Zestaw zadań z Równań różniczkowych I

Transkrypt

1 Zestaw zadań z Równań różniczkowych I Zadanie 1. Rozwiąż równanie Metoda rozdzielania zmiennych 1 6d 6ydy = 3 ydy y d y4 + e dy e d = y d + y 1 + dy = 0 4 6d ydy = y dy 3y d e yy = e 6 y 1 y + 1 = 0 1 y 7 y = y ln y 8 y cos y+sin y = sin +cos 9 y1 + ln y + y = 0 10 y dy dy = 1 +. d d Zadanie. Znajdź rozwiązanie ogólne danego równania różniczkowego, a następnie wyznacz krzywą całkową przechodzącą przez wskazany punkt 1 y = y +y, 1,1 y = 1+y, 0,1 y e y dy = d e, M1, 1 4 y = dy, M0, 1 d 5 y + d + y ydy = 0, y0 = 1 6 y sin = y ln y, y π = 1 7 y = y ln, e, 1 8 sin sin yd + cos cos ydy = 0, π, π 4 4 Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Zadanie 3.. Rozwiąż równanie 1 y = + y + 3 y = 3 y dy = sin y 4 d y = + y 5 dy = 8 + y + 1 d 6 y = 1 +y 7 y = y y = y. +y Zadanie 4. Rozwiąż równanie jednorodne 1 y = +y yd + y dy = 0 3 d = dy d 4 = dy y+ y y+y y 4y 5 y = +3y y 6 y = 3 y + y + y 7 y = 3 + y + y 8 y = y cos ln y 9 y = y e y 10 y y = + y ln +y 11 3y y 3 y = y + y 3 + y 3 + y + 3 y = yy = 6 y 4 + y 14 3 y = y 15 dy + y 4 + 1yd = 0 16 y + y = y y. 1

2 Zadanie 5.. Rozwiąż równanie jednorodne 1 y = +8y+9 y = 3 y 4 10 y y = 1 3 3y 4 y + 4dy + y + 5d = 0 1++y 5 d + y + 1dy = y + 1d + 4y + 3dy = y y + 1 dy = 0 8 d y = 5y+5 4+3y y + 1d + y + 1dy = y y dy = 0 d 11 y y+ = 1 y + 1 ln y+ = y+ +y Równania liniowe niejednorodne pierwszego rzędu Zadanie 6. Rozwiąż równanie 1 y y = e y + y = y y = 5 cos 4 y y = e 5 y + 3y = cos sin 3 + e 3 6 y + y tan = 1 cos 7 + 4y + 3y = 8 y + y cos = sin cos 9 ln dy d + y = ln 10 ln y + y = ydy = yd + 4 ln ydy 1 + y dy = yd 13 e y y = yy = yy 1. Zadanie 7. Rozwiąż podane zagadnienia Cauchy ego 1 y = y + e t t, y0 = 1 y + y = cos, y π = y = y +, y 1 = 1 4 y + 3y =, y1 = y y = +1 e + 1, y0 = 1 6 y + y = 3, y1 = 1 e 7 y + y = e sin, y0 = 1 8 y + y tan = cos, y π = y + y =, y0 = 10 y + y = 1 3 3, y1 = 5. 6 Zadanie 8. Rozwiąż równanie Równania Bernoullie go 1 y + y = y 3y y = y 3 y y = y 4 3 y y = y 3 5 dy = y e yd 6 y + y = y ln 7 1 y y = ay 8 y + y = +13 y y y + y3 10 y y = 4y 1 11 y ln y y = y 1 y y dy + y d = 0.

