Lista nr Znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań różniczkowych: a) y = y t,

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Lista nr Znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań różniczkowych: a) y = y t,"

Transkrypt

1 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE B Lisa nr 1 1. Napisać równanie różniczkowe, jakie spełnia napięcie u = u() na okładkach kondensaora w obwodzie zawierającym połączone szeregowo oporność R i pojemność C, jeśli w chwili zamknięcia obwodu na okładkach kondensaora zgromadzone były ładunki elekryczne Q 0 i Q 0 (Q 0 > 0). 2. W hali o objęości 200 m 3 powierze zawiera 0, 15% dwulenku węgla. Wenylaor podaje w ciągu minuy 20 m 3 powierza zawierającego 0, 04% CO 2. Ułożyć równanie różniczkowe na zależność sężenia dwulenku węgla w hali od czasu. 3. Dwa sulirowe zbiorniki, jeden zawierający 20% wodny rozwór soli, a drugi czysą wodę, połączono układem dwóch pomp. W pewnej chwili włączono pompy pracujące w przeciwnych kierunkach z prędkością 10 l/min. Ułożyć równanie różniczkowe na zależność sężenia rozworu w pierwszym zbiorniku od czasu. 4. Ciało o masie m jes umocowane do sprężyny o współczynniku sprężysości k, i zanurzone w lepkiej cieczy o współczynniku łumienia p. Znaleźć równanie różniczkowe opisujące ruch ciała. Lisa nr 2 1. Funkcja y = y() jes rozwiązaniem zagadnienia począkowego Obliczyć y (1), y (1) i y (1). y = 2 + y 2, y(1) = Znaleźć rozwiązania ogólne nasępujących równań różniczkowych: a) y = y, b) y = y, c) y = y 2, d) y = 2y, e) y = e y. 3. Za pomocą odpowiednich podsawień znaleźć rozwiązania ogólne nasępujących równań różniczkowych: a) y = ( + y) 2, b) y = + y + 1, c) y 1 = + y 1, d) y = e +y Znaleźć rozwiązania nasępujących zagadnień począkowych (i podać dziedziny ych rozwiązań): a) y = 1 + y 2, y(0) = 0, b) y = y 2, y(0) = 1,c) y = y cos, y(0) = 1, d) y g = y, y(π/2) = 1, e) (1 + y 2 ) yy = 0, y(1) = Znaleźć rozwiązania równań różniczkowych z zadań 1.1 i Znaleźć krzywą o ej własności, że w dowolnym jej punkcie współczynnik kierunkowy sycznej jes równy sosunkowi rzędnej do odcięej punku syczności wzięej ze znakiem przeciwnym. 7. Znaleźć krzywą o ej własności, że odcinek sycznej do niej, zawary między osiami układu współrzędnych, jes dzielony na połowy przez punk syczności. 8. Zmiana liczebności N pewnych populacji organizmów żywych w czasie opisywana jes równaniem logisycznym dn = αn(k N), d gdzie α i K są sałymi dodanimi. a) Znaleźć rozwiązanie ogólne równania logisycznego. b) Zbadać monooniczność i asympoy (przy ) rozwiązań równania logisycznego odpowiadających warunkom począkowym N(0) > 0. (Wsk.: Rozparzyć rzy przypadki: N(0) (0, K), N(0) = K, N(0) > K).

2 9. Według prawa Newona szybkość ochładzania się ciała w powierzu jes proporcjonalna do różnicy emperaur ciała i powierza. Wiadomo, że emperaura ciała w ciągu pierwszych 20 minu spadła od 100 C do 60 C, przy czym emperaura powierza jes sała i równa 20 C. W jakim czasie emperaura ciała obniży się do 22 C? Do 20 C? 10. Znaleźć rozwiązania ogólne nasępujących równań różniczkowych: a) y = y + y 2 2, b) y = y ( ) 2 y + 2 2y, c) y = 2, d) y 2 y + 2 = 1,e) y 1 + y 1 2 = 1 + y Znaleźć krzywą o ej własności, że syczna poprowadzona w dowolnym jej punkcie przecina oś odcięych w punkcie, kórego odległość od począku układu współrzędnych jes dwa razy większa od odcięej punku syczności. 12. Napisać równania różniczkowe podanych rodzin krzywych oraz równania różniczkowe ich rajekorii orogonalnych: a) y = C 2,b) 2 y 2 = C 2, c) 2 y 2 = C,d) 2 + y 2 = 2C. 13. Znaleźć rozwiązania nasępujących zagadnień począkowych (i podać dziedziny ych rozwiązań): a) y = y ln y, y(1) = 1, b) ( y )y + y = 0, y(1) = 0,c) (y y 2 ) y = 0, y(1) = Znaleźć kszał zwierciadła skupiającego w jednym punkcie padające nań promienie równoległe. (Wsk.: parz np. N. M. Mawiejew, Zadania z równań różniczkowych zwyczajnych, wyd. drugie, PWN, Warszawa, 1976, sr , lub J. Muszyński i A. D. Myszkis, Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, 1984, sr ) Lisa nr 3 1. Znaleźć rozwiązania ogólne nasępujących równań różniczkowych liniowych: a) y + 2y = e, b) y 2y = 2e 2, c) y cos y sin = 2, d) y y g = 1 cos Znaleźć rozwiązania nasępujących zagadnień począkowych dla równań różniczkowych liniowych (i podać dziedziny ych rozwiązań): a) y y = 1, y(2) = 3, b) y + y = + 1, y(1) = 0, c) 2 + y = y, y(1) = 0,d) y cos + y sin = 1, y(0) = 1, e) y + y cos = cos, y(0) = 1, f) y = y, y(0) = Znaleźć rozwiązania równania różniczkowego z zadania Obwód elekryczny o indukcyjności L i oporze R jes zasilany źródłem sałej siły elekromoorycznej E. Nie rozwiązując równania różniczkowego wykazać, że naężenie i() prądu płynącego w obwodzie dąży do E/R przy. 5. Znaleźć rozwiązania ogólne nasępujących równań Bernoulliego: a) y + 2y = 2y 2, b) y 2ye = 2 ye, c) y + y = 1 y. 6. Znaleźć rozwiązania nasępujących zagadnień począkowych dla równań Bernoulliego: a) y + y = y 2 ln, y(1) = 1, b) y 2ye = 2 y, y(0) = Znaleźć rozwiązania ogólne nasępujących równań różniczkowych: a) (2y 3 + y)y + 2y 2 4 = 0, b) ( 2 y 3 + y)y = 1. Wsk.: Szukać rozwiązań w posaci = (y). 8. Znaleźć krzywą przechodzącą przez punk (1, 1), dla kórej pole rójkąa uworzonego przez oś poziomą, syczną i wekor wodzący punku syczności jes sałe i równe 1/2. Wsk.: Szukać rozwiązań w posaci = (y).

