Równania różniczkowe zwyczajne MAP 3014, 3062
|
|
- Karolina Gajda
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Równania różniczkowe zwczajne MAP 34, 36 Opracowanie: dr Marian Gewer, dr Zbigniew Skoczlas Lisazadań.Zpewnejsubsancjiradioakwnejpoupłwie4lazosałogram,apoupłwiedalszch4lalko 4 gram. Wznaczć masę subsancji w chwili począkowej. (b) Polon- ma okres połowicznego zaniku równ 4 dni. Znaleźć masę ego pierwiaska po dniach, jeżeli jego masa począkowa wnosiła g. (c) Okres połowicznego zaniku pewnego pierwiaska promieniowórczego jes równ la. Ile procen mas począkowej ego pierwiaska pozosanie po i), ii) 5, iii) laach?. Sprawdzić, że podane funkcje są rozwiązaniami wskazanch równań różniczkowch na zadanch przedziałach: ()= sin, +=cos,(, ); (b)()=, +=3, R; (c)()= +, + =, R; (d)()= 4, =, (,). 3. Sprawdzić, że dla każdego C R podane funkcje są rozwiązaniami wskazanch równań różniczkowch, a nasępnie znaleźć rozwiązania spełniające zadane warunki począkowe: ()=+C, =, ()=; (b)()=ce, =, ()= ; (c)()=ce + 3 e, +=e, ()=; (d)()=+c +, = + +, ()=. 4. Scałkować podane równania różniczkowe o zmiennch rozdzielonch: +4=; (b)d= d; (c) ( ) d+ ( ) d=; (d) = ; (e) =+++; (f) +4= ( e +4 ). 5.Dokonaćanalizrozwiązańrównaniaróżniczkowego =kwzależnościodrzeczwisegoparameruk. 6.Wznaczćrozwiązanierównaniaróżniczkowego ( + ) =+ zzadanmiwarunkamipocząkowmi: ()= ; (b)()=. Podać przedział, na kórch są one określone. 7. Rozwiązać podane zagadnienia począkowe dla równań różniczkowch o rozdzielonch zmiennch: ( π sin=ln, =e; (b) ) d+ d=, ()=; (c)(+) =, (e)=; (d)cosd ( + ) d=, ()=; (e) = ( + ), ()= ; (f)e ( )=, ()=. Zadaniazaczerpnięozksiążkiauorów:Równaniaróżniczkowezwczajne.Teoria,przkład,zadania
2 8. Scałkować podane równania różniczkowe jednorodne: = +; (b)( )d+d=; (c) =(ln ln); (d) =g ; (e)( ) d+d=; (f) =+. 9. Rozwiązać podane zagadnienia począkowe dla równań rózniczkowch jednorodnch oraz wznaczć przedział, na kórch są one określone: ( + ) d d=,()= ; (b) =+,()=; (c) = 4,()=; (d) ( 3 3) d d=,()=3.. Znaleźć krzwe, dla kórch rójką OSY (rsunek) uworzon przez oś O, sczną i wekor wodząc punku sczności jes równoramienn(o podsawie OY). Y S =() O. Rozwiązać podane równania różniczkowe liniowe niejednorodne: +=sin; (b) +=e ; (c) = 3 cos; (d) =4 4 ; (e)+e =; (f)(+) =4+..Załóżm,żeψ()jesrozwiązaniemrównaniaróżniczkowegoliniowegoniejednorodnego(LN) +p()= q(),afunkcjaϕ() rozwiązaniemczęścijednorodnejegorównania(lj) +p()=,gdziefunkcjep(), q() są ciągłe na przedziale(a, b). Pokazać, że każde rozwiązanie () równania niejednorodnego można przedsawić w posaci () = Cϕ() + ψ(), gdzie C jes odpowiednio dobraną sałą. rzeczwisą. (b) Załóżm, że funkcje η(), ψ() są różnmi(η() ψ()) rozwiązaniami równania różniczkowego liniowego niejednorodnego(ln). Pokazać, że każde rozwiązanie () równania niejednorodnego ma posać () = C(η() ψ())+η(),gdziecjesodpowiedniodobranąsałą. 3. Wznaczć rozwiązania podanch zagadnień począkowch dla równań liniowch niejednorodnch oraz podać przedział, na kórch są one określone: =,(3)=3; (b) =(+)sin, ( )= ; ( π (c) +=+,()=; (d) sincos=+sin 3, =. 4) 4.Dlarównanialiniowegoniejednorodnego +p=q(),gdziep Rwznaczćrozwiązanieϕ()wpodanej posaci, jeżeli: p=4, q()=, ϕ()=a +B+C; (b)p=, q()= 4, ϕ()=a 4 +B 3 +C +D+E; (c)p= 3, q()=4 e, ϕ()= ( A +B+C ) e ; (d)p=, q()=e, ϕ()=(a+b)e ; (e)p=, q()=cos3, ϕ()=asin3+bcos3; (f)p=, q()=sin cos, ϕ()=asin +Bcos. 5.Znaleźćrozwiązanierównaniaróżniczkowegoliniowegoniejednorodnego += ( + ) e spełniające warunek lim ()=.
