MATEMATYKA MATURA 2007 PRZYKŁADOWY ARKUSZ DLA POZIOMU ROZSZERZONEGO. Henryk Dąbrowski Ewa Stożek

Transkrypt

1 Hery Dąrowsi Ew Stoże MTEMTYK PRZYKŁDOWY RKUSZ DL POZIOMU ROZSZERZONEGO MTUR 7 Pulij współfisow przez Europejsi Fudusz Społezy

2 etrl Koisj Egziyj ul Łu -8 Wrszw e-il: etrl Koisj Egziyj

3 DODTEK Przed Toą zdi przyłdowego rusz egziyjego dl poziou rozszerzoego Przypoiy że od sesji egziyjej 7 rou egziie turly oowiązuje rozdzieleie pozioów zdwi wruie zlizei tury jest uzysie % putów wyry pozioie Zierz się z tyi zdii i oeń ile z ih potrfiłyś ez trudu rozwiązć Złązy też shet oeii ożesz prześledzić tóre eleety rozwiązi są putowe Zdie ( pt) Wyzz dziedzię fuji ( ) przedziłów lizowyh f i zpisz ją w posti suy Zdie ( pt) D jest fuj f si R ) Nrysuj wyres fuji f ) Rozwiąż rówie f Zdie ( pt) Rzuy rzy dwie syetryzyi sześieyi osti do gry Oliz dl jih prwdopodoieństwo otrzyi o jiej rz tej sej lizy oze ou osth 7 jest iejsze od 9 Zdie ( pt) Oliz li ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) Zdie ( pt) Puty M i N są środi oów B i D prostoąt BD (ptrz rysue) orz NM 9 ) Oliz stosue długośi dłuższego do długośi rótszego ou prostoąt ) Uzsdij że α D N M α B Zdie ( pt) De są iesońzoe iągi: rytetyzy i geoetryzy Wszystie wyrzy tyh iągów są lizi turlyi dodtii Ilorz iągu geoetryzego jest pierwszy wyrze iągu rytetyzego różi iągu rytetyzego jest pierwszy wyrze iągu geoetryzego Trzeie wyrzy tyh iągów są jedowe Wyzz wzory ogóle tyh iągów - -

4 Zdie 7 ( pt) Sześi o rwędzi długośi przeięto płszzyzą przehodząą przez przeątą podstwy i hyloą do płszzyzy podstwy pod ąte α ) Oliz tges jwięszego z ątów α dl tórego przerój te jest trójąte Zzz te ąt wrz z odpowiedi przeroje rysuu ) Otrzyy przerój sześiu jest trójąte Oliz pole tego trójąt wiedzą że płszzyz w tórej jest o zwrty podzielił sześi dwie ryły tóryh stosue ojętośi wyosi : Zdie 8 ( pt) Wyż że jeżeli są lizi dodtii tii że orz to Zdie 9 (8 pt) D jest prol o rówiu y i orąg o rówiu y ) Wyzz współrzęde wszystih putów wspólyh proli i oręgu ) Uzsdij że styz do proli poprowdzo przez dowoly put P ( ) tej proli rówie posti y ) Wyzz wszystie wrtośi R dl tóryh styz y do proli jest jedoześie siezą dego oręgu Zdie ( pt) D jest fuj f ) Oliz pohodą fuji f ) Wyzz estre lole fuji f - -

5 Rozwiązie zdi Z defiiji rytu y: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zte ( ) ( ) ( ) ( ) D f ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Rozwiązie zdi ) Poiewż dl żdego R jest prwdziwe: si si ( si os ) si os ( os si ) os (ożey też posłużyć się gotowy wzore z Zestwu wyryh wzorów tetyzyh stro : os( α ) si α ) wię f os R Wyres fuji f uzysy z wyresu fuji o wzorze y os zieiją slę względe osi Oy i t przesztłoą (ores zsdizy fuji ziejszy się dwurotie) osiusoidę odijją syetryzie względe osi O y y os y os y os Uwg Wyres fuji f oż uzysć rówież wyoują jpierw wyres fuji o wzorze y si stępie zieiją slę względe osi O i t przesztłoy wyres ( roziągięty w pioie ) przesuwją o w dół y y si y si y si y si - -

