Relacje. 1 Iloczyn kartezjański. 2 Własności relacji

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Relacje. 1 Iloczyn kartezjański. 2 Własności relacji"

Mariusz Antczak
5 lat temu
Przeglądów:

1 Relacje 1 Iloczyn kartezjański W poniższych zadaniach litery a, b, c, d oznaczają elementy zbiorów, a litery A, B, C, D oznaczają zbiory. Przypomnijmy definicję pary uporządkowanej (w sensie Kuratowskiego): (a, b) = {{a}, {a, b}}. Zadanie 1 Wykaż, że jeśli a b, to (a, a) (a, b). Zadanie 2 Udowodnij, że (a, b) = (c, d) wtedy i tylko wtedy, gdy a = c i b = d. Przypomnijmy definicję iloczynu kartezjańskiego zbiorów A i B: A B = {(a, b); a A, b B}. Zadanie 3 Korzystając z definicji pary uporządkowanej, wyznacz zbiór A A, jeśli: (a) A = {a}, (b) A = {a, b}. Zadanie 4 Zauważ, że =. Zadanie 5 Wykaż, że jeżeli A C i B D, to A B C D. Zadanie 6 Udowodnij, że A B = C D ((A = C B = D) ((A = B = ) (C = D = ))). 2 Własności relacji Relacja zachodząca między elementami pewnych zbiorów to podzbiór iloczynu kartezjańskiego tych zbiorów. Relacja binarna (dwuargumentowa) na zbiorze A to podzbiór zbioru A A. Mówimy, że relacja ρ A A jest: zwrotna, jeśli aρa dla każdego a A, symetryczna, jeśli aρb bρa dla dowolnych a, b A, antysymetryczna, jeśli aρb (bρa) dla dowolnych a, b A, słabo antysymetryczna, jeśli (aρb) (bρa) (a = b) dla dowolnych a, b A, przechodnia, jeśli (aρb) (bρc) (aρc) dla dowolnych a, b, c A. Zadanie 7 Rozważmy dowolny podzbiór A R. Określ, które z powyższych własności mają następujące relacje binarne w zbiorze A: (a) xρy x < y; (b) xρy x y; (c) xρy x = y; (d) xρy x y. 1

2 Zadanie 8 Określ, jakie własności mają następujące relacje binarne w zbiorze Z: (a) xρy x i y są tej samej parzystości; (b) xρy x i y są względnie pierwsze; (c) xρy x y; (d) xρy x y y x; (e) xρy x = y + 1. Zadanie 9 Określ, jakie własności mają następujące relacje binarne w zbiorze R: (a) xρy x < y ; (b) xρy x y ; (c) xρy x = y. (d) xρy xy > 0; (e) xρy xy 0; (f) xρy xy = 0. Zadanie 10 Jakie własności mają następujące relacje binarne określone w zbiorze A: (a) relacja pusta ρ = A A, (b) relacja przekątniowa A = {(a, a); a A} A A, (c) relacja pełna A = A A? Zadanie 11 Uzasadnij, że relacja antysymetryczna jest słabo antysymetryczna. Zadanie 12 Opisz wszystkie relacje ρ A A, które są: (a) jednocześnie symetryczne i słabo antysymetryczne, (b) jednocześnie symetryczne i antysymetryczne, (c) jednocześnie zwrotne i antysymetryczne. Zadanie 13 Podaj przykład relacji, która: (a) jest słabo antysymetryczna i nie jest antysymetryczna, (b) jest przechodnia i symetryczna, ale nie jest zwrotna. 3 Relacje typu równoważności Mówimy, że relacja binarna na zbiorze A jest typu równoważności, jeśli jest zwrotna, symetryczna i przechodnia. Zadanie 14 Sprawdź, że następujące relacje są relacjami typu równoważności: (a) (mod n) Z Z, x(mod n)y n x y, gdzie x, y Z, (b) ρ 1 N 2 N 2, (k, l)ρ 1 (m, n) k + n = l + m, gdzie (k, l), (m, n) N 2 N 2, (c) ρ 2 (Z (Z\{0})) (Z (Z\{0})), (a, b)ρ 2 (c, d) ad = bc, gdzie (a, b), (c, d) (Z (Z\{0})). Dla dowolnej funkcji f: X Y, w zbiorze X określamy relację binarną (kerf) w ten sposób, że x 1 (kerf)x 2 f(x 1 ) = f(x 2 ). Zadanie 15 Sprawdź, że relacja (kerf) jest relacją typu równoważności. 2