3 6. Znaleźć równanie krzwej przechodzącej przez punk(,), dla kórej pole rójkąa OST(rsunek) uworzonegoprzezośo,scznąiwekorwodzącpunkuscznościjessałeirównasię. S O T =() 7. Rozwiązać podane równania różniczkowe Bernoulliego: += ; (b)3 3 = 3 ; (c) ( + ) =; (d) = sin; (e) + =,>; (f) = ( e ). 8. Rozwiązać podane zagadnienia począkowe dla równań różniczkowch Bernoulliego oraz wznaczć przedział, na kórch są one określone: += 3,> ()= ; (b) += ln,()=; (c) = e ln,()=; (d) ln+ =,(e)= e. 9.Basenopojemnościlirówzawieralirówczsejwod.Dobasenuwlewasięwodaoskażeniu 5% z prędkością lirów na minuę. Przez owór spusow ciecz wlewa się z prędkością lirów na minuę. Wznaczć skażenie wod w chwili napełnienia zbiornika. (b)whalioobjęościm 3 powierzezawiera.5%dwulenkuwęgla.wenlaorpodajewciąguminu m 3 powierzazawierającego.4%co.pojakimczasiesężeniedwulenkuwęglawhalizmniejszsię dwukronie? (c) Zbiornik o pojemności 5 lirów napełnion jes 4% wodnm rozworem alkoholu. Po włączeniu pomp (=)dozbiornikawlewasię%wodnrozwóralkoholuzprędkością5l/min,apowsałamieszanina wlewa się dwa raz szbciej. Po ilu minuach ilość alkoholu w zbiorniku będzie największa?. Kulura licząca 5 bakerii rozwija się według wkładniczego prawa wzrosu ak, że po rzech godzinach osiąga san 8 bakerii. Po jakim czasie populacja będzie liczła milion bakerii? (b) Populacja pewnego gaunku rb rozwijająca się według wkładniczego prawa wzrosu podwoiła liczbę swoich osobnikówwciągula.poilulaachliczbarbporoisię? (c) Populacja pewnego gaunku biologicznego, kórej rozwój opisan jes równaniem logiscznm liczła na począku 5 s. osobników. Po dniach ich liczba wzrosła do 8 s. osobników, b po dosaecznie długim czasie usabilizować się na poziomie 5 s. osobników. Wznaczć czas, po kórm populacja podwoiła liczbę swoich osobników..termomerzpokoju,wkórmwskazwał C,wsawiononazewnąrz,gdziepanował5 Cchłód. Pojednejminucienaermomerzebłojuż C.Pojakimczasieermomerbędziewskazwałemperaurę lkoo%wższąniżfakczna? (b)ciało,kóregoemperaurawnosi Cumieszczonowpomieszczeniuoemperaurze6 C.Pominuachjegoemperauraobniżłasiędo4 C.Wmmomenciewłączonoklimazaor,kóreobniżają emperauręooczeniazszbkością Cnaminuę.JakabędzieemperauraTciałapominuachodchwili uruchomienia klimazaorów?. W obwodzie elekrcznm połączono szeregowo opornik o oporności R = [Ω], cewkę o indukcjności L=[H]orazźródłonapięciasałegoE()=[V].Wznaczćgranicznenaężenieprąduwobwodzie,gd.NaszkicowaćfunkcjęI()[A],jeżeliI()=.[A]. (b)wobwodzieelekrcznmpołączonoszeregowoopornikooporzer=5[ω],cewkęoindukcjnościl=.5 [H] oraz zewnęrzną siłę elekromoorczną E() = sin [V]. Wznaczć naężenie prądu I()[A] w obwodzie, jeżelii()=. 3
4 3. Krzwa = () przechodzi przez począek układu współrzędnch i leż w górnej półpłaszczźnie. Każd prosoką ograniczon osiami układu współrzędnch i prosmi poprowadzonmi z dowolnego punku(, ()) krzwej prosopadłmi do nich krzwa () dzieli na dwie części. Pole zaware pod krzwą () jes dwa raz mniejsze niż pole nad krzwą. Wznaczć równanie ej krzwej. =() () O 4. Wznaczć równanie ruchu kamienia o masie m opadającego swobodnie na dno jeziora. Uwzględnić opór wod, kór jes wpros proporcjonaln(ze współcznnikiem k > ) do prędkości opadania v. Przjąc, że głębokośćjeziorawnosid,aprędkośćpocząkowajeszerowa. 5. Wznaczć rozwiązania podanch równanań rzędu drugiego: ( ) =; (b) = e ; (c) =( ) ; (d) = Rozwiązać(scałkować) podane równania różniczkowe: 3 +=; (b) 3( ) =4 ; (c)( ) =( ) ; (d*) + ( ) 7. Rozwiązać podane równania różniczkowe z zadanmi warunkami począkowmi: = +,()=, ()=4; (b) ( ) = ln,()=, ()=; (c) =3,( )=, ( )=; (d) =(+ ),()=, ()=. =e ( ) 3. 8.Znaleźćkrzwą=(),kóraprzechodziprzezpunk(,)ijeswnimscznadoprosej+=oraz spełniarównanieróżniczkowe +( ) =. 9. Wznaczć równanie ruchu spadającego swobodnie ciała o masie m z uwzględnieniem oporu powierza, kór jes wpros proporcjonaln do kwadrau prędkości spadania, ze współcznnikiem proporcjonalności k >. Przjąć,żeciałospadazwsokościs przzerowejprędkościpocząkowej. (b)cząseczkaomasiemporuszasiępoliniiprosej.niechx()oznaczaodległośćejcząseczkiwchwiliod usalonegocenrumnaprosej.wpunkciexcząseczkajesprzciąganaprzezcenrumzsiłąkx 3,gdziek>. Wznaczćrównanieruchucząseczkiorazznaleźćjegorozwiązanie,jeżelirozpoczęłaonaruchwodległościx od cenrum z zerową prędkością począkową. Obliczć czas, po kórm cząseczka osiągnie cenrum. 3. Korzsając z wierdzenia o isnieniu i jednoznaczności dla równań różniczkowch liniowch wznaczć przedział, na kórch podane zagadnienia począkowe mają jednoznaczne rozwiązania: ( ) +( ) +=ln, ()=, ()=; (b)( 3) + +(ln )=, ()=, ()=. 3.Sprawdzić,żefunkcjeϕ()=e,ψ()=e 3 orazichdowolnakombinacjaliniowasąrozwiązaniamirównania 3=. 3.Danjesukładfundamenaln( (), ())równanialiniowegojednorodnegoposaci +p() +q()=. Dlajakichparamerówα,β R,parafunkcji(u (),u ())określonchwzorami jes również układem fundamenalnm ego równania? u ()=α ()+ () u ()= ()+β () 4