6 - - ) I sposó Poiewż wzór fuji f ożey zpisć w prostszej posti f os ) ( wię rówie ożey zpisć w posti os 7 II sposó Rówie f ożey zpisć w posti: si si si si si si 7 Rozwiązie zdi Zjijy się jpierw rzute dwie sześieyi syetryzyi osti Ω jest ziore wszystih dwuwyrzowyh wriji z powtórzeii zioru sześioeleetowego Ω Dołdie zdrzeń eleetryh sprzyj zdrzeiu ou osth wypdł t s liz oze wię Prwdopodoieństwo zdrzei wyosi ) ( P Poiewż -rote powtórzeie rzutu dwie osti to shet Beroullego (poszzególe rzuty są iezleże) suese w pojedyzej próie jest zjśie zdrzei wię prwdopodoieństwo uzysi o jiej jedego suesu wyosi: P P Wyzzy terz wszystie wrtośi N dl tóryh P Stąd otrzyujey osttezie { }

7 - - Rozwiązie zdi li li li li Rozwiązie zdi ) I sposó Ozzy i długość odpowiedio dłuższego i rótszego ou prostoąt Nieh β MN wtedy β 9 NM orz β 9 ND wię trójąty NM i ND są podoe Stąd N M D DN wię II sposó Uieśćy prostoąt w prostoąty ułdzie współrzędyh j rysuu Wówzs M N Współzyii ieruowe prostyh N i MN wyoszą odpowiedio: orz Poiewż proste N i MN są prostopdłe wię ilozy ih współzyiów ieruowyh jest rówy wię y: stąd B D M N α

8 ) I sposó Z podoieństw trójątów NM i ND otrzyujey też MN N M DN M N MN Poiewż tgα tg wię N stąd i z tego że fuj tges jest rosą dl ątów ostryh wyi że α D α N M II sposó Z twierdzei Pitgors dl trójątów ND i BM y odpowiedio N D DN N orz M B BM M le wię ( ) ( ) N orz M N Olizy terz osα Poiewż os M wię stąd i z tego że w przedzile ( 9 ) α fuj osius jest leją otrzyujey B Rozwiązie zdi Nieh ( ) ędzie iągie rytetyzy o różiy r ( ) iesońzoy iągie geoetryzy o ilorzie q Wiey że q r i Osttią rówość ożey wię zpisć w posti: q r q q r rq r q q Poiewż r N wię N Ozywiśie q o q N Ozywiste jest też q że q o gdyy q to wtedy r o ieożliwe Wyi stąd że q Gdyy q to wtedy q ( q ) le to ozzłoy że q q q q stąd q zyli r o jest ieożliwe Osttezie otrzyujey że jedyie q q wtedy r Zte i wię wzory ogóle tyh iągów ją postć: ( ) gdzie N - -

9 Rozwiązie zdi 7 ) Njwięszy ąt hylei płszzyzy zwierjąej przeątą podstwy sześiu przy tóry przerój wyzzoy przez tę płszzyzę jest trójąte ędzie wtedy gdy płszzyz ędzie przehodził przez wierzhołe górej podstwy (ptrz rysue) Wtedy tgα S ) Przyjijy ozzei j rysuu V V BD gdzie V ojętość sześiu Z twierdzei Pitgors dl trójąt S y: h Zte pole szuego przeroju wyosi: P B D Rozwiązie zdi 8 Dowód Nieh ędą dowolyi lizi rzezywistyi tii że R \ Wtedy z defiiji rytu y wię { } wyorzystują terz twierdzei o suie rytów i o różiy rytów ożey to wyrżeie zpisć w posti: to wyrżeie toist ożey po wyorzystiu twierdzei o ziie podstw rytu zpisć w posti: poowie wyorzystują wzór suę rytów otrzyujey wyorzystują terz twierdzeie o rytie potęgi i defiiję rytu otrzyujey o ońzy dowód D D S S α h B B