3 Zadanie 9. Rozwiąż podane zagadnienia Cauchy ego 1 y y = y, y0 = 0 y 9 y = 5 + y 3, y0 = 0 3 y y =, y0 = y y + y = 1 + e y, y0 = 1 5 y + y = y ln, y1 = 1 6 y y ln + y = 0, ye = 1 7 y y + y 3 = 1, y1 = 8 y + y cos = cos 1 + sin, y0 = 1 y 9 y y cos = y cos, y0 = y 1y = 5 + 3y 3, y1 =. Równania różniczkowe zupełne. Czynnik całkujący Zadanie 10. Sprawdź, czy podane równania są zupełne i rozwiąż je 1 1 sin y cos y d + cos y sin + 1 dy = 0 y y y y y [cos + y + 3y]d + [y cos + y + 3]dy = y y d + 3y y + y dy = 0 3 y 1 4 y d + 1 dy = 0 5 y y y e y d + e y 1 y 1 + y d y dy = 0 dy = 0 7 sin + yd + cos + yd + dy = 0 8 6y + + 3y + 3y + y + = y sin d y cos dy = y + d + ydy = 0 11 d = dy + yd y y + y = 1 13 y d y + 3 dy = ln yyd = 3dy 15 y + yd + y + 1dy = 0 16 y + yd + y 1dy = 0 17 ln y + 1y = y 18 3 y + y 3 + yd + y dy = 0 Równania różniczkowe rzedu pierwszego nierozwiązywalne względem pochodnych. Metoda wprowadzania parametru Zadanie 11. Rozwiąż podane równania 1 y yy + 4 = 0 y y + 1 = 0 3 y = y + y 3 4 y y = 4y 5 y 1 = y 6 y ln y = 1 7 y = ln1 + y 8 y y = y ln yy 9 = y y y = y + 1 y 11 y = y y 1 y + y = 4 y 13 y = y + y y 14 y y = ln y 15 y = 1 + y + y 16 y = y + y 3. Zadanie 1. Znajdź równanie różniczkowe rodziny krzywych: 1 y = C cos a 3 y = a, a y b = 1

4 Zadanie 13. Wyznaczyć równanie rodziny linii ortogonalnych do rodziny: 1 parabol y = a + b krzywych wykładniczych y = ae 3 + y = a 4 y = c. Równania różniczkowe wyższych rzędów dające się sprowadzić do równań rzędów niższych Zadanie 14. Rozwiąż podane równania metodą obniżania rzędu 1 y ln = y 4 y + 3 y = 1 3 y = y y y = e 5 tan y = y 6 y + y = 7 y = yy 8 yy + 1 = y 9 y + y = e y 10 y = y y + 1 = 0 11 y + yy = y 1 y 4 y = 1 + y 13 y 1 + yy = y 1 + y 14 y y + y y y yy = 0 15 yy y = yy y yy = yy 17 yy = y y + y 18 y yy = y 19 y + y = 3y + yy 0 3 y = y y y y 1 yy + y = y y + y = y + y. Zadanie 15. Rozwiąż równania liniowe o stałych współczynnikach metodą przewidywań 1 y + 4y + 3y = 0 y + y + 10y = 0 3 y V + 8y + 16y = 0 4 y V I + 64y = 0 5 y V 6y IV + 9y = 0 6 y V 10y + 9y = 0 7 y 3y + 3y y = 0 8 y y 3y = e 4 9 y 4y + 4y = 4 10 y 3y + y = 11 y 4y + 4y = e 1 y 8y + 16y = e 13 y 3y + y = sin 14 y + 4y = cos + sin 15 y + 9y = cos sin 5 16 y + 4y = sin 17 y y + y = 4sin + cos 18 y 5y = 3 + sin 5 19 y y = + 1e 0 y y = 4 1 y y + 4y 8y = e sin + y + 3y 4y = e 4 + e 3 y 4y + 3y = + e 4 y + y = sin + cos. Zadanie 16. Rozwiąż podane równania Eulera y y = 0 y y = y 3 y + 6y 6y = y + 1y + y = 0 5 y y + y = y y = 6 ln 7 y 3y + 5y = 3 8 y 3 y + 4y = y y 6y = 0 10 y y + y = ln 4

5 Zadanie 17. Rozwiąż podane równania niejednorodne metodą uzmienniania stałych 1 y + y = tan y + y = y y + y = e 4 y + y = 1 5 y + 3y + y = 1 e +1 7 y + 4y = 1 cos sin 6 y + y = cot 8 y y + y = ++ 3 Zadanie 18. Rozwiąż podane równania z wykorzystanie m wzoru Liouville a 1 y + 1y + y = 0 1 y y + y = 0 3 y + 3 y + y = 0 4 y y y = y + y 6y = y + 1 y 1 y = y + + y y = + 1 Zadanie 19. Znaleźć rozwiązanie ogólne podanych układów w postaci rzeczywisto-wartościowej ẋ = + y ẋ + 8y = 0 ẋ = y 1 3 ẏ = 3 + 4y ẏ y = 0 ẏ = y ẋ = 3y ẏ = 3 + y ẋ = y z ẏ = + y + z ż = z ẋ = y + 8t ẏ = 5 y ẋ = 5y ẏ = + y + 4t ẋ + + 5y = 0 ẏ y = 0 ẋ = + y ẏ = + 3y z ż = + y + 3z ẋ = y ẏ = + y 5e t sin t ẋ = + z y ẏ = + y z ż = y ẋ = y + z ẏ = + z ż = + y z ẋ = y + cos t sin t ẏ = + y + sin t + 3 cos t 5

