Równania różniczkowe zwyczajne MAP 3014, 3062 Lista zadań

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Równania różniczkowe zwyczajne MAP 3014, 3062 Lista zadań"

Transkrypt

1 Równania różniczkowe zwyczajne MAP 304, 306 Lisa zadań.zpewnejsubsancjiradioakywnejpoupływie4lazosało0gram,apoupływiedalszych4laylko 4 gramy. Wyznaczyć masę subsancji w chwili począkowej. (b) Polon-0 ma okres połowicznego zaniku równy 40 dni. Znaleźć masę ego pierwiaska po 00 dniach, jeżeli jego masa począkowa wynosiła 00 g. Okres połowicznego zaniku pewnego pierwiaska promieniowórczego jes równy 00 la. Ile procen masy począkowej ego pierwiaska pozosanie po i) 0, ii) 50, iii) 00 laach?. Sprawdzić, że podane funkcje są rozwiązaniami wskazanych równań różniczkowych na zadanych przedziałach: y()= sin, y +y=cos,(0, ); (b)y()=, y +y=3, R; y()= +, y +y =0, R; (d)y()= 4, yy =, (,). 3. Sprawdzić, że dla każdego C R podane funkcje są rozwiązaniami wskazanych równań różniczkowych, a nasępnie znaleźć rozwiązania spełniające zadane warunki począkowe: y()=+c, y =, y(0)=0; (b)y()=ce, y =y, y()= ; y()=ce + 3 e, y +y=e, y(0)=; (d)y()=+c +, y = y+ +, y(0)=0. 4. Scałkować podane równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych: yy +4=0; (b)dy=y d; ( y ) d+y ( ) dy=0; (d) y = y ; (e)y =++y+y; (f)y +4y=y ( e +4 ). 5.Dokonaćanalizyrozwiązańrównaniaróżniczkowegoy =kywzależnościodrzeczywisegoparameruk. 6.Wyznaczyćrozwiązanierównaniaróżniczkowego ( + ) y =+y zzadanymiwarunkamipocząkowymi: y()= ; (b)y()=. Podać przedziały, na kórych są one określone. 7. Rozwiązać podane zagadnienia począkowe dla równań różniczkowych o rozdzielonych zmiennych: ( π y sin=ylny, y =e; (b) ) y d+y dy=0, y(0)=; (y+)y =y, y(e)=; (d)ycosd ( +y ) dy=0, y(0)=; (e)y =y ( + ), y(0)= ; (f)e y (y )=, y(0)=0. 8. Scałkować podane równania różniczkowe jednorodne: y = y +y; (b)( y)d+dy=0; y =y(lny ln); (d)y y=g y ; (e)( y ) d+ydy=0; (f) y =y+y. 9. Rozwiązać podane zagadnienia począkowe dla równań rózniczkowych jednorodnych oraz wyznaczyć przedziały, na kórych są one określone: ( +y ) d ydy=0,y()= ; (b)y =+ y,y()=0; y = 4y,y()=; y (d) ( y 3 3) d y dy=0,y()=3.

2 0. Znaleźć krzywe, dla kórych rójką OSY (rysunek) uworzony przez oś Oy, syczną i wekor wodzący punku syczności jes równoramienny(o podsawie OY). y Y S y=y() O. Rozwiązać podane równania różniczkowe liniowe niejednorodne: y +y=sin; (b)y +y=e ; y y= 3 cos; (d)y y=4 4 ; (e)y+e y =0; (f)(+)y =4+y..Załóżmy,żeψ()jesrozwiązaniemrównaniaróżniczkowegoliniowegoniejednorodnego(LN)y +p()y= q(),afunkcjaϕ() 0rozwiązaniemczęścijednorodnejegorównania(LJ)y +p()y=0,gdziefunkcjep(), q() są ciągłe na przedziale(a, b). Pokazać, że każde rozwiązanie y() równania niejednorodnego można przedsawić w posaci y() = Cϕ() + ψ(), gdzie C jes odpowiednio dobraną sałą. rzeczywisą. (b) Załóżmy, że funkcje η(), ψ() są różnymi(η() ψ()) rozwiązaniami równania różniczkowego liniowego niejednorodnego(ln). Pokazać, że każde rozwiązanie y() równania niejednorodnego ma posać y() = C(η() ψ())+η(),gdziecjesodpowiedniodobranąsałą. 3. Wyznaczyć rozwiązania podanych zagadnień począkowych dla równań liniowych niejednorodnych oraz podać przedziały, na kórych są one określone: y y=,y(3)=3; (b)y =(y+)sin, y( 0 )=y 0 ; ( π y +y=+,y()=0; (d)y sincos=y+sin 3,y =0. 4) 4.Dlarównanialiniowegoniejednorodnegoy +py=q(),gdziep Rwyznaczyćrozwiązanieϕ()wpodanej posaci, jeżeli: p=4, q()=, ϕ()=a +B+C; (b)p=, q()= 4, ϕ()=a 4 +B 3 +C +D+E; p= 3, q()=4 e, ϕ()= ( A +B+C ) e ; (d)p=, q()=e, ϕ()=(a+b)e ; (e)p=, q()=cos3, ϕ()=asin3+bcos3; (f)p=, q()=sin cos, ϕ()=asin +Bcos. 5.Znaleźćrozwiązanierównaniaróżniczkowegoliniowegoniejednorodnego y +y= ( + ) e spełniające warunek lim y()=. 6. Znaleźć równanie krzywej przechodzącej przez punk(,), dla kórej pole rójkąa OST(rysunek) uworzonegoprzezośo,sycznąiwekorwodzącypunkusycznościjessałeirównasię. y S O T y=y() 7. Rozwiązać podane równania różniczkowe Bernoulliego: y +y=y ; (b)3y y y 3 = 3 ; ( y +y ) =y; (d)y y= ysin; (e)y + y =y y,>0; (f)y =y ( y e ).

