Logika i teoria mnogości Ćwiczenia

Transkrypt

1 Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Algebra zbiorów 3 3 Różnica symetryczna 4 4 Iloczyn kartezjański. Kwantyfikatory. 5 5 Kwantyfikatory. 6 6 Relacje 7 7 Relacje porządku i równoważności 8 8 Funkcje 9 9 Działania uogólnione 11

2 Wstęp do logiki i teorii mnogości Ćwiczenia Zestaw 1. Zdania logiczne i tautologie Zadanie 1.1. Wyznacz wartość logiczną podanego wyrażenia, jeśli wp = 1, wq = 0 a p q e[p q = p] p q b p q f p q p q c p q q gp = q q p d p = q = p hp = q = p Zadanie 1.2. Wyznacz wartość logiczną każdego wyrażenia z poprzedniego zadania przy podstawieniu wp = 0, wq = 1. Zadanie 1.3. Wyznacz wartość logiczną wyrażenia, jeśli wp = 1, wq = 0, wr = 1 a p q r b p q r c p q r d p q r e p = q = r f p = q = r g p = q = r h p = q = r Zadanie 1.4. Wyznacz wartość logiczną zdania a 2 < 3 2 > 3 b 2 < 3 = 2 > 3 c 2 < 3 2 > 3 d 2 < 3 2 = 3 e 2 = 3 2 > 3 f 2 = 3 2 > 3 g 2 = 3 2 > 3 h 2 < 3 2 = 3 Zadanie 1.5. Czy podane wyrażenie jest tautologią? Sprawdź za pomocą tabelki. [p q p] q [p q [p r q] [p q p q] q p p [ p q] p [ p q] Zadanie 1.6. Zamiast? wstaw implikację w odpowiednią stronę. [p q q r]? [r p q p] [p q r]? [p q p r] [p q p]? q p? [ p q] [p q r]? [p r q r] [p q p r p s]? [p q r s] [p s q r]? [p q r s] 1

3 Wstęp do logiki i teorii mnogości Ćwiczenia Zadanie 1.7. Czy podane zdania są prawdziwe? 1. Jeżeli z faktu, że nie mam psa wynika, że mam psa, to mam psa. 2. Jeżeli liczba jest podzielna przez 2, to z faktu, że jest podzielna przez 3 wynika, że jest podzielna przez Jeżeli z faktu, że mam kota wynika, że mam rybki, to nie mam kota lub mam rybki. 4. Jeżeli z faktu, że mam kota wynika, że mam psa, to wtedy nie mam psa. Zadanie 1.8. Czy podane wyrażenie jest tautologią? Sprawdź bez tabelki. [p q r s] [p s q r] [p s q r] [p q r s] [p q r] [p r q r] [p r q r] [p q r] [p q r s t u] [p r t q s u] [ q p p q] [ p q] [ p q] [ q p p q] [ p q] [ q p p q] Zadanie 1.9. Zamiast? wstaw implikację w odpowiednią stronę. [p q r s]? [p r q s] [p q r s]? [p r q s] [p q r]? [p r q r] [p q r q s q]? [p r s q] 2

4 Zestaw 2. Algebra zbiorów Zadanie 2.1. Podaj ile różnych elementów ma podany zbiór i wymień je jeśli jest to możliwe. Zakładamy, że a b c a A = {a, {a, b}, {b}, c, {{c}}} B = {a, {a}, {a, {a}}} C = {x N: x 2 < 9} D = {x Q: x 2 = 16} E = {x R: x < 0} F = {x R: x > 0} Zadanie 2.2. Jakie relacje zachodzą między zbiorami A i B? a A = 3, 5 B = 2, 6 b A = 0, 1 {2} B = [2, 3] {1} c A = [1, 2] B = 0, 1 {2} d A = {x N: x 2 = 16} B = {4} Zadanie 2.3. Oblicz A B, A B, A \ B, B \ A. a A = {x N: x 6} B = {x N: x > 2}; b A = [2, 3] B = 1, 6; c A = 0, 2 {3} B = [2, 3] {1}; d A = [2, 3] B = 3, 6; e A = [1, 2] {3} B = [2, 3] {1}; f A = [2, 3] B = [3, 6]; Zadanie 2.4. Sprwadź czy dla dowolnych zbiorów prawdziwe są następujące równości: A \ B = A B \ B A \ B = A \ A B A B = A \ B B A B = A \ A \ B A A B = B A B C \ A B = C A \ C B = A B A \ B C = A \ B \ C 3

