1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =."

Transkrypt

1 1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych przestrzeni, gdzie t należy do pewnego zbioru indeksów T. Niech ponadto A t, B t X t dla każdego t T. Pokazać, że (a) jeśli A t B t, to A t (b) (c) ( ) ( A t B t ) B t = ( ) At B t ( ( ) A t ) B t ( ) At B t. Pokazać ponadto, że zawierania nie można zastąpić równością. 1.5 Dany jest ciąg {A n } podzbiorów przestrzeni X. Granicę górną A i granicę dolną A tego ciągu można zdefiniować np. korzystając z funkcji charakterystycznej zbioru 1l (tzn. 1l B (x) = 1 x B): 1l A (x) = lim sup 1l An (x) oraz 1l A (x) = lim inf 1l A n (x) Korzystając z powyższej definicji wyprowadź bezpośredni wzór na granicę górną A = lim sup n A n i granicę dolną A = lim inf n A n (tzn. nie korzystający z funkcji charakterystycznej). 1.6 Niech {A n } będzie ciągiem podzbiorów pewnej przestrzeni X. Pokazać, że lim sup A n A n. n N Podać przykłady takich ciągów {A n }, że (a) A n lim inf A n; n N (b) lim inf A n lim sup A n ; (c) lim sup A n A n. n N 1.7 Pokazać: (a) lim inf A n lim inf B n = lim inf (A n B n ) (b) lim inf A n lim inf B n lim inf (A n B n ) (c) lim sup (d) lim sup A n lim sup A n lim sup B n lim sup(a n B n ) B n = lim sup(a n B n ) A n n N lim inf A n 1

2 2 Odwzorowania i relacje 2.1 Niech f : X Y oraz A X. Pokazać, że (a) f A = f i, gdzie i : A X, a i(a) = a; (b) jeśli g = f A, to g 1 (B) = A f 1 (B). 2.2 Udowodnić, że A,B X f(a B) = f(a) f(b) wtedy i tylko wtedy, gdy f jest injekcją. 2.3 Niech f : X Y. Pokazać: (a) A B f(a) f(b); (b) f 1 (Y \ C) = X \ f 1 (C); (c) f jest injekcją y Y #f 1 (y) 1 A X f(x \ A) Y \ f(a); (d) f jest surjekcją y Y #f 1 (y) 1 A X f(x \ A) Y \ f(a). 2.4 Niech będą dane dwa odwzorowania f : X Y oraz g : Y X. Pokazać, że zbiory X i Y można rozbić na sumę rozłącznych podzbiorów X = X 1 X 2 oraz Y = Y 1 Y 2 tak, że f(x 1 ) = Y 1 i g(y 2 ) = X 2. Relacją R określoną na zbiorze X nazywamy dowolny podzbiór R X X i piszemy arb (a, b) R. 2.5 Pokazać, ze dla dowolnej relacji R, która jest zwrotna i przechodnia, relacja R R 1 jest relacją równoważności. 2.6 Dla danych relacji R, S na zbiorze X definiujemy ich złożenie a(r S)b c X arc csb. Czy R S jest relacją równoważności, jeśli R i S są relacjami równoważności? 2.7 Pokazać, że zwrotna relacja R jest relacją równoważności wtedy i tylko wtedy, gdy R R = R i R 1 = R. 2.8 Niech f będzie odwzorowaniem na zbiorze X (w dowolny zbiór Y ). Pokazać, że relacja a b f(a) = f(b) jest relacją równoważności na zbiorze X. 2.9 Niech R, S będą relacjami równoważności na zbiorze X takimi, że R S. Na zbiorze warstw X/R definiujemy relację R(a) ( S/R ) R(b) asb. Pokazać, że S/R jest relacją równoważności i istnieje bijekcja między (X/R)/(S/R) a X/S Pokazać, że każde odwzorowanie można przedstawić jako złożenie surjekcji i injekcji. Oznaczenia: f 1 przeciwobraz, tj. f 1 (B) = { x f(x) B } ; #A liczba elementów zbioru A; R 1 relacja przeciwna, tj. ar 1 b bra; R(a) warstwa elementu a, tj. R(a) = { b arb } ; X/R przestrzeń warstw relacji równoważności R, tj. X/R = { R(a) a X } ; 2

