BADANIE WRAŻLIWOŚCI UKŁADÓW WIELO-PARAMETRYCZNYCH

Transkrypt

1 POZNAN UNVE RSTY OF TE CHNOLOGY ACADE MC JOURNALS No 86 Electricl Engineering 06 Jnusz TYKOCK* Andrzej JORDAN* Dniel ŻELAZNY* BADANE WRAŻLWOŚC UKŁADÓW WELO-PARAMETRYCZNYCH W prcy przedstwiono dnie wrżliwości ułdów, wyorzystując w tym celu zmodyfiowną zsdę Preto. Zsd Preto zzwyczj stosown w nuch eonomicznych zostł wyorzystn do dni wrżliwości dwóch ułdów fizycznych: frgmentu sieci średniego npięci z turinmi witrowymi orz przemieszczeń eli stlowej poddnej równomiernemu ociążeniu. W pierwszym przypdu funcją celu F p yły strty mocy czynnej w ułdzie, w drugim przemieszczenie ońc eli. SŁOWA KLUCZOWE: Reguł Preto, eletrownie witrowe, wrżliwość ułdu. WSTĘP Bdniem wrżliwości ułdów zjmuje się teori sterowni, wprowdzjąc do nlizy funcję wrżliwości W s,x = dgs,x/dx x/gs,x, gdzie Gs,x jest trnsmitncją ułdu, x zmieninym prmetrem. Jedną z przyczyn nlizy wrżliwości jest chęć zmniejszeni wpływu prmetrów ułdu n wielości regulowne []. Oecnie zjmiemy się metodą, tór w pewnym sensie również d wrżliwość ułdu n zminy jego prmetrów i jest stosown pod nzwą zsdy Preto. Zsd Preto zsdniczo stosown w nuch eonomicznych [,, ] ze szczególnym uwzględnieniem nlizy zsoów mgzynowych [5, 6] znlzł również zstosownie w nuch technicznych [7, 8]. W tym przypdu oreślono elementy ziorów A, B, C mjące podstwowy, średni i minimlny wpływ n funcję celu F p chrteryzującą techniczny ułd wielo-prmetryczny. Elementy ziorów A, B, C są prmetrmi ułdu. W niniejszej prcy omówimy zstosownie zmodyfiownej zsdy Preto do nlizy dwóch ułdów, z tórych jeden jest opisny ułdem równń lgericznych i jego dni dotyczą strt mocy czynnej w sieci eletroenergetycznej, drugi opisny ułdem równń o pochodnych zwyczjnych i dotyczy nli- * Pństwow Wyższ Szoł nformtyi i Przedsięiorczości, Łomż.

2 06 Jnusz Tyoci, Andrzej Jordn, Dniel Żelzny zy przemieszczeni eli zmocownej jednostronnie, poddnej równomiernemu ociążeniu. Modyficj zsdy Preto poleg n: wprowdzeniu podstw lgery liniowej zmist wyresów ABC do nlizy wyniów, glolnej ocenie wrtości funcji celu w zleżności od prmetru podstwowego p p.. PODSTAWY TEORETYCZNE METODY Oprcownie metodyi dń wynijącej z zsdy Preto 80/0 w nuch technicznych, ze szczególnym uwzględnieniem ułdów energetycznych jest oryginlnym osiągnięciem, w tórym wyorzystno definicje orz lgorytm nlizy ułdów wielo-prmetrycznych [, ]. Def. Ułdem wielo-prmetrycznym nzywmy ułd fizyczny, tóry możemy opisć funcją zleżną od wielu prmetrów F p = fp,..,p n Funcj F p zleży od wetor P, P = [p,...,p n ] tórego słdowymi są prmetry p,,p n, przy czym zminy wrtości p,,p n są ogrniczone m p n, =,,,n Zminy wrtości prmetrów wyniją z przyjętych złożeń, procesu technologicznego stosownego w producji elementów ułdu lu zmin fizycznych środowis, w tórym znjduje się ułd, ntomist m, n są dolną i górną grnicą tych zmin. Funcję F p nzywć ędziemy funcją celu, prmetry p =,,.n prmetrmi zowymi ich zminy zresem zmin zowych. Dodtowo wprowdzimy prmetr podstwowy p p w celu glolnej nlizy ułdu. Ogóln metody postępowni jest nstępując: mjąc model mtemtyczny opisujący ułd oreślmy prmetry zowe, zres zmin zowych tych prmetrów orz prmetr podstwowy p p. W celu nlizy wpływu poszczególnych prmetrów n wrtość funcji F p definiujemy względną funcję celu F,pw F, p mx F, pmin F, pw F gdzie, p mx, p min, p mx F F jest różnicą między msymlną i minimlną wrtością funcji celu F p wyznczoną dl prmetrów m i n tzn. dl złożonego zresu zmin zowych prmetru =,,,n. Nstępnie wprowdzmy element sumulownej wrtości współczynni wgi odpowidjący prmetrowi p, dl żdego prmetru podstwowego p p p =,,M