3 9. Za pomocą podsawienia z = y znaleźć rozwiązanie ogólne równania różniczkowego y 2 (y + y) = a Za pomocą podsawienia z = sin(y) znaleźć rozwiązanie ogólne równania różniczkowego y = sin2 (y) 2 cos(y) y. Lisa nr 4 1. Znaleźć rozwiązania ogólne nasępujących równań różniczkowych drugiego rzędu: a) (1 + 2 )y + (y ) = 0, b) y = y ln y, c) ( ln )y y = Znaleźć rozwiązania ogólne nasępujących równań różniczkowych drugiego rzędu: a) yy = (y ) 3, b) 1 + (y ) 2 = 2yy, c) 2yy + (y ) 2 + (y ) 4 = Znaleźć rozwiązania nasępujących zagadnień począkowych dla równań różniczkowych drugiego rzędu (i podać dziedziny ych rozwiązań): a) 2yy 3(y ) 2 = 4y 2, y(0) = 1, y (0) = 0, b) 3y y = e y, y( 3) = 0, y ( 3) = Znaleźć równanie ruchu spadającego swobodnie ciała o masie m z uwzględnieniem oporu powierza wyrażającego się wzorem G = kv 2, gdzie k jes sałą dodanią, a v prędkością ruchu. Znaleźć rozwiązanie ego równania. 5. Z haka ześlizguje się wiszący na nim łańcuch. W chwili począkowej z jednej srony haka zwisa 10 m łańcucha, a z drugiej 8 m. Nie uwzględniając oporów ruchu, znaleźć w ciągu jakiego czasu cały łańcuch ześlizgnie się z haka. Wsk.: Parz G. I. Zaporożec, Meody rozwiązywania zadań z analizy maemaycznej, WNT, Warszawa, 1976, zad. 1169, sr Znaleźć rozwiązanie zagadnienia począkowego (y ) 2 = 4(y 1), y(0) = 0, y (0) = Przy pomocy podsawienia y = yz znaleźć rozwiązanie ogólne równania różniczkowego drugiego rzędu yy (y ) 2 yy = Znaleźć rozwiązanie ogólne równania różniczkowego drugiego rzędu y y 2yy 1 + y 2 = 0. Wsk.: Zauważyć, że w obu ułamkach po lewej sronie licznik jes pochodną mianownika. Lisa nr 5 1. Wykazać, że funkcje y 1 () = i y 2 () = 2 nie mogą sanowić układu fundamenalnego żadnego równania różniczkowego liniowego drugiego rzędu określonego na całej prosej R. Wsk.: Obliczyć wrońskian ego układu funkcji. 2. Sprawdzić, czy dane funkcje worzą układ fundamenalny rozwiązań nasępujących równań różniczkowych liniowych jednorodnych: a) y 1 () = cos, y 2 () = sin, y + y = 0, b) y 1 () = e, y 2 () = e, y y = 0, c) y 1 () =, y 2 () = ln, 2 y y + y = 0, d) y 1 () =, y 2 () = 2 1, ( 2 + 1)y 2y + 2y = 0, e) y 1 () =, y 2 () = 1 2, (1 2 )y y + y = 0, f) y 1 () =, y 2 () = 2, y 3 () = e, ( )y 2 y + 2y 2y = 0.

