Równania różniczkowe zwyczajne MAP 3014, 3062 Lista zadań

Transkrypt

1 Równania różniczkowe zwyczajne MAP 304, 306 Lisa zadań.zpewnejsubsancjiradioakywnejpoupływie4lazosało0gram,apoupływiedalszych4laylko 4 gramy. Wyznaczyć masę subsancji w chwili począkowej. (b) Polon-0 ma okres połowicznego zaniku równy 40 dni. Znaleźć masę ego pierwiaska po 00 dniach, jeżeli jego masa począkowa wynosiła 00 g. Okres połowicznego zaniku pewnego pierwiaska promieniowórczego jes równy 00 la. Ile procen masy począkowej ego pierwiaska pozosanie po i) 0, ii) 50, iii) 00 laach?. Sprawdzić, że podane funkcje są rozwiązaniami wskazanych równań różniczkowych na zadanych przedziałach: y()= sin, y +y=cos,(0, ); (b)y()=, y +y=3, R; y()= +, y +y =0, R; (d)y()= 4, yy =, (,). 3. Sprawdzić, że dla każdego C R podane funkcje są rozwiązaniami wskazanych równań różniczkowych, a nasępnie znaleźć rozwiązania spełniające zadane warunki począkowe: y()=+c, y =, y(0)=0; (b)y()=ce, y =y, y()= ; y()=ce + 3 e, y +y=e, y(0)=; (d)y()=+c +, y = y+ +, y(0)=0. 4. Scałkować podane równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych: yy +4=0; (b)dy=y d; ( y ) d+y ( ) dy=0; (d) y = y ; (e)y =++y+y; (f)y +4y=y ( e +4 ). 5.Dokonaćanalizyrozwiązańrównaniaróżniczkowegoy =kywzależnościodrzeczywisegoparameruk. 6.Wyznaczyćrozwiązanierównaniaróżniczkowego ( + ) y =+y zzadanymiwarunkamipocząkowymi: y()= ; (b)y()=. Podać przedziały, na kórych są one określone. 7. Rozwiązać podane zagadnienia począkowe dla równań różniczkowych o rozdzielonych zmiennych: ( π y sin=ylny, y =e; (b) ) y d+y dy=0, y(0)=; (y+)y =y, y(e)=; (d)ycosd ( +y ) dy=0, y(0)=; (e)y =y ( + ), y(0)= ; (f)e y (y )=, y(0)=0. 8. Scałkować podane równania różniczkowe jednorodne: y = y +y; (b)( y)d+dy=0; y =y(lny ln); (d)y y=g y ; (e)( y ) d+ydy=0; (f) y =y+y. 9. Rozwiązać podane zagadnienia począkowe dla równań rózniczkowych jednorodnych oraz wyznaczyć przedziały, na kórych są one określone: ( +y ) d ydy=0,y()= ; (b)y =+ y,y()=0; y = 4y,y()=; y (d) ( y 3 3) d y dy=0,y()=3.

2 0. Znaleźć krzywe, dla kórych rójką OSY (rysunek) uworzony przez oś Oy, syczną i wekor wodzący punku syczności jes równoramienny(o podsawie OY). y Y S y=y() O. Rozwiązać podane równania różniczkowe liniowe niejednorodne: y +y=sin; (b)y +y=e ; y y= 3 cos; (d)y y=4 4 ; (e)y+e y =0; (f)(+)y =4+y..Załóżmy,żeψ()jesrozwiązaniemrównaniaróżniczkowegoliniowegoniejednorodnego(LN)y +p()y= q(),afunkcjaϕ() 0rozwiązaniemczęścijednorodnejegorównania(LJ)y +p()y=0,gdziefunkcjep(), q() są ciągłe na przedziale(a, b). Pokazać, że każde rozwiązanie y() równania niejednorodnego można przedsawić w posaci y() = Cϕ() + ψ(), gdzie C jes odpowiednio dobraną sałą. rzeczywisą. (b) Załóżmy, że funkcje η(), ψ() są różnymi(η() ψ()) rozwiązaniami równania różniczkowego liniowego niejednorodnego(ln). Pokazać, że każde rozwiązanie y() równania niejednorodnego ma posać y() = C(η() ψ())+η(),gdziecjesodpowiedniodobranąsałą. 