Drgania elektromagnetyczne obwodu LCR

Transkrypt

1 Ćwiczenie 61 Drgania elekromagneyczne obwodu LCR Cel ćwiczenia Obserwacja drgań łumionych i przebiegów aperiodycznych w obwodzie LCR. Pomiar i inerpreacja paramerów opisujących obserwowane przebiegi napięcia U(). Wprowadzenie Zjawisko drgań elekromagneycznych w obwodzie złożonym z indukcyjności L i pojemności C jes szczegółowo opisane w podręcznikach. Zachowanie obwodu LC opisuje równanie różniczkowe d q q L + = 0, (1) C gdzie q jes zależnym od czasu ładunkiem kondensaora. Jego rozwiązanie q ) = q 0 cos( ω ), () ( 0 opisuje niegasnące drgania elekromagneyczne o częsości ω 0 drgań równej ω 1 0 =. (3) LC W rzeczywisych obwodach uwzględnić rzeba wpływ rezysancji R, wynikającej np. ze skończonej rezysancji uzwojeń cewki. Zachowanie obwodu, nazywanego obwodem LCR, opisuje równanie różniczkowe d q dq q L + R + = 0, (4a) C wynikające z II prawa Kirchhoffa. Trzy składniki równania (4) określają warości napięć na indukcyjności L, rezysancji R i pojemności C obwodu. Rysunek 1 przedsawia obwód umożliwiający ilościową obserwację zjawiska. W położeniu przełącznika pokazanym na rysunku nasępuje naładowanie kondensaora do napięcia U 0. Po przełączeniu przełącznika w położenie W kondensaor zosaje połączony z cewką, co powoduje rozpoczęcie drgań elekromagneycznych w obwodzie LCR. 1

2 Rys. 1. Obwód LCR Mierzone (przy użyciu kompuera z karą) napięcie U() jes napięciem na kondensaorze. Napięcie o jes proporcjonalne do ładunku q(), zgodnie z równaniem U() = q()/c. Zaem równanie (4a) przepisać można dla funkcji U() w posaci d U du L C + RC + U ( ) = 0. (4b) Ze względu na różnorodność zasosowań równanie ypu (4a, b) jes jednym z najważniejszych równań różniczkowych. Opisuje ak swobodne drgania elekromagneyczne jak i analogiczne drgania w układach mechanicznych*. Nawe, jeżeli nie jes omówione w wykładzie fizyki, sanowi sandardowy ema kursu analizy maemaycznej. Jes równaniem różniczkowym zwyczajnym, drugiego sopnia, liniowym, jednorodnym, o sałych współczynnikach. Definicje i wierdzenia doyczące każdej z wymienionych cech równania (4) jak również meody jego rozwiązania są omawiane w podręcznikach maemayki**. Tuaj przedsawimy goowe rozwiązania dopasowane do warunków począkowych, kóre wynikają z faku, że w chwili = 0 załączenia wyłącznika napięcie kondensaora U = U 0, zaś prąd i = dq/ w obwodzie jes równy zeru. Wygodnie jes wprowadzić kryyczny opór równy L R c =, (5) C gdyż yp rozwiązania zależy od ego, czy rezysancja obwodu jes mniejsza, równa, lub większa od warości kryycznej R c. * Odpowiednikami L, 1/C i R są: masa, sała sprężysości i sała łumienia. Por. ćwiczenie 4. ** Parz np: Żakowski W., Leksiński W.: Maemayka. Część IV. Warszawa, WNT 1995.

3 R < Rc: drgania łumione Dla oporności obwodu mniejszej od Rc zależność napięcia kondensaora od czasu β U ( ) = Ae cos( ω + δ ), (6) jes iloczynem kosinusoidy (jak dla drgań niegasnących) i funkcji wykładniczej e β opisującej zanik drgań z upływem czasu (rys. ). Rys.. Zależność U() dla drgań łumionych. Pokazano punky, kórych współrzędne należy odczyać w celu wyznaczenia częsości i współczynnika łumienia Sałą β nazywamy współczynnikiem łumienia, odwroność 1/β jes czasem, w kórym ampliuda maleje e =,71... razy. Sałe β i ω są zależne od paramerów L, C i R obwodu, R β =, L ω = 1 R LC L = ω 0 β. (7) Wzór (7) wskazuje, że częsość drgań łumionych ω jes nieco mniejsza od częsości drgań niełumionych ω 0. Warości fazy δ oraz sałej A w równaniu (6) dla zadanych warunków począkowych są równe β U 0 δ = arcg, A =. (8) ω cosδ 3