4 3. Znaleźć rozwiązania szczególne równań z zadania 2 spełniające warunki począkowe: a) y(0) = y (0) = 1, b) y(0) = 0, y (0) = 2 c) y(1) = 0, y (1) = 1, d) y(0) = 2, y (0) = 1, e) y(0) = 0, y (0) = 1, f) y(0) = 0, y (0) = 1, y (0) = Znaleźć rozwiązania ogólne nasępujących równań różniczkowych liniowych drugiego rzędu, jeśli znane są pewne ich rozwiązania szczególne: a) y + 2y + y = 0, y 1 () = sin, b) (1 2 )y y y = 0, y 1() = 1 +, c) y + 2y 2y = 0, y 1 () =?. 5. Przy pomocy odpowiednich podsawień znaleźć rozwiązania ogólne nasępujących równań różniczkowych liniowych: a) y + 2 y = 0, b) y + y = Dla podanych równań różniczkowych liniowych drugiego rzędu znaleźć rozwiązanie szczególne będące wielomianem, a nasępnie znaleźć rozwiązanie ogólne: a) ( 1)y ( + 1)y + 2y = 0, b) ( 2 3)y + (6 2 )y + (3 6)y = Znaleźć rozwiązanie szczególne równania różniczkowego liniowego drugiego rzędu 2 y + 4y + 2y = 0 w posaci k, gdzie k jes liczbą całkowią, a nasępnie znaleźć rozwiązanie ogólne. 8. Znaleźć rozwiązania ogólne nasępujących równań różniczkowych liniowych drugiego rzędu: a) y 2 y y = 2, b) y + 2y + 2y = Znaleźć rozwiązanie ogólne równania różniczkowego liniowego drugiego rzędu y + (1 )y + y = 1, jeśli wiadomo, że funkcje y 1 () = 1 i y 2 () = są jego rozwiązaniami szczególnymi. 10. Przy pomocy meody uzmienniania sałych znaleźć rozwiązania ogólne nasępujących równań różniczkowych liniowych niejednorodnych: a) y + y = g (parz zad. 5.2.), b) y y = 1 (parz zad. 5.2.b), c) 2 y y + y = 6 ln (parz zad. 5.2.c), d) y + 2y + y = 1 (parz zad. 5.4.a). Lisa nr 6 1. Znaleźć rozwiązania ogólne nasępujących równań różniczkowych liniowych o sałych współczynnikach: a) y 6y + 8y = 0, b) y (5) 10y + 9y = 0, c) y + y = 0,d) y (4) + 8y + 16y = 0, e) y 6y + 12y 8y = 0. W przykładzie e) odgadnąć najpierw jeden pierwiasek równania charakerysycznego. 2. Przy pomocy meody uzmienniania sałych znaleźć rozwiązania ogólne nasępujących równań różniczkowych liniowych niejednorodnych o sałych współczynnikach: a) y + y = g, b) y y = 1, c) y + y = 1 cos,d) y 2y + y = e, e) y + 4y = 1 cos 2, f) y y = e. 3. Znaleźć rozwiązania ogólne nasępujących równań różniczkowych Eulera: a) 2 y 3y + 3y = 0, b) 2 y + y y = 0, c) y y = 0, d) 2 y y + y = 0.

5 4. Przy pomocy podsawienia y = e 2 /2 z znaleźć rozwiązanie ogólne równania różniczkowego y 2y + 2 y = Przy pomocy meody przewidywań znaleźć rozwiązania ogólne nasępujących równań liniowych niejednorodnych o sałych współczynnikach: a) y + y 2y = 6 2, b) y + 6y + 9y = 10 sin, c) y + 4y = 5e + 2, d) y + y = 4 sin, e) y + y = 3, f) y y = cos 2, g) y 4y = 2cos 2 4, h) y 2y + 2y = e sin Znaleźć naężenie prądu i = i() w obwodzie zawierającym połączone szeregowo indukcyjność L, oporność R, pojemność C, oraz siłę elekromooryczną u() = E sin(ω + φ) (E > 0, ν > 0, φ sałe). 7. Obwód zawiera połączone szeregowo indukcyjność L, pojemność C i siłę elekromooryczną u() = E sin(ω), gdzie E > 0 i ω = 1/LC. Wykazać, że napięcie na okładkach kondensaora saje się nieograniczone, gdy. 8. Ciało o masie 1 g umocowane do sprężyny o współczynniku sprężysości 2 g/s 2 jes zanurzone w lepkiej cieczy o współczynniku łumienia 3 g/s. W chwili 0 = 0 odciągamy ciało w dół o 0,5 cm i swobodnie puszczamy. Wykazać, że ciało będzie zbliżało się z dołu do położenia równowagi, gdy. 9. Ciało o masie 1 g umocowane do sprężyny o współczynniku sprężysości 1 g/s 2 jes zanurzone w lepkiej cieczy o współczynniku łumienia 2 g/s. W chwili 0 = 0 odciągamy ciało w dół o 0,25 cm i nadajemy mu prędkość 1 cm/s do góry. Wykazać, że ciało przekroczy raz swoje położenie równowagi, i będzie zbliżało się doń z góry, gdy. Lisa nr 7 1. Znaleźć rozwiązania ogólne nasępujących układów równań różniczkowych: { y = y sin y + 2y = 0 a) b) ( z = ye cos, z = ) y + z rozwiązując najpierw pierwsze równanie, i podsawiając wyliczone rozwiązanie do drugiego. 2. Przy pomocy meody eliminacji znaleźć rozwiązanie ogólne nasępujących układów równań różniczkowych: { { y = ay + z y = z 2 + sin a) b) z = y + az, z = y 2z 3. Znaleźć rozwiązanie ogólne układu równań różniczkowych y = z z = y dodając i odejmując równania sronami. 4. Znaleźć rozwiązanie ogólne układu równań różniczkowych y = z v z = y 2 + z v = y 2 + v odejmując drugie równanie od pierwszego i dodając rzecie.

