( y) Otrzymujemy ogólne rozwiązanie równania (5.): (5.34) Po uwzględnieniu również części funkcji falowej zależnej od czasu otrzymamy: (5.

Transkrypt

1 Kometar do władu 5 FCS Prład rowiąań rówaia Scrodigera. Cąsta swoboda w jedm wmiare. Ropatrujem cąstę w ieograicom obsare, w tórm eergia potecjala cąsti jest wsędie taa sama U (,, ) cost (poieważ awse eergia potecjala jest oreśloa doładością do stałej więc moża prjąć, że U ). Na cąstę ie diałają atem żade sił, cąsta jest cąstą swobodą, o eergii całowitej rówej eergii p ietcej E. Dla uprosceia racuów rowiążm a pocąte agadieie m dla jedego wmiaru. Załóżm, że cąsta porusa się w ieruu dodatic wartości osi. Wted rówaie Scrodigera wgląda astępująco: ψ ( ) Eψ ( ) (5.) 4π m ψ ( ) Eψ ( ) (5.) Kładąc: (awse dodatie, recwiste) (5.) Otrmujem ogóle rowiąaie rówaia (5.): i ψ C e C e (5.4) ( ) i Po uwględieiu rówież cęści fucji falowej ależej od casu otrmam: i( ω t ) i( ωt) Ψ (, t) Ae Be (5.5) gdie ω πe. W asm prpadu B gdż drugi cło rówaia (5.5) predstawia falę rocodącą się w ieruu, podcas gd cąsta porusa się w ieruu. W reultacie: i( ωt) Ψ (, t) Ae (5.6) Wartości włase w tm prpadu wosą atem: E m (5.7). Cąsta swoboda w trec wmiarac W prpadu rucu cąsti swobodej w prestrei trójwmiarowej, amiltoia cli wrażeie opisujące eergię wgląda astępująco: (,, ) Ψ(,, ) Ψ(,, ) Ψ EΨ(,, ) 8 m (5.8) π W tm prpadu rowiąaie możem aleźć popre separację miec astępując fucję Ψ (,, ) ψ ( ) φ( ) γ ( ). Po podstawieiu i podieleiu obu stro pre iloc ψ φ γ otrmujem: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ψ φ γ E m ( ) ( ) ( ) (5.9) ψ φ γ W te sposób problem się reduuje do trec oddielc problemów jedowmiarowc: ( )

2 Gdie ψ φ ( ) ( ) ( ) E ψ E φ ( ) ( ) (5.4) γ E ( ) γ E E E E. Korstając rowiąaia w prpadu jedowmiarowm możem apisać : i i i ir Ψ(, ) Cψ ( ) φ( ) γ ( ) Ce e e Ce r r gdie (,, ),,, (5.4) -promień wodąc, ( ) r r wetor falow. Wobec tego pełą fucję falową możem apisać jao: r r ( ) ( ) ( r i r wt Ψ,,, t Ψ, t Ae ) (5.4) Zatem cąstę swobodą w ieograicoej prestrei, rocodącą się w ieruu r opisuje rocodąca się w tm ieruu fala płasa. Gęstość prawdopodobieństwa * ΨΨ A, w te sposób prawdopodobieństwo aleieia cąsti jest wsędie i w ażdej cwili taie samo. W prpadu trójwmiarowm wartości włase amiltoiau ja to bło poaae są sumą wartości własc poscególc problemów jedowmiarowc atem: E E E E (5.4) m m m Dla cąsti swobodej ależ parabolicie od długości wetora falowego, ie ależ od jego ieruu. Poieważ ie ma żadc ograiceń co do wartości więc eergia cąsti swobodej w ieograicom obsare może prjmować dowolą wartość. Jest to jed prpade w mecaice watowej (restą prpade csto abstracj, bo w recwistości cąsta awse ograicoa jest do sońcoego obsaru) w tórm biór wartości własc staowi widmo ciągłe..bariera potecjala. Efet tuelow Dgresja matematca. Będiem roważać rówaie Scrodigera oddiele dla różc obsarów, w tórc U() jest stałe, i porówam rowiąaie w putac ieciągłości U(). Musim więc decdować się a odpowiedie warui bregowe dla ψ ( ). Poieważ prawdopodobieństwo istieia cąsti ie może bć prestreie ieciągłe, fucja ψ ( ) musi bć ciągła w obsare prejściowm, gdie U() mieia się soowo. Rówaie Scrodigera jest rówaiem różicowm drugiego stopia musim atem w pucie ieciągłości potecjału podać warui bregowe dla pierwsc pocodc ψ. Załóżm, że dψ ropatrujem bardo mał wcie prestrei a bregu. Zmiaa ψ w tm d obsare daa jest w prbliżeiu pre dψ ψ ψ d Korstając rówaia Scrodigera mam: ψ [ U ( ) E] ψ ( )

