Metody numeryczne. Wykład nr 4. dr hab. Piotr Fronczak

Transkrypt

1 Metody meryze Wyłd r 4 dr hb. Piotr Froz

2 Oblizie wrtośi włsyh i wetorów włsyh Nieh M będzie wdrtową mierzą. Wówzs M wyzz przesztłeie liiowe przestrzei R w siebie. Nieh v R będzie pewym iezerowym wetorem orz ieh L będzie prostą wyzzoą przez te wetor. Defiij. Jeżeli przesztłeie M przesztł prostą L w siebie, to mówimy, ze v jest wetorem włsym przesztłei M. Ozz to, że M v = v dl pewej lizby rzezywistej, zwej wrtośią włsą związą z wetorem włsym v.

3

4 Oblizie wrtośi włsyh i wetorów włsyh Chą zleźć wrtośi i wetory włse msimy rozwiązć rówie: M M y y y y y y M M y M y y y y y y y M M I y M y y I y y y M I y y M M I y y I M I y y M I y M mierz, λ - slr Przesztłją By mó wyiągąć wetor przed wis, msimy zmieić slr mierz możą go przez mierz jedostową. Wyiągmy wetor

5 Oblizie wrtośi włsyh i wetorów włsyh M I M I y y b M I M b y M d d b M b M I d b M I d d b b M I M I d b M I d d b b b M I d d y d y b d y Zpisją M jo mierz dwwymirową: Możemy terz pisć jwie łd rówń:

6 Oblizie wrtośi włsyh i wetorów włsyh b b d y d y Jeśli wyzzi mierzy (M- λi) ie jest rówy zero, to możemy pomożyć obstroie to rówie przez mierz odwrotą: b y b d y d Ozz to, że sz wetor to wetor zerowy, ie wyzz o żdej prostej. y y Ztem, wyzzi mierzy (M- λi) msi być rówy zero. Czyli jest to mierz osobliw.

7 Oblizie wrtośi włsyh i wetorów włsyh b b d d d b d b d d b d d b Wże rówie t szmy wrtośi włsyh. Rówie hrterystyze. Wrtośi włse oreślją wielość przeslowi położei pt (wetor wodząego) w przestrzei. Możemy mieć jedą, dwie, lb br rzezywistyh wrtośi włsyh w mierzy.

8 J jest wrtość włs zerwoego wetor? A iebiesiego?

9 Oblizie wrtośi włsyh i wetorów włsyh Gdy zjdziemy jż wrtośi włse, możemy podstwić je do szego pierwotego rówi by zleźć wetory włse. M y y To jest wetor włsy. Uwg: ie jest o jedozzy. Wyzz iere. Wiele iyh wetorów też wyzz te sm iere. By rozwiązć to rówie, trzeb przyjąć dodtowy wre (p. dłgość wetor, wrtość jedej słdowej, itp.)

10 Zjdź wrtośi włse i odpowidjąe im wetory włse mierzy A: 4 A A I 4 ( )( ( )( ) 8 ( 4 )( )( 4 5 ) ( 5)( ) 5)( 5, ) 5, 5, Odpowid wrtośi włsej y 4 4 y 4 4 y y 4 y 4 4 y 4 y 4 y Odpowid wrtośi włsej -

11 Zstosowi Rówie Shroediger: Fje flowe eletroów w tomie wodor mogą być postrzege jo wetory włse opertor eergii i momet pęd. Wrtośi włse reprezetją wrtość eergii ( =,,,...) i momet pęd (s, p, d,...). Aliz słdowyh główyh Metod sttystyz możliwiją zrztowie wysoowymirowego zbior dyh dw lb trzy wymiry. Umożliwi o wybrć te ieri wersorów, tóre hrteryzją się jwięszą wriją dyh.

12 Mehi drgń Wrtośi włse reprezetją trle zęstośi drgń łd złożoego z il elemetów. Wetory oreślją mody tyh drgń. Dymi rh obrotowego: Momet bezwłdośi trójwymirowego obiet bez żdyh osi symetrii jest dy mierzą. Wetory włse ieri osi przehodząe przez środe msy, woół tóryh obiet może się obrć. Wrtośi włse wrtośi momet pęd dl dego ier.

