Lista nr Znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań różniczkowych: a) y = y t,

Transkrypt

1 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE B Lisa nr 1 1. Napisać równanie różniczkowe, jakie spełnia napięcie u = u() na okładkach kondensaora w obwodzie zawierającym połączone szeregowo oporność R i pojemność C, jeśli w chwili zamknięcia obwodu na okładkach kondensaora zgromadzone były ładunki elekryczne Q 0 i Q 0 (Q 0 > 0). 2. W hali o objęości 200 m 3 powierze zawiera 0, 15% dwulenku węgla. Wenylaor podaje w ciągu minuy 20 m 3 powierza zawierającego 0, 04% CO 2. Ułożyć równanie różniczkowe na zależność sężenia dwulenku węgla w hali od czasu. 3. Dwa sulirowe zbiorniki, jeden zawierający 20% wodny rozwór soli, a drugi czysą wodę, połączono układem dwóch pomp. W pewnej chwili włączono pompy pracujące w przeciwnych kierunkach z prędkością 10 l/min. Ułożyć równanie różniczkowe na zależność sężenia rozworu w pierwszym zbiorniku od czasu. 4. Ciało o masie m jes umocowane do sprężyny o współczynniku sprężysości k, i zanurzone w lepkiej cieczy o współczynniku łumienia p. Znaleźć równanie różniczkowe opisujące ruch ciała. Lisa nr 2 1. Funkcja y = y() jes rozwiązaniem zagadnienia począkowego Obliczyć y (1), y (1) i y (1). y = 2 + y 2, y(1) = Znaleźć rozwiązania ogólne nasępujących równań różniczkowych: a) y = y, b) y = y, c) y = y 2, d) y = 2y, e) y = e y. 3. Za pomocą odpowiednich podsawień znaleźć rozwiązania ogólne nasępujących równań różniczkowych: a) y = ( + y) 2, b) y = + y + 1, c) y 1 = + y 1, d) y = e +y Znaleźć rozwiązania nasępujących zagadnień począkowych (i podać dziedziny ych rozwiązań): a) y = 1 + y 2, y(0) = 0, b) y = y 2, y(0) = 1,c) y = y cos, y(0) = 1, d) y g = y, y(π/2) = 1, e) (1 + y 2 ) yy = 0, y(1) = Znaleźć rozwiązania równań różniczkowych z zadań 1.1 i Znaleźć krzywą o ej własności, że w dowolnym jej punkcie współczynnik kierunkowy sycznej jes równy sosunkowi rzędnej do odcięej punku syczności wzięej ze znakiem przeciwnym. 7. Znaleźć krzywą o ej własności, że odcinek sycznej do niej, zawary między osiami układu współrzędnych, jes dzielony na połowy przez punk syczności. 8. Zmiana liczebności N pewnych populacji organizmów żywych w czasie opisywana jes równaniem logisycznym dn = αn(k N), d gdzie α i K są sałymi dodanimi. a) Znaleźć rozwiązanie ogólne równania logisycznego. b) Zbadać monooniczność i asympoy (przy ) rozwiązań równania logisycznego odpowiadających warunkom począkowym N(0) > 0. (Wsk.: Rozparzyć rzy przypadki: N(0) (0, K), N(0) = K, N(0) > K).