3 Bdnie wrżliwości ułdów wielo prmetrycznych 07 F, pw =,,...,n 5 F, pw otrzymując względną sumryczną wrtość współczynniów wgi, tzn. wrtość sumulowną S =. S 6 Współczynnii wgi są elementmi mcierzy A = [ ij ], i =,,M; j =,,n, przy czym M jest liczą prmetrów podstwowych n liczą prmetrów zowych. N przyłd, element mcierzy A odpowid prmetrowi zowemu dl prmetru podstwowego p. Oecnie przedstwimy nlizę wpływu prmetrów zowych n wrtość funcji celu dl dwóch ułdów wielo-prmetrycznych: sieci eletrycznej średniego npięci z turinmi witrowymi orz eli stlowej zmocownej sztywno jednym ońcem i poddnej równomiernemu ociążeniu.. SEĆ ŚREDNEGO NAPĘCA Z TURBNAM WATROWYM N rys. zostł przedstwiony frgment sieci eletroenergetycznej średniego npięci. Pięć turin witrowych o mocy MVA żd, jest podłączonych stle do węzł w 0, Ntomist jedną turinę o mocy MVA podłączono olejno do poszczególnych węzłów ułdu. Złdmy, że prmetrem podstwowym jest numer węzł w = 0,,,8, ntomist prmetrmi zowymi wrtości impedncji ociążeni Z = 0,,, rys.. Wrtości impedncji przedstwiono w teli i teli. Tel. mpedncj linii zsiljącej Z L Z L Z L Z L Z L Z L5 Z L6 Z L7 Z L8 Z L9 Z L0 Z L Z L Z L Z L Z L5 Z L6 Z L7 Z L8 Z L9 Z L0 Z L Z L Z L Z L Z L5 Z L6 Z L7 Z L8 Z L9 [Ω] 0,5 0, 0, 0, 0,5 0, 0, 0, 0,7 0, 0,6 0,8 0, 0,, 0,6 0,7 0,8 0, 0,6, 0,6 0,,7 0,5 0, 0, 0, 0, Tel. mpedncje ociążeni Z Z 0 Z Z Z Z Z 5 Z 6 Z 7 Z 8 Z 9 Z 0 Z Z Z Z Z 5 Z 6 Z 7 Z 8 Z 9 Z 0 Z Z [Ω],6,6 9,0 9,0 9,0,6,5 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0, 9,0 9,0 9,0,6 9,0 9,0 Funcją celu F p = P s są strty mocy czynnej w sieci, prmetrem podstwowym olejne węzły. Moc strt liczymy n podstwie wzoru: P R 7 s gdzie n jest wrtością suteczną prądu w n-tej głęzi sieci R n jej rezystncją. n n

