Rekurencja, schemat rekursji i funkcje pierwotnie rekurencyjne

Transkrypt

1 Rekurencja, schemat rekursji i funkcje pierwotnie rekurencyjne Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016 Zadanie 1. Oblicz iteracyjnie i rekurencyjnie f(4), gdzie f jest funkcją określoną na zbiorze liczb naturalnych taką, że f(0) = 1, f(1) = 1 oraz (a) f(n) = f(n 1) 2 + f(n 2), (b) f(n) = 2 f(n 1), (c) f(n) = ( 3) n f(n 1), (d) f(n) = n f(n 1), (e) f(n) = f(n 1) f(n 2) + 2 dla dowolnej liczby naturalnej n 2. Zadanie 2. Podaj rekurencyjną definicję następujących ciągów: (a) a n = 5 dla n N, (b) a n = 2 n dla n N, (c) a n = 5n + 2 dla n N, (d) a n = n! dla n N, (e) dowolnego ciągu arytmetycznego o ustalonym wyrazie pierwszym i ustalonej różnicy, (f) dowolnego ciągu geometrycznego o ustalonym wyrazie pierwszym i ustalonym ilorazie. Zadanie 3. Znajdź postać jawną ciągu (a n ) n N, gdzie (a) a 0 = 1, a n = na n 1 dla n 1, (b) a 0 = 5, a n = na n 1 dla n 1, 1

2 a 0 = 0, (c) a n = a n dla n 1, (d) (e) a 0 = 0, a n = a n 1 + n 2 dla n 1, a 0 = 1, a n = n 2 a n 1 dla n 1, (f) (g) a 0 = 7, a 1 = 3, a n = 2a n 1 a n 2 dla n 2, a 0 = 2, a 1 = 3, a n = 3a n 1 2a n 2 dla n 2. Zadanie 4. Definiujemy rekurencyjnie ciąg (a n ) n N w następujący sposób: a 0 = a 1 = 1, (a) Oblicz iteracyjnie i rekurencyjnie a 6. a n = 2a n 1 + a n 2 dla n 2. (b) Udowodnij, że wszystkie wyrazy ciągu (a n ) n N są nieparzyste. Zadanie 5. Udowodnij, że jeśli to a n 2 n dla dowolnego n N. a 0 = 2, a 1 = 3, a n = a n 1 + 2a n 2 dla n 2, Zadanie 6*. Ciąg Fibonacciego dany jest wzorem rekurencyjnym Udowodnij, że (a) F n = 1 ( ) n ( (b) 2 F 3k dla k 0, (c) n k=1 F k = F n+2 1 dla n 0. F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n 1 + F n 2 dla n 2. ) n, n 0, Zadanie 7. Podaj rekurencyjną definicję ciągu obliczanego przez następującą funkcję w C/C++: int ciag(int n) 2

3 int a0 = 1; int wyn = a0; for (int i = 1; i <= n; i++) wyn = 2 * wyn + 3; return wyn; Zadanie 8. Sprawdź, czy poniższe dwie funkcje w C/C++ (ciag i ciagrek) obliczają wyrazy tego samego ciągu: int ciag(int n) int a0 = 1; int wyn = a0; for (int i = 1; i <= n; i++) wyn = 5 * wyn; return wyn; int ciagrek(int n) if (n == 0) return 1; else return 5 * ciagrek(n-1); Podaj wzór jawny tego ciągu, a następnie wykaż indukcyjnie, że jest on rosnący. Zadanie 9. Palindromem nad alfabetem Σ nazywamy słowo nad Σ postaci a 1 a 2...a n 1 a n a n a n 1...a 2 a 1 lub a 1 a 2...a n 1 a n ba n a n 1...a 2 a 1. Palindrom jest więc słowem, które czyta się tak samo od lewej strony do prawej oraz od prawej do lewej. Niech Σ = 0, 1, zaś P będzie zbiorem zdefiniowanym rekurencyjnie w następujący sposób: 3

4 0 P oraz 1 P, jeśli a P, to 0a0 P oraz 1a1 P. Czy zbiór P jest zbiorem wszystkich palindromów? Jeśli nie, to zmień powyższą definicję tak, aby zbiór P posiadał tę własność. Zadanie 10. Niech Σ = a, b będzie alfabetem i niech s n oznacza liczbę tych wszystkich słów długości n nad Σ, które nie zawierają podsłowa ab. (a) Oblicz s 0, s 1, s 2, s 3. (b) Znajdź wzór na s n i udowodnij, że jest on poprawny. Zadanie 11. Niech Σ = a, b będzie alfabetem i niech t n oznacza liczbę tych wszystkich słów długości n nad Σ, w których litera a występuje parzystą liczbę razy. (a) Oblicz t 0, t 1, t 2, t 3. (b) Znajdź wzór na t n i udowodnij, że jest on poprawny. Zadanie 12. Niech Σ będzie alfabetem, zaś tail funkcją zdefiniowaną na zbiorze wszystkich list [Σ] nad Σ następującą formułą rekurencyjną tail([]) = [], tail([a]) = [a], dla a Σ, tail(a : l) = tail(l), dla a Σ, l [Σ]. Udowodnij, że dla dowolnej, niepustej listy l = [a 1, a 2,..., a n ] [Σ] zachodzi tail(l) = [a n ]. Zadanie 13. Niech Σ będzie alfabetem, zaś head funkcją zdefiniowaną na zbiorze wszystkich list [Σ] nad Σ następującą formułą rekurencyjną head([]) = [], head([a]) = [a], dla a Σ, head(l + +[a]) = head(l), dla a Σ, l [Σ]. Udowodnij, że dla dowolnej, niepustej listy l = [a 1, a 2,..., a n ] [Σ] zachodzi head(l) = [a 1 ]. 4

