L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 4 ZADANIA - ZESTAW 4

Transkrypt

1 ZADANIA - ZESTAW 4 Zadanie ,4 c 0 0, 0, Wznacz c. Wznacz rozkład brzegowe. Cz, są niezależne? (odp. c = 0,3 Zadanie ,4 0,3 0 0, 0, Wznaczć macierz kowariancji i korelacji. Cz, są skorelowane? Cz, są niezależne? Podać równanie prostej regresji względem. (odp. ρ = 0,, 0, 0,05 K =, 0,05 0,5 0, R = ; = 0,4x 0,336 0, Zadanie , 6 0, 0, 0, 7 0,3 0, 0, a wznaczć F(;, F(6;, F(7;, b obliczć P ( 6;, c wznacz rozkład warunkowe = ; = 5, (odp. a F(; = 0, F(6; = 0, F(7; = 0,; b 0,7; c = : [6]/3; [7]/3; = 5 : []

2 Zadanie ,0 0,0 0, 6 0, 0, 0, 7 0,3 0, 0, Obliczć współcznnik korelacji międz tmi zmiennmi. Podać równanie prostej regresji względem. Cz, są skorelowane? Cz, są niezależne? (odp. ρ = 0,47, = 4,7 0,59x Zadanie , 0 0, 0 0, 0, 0, 0,3 0, 0 a obliczć E, E, b obliczć cov(,, c obliczć współcznnik korelacji, d Cz, są nieskorelowane? Cz są niezależne? e wznacz prostą regresji względem, Zadanie 4.4 Zmienna losowa (, ma macierz kowariancji: 4 K =. 9 Ile wnosi współcznnik korelacji międz i? Zadanie 4.5 Macierz jest macierzą kowariancji. Zapisz odpowiadającą jej macierz korelacji R. 0,7 (odp. /6 0,7 (odp. R =

3 Zadanie 4.6 Wiadomo, że E =, E = 3 dla dwuwmiarowego rozkładu normalnego a macierz kowariancjna 6 K = 5 Podać równanie prostej regresji względem. Oblicz współcznnik korelacji. Cz, są skorelowane? Cz, są niezależne? (odp. są skorelowane, ρ = 0,6 Zadanie 4.7 Wznaczć wartość parametru c ab funkcja dla x, 0 dla innch x, bła gęstością prawdopodobieństwa pewnej zmiennej losowej dwuwmiarowej. Oblicz a P( < -, >, b P( > 0, > 0, c P( <. Wznacz F(0,0. Wznacz gęstości warunkowe = ; = 0, Cz, są niezależne? (odp. c = /6; a /6; b ¼; c ½; F(0,0 = 0,5; 0,5 dla x = ; 0,5 dla f (, = ; dla innch x dla innch, są zależne Zadanie 4.8 (, jest zmienną losową o gęstości dla dla ( x, D ( x, D gdzie D jest trójkątem o wierzchołkach (0; 0; (; 0; (;. a wznaczć c, b wznaczć F(; 0,5, c wznaczć gęstości rozkładów brzegowch, d wznaczć gęstość rozkładu = 0, 5, e Cz są niezależne? (odp. c = ; F(; 0,5 = 0,75; x dla x (0, f ( x ; ( dla (0, f ( ; dla innch x 0 dla innch dla x (0,5; = 0,5 0 dla innch x, są zależne 3