6 Zadanie 0. Metodą operatorową rozwiązać zagadnienia początkowe Cauchy ego dla równań różniczkowych liniowych: 1... t 6ẍt + 11ẋt 6t = 1 0 = ẋ0 = ẍ0 = 0,... t + 6ẍt + 11ẋt + 6t = 1 + t + t 0 = ẋ0 = ẍ0 = 0, 3... t + t = 1 0 = ẋ0 = ẍ0 = 0, 4... t + t = 1 t e t 0 = ẋ0 = ẍ0 = 0, 5.. t + 5ẋt + 4t = 4t =, ẋ0 = 1, 6.. t 6ẋt + 9t = 9t 1t + 0 = 1, ẋ0 = 3, 7.. t 5ẋt + 6t = 1t 7e t 0 = ẋ0 = 0, 8.. t ẋt = t 0 = 0, ẋ0 = 1, 9... t ẍt 4ẋt + 4t = t 8 0 = ẋ0 = ẍ0 = 0, 10.. t + ẋt t = 1 t sin t 6 cos t 0 =, ẋ0 = 1, 11.. t 4ẋt + 8t = e t 0 = 0, ẋ0 = 1, 1.. t t = 1 et 0 = ẋ0 = 0, t + ẍt + t = 0 0 = ẋ0 = ẍ0 = 0,... 0 = 1, 14.. t + 6ẋt + 9t = 10 sin t 0 = ẋ0 = 0, Odpowiedzi do wybranych zadań Zadanie y = c 1 e + c + 1, c 1, c R y = c 1 + c ln 1 +, c +1 1, c R 3 y = c 1 e + c 1, c 1, c R 4 y = c 1 e + c e 3 + 1, c 1, c R 5 y = c c +, c 1, c R 6 y = c 1 e + c 1, c 1, c R 7 y = c c ln + 1, c 4 1, c R. Zadanie 0. 1 t = et 1 et e3t t = 35 4t t e t + 1 e t 4 7 e 3t 3 t = e t e 1 t cos 3 t 3 4 t = 1 4 t 3t + 3 et 1 4 e t 1 cos 3 t 3 sin 3 3 t e 1 t 5 t = t + e t 6 t = e 3t + t 7 t = e t e 3t + te t 8 t = 3e t 1 3 t3 t t 3 9 t = e t 15e t + 3e t + 4t + 8t 10 t = t + cos t 11 t = 1 5 et cos t et sin t et 1 t = 1 8 et tet e t 13 t = 1 sin t t cos t 14 t = 3 + t e 3t + 4 sin t 3 cos t

7 Uwaga: W każdym z poniższych zadań należy opisać wyprowadzenie odpowiednich równań różniczkowych. Zadanie 1. Znajdź równanie krzywej leżącej w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych, której styczne w dowolnym jej punkcie tworzą z osiami współrzędnych trójkąt o stałym polu wynoszącym 4. Zadanie. Ciało o temperaturze początkowej 100 o C zostało w chwili t = 0 umieszczone w otoczeniu o temperaturze stałej równej 10 o C i w ciągu 5 minut ostygło o 0 o C. Przyjmując, że prędkość stygnięcia ciała jest wprost proporcjonalna do różnicy temperatur ciała i otoczenia, obliczyć po ilu minutach ciało ostygnie o następne 0 o C. Zadanie 3. W zbiorniku znajduje się 100 litrów roztworu zawierającego 10kg soli. Do zbiornika dopływa ciągle woda z prędkością 5 l/min. Równocześnie odpływa roztwór z taką samą prędkością. Ile soli będzie w naczyniu po 1 godzinie, jeżeli założymy jednakowe stężenie roztworu w każdej chwili? Zadanie 4. Fabryka papieru znajduje się obok rzeki, która jest jedynym wlotem do jeziora o całkowitej i stałej objętości 10 9 m 3. Rzeka dostarcza do jeziora wodę z prędkością 1000m 3 /sec i z taką samą prędkością woda odpływa z jeziora. W czasie t 0 = 0 fabryka zaczyna pompowanie zanieczyszczeń do rzeki z szybkością 1m 3 /sec. Przy założeniu, że stężenie zanieczyszczenia w jeziorze jest zawsze jednolite znajdź całkowitą objętość zanieczyszczeń w jeziorze po 4 godzinach. Jeśli fabryka przestanie zanieczyszczania rzeki po 4 godzinach, oblicz objętość zanieczyszczeń w jeziorze po kolejnych 4 godzinach. Zadanie 5. Wartość firmy Krzak rośnie w tempie proporcjonalnym do pierwiastka kwadratowego z jej bieżącej wartości. Jeśli firma była warta 1 milion złotych dwa lat temu i jest warta 3 miliony złotych dziś określić, kiedy będzie ona warta 5 milionów złotych. Określ także, kiedy była ona warta tylko 100tys. złotych. Zadanie 6. Pani Pochodna została posądzona o zabójstwo swojej kuzynki Pani Granicy. W trakcie prowadzonych czynności wyjaśniających okazało się, że Pani Granica została znaleziona martwa o godz O godzinie przybyły na miejsce zbrodni koroner zbadał temperaturę dentaki i wynosiła ona 3, 6 o C, a temperatuta otoczenia 0, 6 o C. Czynność mierzenia temperatury została powtórzona o godzinie i wówczas wyszło 30, 6 o C. Okazało się również, że Pani Pochodna do godziny była w szkole, co zarejestrowały szkolne kamery. Ponadto szkołę od miejsca zbrodni dzieli co najmniej 30 minut drogi. Czy, przy założeniu, że Pani Granica na nic nie chorowała jej temperatura w chwili śmierci wynosiła 36, 6 o C, alibi Pani Pochodnej jest wystarczające? 7

