Algebra WYKŁAD 9 ALGEBRA

Transkrypt

1 Algebra WYKŁAD 9

2 Krzwe sożkowe Definicja Prosa sczna do krzwej K w punkcie P jes o prosa, będąca granicznm położeniem siecznch s k przechodzącch przez punk P i P k gd punk P k dąż zbliża się do punku P po krzwej K. sczna Do wznaczania równań scznch do krzwch wkorzsuje się narzędzia analiz maemacznej. Więcej w przszłm semesrze.

3 3 Krzwe sożkowe Równanie krzwej sożkowej Równanie scznej Okrąg Elipsa Hiperbola Parabola b a r b a p r Równania scznch do krzwch w punkcie P, należącm do krzwej b a b a p

4 Krzwe sożkowe Uwagi Równanie scznej do okręgu można wznaczć wkorzsując warunki: odległość scznej od środka okręgu jes równa długości promienia okręgu sczna jes prosopadła do promienia zawierającego punk sczności Sczna do elips lub okręgu jes prosą mającą z krzwą dokładnie jeden punk wspóln czli układ równań opisującch krzwą i prosą ma dokładnie jedno rozwiązanie. Prosa nierównoległa do osi paraboli jes sczna do paraboli wed i lko wed, gd ma z nią lko jeden punk wspóln. 4

5 Krzwe sożkowe Równania paramerczne krzwch sożkowch Definicja Układ równań = f = f gdzie TR, f, f są funkcjami ciągłmi na T definiuje krzwą na płaszczźnie. Równania e nazwam równaniami paramercznmi krzwej, zaś paramerem. Uwaga Ta sama krzwa może bć definiowana za pomocą różnch przedsawień paramercznch. 5

6 6 Krzwe sożkowe Równanie krzwej w posaci kanonicznej Równania paramerczne krzwej Okrąg Elipsa Hiperbola Parabola b a r b a p [, sin cos r r [, sin cos b a R b a sinh cosh R p

7 Definicja Układ współrzędnch biegunowch polarnch o układ współrzędnch na płaszczźnie wznaczon przez pewien punk O zwan biegunem oraz półprosą OS o począku w punkcie O zwaną osią biegunową, w kórm każdemu punkowi P płaszczzn przpisujem jego współrzędne biegunowe: promień wodząc punku P - jego odległość OP od bieguna, ampliuda punku P - warość kąa skierowanego pomiędz półprosą OS a wekorem. Krzwe sożkowe Dla jednoznaczności przjmuje się, że współrzędne bieguna O są równe,. O ampliudzie zakładam, że < π, lub - π π. 7

8 Krzwe sożkowe Definicja Rozważm dwa układ współrzędnch na płaszczźnie: układ karezjański O oraz układ biegunow z biegunem O i osią biegunową O. Dla danego wekora wodzącego r i ampliud [, π punku P, przejście od ssemu polarnego do ssemu karezjańskiego określają wzor: r cos r sin P 8

9 Krzwe sożkowe Równanie r przedsawia okrąg dla e =, elipsę dla < e <, parabolę dla e =, hiperbolę dla e >. p, ecos p, e Począek układu współrzędnch jes środkiem okręgu i wspólnm ogniskiem pozosałch sożkowch. Na osi biegunowej leż oś wielka elips, oś rzeczwisa hiperboli i oś smerii paraboli. Sała p jes promieniem okręgu i półparamerem pozosałch krzwch. Sała e jes mimośrodem. 9

10 Krzwe sożkowe hiperbola parabola elipsa p okrąg F

11 Krzwe sożkowe Zadanie Wznaczć równanie scznej do okręgu w punkcie P,.

12 Krzwe sożkowe Zadanie Napisać równanie paraboli o wierzchołku w począku układu współrzędnch i ognisku w punkcie F4,.

13 Krzwe sożkowe Zadanie 3 Dla jakich warości parameru m prosa = m + jes sczna do paraboli = 4? 3

14 Krzwe sożkowe Zadanie 4 Z punku P, poprowadzić sczne do paraboli = 8. 4

15 Krzwe sożkowe Zadanie 5 Wznaczć półosie i środek smerii hiperboli: 4 6 =. 5

16 Krzwe sożkowe Zadanie 6 Napisać równanie hiperboli o ogniskach leżącch w wierzchołkach osi wielkiej elips = 4 i kierownicach przechodzącch przez ogniska danej elips. 6

17 Krzwe sożkowe Zadanie 7 Elipsa jes sczna do osi w punkcie A, 3 i przecina oś w punkach B3, i C7,. Wznaczć równanie ej elips, jeżeli jej osie są równoległe do osi układu współrzędnch. 7

18 Krzwe sożkowe Zadanie 8 Punk A-6, -4 i B8, -3 należą do elips, kórej osiami smerii są osie układu. Napisać równanie ej elips. 8

19 9