4 Zadanie 4.9 Wznaczć wartość parametru c ab funkcja dla x, 0 dla innch x, bła gęstością prawdopodobieństwa pewnej zmiennej losowej dwuwmiarowej. Wznacz F(0, 0. Oblicz a P( >, b P( > 0, > 0, c P( <. Zadanie 4.0 Dstrbuanta zmiennej losowej (, wraża się wzorem: x x e e + e dla x > 0, > 0 F( x, 0 dla innch x, Wznacz gęstość tej zmiennej losowej. Wznacz a P( <, <,b P( <. x (odp. e dla x > 0, > 0 ; dla innch x, a P( <, < = F(, = -e - -e - +e -3, b P( < = F(, = -e - Zadanie 4. Dstrbuanta zmiennej losowej (, ma postać 0 x 0 0 0,5(sin x+ sin sin( x+ 0< x π /, 0< π / F( x, 0,5(sin x+ cosx 0< x π /, > π / 0,5(sin + cos 0< π /, x > π / x > π /, > π / a Wznacz gęstość tej zmiennej losowej, b Wznacz wektor wartości oczekiwanch tej zmiennej losowej, c Oblicz P((, A, d Cz, są niezależne? π/ π/3 A π/6 π/3 π/ (odp. a 0,5(sin( x + 0 = < x π /, 0 < π / 0 dla innch x,, b [π/4; π/4], c 3 4 4

5 Zadanie 4. (, ma rozkład o dstrbuancie 3x 4 3x 4 e e + e dla x > 0, > F( x, Wznacz gęstość zmienne losowej (,. (odp. dla 0 innch x, 3x 4 e dla x > 0, > 0 dla innch x, Zadanie 4.3 Zmienne losowe, są niezależne i mają rozkład jednostajne odpowiednio w przedziałach [0, 3] i [-, ]. Wznacz gęstość rozkładu łącznego (,. Zadanie 4.4 Niezależne zmienne losowe, przjmują wartości - i z prawdopodobieństwem i odpowiednio 0,6 i 0,4. Obliczć: a rozkład łączn zmiennej losowej dwuwmiarowej (, i dstrbuantę tego rozkładu b wartość oczekiwaną i wariancję sum + i różnic (- tch zmiennch losowch c funkcję charakterstczną sum + i różnic - tch zmiennch losowch Odp. a / - - 0,36 0,4 0,6 0,4 0,6 0,4 0,6 0,4 0 x 0,36 < x < F ( x, 0,6 ( < x < ( < < x x > > b Rozkład xi - pi 0,6 0,4 Rozkład i - pi 0,6 0,4 E = E = 0,; D² = D² =,6 E(+ = 0,4 Wariancja sum D²(+ = D²(- = D² + D² = 4,3 c Funkcja charakterstczna ϕ it ( t = ϕ ( t = 0,6e + Dla niezależnch ϕ ϕ 0,4e it it ( t = ϕ ( t ( t = (0,6e + 0,4e it + ϕ ( t = ϕ ( t ϕ ( t = + it it it it ( 0,6e + 0,4e ( 0,6e 0,4e 5

6 Zadanie 4.5 Wznaczć wartość parametru c ab funkcja dla x,, z 3, z 0 dla innch x,, z bła gęstością prawdopodobieństwa pewnej zmiennej losowej trójwmiarowej. Wznacz F(0, 0, 0. Oblicz a P( >, b P( > 0, > 0, Z > 0, c P( <. Wznacz wektor wartości oczekiwanch tej zmiennej losowej. Wznacz macierz kowariancji i macierz korelacji tej zmiennej losowej. Zadanie 4.6 Zmienna losowa (, ma stałą gęstość na zaznaczonm zbiorze / / Sprawdź, że rozkład brzegowe mają rozkład jednostajn na przedziale (0,. Sprawdź, że, są zależne. Zadanie 4.7 x / e e (, ma rozkład o gęstości dla x > 0, > 0 0 dla innch x, Oblicz P( > = dla > 0. x / e Wsk. dla x > 0, > 0 f ( x dla innch x, (odp. e / Zadanie 4.8 Sprawdź, że macierz 3 nie może bć macierzą kowariancji. Zadanie 4.9 Wznaczć rozkład sum dwóch niezależnch zmiennch losowch o rozkładzie Poissona z parametrami λ, λ. (odp. Jest to rozkład Poissona z parametrem λ + λ