2 9. Według prawa Newona szybkość ochładzania się ciała w powierzu jes proporcjonalna do różnicy emperaur ciała i powierza. Wiadomo, że emperaura ciała w ciągu pierwszych 20 minu spadła od 100 C do 60 C, przy czym emperaura powierza jes sała i równa 20 C. W jakim czasie emperaura ciała obniży się do 22 C? Do 20 C? 10. Znaleźć rozwiązania ogólne nasępujących równań różniczkowych: a) y = y + y 2 2, b) y = y ( ) 2 y + 2 2y, c) y = 2, d) y 2 y + 2 = 1,e) y 1 + y 1 2 = 1 + y Znaleźć krzywą o ej własności, że syczna poprowadzona w dowolnym jej punkcie przecina oś odcięych w punkcie, kórego odległość od począku układu współrzędnych jes dwa razy większa od odcięej punku syczności. 12. Napisać równania różniczkowe podanych rodzin krzywych oraz równania różniczkowe ich rajekorii orogonalnych: a) y = C 2,b) 2 y 2 = C 2, c) 2 y 2 = C,d) 2 + y 2 = 2C. 13. Znaleźć rozwiązania nasępujących zagadnień począkowych (i podać dziedziny ych rozwiązań): a) y = y ln y, y(1) = 1, b) ( y )y + y = 0, y(1) = 0,c) (y y 2 ) y = 0, y(1) = Znaleźć kszał zwierciadła skupiającego w jednym punkcie padające nań promienie równoległe. (Wsk.: parz np. N. M. Mawiejew, Zadania z równań różniczkowych zwyczajnych, wyd. drugie, PWN, Warszawa, 1976, sr , lub J. Muszyński i A. D. Myszkis, Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, 1984, sr ) Lisa nr 3 1. Znaleźć rozwiązania ogólne nasępujących równań różniczkowych liniowych: a) y + 2y = e, b) y 2y = 2e 2, c) y cos y sin = 2, d) y y g = 1 cos Znaleźć rozwiązania nasępujących zagadnień począkowych dla równań różniczkowych liniowych (i podać dziedziny ych rozwiązań): a) y y = 1, y(2) = 3, b) y + y = + 1, y(1) = 0, c) 2 + y = y, y(1) = 0,d) y cos + y sin = 1, y(0) = 1, e) y + y cos = cos, y(0) = 1, f) y = y, y(0) = Znaleźć rozwiązania równania różniczkowego z zadania Obwód elekryczny o indukcyjności L i oporze R jes zasilany źródłem sałej siły elekromoorycznej E. Nie rozwiązując równania różniczkowego wykazać, że naężenie i() prądu płynącego w obwodzie dąży do E/R przy. 5. Znaleźć rozwiązania ogólne nasępujących równań Bernoulliego: a) y + 2y = 2y 2, b) y 2ye = 2 ye, c) y + y = 1 y. 6. Znaleźć rozwiązania nasępujących zagadnień począkowych dla równań Bernoulliego: a) y + y = y 2 ln, y(1) = 1, b) y 2ye = 2 y, y(0) = Znaleźć rozwiązania ogólne nasępujących równań różniczkowych: a) (2y 3 + y)y + 2y 2 4 = 0, b) ( 2 y 3 + y)y = 1. Wsk.: Szukać rozwiązań w posaci = (y). 8. Znaleźć krzywą przechodzącą przez punk (1, 1), dla kórej pole rójkąa uworzonego przez oś poziomą, syczną i wekor wodzący punku syczności jes sałe i równe 1/2. Wsk.: Szukać rozwiązań w posaci = (y).