3 Zadanie 16 Przeanalizuj przykłady relacji postaci (kerf) dla funkcji head, tail, rev. Zadanie 17 Zbadaj sens geometryczny relacji (kerf) dla następujących funkcji: (a) f: R R, f(x) = [x], (b) f: R 2 R 2, f(x, y) = x 2 + y 2, (c) f: R 2 R 2, f(x, y) = x + y. Niech ρ będzie dowolną relacją binarną w zbiorze A. Dla każdego elementu a A określamy zbiór [a] ρ = {x A : xρa}. Zadanie 18 Wyraź za pomocą zbiorów postaci [a] ρ warunki zwrotności, symetrii, itd. Jeśli ρ jest relacją typu równoważności, to zbiór podzbiory postaci [a] ρ dla a A nazywamy klasami abstrakcji. Zbiór wszystkich klas abstrakcji (dla danej relacji) nazywamy zbiorem ilorazowym i oznaczamy symbolem A/ρ. Zadanie 19 Opisz zbiór klas abstrakcji dla relacji typu równoważności z poprzednich zadań. 4 Relacje częściowego porządku Relację binarną ρ określoną w zbiorze A nazywamy relacją częściowego porządku, jeśli jest zwrotna, przechodnia i słabo antysymetryczna. Zbiór z określoną w nim relacją częściowego porządku (A, ρ) nazywamy zbiorem częściowo uporządkowanym lub posetem. Zadanie 20 Niech X będzie dowolnym zbiorem. Znamy relację binarną w zbiorze 2 X wszystkich podzbiorów zbioru X. Czy ta relacja jest relacją częściowego porządku? Zadanie 21 Sprawdź, czy następujące relacja jest w danym zbiorze relacją częściowego porządku. (a) N 1 N 1, a b c N1 b = ac; (b) N N, a b c N b = ac; (c) Z Z, a b c Z b = ac; (d) Q + Q +, a b c Q+ b = ac; Zadanie 22 Określmy relację binarną w zbiorze R 2 (czyli R 2 R 2 ) w ten sposób, że (x, y) (z, t) x z y t, dla dowolnych x, y, z, t R. Sprawdź, że relacja jest częściowym porządkiem. Zbadaj analogiczną relację w R n. Zadanie 23 Wykaż, że jeżeli (A, ρ) jest zbiorem częściowo uporządkowanym, to dla dowolnego podzbioru B A, zbiór (B, ρ (B B)) też jest częściowo uporządkowany. Niech (A, ) będzie zbiorem częściowo uporządkowanym. Jeśli a b i a b, to mówimy, że element a jest mniejszy od elementu b, a element b jest większy od elementu a. Element a nazywamy maksymalnym, jeśli nie ma elementów od niego większych. Element a nazywamy największym, jeśli wszystkie pozostałe elementy są od niego mniejsze. 3