3 Poieważ arówo o stałc ja i o całowitej eergii E ora fucji falowej ( ) są to wielości sońcoe wobec tego ψ gd ψ wiem, że dopói potecjał U() ie jest iesońco. Wobec tego docodim do wiosu, że ψ ( ) podobie ja ψ ( ) musi bć ciągle pr precodeiu pre bregi sońcoc studi i barier potecjału. Dla iesońcoc studi i barier acleie ψ jest ieoreśloe, a więc ieciągłe. W taic stuacjac, ψ ( ) musi dążć do era w oolic putów bregowc i atura problemu jest ieco ia. Niec cąsti p. eletro porusają się lewa a prawo wdłuż osi, w obsare w tórm roład eergii potecjalej jest tai ja a rsuu. W pew pucie, prjętm a pocąte osi, ma miejsce prostoąt so eergii potecjalej. W pratce igd ie ma doładie prostoątego sou potecjału. Prbliża o jeda wiele recwistc stuacji, p. so potecjału istiejąc a powierci metalu. Ropatrm rówaie Scrodigera dla staów stacjoarc w poscególc obsarac rucu cąsti: W obsare ( < < ) ψ ( ) Eψ ( ) 4π m d ψ ( ) E ψ ( ) d (5.44) E (awse dodatie) (5.45) < < W obsare ( ) ψ ( ) ( ) Eψ ( ) U ψ m d ψ ( ) ( E U ) ψ ( ) d ( E U ) Ogólm rowiąaiem dla obsaru jest fucja: I i i ( ) Ae Be (5.46) (5.47) ψ (5.48) i W powżsej fucji cło Be prestawia falę biegącą w ieruu ujemc wartości osi. Jest to fala odbita od barier potecjału, predstawiająca strumień cąste odbitc. Pr rowiąwaiu rówaia Scrodigera dla obsaru treba ropatrć dwa prpadi w ależości do au wrażeia E U. Jeżeli E U > to jest recwiste i ogóle rowiąaie w obsare ma postać: i i ψ Ce De (5.48) II i ( ) Cło De predstawia falę rocodącą się prawa a lewo w obsare. Fali taiej w obsare ie ma. Zatem D. Stosując warui ciągłości dla fucji ψ I, ψ II ora ic pocodc otrmujem:

4 A B C (5.49) A B C Sąd amplitud B i C możem wraić a pomocą amplitud fali padającej A B A (5.5) C A Natężeie strumieia cąste jest proporcjoale do ic prędości i ocetracji (licb cąste w jedostce objętości), a więc gęstości prawdopodobieństwa aleieia cąste. Zatem współci odbicia wiesie: ( ) ( ) v B R (5.5) v A Należ auważć, że w ażdm prpadu mam do cieia odbiciem co jest sprece obraem mecaii lascej. Gdie o ile E U > cąsta ie powia odcuwać obecości barier (odcuwa awet w prpadu gd U < ). Mirocąsti acowują się więc aalogicie do światła, tóre pr prostopadłm padaiu a powiercię graicą ulega odbiciu, arówo wted, gd precodi do ośroda optcie gęstsego ja i radsego. Współci trasmisji (prepuscalości) ośroda do ośroda wiesie: E v C T m (5.5) v ( ) ( ) ( ) A E m Ocwiście licba cąste musi bć acowaa wobec tego R T co jest łatwe do sprawdeia. Ropatrm tera drugi prpade gd E U <. Wówcas ma wartość urojoą więc: iα (5.5) ( U E) π m gdie α jest licbą recwistą. Ogólm rowiąaiem dla obsaru jest wted fucja: α α ψ II ( ) Ge He (5.54) Z waruu, że fucja ψ II powia bć fucją sońcoą otrmujem H. Z waruu ciągłości fucji ψ i jej pocodej w pucie otrmujem:

5 A B G i ( A B) B G A iα B R A iα A iα αg (5.55) α Fala wcodąca do obsaru jest władico tłumioa ψ II ( ) Ge. Odwrotość /α oaca odległość a tórej fucja aia e ra. Istieje róże od era prawdopodobieństwo aleieia cąste w obsare do głęboości rędu l a więc do głęboości rędu długości fali de Broglie a cąsti o α π m U E ( ) eergii ietcej U E. Ja moża wlicć dla U E ev głęboość wiaia l jest rędu A. Te watowo mecaic wii jest róż od wiosu mecaii lascej, wg tórej cąsta o eergii miejsej od barier potecjału ie może aleźć się w obsare barier. Żada jeda cąsta ie otuuje swojej drogi w obsare, wsstie awracają w ieruu malejącc wartości ja to wia rowiąań. Preiaie cąste obsaru, mimo, że eergia całowita cąste E jest miejsa od eergii potecjalej w obsare, stwara możliwość tw. efetu tuelowego pre cieie barier potecjału. W fice ciała stałego jest o scególie waż w emisji eletroów pod wpłwem silego pola eletrcego, jawis w łącu p- (diod tuelowej), prepłwu prądu pre cieie warstw dieletrce. Jeżeli p. U E ev i seroość barier L jest rędu A lub miej, to istieje sońcoe prawdopodobieństwo aleieia cąsti po preciwej stroie barier. W tm prpadu rówaie Scrodigera w różc obsarac wgląda astępująco: ψ ( ) Eψ ( ) 4π m < < dla (5.56) d ψ ( ) E ψ ( ) L < < d i ( ) ψ U ψ ( ) Eψ ( ) dla m Rowiąaia w różc obsarac są astępujące : i i ψ e Ae dla < < I II ( ) i i ( ) Ce De i ( ) De L ψ dla L L (5.57) ψ I dla < < Gdie dla wgod prjęliśm jedostową amplitudę fali padającej. Zauważm, że rowiąaie w obsare ma awierać rosące i malejące fucje władice. Założeie to jest oiece w celu dopasowaia rowiąań dla L. Uwględia oo fat, że fale są odbijae ja i prepuscae dla L podobie ja.

6 Nas problem jest więc właściwie prgotowa; mam jesce po dwa warui bregowe dla ażdej dwu ieciągłości. Daje to w sumie cter rówaia cterema iewiadommi A, B, C, D. Co pr ciągłość ψ ( ) i ψ ( ) daje: A B C i ( A) ( B C) (5.58) pr L il L L De Be Ce (5.) il L L ide ( Be Ce ) Poostawiam scegółowe obliceia cteliowi i podam od rau wi: A B L ( )( e ) L ( i ) e ( i ) 4i e ( i ) L ( i ) ( i ) e Z tórc moża wlicć współcii odbicia i trasmisji: L ( E) s ( L) (5.59) 4E U R A U (5.6) U s ( L) T B 4E( U E) W rówaiac tc użliśm fucji sius iperbolic defiiowaej jao: e e s( ) (5.6) Dla cąstece o eergiac preracającc wsoość barier E > U ase podstawowe rówaia poostają be mia, opróc tego że staje się urojoe. Oaca to e fucje iperbolice w ostatic wiąac ostaą astąpioe fucjami ołowmi poieważ s( i) isi. Wobec tego dla E > U współcii odbicia i trasmisji rówają się: R A 4E U U ( E) si ( L) si ( L) ( E) (5.6) U T B 4E U 4. Cąsta w iesońcoej studi potecjału Dotccas omawialiśm sta cąsti ie wiąaej oreślom obsarem prestrei, cąsti idącej iesońcoości do iesońcoości. Tera prejdiem do ropatrwaia staów wiąac t. staów cąsti musoej do oreślomi siłami do prebwaia w sońcom obsare prestrei. Ja obacm sta wiąae prowadą do watowaia eergii cąsti. Ropociem do roważeia (a pocąte w jedm wmiare osi ) prpadu cąsti ajdującej się w prediale d międ dwiema prostoątmi iesońcomi barierami potecjału. Prpade tai oreśla się miaem cąsti w iesońceie głęboiej prostoątej studi (dole, jamie) potecjału. Jest o prbliżeiem recwistej stuacji w