5 Zestaw 3. Różnica symetryczna Zadanie 3.1. Oblicz. a {1, 2, 3} {2, 3, 4, 5}; b {1, 2} {3, 4, 5, 6}; c [1, 2] 3, 4; d 2, 6 [2, 4]; e 0, 0, 5; f [2, 0, 2]; Zadanie 3.2. Rozwiąż równanie. a {1, 2} A = {4, 5}; b A {1, 2, 3} = {3, 4}; c [1, 3] A = 1, 3; d A 2, 6] = 0, 4]; e 5, A = 0, 2]; f A [2, = 4, 6; Zadanie 3.3. Zbadaj czy poniższe zdania są prawdziwe. Prawdziwe udowodnij, dla fałszywych znajdź kontrprzykład. a [A B = A C] = B = C b [A B = A C] = B = C; c [A \ B = A \ C] = B = C d [A B A B] = B = A ; e [B \ A = C \ A] = B = C f A B = C \ B C \ A Zadanie 3.4. Niech X oznacza przestrzeń wszystkich trójkątów i A będzie zbiorem wszystkich trójkątów równoramiennych, B zbiorem wszystkich trójkątów równobocznych, C zbiorem trójkątów prostokątnych. Wyznacz zbiory: A B C, A B C, A B C, A B C, A B C, A B C. Zadanie 3.5. Niech X oznacza przestrzeń wszytskich czworokątów, zaś A zbiór wszystkich kwadratów, B zbiór prostokątów, C zbiór rombów, D zbiór czworokątów o obwodzie równym 4, E zbiór kwadratów o polu równym 1, F zbiór rombów o conajmniej jednym kącie prostym. Wykonaj rysunek pokazujący zależności pomiędzy tymi zbiorami. 4

6 Zestaw 4. Iloczyn kartezjański. Kwantyfikatory. Zadanie 4.1. Niech A = 1, 2], B = [2, 4, C = 1,, S = {0, 2, 4}, T = {1, 3, 5}. Wypisz lub narysuj zbiory: a S T ; b T S; c A T ; d A B; e B A; f S B; g A C; h B C; i C B; Zadanie 4.2. Wyznacz wartość logiczną podanego wyrażenia i zapisz jego negację. a x R x 2 = 2x; b x R x 2 = 2x; c x R x 2 < 0; d x R x 2 > 0; e x N x 2 = 3; f x N x > 0; g x R x = 2 x < 0; h x R x > 2 x < 2; i x R x = 2 x < 0; j x R x 2 > 0 x < 0; k y N y 2 = 3y y = 3; l y N y < 0 1 > y; Zadanie 4.3. Podaj przykłady funkcji zdaniowych ϕx, ψx oraz X dla których fałszywe są poniższe wyrażenia. ϕx ψx = ϕx ψx ϕx ψx ϕx ψx = ϕx ψx = ϕx ψx 5

7 Zestaw 5. Kwantyfikatory. Zadanie 5.1. Zapisz za pomocą symboli matematycznych następujące zdania: 1. x jest sumą dwóch liczb naturalnych; 2. ciąg {a n } n N jest malejący; 3. ciąg {a n } n N jest od pewnego miejsca stały; 4. ciąg {a n } n N jest ograniczony. Zadanie 5.2. Zapisz za pomocą symboli matematycznych i wprowadzając odpowiednie funkcje zdaniowe następujące zdania. Następnie określ wartość logiczną podanego wyrażenia, zastosuj do niego prawo eliminacji implikacji oraz zapisz jego negację. 1. Jeśli istnieje człowiek który jest kobietą, to każdy człowiek jest kobietą; 2. Jeżeli każdy człowiek jest kobietą, to istnieje człowiek który jest kobietą; 3. Jeśli każda krowa ma cztery nogi, to istnieje słoń który ma dwie trąby; 4. Jeżeli każdy kamień ma serce, to każde państwo ma stolicę; Zadanie 5.3. Wyznacz wartość logiczną podanego wyrażenia i zapisz jego negację. nm = 10 xy = 1 y = n N m N x R\{0} y R\{0} x R y R x2 xy = 0 xy = 1 y = x R y R y R\{0} x R\{0} y R x R x2 Zadanie 5.4. Podaj przykład funkcji zdaniowych ϕ, ψ dla których podane zdania są fałszywe ϕx ψx [ϕx ψx] ϕx ψx [ϕx ψx] Zadanie 5.5. Czy podane wyrażenie jest tautologią? [ ] ϕx ψx [ϕx ψx] [ϕx ψx] ϕx ψx ϕx ψx [ϕx ψx] [ ] ϕx ψx ψx ϕx [ ] ψx ϕx ϕx ψx 6