5 33. Sprawdzić, że podane funkcje worzą na zadanch przedziałach układ fundamenalne wskazanch równań różniczkowch. Znaleźć rozwiązania ch równań z zadanmi warunkami począkowmi: ()=e, ()=e, (, ), =, ()=, ()= 5; (b) ()=ln, ()=, (,e), ( ln) + =, ()=, ()=; (c) ()=, ()=e, (,), ( ) +=, ()=, ()=; (d) ()=, ()=, (, ), +=, ()=3, ()=. 34. Wznaczćrównaniaróżniczkoweliniowejednorodneposaci +p() +q()=,kórchukład fundamenalne składają się z podanch funkcji: ()=sinh, =cosh,gdzie R; (b) ()=, ()=,gdzie (, ); (c) ()= 7, ()=,gdzie (, ). 35. Do każdego z podanch równań różniczkowch wskazano jedno jego rozwiązanie. Wkorzsując meodę obniżania rzędu równania znaleźć rozwiązania ogólne ch równań różniczkowch: 5 +6=, ϕ()=e 3 ; (b) +4=, ϕ()=cos; (c) 3=, ϕ()= ; (d)( ) (+) +=, ϕ()=e ; (e) +( )=, ϕ()=e ; (f) + 4 =, ϕ()=. 36. Wznaczć e warości parameru m R, dla kórch wskazana funkcja będzie rozwiązaniem podanego równania, a nasepnie scałkować e równania: ϕ()=e m,(+) +( ) 8=; (b)ϕ()= m, 3 +4=. 37. Do każdego z podanch równań wskazano jedno jego rozwiązanie. Korzsając ze wzoru Liouville a wznaczć układ fundamenalne ch równań: 3 + =, ()=; (b) + +=, ()= sin. 38. Napisać równania charakersczne podanch równań różniczkowch: +=; (b) 3=; (c)4 + =; (d) 3 +4=. 39.Wznaczćrównaniaróżniczkoweliniowejednorodneosałchwspółcznnikachposaci +p +q=, jeżeli podane są pierwiaski ich wielomianów charakerscznch: λ =+ 3i; (b)λ =λ = ; (c)λ =,λ =3; (d)λ =i. 4.Wznaczćrównaniaróżniczkoweliniowejednorodneosałchwspółcznnikachposaci +p +q=, jeżeli podane funkcje wchodzą w skład ich układów fundamenalnch: cos; (b)e ; (c)e,e α,gdzieα ; (d)e sin; (e); (f),e. 4. Rozwiązać podane równania różniczkowe liniowe o sałch współcznnikach: 6 5 +=; (b) =; (c)4 4+=; (d) =; (e) 4 +5=; (f) +5=; (g) +6 +8=; (h)7 +4 3=; (i) 6 +9=. 4. Rozwiązać podane zagadnienia począkowe: ( π + 6=, ()=, ()=; (b) +9=, =, 3) ( π ) =; 3 (c) +=, ()=, ()=3; (d) 7 +=, ()=3, ()=. 5
6 43.Punkmaerialnomasiemporuszasiępoprosejłaczącejdwacenraijesprzciąganprzezniezsiłą wpros proporcjonalną do jego odległości od każdego z nich. Współcznnik proporcjonalności jes równ k >, a odległość międz cenrami wnosi b. Znaleźć równanie ruchu i rozwiązać je wiedząc, że w chwili począkowej ( =)punkznajdowałsięwodległościx odśrodkaliniiłączącejobacenraimiałzerowąprędkość. 44. W obwodzie elekrcznm połączono szeregowo cewkę o indukcjności L[H] oraz kondensaor o pojemności C[F]. Wznaczć naężenie prądu I[A] w m obwodzie jako funkcję czasu. 45. Wznaczć e warości parameru α R, dla kórch zagadnienie brzegowe ma niezerowe rozwiązanie. +α=,()=(π), ()= (π) 46. Sprawdzić, że podane funkcje są rozwiązaniami wskazanch równań różniczkowch liniowch niejednorodnch. Wznaczć rozwiązania ogólne ch równań lub zagadnień począkowch: + +5=4e 5, ϕ()= e 5 ; (b) +4=sin, ϕ()= 4 cos; (c) =4 e, ϕ()= +e, ()=, ()=; ( (d) + = e 4, ϕ()= 8 ) e 4, ()= , ()= Sprawdzić,żefunkcjaϕ()=+ 5 e (sin+cos)jesrozwiązaniemrównaniaróżniczkowego +3 +=4+e cos. Znaleźć rozwiązanie, kóre spełnia warunek lim ()=. 48.Zakładając,żepodanefunkcjesąrozwiązaniamirównanialiniowegoniejednorodnego +p() +q()= h(), wznaczć rozwiązanie ogólne ego równania lub rozwiązać zagadnienie począkowe: ϕ()=5e sin, ψ()=(cos+5sin)e, η()=(+5)e sin; (b)ϕ()=cos+ sin, ψ()=(+)cos+ sin, η()=cos+ ( + ) sin, ()=, ()=. 49. Podane funkcje są rozwiązaniami wskazanch równań liniowch niejednorodnch. Wznaczć rozwiązania ogólne ch równań: ϕ()= sin +, ψ()=, + += ; (b)ϕ()=, ψ()=sine +, +e =e. 5. Wznaczć rozwiązania ogólne podanch równań liniowch niejednorodnch, jeżeli znane są układ fundamenalne odpowiadając im równań jednorodnch: 7 +=e 3, ()=e, ()=e 5 ; (b) ( 3+ ) 6(+) +6=6, ()= 3, ()=+; (c)( ) +=( ) e, ()=, ()=e ; (d)(+) (+) =e, ()=, ()=e. 5. Korzsając z meod uzmienniania sałch rozwiązać podane równania różniczkowe: +4 +4=e ; (b) +4= cos ; (c) = 4 + ; (d) g=; (e) +3 += +e ; (f) +3 +=cos ( e ). 5. Korzsając z meod przewidwania podać posacie rozwiązań podanch równań różniczkowch: 4 4= 3 4; (b) 7 =( ) ; (c) 8 +6=( )e 4 ; (d) +3 =3; (e) +5=cos5; (f) +=sin cos. 6
7 53. Korzsając z meod współcznników nieoznaczonch(meoda przewidwania) rozwiązać podane równania różniczkowe liniowe niejednorodne: + += ; (b) 4 +4= ; (c) +4 +4=8e ; (d) +3 =3e 3 ; (e) +5 +6=( )e ; (f) +4 4=8sin. 54. Korzsając z wierdzenia o składaniu rozwiązań i meod współcznników nieoznaczonch(meoda przewidwania) rozwiązać podane równania różniczkowe: =e +e ; (b) =+sin; (c) 4 =cos 4; (d) =4 e. 55. Rozwiązać podane zagadnienia począkowe: +=( ), ()=, ()= ; (b) 6 +9=9 +, ()=, ()=3; (c) +6 +9=sin, ()=, ()=; (d) + =e, ()=, ()=. 56. W obwodzie elekrcznm połączono szeregowo opornik o oporności R = [Ω], cewkę o indukcjności L=.5[H]ikondensaoropojemnościC=.8[F]orazzewnęrznąsiłęelekromoorcznąE()=cos5 [V].WznaczćnaężenieprąduI()[A],jeżeliI()=iQ()=,gdzieQ()oznaczailośćładunkuna kondensaorze C w chwili. 57.DwasulirowezbiornikiZ iz,zkórchpierwszzawiera%wodnrozwórsoli,adrugiczsą wodę, połączono dwiema rurkami umożliwiającmi przepłw ciecz międz nimi. Prz czm pierwszą rurą rozwór przepłwa w jedną sronę, a drugą odwronie. Przepłw e odbwają się z prędkością lirów na minuę.określićilościsoliz ()iz ()odpowiedniowzbiornikachz iz.przjąć,żeprocesrozpuszczania soli w obu zbiornikach jes nachmiasow. (b)trzpełnezbiornikiz,z iz 3 opojemnościachodpowiednio,4i5lirówpołączonodwiemarurkami. RurkieumożliwiająprzepłwcieczzezbiornikaZ doz orazzezbiornikaz doz 3 zprędkościąl/min. ZbiornikZ zawiera75%wodnrozwórsoli,adwapozosałeczsąwodę.wznaczćilościsoliz (),z (), z 3 ()odpowiedniowzbiornikachz,z,z 3.Przjąć,żepierwszzbiornikzasilanjesczsąwodązprędkością l/min, a z ą samą prędkością z osaniego wpłwa rozwór. Przjąć również, że proces rozpuszczania soli w zbiornikach jes nachmiasow. 58. Sprawdzić, że dla podanch układów równań różniczkowch wskazane ciągi funkcji są ich rozwiązaniami na zadanch przedziałach: =, ( =, (), () ) ( ) = e,e, R;, (b) =, = ( + ) +, ( (), () ) =( 3 ) +3 3,e 3 +3,(, ); 3 (c) = + (, ( (), ())= C +C,C + C ), (, ). = +, 59. Rozwiązać podane zagadnienia począkowe: x =xln, x()=e, x = 5 x, x()=, (b) =, ()=e ; x = 3 x+, x()= x =x 3, x()=, (c) = (d) x+3, ()=; = x, ()=. = x+5, ()= ; 7