3 8. Rozwiązać podane zagadnienia począkowe dla równań różniczkowych Bernoulliego oraz wyznaczyć przedziały, na kórych są one określone: y +y=y 3,>0 y()= ; (b)y +y=y ln,y()=; y y= ye ln,y()=0; (d)y ln+ y = y,y(e)= e. 9.Basenopojemności0000lirówzawiera000lirówczysejwody.Dobasenuwlewasięwodaoskażeniu 50% z prędkością 0 lirów na minuę. Przez owór spusowy ciecz wylewa się z prędkością 0 lirów na minuę. Wyznaczyć skażenie wody w chwili napełnienia zbiornika. (b)whalioobjęości00m 3 powierzezawiera0.5%dwulenkuwęgla.wenylaorpodajewciąguminuy 0m 3 powierzazawierającego0.04%co.pojakimczasiesężeniedwulenkuwęglawhalizmniejszysię dwukronie? Zbiornik o pojemności 50 lirów napełniony jes 4% wodnym rozworem alkoholu. Po włączeniu pomp (=0)dozbiornikawlewasię0%wodnyrozwóralkoholuzprędkością5l/min,apowsałamieszanina wylewa się dwa razy szybciej. Po ilu minuach ilość alkoholu w zbiorniku będzie największa? 0. Kulura licząca 500 bakerii rozwija się według wykładniczego prawa wzrosu ak, że po rzech godzinach osiąga san 8000 bakerii. Po jakim czasie populacja będzie liczyła milion bakerii? (b) Populacja pewnego gaunku ryb rozwijająca się według wykładniczego prawa wzrosu podwoiła liczbę swoich osobnikówwciągu0la.poilulaachliczbarybporoisię? Populacja pewnego gaunku biologicznego, kórej rozwój opisany jes równaniem logisycznym liczyła na począku 5 ys. osobników. Po 0 dniach ich liczba wzrosła do 8 ys. osobników, by po dosaecznie długim czasie usabilizować się na poziomie 5 ys. osobników. Wyznaczyć czas, po kórym populacja podwoiła liczbę swoich osobników..termomerzpokoju,wkórymwskazywał0 C,wysawiononazewnąrz,gdziepanował5 Cchłód. Pojednejminucienaermomerzebyłojuż C.Pojakimczasieermomerbędziewskazywałemperaurę ylkoo0%wyższąniżfakyczna? (b)ciało,kóregoemperaurawynosi0 Cumieszczonowpomieszczeniuoemperaurze60 C.Po0minuachjegoemperauraobniżyłasiędo40 C.Wymmomenciewłączonoklimayzaory,kóreobniżają emperauręooczeniazszybkością Cnaminuę.JakabędzieemperauraTciałapominuachodchwili uruchomienia klimayzaorów?. W obwodzie elekrycznym połączono szeregowo opornik o oporności R = 0[Ω], cewkę o indukcyjności L=[H]orazźródłonapięciasałegoE()=[V].Wyznaczyćgranicznenaężenieprąduwobwodzie,gdy.NaszkicowaćfunkcjęI()[A],jeżeliI(0)=0.[A]. (b)wobwodzieelekrycznympołączonoszeregowoopornikooporzer=5[ω],cewkęoindukcyjnościl=.5 [H] oraz zewnęrzną siłę elekromooryczną E() = 0 sin [V]. Wyznaczyć naężenie prądu I()[A] w obwodzie, jeżelii(0)=0. 3. Krzywa y = y() przechodzi przez począek układu współrzędnych i leży w górnej półpłaszczyźnie. Każdy prosoką ograniczony osiami układu współrzędnych i prosymi poprowadzonymi z dowolnego punku(, y()) krzywej prosopadłymi do nich krzywa y() dzieli na dwie części. Pole zaware pod krzywą y() jes dwa razy mniejsze niż pole nad krzywą. Wyznaczyć równanie ej krzywej. y y=y() y() O 4. Wyznaczyć równanie ruchu kamienia o masie m opadającego swobodnie na dno jeziora. Uwzględnić opór wody, kóry jes wpros proporcjonalny(ze współczynnikiem k > 0) do prędkości opadania v. Przyjąc, że głębokośćjeziorawynosid 0,aprędkośćpocząkowajeszerowa. 3

4 5. Wyznaczyć rozwiązania podanych równanań rzędu drugiego: y (y ) =0; (b)y y = e ; y y =(y ) ; (d)y =y Rozwiązać(scałkować) podane równania różniczkowe: y 3 y +=0; (b)yy 3(y ) =4y ; (y )y =(y ) ; (d*)y + (y ) 7. Rozwiązać podane równania różniczkowe z zadanymi warunkami począkowymi: y = y + y,y()=0,y ()=4; (b)yy (y ) =y lny,y(0)=,y (0)=; y =3y,y( )=,y ( )=; (d)y =(+y ),y()=0,y ()=. y =ye y (y ) 3. 8.Znaleźćkrzywąy=y(),kóraprzechodziprzezpunk(0,)ijeswnimsycznadoprosej+y=oraz spełniarównanieróżniczkoweyy +(y ) =. 9. Wyznaczyć równanie ruchu spadającego swobodnie ciała o masie m z uwzględnieniem oporu powierza, kóry jes wpros proporcjonalny do kwadrau prędkości spadania, ze współczynnikiem proporcjonalności k > 0. Przyjąć,żeciałospadazwysokościs 0 przyzerowejprędkościpocząkowej. (b)cząseczkaomasiemporuszasiępoliniiprosej.niech()oznaczaodległośćejcząseczkiwchwiliod usalonegocenrumnaprosej.wpunkciecząseczkajesprzyciąganaprzezcenrumzsiłąk 3,gdziek>0. Wyznaczyćrównanieruchucząseczkiorazznaleźćjegorozwiązanie,jeżelirozpoczęłaonaruchwodległości 0 od cenrum z zerową prędkością począkową. Obliczyć czas, po kórym cząseczka osiągnie cenrum. 30. Korzysając z wierdzenia o isnieniu i jednoznaczności dla równań różniczkowych liniowych wyznaczyć przedziały, na kórych podane zagadnienia począkowe mają jednoznaczne rozwiązania: ( ) y +( )y +y=ln, y ( ) =,y ()=0; (b)( 3)y +y +(ln )y=0, y()=0,y ()=. 3.Sprawdzić,żefunkcjeϕ()=e,ψ()=e 3 orazichdowolnakombinacjaliniowasąrozwiązaniamirównania y y 3y=0. 3.Danyjesukładfundamenalny(y (),y ())równanialiniowegojednorodnegoposaciy +p()y +q()y=0. Dlajakichparamerówα,β R,parafunkcji(u (),u ())określonychwzorami jes również układem fundamenalnym ego równania? u ()=αy ()+y () u ()=y ()+βy () 33. Sprawdzić, że podane funkcje worzą na zadanych przedziałach układy fundamenalne wskazanych równań różniczkowych. Znaleźć rozwiązania ych równań z zadanymi warunkami począkowymi: y ()=e,y ()=e, (, ), y y y=0, y(0)=,y (0)= 5; (b)y ()=ln,y ()=, (0,e), ( ln)y +y y=0, y()=,y ()=; y ()=,y ()=e, (,), ( )y y +y=0, y(0)=0,y (0)=; (d)y ()=,y ()=, (0, ), y y +y=0, y()=3,y ()=. 34. Wyznaczyćrównaniaróżniczkoweliniowejednorodneposaciy +p()y +q()y=0,kórychukłady fundamenalne składają się z podanych funkcji: y ()=sinh,y =cosh,gdzie R; (b)y ()=,y ()=,gdzie (0, ); y ()= 7,y ()=,gdzie (0, ). 4

5 35. Do każdego z podanych równań różniczkowych wskazano jedno jego rozwiązanie. Wykorzysując meodę obniżania rzędu równania znaleźć rozwiązania ogólne ych równań różniczkowych: y 5y +6y=0, ϕ()=e 3 ; (b)y +4y=0, ϕ()=cos; y y 3y=0, ϕ()= ; (d)( )y (+)y +y=0, ϕ()=e ; (e)y y +( )y=0, ϕ()=e ; (f) y + y 4 =0, ϕ()=. 36. Wyznaczyć e warości parameru m R, dla kórych wskazana funkcja będzie rozwiązaniem podanego równania, a nasepnie scałkować e równania: ϕ()=e m,(+)y +( )y 8y=0; (b)ϕ()= m, y 3y +4y= Do każdego z podanych równań wskazano jedno jego rozwiązanie. Korzysając ze wzoru Liouville a wyznaczyć układy fundamenalne ych równań: 3 y +y y=0, y ()=; (b)y +y +y=0, y ()= sin. 38. Napisać równania charakerysyczne podanych równań różniczkowych: y y +y=0; (b)y 3y=0; 4y +y =0; (d)y 3y +4y=0. 39.Wyznaczyćrównaniaróżniczkoweliniowejednorodneosałychwspółczynnikachposaciy +py +qy=0, jeżeli podane są pierwiaski ich wielomianów charakerysycznych: λ =+ 3i; (b)λ =λ = ; λ =,λ =3; (d)λ =i. 40.Wyznaczyćrównaniaróżniczkoweliniowejednorodneosałychwspółczynnikachposaciy +py +qy=0, jeżeli podane funkcje wchodzą w skład ich układów fundamenalnych: cos; (b)e ; e,e α,gdzieα ; (d)e sin; (e); (f),e. 4. Rozwiązać podane równania różniczkowe liniowe o sałych współczynnikach: 6y 5y +y=0; (b)y y y=0; 4y 4y+y=0; (d)y +y + y 4 =0; (e)y 4y +5y=0; (f)y y +5y=0; (g)y +6y +8y=0; (h)7y +4y 3y=0; (i)y 6y +9y=0. 4. Rozwiązać podane zagadnienia począkowe: y +y 6y=0, y ( 0 ) ( π =,y (0)=0; (b)y +9y=0, y =,y 3) ( π ) =; 3 y y +y=0, y ( ) =,y ()=3; (d)y 7y +y=0, y ( 0 ) =3,y (0)=. 43.Punkmaerialnyomasiemporuszasiępoprosejłaczącejdwacenraijesprzyciąganyprzezniezsiłą wpros proporcjonalną do jego odległości od każdego z nich. Współczynnik proporcjonalności jes równy k > 0, a odległość między cenrami wynosi b. Znaleźć równanie ruchu i rozwiązać je wiedząc, że w chwili począkowej ( 0 =0)punkznajdowałsięwodległości 0 odśrodkaliniiłączącejobacenraimiałzerowąprędkość. 44. W obwodzie elekrycznym połączono szeregowo cewkę o indukcyjności L[H] oraz kondensaor o pojemności C[F]. Wyznaczyć naężenie prądu I[A] w ym obwodzie jako funkcję czasu. 45. Wyznaczyć e warości parameru α R, dla kórych zagadnienie brzegowe ma niezerowe rozwiązanie. y +αy=0,y(0)=y(π),y (0)=y (π) 46. Sprawdzić, że podane funkcje są rozwiązaniami wskazanych równań różniczkowych liniowych niejednorodnych. Wyznaczyć rozwiązania ogólne ych równań lub zagadnień począkowych: 5