3. Wyznaczyć rozwiązania podanych zagadnień począkowych dla równań liniowych niejednorodnych oraz podać przedziały, na kórych są one określone: y y=,y(3)=3; (b)y =(y+)sin, y( 0 )=y 0 ; ( π y +y=+,y()=0; (d)y sincos=y+sin 3,y =0. 4) 4.Dlarównanialiniowegoniejednorodnegoy +py=q(),gdziep Rwyznaczyćrozwiązanieϕ()wpodanej posaci, jeżeli: p=4, q()=, ϕ()=a +B+C; (b)p=, q()= 4, ϕ()=a 4 +B 3 +C +D+E; p= 3, q()=4 e, ϕ()= ( A +B+C ) e ; (d)p=, q()=e, ϕ()=(a+b)e ; (e)p=, q()=cos3, ϕ()=asin3+bcos3; (f)p=, q()=sin cos, ϕ()=asin +Bcos. 5.Znaleźćrozwiązanierównaniaróżniczkowegoliniowegoniejednorodnego y +y= ( + ) e spełniające warunek lim y()=. 6. Znaleźć równanie krzywej przechodzącej przez punk(,), dla kórej pole rójkąa OST(rysunek) uworzonegoprzezośo,sycznąiwekorwodzącypunkusycznościjessałeirównasię. y S O T y=y() 7. Rozwiązać podane równania różniczkowe Bernoulliego: y +y=y ; (b)3y y y 3 = 3 ; ( y +y ) =y; (d)y y= ysin; (e)y + y =y y,>0; (f)y =y ( y e ).

3 8. Rozwiązać podane zagadnienia począkowe dla równań różniczkowych Bernoulliego oraz wyznaczyć przedziały, na kórych są one określone: y +y=y 3,>0 y()= ; (b)y +y=y ln,y()=; y y= ye ln,y()=0; (d)y ln+ y = y,y(e)= e. 9.Basenopojemności0000lirówzawiera000lirówczysejwody.Dobasenuwlewasięwodaoskażeniu 50% z prędkością 0 lirów na minuę. Przez owór spusowy ciecz wylewa się z prędkością 0 lirów na minuę. Wyznaczyć skażenie wody w chwili napełnienia zbiornika. (b)whalioobjęości00m 3 powierzezawiera0.5%dwulenkuwęgla.wenylaorpodajewciąguminuy 0m 3 powierzazawierającego0.04%co.pojakimczasiesężeniedwulenkuwęglawhalizmniejszysię dwukronie? Zbiornik o pojemności 50 lirów napełniony jes 4% wodnym rozworem alkoholu. Po włączeniu pomp (=0)dozbiornikawlewasię0%wodnyrozwóralkoholuzprędkością5l/min,apowsałamieszanina wylewa się dwa razy szybciej. Po ilu minuach ilość alkoholu w zbiorniku będzie największa? 0. Kulura licząca 500 bakerii rozwija się według wykładniczego prawa wzrosu ak, że po rzech godzinach osiąga san 8000 bakerii. Po jakim czasie populacja będzie liczyła milion bakerii? (b) Populacja pewnego gaunku ryb rozwijająca się według wykładniczego prawa wzrosu podwoiła liczbę swoich osobnikówwciągu0la.poilulaachliczbarybporoisię? Populacja pewnego gaunku biologicznego, kórej rozwój opisany jes równaniem logisycznym liczyła na począku 5 ys. osobników. Po 0 dniach ich liczba wzrosła do 8 ys. osobników, by po dosaecznie długim czasie usabilizować się na poziomie 5 ys. osobników. Wyznaczyć czas, po kórym populacja podwoiła liczbę swoich osobników..termomerzpokoju,wkórymwskazywał0 C,wysawiononazewnąrz,gdziepanował5 Cchłód. Pojednejminucienaermomerzebyłojuż C.Pojakimczasieermomerbędziewskazywałemperaurę