8 6. Podane układ równań różniczkowch liniowch zapisać w posaci wekorowej: liniowch: = + ln, = + (b) = 3 +e, = +3 3, ; = (c) +e ; = + 3,. 3= Korzsając z wierdzenia o isnieniu i jednoznaczności rozwiązań dla układów równań różniczkowch liniowch wznaczć przedział, na kórch podane zagadnienia począkowe mają jednoznaczne rozwiązania: = ( ) ( ) 3π +, =, sin= +sinf, = = + ( ) (b) ( 4), 3π, =; cos= + +cos, = Korzsając z meod eliminacji rozwiązać podane układ równań różniczkowch liniowch ze wskazanmi warunkami począkowmi: [ ] [ ] [ ] [ [ ] [ ] [ ] [ x 3 x x() 3 x 3 x x() =, = ; (b) 5][ () ] =, = ; 4 7][ () ] [ ] [ ] [ ] [ [ ] [ x x x() x (c) =, = ; (d*) 5][ () ] ][ ] [ ] [ ] x x() = 3, = () Sprawdzić, cz podane funkcje wekorowe worzą na zadanch przedziałach układ fundamenalne wskazanch układów równań różniczkowch liniowch: [ e ] [ e ] [ ] ()= e, ()= 4e, =, R; 4 [ ] [ ] [ ] (b) ()=, ()=, =,(, ); (c) ()= (d) ()= [ ] [ [ ], ()=, ] =,(,); e e 3, ()= e, 3 ()= e 3, = 8 6 9, R e e e e 64. Korzsając z poprzedniego zadania rozwiązać podane zagadnienia począkowe: [ ] [ =,()= ; (b) 4 ] = [,()= ; ] (c) =,( )= [ ] ; (d) = 8 6 9,()= Subsancja chemiczna A rozpada się na dwa składniki P i Q. Prędkość powsawania każdego z ch składników jes proporcjonalna do ilości subsancji nierozłożonej. Znaleźć funkcje p() i q() określające odpowiednio ilościsubsancjipiqwchwili.przczmwiadomo,żewmomencierozpoczęciaprocesurozpadubłoa jednosek subsancji A, a po godzinie bło.375a jednosek składnika P i.5a jednosek składnika Q. 66. Prz pomoc meod Eulera wznaczć układ fundamenalne podanch układów równań różniczkowch =A,jeżeli: [ ] 3 4 A= ; (b)a= 3 6 [ ] 5 ; (c)a= ; (d)a=
9 67.KorzsajączmeodEuleradlaróżnchrzeczwischwarościwłasnchrozwiązaćukładrównań =A lubzagadnieniepocząkowe =A,()=,jeżeli: A= [ ] ; (b)a= 3 [ ] 8 ; (c)a= ; (d)a= [ ] [, 4 = 68.KorzsajączmeodEuleradlaróżnchzespolonchwarościwłasnchrozwiązaćukładrównań =A lubzagadnieniepocząkowe =A,()=,jeżeli: [ ] [ ] 7 A= ; (b)a= ; 5 [ ] [ ] [ ] [ ] 6 (c)a=, = ; (d)a=, 3 5 =. 69. Korzsając z meod Eulera dla różnch rzeczwisch i zespolonch warości własnch rozwiązać układ równań =Alubzagadnieniepocząkowe =A,()=,jeżeli: A= ; (b)a=, = ; (c)a= Meodą eliminacji wznaczć rozwiązania ogólne podanch niejednorodnch układów równań różniczkowch lub zagadnień począkowch: x =x + e, x =x+4+e (b) =x+, x ; (c) =4x 5+4, x()=, =x 5sin; = x +, ()=. 7.WobwodzieelekrcznmpołączonoszeregowocewkęoindukcjnościL =[H],opornikooporności R=[Ω]orazźródłonapięciasałegoE=5[V]irównolegledooporuRdrugącewkęoindukcjności L =.5[H].WznaczćnaężeniaprądówI R ()[A]iI L ()[A],przzałożeniu,żeI R ()=ii L ()=. 7. Dla każdego podanego układu niejednorodnego wskazano jedno jego rozwiązanie. Znaleźć rozwiązanie ogólne ego układu: [ ] [ ] [ ] g = + g, ϕ()= ; g [ ] [ ] (b) 3e = + 4 e, ϕ()= 4 e. 4 e 73. Sprawdzić, że podane funkcje wekorowe worzą na wskazanm przedziale układ fundamenaln układu jednorodnego =A().Nasępnierozwiązaćukładniejednorodn =A()+h()zzadanmwarunkiem począkowm jeżeli: ()= 3 [ A()= ], ()= 4 [ [ ] [, h()= 5 (c) ()= e, ()= 3 A()=, h()= ], (, ), 3 ], ()= [ ] [ ] (b) ()= e 3, ()= e 5, R, [ ] [ ] [ ] 4 5 A()=, h()= e 3 4 7, ()= ; 3 e, 3 ()= 3+ 6 e, ()=. 9 ; e, R, ].
10 74. Korzsając z meod uzmienniania sałch znaleźć rozwiązanie ogólne układu niejednorodnego równań różniczkowchliniowch =A+h(),jeżeli: [ ] [ ] [ ] [ ] cos 5 e A=,h()= ; (b)a=,h()= sin+cos 3 e. 75.Rozwiązaćzagadnieniepocząkowe =A+h(),()=,jeżeli: [ ] [ ] cos A=, h()=, = [ ] [ 5 4 ; (b)a=, h()= (c)a= e, h()=, = ; (d)a=, h()= 76. Rozwiązać podane układ równań różniczkowch oraz naszkicować ich porre fazowe: x x =x, = x, x (b) = ; = ; (c) x =x, = x, (d) =; =. 77. Wznaczć punk równowagi podanch równań i układów auonomicznch: +=; (b) = 3 + ; (c) =ln; x =x x 3 x, x =x +, x =(+x)( x), (d) = 5 x 4 (e) ; (f) =x; =(4 x)(+x). ] [, = e e e 3 ] ;, =. 78. Wznaczć punk równowagi podanch równań i układów. Korzsając z definicji zbadać ich sabilność. Dla punków sabilnch zbadać ich asmpoczną sabilność: ++=; (b) = ; (c) x =, =x; (d*) x =, = x 3; (e*) x =, = x Zbadać sabilność punku równowagi(, ) układu równań różniczkowch liniowch o sałch współcznnikach =A,jeżeli: [ ] [ ] 5 A= ; (b)a= Zbadać sabilność punku równowagi(,, ) układu równań różniczkowch liniowch o sałch współcznnikach =A,jeżeli: ; (b) 3 3 ; (c) 4 5 ; (d) [ ] [ ] x x 8. Określić p punków równowagi układu liniowego =A,jeżeli: [ ] [ ] [ ] 6 4 A= ; (b)a= ; (c)a= ; 4 [ ] [ ] [ ] 7 6 (d)a= ; (e)a= ; (f)a= ; [ ] [ ] [ ] (g)a= ; (h)a= ; (i)a=..5.75