6 5. Przy pomocy meody eliminacji znaleźć rozwiązanie szczególne układu równań różniczkowych { y = y 2 + z z = 2yy + y spełniające warunki począkowe y(0) = 1, y (0) = 1, z(0) = Korzysając z wierdzenia Picarda o isnieniu i jednoznaczności rozwiązania zagadnienia począkowego uzasadnić, że przez każdy punk ( 0, y 0 ) R 2 przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa równania różniczkowego y = y a) Sprawdzić, że funkcje y 1, y 2 : R R, y 1 () = 0, y 2 () = 3, są rozwiązaniami zagadnienia począkowego ( ) y = 3y 2/3, y(0) = 0. b) Kóre z założeń wierdzenia Picarda o isnieniu i jednoznaczności nie jes w ym przypadku spełnione? c) Czy isnieją jeszcze inne rozwiązania zagadnienia począkowego ( )? Lisa nr 8 W zadaniach 8.1, 8.3 i 8.4 H() oznacza funkcję Heaviside a. 1. Korzysając z definicji znaleźć ransformay Laplace a nasępujących funkcji: a) H()e a, b) H() sin a, c) H() cos a. 2. Korzysając z definicji znaleźć ransformaę Laplace a funkcji 0 dla 0 dla 0 < 1 f() =. 2 dla 1 < 2 0 dla > 2 3. Znaleźć ransformay Laplace a nasępujących funkcji: a) H() 2, b) H() n, c) H()a, d) H()a, e) H()( + a) 2, f) H() sin a, g) H()e Znaleźć ransformaę Laplace a funkcji gdzie A > 0 i T > 0. f() = AH() sgn(sin 2π T ), 5. Znaleźć odwrone ransformay Laplace a nasępujących funkcji:a) c) g) 1 s 2 a 2, b) 1 s 3 1, s + 1 s 2 + 2s, d) 5s + 3 (s 1)(s 2 + 2s + 5), e) s 2 s 4 1, f) 1 (s 2 + a 2 ) + (s 2 + b 2 ), 1 e as (s 2, h) + 1) 2 s 2. Lisa nr 9

7 1. Wykorzysując ransformację Laplace a znaleźć rozwiązania zagadnień począkowych: a) y + y = sin, y(0) = 0, b) y + y = 0, y(0) = 0, y (0) = 1, c) y y y = 0, y(0) = 1, y(0) = 1, d) y + y + y = e, y(0) = y (0) = y (0) = Obliczyć nasępujące sploy: a) 2 1, b) cos a cos b, gdzie a b, c) cos a cos a, d) cosh cos, e) e a e b, gdzie a b, f) e a e a. Zakłada się, że wszyskie funkcje przyjmują warość zero dla < Przedsawić rozwiązanie zagadnienia począkowego y + 2y + y = f(), u(0) = u (0) = u (0) = 0 w posaci splou. Lisa nr Przy pomocy meody wekorów własnych znaleźć rozwiązanie [ ogólne układu równań [ różniczkowych liniowych jednorodnych y = Ay: a) A =, b) A =, [ c) A =, d) A = 2 0 2, e) A = , f) A = 1 3 0, g) A = Znaleźć rozwiązanie szczególne układu równań różniczkowych liniowych [ jednorodnych [ y = Ay spełniające warunek począkowy y(0) = y 0 : a) A =, y 0 =, [ 1 3 b) A =, y 0 = 2 2 [ 0 5, c) A = [ , y 0 = [ 1 2, d) A = [ , y 0 = e) A = 1 3 1, y 0 = 2, f) A = 0 1 0, y 0 = 0, g) A = 1 1 0, y 0 = [ 1 5, 3. Znaleźć rozwiązanie ogólne układu równań różniczkowych liniowych jednorodnych y = y sprowadzając go do równania różniczkowego liniowego jednorodnego rzeciego rzędu.

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe zwyczajne MAP 3014, 3062 Lista zadań

Równania różniczkowe zwyczajne MAP 3014, 3062 Lista zadań Równania różniczkowe zwyczajne MAP 304, 306 Lisa zadań.zpewnejsubsancjiradioakywnejpoupływie4lazosało0gram,apoupływiedalszych4laylko 4 gramy. Wyznaczyć masę subsancji w chwili począkowej. (b) Polon-0 ma

Bardziej szczegółowo

ψ przedstawia zależność

ψ przedstawia zależność Ruch falowy 4-4 Ruch falowy Ruch falowy polega na rozchodzeniu się zaburzenia (odkszałcenia) w ośrodku sprężysym Wielkość zaburzenia jes, podobnie jak w przypadku drgań, funkcją czasu () Zaburzenie rozchodzi

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe zwyczajne zadania z odpowiedziami

Równania różniczkowe zwyczajne zadania z odpowiedziami Równania różniczkowe zwyczajne zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Równania pierwszego rzędu 2 o rozdzielonych zmiennych 2 jednorodne 4 liniowe 4 Bernoulliego 5 Równania sprowadzalne

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami

Równania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami Równania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna I Równania pierwszego rzędu 2 1 o rozdzielonych zmiennych 2 2 jednorodne 4 3 liniowe 4 4 Bernoulliego 5

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 7 WYZNACZANIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA. Wprowadzenie

ĆWICZENIE 7 WYZNACZANIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA. Wprowadzenie ĆWICZENIE 7 WYZNACZIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA Wprowadzenie Ciało drgające w rzeczywisym ośrodku z upływem czasu zmniejsza ampliudę drgań maleje energia mechaniczna

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,

Bardziej szczegółowo

Zasada pędu i popędu, krętu i pokrętu, energii i pracy oraz d Alemberta bryły w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim

Zasada pędu i popędu, krętu i pokrętu, energii i pracy oraz d Alemberta bryły w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim Zasada pędu i popędu, kręu i pokręu, energii i pracy oraz d Alembera bryły w ruchu posępowym, obroowym i płaskim Ruch posępowy bryły Pęd ciała w ruchu posępowym obliczamy, jak dla punku maerialnego, skupiając

Bardziej szczegółowo

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

Krzywe na płaszczyźnie.

Krzywe na płaszczyźnie. Krzwe na płaszczźnie. Współrzędne paramerczne i biegunowe. Współrzędne biegunowe. Dan jes punk O, zwan biegunem, kór sanowi począek półprosej, zwanej półosią. Dowoln punk P na płaszczźnie można opisać

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 2 Lista zadań

Analiza matematyczna 2 Lista zadań Analiza maemayczna Lisa zadań Opracowanie: dr Marian Gewer, doc. Zbigniew Skoczylas Lisa. Korzysając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: d) + ; b) arccg; e) +) ; c) 4+3

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

Ruch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof.