10 Rozwiązie zdi 9 ) y wyzzyć współrzęde wszystih putów wspólyh proli i oręgu wystrzy rozwiązć ułd rówń: y y y y y y ( y ) y y y y( y ) y y y y y y y y y Są zte puty wspóle oręgu i proli: B i Możey rówież wyzzyć puty wspóle ou rzywyh rysują prolę i orąg w ty sy ułdzie współrzędyh: y B Odzytujey współrzęde putów wspólyh ou rzywyh: ( ) B ( ) i ( ) Nstępie wyoujey odpowiedie sprwdzei dl żdej z odzytyh pr ) I sposó Prost o rówiu y jest styz do proli o rówiu y wtedy i tylo wtedy gdy ułd rówń: y y dołdie jedo rozwiązie gdyż prost ie jest rówoległ do osi syetrii proli dl żdej wrtośi R Stąd otrzyujey rówie: tóre też usi ieć dołdie jedo rozwiązie ( ) to ońzy uzsdieie - 8 -

11 - 9 - II sposó Weźy dowoly put P leżąy proli Ozzy syole f fuję tórej wyrese jest t prol f ) ( dl R wię f ) ( Stąd po wyorzystiu rówi styzej otrzyujey że styz do dej proli przehodzą przez put P rówie: y zyli y o włśie leżło uzsdić ) I sposó N to y prost o rówiu y ył siezą oręgu o rówiu y potrze i wystrz żey środe S tego oręgu ył odległy o iej iż r od tej prostej Ze wzoru odległość putu od prostej otrzyujey: r S odl II sposó N to y prost o rówiu y ył siezą oręgu o rówiu y potrze i wystrz żey ułd rówń: y y ił dw rozwiązi Stąd otrzyujey rówie: Poiewż dl żdej wrtośi R rówie to jest wdrtowe z iewidoą wię wystrzy y rówie to iło dw rozwiązi t ędzie wtedy i tylo wtedy gdy [ ] [ ] Δ [ ] 9 8 Rozwiązie zdi ) { } R \ D f f { } R \ D f ) Wyzzy jpierw iejs zerowe pohodej: f Poiewż dl żdego wię:

12 - - f f W puie jest spełioy wrue oiezy istiei estreu lolego fuji le ie jest spełioy wrue wystrzjąy (pohod ie ziei zu przy przejśiu przez te put ) w puie jest spełioy wrue wystrzjąy istiei estreu lolego Zte fuj f posid tylo jedo estreu lole w puie i jest to iiu lole: 7 i f

13 Shety putowi zdń Nr Etpy rozwiązi PKT Wyzzeie zioru rguetów dl tóryh liz rytow jest dodti: Wyzzeie zioru rguetów dl tóryh podstw rytu jest dodti i róż od : Wyzzeie dziedziy fuji: ( ) ( ) ( ) ( ) Zpisie wzoru fuji w posti f os fuji y si Nsziowie wyresu fuji f : y lu rysowie wyresu Rozwiązie rówi (po pt z otrzyie rówi lu ltertywy rówń eleetryh pt z jego/ih rozwiązie): 7 gdzie Olizeie prwdopodoieństw otrzyi w jedy rzuie tej sej lizy oze ou osth: p Wyorzystie shetu Beroullego i oreśleie: p q N : p q N Olizeie prwdopodoieństw otrzyi w rzuth o jiej rz tej sej lizy oze ou osth: ()() P P Rozwiązie ierówośi wyłdizej i sforułowie odpowiedzi: { } Zpisie wyrżei pod zie griy w posti: ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) lu lo Zpisie wyrżei pod zie griy w posti: lu Olizeie griy: - -