4 08 Jnusz Tyoci, Andrzej Jordn, Dniel Żelzny Modelem mtemtycznym jest ułd równń, n rzy rozwiązywny metodą numeryczną. Y V M = 8 przy czym M jest wymirem mcierzy, Y mcierzą dmitncji systemu, V jest zespolonym wetorem potencjłów węzłowych. jest zespolonym wetorem prądu genertor w olejno nlizownym węźle. Rys.. Frgment sieci średniego npięci z turinmi witrowymi Prmetrmi zowymi są impedncje ociążeń Z = 0,,, z rys., ntomist prmetrem podstwowym nr węzł w n n = 0,,,8 do tórego podłączono turinę witrową. Procedurę metody orz uzysne wynii przedstwiono poniżej: Kro. Definiujemy wetor P, tóry m nstępujące słdowe P = [Z 0,Z,,Z ] = 0,,, 9 orz funcję celu zdefiniowną z pomocą funcji 7, prmetry zowe p spełniją zleżność 0.9 p p, p = 0,,, 0

5 Bdnie wrżliwości ułdów wielo prmetrycznych 09 Kro. Z złożeni wzór 9, prmetry p zmienimy o ±0, i oliczmy wrtość sumulowną S, wyznczmy współczynnii wgi rozwiązując n n - licz prmetrów zowych rzy ułd równń 8. Przyłdowo dl prmetru podstwowego w = S = 0,0Z 0 +0,09Z +0,0Z +0,0Z +0,0Z + 0,Z 5 +0,086Z 6 +0,0Z 7 +0,009Z 8 +0,008Z 9 + 0,007Z 0 +0,0Z +0,0Z +0,05Z + 0,09Z +0,0Z 5 +0,07Z 6 +0,0Z 7 + 0,05Z 8 +0,0Z 9 +0,9Z 0 +0,05Z +0,05Z = Kro. Definiujemy mcierz A = [ ij ], w tórej licz wierszy równ jest wrtościom prmetru podstwowego p p, licz olumn liczie prmetrów zowych Z0 Z Z Z Z Z5 Z6 Z7 Z8 Z9 Z0 Z Z Z Z Z5 Z6 Z7 Z8 Z9 Z0 Z Z 0,7 0, 0,8 0,9 0,8 0, 0,8 0,6 0,7 0,7 0, 0,5 0,6 0,6 0,9 0,9,56 0,0 0,8 0,,9 0,5 0,50 w0,0 0,9 0, 0,0 0,,0 0,86 0, 0,09 0,08 0,07 0, 0, 0,5 0,9 0,0 0,7 0, 0,5 0,,9 0,5 0,5 w 0,90 0,80 0,7 0,6 0,9,65,0 0,09 0,08 0,07 0,06 0,0 0, 0, 0,6 0,7 0,6 0, 0,0 0,7,0 0,5 0,5 w,60,5 0,57 0,56 0,58 0,80 0,6 0,08 0,07 0,06 0,05 0,08 0,0 0, 0, 0, 0,5 0,7 0, 0, 0,86 0,8 0,7 w,, 0,87 0,86 0,88 0,6 0,8 0,06 0,05 0,0 0,0 0,06 0,07 0,08 0,0 0, 0,9 0, 0,5 0, 0,65 0,8 0,8 w,0,0,0,09, 0,55 0, 0,05 0,05 0,0 0,0 0,05 0,07 0,07 0,09 0,0 0,5 0, 0, 0, 0,59 0,6 0,5 w5,0,85,,,0 0,50 0,9 0,05 0,0 0,0 0,0 0,05 0,06 0,07 0,09 0,09 0, 0, 0, 0,9 0,5 0, 0, w6 0,0 0,5 0, 0, 0, 0, 0, 0,5 0,5 0,5 0,6 0, 0, 0, 0, 0,,7 0,9 0, 0, 0,69 0,8 0,8 w7 A = 0,7 0, 0, 0, 0, 0,9 0, 0,60 0,60 0,59 0,5 0,5 0,5 0,5 0,9 0,9,6 0,6 0,8 0, 0,6 0,6 0,6 w8 0, 0,0 0,0 0,0 0, 0,6 0,8 0,55 0,55 0,70 0,65 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6,8 0, 0,6 0,0 0,59 0, 0, w9 0, 0, 0,07 0,07 0,08 0,5 0,0 0,9 0,9 0,9,,0,9,9 0,5 0,5,0 0, 0,8 0, 0, 0,7 0,7 w0 0, 0,9 0,07 0,06 0,07 0, 0,9 0,6 0,6 0,6,,,, 0, 0, 0,98 0, 0,7 0, 0,8 0,6 0,6 w 0, 0,9 0,06 0,06 0,07 0, 0,8 0,5 0, 0,,07,7,5,50 0, 0, 0,9 0, 0,6 0, 0,7 0,5 0,5 w 0,6 0, 0, 0, 0, 0,9 0,0 0,65 0,65 0,58 0,5 0,5 0,5 0,50 0,9 0,9,59 0,6 0,8 0, 0,6 0,6 0,6 w 0,0 0,8 0,06 0,06 0,06 0, 0,7 0,7 0,6 0,6 0, 0, 0, 0, 0,60 0,60, 0,57 0,5 0,, 0,5 0,5 w 0,5 0, 0,00 0,00 0,0 0,6 0, 0, 0, 0, 0,8 0,7 0,7 0,6 0,57 0,56,6 0,67 0,6 0,9,5 0,6 0,6 w5 0, 0, 0,0 0,0 0,0 0,5 0, 0,9 0,8 0,8 0,6 0,5 0,5 0,5 0, 0,,70 0,9 0,8 0,68,98 0,8 0,8 w6 0, 0, 0,0 0,0 0,0 0, 0, 0,7 0,7 0,7 0,5 0,5 0, 0, 0,0 0,9,6 0,6 0,79 0,7, 0,89 0,89 w7 0, 0, 0,0 0,0 0,0 0, 0, 0,7 0,7 0,7 0,5 0,5 0, 0, 0,9 0,9,60 0,6 0,79 0,7, 0,9 0,9 w8 nleży zznczyć, ze w celu więszej czytelności mcierzy, w tym przypdu przeslowno ją w nstępujący sposó: ij 0 Kro. Dl poszczególnych wrtości prmetru podstwowego p p wyznczmy elementy ziorów A, B i C orz sporządzmy wyresy przedstwijące zminy tych elementów w ziorch A B C w zleżności od prmetru podstwowego p p rys.. Przyłdowo dl prmetru podstwowego p p = w ziór: A = {Z 0,Z,Z,Z,Z 6 }, B = {Z 9,Z 0,Z 7,Z 8 }, C = { Z,Z 5,Z 5,Z 0,Z 7,Z,Z 6,Z 8,Z,Z,Z 9,Z,Z,Z }