ylkoo0%wyższąniżfakyczna? (b)ciało,kóregoemperaurawynosi0 Cumieszczonowpomieszczeniuoemperaurze60 C.Po0minuachjegoemperauraobniżyłasiędo40 C.Wymmomenciewłączonoklimayzaory,kóreobniżają emperauręooczeniazszybkością Cnaminuę.JakabędzieemperauraTciałapominuachodchwili uruchomienia klimayzaorów?. W obwodzie elekrycznym połączono szeregowo opornik o oporności R = 0[Ω], cewkę o indukcyjności L=[H]orazźródłonapięciasałegoE()=[V].Wyznaczyćgranicznenaężenieprąduwobwodzie,gdy.NaszkicowaćfunkcjęI()[A],jeżeliI(0)=0.[A]. (b)wobwodzieelekrycznympołączonoszeregowoopornikooporzer=5[ω],cewkęoindukcyjnościl=.5 [H] oraz zewnęrzną siłę elekromooryczną E() = 0 sin [V]. Wyznaczyć naężenie prądu I()[A] w obwodzie, jeżelii(0)=0. 3. Krzywa y = y() przechodzi przez począek układu współrzędnych i leży w górnej półpłaszczyźnie. Każdy prosoką ograniczony osiami układu współrzędnych i prosymi poprowadzonymi z dowolnego punku(, y()) krzywej prosopadłymi do nich krzywa y() dzieli na dwie części. Pole zaware pod krzywą y() jes dwa razy mniejsze niż pole nad krzywą. Wyznaczyć równanie ej krzywej. y y=y() y() O 4. Wyznaczyć równanie ruchu kamienia o masie m opadającego swobodnie na dno jeziora. Uwzględnić opór wody, kóry jes wpros proporcjonalny(ze współczynnikiem k > 0) do prędkości opadania v. Przyjąc, że głębokośćjeziorawynosid 0,aprędkośćpocząkowajeszerowa. 3

4 5. Wyznaczyć rozwiązania podanych równanań rzędu drugiego: y (y ) =0; (b)y y = e ; y y =(y ) ; (d)y =y Rozwiązać(scałkować) podane równania różniczkowe: y 3 y +=0; (b)yy 3(y ) =4y ; (y )y =(y ) ; (d*)y + (y ) 7. Rozwiązać podane równania różniczkowe z zadanymi warunkami począkowymi: y = y + y,y()=0,y ()=4; (b)yy (y ) =y lny,y(0)=,y (0)=; y =3y,y( )=,y ( )=; (d)y =(+y ),y()=0,y ()=. y =ye y (y ) 3. 8.Znaleźćkrzywąy=y(),kóraprzechodziprzezpunk(0,)ijeswnimsycznadoprosej+y=oraz spełniarównanieróżniczkoweyy +(y ) =. 9. Wyznaczyć równanie ruchu spadającego swobodnie ciała o masie m z uwzględnieniem oporu powierza, kóry jes wpros proporcjonalny do kwadrau prędkości spadania, ze współczynnikiem proporcjonalności k > 0. Przyjąć,żeciałospadazwysokościs 0 przyzerowejprędkościpocząkowej. (b)cząseczkaomasiemporuszasiępoliniiprosej.niech()oznaczaodległośćejcząseczkiwchwiliod usalonegocenrumnaprosej.wpunkciecząseczkajesprzyciąganaprzezcenrumzsiłąk 3,gdziek>0. Wyznaczyćrównanieruchucząseczkiorazznaleźćjegorozwiązanie,jeżelirozpoczęłaonaruchwodległości 0 od cenrum z zerową prędkością począkową. Obliczyć czas, po kórym cząseczka osiągnie cenrum. 30. Korzysając z wierdzenia o isnieniu i jednoznaczności dla równań różniczkowych liniowych wyznaczyć przedziały, na kórych podane zagadnienia począkowe mają jednoznaczne rozwiązania: ( ) y +( )y +y=ln, y ( ) =,y ()=0; (b)( 3)y +y +(ln )y=0, y()=0,y ()=. 3.Sprawdzić,żefunkcjeϕ()=e,ψ()=e 3 orazichdowolnakombinacjaliniowasąrozwiązaniamirównania y y 3y=0. 