3 9. Za pomocą podsawienia z = y znaleźć rozwiązanie ogólne równania różniczkowego y 2 (y + y) = a Za pomocą podsawienia z = sin(y) znaleźć rozwiązanie ogólne równania różniczkowego y = sin2 (y) 2 cos(y) y. Lisa nr 4 1. Znaleźć rozwiązania ogólne nasępujących równań różniczkowych drugiego rzędu: a) (1 + 2 )y + (y ) = 0, b) y = y ln y, c) ( ln )y y = Znaleźć rozwiązania ogólne nasępujących równań różniczkowych drugiego rzędu: a) yy = (y ) 3, b) 1 + (y ) 2 = 2yy, c) 2yy + (y ) 2 + (y ) 4 = Znaleźć rozwiązania nasępujących zagadnień począkowych dla równań różniczkowych drugiego rzędu (i podać dziedziny ych rozwiązań): a) 2yy 3(y ) 2 = 4y 2, y(0) = 1, y (0) = 0, b) 3y y = e y, y( 3) = 0, y ( 3) = Znaleźć równanie ruchu spadającego swobodnie ciała o masie m z uwzględnieniem oporu powierza wyrażającego się wzorem G = kv 2, gdzie k jes sałą dodanią, a v prędkością ruchu. Znaleźć rozwiązanie ego równania. 5. Z haka ześlizguje się wiszący na nim łańcuch. W chwili począkowej z jednej srony haka zwisa 10 m łańcucha, a z drugiej 8 m. Nie uwzględniając oporów ruchu, znaleźć w ciągu jakiego czasu cały łańcuch ześlizgnie się z haka. Wsk.: Parz G. I. Zaporożec, Meody rozwiązywania zadań z analizy maemaycznej, WNT, Warszawa, 1976, zad. 1169, sr Znaleźć rozwiązanie zagadnienia począkowego (y ) 2 = 4(y 1), y(0) = 0, y (0) = Przy pomocy podsawienia y = yz znaleźć rozwiązanie ogólne równania różniczkowego drugiego rzędu yy (y ) 2 yy = Znaleźć rozwiązanie ogólne równania różniczkowego drugiego rzędu y y 2yy 1 + y 2 = 0. Wsk.: Zauważyć, że w obu ułamkach po lewej sronie licznik jes pochodną mianownika. Lisa nr 5 1. Wykazać, że funkcje y 1 () = i y 2 () = 2 nie mogą sanowić układu fundamenalnego żadnego równania różniczkowego liniowego drugiego rzędu określonego na całej prosej R. Wsk.: Obliczyć wrońskian ego układu funkcji. 2. Sprawdzić, czy dane funkcje worzą układ fundamenalny rozwiązań nasępujących równań różniczkowych liniowych jednorodnych: a) y 1 () = cos, y 2 () = sin, y + y = 0, b) y 1 () = e, y 2 () = e, y y = 0, c) y 1 () =, y 2 () = ln, 2 y y + y = 0, d) y 1 () =, y 2 () = 2 1, ( 2 + 1)y 2y + 2y = 0, e) y 1 () =, y 2 () = 1 2, (1 2 )y y + y = 0, f) y 1 () =, y 2 () = 2, y 3 () = e, ( )y 2 y + 2y 2y = 0.

4 3. Znaleźć rozwiązania szczególne równań z zadania 2 spełniające warunki począkowe: a) y(0) = y (0) = 1, b) y(0) = 0, y (0) = 2 c) y(1) = 0, y (1) = 1, d) y(0) = 2, y (0) = 1, e) y(0) = 0, y (0) = 1, f) y(0) = 0, y (0) = 1, y (0) = Znaleźć rozwiązania ogólne nasępujących równań różniczkowych liniowych drugiego rzędu, jeśli znane są pewne ich rozwiązania szczególne: a) y + 2y + y = 0, y 1 () = sin, b) (1 2 )y y y = 0, y 1() = 1 +, c) y + 2y 2y = 0, y 1 () =?. 5. Przy pomocy odpowiednich podsawień znaleźć rozwiązania ogólne nasępujących równań różniczkowych liniowych: a) y + 2 y = 0, b) y + y = Dla podanych równań różniczkowych liniowych drugiego rzędu znaleźć rozwiązanie szczególne będące wielomianem, a nasępnie znaleźć rozwiązanie ogólne: a) ( 1)y ( + 1)y + 2y = 0, b) ( 2 3)y + (6 2 )y + (3 6)y = Znaleźć rozwiązanie szczególne równania różniczkowego liniowego drugiego rzędu 2 y + 4y + 2y = 0 w posaci k, gdzie k jes liczbą całkowią, a nasępnie znaleźć rozwiązanie ogólne. 