7 wielu agadieiac ficc. Prładowo eletro w atomie wodoru ajduje się pratcie w iesońceie głęboiej studi potecjału, odmie jest stałt ścia tej studi. Rówież eletro w próbce ciała stałego moża w wielu agadieiac tratować jao eletro w jamie potecjału. Dla < ora > d cli w obsarac i, w tórc eergia potecjala cąsti jest iesońceie duża fucja falowa ψ ( ). Wia to coćb roważań, tóre prowadiliśm dla progu potecjału w stuacji gd i w tm prpadu fucja falowa musi iać. Wewątr studi cli w obsare ( d ) w tórm potecjał jest stał ( ) U U,, cąsta jest cąstą swobodą o eergii E rówej eergii ietcej. Dla cąsti w tm obsare obowiąuje becasowe rówaie Scrodigera ψ ( ) Eψ ( ) 4π m (5.6) d ψ ( ) E ψ ( ) d ora jego ogóle rowiąaie: i ψ Ae Be (5.64 ) ( ) i gdie wosi: Ze wględu a ciągłość fucji falowej fucja ψ ( ) prediału musi iać a rańcac tego prediału t. ψ ( ) ψ ( d ) (5.65) cli: A B id id Ae Be Po podstawieiu do ostatiego rówaia B A otrmam rówaie: si d tóre jest spełioe tlo dla pewc taic wartości, że; d π,,,k cli: π (5.66) d Korstając powżsc ależości możem podać wrażeia a fucje włase i odpowiadające im wartości włase eergii: i i ψ Ae Ae iasi A si ( ) π ψ ( ) A si d E m 8 md (5.67) Widim więc, że amięcie cąsti w ograicom obsare, a oretiej aruceie a fucję falową pewc waruów bregowc prowadi do watowaia eergii cąsti. Cąsta w obsare ograicom może prjmować tlo pewe dowoloe (dsrete) wartości eergii, w preciwieństwie do prewidwań mecaii lascej w mśl tórej

8 eergia cąsti może mieiać się w sposób ciągł. Zgodie powżsmi wiami cąsta swoboda w ograicom obsare może prjmować tlo pewe put wresu parabolicego ależości E m Licbę całowitą oreślającą dsrete wartości eergii awam licbą watową. Zerowa licba watowa jest iemożliwa do prjęcia gdż dla mam godie otrmami wiami ψ ( ) (dla ażdego ) bra cąsti. Wobec tego ajiżsm staem eergetcm staem podstawowm jest sta odpowiadając ( ). Ze woru opisującego eergię jest widoce, że dsretość widma jest dobre widoca dla małc wartości i d, a więc mirocąste w miroobsarac. Jeżeli d acie preraca romiar atomowe, to odległości pomięd poiomami dowolomi są ta małe, że pratcie widmo staje się widmem ciągłm, ja w prpadu lascm. Jedowmiarow prpade iesońceie głęboiej studi potecjału moża łatwo uogólić a tr wmiar. W tm prpadu prestreń w tórej będie ajdowała się cąsta staowi pudło potecjału o wmiarac d, d, d. Potecjał wewątr pudła jest rów eru (w ogólm prpadu stał), atomiast a ewątr jest iesońceie duż. Zatem a ewątr pudła ψ, atomiast wewątr pudła ψ spełia rówaie Scrodigera, idetce ja dla cąsti swobodej w ieograicoej prestrei trójwmiarowej Ψ(,, ) Ψ(,, ) Ψ(,, ) EΨ(,, ) 8 m (5.68) π Ψ,, ψ φ γ otrmujem: Stosując procedurę separacji miec ( ) ( ) ( ) ( ) ψ ( ) φ( ) γ ( ) E m ( ) ( ) ( ) ψ φ γ (5.69) W te sposób problem się reduuje do trec oddielc problemów jedowmiarowc: ψ φ ( ) ( ) ( ) E ψ E φ ( ) ( ) (5.7) γ E ( ) γ Rowiąując dla ażdego wmiaru osoba i orstając waruów bregowc dla fucji ψ otrmam aalogice ja w prpadu jedowmiarowm licb falowe w poscególc ieruac,, (sładowe wetora falowego r ): π π π,,,,, d d d,,,k (5.7)