3.Danyjesukładfundamenalny(y (),y ())równanialiniowegojednorodnegoposaciy +p()y +q()y=0. Dlajakichparamerówα,β R,parafunkcji(u (),u ())określonychwzorami jes również układem fundamenalnym ego równania? u ()=αy ()+y () u ()=y ()+βy () 33. Sprawdzić, że podane funkcje worzą na zadanych przedziałach układy fundamenalne wskazanych równań różniczkowych. Znaleźć rozwiązania ych równań z zadanymi warunkami począkowymi: y ()=e,y ()=e, (, ), y y y=0, y(0)=,y (0)= 5; (b)y ()=ln,y ()=, (0,e), ( ln)y +y y=0, y()=,y ()=; y ()=,y ()=e, (,), ( )y y +y=0, y(0)=0,y (0)=; (d)y ()=,y ()=, (0, ), y y +y=0, y()=3,y ()=. 34. Wyznaczyćrównaniaróżniczkoweliniowejednorodneposaciy +p()y +q()y=0,kórychukłady fundamenalne składają się z podanych funkcji: y ()=sinh,y =cosh,gdzie R; (b)y ()=,y ()=,gdzie (0, ); y ()= 7,y ()=,gdzie (0, ). 4

5 35. Do każdego z podanych równań różniczkowych wskazano jedno jego rozwiązanie. Wykorzysując meodę obniżania rzędu równania znaleźć rozwiązania ogólne ych równań różniczkowych: y 5y +6y=0, ϕ()=e 3 ; (b)y +4y=0, ϕ()=cos; y y 3y=0, ϕ()= ; (d)( )y (+)y +y=0, ϕ()=e ; (e)y y +( )y=0, ϕ()=e ; (f) y + y 4 =0, ϕ()=. 36. Wyznaczyć e warości parameru m R, dla kórych wskazana funkcja będzie rozwiązaniem podanego równania, a nasepnie scałkować e równania: ϕ()=e m,(+)y +( )y 8y=0; (b)ϕ()= m, y 3y +4y= Do każdego z podanych równań wskazano jedno jego rozwiązanie. Korzysając ze wzoru Liouville a wyznaczyć układy fundamenalne ych równań: 3 y +y y=0, y ()=; (b)y +y +y=0, y ()= sin. 38. Napisać równania charakerysyczne podanych równań różniczkowych: y y +y=0; (b)y 3y=0; 4y +y =0; (d)y 3y +4y=0. 39.Wyznaczyćrównaniaróżniczkoweliniowejednorodneosałychwspółczynnikachposaciy +py +qy=0, jeżeli podane są pierwiaski ich wielomianów charakerysycznych: λ =+ 3i; (b)λ =λ = ; λ =,λ =3; (d)λ =i. 40.Wyznaczyćrównaniaróżniczkoweliniowejednorodneosałychwspółczynnikachposaciy +py +qy=0, jeżeli podane funkcje wchodzą w skład ich układów fundamenalnych: cos; (b)e ; e,e α,gdzieα ; (d)e sin; (e); (f),e. 4. Rozwiązać podane równania różniczkowe liniowe o sałych współczynnikach: 6y 5y +y=0; (b)y y y=0; 4y 4y+y=0; (d)y +y + y 4 =0; (e)y 4y +5y=0; (f)y y +5y=0; (g)y +6y +8y=0; (h)7y +4y 3y=0; (i)y 6y +9y=0. 4. Rozwiązać podane zagadnienia począkowe: y +y 6y=0, y ( 0 ) ( π =,y (0)=0; (b)y +9y=0, y =,y 3) ( π ) =; 3 y y +y=0, y ( ) =,y ()=3; (d)y 7y +y=0, y ( 0 ) =3,y (0)=. 43.Punkmaerialnyomasiemporuszasiępoprosejłaczącejdwacenraijesprzyciąganyprzezniezsiłą wpros proporcjonalną do jego odległości od każdego z nich. Współczynnik proporcjonalności jes równy k > 0, a odległość między cenrami wynosi b. Znaleźć równanie ruchu i rozwiązać je wiedząc, że w chwili począkowej ( 0 =0)punkznajdowałsięwodległości 0 odśrodkaliniiłączącejobacenraimiałzerowąprędkość. 