11 8. Wznaczć wszskie punk równowagi podanch auonomicznch układów równań różniczkowch i na podsawie pierwszego przbliżenia(linearzacji) zbadać ich sabilność: x =x+3, x (b) =x+, x = x +; (c) =x x+6, = 3x 4; =+; x (d) = x, x = x (e) =4 3x+, x ; =4x (f) =x +x, 4; =+ ; x (g) =x(x +), x (h) =x(x ), x =(x++); (i) =x, =x ; =(9x 4). 83. Korzsając z definicji obliczć ransforma Laplace a podanch funkcji: ; (b)sin; (c) ; (d)e ; (e)e cos; (f)sinh; (g) (h) (i) O O O 84. Wznaczć funkcje ciągłe, kórch ransforma Laplace a mają posać: s+ ; (b) s s +4s+5 ; (c) s 4s+3 ; s+ (d) (s+)(s )(s +4) ; (e) s + s (s ) ; (f) s+9 s +6s+3 ; (g) s+3 s 3 +4s +5s ; (h) 3s e s (s 3 ) ; (i) s Meodą operaorową rozwiązać podane zagadnienia począkowe dla równań różniczkowch liniowch o sałch współcznnikach: =, ()=; (c) + =, ()=, ()=; (b) =sin, ()=; (d) +3 =e 3, ()=, ()= ; (e) +=sin, ()=, ()=; (f) +=+, ()=, ()=; (g) +4 +4=, ()=, ()=; (h) +4 +3=e, ()=, ()=. 86. Meodą operaorową rozwiązać podane zagadnienia począkowe dla układów równań różniczkowch liniowch o sałch współcznnikach: x =, x()=, = x, ()= ; x = +3, x()=, (c) =x+4, ()=3; x = x 4z, x()=, (e) = x+ z, ()=, z = 5x++7z, z()=; x =, x()=, (b) =x+, ()=; x = sin, x()= (d), x + = cos, ()= ; x = x++z+ e, x()=, (f) = x +z+e 3, ()=, z = x++z+ 4, z()=, 87. Korzsając z podsawowch własności przekszałcenia Laplace a obliczć ransforma podanch funkcji:
12 sin 4 ; (b)cos4cos; (c) cos; (d)sinh3; (e)e cos; (f)e 3 sin ; (g)( )sin( ); (h)( )e ; dla <, dla <, (i) dla <3, ( 3); (j)f()= dla 3 <4, dla 4 <5, dla 5 <. 88. Obliczć splo podanch par funkcji f()=e, g()=e ; (b)f()=cos3, g()=cos. 89. Korzsając ze wzoru Borela wznaczć funkcje, kórch ransforma dane są wzorami: s (s +) ; (b) s (s +) ; (c) (s ) (s+). 9.Niechϕ()będzierozwiązaniemrównaniajednorodnego +p +q=,(q )zwarunkamipocząkowmi()=, ()=.Pokazać,żejeżelifunkcjah()jesorginałem,orozwiązanie()zagadnienia począkowego +p +q=h(),()=, ()=,(q ) wrażasięwzorem()= q (ϕ () h()).przedsawićrozwiązaniapodanchzagadnieńpocząkowchw posaci sploów: + =cos,()=, ()=; (b) +=e,()=, ()=.
Równania różniczkowe zwyczajne A
Lisa pierwsza Równania różniczkowe zwczajne A Lis zadań..zpewnejsubsancjiradioakwnejpoupłwie4lazosało20gram,apoupłwiedalszch4lalko 4 gram. Wznaczć masę subsancji w chwili począkowej. b) Polon-20 ma okres
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Lisa zadań 26/27 Opracowanie: dr Marian Gewer, doc. dr Zbigniew Skoczlas Lisa pierwsza. a)zpewnejsubsancjiradioakwnejpoupłwie4lazosało2gram,apoupłwiedalszch4la lko 4 gram.
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne MAP 3014, 3062 Lista zadań
Równania różniczkowe zwyczajne MAP 304, 306 Lisa zadań.zpewnejsubsancjiradioakywnejpoupływie4lazosało0gram,apoupływiedalszych4laylko 4 gramy. Wyznaczyć masę subsancji w chwili począkowej. (b) Polon-0 ma
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE - LISTA I
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE - LISTA I RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. ROZWIĄZAĆ RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE LUB ZAGADNIENIE POCZĄTKOWE.......6. ln ln...7..8..9. d d.... co.... in.... in co in.6..7..8.
Bardziej szczegółowoLista nr Znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań różniczkowych: a) y = y t,
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE B Lisa nr 1 1. Napisać równanie różniczkowe, jakie spełnia napięcie u = u() na okładkach kondensaora w obwodzie zawierającym połączone szeregowo oporność R i pojemność C,
Bardziej szczegółowoKrzywe na płaszczyźnie.
Krzwe na płaszczźnie. Współrzędne paramerczne i biegunowe. Współrzędne biegunowe. Dan jes punk O, zwan biegunem, kór sanowi począek półprosej, zwanej półosią. Dowoln punk P na płaszczźnie można opisać
Bardziej szczegółowoMAP1149 ANALIZA MATEMATYCZNA 2.3 A MAP1150 ANALIZA MATEMATYCZNA 2.3 B Listy zadań
MAP49 ANALIZA MATEMATYCZNA.3 A MAP5 ANALIZA MATEMATYCZNA.3 B Lis zadań Lisa.. Wznaczć i narsować dziedzin nauralne funkcji: f,)= 3 5 ; b)f,)=sin + ) + ; c)f,)= + 5 ; f,)=ln + 4 9 ; e)f,,z)= + + z ; f)f,,z)=arcsin
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Marian Gewer Zbigniew Skoczlas RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Teoria, przkład, zadania Wdanie pięnase zmienione GiS Oficna Wdawnicza GiS Wrocław 2016 Marian Gewer Wdział
Bardziej szczegółowoZwiązek między ruchem harmonicznym a ruchem jednostajnym po okręgu
Związek międz ruchem harmonicznm a ruchem jednosajnm po okręgu Rozważm rzu Q i R punku P na osie i : Q cos v r R sin R Q P δ Q cos ( δ ) R sin ( δ ) Jeżeli punk P porusza się ruchem jednosajnm po okręgu,
Bardziej szczegółowoAlgebra WYKŁAD 9 ALGEBRA
Algebra WYKŁAD 9 Krzwe sożkowe Definicja Prosa sczna do krzwej K w punkcie P jes o prosa, będąca granicznm położeniem siecznch s k przechodzącch przez punk P i P k gd punk P k dąż zbliża się do punku P
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.
Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać
Bardziej szczegółowo25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx
5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU 5.1. Pojęcia wstępne. Klasfikacja równań i rozwiązań Rozróżniam dwa zasadnicze tp równań różniczkowch: równania różniczkowe zwczajne i równania różniczkowe cząstkowe.
