szeregowo opornik o oporności R = Ω, cewkę o indukcjności L=2.5HikondensaoropojemnościC=.8ForazzewnęrznąsiłęelekromoorcznąE)= cos5v.wznaczćnaężenieprądui)a,jeżelii)=iq)=,gdzieq)oznaczailość ładunku na kondensaorze C w chwili. Lisa dziesiąa 3. a)dwasulirowezbiornikiz iz 2,zkórchpierwszzawiera%wodnrozwórsoli,adrugi czsą wodę, połączono dwiema rurkami umożliwiającmi przepłw ciecz międz nimi. Prz czm pierwszą rurą rozwór przepłwa w jedną sronę, a drugą odwronie. Przepłw e odbwają się z prędkością2lirównaminuę.określićilościsoliz )iz 2 )odpowiedniowzbiornikachz iz 2. Przjąć, że proces rozpuszczania soli w obu zbiornikach jes nachmiasow. b)trzpełnezbiornikiz,z 2 iz 3 opojemnościachodpowiednio2,4i5lirówpołączonodwiema rurkami.rurkieumożliwiająprzepłwcieczzezbiornikaz doz 2 orazzezbiornikaz 2 doz 3 z prędkościąl/min.zbiornikz zawiera75%wodnrozwórsoli,adwapozosałeczsąwodę.

11 Wznaczćilościsoliz ),z 2 ),z 3 )odpowiedniowzbiornikachz,z 2,Z 3.Przjąć,żepierwsz zbiornik zasilan jes czsą wodą z prędkością l/min, a z ą samą prędkością z osaniego wpłwa rozwór. Przjąć również, że proces rozpuszczania soli w zbiornikach jes nachmiasow. 3.2 Sprawdzić, że dla podanch układów równań różniczkowch wskazane ciągi funkcji są ich rozwiązaniami na zadanch przedziałach: =, a) 2 2 =, ), 2 ))= e 2 ) 2,2e, R;, = 2 b), 2 = + 2 ) + 2, c) = + 2, 2 = , ), 2 ))= ), 2 ))= ) ,2e ,, ); C +C 2,2C 2 + C ),, ). 3.3 Rozwiązać podane zagadnienia począkowe: x =xln, x)=e 2, x = 5 a) =, )=e 2 b) 2 x 2, x)=2, ; = 2 x+5 2, )= ; x = 3 c) 2 x+ 2, x)=2, x =x 3, = d) 2 x+3 2, )=; = x)=, 2 x 2, )= Podane układ równań różniczkowch liniowch zapisać w posaci wekorowej: liniowch: = ln, a) 2 = + b) = e, = 2+3 3, 2; 2 = +e c) 2 ; = +2 3,. 3 = Korzsając z wierdzenia o isnieniu i jednoznaczności rozwiązań dla układów równań różniczkowch liniowch wznaczć przedział, na kórch podane zagadnienia począkowe mają jednoznaczne rozwiązania: = a) + 2, 2 = 2 +,, b) sin= 2 +sin, 2 cos= + 2 +cos,, ) ) =, 2 =2; 2 2 ) 3π = 4 2, 2 ) 3π = 4 3.

12 3.6 Korzsając z meod eliminacji rozwiązać podane układ równań różniczkowch liniowch ze wskazanmi warunkami począkowmi: x 3 x x) 3 x 3 2 x x) a) =, = ; b) 5 ) =, = ; 4 7 ) x c) = x, x) ) = x ; d*) = 2 3 x, x) ) = Sprawdzić, cz podane funkcje wekorowe worzą na zadanch przedziałach układ fundamenalne wskazanch układów równań różniczkowch liniowch: e 2e a) )= 2e, 2 )= 4e, =, R; 4 b) )= 2, 2 )=, =,, ); c) )=, 2 )=, = 2 2 2,,); 3e 2 e e d) )= 2e 2, 2 )= e, 3 )= e 3, = 6 9 2, R e 2 Lisa jedenasa e 3.8 Korzsając z poprzedniego zadania rozwiązać podane zagadnienia począkowe: a) =, )= ; b) 4 =, )= ; c) = 2 2, )= 8 2 ; d) = 6 9 2, )= Subsancja chemiczna A rozpada się na dwa składniki P i Q. Prędkość powsawania każdego z ch składników jes proporcjonalna do ilości subsancji nierozłożonej. Znaleźć funkcje p) i q) określające odpowiednio ilości subsancji P i Q w chwili. Prz czm wiadomo, że w momencie rozpoczęcia procesu rozpadu bło a jednosek subsancji A, a po godzinie bło.375a jednosek składnika P i.25a jednosek składnika Q. 3. Prz pomoc meod Eulera wznaczć układ fundamenalne podanch układów równań różniczkowch =A,jeżeli: a)a= 3 4 ; b)a= ; c)a= ; d)a= 3..