44. W obwodzie elekrycznym połączono szeregowo cewkę o indukcyjności L[H] oraz kondensaor o pojemności C[F]. Wyznaczyć naężenie prądu I[A] w ym obwodzie jako funkcję czasu. 45. Wyznaczyć e warości parameru α R, dla kórych zagadnienie brzegowe ma niezerowe rozwiązanie. y +αy=0,y(0)=y(π),y (0)=y (π) 46. Sprawdzić, że podane funkcje są rozwiązaniami wskazanych równań różniczkowych liniowych niejednorodnych. Wyznaczyć rozwiązania ogólne ych równań lub zagadnień począkowych: 5

6 y +0y +5y=4e 5, ϕ()= e 5 ; (b)y +4y=sin, ϕ()= 4 cos; y y y=4 e, ϕ ( ) = +e, y(0)=0,y (0)=; ( (d)y +y y= e 4, ϕ()= 8 ) e 4, y(0)= ,y (0)= Sprawdzić,żefunkcjaϕ()=+ 5 e (sin+cos)jesrozwiązaniemrównaniaróżniczkowego y +3y +y=4+e cos. Znaleźć rozwiązanie, kóre spełnia warunek lim y()=. 48.Zakładając,żepodanefunkcjesąrozwiązaniamirównanialiniowegoniejednorodnegoy +p()y +q()y= h(), wyznaczyć rozwiązanie ogólne ego równania lub rozwiązać zagadnienie począkowe: ϕ()=5e sin, ψ()=(cos+5sin)e, η()=(+5)e sin; (b)ϕ()=cos+ sin, ψ()=(+)cos+ sin, η()=cos+ ( + ) sin, y(0)=, y (0)= Podane funkcje są rozwiązaniami wskazanych równań liniowych niejednorodnych. Wyznaczyć rozwiązania ogólne ych równań: ϕ()= sin +, ψ()=, y + y +y= ; (b)ϕ()=, ψ()=sine +, y y +ye =e. 50. Wyznaczyć rozwiązania ogólne podanych równań liniowych niejednorodnych, jeżeli znane są układy fundamenalne odpowiadający im równań jednorodnych: y 7y +0y=e 3, y ()=e,y ()=e 5 ; (b) ( 3+ ) y 6(+)y +6y=6, y ()= 3,y ()=+; ( )y y +y=( ) e, y ()=,y ()=e ; (d)(+)y (+)y =e, y ()=,y ()=e. 5. Korzysając z meody uzmienniania sałych rozwiązać podane równania różniczkowe: y +4y +4y=e ; (b)y +4y= cos ; y y= 4 + ; (d)y y g=; (e)y +3y +y= +e ; (f)y +3y +y=cos ( e ). 5. Korzysając z meody przewidywania podać posacie rozwiązań podanych równań różniczkowych: 4y 4y= 3 4; (b)y 7y =( ) ; y 8y +6y=( )e 4 ; (d)y +3y =3; (e)y +5y=cos5; (f)y +y=sin cos. 53. Korzysając z meody współczynników nieoznaczonych(meoda przewidywania) rozwiązać podane równania różniczkowe liniowe niejednorodne: y +y +y= ; (b)y 4y +4y= ; y +4y +4y=8e ; (d)y +3y =3e 3 ; (e)y +5y +6y=0( )e ; (f)y +4y 4y=8sin. 54. Korzysając z wierdzenia o składaniu rozwiązań i meody współczynników nieoznaczonych(meoda przewidywania) rozwiązać podane równania różniczkowe: y y y=e +e ; (b)y y=+sin; y 4y =cos 4; (d)y y y=4 e. 6

7 55. Rozwiązać podane zagadnienia począkowe: y +y=( ), y(0)=,y (0)= ; (b)y 6y +9y=9 +, y(0)=,y (0)=3; y +6y +9y=0sin, y(0)=0,y (0)=0; (d)y +y =e, y ( 0 ) =,y (0)=. 56. W obwodzie elekrycznym połączono szeregowo opornik o oporności R = 0[Ω], cewkę o indukcyjności L=.5[H]ikondensaoropojemnościC=0.08[F]orazzewnęrznąsiłęelekromoorycznąE()=00cos5 [V].WyznaczyćnaężenieprąduI()[A],jeżeliI(0)=0iQ(0)=0,gdzieQ()oznaczailośćładunkuna kondensaorze C w chwili. 