Bardziej szczegółowo2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego. = f(x, t) dla x R, t > 0, (2.1)
Wykład 2 Sruna nieograniczona 2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego Równanie gań sruny jednowymiarowej zapisać można w posaci 1 2 u c 2 2 u = f(x, ) dla x R, >, (2.1) 2 x2 gdzie u(x, ) oznacza
Bardziej szczegółowoWykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Bardziej szczegółowoy 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =
Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,
Bardziej szczegółowoWykład 4 Metoda Klasyczna część III
Teoria Obwodów Wykład 4 Meoda Klasyczna część III Prowadzący: dr inż. Tomasz Sikorski Insyu Podsaw Elekroechniki i Elekroechnologii Wydział Elekryczny Poliechnika Wrocławska D-, 5/8 el: (7) 3 6 fax: (7)
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE zadania z odpowiedziami
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Równania pierwszego rzędu 2 o rozdzielonych zmiennych 2 jednorodne 3 liniowe 3 Bernoulliego
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne zadania z odpowiedziami
Równania różniczkowe zwyczajne zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Równania pierwszego rzędu 2 o rozdzielonych zmiennych 2 jednorodne 4 liniowe 4 Bernoulliego 5 Równania sprowadzalne
Bardziej szczegółowoZasada pędu i popędu, krętu i pokrętu, energii i pracy oraz d Alemberta bryły w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim
Zasada pędu i popędu, kręu i pokręu, energii i pracy oraz d Alembera bryły w ruchu posępowym, obroowym i płaskim Ruch posępowy bryły Pęd ciała w ruchu posępowym obliczamy, jak dla punku maerialnego, skupiając
Bardziej szczegółowowięc powyższy warunek będzie zapisany jako dy dt
Meo maemaczne w echnologii maeriałów Krzszof Szszkiewicz Wprowadzenie DEFINICJA. Równaniem różniczkowm zwczajnm rzędu pierwszego nazwam równanie posaci gdzie f : f (, ), () U jes daną funkcją. Rozwiązaniem
Bardziej szczegółowo5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Bardziej szczegółowoZestaw 0. 1 sin 2 x ; k) (arctg x) 0 = 1 ; l) (arcctg x) x 2 m) (arcsin x) 0 = p 1
Podstawowe wzor rachunku ró zniczkowego Zestaw. Rachunek ró zniczkow i ca kow a) (f () g ()) = f () g () + f () g () b) f (g ()) = f (g ()) g () f() c) g() = f ()g() f()g () d) ( n ) = n n g () e) (log
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe
Równania różniczkowe I rzędu Andrzej Musielak Równania różniczkowe Równania różniczkowe I rzędu Równanie różniczkowe pierwszego rzędu to równanie w którm pojawia się zmienna x, funkcja tej zmiennej oraz
Bardziej szczegółowoMAP1146 ANALIZA MATEMATYCZNA 2.4 A Listy zadań
MAP46 ANALIZA MATEMATYCZNA.4 A List zadań Lista.. Przjmując w definicji całki oznaczonej podział równomiern obliczć podane całki oznaczone i podać ich interpretację geometrczną: ); b) ; c) e. Wskazówka.Ad.b).Zastosowaćwzor++...+n=
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami
Równania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna I Równania pierwszego rzędu 2 1 o rozdzielonych zmiennych 2 2 jednorodne 4 3 liniowe 4 4 Bernoulliego 5
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Meody Lagrange a i Hamilona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informayki Sosowanej Akademia Górniczo-Hunicza Wykład 7 M. Przybycień (WFiIS AGH) Meody Lagrange a i Hamilona... Wykład 7 1 /
Bardziej szczegółowoDYNAMIKA KONSTRUKCJI
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 1 10. 10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 10.1. Wprowadzenie Ogólne równanie dynamiki zapisujemy w posaci: M d C d Kd =P (10.1) Zapis powyższy oznacza, że równanie musi być spełnione w każdej
Bardziej szczegółowoRZĘDU PIERWSZEGO. RÓWNANIE BERNOULLIEGO. RÓWNANIE JEDNORODNE. KRZYWE ORTOGONALNE. RÓWNANIE BERNOULLIEGO. Nieliniowe równanie różniczkowe Bernoulliego
NIELINIOWE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RZĘDU PIERWSZEGO. RÓWNANIE BERNOULLIEGO. RÓWNANIE JEDNORODNE. KRZYWE ORTOGONALNE. RÓWNANIE BERNOULLIEGO. Nieliniowe równanie różniczkowe Bernoulliego ma postać:
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne. 1 Rozwiązywanie równań różniczkowych pierwszego rzędu
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 13 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 17 maja 2018r. Równania różniczkowe zwyczajne 1 Rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoZestaw zadań z Równań różniczkowych I
Zestaw zadań z Równań różniczkowych I Zadanie 1. Rozwiąż równanie Metoda rozdzielania zmiennych 1 6d 6ydy = 3 ydy y d y4 + e dy e d = 0 3 4 + y d + y 1 + dy = 0 4 6d ydy = y dy 3y d 5 1 + e yy = e 6 y
Bardziej szczegółowoMAP 1148 ANALIZA MATEMATYCZNA 1.2
MAP 48 ANALIZA MATEMATYCZNA. Lista List zadań na semestr zimow 9/.. Korzstając z definicji granic właściwej ciągu uzasadnić podane równości: n+ n+ lim n n =; b) lim =; n n+ lim n n =; e*) lim +5 n 3 n
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to
Bardziej szczegółowoψ przedstawia zależność
Ruch falowy 4-4 Ruch falowy Ruch falowy polega na rozchodzeniu się zaburzenia (odkszałcenia) w ośrodku sprężysym Wielkość zaburzenia jes, podobnie jak w przypadku drgań, funkcją czasu () Zaburzenie rozchodzi
Bardziej szczegółowooznacza przyrost argumentu (zmiennej niezależnej) x 3A82 (Definicja). Granicę (właściwą) ilorazu różnicowego funkcji f w punkcie x x x e x lim x lim
WYKŁAD 9 34 Pochodna nkcji w pnkcie Inerpreacja geomerczna pochodnej Własności pochodnch Twierdzenia Rolle a Lagrange a Cach ego Regla de lhôspiala Niech ( ) O( ) będzie nkcją określoną w pewnm ooczeni
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne zadań dla sudenów kierunku Auomayka i roboyka WEAIiIB AGH Michał Góra Wydział Maemayki Sosowanej AGH I. Równania o zmiennych rozdzielonych: y = f (y)f () Zadanie. Rozwiąż
Bardziej szczegółowoVI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Bardziej szczegółowoC d u. Po podstawieniu prądu z pierwszego równania do równania drugiego i uporządkowaniu składników lewej strony uzyskuje się:
Zadanie. Obliczyć przebieg napięcia na pojemności C w sanie przejściowym przebiegającym przy nasępującej sekwencji działania łączników: ) łączniki Si S są oware dla < 0, ) łącznik S zamyka się w chwili
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2 Lista zadań
Analiza maemayczna Lisa zadań Opracowanie: dr Marian Gewer, doc. Zbigniew Skoczylas Lisa. Korzysając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: d) + ; b) arccg; e) +) ; c) 4+3
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14
Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe wyższych rzędów
Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1. Rozwiązanie ogólne............................... 1.3 Obniżanie rzędu
Bardziej szczegółowoPrzykłady do zadania 1.1 : Obliczyć dane całki podwójne po wskazanych prostokątach. π 4. (a) sin(x + y) dxdy, R = π 4, π ] [ dy = sin(x + y)dy = dx =
achunek prawdopodobieństwa MAP6 Wdział Elektroniki, rok akad. 8/9, sem. letni Wkładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przkład do list : Całki podwójne Przkład do zadania. : Obliczć dane całki podwójne po wskazanch
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki
Poliechnika Gdańska Wydział Elekroechniki i Auomayki Kaedra Inżynierii Sysemów Serowania Podsawy Auomayki Repeyorium z Podsaw auomayki Zadania do ćwiczeń ermin T15 Opracowanie: Kazimierz Duzinkiewicz,
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3 Równania różniczkowe liniowe Metoda przewidwań Metoda przewidwań całkowania równania niejednorodnego ' p( x) opiera się na następującm twierdzeniu. Twierdzenie f ( x) Suma
Bardziej szczegółowolim = 0, gdzie d n oznacza najdłuższą przekątną prostokątów
9. CAŁKA POWÓJNA 9.. Całka podwójna w prostokącie Niech P będzie prostokątem opisanm na płaszczźnie OXY nierównościami: a < < b, c < < d, a f(,) funkcją określoną i ograniczoną w tm prostokącie. Prostokąt
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5 Równania różniczkowe rzędu drugiego Równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego Równanie różniczkowe rzędu drugiego postaci F ( x, ', ") 0 ( nie wstępuje
Bardziej szczegółowo5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu
5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 7 WYZNACZANIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA. Wprowadzenie
ĆWICZENIE 7 WYZNACZIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA Wprowadzenie Ciało drgające w rzeczywisym ośrodku z upływem czasu zmniejsza ampliudę drgań maleje energia mechaniczna
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe wyższych rzędów
Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1.2 Rozwiązanie ogólne............................... 2 1.3 Obniżanie rzędu
Bardziej szczegółowo( 3 ) Kondensator o pojemności C naładowany do różnicy potencjałów U posiada ładunek: q = C U. ( 4 ) Eliminując U z równania (3) i (4) otrzymamy: =
ROZŁADOWANIE KONDENSATORA I. el ćwiczenia: wyznaczenie zależności napięcia (i/lub prądu I ) rozładowania kondensaora w funkcji czasu : = (), wyznaczanie sałej czasowej τ =. II. Przyrządy: III. Lieraura:
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria Środowiska w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era inżniera
Bardziej szczegółowoIII. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 1. Pojęcia wstępne Przykład 1.1. (Rozpad substancji promieniotwórczej ) Z doświadczeń wiadomo, że prędkość rozpa pierwiastka promieniotwórczego jest ujemna i proporcjonalna
Bardziej szczegółowoPodstawowe wyidealizowane elementy obwodu elektrycznego Rezystor ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( τ ) i t i t u ( ) u t u t i ( ) i t. dowolny.