6 y +0y +5y=4e 5, ϕ()= e 5 ; (b)y +4y=sin, ϕ()= 4 cos; y y y=4 e, ϕ ( ) = +e, y(0)=0,y (0)=; ( (d)y +y y= e 4, ϕ()= 8 ) e 4, y(0)= ,y (0)= Sprawdzić,żefunkcjaϕ()=+ 5 e (sin+cos)jesrozwiązaniemrównaniaróżniczkowego y +3y +y=4+e cos. Znaleźć rozwiązanie, kóre spełnia warunek lim y()=. 48.Zakładając,żepodanefunkcjesąrozwiązaniamirównanialiniowegoniejednorodnegoy +p()y +q()y= h(), wyznaczyć rozwiązanie ogólne ego równania lub rozwiązać zagadnienie począkowe: ϕ()=5e sin, ψ()=(cos+5sin)e, η()=(+5)e sin; (b)ϕ()=cos+ sin, ψ()=(+)cos+ sin, η()=cos+ ( + ) sin, y(0)=, y (0)= Podane funkcje są rozwiązaniami wskazanych równań liniowych niejednorodnych. Wyznaczyć rozwiązania ogólne ych równań: ϕ()= sin +, ψ()=, y + y +y= ; (b)ϕ()=, ψ()=sine +, y y +ye =e. 50. Wyznaczyć rozwiązania ogólne podanych równań liniowych niejednorodnych, jeżeli znane są układy fundamenalne odpowiadający im równań jednorodnych: y 7y +0y=e 3, y ()=e,y ()=e 5 ; (b) ( 3+ ) y 6(+)y +6y=6, y ()= 3,y ()=+; ( )y y +y=( ) e, y ()=,y ()=e ; (d)(+)y (+)y =e, y ()=,y ()=e. 5. Korzysając z meody uzmienniania sałych rozwiązać podane równania różniczkowe: y +4y +4y=e ; (b)y +4y= cos ; y y= 4 + ; (d)y y g=; (e)y +3y +y= +e ; (f)y +3y +y=cos ( e ). 5. Korzysając z meody przewidywania podać posacie rozwiązań podanych równań różniczkowych: 4y 4y= 3 4; (b)y 7y =( ) ; y 8y +6y=( )e 4 ; (d)y +3y =3; (e)y +5y=cos5; (f)y +y=sin cos. 53. Korzysając z meody współczynników nieoznaczonych(meoda przewidywania) rozwiązać podane równania różniczkowe liniowe niejednorodne: y +y +y= ; (b)y 4y +4y= ; y +4y +4y=8e ; (d)y +3y =3e 3 ; (e)y +5y +6y=0( )e ; (f)y +4y 4y=8sin. 54. Korzysając z wierdzenia o składaniu rozwiązań i meody współczynników nieoznaczonych(meoda przewidywania) rozwiązać podane równania różniczkowe: y y y=e +e ; (b)y y=+sin; y 4y =cos 4; (d)y y y=4 e. 6

7 55. Rozwiązać podane zagadnienia począkowe: y +y=( ), y(0)=,y (0)= ; (b)y 6y +9y=9 +, y(0)=,y (0)=3; y +6y +9y=0sin, y(0)=0,y (0)=0; (d)y +y =e, y ( 0 ) =,y (0)=. 56. W obwodzie elekrycznym połączono szeregowo opornik o oporności R = 0[Ω], cewkę o indukcyjności L=.5[H]ikondensaoropojemnościC=0.08[F]orazzewnęrznąsiłęelekromoorycznąE()=00cos5 [V].WyznaczyćnaężenieprąduI()[A],jeżeliI(0)=0iQ(0)=0,gdzieQ()oznaczailośćładunkuna kondensaorze C w chwili. 57.DwasulirowezbiornikiZ iz,zkórychpierwszyzawiera0%wodnyrozwórsoli,adrugiczysą wodę, połączono dwiema rurkami umożliwiającymi przepływ cieczy między nimi. Przy czym pierwszą rurą rozwór przepływa w jedną sronę, a drugą odwronie. Przepływy e odbywają się z prędkością lirów na minuę.określićilościsoliz ()iz ()odpowiedniowzbiornikachz iz.przyjąć,żeprocesrozpuszczania soli w obu zbiornikach jes naychmiasowy. (b)trzypełnezbiornikiz,z iz 3 opojemnościachodpowiednio0,40i50lirówpołączonodwiemarurkami. RurkieumożliwiająprzepływcieczyzezbiornikaZ doz orazzezbiornikaz doz 3 zprędkością0l/min. ZbiornikZ zawiera75%wodnyrozwórsoli,adwapozosałeczysąwodę.wyznaczyćilościsoliz (),z (), z 3 ()odpowiedniowzbiornikachz,z,z 3.Przyjąć,żepierwszyzbiornikzasilanyjesczysąwodązprędkością 0 l/min, a z ą samą prędkością z osaniego wypływa rozwór. Przyjąć również, że proces rozpuszczania soli w zbiornikach jes naychmiasowy. 58. Sprawdzić, że dla podanych układów równań różniczkowych wskazane ciągi funkcji są ich rozwiązaniami na zadanych przedziałach: y =, y ( y =, y (),y () ) ( ) = e,e, R;, y (b) y = y, y =y ( + y = y +y, y = y +y, ) +y, ( y (),y () ) =( 3 ) +3 3,e ,(0, ); (y (),y ())= 59. Rozwiązać podane zagadnienia począkowe: =lny, (0)=e, (b) y = y, y(0)=e ; ( C +C,C + C ), (0, ). = 5 y, (0)=, y = +5 y, y(0)= ; = 3 + y, (0)= = 3, (0)=, y = (d) +3 y, y(0)=; y = y, y(0)=. 60. Podane układy równań różniczkowych liniowych zapisać w posaci wekorowej: liniowych: y =y + y ln, y y = y +y (b) =y 3y +e, y =y +3y 3, ; y =y y =y +e +y 3,. ; y 3 =y y Korzysając z wierdzenia o isnieniu i jednoznaczności rozwiązań dla układów równań różniczkowych liniowych wyznaczyć przedziały, na kórych podane zagadnienia począkowe mają jednoznaczne rozwiązania: 7

