WYKŁAD 6. MODELE OBIEKTÓW 3-D3 część Powierzchnie opisane parametrycznie. Plan wykładu: Powierzchnie opisane parametrycznie

Transkrypt

1 WYKŁAD 6. owierchnie opisane paraetrcnie MODELE OIEKÓW -D cęść (,v (,v (,v f (,v f (,v f (,v v in in v v a a lan wkład: owierchnie opisane paraetrcnie v a v Krwe paraetrcne w -D D (krwa Herite a v in (,v (,, Interakcjne odelowanie kstałt krwej (krwa eiera in a diedina paraetrcna prestreń -D rkład: Sfera o proieni r i środk (,v (,v (,v i środk (,, r sin( π cos( π v r sin( π sin( π v r cos( π v owierchnia o równani (,v (,v (,v sin( cos( v cos( cos( v sin( v π v π Łatwa generacja pnkt leżącego na powierchni (dla par paraetrów, v łatwo jest wnacć.. (,v,(,v,(,v Łatwa generacja fragent powierchni np. prowadi oblicenia pnktów dla prediałów, v i skje tlko cęść powierchni sfer. Jak napisać równanie powierchni, której kstałt sobie wobraża?

2 . Krwe paraetrcne w -D ównania paraetrcne krwej: rkład: ( ( ( f ( f ( f ( in Krwa opisana wieloianai -go stopnia. ( ( ( a ( ( ( ( ( f f ( ( f ( ( f ( ( Jak napisać równanie krwej wieloianowej, której kstałt sobie wobraża? roble :. Jaki wbrać stopień wieloianów? niski stopień - ała elastcność wsoki stopień - trdne do opanowania osclacje fnkcji i wrost łożoności obliceniowej. Jak dobierać współcnniki wieloianów, ab w prewidwaln sposób wpłwać na kstałt odelowanej krwej? araetrcne krwe treciego stopnia: Krwa adana jest równanie: gdie ( ( ( jeżeli podstawić ora Q ( a a a U [ ( ( ( ] + b + b + b + c + d + c + d + c + d [ ]

3 to Q( a C a a b b b c c c d d d [ ( ( ( ] C U Jednonacne określenie krwej waga podania wartości paraetrów. Krwa Herite`a : Charles Herite ( 8-9 Krwa określona jest pre cter ogranicenia: dwa pnkt krwej ( pocątkow i końcow, dwa wektor stcne do krwej (pochodne w tch pnktach. Wektor stcn w pnkcie pocątkow pnkt pocątkow pnkt końcow Wektor stcn w pnkcie końcow Jak współcnniki równania krwej ależą od ograniceń? Można napisać, że lb inacej Q( Q( ( ( ( C U M U gdie M - acier baowa Herite`a (na raie nienana - acier geoetrii ( awiera wienione ogranicenia,,, (,, (,,, (,, ( Jak wnacć acier M? - współrędne pnkt pocątkowego i końcowego, - wektor stcne (pochodne w pnktach, pocątkow i końcow. Można aważć, że ( gdie a Jeśli tak, to [ ] + b + c + d M [ ] ( [ ] M wględniając nałożone wceśniej ogranicenia skje się ( ( ( ( M M M M [ ] [ ] [ ] [ ]

4 Sforłowane wżej cter równanie apisane w postaci acierowej prjje forę [ ] M Ab równanie bło spełnione si achodić M Ostatecnie, równanie krwej Herite`a ożna apisać jako Q( lb w postaci rowinętej [ ( ( ( ] M U ( ( ( + + ( + ( + + ( ( + Wieloian w nawiasach nosą nawę fnkcji baowch Herite`a. + Krwą ożna apisać więc jako kobinację liniową wektorów składowch acier geoetrii i fnkcji baowch Herite`a (. Q( ( + ( + ( + ( oscególne wieloian baowe ają następjąc prebieg. Krwa Herite`a (prkład, własności: Dla krwej o pocątk w pnkcie ( o, o, o i końc w (,,, sterowanie prebiegie krwej realije się pre dobór wektorów stcnch ( o, o, o i (,, (pochodnch acepionch w tch pnktach. ( ( + + o o ( + (

5 odsowanie:. Krwa Herite a jest określona pr pooc wieloianów -go stopnia.. Jako dane, projektant podaje dwa pnkt (pocątkow i końcow i dwa wektor (cter licb określające pochodne w tch pnktach.. Sterowanie prebiegie krwej odbwa się pre aniplacje wektorai pochodnej.. Nie awse łatwo jest skać pożądan kstałt krwej.. Interakcjne odelowanie kstałt krwej (krwa eiera ierre eier ( (enalt Atoobiles eier,., Nerical Control - Matheatics and Applications, Wile, London, 97 Krwa określona jest pre tw. pnkt kontrolne: - pnkt pocątkow i końcow (należą do krwej, - inne pnkt (nie należą do krwej. Definicja krwej eiera: Dan jest biór n+ pnktów kontrolnch k k,,..., ( n k k k k gdie k, k, k są współrędni,, pnkt kontrolnego. Krwa eiera opisana jest kłade równań paraetrcnch ( ( ( n n k n k k k k k kn kn kn ( ( (

6 gdie pr c n k n k kn ( ( k,,...,n k n n! k k!( n k! Wieloian kn ( nosą nawę wieloianów ernsteina. Stopień wieloianów kn ( ależ od licb pnktów kontrolnch. Wektor stcne do krwej w pnktach, pocątkow i końcow spełniają warnki Q ( n( ( n( Q n n rkład: n, (cter pnkt kontrolne Q( ( + ( + ( + ( ( ( ( ( ( ( ( Własności krwch eiera:... Krwa dla pewnego kład pnktów kontrolnch, n. Krwa dla innego kład pnktów kontrolnch, n Zieniono położenie pnkt kontrolnego Krwa dla więksej licb pnktów kontrolnch, n 6

7 Wielokrotn pnkt kontroln, n Zaknięt kład pnktów kontrolnch, n ładkie połącenie dwóch krwch eiera: odsowanie:. Krwa eiera jest określona wieloianai o stopni ależn od licb pnktów kontrolnch.. Jako dane projektant podaje dwa pnkt kontrolne.. Sterowanie prebiegie krwej odbwa się pre aniplacje położenie pnktów kontrolnch.. reiescenie jednego pnkt kontrolnego, ienia kstałt całej krwej (wada!. rkład astosowania krwej eiera: ównania skanej krwej ają postać: ( ( ( Jeśli skorstać setrii i obrócić krwą wokół osi, ożna otrać równania powierchni (,v (,v (,v ( 9 6 ( v cos( πv sin( πv 7

8 owierchnia wgląda tak: 8