Tema. Opracował: esław Dereń Kaedra Teorii Sygnałów Insyu Telekomunikacji Teleinformayki i Akusyki Poliechnika Wrocławska Prawa auorskie zasrzeżone Podsawowe wyidealizowane elemeny obwodu elekrycznego
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 13
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 13 Geomeria różniczkowa Geomeria różniczkowa o dział maemayki, w kórym do badania obieków geomerycznych wykorzysuje się meody opare na rachunku różniczkowym. Obieky geomeryczne
Bardziej szczegółowoPodstawy elektrotechniki
Wydział Mechaniczno-Energeyczny Podsawy elekroechniki Prof. dr hab. inż. Juliusz B. Gajewski, prof. zw. PWr Wybrzeże S. Wyspiańskiego 27, 50-370 Wrocław Bud. A4 Sara kołownia, pokój 359 Tel.: 7 320 320
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 3 ( ) Współczynnik przyrostu naturalnego. Koncepcja ludności zastojowej i ustabilizowanej. Prawo Lotki.
Ćwiczenia 3 (22.04.2013) Współczynnik przyrosu nauralnego. Koncepcja ludności zasojowej i usabilizowanej. Prawo Loki. Współczynnik przyrosu nauralnego r = U Z L gdzie: U - urodzenia w roku Z - zgony w
Bardziej szczegółowoWygładzanie metodą średnich ruchomych w procesach stałych
Wgładzanie meodą średnich ruchomch w procesach sałch Cel ćwiczenia. Przgoowanie procedur Średniej Ruchomej (dla ruchomego okna danch); 2. apisanie procedur do obliczenia sandardowego błędu esmacji;. Wizualizacja
Bardziej szczegółowoWYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład VII Przekształcenie Fouriera.
7. Całka Fouriera w posaci rzeczywisej. Wykład VII Przekszałcenie Fouriera. Doychczas rozparywaliśmy szeregi Fouriera funkcji w ograniczonym przedziale [ l, l] lub [ ] Teraz pokażemy analogicznie przedsawienie
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 4 Badanie stanów nieustalonych w obwodach RL, RC i RLC przy wymuszeniu stałym
ĆWIZENIE 4 Badanie sanów nieusalonych w obwodach, i przy wymuszeniu sałym. el ćwiczenia Zapoznanie się z rozpływem prądów, rozkładem w sanach nieusalonych w obwodach szeregowych, i Zapoznanie się ze sposobami
Bardziej szczegółowoZADANIA Z MATEMATYKI DLA WYDZIAŁU IMIR
ZADANIA Z MATEMATYKI DLA WYDZIAŁU IMIR ZADANIA w semestrze zimowm Teoria zbiorów funkcje. Podać interpretację geometrczną zbiorów: A B jeżeli A = i B = A B X = X X X gdzie X = gdzie A= { : } B = d) { }
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A04 2 Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba π spełnia nierówność: A. + 1 > 5 B. 1 < 2 C. + 2 3 4
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Bardziej szczegółowoALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
Bardziej szczegółowoPrognozowanie i symulacje
Prognozowanie i smulacje Lepiej znać prawdę niedokładnie, niż dokładnie się mlić. J. M. Kenes dr Iwona Kowalska ikowalska@wz.uw.edu.pl Prognozowanie meod naiwne i średnie ruchome Meod naiwne poziom bez
Bardziej szczegółowoZajęcia 2. Estymacja i weryfikacja modelu ekonometrycznego
Zajęcia. Esmacja i werfikacja modelu ekonomercznego Celem zadania jes oszacowanie liniowego modelu opisującego wpłw z urski zagranicznej w danm kraju w zależności od wdaków na urskę zagraniczną i liczb
Bardziej szczegółowoPojęcia podstawowe 1
Tomasz Lubera Pojęcia podsawowe aa + bb + dd + pp + rr + ss + Kineyka chemiczna dział chemii fizycznej zajmujący się przebiegiem reakcji chemicznych w czasie, ich mechanizmami oraz wpływem różnych czynników
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoMacierze normalne. D : Dowolną macierz kwadratową można zapisać w postaci A = B + ic gdzie ( ) B = A + A B = A + A = ( A + A)
Macierze normalne Twierdzenie: Macierz można zdiagonalizować za pomocą unitarnej transformacji podobieństwa wted i tlko wted gd jest normalna (AA A A). ( ) D : Dowolną macierz kwadratową można zapisać
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2 Listazadań
Analiza maemayczna Lisazadań Opracowanie: dr Marian Gewer, doc. Zbigniew Skoczylas Lisa. Korzysając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: 3 +) ; b) 4 ; e) 3 3+5 ; c) π )
Bardziej szczegółowoDrgania elektromagnetyczne obwodu LCR
Ćwiczenie 61 Drgania elekromagneyczne obwodu LCR Cel ćwiczenia Obserwacja drgań łumionych i przebiegów aperiodycznych w obwodzie LCR. Pomiar i inerpreacja paramerów opisujących obserwowane przebiegi napięcia
Bardziej szczegółowoCałka nieoznaczona Andrzej Musielak Str 1. Całka nieoznaczona
Całka nieoznaczona Andrzej Musielak Sr Całka nieoznaczona Całkowanie o operacja odwrona do liczenia pochodnych, zn.: f()d = F () F () = f() Z definicji oraz z abeli pochodnych funkcji elemenarnych od razu
Bardziej szczegółowoWojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów. Etap szkolny 5 listopada 2013 Czas 90 minut
Wojewódzki Konkurs Maemayczny dla uczniów gimnazjów. Eap szkolny 5 lisopada 2013 Czas 90 minu ZADANIA ZAMKNIĘTE Zadanie 1. (1 punk) Liczby A = 0, 99, B = 0, 99 2, C = 0, 99 3, D = 0, 99, E=0, 99 1 usawiono
Bardziej szczegółowoMatematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
Matematyka 2 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Równania różniczkowe liniowe rzędu II Równanie różniczkowe w postaci y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = f(x) gdzie a 0 (x), a 1 (x) i f(x) są funkcjami
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowo2. Kombinacja liniowa rozwiązań zeruje się w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się w każdym punkcie.