3 3 Przestrzenie metryczne 3.1 Niech X będzie dowolnym zbiorem i niech C(X ) = {f : X R : f jest ograniczona}. Pokaż, że funkcja d(f, g) = sup f(x) g(x) jest metryką na C(X ). x X Jak wyglądają kule w tej przestrzeni (opisz je np. w przypadku, gdy X = (0, 1)). 3.2 Na przedziale (0, 1) określmy funkcję d(x, y) = x 1 y 1 dla x y oraz d(x, x) = 0. (a) (b) Pokaż, że d jest metryką równoważną metryce euklidesowej; Udowodnij, że nie istnieje na R żadna metryka równoważna euklidesowej, która obcięta do przedziału (0, 1) byłaby równa d. 3.3 (a) Czy domknięcie kuli jest kulą domkniętą, a dokładniej czy B(x, r) = { y : d(x, y) r }? (b) Czy (B(x, r)) = { y : d(x, y) = r }? 3.4 Czy topologia dopełnień skończonych (par. zad.4.2) jest metryzowalna? 3.5 Udowodnij, że metryki równoważne w sensie Lipschitza, są równoważne. Czy zachodzi implikacja w przeciwną stronę? 3.6 Niech d będzie metryką na X. Pokaż, że d (x, y) = d. d(x, y) 1 + d(x, y) jest metryką na X równoważną metryce 3.7 Niech d będzie metryką na X, a M > 0 pewną stałą. Pokaż, że d M (x, y) = min ( M, d(x, y) ) jest metryką na X równoważną metryce d. 3.8 Niech δ(a) oznacza średnicę zbioru A, tj. δ(a) = sup{d(x, y) : x, y A}. Udowodnij, że (a) δ(a) = 0 #A 1; (b) δ(a) = δa; (c) A B δ(a) δ(b); (d) jeśli A B, to δ(a B) δ(a) + δ(b). 3.9 Niech S będzie rodziną wszystkich niepustych, domkniętych podzbiorów przestrzeni metrycznej X i niech x 0 X będzie ustalonym punktem. Na zbiorze S określmy funkcję: d x0 (A, B) = sup{ d(x, A) d(x, B) e d(x,x0) : x X } Pokaż, że d x0 równoważne. jest metryką na S oraz, że metryki generowane przez dwa różne punkty x 1, x 2 X są 3.10 Oznaczmy przez F(X ) rodzinę wszystkich niepustych, domkniętych i ograniczonych podzbiorów przestrzeni metrycznej (X, d). Dla A, B F(X ) określmy funkcję h(a, B) = sup{d(x, B) : x A}. Niech ϱ(a, B) = max ( h(a, B), h(b, A) ). Udowodnij, że: (a) ϱ jest metryką (nazywaną metryką Hausdorffa); (b) ϱ ( {x}, {y} ) = d(x, y); (c) ϱ(a, B) ε wtedy i tylo wtedy, gdy x A B(x, ε) B x B B(x, ε) A =. Równoważność metryk: (a) metryki d 1 i d 2 są równoważne, jeśli x X ε>0 δ1,δ 2>0 B d1 (x, δ 1 ) B d2 (x, ε) B d2 (x, δ 2 ) B d1 (x, ε) (b) metryki d 1 i d 2 są równoważne w sesie Lipschitza, jeśli istnieją takie stałe m, M > 0, że x,y X m d 1 (x, y) d 2 (x, y) M d 1 (x, y) 3

4 4 Przestrzenie topologiczne 4.1 Ile różnych topologii może posiadać zbiór trzyelementowy? Które z nich są nierozróżnialne (tj. przez zamianę elementów)? Sporządź rysunek zaznaczając ich częściowe uporządkowie ze względu na relację zawierania. 4.2 Niech X będzie zbiorem nieskończonym. Pokaż, że (a) T 0 = { } {A : #(X \ A) < }, tj. tzw. topologia dopełnień skończonych, oraz (b) T 1 = { } {A : #(X \ A) < #X }, są topologiami. 4.3 Niech X będzie zbiorem częściowo uporządkowanym. Dla x X zdefiniujmy U L (x) = {y X : y x} oraz U R (x) = {y X : x y}. Pokaż, że dla = L, R: (a) rodzina {U (x)} jest bazą topologii (tj. T = {G = U (x) : A X } { } jest topologią) przestrzeni X ; (b) G T wtedy i tylko wtedy, gdy x G U (x) G; x A (c) w T przekrój dowolnej rodziny zbiorów otwartych jest otwarty; (d) opisz {x}, {x}, ({x}); (e) jedyną topologią, która jest równocześnie większa (w sensie zawierania) od T L i T R jest topologia dyskretna. Topologie T L, T R nazywane są często topologiami odpowiednio lewej i prawej strzałki. 4.4 Niech T X, T Y będą topologiami odpowiednio przestrzeni X i Y i niech T = {A B : A T X, B T Y }. Czy rodzina T jest topologią na X Y? 4.5 Na zbiorze liczb naturalnych N określamy rodzinę podzbiorów U U, tak że spełniona jest zależność: n U d n d U. Pokazać, że U jest topologią na N różną od topologii dyskretnej. 4.6 Udowodnij, że topologia jest dyskretna wtedy i tylko wtedy, gdy każdy punkt jest zbiorem otwartym. 4.7 Pokaż, że G A = G A dla każdego zbioru A X wtedy i tylko wtedy, gdy G jest zbiorem otwartym w X. 4.8 Udowodnij: (a) ( ( (A))) = ( (A)) (b) (A ) (A) (c) (A \ B) A \ B (d) A d = A = A 4.9 Niech A i B będą zbiorami otwartymi w X. Czy jeśli A i B są gęste w X, również gęsty jest ich przekrój A B? 4.10 Niech D będzie gęsty w X. Pokaż, że dla każdego zbioru otwartego G X zachodzi D G = G Punkt a A nazywamy izolowanym, gdy a A\A d. Zbiór A nazywamy doskonałym, gdy jest domknięty i nie zawiera punktów izolowanych. Pokaż, że jeśli A nie zawiera punktów izolowanych, to A jest doskonały. Oznaczenia: A d zbiór punktów skupienia zbioru A; A wnętrze zbioru A; A domknięcie zbioru A; (A) brzeg zbioru A; 4