13 Metod potęgow (iterji wetorów) Moż ją stosowć dl zjdowi wrtośi włsej o jwięszym modle i odpowidjąego jej wetor włsego. Rozwżmy mierz, tór m różyh rzezywistyh wrtośi włsyh,,, i związyh z imi wetorów włsyh,,,. Pomerjmy wrtośi włse od jwięszej do jmiejszej: > > > Wspomie wetory stowią bzę w tym sesie, iż żdy iy wetor może być przedstwioy jedozzie jo ih ombij liiow.... gdzie i stłe slre.

14 ... Pomożywszy przez :

15 Pomożywszy przez :

16 Pomożywszy przez :

17 Widć ztem, że oleje iterje ddzą: Pmiętjmy, że i i dl Ztem dl

18 4 4 Przypomieie: jeśli jest wetorem włsym, to też jest wetorem włsym. Tylo iere wetor włsego m zzeie. Jego dłgość możemy przyjąć dowolie. My przyjmiemy jego dłgość rówą (zormlizowy wetor włsy). Dzięi tem prw stro osttiego rówi ie rośie lb ie zmleje poz zres lizb zmieoprzeiowyh.

19 Algorytm:. Wybierz wetor pozątowy i zormlizj go. y. Pomóż y przez. Otrzymy wetor zormlizj., y y. Pomóż y przez. Otrzymy wetor zormlizj., y y Powtórz osttią operję m rzy. Gdy m jest dże, to y m y m-. Wtedy rówież y m (wetor włsy zormlizowy). Ztem z zleżośi: m m m y y y Zjdziemy wrtość włsą.

20 4 Przyłd: Kro

21 Zbieżość metody potęgowej.65.5 H =, = H.5.85 =, =.7 Zbieżość metody zleży od.... Przypde, gdy ie m słdowej w ier ( = ).

22 Przyłd: Google PgeR Kżdej stroie P w siei przypiszemy lizbę mirę jej wżośi I(P). Złóżmy, że stro P j m l j odośiów. Jeśli jede z tyh odośiów prowdzi do stroy P i, to P j wiesie włd do wżośi P i w wysoośi I(P j )/l j. Ztem wżość P i będzie smą wszystih włdów stro, tóryh odośii prowdzą do tej stroy. I( P ) i P S ( j P i ) I( P l j j ) Klsyzy przyłd problem o jj i rze. Stwórzmy mierz odośiów: H ij l j dl dl P P j j S( P) S( P ) i i Sm elemetów w żdej olmie wyosi (hyb, że stro odpowidją tej olmie ie m odośiów do P i. orz wetor: I i I( P) Wetor wżośi stro. Ztem: I HI I jest wetorem włsym mierzy H o wrtośi włsej rówej.

23 Zstosjmy metodę potęgową I + = H I I I I I I 4... I 6 I

24 Odpowiedzmy trzy pyti: Czy iąg I jest zwsze zbieży? Czy wetor ońowy ie zleży od wybor wetor pozątowego? Czy wyi zwier iformję, o tórą m hodziło? NIE! NIE! NIE! Koieze modyfije. Modyfij r Rozwżmy przyłd: H I I I I =I Węzeł bez wyjśi Rozwiązie: łą olmę odpowidjąą tiem węzłowi wypełimy lizbmi /. (Prwdopodobieństwo przejśi do dowolej iej stroy jest tie smo). H I

25 Modyfij r H I I I I I 4 I 5 Co do lih??? =, = Twierdzeie Frobeis-Perro. Zbieżość metody zleży od. Jeżeli mierz jest mierzą pierwotą, to jed z jej wrtośi włsyh jest dodti i więsz o do modł od pozostłyh wrtośi włsyh. Mierz A jest mierzą pierwotą, jeśli istieje tie, że żdy elemet mierzy A jest dodti.

26 Zmodyfijmy szą mierz H: G H ( ) Mierz, w tórej wszystie elemety rówe są. Mierz Google Prwdopodobieństwo, z jim porszmy się po siei zgodie z mierzą H Prwdopodobieństwo, z jim wybiermy stępy węzeł losowo. Im więsze, tym więszą wgę przyłdmy do mierzy rzezywistyh połązeń H. Dl mierzy Google dowodioo, że =. Ztem powio być j jmiejsze. Jo ompromis, twóry tej metody wybrli =.85. Lizb iterji oiez do zysi zbieżośi 5 Rozmir mierzy 5 * 9 stro. Oblizie wetor I trw ooło tygodi.