4 R = Rc: przebieg aperiodyczny kryyczny Dla kryycznej warości oporu R = Rc = warunki począkowe jes funkcja U L / C rozwiązaniem spełniającym nasze β ( ) = U 0 (1 + β) e, (9) pokazana jako krzywa c na rysunku 3. Porównanie przebiegów na rysunku 3 pokazuje, że dla R = R C funkcja U() najszybciej maleje do zera. Gdy zależy nam na szybkim łumieniu drgań (np. samochodu) dobierać rzeba sałą łumienia (łumik w zawieszeniu samochodu) ak, by uzyskać ruch zbliżony do aperiodycznego kryycznego. Rys. 3. Porównanie przebiegów U() dla: a drgań łumionych, b przebiegu aperiodycznego, c przebiegu aperiodycznego kryycznego R > Rc: przebieg aperiodyczny W ym przypadku rozwiązanie jes sumą dwu funkcji wykładniczych β1 e β1 β β β β β U = U β ( ) 1 0 e 1. (10) Sałe β 1 i β oznaczają dwie różne sałe łumienia, równe = β + β ω0 β = β β 0, (11) β1, ω warości ω 0 i β definiują wzory (3) i (7). Dominujący wpływ we wzorze (10) ma składnik pierwszy, gdyż zarówno ma większą ampliudę U 0 β 1 / ( β 1 β ) niż drugi, jak również wolniej maleje do zera. 4

5 W granicy R/R c drugi składnik w równaniu (10) dąży do zera, zaś składnik pierwszy można przybliżyć funkcją / U ( ) = U 0 e τ, τ = RC. (1) Uzyskane rozwiązanie, o nic innego jak zależność napięcia od czasu dla zjawiska rozładowania kondensaora C przez opór R. Przy dużej warości oporu obwodu wpływ indukcyjności L saje się nieisony. Eksperymen Pomiar rozpoczyna się od naładowania kondensaora z baeryjki do napięcia U 0 (przełącznik w położeniu W 1 ). Drgania gasnące lub przebiegi aperiodyczne powsają po przełączeniu przełącznika w położenie W. Przebieg napięcia U() rejesrujemy za pomocą kompuera wyposażonego w karę oscyloskopową (opis w podrozdz..5). W zasosowanym schemacie połączeń napięcie kondensaora jes mierzone dopiero po zadziałaniu przełącznika. Skok mierzonego napięcia od zera do U 0 wyznacza począek przebiegu = 0. Wysępująca w opisie eoreycznym rezysancja R obwodu jes sumą regulowanej opornicy dekadowej i sałej oporności uzwojeń cewki. Czas załączania przełącznika mechanicznego jes rzędu milisekundy. Wynikające sąd zakłócenia są widoczne na począku mierzonego przebiegu U(). Należy dążyć do ego, by okres drgań elekromagneycznych był znacznie większy od czasu załączania przełącznika. Skuecznym sposobem jes zasosowanie cewki z ferryowym rdzeniem kubkowym, w kórym linie sił pola całkowicie zamykają się w objęości rdzenia ferryowego. Dzięki wysokiej warości przenikalności magneycznej rdzenia µ r rzędu kilkase, yleż razy powiększona jes indukcyjność cewki bez zwiększania jej oporności. Względna powolność ak wygenerowanych drgań elekromagneycznych umożliwia zarówno użycie przełącznika mechanicznego, jak i ręczne wyzwolenie kompuerowej akwizycji danych. Aparaura Zesaw kondensaorów, cewka w ferryowym rdzeniu kubkowym, opornica dekadowa 100 kω, przełącznik, ogniwo 1, V. Przyrządem pomiarowym jes kompuer z karą oscyloskopową. Warości pojemności kondensaorów oraz indukcyjności i oporności cewki są podane. Wykonanie ćwiczenia 1. Zesawić układ pomiarowy wg schemau (rys. 1).. Uruchomić kompuer z karą oscyloskopową, wybrać czas rejesracji 819, ms. 3. Sprawdzić jakościowo działanie układu. W celu zarejesrowania przebiegu naładować kondensaor, a nasępnie wyzwolić kompuerową rejesrację napięcia i w ułamek sekundy później przełączyć przełącznik. Zapoznać się z działaniem kursora i lupy czasowej. 4. Drgania łumione. a) Nasawić dodakowy opór równy zeru, względnie zmonować układ bez opornicy. Tłumienie jes wynikiem niezerowej oporności uzwojeń cewki. b) Po zarejesrowaniu przebiegu wykonać jego szkicowy rysunek. W razie porzeby rozciągnąć obraz U() przy użyciu lupy czasowej. 5