6 0 Jnusz Tyoci, Andrzej Jordn, Dniel Żelzny Rys.. Wyresy wyrnych współczynniów wgi w zleżności od prmetru podstwowego. Punty dysretne połączono linimi Wrtości współczynniów wgi = 0,,, dl prmetru podstwowego p p = w = 0,,,8 zleżą od odległości węzł w od węzł, w tórym podłączono impedncję ociążeni, i wrtości tej impedncji. Wyres ABC dl prmetru podstwowego p p = w przedstwi rys.. Rys.. Wyresy słupowe F,pw orz rzyw Lorentz dl węzł w. BADANE PRZEMESZCZENA BELK STALOWEJ W celu przedstwieni szerszego spojrzeni n możliwości metody, przeprowdzimy oecnie nlizę przemieszczeń eli stlowej o przeroju przedstwionym n rys.. Bel jest zmocown jednostronnie i poddn równomiernemu ociążeniu A.

7 Bdnie wrżliwości ułdów wielo prmetrycznych Przemieszczenie eli yx opisne jest równniem różniczowym [9]: d y A L x dx E z wrunmi rzegowymi yx = 0 orz dy/dx = 0 dl x = 0, gdzie: y przemieszczenie eli [m], L długość eli [m], x odległość od miejsc mocowni [m], A ociążenie [N/m], E moduł Young [N/m ], moment ezwłdności [m ], rys.. Wrtości zowe dnej eli przedstwiono w teli rys. 5. Tel. Wrtości zowe E [m] [m] [m] [m] [m] [m] [m] [N/m ] 0,0 0,0 0,07 0,0 0,05 0,0 0,0,E+ Rys.. Anlizowny ułd eli z równomiernym ociążeniem A [N/m] Równnie możn przedstwić w postci ułdu dwóch równń różniczowych pierwszego rzędu, przyjmując yx = z x orz dy/dx = z x, mmy: ż z A ż L x E Jednocześnie złdmy, że el jest poddn ociążeniu A [N/m]. Przerój eli przedstwiono n rys. 5. Moment ezwłdności eli [m ] wyznczmy z pomocą nstępujących wzorów [0]: wyznczenie środ ciężości G Si yi i Sy S y S y S y G 5 S S S S S i i gdzie S =,, - pol poszczególnych elementów przeroju rys. 5, y odległość od osi X.