9 E E E m 8md m 8md m 8md Wobec tego całowita eergia w staie (, ) operatora eergii w tm staie) wosi: E 8m d d d Dla pudła ubicego d d d wartości włase eergii wosą: ( ) (5.7), (poprawie mówiąc wartość własa (5.7) E (5.74) 8m Ja widać powżsc wiąów fucje włase opisujące sta cąste ja rówież,,. Zatem eergie dowoloe (wartości włase) ależą od trec licb watowc ( ) tr licb watowe oreślają sta cąsti w pudle potecjalm. Najiżsm staem,,. Ja wia eergetcm jest sta odpowiadając trójce ( ) otrmac wiąów eergia stau podstawowego dla pudła ubicego wosi E. Eergia pierwsego stau wbudoego może odpowiadać trem staom 8m ψ, ψ, ψ (trem różm ombiacją licb watowc). Zatem pierws sta wbudo jest trrotie degeerowa. Moża usuąć degeerację iżsc staów pre isceie smetrii ubicej pudła, jeżeli d, d, d acie się różią wówcas, róże sta, aż do dużc wartości licb watowc, ie dają jedaowc wartości eergii. Oblicaie licb możliwc staów. Każdej wartości tróji licb ja stwierdiliśm,,, są duże wceśiej (, ) odpowiada jede sta cąsti. Prpuśćm, że licb ( ) w porówaiu jedością. Do taic licb moża astosować operację różicowaia: różica d oaca prediał licb mał w porówaiu samm, ale awierając jesce wiele ic wartości. Jest więc recą ocwistą, że w prediale d awiera się rówo dmożliwc licb całowitc, << d << i aalogicie w prediałac d i,, a osiac współrędc. W prestrei tej budujm d. Odłóżm ( ) iesońceie mał rówoległościa o objętości powiedieliśm w rówoległościaie tm awiera się (, ) staów w roważam prediale wartości (, ) dn (, ) ddd d d d. Zgodie tm co d d d tróje licb całowitc,, ażdej tórc odpowiada jaaś wartość eergii w pudle. Wsstic taic Podstawiając, mam:, (5.75),, otrmam wrażeie dla licb staów: d d d d d d dn π π V (,, ) dd d

10 gdie V ddd objętość pudła, a licb,, prbierają tlo wartości dodatie. Zgodie ipoteą de Broglie a ażdej wartości i odpowiadają dwie wartości rutu pędu rówe co do wielości lec preciwego au. Dlatego też jeśli prrówam do siebie π licb staów awartc w prediałac d i dp w tm ostatim ajdie się dwa ra licba staów miejsa. Zgodie tm licba staów w prediale pędu dp dp dp rówa jest V ( p p, p ) dpdpdp dn, (5.76) gdie p, p, p prbierają wsstie wartości od do Wór te jest god asadą ieoacoości Heiseberga. Jeśli ruc jest ograico w ieruu osi prediałem d, to ficie roróżiale są tlo te sta, tórc rut pędu różią się miej iż / d, atem w prediale dp ajduje się dp /( / d ) ddp / staów. d d dp dp ddp Możąc otrmujem wór (5.76). Roważm tera licbę staów mieiając ieco miee ieależe. Na osiac współrędc odłóżm wielości,,. Zbudujm w tej prestrei ulę, tórej rówaie ma postać: K (5.77) Licb,, są dodatie, ta że będie as iteresować tlo jeda ósma uli tw. ota. Zaptajm, ile staów awiera się międ otaami dwóc uł o promieiac K i Licba ta jest rówa: V 4πK dk VK dk dn ( K ) (5.78) π Biorąc pod uwagę postać eergii możem apisać: π K me (5.79) K dk. / Vm E dn( E) de (5.8) Wobec tego licba staów awartc międ E i E de rośie wprost proporcjoalie do E. Zwiąe te ma duże aceie dla asc prsłc roważań. Na jego podstawie moża udowodić, że ilość staów jest proporcjoala do objętości i ie ależ od stałtu pudla. 5. Cąsta w wadratowej studi potecjału W tej cęści ropatrm prład wadratowej studi potecjału. Potecjał w tm prpadu będie rów: U ( ) U > a (5.8) U < ( ) a Weźm cąstę o całowitej eergii leżącej w aresie: < E < U (5.8) i posuam rowiąań rówaia Scrodigera be casu w obsarac < a i > a. Rówaie ma postać:

11 ( ) ( E U ( ) ) ψ ( ) d ψ d Podstawiając fucje potecjału do tego rówaia otrmujem: (5.8) dla dla ( ) ( U E ) ψ ( ) ψ ψ d (5.84) d > a, gdie licba falowa jest recwista poieważ U > E ora ( ) d ψ Eψ ( ) ψ (5.85) d < a. Dla > a rowiąaiami są fucje władice w postaci e i e. Poieważ fucje falowe musą dążć do era pr ± ajdujem: ψ Ae < a ψ Be > a (5.86) Napism tera rowiąaie dla cąsti w studi. Dla < a ψ C cos Dsi (5.87) Wsstie te rowiąaia ależ tera dopasować dla ± a. Najpierw dla a a Ae C cos a Dsi a i dla a a Be C cosa Dsi a dodając obie stro otrmujem: (5.88) (5.89) a ( A B) e C cos a (5.9) atomiast odejmując: a ( B A) e Dsi a (5.9) Dwa ostatie rówaia a cwilę ostawim ab dopasować pocode ψ w putac bregowc. Najpierw dla a : a Ae C si a D cos a (5.9) a pr a a Be C si a D cos a (5.9) Suma i różicą tc rówań są: a ( A B) e D cos a (5.94) i a ( A B) e C si a (5.95) Dieląc wór (5.) pre (5.) otrmujem ctg ( a) (5.96) co jest prawdiwe tlo dla A B i D. Wor (5.) (5.) rówież podielim pre siebie ab móc otrmać: tg ( a) (5.97) jeżeli A B i C. Ocwiście obdwie te ależości ie mogą bć jedoceśie słuse, poieważ oacałob to e tg ( a). Wobec tego ograiceia arucoe w stałe w jedm rówań (5.) lub (5.) musą bć w pewc waruac pogwałcoe.

12 poieważ Moża atem wróżić dwie gode las rowiąań w pierwsej ctg ( a) A B i D. W taim raie słus jest wór tg( a) ψ Ae ψ Ae ψ C cos < a > a < a i rowiąaiami są: (5.98) Prpade te wróżia się parstością rowiąań t. ψ ( ) ψ ( ) (5.99) dla wsstic. Drugą lasę rowiąań oreśla wiąe tg ( a) poieważ dla tego prpadu A B i C. Rowiąaiami są ψ Ae < a ψ Ae ψ Dsi > a < a (5.) Rowiąaia są tera ieparste, cli ψ ( ) ψ ( ) (5.) dla wsstic. Rowiąaia te mieiają się e wrostem eergii cąsti E. Z waruów bregowc wia, że eergia musi bć swatowaa. Ab aleźć dowoloe wartości eergii E musim rowiąać parę rówań prestępc a i. Poieważ ja waaliśm rówań (5.) i (5.) ie moża ropatrwać rówoceśie, ażde ic musi bć rowiąae a premia im rówaiem łącącm i, tóre ara apisem. Wobec tego, że π π me i m( U E) (5.) rówań (5.) i (5.) wia dodatowe rówaie a i, tóre moża apisać jao: mu (5.) W tej cwili cała fia problemu ostała opisaa. Dla celów ddatcc spróbujem ilustrować agadieie graficie. W tm celu prerobim trocę rówaia. Elimiując rówań (5.) i (5.) otrmujem: ( tg a) cos a (5.4) co może bć prepisae jao: a cos a ± a (5.5) Wór te stosuje się do rowiąaia parstego. Z rówaia (5.) wia dodatowo, że musi bć dodati. Podobie elimiując rówań (5.) i (5.) dostajem: a si a ± (5.6) a Co stosuje się do rowiąań ieparstc. Ze woru (5.) wia, że ujem. a tg ctg a musi bć awse