8 Zestaw 6. Relacje Zadanie 6.1. Niech S = {2, 4, 6, 8} oraz T = {1, 3, 5, 7, 9}. Wypisz wszystkie pary należące do relacji R S T. 1. x, y R x + y 10; 2. x, y R x + y = 10; 3. x, y R x + y jest nieparzyste; Zadanie 6.2. Które własności zwrotność, przeciwzwrotność, symetria, przeciwsymetria, antysymetria, przechodniość posiada podana relacja? 1. x, y S, xϱy x + y jest parzyste, S = {0, 1, 2, 3, 4}; 2. x, y S, xϱy x y = 0, S = {0, 1, 2, 3, 4}; 3. x, y N, xϱy x y; 4. x, y N, xϱy x y jest parzyste; 5. x, y R, xϱy x < y ; 6. x, y R, xϱy x y < 1; 7. x, y R, xϱy xy < 0; 8. A, B R, AϱB A B; 9. A, B N, AϱB A \ B jest zbiorem skończonym; 10. x, y-ludzie, xsy x oraz y są tej samej płci; 11. x, y-ludzie, xt y x nie jest niższy niż y; 12. a, b, n, m N 2, a, bsn, m a + m = n + b; 13. a, b, n, m Z 2, a, bt n, m am = nb; 7

9 Zestaw 7. Relacje porządku i równoważności Zadanie 7.1. Czy podana relacja jest relacją porządku lub równoważności? Jeśli jest relacją równoważności, to wypisz jej klasy abstrakcji. 1. A, B R, AϱB A B; 2. A, B N, AϱB A \ B jest zbiorem skończonym; 3. A, B N, AϱB A B jest zbiorem skończonym; 4. x, y N, xϱy x y; 5. x, y N, xϱy x y jest parzyste; 6. x, y R, xϱy sin x = sin y; 7. a, b, n, m N 2, a, bϱn, m 1 a+b = 1 m+n ; [ ] 0 x 8. A, B M 2 2 R, AϱB A B = ; x,y R y 0 9. f, g R[x], xϱy xy jest wielomianem stopnia parzystego; 10. A, B N, AϱB A 2N = B 2N 11. x, y-ludzie, xsy x oraz y są tej samej płci; 12. x, y-ludzie, xt y x nie jest niższy niż y; 13. x, y-ludzie, xry x i y mają tego samego rodzica; 14. x, y-ludzie, xry x i y mają tę samą matkę; 15. a, b, n, m N 2, a, brn, m a + m = n + b; 16. a, b, n, m Z Z \ {0}, a, bsn, m am = nb; 17. {x n }, {y n } R N, {x n }ϱ{y n } Σ n=1 x n 2 n = Σ n=1 y n 2 n ; 18. x, y-proste na płaszczyźnie, xry x i y są równoległe; 19. x, y-proste na płaszczyźnie, xry x i y są prostopadłe; 8

10 Zestaw 8. Funkcje Zadanie 8.1. Czy podana relacja R X Y jest funkcją? Jeśli nie, to czy można tak zmienić zbiory X, Y aby była. 1. x, y R x 2 = y 2 X = Y = R; 2. x, y R x 2 = y 3 R N Z; 3. x, y R x 3 = y 2 R N Z; 4. x, y R x = y 2 R R R; 5. x, y R y x < y + 1 R R Z; 6. X = Y = R; xry y = x 2 x 0 y = 2 x 1; 7. X = Y = R; xry x / Q y = 1 x Q y = 0; 8. X = Y = N; xry y = n + k x = nk; n N k N Zadanie 8.2. Niech S = {1, 2, 3, 4, 5}. Które z podanych funkcja f : S S są różnowartościowe, "na", mają funkcję odwrotną? a fn = 6 n; b fn = max{n, 3}; c fn = n; d fn = min{2, n}; e fn = min{n, 5}; f fn = max{5, n}; Zadanie 8.3. Czy podana funkcja f : Z 2 Z 2 jest różnowartościowa, "na", ma funkcję odwrotną? a fn, k = n + k, n k; b fn, k = 2n, 3k; c fn, k = n, k; d fx, y = 2x, 3y; e fn, k = n + k, k; f fn, k = n k, nk; g fn, k = n + k, n 2k; h fn, k = n + k, n 2 k 2 ; Zadanie 8.4. Wyznacz dziedzinę i zbiór wartości podanej funkcji a fx = 3 x; b fx = x2 ; c fx = sin1/x; d fx = x ; e fx = ; f fx = x x x; g fx = ln3 + x; h fx = e x 1 ; i fx = sin2x 5 cos x; 9