6 c) W celu wyznaczenie częsości ω zmierzyć, z wykorzysaniem kursora, inerwał czasu odpowiadający jednemu lub (lepiej) kilku okresom T* (rys. ). (Symbol T* sosujemy, by zwrócić uwagę, że funkcja U() dla drgań gasnących nie jes funkcją okresową, a odległość T* między odpowiednimi miejscami zerowymi nie jes okresem. Niemniej pozosaje prawdziwy związek: ω = π/t*). Pomiar wykonać dwukronie dla różnych par miejsc zerowych funkcji U(). d) Dla wyznaczenia współczynnika łumienia β odczyać przy użyciu kursora współrzędne (napięcie U i i czas i ) dla kolejnych maksimów i minimów przebiegu (rys. ). 5. Przebieg aperiodyczny kryyczny. a) Obliczyć kryyczną warość Rc = L / C. Usawić opornicę dekadową ak, by całkowiy opór obwodu (cewka + opornica) był równy Rc. b) Dla oworzenia kszału przebiegu (jak eż przebiegów aperiodycznych, Rc > Rc ) odczyać współrzędne U, zarejesrowanej krzywej w kilkunasu punkach. 6. Przebieg aperiodyczny: jak pk 5, dla oporu R > Rc. 7. Inne pomiary lub obserwacje jakościowe (w miarę wolnego czasu i decyzji prowadzącego): a) zmiana kszału drgań łumionych ze wzrosem oporności obwodu, b) zmiana częsoliwości drgań przy zmianie pojemności kondensaora, c) rozładowanie kondensaora przez opór (z cewką usunięą z obwodu), d) badanie szybkości działania użyego przełącznika mechanicznego (badać począek dowolnego przebiegu, maksymalnie rozciągnięy przy użyciu lupy czasowej). Opracowanie wyników 1. Drgania łumione. a) Obliczyć częsość drgań ω. b) Wykonać wykres zależności logarymu napięcia w kolejnych eksremach od czasu, ln U i = f( i ). Wykres en, jak i analogiczne wykresy dla przebiegów aperiodycznych najwygodniej wykonać przy użyciu papieru półlogarymicznego. c) Wyznaczyć warość współczynnik łumienia β jako nachylenie prosej dopasowanej do punków wykresu (meodą graficzną lub najmniejszych kwadraów).. Przebiegi aperiodyczne. a) Wykonać wykresy lnu = f() dla przebiegów aperiodycznych, jak w pk 1b. b) Przebieg aperiodyczny (R > Rc) jes sumą malejących funkcji wykładniczych (wzór (11)), przy czym składnik z mniejszą warością β (czyli większą sałą czasową) zanika wolniej. Na wykresie lnu = f() uzyskujemy linię prosą z wyjąkiem czasów bliskich począkowi przebiegu. Nachylenie prosej jes równe β. c) Przebieg aperiodyczny kryyczny opisuje funkcja (10) będąca iloczynem funkcji wykładniczej i czynnika (1 + β). Zaem wykres lnu = f() nie przybiera posaci linii prosej. Dla porównania doświadczenia z eorią wykonać na ym samym wykresie krzywą eoreyczną. 3. Wyznaczone warości ω, β i β zesawić w abeli i porównać z warościami obliczonymi na podsawie paramerów L, C i R obwodu. 6