Ruch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof. Ruch płaski Ruchem płaskim nazywamy ruch, podczas kórego wszyskie punky ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej nieruchomej płaszczyzny, zwanej płaszczyzną kierującą. Punky bryły o jednakowych

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

( 3 ) Kondensator o pojemności C naładowany do różnicy potencjałów U posiada ładunek: q = C U. ( 4 ) Eliminując U z równania (3) i (4) otrzymamy: =

( 3 ) Kondensator o pojemności C naładowany do różnicy potencjałów U posiada ładunek: q = C U. ( 4 ) Eliminując U z równania (3) i (4) otrzymamy: = ROZŁADOWANIE KONDENSATORA I. el ćwiczenia: wyznaczenie zależności napięcia (i/lub prądu I ) rozładowania kondensaora w funkcji czasu : = (), wyznaczanie sałej czasowej τ =. II. Przyrządy: III. Lieraura:

Bardziej szczegółowo

E5. KONDENSATOR W OBWODZIE PRĄDU STAŁEGO

E5. KONDENSATOR W OBWODZIE PRĄDU STAŁEGO E5. KONDENSATOR W OBWODZIE PRĄDU STAŁEGO Marek Pękała i Jadwiga Szydłowska Procesy rozładowania kondensaora i drgania relaksacyjne w obwodach RC należą do szerokiej klasy procesów relaksacyjnych. Procesy

Bardziej szczegółowo

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne

1 Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem

Bardziej szczegółowo

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) = Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony.  Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 1. Ruch drgający tłumiony i wymuszony Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html Siły oporu (tarcia)

Bardziej szczegółowo

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie

Bardziej szczegółowo

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Meody Lagrange a i Hamilona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informayki Sosowanej Akademia Górniczo-Hunicza Wykład 7 M. Przybycień (WFiIS AGH) Meody Lagrange a i Hamilona... Wykład 7 1 /

Bardziej szczegółowo

Matematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia

Matematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia Maemayka A kolokwium maja rozwia zania Należy przeczyać CA LE zadanie PRZED rozpocze ciem rozwia zywania go!. Niech M. p. Dowieść że dla każdej pary liczb ca lkowiych a b isnieje aka para liczb wymiernych

Bardziej szczegółowo

BADANIE ELEKTRYCZNEGO OBWODU REZONANSOWEGO RLC

BADANIE ELEKTRYCZNEGO OBWODU REZONANSOWEGO RLC Ćwiczenie 45 BADANE EEKTYZNEGO OBWOD EZONANSOWEGO 45.. Wiadomości ogólne Szeregowy obwód rezonansowy składa się z oporu, indukcyjności i pojemności połączonych szeregowo i dołączonych do źródła napięcia

Bardziej szczegółowo

Zad. 2 Jaka jest częstotliwość drgań fali elektromagnetycznej o długości λ = 300 m.

Zad. 2 Jaka jest częstotliwość drgań fali elektromagnetycznej o długości λ = 300 m. Segment B.XIV Prądy zmienne Przygotowała: dr Anna Zawadzka Zad. 1 Obwód drgający składa się z pojemności C = 4 nf oraz samoindukcji L = 90 µh. Jaki jest okres, częstotliwość, częstość kątowa drgań oraz

Bardziej szczegółowo

Drgania w obwodzie LC. Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński

Drgania w obwodzie LC. Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński Drgania w obwodzie L Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński 016 Drgania w obwodzie L Autorzy: Zbigniew Kąkol, Kamil Kutorasiński Rozpatrzmy obwód złożony z szeregowo połączonych indukcyjności L (cewki)

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

Podstawowe człony dynamiczne

Podstawowe człony dynamiczne Podsawowe człony dynamiczne charakerysyki czasowe. Człon proporcjonalny = 2. Człony całkujący idealny 3. Człon inercyjny = = + 4. Człony całkujący rzeczywisy () = + 5. Człon różniczkujący rzeczywisy ()

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17 Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =

Bardziej szczegółowo

Dobór przekroju żyły powrotnej w kablach elektroenergetycznych

Dobór przekroju żyły powrotnej w kablach elektroenergetycznych Dobór przekroju żyły powronej w kablach elekroenergeycznych Franciszek pyra, ZPBE Energopomiar Elekryka, Gliwice Marian Urbańczyk, Insyu Fizyki Poliechnika Śląska, Gliwice. Wsęp Zagadnienie poprawnego

Bardziej szczegółowo

Elementy geometrii analitycznej w R 3

Elementy geometrii analitycznej w R 3 Rozdział 12 Elementy geometrii analitycznej w R 3 Elementy trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej R 3 = {(x,y,z) : x,y,z R} możemy interpretować co najmniej na trzy sposoby, tzn. jako: zbiór punktów (x,

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

PIERWSZEGO. METODA CZYNNIKA CAŁKUJĄCEGO. METODA ROZDZIELONYCH ZMIENNYCH.

PIERWSZEGO. METODA CZYNNIKA CAŁKUJĄCEGO. METODA ROZDZIELONYCH ZMIENNYCH. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RZĘDU PIERWSZEGO. METODA CZYNNIKA CAŁKUJĄCEGO. METODA ROZDZIELONYCH ZMIENNYCH. Równaniem różniczkowym zwyczajnym nazywamy równanie zawierające pochodne funkcji y(x) względem

Bardziej szczegółowo

Algebra WYKŁAD 9 ALGEBRA

Algebra WYKŁAD 9 ALGEBRA Algebra WYKŁAD 9 Krzwe sożkowe Definicja Prosa sczna do krzwej K w punkcie P jes o prosa, będąca granicznm położeniem siecznch s k przechodzącch przez punk P i P k gd punk P k dąż zbliża się do punku P

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

M10. Własności funkcji liniowej

M10. Własności funkcji liniowej M10. Własności funkcji liniowej dr Artur Gola e-mail: a.gola@ajd.czest.pl pokój 3010 Definicja Funkcję określoną wzorem y = ax + b, dla x R, gdzie a i b są stałymi nazywamy funkcją liniową. Wykresem funkcji

Bardziej szczegółowo

Głównie występuje w ośrodkach gazowych i ciekłych.