8. Znaleźć rozwiązania ogólne nasępujących równań różniczkowych liniowych drugiego rzędu: a) y 2 y y = 2, b) y + 2y + 2y = Znaleźć rozwiązanie ogólne równania różniczkowego liniowego drugiego rzędu y + (1 )y + y = 1, jeśli wiadomo, że funkcje y 1 () = 1 i y 2 () = są jego rozwiązaniami szczególnymi. 10. Przy pomocy meody uzmienniania sałych znaleźć rozwiązania ogólne nasępujących równań różniczkowych liniowych niejednorodnych: a) y + y = g (parz zad. 5.2.), b) y y = 1 (parz zad. 5.2.b), c) 2 y y + y = 6 ln (parz zad. 5.2.c), d) y + 2y + y = 1 (parz zad. 5.4.a). Lisa nr 6 1. Znaleźć rozwiązania ogólne nasępujących równań różniczkowych liniowych o sałych współczynnikach: a) y 6y + 8y = 0, b) y (5) 10y + 9y = 0, c) y + y = 0,d) y (4) + 8y + 16y = 0, e) y 6y + 12y 8y = 0. W przykładzie e) odgadnąć najpierw jeden pierwiasek równania charakerysycznego. 2. Przy pomocy meody uzmienniania sałych znaleźć rozwiązania ogólne nasępujących równań różniczkowych liniowych niejednorodnych o sałych współczynnikach: a) y + y = g, b) y y = 1, c) y + y = 1 cos,d) y 2y + y = e, e) y + 4y = 1 cos 2, f) y y = e. 3. Znaleźć rozwiązania ogólne nasępujących równań różniczkowych Eulera: a) 2 y 3y + 3y = 0, b) 2 y + y y = 0, c) y y = 0, d) 2 y y + y = 0.

5 4. Przy pomocy podsawienia y = e 2 /2 z znaleźć rozwiązanie ogólne równania różniczkowego y 2y + 2 y = Przy pomocy meody przewidywań znaleźć rozwiązania ogólne nasępujących równań liniowych niejednorodnych o sałych współczynnikach: a) y + y 2y = 6 2, b) y + 6y + 9y = 10 sin, c) y + 4y = 5e + 2, d) y + y = 4 sin, e) y + y = 3, f) y y = cos 2, g) y 4y = 2cos 2 4, h) y 2y + 2y = e sin Znaleźć naężenie prądu i = i() w obwodzie zawierającym połączone szeregowo indukcyjność L, oporność R, pojemność C, oraz siłę elekromooryczną u() = E sin(ω + φ) (E > 0, ν > 0, φ sałe). 7. Obwód zawiera połączone szeregowo indukcyjność L, pojemność C i siłę elekromooryczną u() = E sin(ω), gdzie E > 0 i ω = 1/LC. Wykazać, że napięcie na okładkach kondensaora saje się nieograniczone, gdy. 8. Ciało o masie 1 g umocowane do sprężyny o współczynniku sprężysości 2 g/s 2 jes zanurzone w lepkiej cieczy o współczynniku łumienia 3 g/s. W chwili 0 = 0 odciągamy ciało w dół o 0,5 cm i swobodnie puszczamy. Wykazać, że ciało będzie zbliżało się z dołu do położenia równowagi, gdy. 9. Ciało o masie 1 g umocowane do sprężyny o współczynniku sprężysości 1 g/s 2 jes zanurzone w lepkiej cieczy o współczynniku łumienia 2 g/s. W chwili 0 = 0 odciągamy ciało w dół o 0,25 cm i nadajemy mu prędkość 1 cm/s do góry. Wykazać, że ciało przekroczy raz swoje położenie równowagi, i będzie zbliżało się doń z góry, gdy. Lisa nr 7 1. Znaleźć rozwiązania ogólne nasępujących układów równań różniczkowych: { y = y sin y + 2y = 0 a) b) ( z = ye cos, z = ) y + z rozwiązując najpierw pierwsze równanie, i podsawiając wyliczone rozwiązanie do drugiego. 2. Przy pomocy meody eliminacji znaleźć rozwiązanie ogólne nasępujących układów równań różniczkowych: { { y = ay + z y = z 2 + sin a) b) z = y + az, z = y 2z 3. Znaleźć rozwiązanie ogólne układu równań różniczkowych y = z z = y dodając i odejmując równania sronami. 4. Znaleźć rozwiązanie ogólne układu równań różniczkowych y = z v z = y 2 + z v = y 2 + v odejmując drugie równanie od pierwszego i dodając rzecie.