4 Zadanie 24 Zapisz definicje elementu maksymalnego i elementu największego w sposób formalny. Zadanie 25 Podaj słowne definicje elementu minimalnego i elementu najmniejszego i zapisz je w sposób formalny. Zadanie 26 Znajdź (jeśli istnieją) elementy maksymalne, minimalne, największe i najmniejsze w zbiorach częściowo uporządkowanych z zadań 20, 21, 22. Zadanie 27 W danym zbiorze A R 2 określmy relację binarną jak w zadaniu 22. Znajdź, jeśli istnieją, elementy maksymalne, minimalne, największe i najmniejsze. (a) A = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1}, (b) A = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 < 1}, (c) A = {(x, y) R 2 : x + y 1}, (d) A = {(x, y) R 2 : x + y + x y 1}, (e) A = {(x, 0); x R}, (f) A = {(x, x); x R}, (g) A = {(0, 0), ( 1, 0), (1, 0), ( 1 2, 1), ( 1 2, 1), (0, 2)}, (h) A = {(0, 0), (0, 1), (1, 0)}. Zadanie 28 Uzasadnij, że jeżeli w zbiorze częściowo uporządkowanym istnieje element największy (najmniejszy), to jest on jedynym elementem maksymalnym (minimalnym). Niech (A, ) będzie zbiorem częściowo uporządkowanym. Element a nazywamy ograniczeniem z góry zbioru B A, jeśli wszystkie elementy zbioru B są mniejsze lub równe a. Element a nazywamy kresem górnym zbioru B A, jeśli jest najmniejszym ograniczeniem z góry zbioru B. Zadanie 29 Zapisz formalną definicję kresu górnego. Podaj analogiczną definicję kresu dolnego i zapisz ją formalnie. Zadanie 30 Zbadaj istnienie kresów podzbioru A zbioru R 2 z zadania 27. Zadanie 31 Niech X będzie dowolnym zbiorem. Udowodnij, że kresem górnym podzbioru A 2 X (z relacją ) jest A A A, zaś kresem dolnym jest A A A. Rozwiązania, wskazówki, odpowiedzi 3 (a) Rozwiązanie. A A = {(a, a)} = {{{a}, {a, a}}} = {{{a}, {a}}} = {{{a}}}. 6 Wskazówka. Rozważ oddzielnie przypadek, gdy jeden ze zbiorów A, B, C, D jest pusty. 10 Odpowiedź. (a) Relacja pusta ρ = A A nie jest zwarta (o ile A ), jest symetryczna, antysymetryczna, słabo antysymetryczna i przechodnia. (b) Relacja przekątniowa A = {(a, a); a A} A A, jest zwarta, symetryczna, nie jest antysymetryczna (o ile A ), jest słabo antysymetryczna i przechodnia. (c) Relacja pełna A = A A jest zwarta, symetryczna, nie jest antysymetryczna (o ile A ), jest przechodnia. Jeśli zbiór A jest pusty lub jednoelementowy, to relacja A jest 4

5 słabo antysymetryczna. Jeśli zbiór A ma co najmniej dwa elementy, to relacja A nie jest słabo antysymetryczna. 12 Wskazówka / szkic rozwiązania. (a) Dla dowolnych elementów a, b A, jeśli aρb, to a = b. Zatem ρ... (b) Założenie, że aρb dla pewnych a, b A, doprowadza do sprzeczności. Zatem jedyną relacją spełniającą te warunki jest ρ =... (c) Założenie, że aρa dla pewnego a A, doprowadza do sprzeczności. Zatem jedyna możliwość to A = Rozwiązanie. Relacja ρ A A jest: zwrotna, jeśli a A a [a] ρ ; symetryczna, jeśli a,b A b [a] ρ a [b] ρ, czyli dla każdego a A mamy a b [a] ρ [b] ρ ; antysymetryczna, jeśli a,b A b [a] ρ a [b] ρ, czyli dla każdego a A mamy a b [a] ρ [b] ρ ; słabo antysymetryczna, jeśli a,b A ((b [a] ρ ) (a [b] ρ ) (a = b)), czyli dla każdego a A mamy a [b] ρ ; b [a] ρ\{a} przechodnia, jeśli a,b,c A ((b [a] ρ ) (c [b] ρ ) (c [a] ρ )), czyli dla każdego a A mamy 27 Odpowiedź. (a) Zbiór elementów maksymalnych: b [a] ρ [b] ρ [a] ρ. {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 = 1, x 0, y 0} = Zbiór elementów minimalnych: {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 = 1, x 0, y 0} = Nie ma elementu największego ani najmniejszego. (b) Nie ma. (c) Zbiór elementów maksymalnych: Zbiór elementów minimalnych: { [ (cos t, sin t); t 0, π ]}. 2 { [ (cos t, sin t); t π, 3π 2 {(x, y) R 2 : x + y = 1, x 0, y 0} = {(t, 1 t); t [0, 1]}. {(x, y) R 2 : x + y = 1, x 0, y 0} = {( t, t 1); t [0, 1]}. ]}. 5

6 Nie ma elementu największego ani najmniejszego. (d) Element maksymalny i największy: ( 1 2, 1 2 ). Element minimalny i najmniejszy: ( 1 2, 1 2 ). 30 Odpowiedź. (a), (b), (c) Kres górny: (1, 1), kres dolny: ( 1, 1). (d) Kres górny: ( 1 2, 1 2 ), kres dolny: ( 1 2, 1 2 ). Piotr Jędrzejewicz, Ćwiczenia ze wstępu do matematyki dla informatyków, I rok informatyki, jesień Relacje, wersja czwarta, 12 II

Podobne dokumenty

Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz:

Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy jego obraz: f(a) = {f(x); x A} = {y Y : x A f(x) = y}. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz: f 1 (B) = {x X; f(x) B}. 1 Zadanie.