Głównie występuje w ośrodkach gazowych i ciekłych. W/g ermodynamiki - ciepło jes jednym ze sposobów ransporu energii do/z bila, zysy przepływ ciepła może wysąpić jedynie w ciałach sałych pozosających w spoczynku. Proces wymiany ciepla: przejmowanie ciepła

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia całkowe. Wykład 1

Przekształcenia całkowe. Wykład 1 Przekształcenia całkowe Wykład 1 Przekształcenia całkowe Tematyka wykładów: 1. Liczby zespolone -wprowadzenie, - funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej, - funkcja zespolona zmiennej zespolonej. 2. Przekształcenie

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA 3, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0,3 C. 30. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0, C. 0. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba

Bardziej szczegółowo

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na

Bardziej szczegółowo

Wstęp do równań różniczkowych, studia I stopnia. 1. Znaleźć (i narysować przykładowe) rozwiązania ogólne równania y = 2x.

Wstęp do równań różniczkowych, studia I stopnia. 1. Znaleźć (i narysować przykładowe) rozwiązania ogólne równania y = 2x. Wstęp do równań różniczkowych, studia I stopnia 1. Znaleźć (i narysować przykładowe) rozwiązania ogólne równania y = 2x. 2. Znaleźć wszystkie (i narysować przykładowe) rozwiązania równania y + 3 3 y 2

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe drugiego rzędu

1 Równania różniczkowe drugiego rzędu Równania różniczkowe drugiego rzędu Najpierw zajmiemy się równaniami różniczkowymi rzędu drugiego, w których y nie występuje w sposób jawny, tzn. F (x, y, y ) = 0 (.) Równanie takie rozwiązujemy poprzez

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE NR 43 U R I (1)

ĆWICZENIE NR 43 U R I (1) ĆWCZENE N 43 POMY OPO METODĄ TECHNCZNĄ Cel ćwiczenia: wyznaczenie warości oporu oporników poprzez pomiary naężania prądu płynącego przez opornik oraz napięcia na oporniku Wsęp W celu wyznaczenia warości

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ELEKTRONIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: Matematyka (EiT stopień) Nazwa w języku angielskim: Mathematics Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy):

Bardziej szczegółowo

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji. 0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()

Bardziej szczegółowo

Kinematyka W Y K Ł A D I. Ruch jednowymiarowy. 2-1 Przemieszczenie, prędkość. x = x 2 - x x t

Kinematyka W Y K Ł A D I. Ruch jednowymiarowy. 2-1 Przemieszczenie, prędkość. x = x 2 - x x t Wykład z fizyki. Pior Posmykiewicz W Y K Ł A D I Ruch jednowymiarowy Kinemayka Zaczniemy wykład z fizyki od badania przedmioów będących w ruchu. Dział fizyki, kóry zajmuje się badaniem ruchu ciał bez wnikania

Bardziej szczegółowo

Kinematyka płynów - zadania

Kinematyka płynów - zadania Zadanie 1 Zadane jest prawo ruchu w zmiennych Lagrange a x = Xe y = Ye t 0 gdzie, X, Y oznaczają współrzędne materialne dla t = 0. Wyznaczyć opis ruchu w zmiennych Eulera. Znaleźć linię prądu. Pokazać,

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 15.1.010r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f x) = arc cos x x + x 5 ) ) log x + 5. Rozwiązanie. Wymagane

Bardziej szczegółowo

DOBÓR PRZEKROJU ŻYŁY POWROTNEJ W KABLACH ELEKTROENERGETYCZNYCH

DOBÓR PRZEKROJU ŻYŁY POWROTNEJ W KABLACH ELEKTROENERGETYCZNYCH Franciszek SPYRA ZPBE Energopomiar Elekryka, Gliwice Marian URBAŃCZYK Insyu Fizyki Poliechnika Śląska, Gliwice DOBÓR PRZEKROJU ŻYŁY POWROTNEJ W KABLACH ELEKTROENERGETYCZNYCH. Wsęp Zagadnienie poprawnego

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 2. BADANIE WAHADEŁ SPRZĘŻONYCH.

ĆWICZENIE 2. BADANIE WAHADEŁ SPRZĘŻONYCH. ĆWICZENIE BADANIE WAHADEŁ SPRZĘŻONYCH Wahadło sprzężone Weźmy pod uwagę układ złożony z dwóch wahadeł o długościach połączonych sprężyną o współczynniku kierującym k Rys Na wahadło działa siła będąca składową

Bardziej szczegółowo

AUTORKA: ELŻBIETA SZUMIŃSKA NAUCZYCIELKA ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH SCHOLASTICUS W ŁODZI ZNANE RÓWNANIA PROSTEJ NA PŁASZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI

AUTORKA: ELŻBIETA SZUMIŃSKA NAUCZYCIELKA ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH SCHOLASTICUS W ŁODZI ZNANE RÓWNANIA PROSTEJ NA PŁASZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI UTORK: ELŻBIET SZUMIŃSK NUCZYCIELK ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTŁCĄCYCH SCHOLSTICUS W ŁODZI ZNNE RÓWNNI PROSTEJ N PŁSZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI SPIS TREŚCI: PROST N PŁSZCZYŻNIE Str 1. Równanie kierunkowe prostej

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe wyższych rzędów

Równania różniczkowe wyższych rzędów Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1.2 Rozwiązanie ogólne............................... 2 1.3 Obniżanie rzędu

Bardziej szczegółowo

Zadanie 21. Stok narciarski

Zadanie 21. Stok narciarski KLUCZ DO ZADAŃ ARKUSZA II Jeżeli zdający rozwiąże zadanie inną, merytorycznie poprawną metodą otrzymuje maksymalną liczbę punktów Numer zadania Zadanie. Stok narciarski Numer polecenia i poprawna odpowiedź.