57.DwasulirowezbiornikiZ iz,zkórychpierwszyzawiera0%wodnyrozwórsoli,adrugiczysą wodę, połączono dwiema rurkami umożliwiającymi przepływ cieczy między nimi. Przy czym pierwszą rurą rozwór przepływa w jedną sronę, a drugą odwronie. Przepływy e odbywają się z prędkością lirów na minuę.określićilościsoliz ()iz ()odpowiedniowzbiornikachz iz.przyjąć,żeprocesrozpuszczania soli w obu zbiornikach jes naychmiasowy. (b)trzypełnezbiornikiz,z iz 3 opojemnościachodpowiednio0,40i50lirówpołączonodwiemarurkami. RurkieumożliwiająprzepływcieczyzezbiornikaZ doz orazzezbiornikaz doz 3 zprędkością0l/min. ZbiornikZ zawiera75%wodnyrozwórsoli,adwapozosałeczysąwodę.wyznaczyćilościsoliz (),z (), z 3 ()odpowiedniowzbiornikachz,z,z 3.Przyjąć,żepierwszyzbiornikzasilanyjesczysąwodązprędkością 0 l/min, a z ą samą prędkością z osaniego wypływa rozwór. Przyjąć również, że proces rozpuszczania soli w zbiornikach jes naychmiasowy. 58. Sprawdzić, że dla podanych układów równań różniczkowych wskazane ciągi funkcji są ich rozwiązaniami na zadanych przedziałach: y =, y ( y =, y (),y () ) ( ) = e,e, R;, y (b) y = y, y =y ( + y = y +y, y = y +y, ) +y, ( y (),y () ) =( 3 ) +3 3,e ,(0, ); (y (),y ())= 59. Rozwiązać podane zagadnienia począkowe: =lny, (0)=e, (b) y = y, y(0)=e ; ( C +C,C + C ), (0, ). = 5 y, (0)=, y = +5 y, y(0)= ; = 3 + y, (0)= = 3, (0)=, y = (d) +3 y, y(0)=; y = y, y(0)=. 60. Podane układy równań różniczkowych liniowych zapisać w posaci wekorowej: liniowych: y =y + y ln, y y = y +y (b) =y 3y +e, y =y +3y 3, ; y =y y =y +e +y 3,. ; y 3 =y y Korzysając z wierdzenia o isnieniu i jednoznaczności rozwiązań dla układów równań różniczkowych liniowych wyznaczyć przedziały, na kórych podane zagadnienia począkowe mają jednoznaczne rozwiązania: 7

8 y =y +y, y y =y y +, y ( ) =, ( ) =; ( 3π y sin=y y +sinf, y 4 (b) ( 3π y cos=y +y +cos, y 4 ) =, ) = Korzysając z meody eliminacji rozwiązać podane układy równań różniczkowych liniowych ze wskazanymi warunkami począkowymi: [ ] [ ] [ ] [ [ ] [ ] [ ] [ 3 (0) 3 3 (0) y =, = ; (b) 5][ y y(0) ] y =, = ; 4 7][ y y(0) 0] [ ] [ ] [ ] [ [ ] [ (0) 0 y =, = ; (d*) = 5][ y y(0) ] ][ ] [ ] [ ] () 3, = y y() Sprawdzić, czy podane funkcje wekorowe worzą na zadanych przedziałach układy fundamenalne wskazanych układów równań różniczkowych liniowych: [ e ] [ e ] [ ] y ()= e, y ()= 4e, y = y, R; 4 [ ] [ ] [ ] 0 (b) y ()=, y ()=, y 0 = y,(0, ); y ()= (d) y ()= [ ] [ [ ], y ()=, y ] = y,(,0); e e 3, y ()= e, y 3 ()= e 3, y = y, R e e e e 64. Korzysając z poprzedniego zadania rozwiązać podane zagadnienia począkowe: [ ] [ y = y, y(0)= ; (b) y 4 ] = 0 [ 0 y, y()= ; ] y = y, y( )= [ ] ; (d) y = y y, y(0)= Subsancja chemiczna A rozpada się na dwa składniki P i Q. Prędkość powsawania każdego z ych składników jes proporcjonalna do ilości subsancji nierozłożonej. Znaleźć funkcje p() i q() określające odpowiednio ilościsubsancjipiqwchwili.przyczymwiadomo,żewmomencierozpoczęciaprocesurozpadubyłoa