8 y =y +y, y y =y y +, y ( ) =, ( ) =; ( 3π y sin=y y +sinf, y 4 (b) ( 3π y cos=y +y +cos, y 4 ) =, ) = Korzysając z meody eliminacji rozwiązać podane układy równań różniczkowych liniowych ze wskazanymi warunkami począkowymi: [ ] [ ] [ ] [ [ ] [ ] [ ] [ 3 (0) 3 3 (0) y =, = ; (b) 5][ y y(0) ] y =, = ; 4 7][ y y(0) 0] [ ] [ ] [ ] [ [ ] [ (0) 0 y =, = ; (d*) = 5][ y y(0) ] ][ ] [ ] [ ] () 3, = y y() Sprawdzić, czy podane funkcje wekorowe worzą na zadanych przedziałach układy fundamenalne wskazanych układów równań różniczkowych liniowych: [ e ] [ e ] [ ] y ()= e, y ()= 4e, y = y, R; 4 [ ] [ ] [ ] 0 (b) y ()=, y ()=, y 0 = y,(0, ); y ()= (d) y ()= [ ] [ [ ], y ()=, y ] = y,(,0); e e 3, y ()= e, y 3 ()= e 3, y = y, R e e e e 64. Korzysając z poprzedniego zadania rozwiązać podane zagadnienia począkowe: [ ] [ y = y, y(0)= ; (b) y 4 ] = 0 [ 0 y, y()= ; ] y = y, y( )= [ ] ; (d) y = y y, y(0)= Subsancja chemiczna A rozpada się na dwa składniki P i Q. Prędkość powsawania każdego z ych składników jes proporcjonalna do ilości subsancji nierozłożonej. Znaleźć funkcje p() i q() określające odpowiednio ilościsubsancjipiqwchwili.przyczymwiadomo,żewmomencierozpoczęciaprocesurozpadubyłoa jednosek subsancji A, a po godzinie było 0.375a jednosek składnika P i 0.5a jednosek składnika Q. 66. Przy pomocy meody Eulera wyznaczyć układy fundamenalne podanych układów równań różniczkowych y =A y,jeżeli: [ ] 3 4 A= ; (b)a= 3 6 [ ] 5 ; A= ; (d)a= KorzysajączmeodyEuleradlaróżnychrzeczywisychwarościwłasnychrozwiązaćukładrównań y =A y lubzagadnieniepocząkowe y =A y, y(0)= y 0,jeżeli: A= [ ] ; (b)a= 3 [ ] 8 ; A= ; (d)a= [ ] [, y 4 0 = 0 ]. 8

9 68.KorzysajączmeodyEuleradlaróżnychzespolonychwarościwłasnychrozwiązaćukładrównań y =A y lubzagadnieniepocząkowe y =A y, y(0)= y 0,jeżeli: [ ] [ ] 0 7 A= ; (b)a= ; 0 5 [ ] [ ] [ ] [ ] 0 6 A=, y 0 = ; (d)a=, y =. 69. Korzysając z meody Eulera dla różnych rzeczywisych i zespolonych warości własnych rozwiązać układ równań y =A ylubzagadnieniepocząkowe y =A y, y(0)= y 0,jeżeli: A= ; (b)a= 0 0, y 0 = 0 ; A= Meodą eliminacji wyznaczyć rozwiązania ogólne podanych niejednorodnych układów równań różniczkowych lub zagadnień począkowych: = y+ e, y =+4y+e ; (b) =+y, y = 5sin; =4 5y+4, y = y+, (0)=0, y(0)=0. 7.WobwodzieelekrycznympołączonoszeregowocewkęoindukcyjnościL =[H],opornikooporności R=0[Ω]orazźródłonapięciasałegoE=50[V]irównolegledooporuRdrugącewkęoindukcyjności L =0.5[H].WyznaczyćnaężeniaprądówI R ()[A]iI L ()[A],przyzałożeniu,żeI R (0)=0iI L (0)=0. 7. Dla każdego podanego układu niejednorodnego wskazano jedno jego rozwiązanie. Znaleźć rozwiązanie ogólne ego układu: [ ] [ ] [ ] y 0 g = y+ g, ϕ()= ; 0 g [ ] [ ] (b) y 3e = y+ 4 e, ϕ()= 4 e. 4 e 73. Sprawdzić, że podane funkcje wekorowe worzą na wskazanym przedziale układ fundamenalny układu jednorodnego y =A() y.nasępnierozwiązaćukładniejednorodny y =A() y+ h()zzadanymwarunkiem począkowym jeżeli: y ()= 3 [ A()= ], y ()= 4 [ [ ] [, h()= 5 y ()= 0 e, y ()= 0 A()= 3 0, h()= 00 ], (0, ), 30 ], y()= [ ] [ ] (b) y ()= e 3, y ()= e 5, R, [ ] [ ] [ ] 4 A()=, 5 h()= e 7, y(0)= ; e, y 3 ()= e, y(0)= ; e, R, 74. Korzysając z meody uzmienniania sałych znaleźć rozwiązanie ogólne układu niejednorodnego równań różniczkowychliniowych y =A y+ h(),jeżeli: [ ] [ ] [ ] [ ] A=, cos 5 h()= ; (b)a=, sin+cos 3 e h()= e. 9

10 75.Rozwiązaćzagadnieniepocząkowe y =A y+ h(), y(0)= y 0,jeżeli: [ ] [ ] 0 cos A=, h()=, y 0 0 = [ ] [ 5 4 ; (b)a=, h()= A= 0 0 e 0, h()=, y 0 = ; (d)a=, h()= Rozwiązać podane układy równań różniczkowych oraz naszkicować ich porrey fazowe: =, =, y (b) = y; y = y ; =, =, y (d) =y; y = y. 77. Wyznaczyć punky równowagi podanych równań i układów auonomicznych: y +y=; (b)y =y 3 y +y ; y =lny; = 3 y, = +y, =(+)(y ), (d) y =y y 5 y 4 (e) ; y (f) =y; y =(4 )(y+). ] [ 0, y 0 = 0 e e e 3, y 0 = ] ; Wyznaczyć punky równowagi podanych równań i układów. Korzysając z definicji zbadać ich sabilność. Dla punków sabilnych zbadać ich asympoyczną sabilność: y +y+=0; (b)y =y ; = y, y =; (d*) =y, y = 3y; (e*) =y, y = +3y. 79. Zbadać sabilność punku równowagi(0, 0) układu równań różniczkowych liniowych o sałych współczynnikach y =A y,jeżeli: [ ] [ ] 0 5 A= ; (b)a= Zbadać sabilność punku równowagi(0, 0, 0) układu równań różniczkowych liniowych o sałych współczynnikach y =A y,jeżeli: ; (b) 3 3 ; ; (d) [ ] [ ] 8. Określić ypy punków równowagi układu liniowego y =A,jeżeli: y [ ] [ ] [ ] 6 4 A= ; (b)a= ; A= ; 4 [ ] [ ] [ ] 7 6 (d)a= ; (e)a= ; (f)a= ; [ ] [ ] [ ] (g)a= ; (h)a= ; (i)a= Wyznaczyć wszyskie punky równowagi podanych auonomicznych układów równań różniczkowych i na podsawie pierwszego przybliżenia(linearyzacji) zbadać ich sabilność: 0