5 5 Spójność. Przekształcenia ciągłe 5.1 Zbiór S = {0, 1} z topologią {, {0}, S } nazywamy przestrzenią Sierpińskiego. Czy S jest spójna? 5.2 Czy zbiór liczb wymiernych Q z naturalną topologią (pochodzącą od metryki euklidesowej) jest spójny? 5.3 Dla liczb a, b N określmy zbiór U a,b = {an + b n Z} N. Pokaż, że: (a) rodzina U a,b dla względnie pierwszych a, b jest bazą pewnej topologii na N; (b) dla każdej liczby pierwszej p zbiór pn = {np n N} jest domknięty w tej topologii; (c) zbiór wszystkich liczb pierwszych ma puste wnętrze; (d) przestrzeń N jest spójna. Wskazówka: Pokazać, że jeśli dla otwartego zbioru U zachodzi U U a,b =, to U an =. 5.4 Niech X będzie zbiorem nieskończonym z topologią T 0 (cf. zad.4.2.(a)). (a) Pokaż, że X jest przestrzenią spójną. Czy każdy podzbiór właściwy X jest spójny? (b) Jakie warunki musi spełniać podzbiór przestrzeni X, aby był spójny? 5.5 W przestrzeni X wprowadźmy relację x y, gdy istnieje zbiór spójny zawierający x i y. Pokaż, że jest relacją równoważności. Jak wyglądają klasy abstrakcji tej relacji? 5.6 Niech A X oraz A i X będą spójne. Niech ponadto B X \A będzie równocześnie otwarty i domknięty w X \ A. Pokazać, że A B jest spójny. 5.7 Niech {A n } będzie ciągiem spójnych podzbiorów przestrzeni X spełniającym A n A n+1, dla n = 1, 2,... Udowodnij, że zbiór A n jest spójny. n N 5.8 Niech A X będzie dowolny, a C X będzie zbiorem spójnym i takim, że A C (X \ A) C. Pokaż, że wówczas (A) C. 5.9 Jakie warunki musi spełniać odwzorowanie f : X X, aby było ciągłe, jeśli X jest przestrzenią z topologią T 0 z zad Niech X będzie przestrzenią z zad.4.3. Pokaż, że wówczas odwzorowanie φ : X X jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy zachowuje porządek Pokaż, że odwzorowanie φ : N N, gdzie N jest przestrzenią z topologią z zad.4.5, jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy zachowuje podzielność, tj. ( m n ) ( φ(m) φ(n) ) Udowodnij, że poniższe warunki są równoważne: (a) odwzorowanie φ : X Y jest ciągłe; (b) φ(a d ) φ(a) dla każdego A X ; (c) (φ 1 (B)) φ ( (B) ) dla każdego B Y Niech φ n : X R będzie ciągiem funkcji ciągłych. Pokaż, że zbiór punktów zbieżności tego ciągu, tzn. {x X : lim φ n(x) istnieje } jest F σδ, tj. przeliczalnym przekrojem przeliczalnych sum zbiorów domkniętych. I jeszcze coś o aksjomatach oddzielania: 5.a Pokaż, że przestrzeń z topologią T 0 z zad.4.2 jest przestrzenią T 1, ale nie jest przestrzenią Hausdorffa. 5.b Pokaż, że przestrzeń z topologią T L z zad.4.3 jest przestrzenią T 0, ale nie jest T 1. 5