8 Jnusz Tyoci, Andrzej Jordn, Dniel Żelzny Rys. 5. Przerój eli, jej prmetry zowe wymiry orz schemt oliczeni modułu ezwłdności Xs dl przeroju z rys. 5 G 6 woec tego G 7 G 7 ] 6 [ G 7c G 7d 7e

9 Bdnie wrżliwości ułdów wielo prmetrycznych Ułd równń i rozwiązno numerycznie. Przyłdowy wyni przemieszczeni eli i pochodnej przemieszczeni przedstwiono n rys. 6. Rys. 6. Przeiegi przemieszczeni yx orz dy/dx jego pochodnej dl A 6 = 8000 [N/m] Biorąc pod uwgę równni orz wzory 7 prmetrmi zowymi są:,,,,,,, E, ntomist prmetrem podstwowym złożone wrtości A =,,8. Procedur metody i uzysne wynii są nstępujące: Kro. Definiujemy wetor P, tóry m nstępujące słdowe P = [,,,,,,,E] 8 orz funcję celu F,p, tórą jest przemieszczenie eli yx dl L =,5 m F,p = yx L =,5 9 Przy czym prmetry zowe p spełniją zleżność 0.9 p p, p =,,8 0 Kro. Z złożeni wzór 8, prmetry p zmienimy o ±0, i oliczmy wrtość sumulowną S, wyznczmy współczynnii wgi rozwiązując n rzy ułd równń. Przyłdowo dl prmetru podstwowego A = 000 N/m S = 0, ,6 +0, ,6 +0, + 0, , ,78E =

10 Jnusz Tyoci, Andrzej Jordn, Dniel Żelzny Kro. Definiujemy mcierz A = [ ij ], w tórej licz wierszy równ jest wrtościom prmetru podstwowego p p, licz olumn liczie prmetrów zowych E 0,0605 0,6 0,0605 0,6 0, 0,0605 0,0605 0,78 A = 000 0,0908 0,0908 0,07 0,0908 0, 0,0908 0,0908 0,76 A = 000 A = 0,07 0,066 0,067 0,066 0,66 0,07 0,07 0,00 A = ,0886 0,0886 0,00 0,0886 0,0 0,0886 0,0886 0,96 A = ,080 0,080 0,07 0,08 0,57 0,080 0,080 0,00 A 5 = ,067 0,096 0,057 0,096 0,69 0,067 0,067 0,068 A 6 = 8000 Kro. Dl poszczególnych wrtości prmetru podstwowego p p wyznczmy elementy ziorów A, B i C orz sporządzmy wyresy przedstwijące zminy tych elementów w ziorch A B C w zleżności od prmetru podstwowego p p rys. 7. N przyłd dl prmetru podstwowego p p = A 6 = 8000 [N/m] ziór A = {,E}, B = {, }, C = {,,, }. Rys. 7. Wyresy współczynniów wgi dl przyjętych wrtości A Nleży zznczyć, że intercj pomiędzy współczynnimi wgi występuje w przeciwieństwie do poprzednich dń [7, 8], n poziomie prmetrów nleżących do zioru B. Prmetry mjące podstwowy i średni wpływ n odsztłcenie eli są prtycznie stłe w cłym zresie zmin prmetru podstwowego A =,,,8, rys. 7.. Alterntywnie, wyresy słupowe dl prmetru podstwowego A 6 = 8000 [N/m] przedstwiono n rys. 8.