27 Odwrot metod potęgow Słży do oreślei jmiejszej wrtośi włsej. jest wrtośią włsą mierzy odwrotej -. Ztem rówie iterowe m postć: Lizeie mierzy odwrotej jest ieefetywe oblizeiowo. Lepsz postć tego rówi: A to jż rozwiązjemy p. metodą LU.

28 Deompozyj QR Ide:. Mierze podobe mją te sme wrtośi włse.. Wrtośi włse mierzy trójątej górej to elemety leżąe przeątej główej. Ztem spróbjmy przesztłić szą mierz, mierz podobą, tór jest mierzą trójątą górą. Defiij: Dwie mierze wdrtowe A i B zywmy mierzmi podobymi, jeśli istieje t mierz ieosobliw P, że zhodzi związe: B P AP Defiij: Mierz Q jest ortogol, jeśli wetory q i tworzoe z jej olm mją dłgość i są wzjemie prostopdłe. Czyli, Q = q,, q, dl żdego j mmy q j = orz q i *q j = dl i j. Q T QQ Q T I I Q T Q Trsformje ortogole ie ziesztłją obrzów (odpowidją z rotje i odbii).

29 Podstwow ide deompozyji QR poleg tworzei iterowej seweji mierzy {A i } podobyh do pierwotej mierzy A, tóre zbiegją do tiej posti, tórej wrtośi włse są dostępe. Twierdzeie: Nieh AR i ieh > > >. Wtedy sewej {A i } d poiższym lgorytmem zbieg do mierzy trójątej górej. Algorytm A = A for =..m A = Q R A + = R Q Zwróćmy wgę, że A = Q R Q T A = Q T Q R R = Q T A A + = R Q A + = Q T A Q Czyli A + i A to mierze podobe.

30 Mierz Hoseholder Mierz Hoseholder H zw rówież reflesją (odbiiem) symetryz i ortogol mierz przesztłei wetor, tóre odbij go względem pewej płszzyzy. Metod Hoseholder H jest jzęśiej żywą metodą deompozyji QR. H I v v T v v H T

31 Shemt deompozyji przy pomoy mierzy Hoseholder Wetor odbii v msi zpewić stępjąy iąg przesztłeń mierzy A:. Weźmy pierwszą olmę i zjdźmy wetor v ti, by pierwszy wetor (olm) mierzy H A mił tylo jedą słdową.. Kolejy wetor v powiie zmieić drgą olmę mierzy H A (t, by olm t w owej mierzy H H A mił tylo dwie słdowe) i jedoześie zhowć postć pierwszej olmy H A, A H A H A H H A. I t dlej

32 Tą trsformję zpewi wetor: gdzie v e i i wetor i jest i-tą olmą tlie przesztłej mierzy z zermi w wierszh od do i- i - jest dłgośią (ormą) wetor i wetor e wetor zerowy, tórego i-ty elemet jest rówy.

33 4 5 4 A.7 v v v T T v v T T v v v v I H A H Przyłd

34 v H

35 v v v T T v v T T v v v v I H A H H A H

36 H H H A R HH HH HHA HH H R H jest symetryz ztem H T H H jest ortogol ztem Q T H H zyli H H I Osttezie: A QR Ztem rozłożyliśmy mierz A mierz ortogolą i mierz trójątą.

37 A = A for =..m A = Q R A + = R Q Ztem to włśie zrobiliśmy. Rzezywiste wrtośi włse: ; - ;.55

38 4 4 4 ) ( ) ( dt d m dt d m dt d m dt d m CH CH H CH CC CH CC C CC CC CH CH C CH CH H t i j j e A Przyłd: widmo wibryje etyle g m m m m m s g s g C H CC CH / 5.8 / 5.9

39 Wrtośi włse : m.96m.m Wetory włse : v H -- C -- C -- H.5 v v v

40 v v v v