6 6 Zadania z wykładu 6.1 (20.II ) Domknięciem zbioru A X nazywamy zbiór A = { F X : F jest domknięty i A F } (w przestrzeni metrycznej X definicja przyjmuje postać A = { x X : {xn} A lim x n = x } ). Udowodnić następujące własności: (1d) =, (2d) A X A A, (3d) A,B X A B = A B, (4d) A X A = A. 6.2 (27.II ) Sformułować i udowodnić warunki dualne do warunków z zad.6.1 dotyczące operacji brania wnętrza zbioru. 6.3 (27.II ) Niech (X, ϱ) będzie przestrzenią metryczną. Pokazać, że wówczas U X jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy x U ε>0 K(x, ε) U. Następnie (a) pokazać, że rodzina zbiorów otwartych w przestrzeni metrycznej spełnia aksjomaty topologii; (b) sprawdzić, że kula otwarta (odpowiednio domknięta) jest zbiorem otwartym (odp. domkniętym); (c) sprawdzić, czy (K(a, δ)) = (Kd(a, δ)) = S(a, δ). 6.4 (27.II ) Pokazać, że w dowolnej przestrzeni topologicznej zachodzą wzory: (a) A = A\ (A), (b) (A B) (A) (B), (c) (A B) (A) (B), (d) A = A A d, (e) A B A d B d, (f) (A B) d = A d B d. 6.5 (06.III ) Wykazać poniższe własności odwzorowania f : X Y: (a) Dla każdych A, B Y: (a.i) f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B), (a.ii) f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B), (a.iii) f 1 (A \ B) = f 1 (A) \ f 1 (B) ; (b) dla każdych A, B X : (b.i) f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B). (b.ii) f(a B) f(a) (B) (równość zachodzi, gdy f jest injekcją), 6.6 (13.III ) Pokazać, że rodzina B = { K(x, 1 m ) : x Qn, m N } jest bazą topologii przestrzeni R n z metryką euklidesową. 6.7 (13.III ) Niech A = {x i } i=n X będzie podzbiorem gęstym przestrzeni metrycznej X (tj. A = X ). Udowodnić, że rodzina B = { K(x i, 1 n ) : i, n N} jest bazą przeliczalną. 6.8 (20.III ) Mówimy, że punkt x jest granicą ciągu uogólnionego x t (gdzie t T jest elementem zbioru skierowanego), jeśli U B(x) to T t to x t U. Pokazać, że definicja granicy nie zależy od wyboru bazy w punkcie x. 6.9 (20.III ) Niech (T, T ), (S, S ) będą zbiorami skierowanymi. Pokazać, że (T S, T S ) też jest zbiorem skierowanym (20.III ) Pokazać, że dowolne pokrycie jednoznacznie definiuje topologię, w której to pokrycie jest podbazą (27.III ) Na R zadajemy topologię bazą otoczeń B = B(x), gdzie B(x) = { (x 1 n, x + 1 n ) : n N} gdy x 0 oraz B(0) = { ( 1 n, 1 n ) \ Z : n N} gdzie Z = { 1 n : n N}. Pokazać, że R z tak zadaną topologią jest T 2, ale nie jest T (27.III ) Udowodnić, że w przestrzeni metrycznej (X, d) dla każdego zbioru A zachodzi x t x = d(x t, A) d(x, A) (03.IV ) Niech f α : X α X dla α A i T = { U X : α A f 1 (U) otwarty w X α }. Udowodnić, że T jest topologią na X (i jest najsilniejszą topologią, dla której wszystkie f α są ciągłe) (17.IV ) Udowodnij: (a) A B = A B, (b) (A B) = (A) B A (B). x R 6

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

Eliza Wajch, Geometria z Topologią, wykład 1, 2012/2013

Eliza Wajch, Geometria z Topologią, wykład 1, 2012/2013 Eliza Wajch Wykłady i ćwiczenia z geometrii analitycznej z elementami topologii w UPH w Siedlcach w semestrze zimowym roku akad. 2012/2013. Literatura podstawowa: 1. K. Kuratowski, A. Mostowski: Teoria

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,

Bardziej szczegółowo

1 Ciągłe operatory liniowe

1 Ciągłe operatory liniowe 1 Ciągłe operatory liniowe Załóżmy, że E, F są przestrzeniami unormowanymi. Definicja 1.1. Operator liniowy T : E F nazywamy ograniczonym, jeżeli zbiór T (B) F jest ograniczony dla dowolnego zbioru ograniczonego

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do struktur o-minimalnych

Wprowadzenie do struktur o-minimalnych Wprowadzenie do struktur o-minimalnych Piotr Pokora 22.02.2009 1 Wprowadzenie do struktur o-minimalnych i pojęcia wstępne Na początku lat 80-tych Pillay i Steinhorn wprowadzili pojęcie o-minimalności bazując

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d) Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem

Bardziej szczegółowo

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,

Bardziej szczegółowo

KARTA PRZEDMIOTU. w języku polskim Analiza Matematyczna 1 w języku angielskim Mathematical Analysis 1 USYTUOWANIE PRZEDMIOTU W SYSTEMIE STUDIÓW

KARTA PRZEDMIOTU. w języku polskim Analiza Matematyczna 1 w języku angielskim Mathematical Analysis 1 USYTUOWANIE PRZEDMIOTU W SYSTEMIE STUDIÓW Kod przedmiotu Nazwa przedmiotu KARTA PRZEDMIOTU AM1_M w języku polskim Analiza Matematyczna 1 w języku angielskim Mathematical Analysis 1 USYTUOWANIE PRZEDMIOTU W SYSTEMIE STUDIÓW Kierunek studiów Forma

Bardziej szczegółowo

Działanie grupy na zbiorze

Działanie grupy na zbiorze Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:

Bardziej szczegółowo

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10 System BCD z κ Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna Semestr letni 2009/10 Rozważamy system BCD ze stałą typową κ i aksjomatami ω κ κ i κ ω κ. W pierwszej części tej notatki

Bardziej szczegółowo

9 Przekształcenia liniowe

9 Przekształcenia liniowe 9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1

Bardziej szczegółowo

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod

Bardziej szczegółowo

Zbiór zadań ze wstępu do matematyki

Zbiór zadań ze wstępu do matematyki Zbiór zadań ze wstępu do matematyki Jan Kraszewski Wrocław 2009 1 Spis treści 2 Przedmowa W zbiorach zadań ze wstępu do matematyki zadania zazwyczaj są tak pogrupowane, by dotyczyły pojęć z poszczególnych

Bardziej szczegółowo

KURS MATEMATYKA DYSKRETNA

KURS MATEMATYKA DYSKRETNA KURS MATEMATYKA DYSKRETNA Lekcja 17 Relacje częściowego porządku. Diagramy Hassego. ZADANIE DOMOWE www.akademia.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa).