11 =+3y, y = y+; (d) = y, y =y ; (g) =( y+), y =y(+y+); (b) =+y, y = 3 4y; (e) =4y 3+, y =4 4; (h) =( ), y = y; = 0+6, y =y+; (f) = y+, y =y+y ; (i) = y, y =y(9 4). Opracowanie: dr Marian Gewer, doc. Zbigniew Skoczylas Wrocław, wrzesień Korzysając z definicji obliczyć ransformay Laplace a podanych funkcji: ; (b)sin; ; (d)e ; (e)e cos; (f)sinh; (g) y y=f() (h) y y=g() O O (i) y y=h() O 84. Wyznaczyć funkcje ciągłe, kórych ransformay Laplace a mają posać: s+ ; (b) s s +4s+5 ; s 4s+3 ; s+ (d) (s+)(s )(s +4) ; (e) s + s (s ) ; (f) s+9 s +6s+3 ; (g) s+3 s 3 +4s +5s ; (h) 3s e s (s 3 ) ; (i) s Meodą operaorową rozwiązać podane zagadnienia począkowe dla równań różniczkowych liniowych o sałych współczynnikach: y y=, y(0)=; y +y =0, y(0)=,y (0)=; (b)y y=sin, y(0)=0; (d)y +3y =e 3, y(0)=0,y (0)= ; (e)y y +y=sin, y(0)=0,y (0)=; (f)y y +y=+, y(0)=0,y (0)=0; (g)y +4y +4y=, y(0)=0,y (0)=0; (h)y +4y +3y=e, y(0)=0,y (0)=. 86. Meodą operaorową rozwiązać podane zagadnienia począkowe dla układów równań różniczkowych liniowych o sałych współczynnikach: = y, (0)=, y =, y(0)= ; = y+3, (0)=, y =+4, y(0)=3; = y 4z, (0)=, (e) y = + y z, y(0)=, z = 5+y+7z, z(0)=; = y, (0)=, (b) y =+y, y(0)=; y = sin, (0)= (d), +y = cos, y(0)= ; = +y+z+ e, (0)=0, (f) y = y+z+e 3, y(0)=0, z = +y+z+ 4, z(0)=0, 87. Korzysając z podsawowych własności przekszałcenia Laplace a obliczyć ransformay podanych funkcji:

12 sin 4 ; (b)cos4cos; cos; (d)sinh3; (e)e cos; (f)e 3 sin ; (g)( )sin( ); (h)( )e ; dla 0 <, 0 dla <, (i) dla <3, ( 3); (j)f()= 0 dla 3 <4, dla 4 <5, 0 dla 5 <. 88. Obliczyć sploy podanych par funkcji f()=e, g()=e ; (b)f()=cos3, g()=cos. 89. Korzysając ze wzoru Borela wyznaczyć funkcje, kórych ransformay dane są wzorami: s (s +) ; (b) s (s +) ; (s ) (s+). 90.Niechϕ()będzierozwiązaniemrównaniajednorodnegoy +py +qy=0,(q 0)zwarunkamipocząkowymiy(0)=,y (0)=0.Pokazać,żejeżelifunkcjah()jesoryginałem,orozwiązaniey()zagadnienia począkowego y +py +qy=h(),y(0)=0,y (0)=0,(q 0) wyrażasięwzoremy()= q (ϕ () h()).przedsawićrozwiązaniapodanychzagadnieńpocząkowychw posaci sploów: y +y y=cos,y(0)=0,y (0)=0; (b)y y +y=e,y(0)=0,y (0)=0.

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Lisa zadań 26/27 Opracowanie: dr Marian Gewer, doc. dr Zbigniew Skoczlas Lisa pierwsza. a)zpewnejsubsancjiradioakwnejpoupłwie4lazosało2gram,apoupłwiedalszch4la lko 4 gram.

Bardziej szczegółowo

Lista nr Znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań różniczkowych: a) y = y t,

Lista nr Znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań różniczkowych: a) y = y t, RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE B Lisa nr 1 1. Napisać równanie różniczkowe, jakie spełnia napięcie u = u() na okładkach kondensaora w obwodzie zawierającym połączone szeregowo oporność R i pojemność C,

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 2 Lista zadań

Analiza matematyczna 2 Lista zadań Analiza maemayczna Lisa zadań Opracowanie: dr Marian Gewer, doc. Zbigniew Skoczylas Lisa. Korzysając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: d) + ; b) arccg; e) +) ; c) 4+3

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe zwyczajne zadania z odpowiedziami

Równania różniczkowe zwyczajne zadania z odpowiedziami Równania różniczkowe zwyczajne zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Równania pierwszego rzędu 2 o rozdzielonych zmiennych 2 jednorodne 4 liniowe 4 Bernoulliego 5 Równania sprowadzalne

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami

Równania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami Równania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna I Równania pierwszego rzędu 2 1 o rozdzielonych zmiennych 2 2 jednorodne 4 3 liniowe 4 4 Bernoulliego 5

Bardziej szczegółowo

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) = Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań z Równań różniczkowych I

Zestaw zadań z Równań różniczkowych I Zestaw zadań z Równań różniczkowych I Zadanie 1. Rozwiąż równanie Metoda rozdzielania zmiennych 1 6d 6ydy = 3 ydy y d y4 + e dy e d = 0 3 4 + y d + y 1 + dy = 0 4 6d ydy = y dy 3y d 5 1 + e yy = e 6 y

Bardziej szczegółowo

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki Poliechnika Gdańska Wydział Elekroechniki i Auomayki Kaedra Inżynierii Sysemów Serowania Podsawy Auomayki Repeyorium z Podsaw auomayki Zadania do ćwiczeń ermin T15 Opracowanie: Kazimierz Duzinkiewicz,

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 2 Listazadań

Analiza matematyczna 2 Listazadań Analiza maemayczna Lisazadań Opracowanie: dr Marian Gewer, doc. Zbigniew Skoczylas Lisa. Korzysając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: 3 +) ; b) 4 ; e) 3 3+5 ; c) π )

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne

1 Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem

Bardziej szczegółowo

ψ przedstawia zależność

ψ przedstawia zależność Ruch falowy 4-4 Ruch falowy Ruch falowy polega na rozchodzeniu się zaburzenia (odkszałcenia) w ośrodku sprężysym Wielkość zaburzenia jes, podobnie jak w przypadku drgań, funkcją czasu () Zaburzenie rozchodzi

Bardziej szczegółowo

Zasada pędu i popędu, krętu i pokrętu, energii i pracy oraz d Alemberta bryły w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim

Zasada pędu i popędu, krętu i pokrętu, energii i pracy oraz d Alemberta bryły w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim Zasada pędu i popędu, kręu i pokręu, energii i pracy oraz d Alembera bryły w ruchu posępowym, obroowym i płaskim Ruch posępowy bryły Pęd ciała w ruchu posępowym obliczamy, jak dla punku maerialnego, skupiając

Bardziej szczegółowo

DYNAMIKA KONSTRUKCJI

DYNAMIKA KONSTRUKCJI 10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 1 10. 10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 10.1. Wprowadzenie Ogólne równanie dynamiki zapisujemy w posaci: M d C d Kd =P (10.1) Zapis powyższy oznacza, że równanie musi być spełnione w każdej

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 7 WYZNACZANIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA. Wprowadzenie

ĆWICZENIE 7 WYZNACZANIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA. Wprowadzenie ĆWICZENIE 7 WYZNACZIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA Wprowadzenie Ciało drgające w rzeczywisym ośrodku z upływem czasu zmniejsza ampliudę drgań maleje energia mechaniczna

Bardziej szczegółowo

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd 7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,

Bardziej szczegółowo

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie

Bardziej szczegółowo

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Meody Lagrange a i Hamilona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informayki Sosowanej Akademia Górniczo-Hunicza Wykład 7 M. Przybycień (WFiIS AGH) Meody Lagrange a i Hamilona... Wykład 7 1 /

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe wyższych rzędów

Równania różniczkowe wyższych rzędów Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1.2 Rozwiązanie ogólne............................... 2 1.3 Obniżanie rzędu

Bardziej szczegółowo

( 3 ) Kondensator o pojemności C naładowany do różnicy potencjałów U posiada ładunek: q = C U. ( 4 ) Eliminując U z równania (3) i (4) otrzymamy: =

( 3 ) Kondensator o pojemności C naładowany do różnicy potencjałów U posiada ładunek: q = C U. ( 4 ) Eliminując U z równania (3) i (4) otrzymamy: = ROZŁADOWANIE KONDENSATORA I. el ćwiczenia: wyznaczenie zależności napięcia (i/lub prądu I ) rozładowania kondensaora w funkcji czasu : = (), wyznaczanie sałej czasowej τ =. II. Przyrządy: III. Lieraura:

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów. Etap szkolny 5 listopada 2013 Czas 90 minut

Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów. Etap szkolny 5 listopada 2013 Czas 90 minut Wojewódzki Konkurs Maemayczny dla uczniów gimnazjów. Eap szkolny 5 lisopada 2013 Czas 90 minu ZADANIA ZAMKNIĘTE Zadanie 1. (1 punk) Liczby A = 0, 99, B = 0, 99 2, C = 0, 99 3, D = 0, 99, E=0, 99 1 usawiono

Bardziej szczegółowo

Ruch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof.