8 Zadanie 7. Dzisiaj jest niedziela 9 marca 015 r. Plotka treści czwartek kwietnia 015 roku będzie dniem rektorskim rozprzestrzenia się w populacji studentów UWM liczącej 30tyś osób z prędkością proporcjonalną do iloczynu liczby osób, które już słyszały plotkę oraz liczby osób, które jej nie słyszały. Załóżmy, że plotkę rozprzestrzeniają pewni studenci z RRI 13 osób i po jednym dniu wie o niej 70 osób. Ile osób po zaokrągleniu do jednej przyjdzie na zajęcia dnia 17 kwietnia 014. Zakładając, że na zajęcia przyjdą te osoby, które nie słyszały plotki. Zadanie 8. Feli Baumgartner postanowił skoczyć z dachu najwyższego budynku świata Burdż Chalifa w Dubaju o wysokości 88m. Zakładając, że jego waga wynosi 85kg oblicz z jaką prędkością Pan Feli uderzy o podłoże o ile opór powietrza proporcjonalny jest do kwadratu prędkości spadającego obiektu. Jeżeli wysokość była by dowolnie duża to jaka była by prędkość graniczna Pana Felia? Podpowiedź. Skorzystaj z podstawowego równania mechaniki klasycznej opisującego drugą zasadę dynamiki Newtona: mat = F t, t, t. Zadanie 9. Odnaleźć krzywe dla których odcinek odcięty przez normalną na osi O między punktem przecięcia normalnej z osią O a początkiem układu współrzędnych jest równy y. Zadanie 30. Punkt materialny o masie 1grama porusza się prostoliniowo pod wpływem działania siły F wprost proporcjonalnej do czasu t i odwrotnie proporcjonalnej do prędkości punktu. W momencie t = 10 prędkość wynosiła v = 0cm/s, a siła F = 10N. Wyznacz prędkość po upływie 30s. Oblicz czas w którym punkt osiągnie prędkość 300cm/s. Zadanie 31. Czas połowicznego rozpadu pewnej substancji radioaktywnej wynosi 160 lat. Jeżeli masa tej substancji w chwil obecnej wynosi 4g oblicz: a jaką masę będzie miało po 810 latach; b czas kiedy waga będzie równa 1,5g. Zadanie 3. Chcemy zgromadzić zł w ciągu 10 lat poprzez pojedynczy depozyt na koncie oszczędnościowym o oprocentowaniu ciągłym wynoszącym w ciągu roku 5,5%. Ile musimy wpłacić na konto. Zadanie 33. Na sprężynie zawieszono ciało o masie 0,4kg. Spowodowało to rozciągnięcie sprężyny o 0,4m. W chwili t = 0 ciało zostało podniesione 10cm i nadano mu prędkość 0,1 m/s w dół. Znaleźć równanie ruchu ciała. Zadanie 34. Kulkę o pewnej masie zawieszono na długiej i nierozciągliwej nici o długości 5cm. W chwili t 0 = 0 ciało zostało wychylone z położenia równowagi o kąt π, a następnie puszonebez prędkości nadanej. 6 Zakładając, że wartość przyśpieszenia g = 10m/s napisz równanie ruchu tego ciała. 8