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Jagielloński Wydział Matematyki i Informatyki Instytut Matematyki. Wykłady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV.

Uniwersytet Jagielloński Wydział Matematyki i Informatyki Instytut Matematyki. Wykłady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV. Uniwersytet Jagielloński Wydział Matematyki i Informatyki Instytut Matematyki Wykłady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV Marek Jarnicki (Wersja z 13 czerwca 2015 Spis treści Część I. Analiza Matematyczna

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Teoria automatów

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Teoria automatów Wstęp do Techniki Cyfrowej... Teoria automatów Alfabety i litery Układ logiczny opisywany jest przez wektory, których wartości reprezentowane są przez ciągi kombinacji zerojedynkowych. Zwiększenie stopnia

Bardziej szczegółowo

Grupa klas odwzorowań powierzchni

Grupa klas odwzorowań powierzchni Grupa klas odwzorowań powierzchni Błażej Szepietowski Uniwersytet Gdański Horyzonty matematyki 2014 Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 1 / 36 Grupa klas odwzorowań

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L (R) to funkcje na prostej spełniające

Bardziej szczegółowo

Analiza funkcjonalna I. Ryszard Szwarc

Analiza funkcjonalna I. Ryszard Szwarc Analiza funkcjonalna I Ryszard Szwarc Wrocław 2010 2 Spis treści 1 Przestrzenie unormowane 3 1.1 Dodatek.............................. 13 2 Operatory liniowe 15 3 Przestrzenie Hilberta 26 3.1 Podstawowe

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe Przekształcenia liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 4. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2006 1 / 7

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie spektralne

Twierdzenie spektralne Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi

Bardziej szczegółowo

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ). Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich

Bardziej szczegółowo

Schemat sprawdzianu. 25 maja 2010

Schemat sprawdzianu. 25 maja 2010 Schemat sprawdzianu 25 maja 2010 5 definicji i twierdzeń z listy 12(po 10 punktów) np. 1. Proszę sformułować twierdzenie Brouwera o punkcie stałym. 2. Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Proszę określić,

Bardziej szczegółowo

1. Teoria mnogości, zbiory i operacje na zbiorach, relacje i odwzorowania, moc zbiorów.

1. Teoria mnogości, zbiory i operacje na zbiorach, relacje i odwzorowania, moc zbiorów. 1. Teoria mnogości, zbiory i operacje na zbiorach, relacje i odwzorowania, moc zbiorów. Teoria mnogości inaczej nazywana teorią zbiorów jest to teoria matematyczna badająca własności zbiorów (mnogość dawna

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 10, 11.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Geometryczne intuicje Dla pierścienia R = R mamy

Bardziej szczegółowo

Systemy baz danych. Notatki z wykładu. http://robert.brainusers.net 17.06.2009

Systemy baz danych. Notatki z wykładu. http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Systemy baz danych Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L 2 (R) to funkcje na prostej spełniające

Bardziej szczegółowo

Notatki do wykładu z Analizy Matematycznej dla II roku 1 studiów zawodowych z matematyki

Notatki do wykładu z Analizy Matematycznej dla II roku 1 studiów zawodowych z matematyki Notatki do wykładu z nalizy Matematycznej dla II roku 1 studiów zawodowych z matematyki Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w Białymstoku 23 stycznia 2008 1 c Jarosław Kotowicz 2007 Spis

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa Definicja: Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy nazywać słowem a liczbę elementów tego ciągu nazywamy długością słowa. Na

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA ZBIORY Z POWTÓRZENIAMI W zbiorze z powtórzeniami ten sam element może występować kilkakrotnie. Liczbę wystąpień nazywamy krotnością tego elementu w zbiorze X = { x,..., x n } - zbiór k,..., k n - krotności

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

WSTĘP. Trochę geometrii elementarnej

WSTĘP. Trochę geometrii elementarnej WSTĘP. Trochę geometrii elementarnej W tym rozdziale będziemy używać oznaczeń przyjętych w szkole; w szczególności, punkty będziemy oznaczać dużymi literami łacińskimi. 0.1. Twierdzenie Pitagorasa Znane

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje i ich granice

1 Funkcje i ich granice Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja

Bardziej szczegółowo

VIII Wojewódzki Konkurs Matematyczny "W Świecie Matematyki im. Prof. Włodzimierza Krysickiego Etap drugi - 3 marca 2016 r.