6 5. Przy pomocy meody eliminacji znaleźć rozwiązanie szczególne układu równań różniczkowych { y = y 2 + z z = 2yy + y spełniające warunki począkowe y(0) = 1, y (0) = 1, z(0) = Korzysając z wierdzenia Picarda o isnieniu i jednoznaczności rozwiązania zagadnienia począkowego uzasadnić, że przez każdy punk ( 0, y 0 ) R 2 przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa równania różniczkowego y = y a) Sprawdzić, że funkcje y 1, y 2 : R R, y 1 () = 0, y 2 () = 3, są rozwiązaniami zagadnienia począkowego ( ) y = 3y 2/3, y(0) = 0. b) Kóre z założeń wierdzenia Picarda o isnieniu i jednoznaczności nie jes w ym przypadku spełnione? c) Czy isnieją jeszcze inne rozwiązania zagadnienia począkowego ( )? Lisa nr 8 W zadaniach 8.1, 8.3 i 8.4 H() oznacza funkcję Heaviside a. 1. Korzysając z definicji znaleźć ransformay Laplace a nasępujących funkcji: a) H()e a, b) H() sin a, c) H() cos a. 2. Korzysając z definicji znaleźć ransformaę Laplace a funkcji 0 dla 0 dla 0 < 1 f() =. 2 dla 1 < 2 0 dla > 2 3. Znaleźć ransformay Laplace a nasępujących funkcji: a) H() 2, b) H() n, c) H()a, d) H()a, e) H()( + a) 2, f) H() sin a, g) H()e Znaleźć ransformaę Laplace a funkcji gdzie A > 0 i T > 0. f() = AH() sgn(sin 2π T ), 5. Znaleźć odwrone ransformay Laplace a nasępujących funkcji:a) c) g) 1 s 2 a 2, b) 1 s 3 1, s + 1 s 2 + 2s, d) 5s + 3 (s 1)(s 2 + 2s + 5), e) s 2 s 4 1, f) 1 (s 2 + a 2 ) + (s 2 + b 2 ), 1 e as (s 2, h) + 1) 2 s 2. Lisa nr 9

7 1. Wykorzysując ransformację Laplace a znaleźć rozwiązania zagadnień począkowych: a) y + y = sin, y(0) = 0, b) y + y = 0, y(0) = 0, y (0) = 1, c) y y y = 0, y(0) = 1, y(0) = 1, d) y + y + y = e, y(0) = y (0) = y (0) = Obliczyć nasępujące sploy: a) 2 1, b) cos a cos b, gdzie a b, c) cos a cos a, d) cosh cos, e) e a e b, gdzie a b, f) e a e a. Zakłada się, że wszyskie funkcje przyjmują warość zero dla < Przedsawić rozwiązanie zagadnienia począkowego y + 2y + y = f(), u(0) = u (0) = u (0) = 0 w posaci splou. Lisa nr Przy pomocy meody wekorów własnych znaleźć rozwiązanie [ ogólne układu równań [ różniczkowych liniowych jednorodnych y = Ay: a) A =, b) A =, [ c) A =, d) A = 2 0 2, e) A = , f) A = 1 3 0, g) A = Znaleźć rozwiązanie szczególne układu równań różniczkowych liniowych [ jednorodnych [ y = Ay spełniające warunek począkowy y(0) = y 0 : a) A =, y 0 =, [ 1 3 b) A =, y 0 = 2 2 [ 0 5, c) A = [ , y 0 = [ 1 2, d) A = [ , y 0 = e) A = 1 3 1, y 0 = 2, f) A = 0 1 0, y 0 = 0, g) A = 1 1 0, y 0 = [ 1 5, 3. Znaleźć rozwiązanie ogólne układu równań różniczkowych liniowych jednorodnych y = y sprowadzając go do równania różniczkowego liniowego jednorodnego rzeciego rzędu.