jednosek subsancji A, a po godzinie było 0.375a jednosek składnika P i 0.5a jednosek składnika Q. 66. Przy pomocy meody Eulera wyznaczyć układy fundamenalne podanych układów równań różniczkowych y =A y,jeżeli: [ ] 3 4 A= ; (b)a= 3 6 [ ] 5 ; A= ; (d)a= KorzysajączmeodyEuleradlaróżnychrzeczywisychwarościwłasnychrozwiązaćukładrównań y =A y lubzagadnieniepocząkowe y =A y, y(0)= y 0,jeżeli: A= [ ] ; (b)a= 3 [ ] 8 ; A= ; (d)a= [ ] [, y 4 0 = 0 ]. 8

9 68.KorzysajączmeodyEuleradlaróżnychzespolonychwarościwłasnychrozwiązaćukładrównań y =A y lubzagadnieniepocząkowe y =A y, y(0)= y 0,jeżeli: [ ] [ ] 0 7 A= ; (b)a= ; 0 5 [ ] [ ] [ ] [ ] 0 6 A=, y 0 = ; (d)a=, y =. 69. Korzysając z meody Eulera dla różnych rzeczywisych i zespolonych warości własnych rozwiązać układ równań y =A ylubzagadnieniepocząkowe y =A y, y(0)= y 0,jeżeli: A= ; (b)a= 0 0, y 0 = 0 ; A= Meodą eliminacji wyznaczyć rozwiązania ogólne podanych niejednorodnych układów równań różniczkowych lub zagadnień począkowych: = y+ e, y =+4y+e ; (b) =+y, y = 5sin; =4 5y+4, y = y+, (0)=0, y(0)=0. 7.WobwodzieelekrycznympołączonoszeregowocewkęoindukcyjnościL =[H],opornikooporności R=0[Ω]orazźródłonapięciasałegoE=50[V]irównolegledooporuRdrugącewkęoindukcyjności L =0.5[H].WyznaczyćnaężeniaprądówI R ()[A]iI L ()[A],przyzałożeniu,żeI R (0)=0iI L (0)=0. 7. Dla każdego podanego układu niejednorodnego wskazano jedno jego rozwiązanie. Znaleźć rozwiązanie ogólne ego układu: [ ] [ ] [ ] y 0 g = y+ g, ϕ()= ; 0 g [ ] [ ] (b) y 3e = y+ 4 e, ϕ()= 4 e. 4 e 73. Sprawdzić, że podane funkcje wekorowe worzą na wskazanym przedziale układ fundamenalny układu jednorodnego y =A() y.nasępnierozwiązaćukładniejednorodny y =A() y+ h()zzadanymwarunkiem począkowym jeżeli: y ()= 3 [ A()= ], y ()= 4 [ [ ] [, h()= 5 y ()= 0 e, y ()= 0 A()= 3 0, h()= 00 ], (0, ), 30 ], y()= [ ] [ ] (b) y ()= e 3, y ()= e 5, R, [ ] [ ] [ ] 4 A()=, 5 h()= e 7, y(0)= ; e, y 3 ()= e, y(0)= ; e, R, 74. Korzysając z meody uzmienniania sałych znaleźć rozwiązanie ogólne układu niejednorodnego równań różniczkowychliniowych y =A y+ h(),jeżeli: [ ] [ ] [ ] [ ] A=, cos 5 h()= ; (b)a=, sin+cos 3 e h()= e. 9

10 75.Rozwiązaćzagadnieniepocząkowe y =A y+ h(), y(0)= y 0,jeżeli: [ ] [ ] 0 cos A=, h()=, y 0 0 = [ ] [ 5 4 ; (b)a=, h()= A= 0 0 e 0, h()=, y 0 = ; (d)a=, h()= Rozwiązać podane układy równań różniczkowych oraz naszkicować ich porrey fazowe: =, =, y (b) = y; y = y ; =, =, y (d) =y; y = y. 77. Wyznaczyć punky równowagi podanych równań i układów auonomicznych: y +y=; (b)y =y 3 y +y ; y =lny; = 3 y, = +y, =(+)(y ), (d) y =y y 5 y 4 (e) ; y (f) =y; y =(4 )(y+). ] [ 0, y 0 = 0 e e e 3, y 0 = ] ; Wyznaczyć punky równowagi podanych równań i układów. Korzysając z definicji zbadać ich sabilność. Dla punków sabilnych zbadać ich asympoyczną sabilność: y +y+=0; (b)y =y ; = y, y =; (d*) =y, y = 3y; (e*) =y, y = +3y. 79. Zbadać sabilność punku równowagi(0, 0) układu równań różniczkowych liniowych o sałych współczynnikach y =A y,jeżeli: [ ] [ ] 0 5 A= ; (b)a= Zbadać sabilność punku równowagi(0, 0, 0) układu równań różniczkowych liniowych o sałych współczynnikach y =A y,jeżeli: ; (b) 3 3 ; ; (d) [ ] [ ] 8. Określić ypy punków równowagi układu liniowego y =A,jeżeli: y [ ] [ ] [ ] 6 4 A= ; (b)a= ; A= ; 4 [ ] [ ] [ ] 7 6 (d)a= ; (e)a= ; (f)a= ; [ ] [ ] [ ] (g)a= ; (h)a= ; (i)a= Wyznaczyć wszyskie punky równowagi podanych auonomicznych układów równań różniczkowych i na podsawie pierwszego przybliżenia(linearyzacji) zbadać ich sabilność: 0

11 =+3y, y = y+; (d) = y, y =y ; (g) =( y+), y =y(+y+); (b) =+y, y = 3 4y; (e) =4y 3+, y =4 4; (h) =( ), y = y; = 0+6, y =y+; (f) = y+, y =y+y ; (i) = y, y =y(9 4). Opracowanie: dr Marian Gewer, doc. Zbigniew Skoczylas Wrocław, wrzesień Korzysając z definicji obliczyć ransformay Laplace a podanych funkcji: ; (b)sin; ; (d)e ; (e)e cos; (f)sinh; (g) y y=f() (h) y y=g() O O (i) y y=h() O 84. Wyznaczyć funkcje ciągłe, kórych ransformay Laplace a mają posać: s+ ; (b) s s +4s+5 ; s 4s+3 ; s+ (d) (s+)(s )(s +4) ; (e) s + s (s ) ; (f) s+9 s +6s+3 ; (g) s+3 s 3 +4s +5s ; (h) 3s e s (s 3 ) ; (i) s Meodą operaorową rozwiązać podane zagadnienia począkowe dla równań różniczkowych liniowych o sałych współczynnikach: y y=, y(0)=; y +y =0, y(0)=,y (0)=; (b)y y=sin, y(0)=0; (d)y +3y =e 3, y(0)=0,y (0)= ; (e)y y +y=sin, y(0)=0,y (0)=; (f)y y +y=+, y(0)=0,y (0)=0; (g)y +4y +4y=, y(0)=0,y (0)=0; (h)y +4y +3y=e, y(0)=0,y (0)=. 86. Meodą operaorową rozwiązać podane zagadnienia począkowe dla układów równań różniczkowych liniowych o sałych współczynnikach: = y, (0)=, y =, y(0)= ; = y+3, (0)=, y =+4, y(0)=3; = y 4z, (0)=, (e) y = + y z, y(0)=, z = 5+y+7z, z(0)=; = y, (0)=, (b) y =+y, y(0)=; y = sin, (0)= (d), +y = cos, y(0)= ; = +y+z+ e, (0)=0, (f) y = y+z+e 3, y(0)=0, z = +y+z+ 4, z(0)=0, 87. Korzysając z podsawowych własności przekszałcenia Laplace a obliczyć ransformay podanych funkcji:

12 sin 4 ; (b)cos4cos; cos; (d)sinh3; (e)e cos; (f)e 3 sin ; (g)( )sin( ); (h)( )e ; dla 0 <, 0 dla <, (i) dla <3, ( 3); (j)f()= 0 dla 3 <4, dla 4 <5, 0 dla 5 <. 88. Obliczyć sploy podanych par funkcji f()=e, g()=e ; (b)f()=cos3, g()=cos. 89. Korzysając ze wzoru Borela wyznaczyć funkcje, kórych ransformay dane są wzorami: s (s +) ; (b) s (s +) ; (s ) (s+). 90.Niechϕ()będzierozwiązaniemrównaniajednorodnegoy +py +qy=0,(q 0)zwarunkamipocząkowymiy(0)=,y (0)=0.Pokazać,żejeżelifunkcjah()jesoryginałem,orozwiązaniey()zagadnienia począkowego y +py +qy=h(),y(0)=0,y (0)=0,(q 0) wyrażasięwzoremy()= q (ϕ () h()).przedsawićrozwiązaniapodanychzagadnieńpocząkowychw posaci sploów: y +y y=cos,y(0)=0,y (0)=0; (b)y y +y=e,y(0)=0,y (0)=0.