VIII Wojewódzki Konkurs Matematyczny W Świecie Matematyki im. Prof. Włodzimierza Krysickiego Etap drugi - 3 marca 2016 r. VIII Wojewódzki Konkurs Matematyczny "W Świecie Matematyki im. Prof. Włodzimierza Krysickiego Etap drugi - 3 marca 2016 r. Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. 1. Drugi etap Konkursu składa się z

Bardziej szczegółowo

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0. Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile

Bardziej szczegółowo

Logika I. Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów

Logika I. Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów 1 Podstawowe pojęcia rachunku zbiorów Uwaga 1.1. W teorii mnogości mówimy o zbiorach

Bardziej szczegółowo

Teoria ciała stałego Cz. I

Teoria ciała stałego Cz. I Teoria ciała stałego Cz. I 1. Elementy teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3

Bardziej szczegółowo

Podstawy teoretyczne na egzamin z MMFiA II.

Podstawy teoretyczne na egzamin z MMFiA II. Podstawy teoretyczne na egzamin z MMFiA II. Bartłomiej Dębski 14 lutego 2010 Streszczenie Oddaję w ręce Czytelników krótki przegląd zagadnień omawianych w ramach egzaminu z MMFiA II. Znajdują się tutaj

Bardziej szczegółowo

Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań

Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań Strona 1 z 25 Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań Andrzej Sładek, Instytut Matematyki UŚl sladek@ux2.math.us.edu.pl Spotkanie w LO im. Powstańców Śl w Bieruniu Starym 27 października 2005 Strona

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

a 1, a 2, a 3,..., a n,... III. Ciągi liczbowe. 1. Definicja ciągu liczbowego. Definicja 1.1. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R i oznaczamy przez {a

Bardziej szczegółowo

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013 Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 013 3.4.1 Inwersja względem okręgu. Inwersja względem okręgu jest przekształceniem płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: Własności dystrybuanty zmiennej losowej:

Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: Własności dystrybuanty zmiennej losowej: Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: F (t) P (X t) < t < Własności dystrybuanty zmiennej losowej: jest niemalejąca: 0 F (t) jest prawostronnie

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Topologia kombinatoryczna zadania kwalifikacyjne

Topologia kombinatoryczna zadania kwalifikacyjne Topologia kombinatoryczna zadania kwalifikacyjne Piotr Suwara 9 czerwca 2013 Nie ma wyznaczonego progu na kwalifikację na zajęcia. Gorąco zachęcam do wysyłania rozwiązań dużo przed terminem wtedy będzie

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Rachunek prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział PPT, MS, rok akad. 213/14, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Bardziej szczegółowo

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów Wykład 3. Własności grafów 1 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). 2 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2).

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

4. Granica i ciągłość funkcji

4. Granica i ciągłość funkcji 4. Granica i ciągłość funkcji W niniejszym rozdziale wprowadzamy pojęcie granicy funkcji, definiujemy funkcje ciągłe i omawiamy ich podstawowe własności. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

Iloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013

Iloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Iloczyn skalarny Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 1 / 14 Standardowy

Bardziej szczegółowo

Ilustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna

Ilustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna Grafy płaskie G=(V,E) nazywamy grafem płaskim, gdy V jest skończonym podzbiorem punktów płaszczyzny euklidesowej, a E to zbiór krzywych Jordana (łamanych) o końcach w V i takich, że: 1) rożne krzywe mają

Bardziej szczegółowo

Prace Koła Matematyków Uniwersytetu Pedagogicznego w Krakowie (2014)

Prace Koła Matematyków Uniwersytetu Pedagogicznego w Krakowie (2014) Prace Koła Mat. Uniw. Ped. w Krak. 1 (2014), 41-58 edagogicznego w Krakowie PKoło Matematyków Uniwersytetu Prace Koła Matematyków Uniwersytetu Pedagogicznego w Krakowie (2014) Barbara Ciesielska 1, Agnieszka

Bardziej szczegółowo

4. Równania Cauchy ego Riemanna. lim. = c.. dz z=a Zauważmy, że warunkiem równoważnym istnieniu pochodnej jest istnienie liczby c C, takiej że

4. Równania Cauchy ego Riemanna. lim. = c.. dz z=a Zauważmy, że warunkiem równoważnym istnieniu pochodnej jest istnienie liczby c C, takiej że 4. Równania Caucy ego Riemanna Niec Ω C będzie zbiorem otwartym i niec f : Ω C. Mówimy, że f ma w punkcie a Ω pocodną w sensie zespolonym (jest olomorficzna w a równą c C, jeśli f(z f(a lim = c. z a Piszemy

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo

ciałem F i oznaczamy [L : F ].

ciałem F i oznaczamy [L : F ]. 11. Wykład 11: Baza i stopień rozszerzenia. Elementy algebraiczne i przestępne. Rozszerzenia algebraiczne i skończone. 11.1. Baza i stopień rozszerzenia. Uwaga 11.1. Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem

Bardziej szczegółowo

Topologia I, Egzamin. II termin, 2013-03-05. Nr albumu: Nazwisko prowadzącego ćwiczenia: Nr grupy:

Topologia I, Egzamin. II termin, 2013-03-05. Nr albumu: Nazwisko prowadzącego ćwiczenia: Nr grupy: Stwierdź czy następujące zdania są prawdziwe, zakreślając właściwą odpowiedź i skreślając pozostałe. 1 Zad. 1. Jeżeli przekształcenie f : (X, T ) (R, T s ) jest ciągłe, to to samo odwzorowanie jest ciągłe

Bardziej szczegółowo

1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a.