14 Uzsdieie że trójąty ND i BM są podoe D N M α B Zpisie zleżośi iędzy wielośii i długośii odpowiedio dłuższego i rótszego ou prostoąt: p Olizeie stosuu długośi dłuższego do długośi rótszego ou prostoąt: Olizeie wrtośi jedej z fuji trygooetryzyh t α : p tg α Porówie uzysej wrtośi fuji trygooetryzej z odpowiedią wrtośią tej fuji t : p tg Uzsdieie że α p poprzez powołie się ootoizość fuji trygooetryzej dl ątów ostryh Przyjęie ozzeń i zpisie wruów zdi p: iesońzoy iąg rytetyzy o różiy r iesońzoy iągie geoetryzy o ilorzie q q r i N N Wyorzystie wzorów ogólyh iągu rytetyzego i iągu geoetryzego i zpisie zleżośi w posti r q Zpisie zleżośi iędzy q i r w posti: q r q Uzsdieie że otrzy rówość zhodzi tylo dl q i r Zpisie wzorów ogólyh iągów: gdzie N ) Nrysowie przeroju i zzzeie szuego ąt: 7 D S α B - -

15 7 Olizeie tges ąt α: tg α ) Zpisie zleżośi iędzy ojętośią sześiu i ojętośią iejszej 7 z zęśi podziłu: V BD V gdzie V ojętość sześiu 7 Olizeie wysoośi ostrosłup prostoątego B D: 7 Olizeie wysoośi przeroju B D: h 7 Olizeie pol przeroju: P B D Zstosowie defiiji rytu i zpisie lewej stroy rówośi w posti: Zstosowie wzorów suę i różię rytów i zpisie lewej stroy rówośi w posti: Wyorzystie twierdzei o ziie podstw rytu i zpisie lewej stroy rówośi w posti: 8 Doprowdzeie lewej stroy rówośi do posti: 8 9 Wyorzystie wzoru ryt potęgi orz defiiji rytu i doprowdzeie lewej stroy rówośi do posti ( ) ) Zpisie ułdu rówń y y w posti rówowżej w tórej jedo z rówń to rówie z jedą iewidoą p: y y y 9 Rozwiązie ułdu rówń: y y y ) Zpisie wruu to y prost ył styz do proli y : 9 y p ułd rówń usi ieć dołdie jedo rozwiązie y 9 Doprowdzeie ułdu do posti rówi wdrtowego z jedą iewidoą: 9 Rozwiązie rówi: 9 ) Zpisie wruu to y prost ył siezą oręgu p: odl S S to środe oręgu toist r jego proień ( ) r gdzie 97 Zpisie wruu w posti rówi z iewidoą p: 98 Wyzzeie wszystih szuyh wrtośi pretru : - -

16 Zpisie dziedziy fuji f : R \ { } D f Olizeie pohodej fuji f : f D R \ { } ( ) f Olizeie iejs zerowyh pohodej: Uzsdieie że fuj f posid tylo jedo estreu lole iiu w puie (p stwierdzeie że w puie jest spełioy wrue oiezy istiei estreu lolego fuji le ie jest spełioy wrue wystrzjąy lo zzzeie zów pohodej) Olizeie iiu lolego fuji f : 7 f i Uwg Z prwidłowe rozwiązie żdego z zdń ią etodą (zgodą z poleeie) od przedstwioej w sheie przyzjey sylą lizę putów Zwróiłeś zpewe uwgę to że pozujey wiele sposoów rozwiązi io że w sheie ie są oe uwzględioe Podstwow wersj shetu zzwyzj dotyzy jedego sposou rozwiązi dopiero wersj dl egzitorów jest poszerz o róże wersje rozwiązi rówież te tóre pojwią się w trie sprwdzi pr egziyjyh Przedstwioy rusz jest przezzoy dl zdjąyh pozio rozszerzoy jed zjdują się w i zdi tóre oże rozwiązć zdjąy tóry relizowł jedyie podstwowy urs tetyi w szole Do zdń tyh leżą i Są to zdi djąe uiejętośi z zresu stdrdu II i III Wśród zdń zjdują się też tie tóre dotyzą treśi z poziou rozszerzoego le są zdii typowyi djąyi uiejętośi ie wyrzjąe poz II stdrd wygń egziyjyh Tii zdii w przedstwioy ruszu są zdi orz 9) i 9) Żyzyy powodzei turze utorzy - -