13 3. Korzsając z meod Eulera dla różnch rzeczwisch warości własnch rozwiązać układ równań =A lubzagadnieniepocząkowe =A, )=,jeżeli: a)a= 2 ; b)a= ; c)a= 2 2 ; d)a= 2, 24 =. 3.2 Korzsając z meod Eulera dla różnch zespolonch warości własnch rozwiązać układ równań =A lubzagadnieniepocząkowe =A, )=,jeżeli: a)a= c)a= 2 2 ; b)a=, 2 2 = ; d)a= ; 6 2, 3 5 = Korzsając z meod Eulera dla różnch rzeczwisch i zespolonch warości własnch rozwiązać układrównań =A lubzagadnieniepocząkowe =A, )=,jeżeli: 2 2 a)a= ; b)a=, = 5 ; c)a=. 3.4 Meodą eliminacji wznaczć rozwiązania ogólne podanch niejednorodnch układów równań różniczkowch lub zagadnień począkowch: x =x 2+ e, a) =x+4+e 2 ; x =x+2, b) =x 5sin; c) x =4x 5+4, = x 2+, x)=, )=. Lisa dwunasa 3.5 WobwodzieelekrcznmpołączonoszeregowocewkęoindukcjnościL =H,opornikooporności R=2ΩorazźródłonapięciasałegoE=5VirównolegledooporuRdrugącewkęoindukcjnościL 2 =.5H.WznaczćnaężeniaprądówI R )AiI L )A,przzałożeniu,żeI R )=i I L )=. 3.6 Dla każdego podanego układu niejednorodnego wskazano jedno jego rozwiązanie. Znaleźć rozwiązanie ogólne ego układu: 3

14 a) = b) = g 2 g 3e 2 e 2, ϕ)=, ϕ)= g 2 4 e2 4 e2 3.7 Sprawdzić, że podane funkcje wekorowe worzą na wskazanm przedziale układ fundamenaln układu jednorodnego =A).Nasępnierozwiązaćukładniejednorodn =A) + h)zzadanmwarunkiem począkowm jeżeli: a) )= 3 A)= 2, 2 )= 4,, ),, )= 2 2, h)= 5 ;. 3 2 b) )= e 2 2, 3 2 )= e 5, R, 4 2 A)=, 5 h)= e 2, )= c) )= e, 2 )= e, 3 )= 23 A)= 2, h)= 6 e, )= ; 7 3 ; e, R, 3.8 Korzsając z meod uzmienniania sałch znaleźć rozwiązanie ogólne układu niejednorodnego równańróżniczkowchliniowch =A + h),jeżeli: a)a= 2, h)= cos sin+cos ; b)a= 5, 3 e h)= e Rozwiązaćzagadnieniepocząkowe =A + h), )=,jeżeli: a)a=, cos h)=, = ; 2 5 b)a=, 4 h)=, 2 = 2 2e 2 c)a=, h)= 2 e d)a= 2, h)= e 2 e 3 2 ;, =, = ;. 4

15 3.2 Rozwiązać podane układ równań różniczkowch oraz naszkicować ich porre fazowe: x =2x, x = x, x a) b) = ; = =x, x = x 2, 2 ; c) d) =2; = 2. Lisa rznasa 3.2 Wznaczć punk równowagi podanch równań i układów auonomicznch: a) +=2; b) = ; c) =ln; x =x x 3 x 2, x =x 2 + 2, x =2+x) x), d) =2 5 x 4 e) ; f) =2x; =4 x)+x) Wznaczć punk równowagi podanch równań i układów. Korzsając z definicji zbadać ich sabilność. Dla punków sabilnch zbadać ich asmpoczną sabilność: a) ++=; b) =2 ; c) x =, =x; d*) x =, = 2x 3; e*) x =, = 2x Zbadać sabilność punku równowagi, ) układu równań różniczkowch liniowch o sałch współcznnikach =A,jeżeli: a)a= ; b)a= Zbadać sabilność punku równowagi,, ) układu równań różniczkowch liniowch o sałch współcznnikach =A,jeżeli: a) ; b) ; c) ; d) x x Określić p punków równowagi układu liniowego =A,jeżeli: a)a= ; b)a= ; c)a= ; d)a= ; e)a= ; f)a= ; g)a= ; h)a= ; i)a=