1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a. Ćwiczenia 3032010 - omówienie zadań 1-4 z egzaminu poprawkowego Konwersatorium 3032010 - omówienie zadań 5-8 z egzaminu poprawkowego Ćwiczenia 4032010 (zad 445-473) Kolokwium nr 1, 10032010 (do zad 473)

Bardziej szczegółowo

. 0 0... 1 0. 0 0 0 0 1 gdzie wektory α i tworz baz ortonormaln przestrzeni E n

. 0 0... 1 0. 0 0 0 0 1 gdzie wektory α i tworz baz ortonormaln przestrzeni E n GAL II 2013-2014 A. Strojnowski str.45 Wykªad 20 Denicja 20.1 Przeksztaªcenie aniczne f : H H anicznej przestrzeni euklidesowej nazywamy izometri gdy przeksztaªcenie pochodne f : T (H) T (H) jest izometri

Bardziej szczegółowo

PRACA MAGISTERSKA DYSKRETNY NIELINIOWY UKŁAD SEMIDYNAMICZNY UNIWERSYTET JAGIELLOŃSKI

PRACA MAGISTERSKA DYSKRETNY NIELINIOWY UKŁAD SEMIDYNAMICZNY UNIWERSYTET JAGIELLOŃSKI UNIWERSYTET JAGIELLOŃSKI Wydział Matematyki i Fizyki Kierunek: Matematyka Sekcja teoretyczna PRACA MAGISTERSKA DYSKRETNY NIELINIOWY UKŁAD SEMIDYNAMICZNY NA PŁASZCZYŹNIE Zbigniew Galias opiekun: doc. Jerzy

Bardziej szczegółowo

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Topologia i geometria różniczkowa

Topologia i geometria różniczkowa Topologia i geometria różniczkowa Andrzej Nowicki Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki, ul. Chopina 12 18, 87 100 Toruń (e-mail: anow@mat.uni.torun.pl) Marzec 1995 Spis treści

Bardziej szczegółowo

Co to są liczby naturalne i czemu ich nie ma?! Adam Kolany

Co to są liczby naturalne i czemu ich nie ma?! Adam Kolany Co to są liczby naturalne i czemu ich nie ma?! Adam Kolany Co to są liczby naturalne i czemu ich nie ma?! Adam Kolany Załóżmy, że wiemy co to są liczby naturalne... Język (I-go rzędu): V, { F n : n IN

Bardziej szczegółowo

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej V Konkurs Matematyczny Politechniki iałostockiej Rozwiązania - klasy pierwsze 27 kwietnia 2013 r. 1. ane są cztery liczby dodatnie a b c d. Wykazać że przynajmniej jedna z liczb a + b + c d b + c + d a

Bardziej szczegółowo

Wykład I. Literatura. Oznaczenia. ot(x 0 ) zbiór wszystkich otoczeń punktu x 0

Wykład I. Literatura. Oznaczenia. ot(x 0 ) zbiór wszystkich otoczeń punktu x 0 Wykład I Literatura Podręczniki 1. G. M. Fitherholz Rachunek różniczkowy i całkowy 2. W. Żakowski Matematyka tom I Zbiory zadań 1. W. Krysicki, L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach tom I i II

Bardziej szczegółowo

Schemat rekursji. 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej

Schemat rekursji. 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej Schemat rekursji 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej Dla dowolnej liczby naturalnej a i dowolnej funkcji h: N 2 N istnieje dokładnie jedna funkcja f: N N spełniająca następujące warunki: f(0)

Bardziej szczegółowo

Kombinacje liniowe wektorów.

Kombinacje liniowe wektorów. Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

Efekt motyla i dziwne atraktory

Efekt motyla i dziwne atraktory O układzie Lorenza Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja kopernika Toruń, 3 grudnia 2009 Spis treści 1 Wprowadzenie Wyjaśnienie pojęć 2 O dziwnych atraktorach 3 Wyjaśnienie pojęć Dowolny

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

Wariacje na temat Zasady Banacha

Wariacje na temat Zasady Banacha Jest to rozszerzony zapis odczytu wygłoszonego na XLI Szkole Matematyki Poglądowej, Matematyczne obrazki, sierpień 2008. Stefan Banach, Kraków, 1919 r., źródło [3]. Wariacje na temat Zasady Banacha Jarosław

Bardziej szczegółowo

Zadania 1. Czas pracy przypadający na jednostkę wyrobu (w godz.) M 1. Wyroby

Zadania 1. Czas pracy przypadający na jednostkę wyrobu (w godz.) M 1. Wyroby Zadania 1 Przedsiębiorstwo wytwarza cztery rodzaje wyrobów: A, B, C, D, które są obrabiane na dwóch maszynach M 1 i M 2. Czas pracy maszyn przypadający na obróbkę jednostki poszczególnych wyrobów podany