11 Zadanie 8.5. Czy podana funkcja f : R R jest różnowartościowa, "na", ma funkcję odwrotną? a fx = 2x + 3; b fx = x 2 4; c fx = x + 3 ; d fx = x 3 1; e fx = x 1 3 ; f fx = 3 x 1; Zadanie 8.6. Czy podana funkcja f : R R jest bijekcją? Wyznacz f[0, 1, f0, 1, f 1 [0, 1, f 1 0, 1 a fx = 3x 1; b fx = x 2 1; c fx = x + 2 ; d fx = x 3 1; e fx = x 1 3 ; f fx = 1 x ; Zadanie 8.7. Czy podana funkcja f : N 2 N jest bijekcją? Oblicz podane obrazy i przeciwobrazy. 1. fn, k = n + k; f{1} N, f 1 {1}, f 1 {3}, f 1 {2N} 2. fn, k = nk; f{2} 2N 1, f2n 2N f 1 {1}, f 1 {3}, f 1 {2N} 3. fn, k = NW W n, k; f{2, 28}, f{2n 2N}, f 1 {1}, f 1 {2N} 4. fn, k = maxn, k f{2, 28}, f{2n 2N}, f 1 {1}, f 1 {2N} Zadanie 8.8. Zbadaj czy funkcja f : R R określona wzorem fx = { x + 4 dla x < 0 x 2 2 dla x 0 jest różnowartościowa i "na" R. Wyznacz f 1 0, 4 oraz f 3, 3. Zadanie 8.9. Zbadaj czy funkcja f : R R określona wzorem fx = { 1 x 2 dla x < 1 x 1 dla x 1 jest różnowartościowa i "na". Wyznacz f 1 [ 3, 0 oraz f 2, 1. Zadanie Zbadaj czy funkcja f : R R określona wzorem fx = { 4 x 2 dla x < 1 x 3 dla x 1 jest różnowartościowa i "na". Wyznacz f 1 [0, 3] oraz f[ 3, 0]. 10

12 Zestaw 9. Działania uogólnione Zadanie 9.1. Oblicz sumy i iloczyny uogólnione następujących zbiorów A n = 1 ] n + 1, 1 B n = 1, 2n + 1 C n = [0, n; n N n + 1 n + 1 D t = 1 ] t + 1, 1 E t = 1, 2t + 1 F n = [0, t + 1; t [0, 1] t + 1 t + 1 [ 1 G n = {1, 2,..., 3 n n } H n = n, 2 I n = [n, n + 1]; n N Zadanie 9.2. Oblicz sumy i iloczyny uogólnione następujących zbiorów 1. A t = {x R: x + 1 t}, t R 2. B t = {x R: x t}, t R + 3. C t = {x R: x + 3 > t}, t R + 4. D n = } {x R: n x 3 + 1n, n N n 5. E t = {x R: x = sin t}, t R 6. F n = {x R: 1n n } < x < n, n N 7. G t = { x R: 1 n < x < 2 2 n}, t N 8. H n = {x R: n x < n + 1}, n N 9. I n = {x R: n x < n + 1}, n Z Zadanie 9.3. Wyznacz n N A n, n N A n jeżeli a n N R \ A n = [ 3, 0, n N R \ A n = 2, 1] b n N R \ A n = 0,, c n N R \ A n = R, d n N R \ A n = R \ N, e n N R \ A n = Z, n N R \ A n = [5, n N R \ A n = R \ N n N R \ A n = n N R \ A n = N 11