Ruch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof. Ruch płaski Ruchem płaskim nazywamy ruch, podczas kórego wszyskie punky ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej nieruchomej płaszczyzny, zwanej płaszczyzną kierującą. Punky bryły o jednakowych

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 4 Badanie stanów nieustalonych w obwodach RL, RC i RLC przy wymuszeniu stałym

ĆWICZENIE 4 Badanie stanów nieustalonych w obwodach RL, RC i RLC przy wymuszeniu stałym ĆWIZENIE 4 Badanie sanów nieusalonych w obwodach, i przy wymuszeniu sałym. el ćwiczenia Zapoznanie się z rozpływem prądów, rozkładem w sanach nieusalonych w obwodach szeregowych, i Zapoznanie się ze sposobami

Bardziej szczegółowo

E5. KONDENSATOR W OBWODZIE PRĄDU STAŁEGO

E5. KONDENSATOR W OBWODZIE PRĄDU STAŁEGO E5. KONDENSATOR W OBWODZIE PRĄDU STAŁEGO Marek Pękała i Jadwiga Szydłowska Procesy rozładowania kondensaora i drgania relaksacyjne w obwodach RC należą do szerokiej klasy procesów relaksacyjnych. Procesy

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:

Bardziej szczegółowo

1 Równanie różniczkowe pierwszego rzędu

1 Równanie różniczkowe pierwszego rzędu 1 Równanie różniczkowe pierwszego rzędu Wiele zagadnień geometrycznych, fizycznych, ekonomicznych i innych prowadzi do zależności, w których pojawiają się pochodne. Przykład 1. Znaleźć krzywą dla której

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta

Bardziej szczegółowo

PIERWSZEGO. METODA CZYNNIKA CAŁKUJĄCEGO. METODA ROZDZIELONYCH ZMIENNYCH.

PIERWSZEGO. METODA CZYNNIKA CAŁKUJĄCEGO. METODA ROZDZIELONYCH ZMIENNYCH. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RZĘDU PIERWSZEGO. METODA CZYNNIKA CAŁKUJĄCEGO. METODA ROZDZIELONYCH ZMIENNYCH. Równaniem różniczkowym zwyczajnym nazywamy równanie zawierające pochodne funkcji y(x) względem

Bardziej szczegółowo

Wstęp do równań różniczkowych, studia I stopnia. 1. Znaleźć (i narysować przykładowe) rozwiązania ogólne równania y = 2x.

Wstęp do równań różniczkowych, studia I stopnia. 1. Znaleźć (i narysować przykładowe) rozwiązania ogólne równania y = 2x. Wstęp do równań różniczkowych, studia I stopnia 1. Znaleźć (i narysować przykładowe) rozwiązania ogólne równania y = 2x. 2. Znaleźć wszystkie (i narysować przykładowe) rozwiązania równania y + 3 3 y 2

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej F (x, y(x), y (1) (x), y () (x),..., y (n) (x)) = 0, gdzie y (k) (x) to k ta

Bardziej szczegółowo

Podstawowe człony dynamiczne

Podstawowe człony dynamiczne Podsawowe człony dynamiczne charakerysyki czasowe. Człon proporcjonalny = 2. Człony całkujący idealny 3. Człon inercyjny = = + 4. Człony całkujący rzeczywisy () = + 5. Człon różniczkujący rzeczywisy ()

Bardziej szczegółowo

Krzywe na płaszczyźnie.

Krzywe na płaszczyźnie. Krzwe na płaszczźnie. Współrzędne paramerczne i biegunowe. Współrzędne biegunowe. Dan jes punk O, zwan biegunem, kór sanowi począek półprosej, zwanej półosią. Dowoln punk P na płaszczźnie można opisać

Bardziej szczegółowo

I. KINEMATYKA I DYNAMIKA

I. KINEMATYKA I DYNAMIKA piagoras.d.pl I. KINEMATYKA I DYNAMIKA KINEMATYKA: Położenie ciała w przesrzeni można określić jedynie względem jakiegoś innego ciała lub układu ciał zwanego układem odniesienia. Ruch i spoczynek są względne

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

1. Równanie różniczkowe pierwszego rzędu

1. Równanie różniczkowe pierwszego rzędu 1. Równanie różniczkowe pierwszego rzędu Wiele zagadnień geometrycznych, fizycznych, ekonomicznych i innych prowadzi do zależności, w których pojawiają się pochodne. Przykład. Znaleźć krzywą dla której

Bardziej szczegółowo

Dobór przekroju żyły powrotnej w kablach elektroenergetycznych

Dobór przekroju żyły powrotnej w kablach elektroenergetycznych Dobór przekroju żyły powronej w kablach elekroenergeycznych Franciszek pyra, ZPBE Energopomiar Elekryka, Gliwice Marian Urbańczyk, Insyu Fizyki Poliechnika Śląska, Gliwice. Wsęp Zagadnienie poprawnego

Bardziej szczegółowo

Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni

Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Zadanie 6.1. Obliczyć długości podanych wektorów a) a = [, 4, 12] b) b = [, 5, 2 2 ] c) c = [ρ cos φ, ρ sin φ, h], ρ 0, φ, h R c) d = [ρ cos φ cos

Bardziej szczegółowo

26. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE DRUGIEGO RZĘDU

26. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE DRUGIEGO RZĘDU 6. RÓWNANIA RÓŻNIZKOWE ZWYZAJNE DRUGIEGO RZĘDU 6.. Własności ogólne Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzęd drgiego nazywamy równanie, w którym niewiadomą jest fnkcja y jednej zmiennej i w którym występją

Bardziej szczegółowo

Pobieranie próby. Rozkład χ 2

Pobieranie próby. Rozkład χ 2 Graficzne przedsawianie próby Hisogram Esymaory przykład Próby z rozkładów cząskowych Próby ze skończonej populacji Próby z rozkładu normalnego Rozkład χ Pobieranie próby. Rozkład χ Posać i własności Znaczenie

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 3 ( ) Współczynnik przyrostu naturalnego. Koncepcja ludności zastojowej i ustabilizowanej. Prawo Lotki.