Bardziej szczegółowo

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 2 Listazadań

Analiza matematyczna 2 Listazadań Analiza maemayczna Lisazadań Opracowanie: dr Marian Gewer, doc. Zbigniew Skoczylas Lisa. Korzysając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: 3 +) ; b) 4 ; e) 3 3+5 ; c) π )

Bardziej szczegółowo

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy

Bardziej szczegółowo

W siła działająca na bryłę zredukowana do środka masy ( = 0

W siła działająca na bryłę zredukowana do środka masy ( = 0 Popęd i popęd bryły Bryła w ruchu posępowym. Zasada pędu i popędu ma posać: p p S gdie: p m v pęd bryły w ruchu posępowym S c W d popęd siły diałającej na bryłę w ruchu posępowym aś: v c prędkość środka

Bardziej szczegółowo

Podręcznik: Jan Machowski Regulacja i stabilność

Podręcznik: Jan Machowski Regulacja i stabilność dr hab. Désiré D. Rasolomampionona, pro. PW GM pok.111 STANY NEUSTALONE SYSTEMÓW ELEKTROENERGETYCZNYCH Wykład dla sem. sudiów sopnia Auomayka Elekroenergeyczna Podręcznik: Jan Machowski Regulacja i sabilność

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

4.2 Analiza fourierowska(f1)

4.2 Analiza fourierowska(f1) Analiza fourierowska(f1) 179 4. Analiza fourierowska(f1) Celem doświadczenia jest wyznaczenie współczynników szeregu Fouriera dla sygnałów okresowych. Zagadnienia do przygotowania: szereg Fouriera; sygnał

Bardziej szczegółowo

26. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE DRUGIEGO RZĘDU

26. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE DRUGIEGO RZĘDU 6. RÓWNANIA RÓŻNIZKOWE ZWYZAJNE DRUGIEGO RZĘDU 6.. Własności ogólne Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzęd drgiego nazywamy równanie, w którym niewiadomą jest fnkcja y jednej zmiennej i w którym występją

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 FIZYKA I ASTRONOMIA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1.1 Narysowanie toru ruchu ciała w rzucie ukośnym. Narysowanie wektora siły działającej na ciało w

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ MECHANICZNY KARTA PRZEDMIOTU

WYDZIAŁ MECHANICZNY KARTA PRZEDMIOTU Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ MECHANICZNY KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Nazwa w języku angielskim ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Automatyka

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys. Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA MAXWELLA. Czy pole magnetyczne może stać się źródłem pola elektrycznego? Czy pole elektryczne może stać się źródłem pola magnetycznego?

RÓWNANIA MAXWELLA. Czy pole magnetyczne może stać się źródłem pola elektrycznego? Czy pole elektryczne może stać się źródłem pola magnetycznego? RÓWNANIA MAXWELLA Czy pole magnetyczne może stać się źródłem pola elektrycznego? Czy pole elektryczne może stać się źródłem pola magnetycznego? Wykład 3 lato 2012 1 Doświadczenia Wykład 3 lato 2012 2 1

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx

25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx 5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU 5.1. Pojęcia wstępne. Klasfikacja równań i rozwiązań Rozróżniam dwa zasadnicze tp równań różniczkowch: równania różniczkowe zwczajne i równania różniczkowe cząstkowe.

Bardziej szczegółowo

Matematyka rozszerzona matura 2017

Matematyka rozszerzona matura 2017 Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem

Bardziej szczegółowo

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO ĆWICZENIE 53 PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO Cel ćwiczenia: wyznaczenie wartości indukcyjności cewek i pojemności kondensatorów przy wykorzystaniu prawa Ohma dla prądu przemiennego; sprawdzenie prawa

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU

WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim WSTĘP DO TEORII RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH Nazwa w języku angielskim INTRODUCTION TO DIFFERENTIAL EQUATIONS THEORY

Bardziej szczegółowo

2.Rezonans w obwodach elektrycznych

2.Rezonans w obwodach elektrycznych 2.Rezonans w obwodach elektrycznych Celem ćwiczenia jest doświadczalne sprawdzenie podstawowych właściwości szeregowych i równoległych rezonansowych obwodów elektrycznych. 2.1. Wiadomości ogólne 2.1.1

Bardziej szczegółowo

Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni

Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Zadanie 6.1. Obliczyć długości podanych wektorów a) a = [, 4, 12] b) b = [, 5, 2 2 ] c) c = [ρ cos φ, ρ sin φ, h], ρ 0, φ, h R c) d = [ρ cos φ cos

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Wirtualne Obwodów w Stanach Ustalonych i Nieustalonych

Laboratorium Wirtualne Obwodów w Stanach Ustalonych i Nieustalonych ĆWICZENIE 1 Badanie obwodów jednofazowych rozgałęzionych przy wymuszeniu sinusoidalnym Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest Poznanie podstawowych elementów pasywnych R, L, C, wyznaczenie ich wartości na