Wniosek 1 Rozpatrzmy układ równań postaci: y 1 = a 11 (x)y 1 + + a 1n (x)y n y 2 = a 21 (x)y 1 + + a 2n (x)y n y n = a n1 (x)y 1 + + a nn (x)y n (1) o współczynnikach ciągłych w przedziale J 1 Rozwiązanie
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 4 ZADANIA - ZESTAW 4
ZADANIA - ZESTAW 4 Zadanie 4. 0-0,4 c 0 0, 0, Wznacz c. Wznacz rozkład brzegowe. Cz, są niezależne? (odp. c = 0,3 Zadanie 4.- 0-0,4 0,3 0 0, 0, Wznaczć macierz kowariancji i korelacji. Cz, są skorelowane?
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA i ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN i URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH
POLIECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA i ENERGEYKI INSYU MASZYN i URZĄDZEŃ ENERGEYCZNYCH IDENYFIKACJA PARAMERÓW RANSMIANCJI Laboraorium auomayki (A ) Opracował: Sprawdził: Zawierdził:
Bardziej szczegółowoWYKŁAD FIZYKAIIIB 2000 Drgania tłumione
YKŁD FIZYKIIIB Drgania łumione (gasnące, zanikające). F siła łumienia; r F r b& b współczynnik łumienia [ Nm s] m & F m & && & k m b m F r k b& opis różnych zjawisk izycznych Niech Ce p p p p 4 ± Trzy
Bardziej szczegółowoRównania poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie = Rozwiąż układ równań: (( + 1 ( + 2 = = 1
Równania poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie http://www.zadania.info/). Rozwiąż układ równań: (( + ( + 2 = 3 = 4. http://www.zadania.info/d38/2287 2. Rozwiąż układ równań: ( + 2 (
Bardziej szczegółowoZastosowania całki oznaczonej
Przkłd 9 Nie kd funkcj okrelon i ogrniczon n [, b] jes cłkowln n [, b], np funkcj Dirichle nie jes cłkowln n przedzile [, ], gd f ( ), gd liczb wmiern odcink [,] liczb niewmiern odcink [,] Gdbm dl kdego
Bardziej szczegółowoVII. ZAGADNIENIA DYNAMIKI
Konderla P. Meoda Elemenów Skończonych, eoria i zasosowania 47 VII. ZAGADNIENIA DYNAMIKI. Równanie ruchu dla zagadnienia dynamicznego Q, (7.) gdzie M NxN macierz mas, C NxN macierz łumienia, K NxN macierz
Bardziej szczegółowoEGZAMIN Z ANALIZY II R
EGZAMIN Z ANALIZY II R Instrukcja obsługi Za każde zadanie można dostać 4 punkty Rozwiązanie każdego zadania należy napisać na osobnej kartce starannie i czytelnie W nagłówku rozwiązania należy umieścić
Bardziej szczegółowoWykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice.
Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice. 1 Wahadło matematyczne. Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny o masie m zawieszony na długiej, cienkiej
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )
Bardziej szczegółowoArkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Zadanie 6.1. Obliczyć długości podanych wektorów a) a = [, 4, 12] b) b = [, 5, 2 2 ] c) c = [ρ cos φ, ρ sin φ, h], ρ 0, φ, h R c) d = [ρ cos φ cos
Bardziej szczegółowo"Potęga matematyki polega na pomijaniu wszystkich myśli zbędnych i cudownej oszczędności operacji myślowych." Ernst Mach. Funkcja wykładnicza
"Poęga maemaki polega na pomijaniu wszskich mśli zbędnch i cudownej oszczędności operacji mślowch." Erns Mach Funkcja wkładnicza Def. Funkcją wkładniczą nazwam funkcję posaci f = a, gdzie a > i. Poęgę
Bardziej szczegółowoE5. KONDENSATOR W OBWODZIE PRĄDU STAŁEGO
E5. KONDENSATOR W OBWODZIE PRĄDU STAŁEGO Marek Pękała i Jadwiga Szydłowska Procesy rozładowania kondensaora i drgania relaksacyjne w obwodach RC należą do szerokiej klasy procesów relaksacyjnych. Procesy
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. 2. Kinematyka punktu materialnego. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I. Kinemayka punku maerialnego Kaedra Opyki i Fooniki Wydział Podsawowych Problemów Techniki Poliechnika Wrocławska hp://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.hml Miejsce konsulacji: pokój
Bardziej szczegółowoZADANIA Z GEOMETRII RÓŻNICZKOWEJ NA PIERWSZE KOLOKWIUM
ZADANIA Z GEOMETRII RÓŻNICZKOWEJ NA PIERWSZE KOLOKWIUM. Koło o promieniu n płszczyźnie Oxy oczy się bez poślizgu wzdłuż osi Ox. Miejsce geomeryczne opisne przez punk M leżący n obwodzie ego koł jes cykloidą.
Bardziej szczegółowoWykład 4: Transformata Laplace a
Rachunek prawdopodobieńwa MAP164 Wydział Elekroniki, rok akad. 28/9, em. leni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wykład 4: Tranformaa Laplace a Definicja. Niech f() będzie funkcją określoną na R, przy czym
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA II. znaleźć f(g(x)) i g(f(x)).
MATEMATYKA II PAWEŁ ZAPAŁOWSKI Równania i nierówności Zadanie Wyznaczyć dziedziny i wzory dla f f, f g, g f, g g, gdzie () f() =, g() =, () f() = 3 + 4, g() = Zadanie Dla f() = 3 5 i g() = 8 znaleźć f(g()),
Bardziej szczegółowoCechy szeregów czasowych
energecznch Cech szeregów czasowch Rozdział Modelowanie szeregów czasowch 7 proces deerminisczn proces kórego warość może bć preczjnie określona w dowolnm czasie =T+τ = a +b T T+τ czas = sin(ω) T T+τ czas
Bardziej szczegółowoWykład Analiza jakościowa równań różniczkowych
Na podstawie książki J. Rusinka, Równania różniczkowe i różnicowe w zarządzaniu, Oficna Wdawnicza WSM, Warszawa 2005. 21 maja 2012 Definicja Stabilność Niech = F (x, ) będzie równaniem różniczkowm. Rozwiązanie
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone i
Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich
Bardziej szczegółowo