Ćwiczenia 3 ( ) Współczynnik przyrostu naturalnego. Koncepcja ludności zastojowej i ustabilizowanej. Prawo Lotki. Ćwiczenia 3 (22.04.2013) Współczynnik przyrosu nauralnego. Koncepcja ludności zasojowej i usabilizowanej. Prawo Loki. Współczynnik przyrosu nauralnego r = U Z L gdzie: U - urodzenia w roku Z - zgony w

Bardziej szczegółowo

Wykład 6. Badanie dynamiki zjawisk

Wykład 6. Badanie dynamiki zjawisk Wykład 6 Badanie dynamiki zjawisk Krzywa wieża w Pizie 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 y 4,9642 4,9644 4,9656 4,9667 4,9673 4,9688 4,9696 4,9698 4,9713 4,9717 4,9725 4,9742 4,9757 Szeregiem czasowym nazywamy

Bardziej szczegółowo

Wykład 4: Transformata Laplace a

Wykład 4: Transformata Laplace a Rachunek prawdopodobieńwa MAP164 Wydział Elekroniki, rok akad. 28/9, em. leni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wykład 4: Tranformaa Laplace a Definicja. Niech f() będzie funkcją określoną na R, przy czym

Bardziej szczegółowo

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone i

1. Liczby zespolone i Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich

Bardziej szczegółowo

Równania poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie = Rozwiąż układ równań: (( + 1 ( + 2 = = 1

Równania poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie  = Rozwiąż układ równań: (( + 1 ( + 2 = = 1 Równania poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie http://www.zadania.info/). Rozwiąż układ równań: (( + ( + 2 = 3 = 4. http://www.zadania.info/d38/2287 2. Rozwiąż układ równań: ( + 2 (

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Funkcje, ich granice i ciągłość

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Funkcje, ich granice i ciągłość Zadania z analizy matematycznej - sem II Funkcje ich granice i ciągłość Zadanie 1 Wyznaczyć i naszkicować dziedziny naturalne podanych funkcji: a f y = 2 y 3 25 2 +y 2 16 b g y = ln1 2 y 2 c h y = ln 2

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17 Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =

Bardziej szczegółowo

Matematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia

Matematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia Maemayka A kolokwium maja rozwia zania Należy przeczyać CA LE zadanie PRZED rozpocze ciem rozwia zywania go!. Niech M. p. Dowieść że dla każdej pary liczb ca lkowiych a b isnieje aka para liczb wymiernych

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 2 Lista zadań 1

Analiza matematyczna 2 Lista zadań 1 Analiza maemayczna Lisa zadań Opracowanie: dr Marian Gewer, doc. Zbigniew Skoczylas Lisa. Korzysajac z definicji zbadać zbieżność ca lek niew laściwych pierwszego rodzaju: +) 4 b) e) +5 ) +arcg c) f) sin

Bardziej szczegółowo

Dynamiczne formy pełzania i relaksacji (odprężenia) górotworu

Dynamiczne formy pełzania i relaksacji (odprężenia) górotworu Henryk FILCEK Akademia Górniczo-Hunicza, Kraków Dynamiczne formy pełzania i relaksacji (odprężenia) góroworu Sreszczenie W pracy podano rozważania na ema możliwości wzbogacenia reologicznego równania konsyuywnego

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Wykład 6. Badanie dynamiki zjawisk

Wykład 6. Badanie dynamiki zjawisk Wykład 6 Badanie dynamiki zjawisk TREND WYODRĘBNIANIE SKŁADNIKÓW SZEREGU CZASOWEGO 1. FUNKCJA TRENDU METODA ANALITYCZNA 2. ŚREDNIE RUCHOME METODA WYRÓWNYWANIA MECHANICZNEGO średnie ruchome zwykłe średnie

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. =1+cos a) = =2cos( sin) = = sin2 = ln += =sin2 = ln 1+cos +. b) sin(+3)= =+3 = 3 =( 3) = sin= =( 6+9) sin= sin 6 sin+9sin. Obliczamy teraz pierwszą całkę: sin= ()=

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006 FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)

Bardziej szczegółowo

Wykład 5 Elementy teorii układów liniowych stacjonarnych odpowiedź na dowolne wymuszenie

Wykład 5 Elementy teorii układów liniowych stacjonarnych odpowiedź na dowolne wymuszenie Wykład 5 Elemeny eorii układów liniowych sacjonarnych odpowiedź na dowolne wymuszenie Prowadzący: dr inż. Tomasz Sikorski Insyu Podsaw Elekroechniki i Elekroechnologii Wydział Elekryczny Poliechnika Wrocławska

Bardziej szczegółowo

E k o n o m e t r i a S t r o n a 1. Nieliniowy model ekonometryczny

E k o n o m e t r i a S t r o n a 1. Nieliniowy model ekonometryczny E k o n o m e r i a S r o n a Nieliniowy model ekonomeryczny Jednorównaniowy model ekonomeryczny ma posać = f( X, X,, X k, ε ) gdzie: zmienna objaśniana, X, X,, X k zmienne objaśniające, ε - składnik losowy,

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci

Bardziej szczegółowo

PROGNOZOWANIE I SYMULACJE. mgr Żaneta Pruska. Ćwiczenia 2 Zadanie 1

PROGNOZOWANIE I SYMULACJE. mgr Żaneta Pruska. Ćwiczenia 2 Zadanie 1 PROGNOZOWANIE I SYMULACJE mgr Żanea Pruska Ćwiczenia 2 Zadanie 1 Firma Alfa jes jednym z głównych dosawców firmy Bea. Ilość produku X, wyrażona w ysiącach wyprodukowanych i dosarczonych szuk firmie Bea,

Bardziej szczegółowo

ANALIZA, PROGNOZOWANIE I SYMULACJA / Ćwiczenia 1

ANALIZA, PROGNOZOWANIE I SYMULACJA / Ćwiczenia 1 ANALIZA, PROGNOZOWANIE I SYMULACJA / Ćwiczenia 1 mgr inż. Żanea Pruska Maeriał opracowany na podsawie lieraury przedmiou. Zadanie 1 Firma Alfa jes jednym z głównych dosawców firmy Bea. Ilość produku X,

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA - CYKL 5 GODZINNY. DATA : 8 czerwca 2009

MATEMATYKA - CYKL 5 GODZINNY. DATA : 8 czerwca 2009 MATURA EUROPEJSKA 2009 MATEMATYKA - CYKL 5 GODZINNY DATA : 8 czerwca 2009 CZAS TRWANIA EGZAMINU: 4 godziny (240 minut) DOZWOLONE POMOCE : Europejski zestaw wzorów Kalkulator (bez grafiki, bez możliwości

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................

Bardziej szczegółowo

Matematyka dla DSFRiU zbiór zadań

Matematyka dla DSFRiU zbiór zadań I Matematyka dla DSFRiU zbiór zadań do użytku wewnętrznego Sumowanie skończone W zadaniach -4 obliczyć podaną sumę. dr Leszek Rudak Uniwersytet Warszawski Wydział Zarządzania. 5 i. i= 4 i. i= 5 ( ) i i=

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM ROZSZERZONY

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM ROZSZERZONY 1 ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM OZSZEZONY 1. ozwiązania poszczególnych zadań i poleceń oceniane są na podsawie punkowych kryeriów oceny.. Podczas oceniania rozwiązań zdających, prosiy o zwrócenie

Bardziej szczegółowo

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania. 10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych

Bardziej szczegółowo

gdzie M to mówimy, że na tym obszarze jest określone pole skalarne u( M) u( r)

gdzie M to mówimy, że na tym obszarze jest określone pole skalarne u( M) u( r) Wykłady z Maemayki sosowanej w inżynierii środowiska, II sem. Wykład. CAŁKA KRZYWOINIOWA ZORIENTOWANA.. Definicje i własności całek krzywoliniowych zorienowanych... Nekóre zasosowania całek krzywoliniowych

Bardziej szczegółowo

POMIAR PARAMETRÓW SYGNAŁOW NAPIĘCIOWYCH METODĄ PRÓKOWANIA I CYFROWEGO PRZETWARZANIA SYGNAŁU

POMIAR PARAMETRÓW SYGNAŁOW NAPIĘCIOWYCH METODĄ PRÓKOWANIA I CYFROWEGO PRZETWARZANIA SYGNAŁU Pomiar paramerów sygnałów napięciowych. POMIAR PARAMERÓW SYGNAŁOW NAPIĘCIOWYCH MEODĄ PRÓKOWANIA I CYFROWEGO PRZEWARZANIA SYGNAŁU Cel ćwiczenia Poznanie warunków prawidłowego wyznaczania elemenarnych paramerów

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z FIZYKI WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA UCZNIÓW KLAS I

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z FIZYKI WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA UCZNIÓW KLAS I PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z FIZYKI WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA UCZNIÓW KLAS I Wymagania konieczne ocena dopuszczająca wie że długość i odległość mierzymy w milimerach cenymerach merach lub kilomerach

Bardziej szczegółowo

Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista 1

Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista 1 Matematyka Lista 1 1 Matematyka Lista 1 1. Sprowadzić funkcje kwadratowe do postaci iloczynowej (jeżeli istnieje) i postaci kanonicznej oraz naszkicować ich wykresy: a) 2 + b) 2 2 + 1 c) 2 + 2 d) 2 + +

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego.