Bardziej szczegółowo

Klasyfikator. ˆp(k x) = 1 K. I(ρ(x,x i ) ρ(x,x (K) ))I(y i =k),k =1,...,L,

Klasyfikator. ˆp(k x) = 1 K. I(ρ(x,x i ) ρ(x,x (K) ))I(y i =k),k =1,...,L, Klasyfikator Jedną z najistotniejszych nieparametrycznych metod klasyfikacji jest metoda K-najbliższych sąsiadów, oznaczana przez K-NN. W metodzie tej zaliczamy rozpoznawany obiekt do tej klasy, do której

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym

Bardziej szczegółowo

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna na kierunku Elektrotechnika

Analiza matematyczna na kierunku Elektrotechnika 1 Analiza matematyczna na kierunku Elektrotechnika 3 stycznia 011 1 Uzupełnienia do wykładu 1. (5 /6 X 010) Literatura: W. Żakowski, W. Kołodziej Matematyka Cz.I WNT R. Leitner, Zarys matematyki wyższej

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój

Bardziej szczegółowo

Marek Zakrzewski Wydział Matematyki Politechnika Wrocławska. Lekarstwo na kłopoty z Cardanem: Róbta co Vieta.

Marek Zakrzewski Wydział Matematyki Politechnika Wrocławska. Lekarstwo na kłopoty z Cardanem: Róbta co Vieta. Marek Zakrzewski Wydział Matematyki Politechnika Wrocławska Lekarstwo na kłopoty z Cardanem: Róbta co Vieta. Rozwiązywanie równań sześciennych - wzory Cardana Każde równanie sześcienne można sprowadzić

Bardziej szczegółowo

O zbiorach małych w polskich grupach abelowych

O zbiorach małych w polskich grupach abelowych O zbiorach małych w polskich grupach abelowych Eliza Jabłońska Katedra Matematyki Politechniki Rzeszowskiej Warsztaty z Analizy Rzeczywistej, Konopnica 2016 E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a Po co AB? Świetne narzędzie do analitycznego opisu układów logicznych. 1854r. George Boole opisuje swój system dedukcyjny. Ukoronowanie zapoczątkowanych w

Bardziej szczegółowo

... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1

... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1 4. Wykład 4: Grupy rozwiązalne i nilpotentne. Definicja 4.1. Niech (G, ) będzie grupą. Wówczas (1) ciąg podgrup grupy G zdefiniowany indukcyjnie wzorami G (0) = G, G (i) =[G (i 1),G (i 1) ], dla i N nazywamy

Bardziej szczegółowo

Interpretacja Niech U będzie zbiorem formuł takim, że zbiór {p 1,..., p k } jest zbiorem wszystkich symboli predykatywnych, {f 1,..., f l } jest zbior

Interpretacja Niech U będzie zbiorem formuł takim, że zbiór {p 1,..., p k } jest zbiorem wszystkich symboli predykatywnych, {f 1,..., f l } jest zbior Rachunek predykatów Wykład 5 Plan wykładu Funkcje i termy Postać klauzulowa formuł Modele Herbranda Twierdzenie Herbranda Rezolucja dla klauzul ustalonych Podstawienia Uzgadnianie Rezolucja Funkcje i termy

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna - 14. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi i szeregi liczbowe

Analiza matematyczna - 14. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi i szeregi liczbowe Analiza matematyczna - 4. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi i szeregi liczbowe Wstęp: zmienne ciągłe i zmienne dyskretne Podczas dotychczasowych wykładów rozważaliśmy przede wszystkim zależności funkcyjne

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

Podstawy matematyki dla informatyków. Janusz J. Szuster. Zadania z logiki i teorii mnogości

Podstawy matematyki dla informatyków. Janusz J. Szuster. Zadania z logiki i teorii mnogości Podstawy matematyki dla informatyków Janusz J. Szuster Zadania z logiki i teorii mnogości Lublin 2006 1. WSTĘP 2 1. Wstęp W literaturze przedmiotu Logika i teoria mnogości istnieje kilka zbiorów zadań

Bardziej szczegółowo

Ciągi. Pojęcie granicy ciągu.

Ciągi. Pojęcie granicy ciągu. Rozdział 2 Ciągi. Pojęcie granicy ciągu. Definicja 2.. Ciąg jest to funkcja określona na zbiorze liczb naturalnych. Będziemy rozważać ciągi o wyrazach rzeczywistych, czyli zgodnie z powyższą definicją

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ). Ciągi liczbowe.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony) liczbom naturalnym.

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Rozszerzenie dziedziny i klasy funkcji w równaniach różniczkowo całkowych.

Rozszerzenie dziedziny i klasy funkcji w równaniach różniczkowo całkowych. Rozszerzenie dziedziny i klasy funkcji w równaniach różniczkowo całkowych. Aneta Sikorska - Nowak Załącznik 2 Autoreferat wraz z informacjami o osiągnięciach dydaktycznych, popularyzatorskich oraz współpracy

Bardziej szczegółowo

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że 4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze taka że K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η) R n R, f(x 0, y 0 ) = 0, y f(x 0, y 0 ) 0. Wówczas dla odpowiednio

Bardziej szczegółowo