16 3.26 Wznaczć wszskie punk równowagi podanch auonomicznch układów równań różniczkowch i na podsawie pierwszego przbliżenialinearzacji) zbadać ich sabilność: x =2x+3, x =x+2 2, x =x 2 x+6, a) b) = x 2+; c) = 3x 4; =+; x = x, d) = x 2 ; x =xx +), g) =2x++); Lisa czernasa x =4 2 3x+2, e) =4x 2 4; x =xx ), h) =x ; x =x +x 2, f) =+ 2 ; x =x 2, i) =9x 4). 4. Korzsając z definicji obliczć ransforma Laplace a podanch funkcji: a)2 ; b)sin2; c) 2 ; d)e ; e)e 2 cos2; f)sh; g) =f) h) =g) O O i) =h) 2 O 4.2 Wznaczć funkcje ciągłe, kórch ransforma Laplace a mają posać: a) s+2 ; b) s s 2 +4s+5 ; c) s 2 4s+3 ; s+2 d) s+)s 2)s 2 +4) ; e) s 2 + s 2 s 2 ) 2; f) s+9 s 2 +6s+3 ; g) 2s+3 s 3 +4s 2 +5s ; h) 3s 2 s 3 ) 2; i) e s s Meodą operaorową rozwiązać podane zagadnienia począkowe dla równań różniczkowch liniowch o sałch współcznnikach: a) =, )=; c) + =, )=, )=; b) 2=sin, )=; d) +3 =e 3, )=, )= ; e) 2 +2=sin, )=, )=; f) 2 +=+, )=, )=; g) +4 +4= 2, )=, )=; h) +4 +3=e, )=, )= Meodą operaorową rozwiązać podane zagadnienia począkowe dla układów równań różniczkowch liniowch o sałch współcznnikach: x =, x =, a) x)=, )= ; b) = x, x)=, )=; =2x+2, 6

17 x = 2+3, c) x)=2, )=3; =2x+4, x = sin, d) x + x)= = cos, 2, )= 2 ; x = 2x 2 4z, e) = 2x+ 2z, x)=, )=, z)=; z = 5x+2+7z, x = x++z+ e, f) = x +z+e 3, x)=, )=, z)=. z = x++z+ 4, 4.5 Wznaczć funkcje ciągłe, kórch ransforma Laplace a mają posać: a) s+2 ; b) s s 2 +4s+5 ; c) s 2 4s+3 ; s+2 d) s+)s 2)s 2 +4) ; e) s 2 + s 2 s 2 ) 2; f) s+9 s 2 +6s+3 ; g) 2s+3 s 3 +4s 2 +5s ; h) 3s 2 s 3 ) 2; i) e s s Korzsając z podsawowch własności przekszałcenia Laplace a obliczć ransforma podanch funkcji: a)sin 4 ; c) 2 cos; b)cos4cos2; d)sh3; e)e cos; f)e 3 sin 2 ; g) 2)sin 2); h) )e ; i) 2 3); dla <, dla <2, dla 2 <3, j)f)= dla 3 <4, dla 4 <5, dla 5 <. * 4.7 Obliczć splo podanch par funkcji a)f)=e, g)=e 2 ; b)f)=cos3, g)=cos. * 4.8 Korzsając ze wzoru Borela wznaczć funkcje, kórch ransforma dane są wzorami: a) s 2 s 2 +) ; b) s s 2 +) 2; c) s ) 2 s+2). 7

18 * 4.9 Niechϕ)będzierozwiązaniemrównaniajednorodnego +p +q=,q )zwarunkami począkowmi)=, )=.Pokazać,żejeżelifunkcjah)jesorginałem,orozwiązanie) zagadnienia począkowego +p +q=h),)=, )=,q ) wrażasięwzorem)= ϕ ) h) ).Przedsawićrozwiązaniapodanchzagadnieńpocząkowch w posaci sploów: q a) + 2=cos,)=, )=; b) 2 +=e,)=, )=. 8