Bardziej szczegółowo

Sprawdzanie prawa Ohma i wyznaczanie wykładnika w prawie Stefana-Boltzmanna

Sprawdzanie prawa Ohma i wyznaczanie wykładnika w prawie Stefana-Boltzmanna Sprawdzanie prawa Ohma i wyznaczanie wykładnika w prawie Stefana-Boltzmanna Wprowadzenie. Prawo Stefana Boltzmanna Φ λ nm Rys.1. Prawo Plancka. Pole pod każdą krzywą to całkowity strumień: Φ c = σs T 4

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 4 WYZNACZANIE INDUKCYJNOŚCI WŁASNEJ I WZAJEMNEJ

Ćwiczenie 4 WYZNACZANIE INDUKCYJNOŚCI WŁASNEJ I WZAJEMNEJ Ćwiczenie 4 WYZNCZNE NDUKCYJNOŚC WŁSNEJ WZJEMNEJ Celem ćwiczenia jest poznanie pośrednich metod wyznaczania indukcyjności własnej i wzajemnej na podstawie pomiarów parametrów elektrycznych obwodu. 4..

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej F (x, y(x), y (1) (x), y () (x),..., y (n) (x)) = 0, gdzie y (k) (x) to k ta

Bardziej szczegółowo

KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ

KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające (W).

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci

Bardziej szczegółowo

Funkcja liniowa i prosta podsumowanie

Funkcja liniowa i prosta podsumowanie Funkcja liniowa i prosta podsumowanie Definicja funkcji liniowej Funkcja liniowa określona jest wzorem postaci: y = ax + b, x R, a R, b R a, b współczynniki funkcji dowolne liczby rzeczywiste a- współczynnik

Bardziej szczegółowo

2 K A T E D R A F I ZYKI S T O S O W AN E J

2 K A T E D R A F I ZYKI S T O S O W AN E J 2 K A T E D R A F I ZYKI S T O S O W AN E J P R A C O W N I A P O D S T A W E L E K T R O T E C H N I K I I E L E K T R O N I K I Ćw. 2. Łączenie i pomiar pojemności i indukcyjności Wprowadzenie Pojemność

Bardziej szczegółowo

1. Wykres przedstawia zależność wzrostu temperatury T dwóch gazów zawierających w funkcji ciepła Q dostarczonego gazom.

1. Wykres przedstawia zależność wzrostu temperatury T dwóch gazów zawierających w funkcji ciepła Q dostarczonego gazom. . Wykres przedstawia zależność wzrostu temperatury T dwóch gazów zawierających i N N w funkcji ciepła Q dostarczonego gazom. N N T I gaz II gaz Molowe ciepła właściwe tych gazów spełniają zależność: A),

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzysano: M A T E M A T Y K A Wykład dla sudenów Część Krzyszo KOŁOWROCKI, ZBIÓR ZADAŃ Z RACHUNKU CAŁKOWEGO Krzyszo PISKÓRZ Deinicja CAŁKA NIEOZNACZONA Funkcję

Bardziej szczegółowo

Silniki cieplne i rekurencje

Silniki cieplne i rekurencje 6 FOTO 33, Lao 6 Silniki cieplne i rekurencje Jakub Mielczarek Insyu Fizyki UJ Chciałbym Pańswu zaprezenować zagadnienie, kóre pozwala, rozważając emaykę sprawności układu silników cieplnych, zapoznać

Bardziej szczegółowo

WSTĘP DO ELEKTRONIKI

WSTĘP DO ELEKTRONIKI WSTĘP DO ELEKTRONIKI Część I Napięcie, naężenie i moc prądu elekrycznego Sygnały elekryczne i ich klasyfikacja Rodzaje układów elekronicznych Janusz Brzychczyk IF UJ Elekronika Dziedzina nauki i echniki

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. =1+cos a) = =2cos( sin) = = sin2 = ln += =sin2 = ln 1+cos +. b) sin(+3)= =+3 = 3 =( 3) = sin= =( 6+9) sin= sin 6 sin+9sin. Obliczamy teraz pierwszą całkę: sin= ()=

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy

GEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy GEOMETRIA ANALITYCZNA Poziom podstawowy Zadanie (4 pkt.) Dana jest prosta k opisana równaniem ogólnym x + y 6. a) napisz równanie prostej k w postaci kierunkowej. b) podaj współczynnik kierunkowy prostej

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z FIZYKI WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA UCZNIÓW KLAS I

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z FIZYKI WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA UCZNIÓW KLAS I PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z FIZYKI WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA UCZNIÓW KLAS I Wymagania konieczne ocena dopuszczająca wie że długość i odległość mierzymy w milimerach cenymerach merach lub kilomerach

Bardziej szczegółowo

J. Szantyr - Wykład 3 Równowaga płynu

J. Szantyr - Wykład 3 Równowaga płynu J. Szantyr - Wykład 3 Równowaga płynu Siły wewnętrzne wzajemne oddziaływania elementów mas wydzielonego obszaru płynu, siły o charakterze powierzchniowym, znoszące się parami. Siły zewnętrzne wynik oddziaływania

Bardziej szczegółowo

Ćw. 27. Wyznaczenie elementów L C metoda rezonansu

Ćw. 27. Wyznaczenie elementów L C metoda rezonansu 7 K A T E D R A F I ZYKI S T O S O W AN E J P R A C O W N I A F I Z Y K I Ćw. 7. Wyznaczenie elementów L C metoda rezonansu Wprowadzenie Obwód złożony z połączonych: kondensatora C cewki L i opornika R

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 10.1.010r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f (x) = x 4x + 3 x + x + log arc sin 1 x. Rozwiązanie. Wymagane

Bardziej szczegółowo