5 Zadanie 14. Niech p n oznacza liczbę wszystkich podziałów zbioru 1,..., n na dwa niepuste i rozłączne podzbiory. Znajdź zależność rekurencyjną dla ciągu (p n ) n N i wyznacz jego postać jawną. Zadanie 15. W pewnym mieście jeden człowiek zachorował na grypę. Każdego następnego dnia każda chora osoba zarażała dziennie dokładnie cztery zdrowe osoby. Ile chorych było po n dniach, przy założeniu, że chory zaczyna zarażać po 24 godzinach od zachorowania oraz nikt w czasie tych n dni nie wyzdrowiał? Rozwiązanie podaj w postaci rekurencyjnej oraz jawnej. Zadanie 16. Proces przydzielania n dzieci do n miejsc w klasie może być podzielony na dwie fazy: (1) wybór dziecka na pierwsze miejsce i (2) przypisanie pozostałych n 1 dzieci do pozostałych miejsc. Niech A n oznacza liczbę różnych przypisań n dzieci do n miejsc. (a) Napisz rekurencyjną definicję ciągu A n. (b) Oblicz rekurencyjnie A 6. (c) Czy ciąg A n wydaje Ci się znajomy? Zadanie 17. Weźmy pod uwagę proces przydzielania 2n dzieci do n wagoników kolejki tak, by w każdym wagoniku było dwoje dzieci. Najpierw wybieramy dwoje dzieci do pierwszego wagonika (pokaż, że można to zrobić na 2n(2n 1) 2 sposobów). Następnie przydzielamy pozostałe dzieci do pozostałych n 1 wagoników. Niech B n będzie liczbą sposobów, na które można przydzielić 2n dzieci do n wagoników. (a) Napisz rekurencyjną definicję ciągu B n. (b) Oblicz rekurencyjnie B 3. (c) Oblicz B 5 metodą iteracyjną. (d) Podaj ogólny wzór na B n. Definicja Funkcja f : N N jest określona poprzez schemat rekursji zastosowany do funkcji h : N 2 N i liczby n 0 N, o ile: (1) f(0) = n 0, (2) f(n + 1) = h(n, f(n)) dla dowolnego n N. Zadanie 18. Podaj, jaką funkcję określa schemat rekursji zastosowany do funkcji h : N 2 N i liczby n 0 N, jeśli (a) h(m, n) = 0, 5

6 (b) h(m, n) = n, (c) h(m, n) = m, (d) h(m, n) = n + 1, (e) h(m, n) = m + n dla dowolnych m, n N. Zadanie 19. Funkcję f : N N określ za pomocą schematu rekursji, jeśli: (a) f(n) = 2n, (b) f(n) = 2 n, (c) f(n) = n 2, (d) f(n) = n 2 + 3n + 5. Definicja (1) Funkcją zerową nazywamy funkcję zero : N N taką, że zero(n) = 0 dla dowolnego n N. (2) Funkcją następnika nazywamy funkcję succ : N N taką, że succ(n) = n + 1 dla dowolnego n N. (3) Niech k 1 oraz i = 1,..., k. Definiujemy funkcję rzutu Π k i : N k N następującym wzorem: Π k i (n 1,..., n k ) = n i dla dowolnych n 1,..., n k N. Zadanie 20. Podaj jawną postać następujących funkcji: (a) succ zero, (b) succ succ succ, (c) succ Π 3 2. Zadanie 21. Przedstaw funkcję f : N m N w postaci superpozycji funkcji zero, succ oraz Π k i (dla odpowienich i oraz k), jeżeli: (a) m = 1, f(n) = n + 2 dla dowolnego n N, 6

7 (b) m = 3, f(n 1, n 2, n 3 ) = 0 dla dowolnych n 1, n 2, n 3 N, (c) m = 2, f(n 1, n 2 ) = 3 dla dowolnych n 1, n 2 N. Zadanie 22*. Udowodnij, że następujące funkcje są pierwotnie rekurencyjne: (a) f(n) = 2, (b) f(n) = n 0, gdzie n 0 jest ustaloną liczbą naturalną. (c) f(x, y) = x + y, (d) f(x, y) = x y, (e) f n (x) = x n, (f) f(x) = (x + 1)!, x y, gdy x y (g) f(x, y) = 0, gdy x < y. 7