Wykład z modelowania matematycznego. Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2) Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2) Rodzina funkcji

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe zwyczajne

Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe zwyczajne Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Równania pierwszego rzędu 3 o rozdzielonych zmiennych 4 Zadania.. 5 jednorodne 6 Zadania.. 7 liniowe 7 Zadania.. 8 Bernoulliego

Bardziej szczegółowo

t) x 2 a)x 2 4x + 3 < 0 b) 3x 2 21x 30 > 0 c) x > 1 x d)2 x 2x + 3 < 1 e) > 1 < 1 m)3 n)2

t) x 2 a)x 2 4x + 3 < 0 b) 3x 2 21x 30 > 0 c) x > 1 x d)2 x 2x + 3 < 1 e) > 1 < 1 m)3 n)2 Zestaw I - Równania i nierówności kwadratowe logarytmiczne i wyk ladnicze.. Rozwi azać równania: a) 2 + 6 = 0 b) 2 + 3 4 = 0 c) 2 2 + 6 = 0 d) 2 4 = 0 e)2 3 + 2 3 + 6 = 0 f) 4 4 3 + 2 4 = 0 g)2 2 2 = 0

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE NR 43 U R I (1)

ĆWICZENIE NR 43 U R I (1) ĆWCZENE N 43 POMY OPO METODĄ TECHNCZNĄ Cel ćwiczenia: wyznaczenie warości oporu oporników poprzez pomiary naężania prądu płynącego przez opornik oraz napięcia na oporniku Wsęp W celu wyznaczenia warości

Bardziej szczegółowo

1. Równania i nierówności liniowe

1. Równania i nierówności liniowe Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x

Bardziej szczegółowo

Spis treści 1. Liczby zespolone 2 2. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 4 3. Geometria analityczna 9 4. Granice, pochodne funkcji i ich

Spis treści 1. Liczby zespolone 2 2. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 4 3. Geometria analityczna 9 4. Granice, pochodne funkcji i ich Spis treści Liczby zespolone Macierze wyznaczniki równania liniowe 4 Geometria analityczna 9 4 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7 Pochodne

Bardziej szczegółowo

BADANIE ELEKTRYCZNEGO OBWODU REZONANSOWEGO RLC

BADANIE ELEKTRYCZNEGO OBWODU REZONANSOWEGO RLC Ćwiczenie 45 BADANE EEKTYZNEGO OBWOD EZONANSOWEGO 45.. Wiadomości ogólne Szeregowy obwód rezonansowy składa się z oporu, indukcyjności i pojemności połączonych szeregowo i dołączonych do źródła napięcia

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice.

Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice. Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice. 1 Wahadło matematyczne. Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny o masie m zawieszony na długiej, cienkiej

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 2. BADANIE WAHADEŁ SPRZĘŻONYCH.

ĆWICZENIE 2. BADANIE WAHADEŁ SPRZĘŻONYCH. ĆWICZENIE BADANIE WAHADEŁ SPRZĘŻONYCH Wahadło sprzężone Weźmy pod uwagę układ złożony z dwóch wahadeł o długościach połączonych sprężyną o współczynniku kierującym k Rys Na wahadło działa siła będąca składową

Bardziej szczegółowo

Układy współrzędnych

Układy współrzędnych Układy współrzędnych Układ współrzędnych matematycznie - funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni skończony ciąg (krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu. Układ współrzędnych

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA

POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA DODATEK A POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY KATEDRA AUTOMATYKI I ELEKTRONIKI ĆWICZENIE NR 1 CHARAKTERYSTYKI CZASOWE I CZĘSTOTLIWOŚCIOWE PROSTYCH UKŁADÓW DYNAMICZNYCH PRACOWNIA SPECJALISTYCZNA

Bardziej szczegółowo

Kombinowanie prognoz. - dlaczego należy kombinować prognozy? - obejmowanie prognoz. - podstawowe metody kombinowania prognoz

Kombinowanie prognoz. - dlaczego należy kombinować prognozy? - obejmowanie prognoz. - podstawowe metody kombinowania prognoz Noaki do wykładu 005 Kombinowanie prognoz - dlaczego należy kombinować prognozy? - obejmowanie prognoz - podsawowe meody kombinowania prognoz - przykłady kombinowania prognoz gospodarki polskiej - zalecenia

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie: Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, 6 11 6 11, tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Uprośćmy najpierw liczby dane w treści zadania: 8 2, 2 2 2 2 2 2 6 11 6 11 6 11 26 11 6 11

Bardziej szczegółowo

M10. Własności funkcji liniowej

M10. Własności funkcji liniowej M10. Własności funkcji liniowej dr Artur Gola e-mail: a.gola@ajd.czest.pl pokój 3010 Definicja Funkcję określoną wzorem y = ax + b, dla x R, gdzie a i b są stałymi nazywamy funkcją liniową. Wykresem funkcji

Bardziej szczegółowo

DOBÓR PRZEKROJU ŻYŁY POWROTNEJ W KABLACH ELEKTROENERGETYCZNYCH

DOBÓR PRZEKROJU ŻYŁY POWROTNEJ W KABLACH ELEKTROENERGETYCZNYCH Franciszek SPYRA ZPBE Energopomiar Elekryka, Gliwice Marian URBAŃCZYK Insyu Fizyki Poliechnika Śląska, Gliwice DOBÓR PRZEKROJU ŻYŁY POWROTNEJ W KABLACH ELEKTROENERGETYCZNYCH. Wsęp Zagadnienie poprawnego

Bardziej szczegółowo

Przepływy laminarne - zadania

Przepływy laminarne - zadania Zadanie 1 Warstwa cieczy o wysokości = 3mm i lepkości v = 1,5 10 m /s płynie równomiernie pod działaniem siły ciężkości po płaszczyźnie nachylonej do poziomu pod kątem α = 15. Wyznaczyć: a) Rozkład prędkości.

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM TECHNIKI CIEPLNEJ INSTYTUTU TECHNIKI CIEPLNEJ WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA I ENERGETYKI POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ

LABORATORIUM TECHNIKI CIEPLNEJ INSTYTUTU TECHNIKI CIEPLNEJ WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA I ENERGETYKI POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ INSTTUTU TECHNIKI CIEPLNEJ WDZIAŁ INŻNIERII ŚRODOWISKA I ENERGETKI POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ INSTRUKCJA LABORATORJNA Tema ćwiczenia: WZNACZANIE WSPÓŁCZNNIKA PRZEWODZENIA CIEPŁA CIAŁ STAŁCH METODĄ STANU UPORZĄDKOWANEGO

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Spis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Granice, pochodne funkcji i ich zastosowania 10 4.

Spis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Granice, pochodne funkcji i ich zastosowania 10 4. Spis treści Macierze wyznaczniki równania liniowe Geometria analityczna 7 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 0 4 Liczby zespolone 6 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7

Bardziej szczegółowo

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne. P. F. Góra

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne. P. F. Góra Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Zasady zaliczenie ćwiczeń egzamin ustny; na egzaminie

Bardziej szczegółowo

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji. 0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()

Bardziej szczegółowo