11 Bdnie wrżliwości ułdów wielo prmetrycznych 5 Rys. 8. Wyresy słupowe A,B,C orz rzyw Lorentz, dl A = 8000 [N/m] 5. WNOSK W prcy omówiono dnie wrżliwości dwóch ułdów wieloprmetrycznych, z tórych jeden zostł opisny ułdem równń lgericznych, drugi ułdem równń różniczowych zwyczjnych. W pierwszym przypdu nlizowno strty mocy w sieci średniego npięci, w drugim nliz dotyczył przemieszczeń eli stlowej zmocownej jednostronnie i poddnej równomiernemu ociążeniu. W dnich wyorzystno zmodyfiowną zsdę Preto wszując w ten sposó n możliwości jej szerszego zstosowni w porównniu do poprzednich dń [7, 8]. Bdjąc sieć eletroenergetyczną przedstwiono wpływ impedncji odiorów n strty mocy czynnej sieci średniego npięci w zleżności od miejsc przyłączeni turiny witrowej. Anlizując przemieszczenie eli zdefiniowno prmetry ułdu mechnicznego mjące decydujący wpływ n jego wytrzymłość są to E i wysoość części środowej eli. W tym drugim przypdu uzysne wynii możn wyorzystć do optymlizcji przeroju eli w zleżności od zdnego ociążeni. Mcierz A = [ ij ] jest wyorzystywn do glolnej nlizy wpływu prmetrów ułdu n wrtość funcji celu F p, pondto w rmch relizownego projetu dwczego są prowdzone prce dotyczące oprcowni filtru numerycznego filtrującego z A elementy ziorów A, B, C według reguły 0/80 z złożonymi odchyłmi. Mcierz A i wetor P są również wyorzystywne w oprcowywnych progrmch numerycznych optymlizcji ułdów wielo-prmetrycznych z wyorzystywniem lgorytmów genetycznych. Prce prowdzono w rmch projetu dwczego PWSiP w Łomży - BST- ///05 finnsownego przez Ministerstwo Nui i Szolnictw Wyższego.

12 6 Jnusz Tyoci, Andrzej Jordn, Dniel Żelzny LTERATURA [] Kczore T.: Teori sterowni, t., PWN, Wrszw,977. [] Bowersox D.J., Closs D.J., Cooper M.B.: Supply chin logistics mngement, Mc Grw-Hill, 007. [] Ultsch A.: Proof of Preto s 80/0 Lw nd Precise Limits for ABC-Anlysis, Technicl Report 00/c, University of Mrurg- Germny, 00. [] Motdel M.R., Eshlgy A.T.,Ghsemi S.: The Presenttion of Mthemticl Model to Assess nd Control the nventory Control System Through ABC Anlysis Approch, nterntionl Journl of nformtion, Security nd Systems Mengement, Vol.,No., pp. -, 0. [5] Rmnthn, R., ABC inventory clssifiction with multiple-criteri using weighted liner optimiztion, Computer nd Opertions Reserch,, pp , 006. [6] Mrm Ben Jeddou: An improvement of two multi-criteri inventory clssifiction models, OSR Journl of Business nd Mngement, Vol., No. 6, pp -7, 0. [7] Tyoci J. Jordn A.: Preto - ABC Anlysis of High Voltge Single Core Cle Temperture, Electricl Review, R.90, Nr.0/0, pp.7-78, 0. [8] Tyoci J., Jordn A., Surowi D.: Preto - ABC Anlysis of Temperture Field in High Voltge Three-Phse Systems, Electricl Review R. 9, No 5,pp. 07-, 05. [9] Równnie różniczowe eli zginnej poprzecznie [0] Momenty ezwłdności figur płsich NVESTGATON OF THE SENSTVTY OF MULT-PARAMETRC SYSTEMS Ming use of modified Preto principle, the pper presents study of sensitivity systems. The Preto principle, which is mostly used in economic sciences, hs een pplied here for sensitivity nlysis of two physicl systems, i.e. prt of medium voltge grid with wind turines nd displcement of steel em sujected to uniform lod. n the first cse, the ojective function F p involved ctive power losses in the system, wheres in the ltter cse it ws concerned with the displcement of the end of the em. Received: , revised: